2016-2017学年辽宁省抚顺市高一(下)期末数学试卷与解析word

2016-2017学年辽宁省抚顺市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin（﹣60°）的值为（）A．B．C．D．2．（5分）若一段圆弧的长度等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆心角弧度为（）A．B． C．D．3．（5分）2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度，安庆市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所不同的中学抽取60名教师进行调查．已知A，B，C学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．244．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=2，=3，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.1 B．=2x﹣1 C．=﹣2x+1 D．=0.4x+2.95．（5分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A．9 B．10 C．11 D．136．（5分）学校为了了解高二年级1203名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．40 B．30.1 C．30 D．127．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出结果S的值为（）A．B．C．D．8．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）若||=2sin15°，||=4cos15°，与的夹角为30°，则•的值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知0＜α＜，＜β＜，sin（+α）=，sin（+β）=，则cos（α+β）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5分）已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则f（1）+f（2）+f （3）+…+f（100）=（）A．0 B．100 C．150 D．20012．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（）A．B．C．3 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+=．14．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=x6﹣12x5+60x4﹣160x3+240x2﹣192x+64当x=2时的值时，v4的值为．15．（5分）在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是．16．（5分）三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为（sin A﹣cos B，cos A﹣sin B），则++的值是．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知α为第三象限角，．（1）化简f（α）；（2）若，求f（α）的值．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准0〜3.5，用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），制作了频率分布直方图．（1）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；（2）用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准0〜3.5，则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；（3）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表）．19．（12分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．20．（12分）一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品，随机抽出两件产品（1）求恰好有一件次品的概率（2）求都是正品的概率．21．（12分）已知向量=（cosx，0），=（0，sinx）．记函数f（x）=（+）2+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值及取最小值时x的集合；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．22．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣sinxcosx+，g（x）=mcos（x+）﹣m+2（1）若对任意的x1，x2∈[0，π]，均有f（x1）≥g（x2），求m的取值范围；（2）若对任意的x∈[0，π]，均有f（x）≥g（x），求m的取值范围．2016-2017学年辽宁省抚顺市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin（﹣60°）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：sin（﹣60°）=﹣sin60°=﹣，故选：C．2．（5分）若一段圆弧的长度等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆心角弧度为（）A．B． C．D．【解答】解：不妨设等边△ABC的外接圆的半径为2，取BC的中点D，连接OD，OC，则∠OCB=30°．由垂径定理的推论可知，OD⊥BC，在Rt△OCD中，OD=OC=1，∴CD=，∴边长BC=2．设该圆弧所对圆心角的弧度数为θ，则由弧长公式可得2θ=2，∴θ=．故选：C．3．（5分）2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度，安庆市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所不同的中学抽取60名教师进行调查．已知A，B，C学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．24【解答】解：根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为；故选：A．4．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=2，=3，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.1 B．=2x﹣1 C．=﹣2x+1 D．=0.4x+2.9【解答】解：根据变量x与y正相关，可以排除选项C；根据样本平均数为=2，=3，代入回归方程知（，）满足=2x﹣1．故选：B．5．（5分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A．9 B．10 C．11 D．13【解答】解：∵班学生成绩的平均分是86，∴﹣8﹣7﹣4﹣6+x﹣1+0+8+10=0，即x=8．∵乙班学生成绩的中位数是83，∴若y≤1，则中位数为81，不成立．如y＞1，则中位数为，解得y=5．∴x+y=5+8=13，故选：D．6．（5分）学校为了了解高二年级1203名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．40 B．30.1 C．30 D．12【解答】解：了解1203名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，∵1203除以40不是整数，∴先随机的去掉3个人，再除以40，得到每一段有30个人，则分段的间隔k为30．故选：C．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出结果S的值为（）A．B．C．D．【解答】解通过程序框图可知，框图是当型结构，循环规律是，n逐次加1，S 是累积，当n＞4时结束程序．所以S=1×=2sin×÷2sin=sin×cos××cos÷2sin=÷2sin=．故选：D．8．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42=6种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），∴要求的概率是=．故选：B．9．（5分）若||=2sin15°，||=4cos15°，与的夹角为30°，则•的值是（）A．B．C．D．【解答】解：根据向量数量积的定义，得•=||•||cosθ，其中θ为与的夹角∵||=2sin15°，||=4cos15°，θ为30°，∴•=2sin15°•4cos15°•cos30°=4（2sin15°cos15°）cos30°=4sin30°cos30°=2sin60°=故选：B．10．（5分）已知0＜α＜，＜β＜，sin（+α）=，sin（+β）=，则cos（α+β）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：0＜α＜，＜β＜，sin（+α）=，可得sin（）=﹣，∈（，0）则cos（）=，sin（+β）=，+β∈（），cos（）=﹣．则cos（α+β）=cos（）cos（）﹣sin（）sin（+β）==﹣．故选：B．11．（5分）已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则f（1）+f（2）+f （3）+…+f（100）=（）A．0 B．100 C．150 D．200【解答】解：∵函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A•+1=cos（2ωx+2φ）+的最大值为3，∴+=3，∴A=2．f（x）的图象在y轴上的截距为2，可得cos2φ+2=2，即cos2φ=0，∴可取φ=．再根据它的图象相邻两对称轴间的距离为1，可得它的周期为=2，求得ω=，∴f（x）=cos（πx+）+2=﹣sinπx+2，故f（1）=2，f（2）=2，f（3）=2，…，f（100）=2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=200，故选：D．12．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（）A．B．C．3 D．【解答】解：由于+=2由向量加法的几何意义，O为边BC中点，因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，所以==1，三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，斜边BC=2AO=2，直角边AB=，所以∠ABC=30°则向量在向量方向上的投影为|BA|cos30=×，故选：A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+=（﹣2，﹣1）．【解答】解：∵向量=（2，1），=（x，﹣2），因为∥，则x+4=0，∴x=﹣4，向量=（2，1），=（﹣4，﹣2），所以+=（﹣2，﹣1）故答案为：（﹣2，﹣1）；14．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=x6﹣12x5+60x4﹣160x3+240x2﹣192x+64当x=2时的值时，v4的值为80．【解答】解：由秦九韶算法计算多项式f（x）=x6﹣12x5+60x4﹣160x3+240x2﹣192x+64=（（（（（x﹣12）x+60）x﹣160）x+240）x﹣192）x+64．∴当x=2时的值时，v0=1，v1=1×2﹣12=﹣10，v2=﹣10×2+60=40，v3=40×2﹣160=﹣80，v4=﹣80×2+240=80．故答案为：80．15．（5分）在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：=×4=其中正三角形ABC的面积S三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示则S=π阴影则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是P===故答案为：．16．（5分）三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为（sin A﹣cos B，cos A﹣sin B），则++的值是﹣1．【解答】解：∵△ABC为锐角三角形，∴A+B＞90°得A＞90°﹣B∴sinA＞sin（90°﹣B）=cosB，即sinA＞cosB，sinA﹣cosB＞0同理可得sinB＞cosA，cosA﹣sinB＜0点P位于第四象限，所以++=﹣1+1﹣1=﹣1故答案为：﹣1．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知α为第三象限角，．（1）化简f（α）；（2）若，求f（α）的值．【解答】解：（1）（2）∵∴从而又α为第三象限角∴即f（α）的值为．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准0〜3.5，用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），制作了频率分布直方图．（1）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；（2）用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准0〜3.5，则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；（3）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表）．【解答】解：（1）根据频率和为1，计算小组[1.5，2）的频率为1﹣（0.10+0.20+0.30+0.60+0.30+0.10）×0.5=0.2，对应小矩形的高为=0.4，把频率分布直方图补充完整如下；（2）月均用水量的最低标准应定为2.5吨，样本中月均不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨；（3）估计频率分布直方图，计算这100位居民月均用水量的平均数为0.5×（×0.10+×0.20+×0.30+×0.40+×0.60+×0.30+×0.10）=1.875．19．（12分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．【解答】解：（1）意知A（﹣1，2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20（5分）（2）垂径定理可知∠MQA=90°．且，在Rt△AMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：y=k（x+2）或x=﹣2，显然x=﹣2合题意．由A（﹣1，2）到l距离为1知．∴3x﹣4y+6=0或x=﹣2为所求l方程．（7分）20．（12分）一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品，随机抽出两件产品（1）求恰好有一件次品的概率（2）求都是正品的概率．【解答】解：（1）所有的取法共有=15种，而恰好有一件次品的取法有2×4=8种，故恰好有一件次品的概率为．（2）所有的取法共有=15种，而取出的2件产品都是正品的取法有=6种，故取出的2件产品都是正品的概率为．21．（12分）已知向量=（cosx，0），=（0，sinx）．记函数f（x）=（+）2+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值及取最小值时x的集合；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵=（cosx，0），=（0，sinx）∴+=（cosx，sinx），得（+）2=3cos2x+sin2x=1+2cos2xf（x）=（+）2十sin2x=1+2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+2=2sin（2x+）+2∴当2x+=﹣+2kπ（k∈Z），即x=﹣+kπ（k∈Z）时，f（x）有最小值为0；（2）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）∴函数f （x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，其中k∈Z．22．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣sinxcosx+，g（x）=mcos（x+）﹣m+2（1）若对任意的x1，x2∈[0，π]，均有f（x1）≥g（x2），求m的取值范围；（2）若对任意的x∈[0，π]，均有f（x）≥g（x），求m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣sinxcosx+=﹣sin2x+=﹣（cos2x+sin2x）+1=﹣cos（2x﹣）+1，当x∈[0，π]时，2x﹣∈[﹣，]，∴cos（2x﹣）∈[﹣1，1]，∴f（x）∈[0，2]；对于g（x）=mcos（x+）﹣m+2（m＞0），x+∈[，]，mcos（x+）∈[﹣m，m]，∴g（x）∈[﹣2m+2，2﹣m]，若对任意x 1，x2∈[0，π]，使得f（x1）≥g（x2）成立，可得：0≥2﹣，可得m≥4．（2）对任意的x∈[0，π]，均有f（x）≥g（x），即：f（x）﹣g（x）=﹣cos（2x﹣）+1﹣mcos（x+）+m﹣2=cos（2x）﹣mcos（x+）+m﹣1=2cos2（x+）﹣mcos（x+）+m﹣2=2[cos（x+）﹣]2﹣+m﹣2≥0，∵x+∈[，]，∴cos（x+）∈[﹣1，]，当即：﹣4≤m≤2时，﹣+m﹣2≥0，解得m=4．无解．当即m＞2时，cos（x+）=可得：，解得m≥3，当即m＜﹣4时，cos（x+）=﹣1可得：2+m+m﹣2≥0，解得m≥0，无解，综上m的取值范围为[3，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。