2019人教版 高中数学【选修 2-1】2.2.1综合法与分析法练习
人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.2.1综合法与分析法(含答案)
选修2-2 第二章 2.2 2.2.11．(2013·江西理，3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24 [答案] A[解析] 由等比中项公式(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0.∴x ＝－1(舍去) x ＝－3.∴数列为－3，－6，－12，－24.故选A.2．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a 2＋b 2＋c 2≥2B ．(a ＋b ＋c )2≥3C ．1a ＋1b ＋1c≥23 D ．abc (a ＋b ＋c )≤13[答案] B[解析] ∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3.3．已知a 、b 是不等正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1<a ＋b <43. [证明] ∵a 3－b 3＝a 2－b 2且a ≠b ，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2得(a ＋b )2>a ＋b ，又a ＋b >0，∴a ＋b >1，要证a ＋b <43，即证3(a ＋b )<4， ∵a ＋b >0，∴只需证明3(a ＋b )2<4(a ＋b )，又a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2，即证：3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)，也就是证明(a －b )2>0.因为a 、b 是不等正数，故(a －b )2>0成立．故a ＋b <43成立． 综上，得1<a ＋b <43.4．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2. 求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.[证明] 欲证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22， 只需证12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>sinx 1＋x 22cos x 1＋x 22， 即证12×sin (x 1＋x 2)cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)2cos 2⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 ＝sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2). 因为x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以x 1＋x 2∈(0，π)， 所以sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，cos x 1cos x 2>0，所以只需证1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.因为x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2， 所以cos(x 1－x 2)<1显然成立，所以原不等式成立．[点评] (1)本题主要考查了三角函数与不等式证明的综合应用，题目中的条件与结论之间的关系不明显，因此可以用分析法挖掘题目中的隐含条件，在证明过程中注意分析法的格式与步骤．对于与三角函数有关的证明题，在证明过程中注意角的取值范围及三角恒等变形公式的灵活应用．(2)本题的几何意义是见而易见的，如图A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)，AB 的中点，C x 1＋x 22，tan x 1＋tan x 22，D ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22，则有tan x 1＋tan x 22>tan x 1＋x 22，其中x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2.。
人教版a版高中数学选修2-2第二章2.2.1综合法与分析法【练习】(学生版)
选修2-2 2.2.1 综合法与分析法一、选择题1．证明命题“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下： ∵f (x )＝e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝e x －1e x . ∵x >0，∴e x >1,0<1e x <1 ∴e x －1e x >0，即f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．以上都不是2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a 索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<03．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( ) A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A4．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．sin(α＋β)＞cos α＋cos βC ．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD ．cos(α＋β)<cos α＋cos β5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y 2<y 6．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；。
高中数学选修2-2课时作业22：2.2.1 综合法和分析法
2.2.1 综合法和分析法一、选择题1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8B ．4C ．1 D. 144．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知f (x )＝a x ＋1,0＜a ＜1，若x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则( )A.f (x 1)＋f (x 2)2≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22B.f (x 1)＋f (x 2)2＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22C.f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 D. f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22二、填空题6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 取导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x ＞0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．7．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________．8．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝________. 三、解答题9．求证：2cos(α－β)－sin(2α－β)sin α＝sin βsin α.10．设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(1)当x ＞1时，f (x )＜32(x －1)； (2)当1＜x ＜3时，f (x )＜9(x －1)x ＋5.——★ 参 考 答 案 ★——一、选择题1．[答案]C[解析]①②③⑤正确．2．[答案]A[解析]本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＜0， ∴f (x )＝1x在(0，＋∞)上为减函数． 3．[答案]B[解析]3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 4．[答案]C[解析]若A >B ，则a >b .又∵a sin A ＝b sin B， ∴sin A >sin B .若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .5．[答案]D[解析]因为x 1≠x 2，所以f (x 1)＋f (x 2)2＝ax 1＋1＋ax 2＋12＞ ax 1＋1·ax 2＋1＝a x 1＋x 22＋1＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22， 所以f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.二、填空题6．[答案]综合法[解析]该证明过程符合综合法的特点．7．[答案]a ≥0，b ≥0且a ≠b[解析]a a ＋b b ＞a b ＋b a⇔a a －a b ＞b a －b b⇔a (a －b )＞b (a －b )⇔(a －b )(a －b )＞0⇔(a ＋b )(a －b )2＞0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．8．[答案]－725[解析]因为sin θ＋cos θ＝15，所以1＋sin 2θ＝125，所以sin 2θ＝－2425.因为π2≤θ≤3π4， 所以π≤2θ≤3π2， 所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725. 三、解答题9．证明：要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以等式成立．10．证明：(1)记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x ＞1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32＜0. 又因为g (1)＝0，故g (x )＜0，即f (x )＜32(x －1)． (2)记h (x )＝f (x )－9(x －1)x ＋5， 则h ′(x )＝1x ＋12x －54(x ＋5)2＝2＋x 2x －54(x ＋5)2＜x ＋54x －54(x ＋5)2 ＝(x ＋5)3－216x 4x (x ＋5)2. 令p (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1＜x ＜3时，p ′(x )＝3(x ＋5)2－216＜0，因此p (x )在(1,3)内单调递减．又因为p (1)＝0，则p (x )＜0，故h ′(x )＜0，因此h (x )在(1,3)内单调递减．又因为h (1)＝0，则h (x )＜0，故当1＜x ＜3时，f (x )＜9(x －1)x ＋5.。
最新人教A版高中数学选修2-2 2.2.1 综合法与分析法同步练习习题(含答案解析)
选修2-2 2.2 第1课时 综合法与分析法一、选择题1．证明命题“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下： ∵f (x )＝e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝e x －1e x . ∵x >0，∴e x >1,0<1e x <1 ∴e x －1e x >0，即f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．以上都不是 [答案] A[解析] 该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a 索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 [答案] C[解析] 要证b 2－ac <3a只需证b 2－ac <3a 2只需证b 2－a (－b －a )<3a 2只需证2a 2－ab －b 2>0.只需证(2a ＋b )(a －b )>0，只需证(a －c )(a －b )>0.故索的因应为C.3．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n (m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( ) A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定 [答案] B[解析] q ＝ab ＋mad n ＋nbc m＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A [答案] A[解析]a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 5．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．sin(α＋β)＞cos α＋cos βC ．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD ．cos(α＋β)<cos α＋cos β[答案] D[解析] ∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，∴cos α＞cos(α＋β)又cos β＞0，∴cos α＋cos β＞cos(α＋β)．6．设a 、b 、c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0，且P 、Q 、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b ∈R ＋矛盾，故P 、Q 、R 都大于0.7．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y 2<y [答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y 2<y ，故排除A 、B 、C.8．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14； ③b a ＋a b ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] C[解析] ∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0 a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≤0， (a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2.∴应选C.9．若x ，y ∈R ＋，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( )A ．2 2B. 2 C ．2D ．1 [答案] B[解析] 原不等式可化为a ≥x ＋y x ＋y ＝(x ＋y )2x ＋y ＝1＋2xy x ＋y要使不等式恒成立，只需a 不小于1＋2xy x ＋y 的最大值即可． ∵1＋2xy x ＋y≤2，当x ＝y 时取等号，∴a ≥2， ∴a 的最小值为 2.故应选B. 10．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S (x )＝a x －a －x 2，C (x )＝a x ＋a －x 2，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③C (x ＋y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )；④C (x －y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①②③④[答案] D [解析] ∵S (x )＝a x －a －x 2，C (x )＝a x ＋a －x 2， ∴S (x ＋y )＝a x ＋y －a －x －y 2，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＋a x ＋a －x 2·a y －a －y 2 ＝a x ＋y ＋a x －y －a y －x －a －x －y ＋a x ＋y －a －x －y ＋a y －x －a －x －y 4 ＝2(a x ＋y －a－x －y )4＝a x ＋y －a－x －y 2.∴S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )同理：S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )C (x ＋y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )C (x －y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )．应选D.二、填空题11．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是________．[答案] a ≥0，b ≥0且a ≠b[解析] ∵a a ＋b b ＞a b ＋b a⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 12．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． [答案] ≤[解析] ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0 ∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， ∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 13．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________． [答案] 12≤a ≤32[解析] |x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32(a －1，a ＋1)则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤12a ＋1≥32， (且等号不同时成立)解得12≤a ≤32. 14．给出下列不等式：①a >b >0，且a 2＋b 24＝1，则ab >a 2b 2； ②a ，b ∈R ，且ab <0，则a 2＋b 2ab≤－2； ③a >b >0，m >0，则a ＋m b ＋m >a b； ④⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4(x ≠0)． 其中正确不等式的序号为________．[答案] ①②④[解析] ①a >b >0，∴a ≠b 2∴a 2＋b 24＝1>2a 2·b 24＝ab ∴1－ab >0，∴ab －a 2b 2＝ab (1－ab )>0，∴ab >a 2b 2正确．②a 2＋b 2ab ＋2＝(a ＋b )2ab∵ab <0，(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2ab ≤－2，②正确； ③a ＋m b ＋m －a b ＝(b －a )m b (b ＋m )∵a >b >0，m >0，∴b (b ＋m )>0，b －a <0，∴(b －a )m b (b ＋m )<0， ∴a ＋m b ＋m <a b，③不正确． ④⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋4|x |≥4，④正确． 三、解答题15．设a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. [证明] (1)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，∴1ab≥4. ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab≥2ab ·21ab ＋4＝8，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8. (2)∵a ＋b2≤a 2＋b 22，则a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a ＋b ＋1b 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋1b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫1＋21ab 22≥252. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. 16．已知a >b >0，求证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b. [证明] 欲证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b成立． 只需证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b ⇐⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2a 2<(a －b )2<⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2 ⇐a －b 2a <a －b <a －b 2b ⇐a ＋b 2a <1<a ＋b 2b⇐1＋b a <2<1＋a b ⇐b a <1<a b ⇐b a <1<a b. ∵a >b >0，∴b a <1<a b 成立．从而，有(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b. 17．已知a 、b 、c 表示△ABC 的三边长，m ＞0， 求证：aa ＋m ＋b b ＋m ＞c c ＋m. [证明] 要证明a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －c c ＋m ＞0即可 ∴a a ＋m ＋b b ＋m －c c ＋m ＝a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0∴(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0∵a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2∵△ABC 中任意两边之和大于第三边∴a ＋b －c ＞0，∴(a ＋b －c )m 2＞0∴2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0∴aa ＋m ＋b b ＋m ＞c c ＋m .18．若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c . [证明]要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )， 即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ac >0，且上述三式中等号不能同时成立．所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc 成立，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立．。
人教版2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法习题新人教A版选修2_2
第一章综合法与剖析法A 级基础坚固一、选择题1．在△ABC中，若sin A sin B<cos A cos B，则△ ABC必然是( C )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．命题“对随意角θ，cos 4θ －sin4θ＝cos2θ ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ －sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ －sin2θ＝cos2θ”应用了( B ) A．剖析法B．综合法C．剖析法与综合法D．演绎法3．(2018 ·德州高二检测) 在 R 上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋ 2a＋b，则知足x⊙( x－ 2)<0的实数 x 的取值范围为( B )A．(0,2)B． ( － 2,1)C． ( － 1,2)D． ( －∞，－ 2) ∪(1 ，＋∞ )[ 剖析 ] 此题主要察看对不等式解法，以及对定义运算的理解，由定义得x( x－2)＋ 2 ＋－ 2<0，即x 2＋－ 2<0，∴－ 2< <1．应选 B．x x x x4．若两个正实数x 、y知足1＋4＝ 1，且不等式x＋y< 2－ 3有解，则实数的取值x y 4mm m范围是 ( B )A． ( － 1,4)B． ( －∞，－ 1) ∪(4 ，＋∞ ) C． ( － 4,1)D． ( －∞， 0) ∪(3，＋∞ )1 4[ 剖析 ]∵ x>0，y>0，x＋y＝1，y y 1 4y 4x∴x＋4＝( x＋4)(x＋y)＝2＋4x＋yy 4x≥2＋24x·y＝ 4，等号在 y＝4x，即 x＝2， y＝8时建立，y∴ x＋4的最小值为4，要使不等式2ym－3m>x＋有解，42应有 m － 3m >4，∴ m <－ 1 或 m >4，应选 B ．5．已知 y >x >0，且 x ＋ y ＝1，那么 (D )x ＋yx ＋ yA ． x < 2 <y <2xyB ． 2xy <x < 2 <yx ＋yx ＋ yC ． x < 2 <2xy < yD ． x <2xy < 2 <y3 1 x ＋ y 1 3[剖析 ] ∵ y >x >0，且 x ＋ y ＝ 1 ，∴设 y ＝ 4， x ＝ 4，则 2 ＝ 2， 2xy ＝ 8．所以有<2 <x ＋ y < ，故除去 A 、 B 、C ，选 D ．x xy 2 y1 x＋a ＋ b2ab6．已知函数 f ( x ) ＝ 2 ， a 、b ∈ R ， A ＝ f 2， B ＝ f ( ab) ， C ＝ f a ＋ b ，则 A 、B 、C 的大小关系为 ( A )A ．A ≤B ≤C B ． A ≤ C ≤B C ．≤≤D ．≤≤B C AC B A [剖析]a ＋b 2ab1 x2≥ ab ≥，又函数 f ( x ) ＝( ) 在 ( －∞，＋∞ ) 上是单一减函数，a ＋ b2a ＋ b2ab∴ f (2 ) ≤ f (ab) ≤ f ( a ＋ b ) ．二、填空题7．若是 a a ＋bb>a b ＋ b a ，则实数 a 、 b 应知足的条件是 a ≠b 且 a ≥ 0， b ≥ 0．[剖析]a a ＋b b>a b ＋ ba? a a ＋ b b －a b － b a>0? a (a － b) ＋b ( b －a)>0 ? ( a － b )(a － b)>0 ? (a ＋ b)(a － b) 2>0只要 a ≠b 且 a ， b 都不小于零即可．8．已知 x 1 是方程 x ＋2x ＝ 4 的根， x 2 是方程 x ＋ log 2x ＝4 的根，则x 1＋ x 2 的值是 4．[ 剖析 ]∵ x ＋ 2x ＝ 4，∴ 2x ＝4－ x ，∴ x 1 是 y ＝ 2x 与 y ＝4－ x 交点的横坐标．又∵ x ＋ log 2x ＝ 4，∴ log 2x ＝4－ x ，∴ x 2 是 y ＝ log 2x 与 y ＝ 4－ x 交点的横坐标．x2y ＝x 对称，又 y ＝ 2 与 y ＝ log x 互为反函数，其图象对于 y ＝4－ x ，＋ x2 ＝ 2，∴ x 1＋ x 2＝ 4．由 得 x ＝ 2，∴ x1y ＝ x 2三、解答题9．已知 n ∈ N * ，且 n ≥ 2，求证：1> n － n － 1．n[证明] 要证1> n－ n－ 1，n即证 1>n－－，只要证－>n－ 1，∵n≥2，∴只要证 n( n－1)>( n－1)2，只要证 n>n－1，只要证0>－1，最后一个不等式显然建立，故原结论建立．10．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞ 0，求证：a b c＋＞．a＋m b＋m c＋ m[证明]要证明a＋b＞ c ，a＋m b＋m c＋ m只要证明a＋b－c＞ 0 即可．a＋ m b＋m c＋ma b－c＝∵＋a＋ m b＋ m c＋m＋＋＋＋＋－＋＋＋＋＋，∵a＞0，b＞0， c＞0， m＞0，∴ ( a＋m)( b＋m)( c＋m) ＞ 0，∵(＋)(＋)＋(＋)(c ＋)－(a＋ )(b＋ ) ＝abc＋＋＋2＋＋a b m c m b a m m c m m abm acm am abc＋＋2－－－－2＝ 2＋2＋＋2－2abm bcm bm abc bcm acm cm abm am abc bm cm2＝ 2abm＋abc＋ ( a＋b－c) m，∵△ ABC中随意两边之和大于第三边，2∴ a＋ b－c＞0，∴( a＋ b－c) m＞0，2∴ 2abm＋abc＋ ( a＋b－c) m＞ 0，∴a b c＋＞．a＋ m b＋ m c＋mB 级修养提升一、选择题1．要使3a－3b<3a－ b建立，、b应知足的条件是 ( D )aA．ab<0 且a>b B．ab>0 且a>b C．ab<0 且a<bD．ab>0 且a>b或ab<0 且a<b3333333 [剖析]a－ b<a－ b? a－b＋ 3ab2－ 3a2b<a－b．∴ab2< a2b．33∴当 ab>0时，有b< a，即b<a；3 3当 ab<0时，有b> a，即 b>a．2．在f ( m，n) 中，m、n、f ( m，n) ∈N*，且对随意m、 n 都有：(1)f (1,1)＝1，(2) f ( m， n＋1)＝ f ( m， n)＋2，(3) f ( m＋1,1)＝2f ( m,1)；给出以下三个结论：① f (1,5)＝9；② f (5,1)＝16；③ f (5,6)＝26；其中正确的结论个数是 ( ) 个． ( A )A． 3B． 2C． 1D． 0[剖析]∵ f ( m，n＋1)＝ f ( m，n)＋2，∴ f ( m，n)组成首项为 f ( m,1)，公差为2的等差数列，∴f ( m， n)＝ f ( m,1)＋2( n－1)．又 f (1,1)＝ 1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－ 1) ＝ 9，又∵f ( ＋ 1,1) ＝2f(1) ，∴f(1) 组成首项为f(1,1) ，公比为 2 的等比数列，∴m m,m,f( m,1) ＝f (1,1) ·2m－1＝ 2m－1，∴f (5,1) ＝ 25－1＝ 16，∴f (5,6) ＝f (5,1) ＋2×(6－ 1) ＝ 16＋10＝ 26，∴①②③都正确，应选 A．二、填空题3．若 sin α＋ sin β＋ sin γ＝ 0， cosα＋ cosβ＋ cosγ＝ 0，1则 cos( α －β ) ＝－2．[ 剖析 ]由题意sinα ＋sinβ ＝－sinγ ①cos α＋ cos β＝－ cos γ ②①，②两边同时平方相加得2＋ 2sin α sin β＋2cos α cos β＝ 112cos( α －β ) ＝－ 1， cos( α －β ) ＝－2．4． (2018 ·余姚高二检测) 察看以低等式：1 11－2＝2，111111－＋－＝＋，23434111111111－2＋3－4＋5－6＝4＋5＋6，⋯⋯据此律，第 n 个等式可111111111－＋－＋⋯＋－＝＋n＋2＋⋯＋．2 3 42n－ 1 2n n＋ 12n[ 剖析 ] 第一个等式右端是一个数，左端是 2 个数；第二个等式右端是 2 个数，左端是 4 个数；第三个等式右端是 3 个数，左端是 6 个数， 2＝1×2, 4＝2×2,6＝3× 2，第n 个等式左端的分母从 1 到 2n，右端分母从n＋1到2n；左端奇数正，偶数，1111111右端全正，分子都是1，故第n个等式 1－2＋3－4＋⋯＋2n－1－2n＝n＋1＋n＋2＋⋯1＋2n．三、解答A－ B5A＋ B 5．已知A、B是△ABC的两个内角．向量m＝(cos2) i＋(2 sin2) j，其中i，j 相互垂直的位向量．若| | ＝32，明： tan·tan ＝1．m4A B922 2A－B5 2 A＋B1＋－[明 ]| m| ＝m＝ cos2＋4·sin2＝2＋5 1－＋4·2，29由 | m| ＝，得 cos( A－B) ＝ cos( A＋B) ．854∴4(cos A cos B＋ sin A sin B) ＝ 5(cos A cos B－ sin A sinB) ．即 9sin A·sin B＝cos A·cos B．又∵ A， B是△ ABC的内角，1∴cos A cos B≠ 0，故 tan A tan B＝9．33224 6．已知a、b是不等正数，且a－ b＝ a－b，求： 1<a＋b<3．[ 明 ]∵ a3－b3＝a2－b2且a≠ b，∴a2＋ ab＋b2＝ a＋ b，由 ( a＋b) 2＝a2＋ 2ab＋b2>a2＋ab＋b2得( a＋b) 2>a＋b，又a＋b>0，∴a＋b>1，4要证 a＋b<3，即证3( a＋ b)<4，∵ ＋>0，∴只要证明3(a ＋)2<4( ＋) ，a b b a b又 a＋ b＝ a2＋ ab＋ b2，即证 3( a＋b) 2<4( a2＋ab＋b2) ，也就是证明( a－b) 2>0．由于a、b 是不等正数，故( a－b) 2>0 建立．44故 a＋ b<3建立．综上，得1<a＋b<3．C级能力拔高在某两个正数m， n 之间插入一个数x，使m，x，n 成等差数列，插入两个数y，z，使 m， y， z，n 成等比数列．求证：( x＋ 1) 2≥ ( y＋ 1)(z＋1)．2x＝ m＋ n[ 证明 ]由已知可得y2＝ mz，z2＝ yn所以＝y2，＝z2，即＋＝y2＋z2，m z n y m n z yy2z2进而 2x＝z＋y．要证 ( x＋1) 2≥ ( y＋ 1)(z＋1)，只要证 x＋1≥＋＋建立．要证 x＋1≥＋＋建立，只要证 x＋1≥＋＋＋即可．2y2z2也就是证2x≥y＋z，而 2x＝z＋y，y2 z2则只要证z＋y≥ y＋ z 成立刻可．即 y3＋ z3≥yz( y＋ z)，只要证 y2－yz＋ z2≥ yz，即证( y－ z)2≥0建立，由于 ( y－z) 2≥ 0 显然建立，所以( x＋ 1) 2≥ ( y＋ 1)( z＋ 1) ．。
人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.2.1综合法与分析法(含答案)
选修2-2 第二章 2.2 2.2.11．(·江西理，3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24[答案] A[解析] 由等比中项公式(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0.∴x ＝－1(舍去) x ＝－3.∴数列为－3，－6，－12，－24.故选A.2．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是() A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c )2≥3C ．1a ＋1b ＋1c ≥23D ．abc (a ＋b ＋c )≤13[答案] B[解析] ∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3.3．已知a 、b 是不等正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1<a ＋b <43.[证明] ∵a 3－b 3＝a 2－b 2且a ≠b ，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2得(a ＋b )2>a ＋b ，又a ＋b >0，∴a ＋b >1，要证a ＋b <43，即证3(a ＋b )<4，∵a ＋b >0，∴只需证明3(a ＋b )2<4(a ＋b )，又a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2，即证：3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)，也就是证明(a －b )2>0.因为a 、b 是不等正数，故(a －b )2>0成立．故a ＋b <43成立．综上，得1<a ＋b <43.4．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2. 求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.[证明] 欲证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22， 只需证12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>sinx 1＋x 22cos x 1＋x 22， 即证12×sin (x 1＋x 2)cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)2cos 2⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 ＝sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2). 因为x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以x 1＋x 2∈(0，π)， 所以sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，cos x 1cos x 2>0，所以只需证1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.因为x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2， 所以cos(x 1－x 2)<1显然成立，所以原不等式成立．[点评] (1)本题主要考查了三角函数与不等式证明的综合应用，题目中的条件与结论之间的关系不明显，因此可以用分析法挖掘题目中的隐含条件，在证明过程中注意分析法的格式与步骤．对于与三角函数有关的证明题，在证明过程中注意角的取值范围及三角恒等变形公式的灵活应用．(2)本题的几何意义是见而易见的，如图A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)，AB 的中点，C x 1＋x 22，tan x 1＋tan x 22，D ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22，则有tan x 1＋tan x 22>tan x 1＋x 22，其中x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2.。
高中数学选修2-2课时作业27：2.2.1 综合法和分析法
2.2.1 综合法和分析法一、选择题1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定3．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a 2＋b 2＋c 2≥2B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C.1a ＋1b ＋1c≥23 D ．abc (a ＋b ＋c )≤134．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________________． 8．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是________________．三、解答题9．已知n∈N*，且n≥2，求证：1n>n－n－1.10．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，求证：aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.——★参考答案★——1.[答案]B[解析]由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．2.[答案]C[解析]取a ＝1得P ＝1＋8<4，Q ＝2＋5>4，∴P <Q ，故选C. 证明如下：要证P <Q ，只要证P 2<Q 2，只要证2a ＋7＋2a （a ＋7）<2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4），只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立． 3.[答案]B[解析]∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3. 4.[答案]C[解析]因为b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x ＜0，所以b <c .又因为(1＋x )2>2x >0，所以b ＝1＋x >2x ＝a ，所以a <b <c . 5.[答案]D[解析]∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y 2<y ，故排除A 、B 、C ，选D. 6.[答案]A[解析]a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b )．7.[答案]a >c >b [解析]b ＝47＋3，c ＝46＋2，显然b <c ， 而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a 2，所以a >c . 也可用a －c ＝22－6＝8－6>0显然成立，即a >c . 8.[答案]a ≠b 且a ≥0，b ≥0[解析]a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a ＋b b －a b －b a >0⇔a (a －b )＋b (b －a )>0⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0,只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 9.[证明]要证1n>n －n －1，即证1>n－n（n－1），只需证n（n－1）>n－1，∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，只需证n>n－1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．10.[证明]要证明aa＋m＋bb＋m＞cc＋m，只需证明aa＋m＋bb＋m－cc＋m＞0即可．∵aa＋m＋bb＋m－cc＋m＝a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)（a＋m）（b＋m）（c＋m），∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中任意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-2同步练习：2.2.1综合法与分析法
2.2.1综合法与分析法1、证明命题:“在上是增函数”,现给出的证法如下:因为()1x x f x e e=+()0,+∞,所以,()1x x f x e e =+()1'x x f x e e=-因为,所以,,所以,即,所以在0x >1x e >101x e <<10x x e e ->()0f x '>()f x 上是增函数,使用的证明方法是( )()0,+∞A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.以上都不是2、分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设,且,求证a b c >>0a b c ++=”最终索的因应是( )23b ac a -<A. 0a b ->B. 0a c -<C. ()()0a b a c -->D. ()()0a b a c --<3、在证明命题"对于任意角,"的过程"θ44cos sin cos 2θθθ-=44cos sin θθ+"中,应用了( )()()2222cos sin cos sin θθθθ=+-22cos sin θθ=-cos 2θ=A.分析法 B.综合法C.分析法和综合法综合使用D.间接证明法4、关于综合法和分析法的说法错误的是( )A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D.分析法又叫逆推证法或执果索因法5、下列说法不正确的是（ ）A. 综合法是由因导果的顺推证法B. 分析法是执果索因的逆推证法C. 分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的充分条件D. 综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用6、以下是解决数学问题的思维过程的流程图:在此流程图中,①②两条流程线与"推理与证明"中的思维方法匹配正确的是( )A.①-综合法,②-分析法B.①-分析法,②-综合法C.①-综合法,②-反证法D.①-分析法,②-反证法7、如图是《选修1-2》第二章“推理与证明”的知识结构图,不是证明方法的是( )A.类比B.综合法C.反证法D.分析法8、命题“对于任意角,”的证明:“θ442cos sin cos θθθ-=”过程应用了()()442222222cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθ-=-+=-=( )A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法9、用分析法证明:欲使①,只需②,这里①是②的( )A B >C D <A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10能用的最适合的方法是( ))2a <≥A.综合法 B.分析法 C.间接证明法 D.合情推理法11__________.+12,只需证__________.-<①;22<②;22<③;22+<④.(22<13:1->,,即证,1>1+>75111++>++,即证.因为成立,所以原不等式成立.3511>3511>3511>这位同学使用的证明方法是__________.14、要证明可选择的方法有以下几种,其中最合理的是2310+<__________.(填序号)①反证法 ②分析法③综合法.15、当0n ≥211n n n n ++<+答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：题中命题的证明方法是由所给的条件,利用所学的定理、定义、公式证得要证的结论,故此题的证明方法属于综合法,2答案及解析：答案：C解析：由,且可得a b c >>0a b c ++=,,b a c =--0a >0c <<只要证()223a c ac a ---<即证2220a ac a c -+->即证()()()0a a c a c a c -++⋅->即证()()0a a cb ac --->即证()()0a c ab -⋅->故求证”索的因应是23b ac a -<()()0a c ab -->故选.C3答案及解析：答案：B解析：因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.4答案及解析：答案：C解析：由综合法和分析法的定义及推理过程可知A,B,D 正确,C 错误.5答案及解析：答案：D解析：6答案及解析：答案：A解析：7答案及解析：答案：A解析：8答案及解析：答案：B解析：9答案及解析：答案：B解析：10答案及解析：答案：B解析：分析不等式,的大小,1,12a a a a +---12,1a a a a ++--+(2122112a a a a a ++-=-++-(212121a a a a a -=-+-11,1a a a a +--.......以上证明不等式所用的方法是最适合的方法,该方法是分析法故选B11答案及解析：+>+只需比较与的大小2(2只需比较与的大小13+13+与的大小=即只需比较42与40的大小∵4240>>12答案及解析：答案：③解析：根据不等式性质, 时,才有,0a b >>22a b >∴只需证2763<+只需证: .((222736<13答案及解析：答案：分析法解析：根据分析法的思维特点可判定出来.14答案及解析：答案：②,是含有无理式的不等式,如果利用反证法,其形式与原不等式<相同,所以反证法不合适;综合法不容易找出证明的突破口,所以最最合理的证明方法是分析法.故答案为:②.15答案及解析：答案：证明:<<只要证(22<即证2244n n ++<+1n <+只要证 22221n n n n +<++而上式显然成立所以<解析：。
高中数学选修2-2课时作业13：2.2.1 综合法和分析法
2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法一、选择题1．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( )A ．3f (ln2)>2f (ln3)B ．3f (ln2)<2f (ln3)C ．3f (ln2)＝2f (ln3)D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定2．要使3a －3b <3a －b 成立，a 、b 应满足的条件是( )A ．ab <0且a >bB ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b3．(2014～2015·哈六中期中)若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)4．(2014·广东梅县东山中学期中)在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m 、n 都有：(1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出下列三个结论： ①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26；其中正确的结论个数是( )个．( )A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题5．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________________.6．(2014～2015·唐山一中高二期末)观察下列等式：1－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……据此规律，第n 个等式可为________________．三、解答题7．求证：sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.8．已知a 、b 是不等正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1<a ＋b <43.——★ 参 考 答 案 ★——1.[[答案]] B[[解析]] 令F (x )＝f （ln x ）x (x >0)，则F ′(x )＝f ′（ln x ）－f （ln x ）x 2，∵x >0，∴ln x ∈R ， ∵对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )，∴f ′(ln x )>f (ln x )，∴F ′(x )>0，∴F (x )为增函数，∵3>2>0，∴F (3)>f (2)，即f （ln3）3>f （ln2）2，∴3f (ln2)<2f (ln3)． 2.[[答案]] D[[解析]] 3a －3b <3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b .∴3ab 2<3a 2b .∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a ；当ab <0时，有3b >3a ，即b >a .3.[[答案]] B[[解析]] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4x y ≥2＋2y 4x ·4x y＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y 4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y 4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.4.[[答案]] A[[解析]] ∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列，∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)构成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.5.[[答案]] －12[[解析]] 由题意sin α＋sin β＝－sin γ①cos α＋cos β＝－cos γ②①，②两边同时平方相加得2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝12cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－12.6.[[答案]] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [[解析]] 第一个等式右端是一个数，左端是2个数；第二个等式右端是2个数，左端是4个数；第三个等式右端是3个数，左端是6个数，2＝1×2,4＝2×2,6＝3×2，第n 个等式左端的分母从1到2n ，右端分母从n ＋1到2n ；左端奇数项为正，偶数项为负，右端全为正，分子都是1，故第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 7.[证明] 要证明原等式成立．即证明sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝sin β，又因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.所以原命题成立．8.[证明] ∵a 3－b 3＝a 2－b 2且a ≠b ，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2得(a ＋b )2>a ＋b ，又a ＋b >0，∴a ＋b >1，要证a ＋b <43，即证3(a ＋b )<4， ∵a ＋b >0，∴只需证明3(a ＋b )2<4(a ＋b )，又a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2，即证：3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)，也就是证明(a －b )2>0.因为a 、b 是不等正数，故(a －b )2>0成立．故a ＋b <43成立． 综上，得1<a ＋b <43.。
高中数学 2.2.1 综合法与分析法同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 2.2 第1课时综合法与分析法一、选择题1．证明命题“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝e x＋1e x ，∴f′(x)＝e x－1e x.∵x>0，∴e x>1,0<1e<1∴e x－1e x>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )A．综合法 B．分析法C．反证法D．以上都不是[答案] A[解析] 该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0[答案] C[解析] 要证b 2－ac <3a 只需证b 2－ac <3a 2只需证b 2－a (－b －a )<3a 2只需证2a 2－ab －b 2>0. 只需证(2a ＋b )(a －b )>0， 只需证(a －c )(a －b )>0. 故索的因应为C.3．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定[答案] B [解析] q ＝ab ＋mad n ＋nbcm＋cd≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A [解析] a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .5．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( ) A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B ．sin(α＋β)＞cos α＋cos β C ．cos(α＋β)＞sin α＋sin β D ．cos(α＋β)<cos α＋cos β [答案] D[解析] ∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π， ∴cos α＞cos(α＋β)又cos β＞0，∴cos α＋cos β＞cos(α＋β)．6．设a 、b 、c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0，且P 、Q 、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b ∈R ＋矛盾，故P 、Q 、R 都大于0. 7．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y[答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y2<y ，故排除A 、B 、C.8．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[答案] C[解析] ∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝⎛⎭⎪⎫a －122≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2.∴应选C.9．若x ，y ∈R ＋，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( ) A ．2 2 B. 2 C ．2D ．1[答案] B[解析] 原不等式可化为a ≥x ＋y x ＋y ＝(x ＋y )2x ＋y ＝1＋2xyx ＋y要使不等式恒成立，只需a 不小于1＋2xy x ＋y的最大值即可．∵1＋2xy x ＋y≤2，当x ＝y 时取等号，∴a ≥2，∴a 的最小值为 2.故应选B.10．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S (x )＝a x －a －x2，C (x )＝a x ＋a －x2，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )； ③C (x ＋y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )； ④C (x －y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )． A ．①③ B ．②④ C ．①④D ．①②③④[答案] D [解析] ∵S (x )＝a x －a －x2，C (x )＝a x ＋a －x2，∴S (x ＋y )＝a x ＋y －a －x －y2，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＋a x ＋a －x 2·a y －a －y2＝a x ＋y ＋a x －y －a y －x －a －x －y ＋a x ＋y －a －x －y ＋a y －x －a －x －y4＝2(ax ＋y－a －x －y)4＝a x ＋y－a －x －y2.∴S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y ) 同理：S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )C (x ＋y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )C (x －y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )．应选D.二、填空题11．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是________． [答案] a ≥0，b ≥0且a ≠b [解析] ∵a a ＋b b ＞a b ＋b a⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b .12．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．[答案] ≤[解析] ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0 ∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．13．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________．[答案] 12≤a ≤32[解析] |x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32a －1，a ＋1)则有⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤12a ＋1≥32，(且等号不同时成立)解得12≤a ≤32.14．给出下列不等式：①a >b >0，且a 2＋b 24＝1，则ab >a 2b 2；②a ，b ∈R ，且ab <0，则a 2＋b 2ab≤－2；③a >b >0，m >0，则a ＋mb ＋m >ab； ④⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4(x ≠0)． 其中正确不等式的序号为________． [答案] ①②④[解析] ①a >b >0，∴a ≠b2∴a 2＋b 24＝1>2a 2·b 24＝ab∴1－ab >0，∴ab －a 2b 2＝ab (1－ab )>0，∴ab >a 2b 2正确．②a 2＋b 2ab ＋2＝(a ＋b )2ab∵ab <0，(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2ab≤－2，②正确；③a ＋mb ＋m －a b ＝(b －a )mb (b ＋m )∵a >b >0，m >0，∴b (b ＋m )>0，b －a <0，∴(b －a )mb (b ＋m )<0，∴a ＋mb ＋m <ab，③不正确． ④⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋4|x |≥4，④正确． 三、解答题15．设a >0，b >0，a ＋b ＝1. 求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. [证明] (1)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，∴1ab ≥4.∴1a ＋1b ＋1ab＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab≥2ab ·21ab＋4＝8，∴1a ＋1b ＋1ab≥8.(2)∵a ＋b2≤a 2＋b 22，则a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a＋b ＋1b 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋1b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫1＋21ab 22≥252. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. 16．已知a >b >0，求证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b .[证明] 欲证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b 成立．只需证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b⇐⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2a 2<(a －b )2<⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2⇐a －b 2a <a －b <a －b 2b ⇐a ＋b 2a <1<a ＋b2b⇐1＋b a <2<1＋a b ⇐b a <1<a b ⇐b a <1<ab. ∵a >b >0，∴ba<1<a b成立．从而，有(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b .17．已知a 、b 、c 表示△ABC 的三边长，m ＞0， 求证：aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m. [证明] 要证明a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －cc ＋m＞0即可∴aa ＋m ＋bb ＋m －cc ＋m＝a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0 ∴(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0∵a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2∵△ABC 中任意两边之和大于第三边 ∴a ＋b －c ＞0，∴(a ＋b －c )m 2＞0 ∴2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0 ∴aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.18．若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .[证明] 要证lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )，即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc .因为a ，b ，c 为不全相等的正数， 所以a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ac >0，且上述三式中等号不能同时成立． 所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，所以lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立．。
高中数学2.2.1综合法与分析法课时作业(含解析)新人教A版选修2_2
课时作业18 综合法与分析法知识点一综合法和分析法的概念1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个答案 C解析由综合法与分析法的定义可知①②③⑤正确．2．要证明a＋a＋7＜a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A．综合法 B．类比法C．分析法 D．归纳法答案 C解析用综合法直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．3．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x －x ln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．答案综合法解析证明过程利用已知条件，通过导数与函数的单调性之间的关系，推导出“f(x)在区间(0,1)上是增函数”的结论，故应用的证明方法是综合法.知识点二综合法和分析法的应用4.已知a＞0，b＞0，求证：ab＋ba≥a＋b.(要求用两种方法证明)证明综合法：因为a＞0，b＞0，所以ab＋ba－a－b＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa＝(a－b)·⎝⎛⎭⎪⎫1b－1a＝a－b2a＋bab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.分析法：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与a－b符号相同，不等式(a－b)(a－b)≥0成立，所以原不等式成立．5．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219＜2. 证明 因为1log b a＝log a b ， 所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360＜log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219＜2. 6．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 要证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9， 只需证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11－a ≥9， 只需证明(a ＋1)(2－a )≥9a (1－a )，即证(2a －1)2≥0，∵(2a －1)2≥0成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.一、选择题1．用分析法证明不等式：欲证①A ＞B ，只需证②C ＜D ，这里①是②的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分条件D ．必要条件答案 D解析 因为②⇒①，但①不一定推出②，故选D.2．A 、B 为△ABC 的内角，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A ＞0，sin B ＞0，∴sin A ＞sin B ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B .3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B.a 2＋b 22＜ab ＜1 C.a 2＋b 22＜ab ＜1 D ．ab ＜1＜a 2＋b 22答案 D解析 取a ＝12，b ＝32，则a ＋b ＝2，这时a 2＋b 22＝14＋942＝54＞1. ab ＝12×32＝34＜1.∴ab ＜1＜a 2＋b 22.4．设sin α是sin θ，cos θ的等差中项，sin β是sin θ，cos θ的等比中项，则cos4β－4cos4α的值为( )A ．－1 B.12 C. 3 D ．3 答案 D解析 由已知条件，得sin α＝sin θ＋cos θ2，sin 2β＝sin θcos θ. 消去θ，得4sin 2α＝1＋2sin 2β，由二倍角公式，得cos2β＝2cos2α.又cos4β－4cos4α＝cos(2×2β)－4cos(2×2α)＝2cos 22β－1－4(2cos 22α－1)＝2cos 22β－8cos 22α＋3＝2(2cos2α)2－8cos 22α＋3＝3，故选D.5．已知a 、b 、c 、d 为正实数，且a b <c d ，则( )A.a b <a ＋c b ＋d <c dB.a ＋c b ＋d <a b <c dC.a b <c d <a ＋c b ＋dD ．以上均可能 答案 A 解析 先取特值检验，∵a b <c d ，可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋c b ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <c d. ∴B 、C 不正确． 要证a b <a ＋c b ＋d，∵a 、b 、c 、d 为正实数， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <c d 成立，∴a b <a ＋c b ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d. 故A 正确，D 不正确．二、填空题6．凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案 332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)，∴f A ＋f B ＋f C3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.7．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b ＞a b ＋b a .8．已知函数y ＝x ＋2ax 在[3，＋∞]上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92解析 若y ＝x ＋2ax 在[3，＋∞)上是增函数，则y ′＝1－2ax 2在[3，＋∞)上大于等于0恒成立，只需x ∈[3，＋∞)时2ax 2≤1恒成立，即2a ≤x 2，只需2a ≤(x 2)min ＝9，所以a ≤92.三、解答题9．证明函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数．证明 ∵x 2＋1＞|x |，∴x 2＋1＋x ＞0恒成立，∴f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )的定义域为R ，∴要证函数y ＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数，只需证f (－x )＝－f (x )，只需证log 2(x 2＋1－x )＋log 2(x 2＋1＋x )＝0，只需证log 2[(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )]＝0，∵(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )＝x 2＋1－x 2＝1，而log 21＝0，∴上式成立，故函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数．10．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过点P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )≤2x －2.解 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋b x .由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝0，f ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝3.(2)证明：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －x ＋x ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x ＞0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.。
2019-2020年高中数学 2.2.1综合法与分析法练习 新人教A版选修1-2
2019-2020年高中数学 2.2.1综合法与分析法练习新人教A版选修1-21．结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法．2．了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会用综合法和分析法证明具体的问题．通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性．基础梳理1．综合法．(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．其一般表示形式是由因导果．(2)用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q2．分析法．(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法. 其一般表示形式是执果索因．(2)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3．分析综合法．(1)定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，就可以证明结论成立．这种证明方法称为分析综合法．(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则分析综合法可用框图表示为：P⇒P1→P1⇒P2→…→P n⇒P′⇓Q m⇐Q′←…←Q1⇐Q2←Q⇐Q1基础自测1．设x，y∈R＋，且x＋y＝6，则lg x＋lg y的取值范围是(B) A．(－∞，lg 6]B．(－∞，2lg 3]C．[lg 6，＋∞) D．[2lg 3，＋∞)解析：∵x，y∈R＋，x＋y＝6，∴2xy≤6，即0＜xy≤9，∴lg xy≤lg 9，即lg x＋lg y ≤2lg 3.故选B.2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac ＜3a”索的因应是(C)A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐3a2＋ac－(a＋c)2＞0⇐(2a＋c)(a－c)＞0⇐(a－b)(a －c)＞0.故选C.3．已知f(x)＝x2，则f′(3)的值为__________________．解析：∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝2×3＝6.答案：64．当a∈________时，函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数．解析：f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数⇐a－1≤5⇐a≤6.答案：(－∞，6]（一）综合法证题的基本步骤(1)分析题目的条件和结论，寻找已知与结论之间的有关数学公式、公理、定理、定义等，确定解决的初步思路；(2)整合所得信息进行推理论证，得出结论．（二）分析法证题的步骤以及格式欲证Q成立，只需证P1，即证P2，只需证P3，…，即证P，因为P成立，所以Q成立或运用逆向推理符号“⇐”，需要注意的是推理符号的方向，不可用反、用错．（三）分析综合法的综合应用在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：用分析法找思路，用综合法写步骤．分析法与综合法相互转换、相互渗透、互为前提，充分利用这一辩证关系，注意它们的联合运用，可以增加解题思路，开阔视野．1．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合起来使用，即先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．2．用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件，不是必要条件，因此各步的寻求用“⇐”，有些步骤也可用“⇔”，但不能用“⇒”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“⇔”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说每步都可逆，或全部都用“⇔”表达．3．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．这些方法是综合法和分析法的延续与补充．1．“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ ”的证明过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”应用了(B )A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.2．要证明3＋5＜4，可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(B ) A ．综合法 B ．分析法C ．比较法D ．归纳法解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215<16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.3．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b 2，则m 与n 的大小关系为________． 解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b ＋2ab 4＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 所以a ＋b 2＞a ＋b 2.又因为y ＝lg x 为增函数，所以有m ＞n . 答案：m ＞n4．如图，长方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝1，AD ＝2，E 是BC 的中点．(1)求证：直线BB 1∥平面D 1DE ；(2)求证：平面A 1AE ⊥平面D 1DE ；(1)证明：在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1∥DD 1，又∵BB 1⊄平面D 1DE ，DD 1⊂平面D 1DE ，∴直线BB 1∥平面D 1DE .(2)证明：在长方形ABCD 中，∵AB ＝AA 1＝1，AD ＝2，∴AE ＝DE ＝ 2.∴AE 2＋DE 2＝4＝AD 2，故AE ⊥DE .∵在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ACBD ，∴DD 1⊥AE .又∵DD 1∩DE ＝D ，∴直线AE ⊥平面D 1DE .而AE ⊂平面A 1AE ，所以平面A 1AE ⊥平面D 1DE .1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝(D )A ．8B ．7C ．6D ．52．在三角形中，a 为最大边，要想得到三角形为锐角三角形的结论，三边a ，b ，c 应满足说明条件(A )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：若三角形为锐角三角形，即∠A 为锐角，由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，∴b 2＋c 2－a 2＞0.3．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是{a n }的前n 项和，则(B)A ．S 4＜S 5B ．S 4＝S 5C ．S 6＞S 5D ．S 6＝S 5 解析：∵a 2＋a 8＝－6＋6＝0，∴a 5＝0，又公差d >0，∴S 5＝S 4.4．要使 3a －3b ＜3a －b 成立，则a ，b 应满足的条件是(D)A ．ab ＜0且a ＞bB ．ab ＞0且a ＞bC ．ab ＜0且a ＜bD ．ab ＜0且a ＜b 或ab >0且a >b解析：思路不明确，用分析法寻求使不等式成立的条件．3a －3b ＜3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b ＜a －b ⇔3ab 2＜3a 2b ，∴当ab ＞0时，有3b ＜3a ，即b ＜a ；当ab ＜0时，由3b ＞3a ，即b ＞a .所以选D.5．已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题： ①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确命题的个数是(B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①因为a ∥b ，b ∥α⇒a ∥α或a ⊂α，所以①不正确．②因为a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，当a 与b 相交时，才能α∥β，所以②不正确．③α∥β，过a 作一平面γ，设γ∩β＝c ，则c ∥a ，又a ⊥α⇒c ⊥α⇒α⊥β，所以③正确．④a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ，所以④正确．综上知③，④正确．6．a ＞0，b ＞0，则下列不等式中不成立的是(D )A ．A ＋B ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab≥a ＋b D.2ab a ＋b ≥ab 解析：特殊法，取a ＝1，b ＝4，则D 不成立．7．函数f (x )＝In 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________． 解析：因为f (－x )＝In 1＋x 1－x ＝In ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝In 1－x 1＋x ＝－f (x )，所以f (－a )＝－f (a )＝－b . 答案：－b8．设a ＝3＋7，b ＝2＋6，则a 、b 的大小关系为________．解析：由12＋3＞16＋7，化简得2－3＞7－ 6. 从而2＋6＞3＋7，即a ＜b答案：a ＜b9．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p 与q 的大小关系为________．解析：p 2＝ab ＋cd ＋2abcd ，q 2＝(ma ＋nc )⎝⎛⎭⎫b m ＋d n ＝ab ＋nbc m ＋mad n＋cd ≥ab ＋cd ＋2abcd∴q 2≥p 2，∴p ≤q .答案：p ≤q10．当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：x 2＋mx ＋4＜0⇔m ＜－x －4x， ∵y ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1，2)上单调递增， ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ∈(－5，－4)． ∴m ≤5.答案：(－∞，－5]11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c 2. 代入上式得（a ＋c ）24＝a 2＋c 2－ac ， 整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3， 从而△ABC 为等边三角形．12．如下图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .证明：(1)由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知，EF ∥BC ，∵EF ⊄平面ABC 而BC ⊂平面ABC .∴EF ∥平面ABC .(2)由三棱锥ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱知，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1， ∴A 1D ⊥CC 1，又A 1D ⊥B 1C .CC 1∩B 1C ＝C ，又CC 1，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ，∴A 1D ⊥平面BB 1C 1C .又A 1D ⊂平面A 1FD ，∴平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .►品味高考1．(xx·安徽高考)设a ＝log 3 7，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则(B )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析：∵a ＝log 3 7，∴1＜a ＜2.∵b ＝21.1，∴b ＞2.∵c ＝0.83.1，∴0＜c ＜1.故c ＜a ＜b ，选B.2．(xx·天津高考)设a ＝log 2 π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则(C )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a解析：因为π＞2，所以a ＝log 2 π＞1.因为π＞1，所以b ＝log 12π＜0.因为π＞1，所以0＜π－2＜1，即0＜c ＜1.所以a ＞c ＞b .3．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)∵平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，∴P A⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴ABDE为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE⊄平面P AD.∴BE∥平面P AD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD.∴P A⊥CD.又AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF.∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面PCD.。
高中数学 2.2.1《综合法与分析法》练习 新人教B版选修2-2
综合法与分析法[基础训练A 组]一、选择题1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．272．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2- 3．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2； ③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6． 若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++=（ ）A ．123B ．105C ．89D ．587．函数x y 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81B ．81-C ．161D ．161- 二、填空题 1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。
2．已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
3．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。
4．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________≈=m5．若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =。
2018-2019学年高中数学 2.2.1综合法与分析法练习 新人教A版选修2-2
【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.2.1综合法与分析法练习新人教A 版选修2-2一、选择题1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定[答案] B[解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．2．(2015·长春外国语学校高二期中)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定[答案] C[解析] 取a ＝1得P ＝1＋8<4，Q ＝2＋5>4， ∴P <Q ，故选C.证明如下：要证P <Q ，只要证P 2<Q 2， 只要证2a ＋7＋2aa ＋<2a ＋7＋2a ＋a ＋，只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 只要证0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．3．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C.1a ＋1b ＋1c≥2 3D ．abc (a ＋b ＋c )≤13[答案] B[解析] ∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3.4．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( ) A ．a B ．b C ．c D ．不能确定[答案] C[解析] 因为b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x21－x＜0，所以b <c .又因为(1＋x )2>2x >0，所以b ＝1＋x >2x ＝a ，所以a <b <c .[点评] 可用特值法：取x ＝12，则a ＝1，b ＝32，c ＝2.5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y[答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y2<y ，故排除A 、B 、C ，选D.6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A [解析] a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f (a ＋b2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)． 二、填空题7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________________． [答案] a >c >b[解析] b ＝47＋3，c ＝46＋2，显然b <c ，而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a 2， 所以a >c .也可用a －c ＝22－6＝8－6>0显然成立，即a >c .8．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是________________． [答案] a ≠b 且a ≥0，b ≥0[解析] a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a ＋b b －a b －b a >0⇔a (a －b )＋b (b －a )>0⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 三、解答题9．已知n ∈N *，且n ≥2，求证：1n>n －n －1.[证明] 要证1n>n －n －1，即证1>n －n n －，只需证nn －>n －1，∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2， 只需证n >n －1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立． 10．已知a 、b 、c 表示△ABC 的三边长，m ＞0， 求证：aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m. [证明] 要证明a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m，只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －cc ＋m＞0即可．∵aa ＋m ＋bb ＋m －cc ＋m＝a b ＋mc ＋m ＋b a ＋m c ＋m －c a ＋mb ＋ma ＋mb ＋mc ＋m，∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0， ∴(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0，∵a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2， ∵△ABC 中任意两边之和大于第三边， ∴a ＋b －c ＞0，∴(a ＋b －c )m 2＞0， ∴2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0， ∴aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.一、选择题11．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( ) A ．3f (ln2)>2f (ln3) B ．3f (ln2)<2f (ln3) C ．3f (ln2)＝2f (ln3)D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定 [答案] B [解析] 令F (x )＝fxx(x >0)，则F ′(x )＝fx －f xx 2，∵x >0，∴ln x∈R ，∵对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )，∴f ′(ln x )>f (ln x )，∴F ′(x )>0，∴F (x )为增函数，∵3>2>0，∴F (3)>f (2)，即f3>f2，∴3f (ln2)<2f (ln3)．12．要使3a －3b <3a －b 成立，a 、b 应满足的条件是( ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b [答案] D [解析]3a －3b <3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b .∴3ab 2<3a 2b .∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a ； 当ab <0时，有3b >3a ，即b >a .13．(2014～2015·哈六中期中)若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m 、n 都有：(1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出下列三个结论：①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26； 其中正确的结论个数是( )个． ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] A[解析] ∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列，∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)构成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.二、填空题15．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0， 则cos(α－β)＝________________. [答案] －12[解析] 由题意sin α＋sin β＝－sin γ① cos α＋cos β＝－cos γ② ①，②两边同时平方相加得 2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1 2cos(α－β)＝－1， cos(α－β)＝－12.16．(2014～2015·唐山一中高二期末)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……据此规律，第n 个等式可为________________．[答案] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[解析] 第一个等式右端是一个数，左端是2个数；第二个等式右端是2个数，左端是4个数；第三个等式右端是3个数，左端是6个数，2＝1×2,4＝2×2,6＝3×2，第n 个等式左端的分母从1到2n ，右端分母从n ＋1到2n ；左端奇数项为正，偶数项为负，右端全为正，分子都是1，故第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.三、解答题 17．求证：α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.[证明] 要证明原等式成立．即证明sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝sin β， 又因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β. 所以原命题成立．18．已知a 、b 是不等正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1<a ＋b <43.[证明] ∵a 3－b 3＝a 2－b 2且a ≠b ， ∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2得 (a ＋b )2>a ＋b ，又a ＋b >0，∴a ＋b >1， 要证a ＋b <43，即证3(a ＋b )<4，∵a ＋b >0，∴只需证明3(a ＋b )2<4(a ＋b )， 又a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2，即证：3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)， 也就是证明(a －b )2>0.因为a 、b 是不等正数，故(a －b )2>0成立． 故a ＋b <43成立．综上，得1<a ＋b <43.。
人教版高中数学选修2-22.2.1综合法和分析法课后习题
综合法和剖析法课时操练·促提高A组1.要证明<2,最合理的方法是()A .综合法B .剖析法C.综合剖析法 D .以上都不用答案 :B2.在△ABC中,若sin Asin B< cos Acos B,则△ABC必定是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形分析 :由 sin Asin B< cos Acos B 得 cos Acos B-sin Asin B> 0,即 cos(A+B )> 0,-cos C> 0,cos C< 0,进而角 C 必为钝角 ,△ ABC 必定为钝角三角形.答案 :C3.使不等式> 1+建立的正整数 a 的最大值是A .13 B.12 C.11(D.10)分析 :由-1 得 a< (-1)2.而 (-1)2 = 3+ 8+1+ 2-2-2 = 12+ 4-2-4≈12.68.所以使不等式建立的正整数 a 的最大值为12.答案 :B4.已知直线l,m,平面α,β,且 l⊥ α,m? β,给出以下四个命题:①若α∥ β,则 l⊥ m;②若 l⊥ m,则α∥ β;③若α⊥ β,则 l ⊥m;④若 l∥ m,则α⊥ β.此中正确的命题的个数是 ()A .2B .3 C.4 D .5分析 :若 l ⊥α,m? β,α∥ β,则 l ⊥ β,所以 l ⊥ m,①正确 ;若 l⊥ α,m? β,l⊥ m,α与β可能订交 ,②不正确 ;若 l⊥ α,m? β,α⊥ β,l 与 m 可能平行、订交或异面,③不正确 ;若 l⊥ α,m? β,l∥ m,则 m⊥ α,所以α⊥ β,④正确 .答案 :A5.已知a> 0,b> 0,m= lg,n= lg,则m与n的大小关系为()A .m>nB .m=nC.m<n D .不可以确立分析 :由 a> 0,b> 0,得 > 0,所以 a+b+ 2>a+b ,所以 ()2> ()2,所以 ,所以 lg> lg,即 m> n,应选 A .答案 :A6.平面内有四边形ABCD 和点 O,,则四边形 ABCD 为.分析 :由于 ,所以 ,所以 ,故四边形 ABCD 为平行四边形 .答案 :平行四边形7.若lg x+ lg y= 2lg(x-2y),则lo=.分析 :由条件知 lg xy= lg( x-2y)2,所以 xy= (x-2y)2,即 x2-5xy+ 4y2= 0,即 -5+ 4= 0,所以 =4或=1.又 x>2y,故 = 4,所以 lo= lo4= 4.答案 :48.△ABC的三个内角A,B,C 成等差数列 ,求证 :.证明 :要证 ,只要证 = 3.即证 =1,即 c(b+c )+a (a+b )= (a+b )(b+c ),只要证 c2+a 2=ac+b 2 .∵△ ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列 ,∴B= 60°.由余弦定理 ,有 b2=c 2 +a 2- 2cacos 60 ,°即 b2=c 2+ a2 -ac,∴c2+a 2=ac+b 2.命题得证 .9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF 所在的平面相互垂直,EF ∥ AC,AB= ,CE=EF= 1.(1)求证 :AF ∥平面 BDE ;(2)求证 :CF ⊥平面 BDE.证明 :(1)设 AC,BD 的交点为G,连结 EG,由于 AB= ,且四边形ABCD 为正方形 ,所以 AC= 2,AG=AC= 1.又 EF∥ AG,且 EF= 1,所以 AG EF.所以四边形AGEF 为平行四边形.所以 AF ∥ EG.由于 EG ? 平面 BDE ,AF? 平面 BDE,所以 AF ∥平面 BDE.(2)连结 FG.由于 EF ∥ CG,EF=CG= 1,且 CE= 1,所以四边形CEFG 为菱形 ,所以 CF ⊥ EG.由于四边形ABCD 为正方形 ,所以 BD ⊥AC.又平面 ACEF ⊥平面 ABCD ,且平面 ACEF ∩平面 ABCD=AC ,所以 BD ⊥平面 ACEF ,所以 CF ⊥BD.又 BD ∩EG=G ,所以 CF ⊥平面 BDE.B 组1.A,B为△ABC的内角,A>B是sin A> sin B的()A .充足不必需条件B .必需不充足条件C.充要条件 D .既不充足也不用要条件分析 :若 A>B ,则 a>b ,又 ,所以 sin A> sin B.若 sin A> sin B,则由正弦定理得a>b ,所以 A>B.答案 :C2.设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数,若 f(1) > 1,f(2)= ,则 a 的取值范围是 ()A .a<B .a< ,且a≠-1C.a> 或 a<- 1分析 :∵f(x)以D .-1<a< 3为周期,∴f(2)=f ( -1).又 f(x) 是R上的奇函数 ,∴f(- 1)=-f (1),则 f(2) =f (-1)=-f (1) .再由 f(1)> 1,可得 f(2) <- 1,即 <- 1,解得 -1<a<.答案 :D3.已知a,b,c,d为正实数,且,则()A .B .C. D .以上均可能分析 :先取特值查验,∵,可取 a= 1,b= 3,c= 1,d= 2,则,知足 .∴B,C 不正确 .要证 ,∵a,b,c,d 为正实数 ,∴只要证 a(b+d )<b ( a+c),即证只要证 .而建立 ,ad<bc.∴.同理可证 .故 A正确,D不正确.答案 :A4.若不等式(-1)n a<分析 :当 n 为偶数时2+ 对随意正整数,a< 2-,而 2-≥2-,n 恒建立,则实数 a 的取值范围是.故 a<.当 n 为奇数时 ,a>- 2-,而 -2-<- 2,故 a≥- 2.综上可得 -2≤a<.答案 :5.在锐角△A BC中,已知3b= 2asin B,且cos B= cos C,求证:△ABC是等边三角形.证明 :∵△ ABC 为锐角三角形,∴A,B,C∈ ,由正弦定理及条件 ,可得3sin B= 2sin Asin B.∵B∈ ,∴s in B≠0.∴3= 2sin A.∴sin A=.∵A∈ ,∴A=.又 cos B= cos C,且 B,C∈ ,∴B=C.又 B+C= ,∴ A=B=C=.进而△ABC 是等边三角形 .6.已知a> 0,求证:≥a+- 2.明 :要≥a+- 2,只要 + 2≥a+.因 a> 0,只要 .即 a2++ 4+ 4≥a2+ 2++ 2+2,进而只要2,故只要 4≥2,即 a2+ ≥ 2,而上述不等式然建立,故原不等式建立.7.数列{ a n}的前n和S n,已知a1= 1,=a n+1-n2-n-,n∈ N*.(1)求 a2的 ;(2)求数列 { a n} 的通公式 ;(3)明 :全部正整数 n,有 + ⋯ +.(1)解 :当 n= 1 ,= 2a1=a 2-- 1-= 2,解得 a2= 4.(2)解 :2S n=na n+1-n3-n 2-n.①当 n≥2 ,2S n-1 =( n-1)a n-(n- 1)3-(n- 1)2-(n-1) .②①-②,得 2a n=na n+ 1 -(n-1)a n-n2-n.整理得 na n+ 1 = (n+ 1)a n+n (n+ 1),即+1,= 1,当 n= 1 ,= 2-1= 1.所以数列是以 1 首 ,1 公差的等差数列.2所以 =n ,即 a n=n .所以数列 { a n} 的通公式a n=n 2,n∈N* .(3) 明 :因 (n≥ 2),所以 + ⋯ ++ ⋯ +< 1++ ⋯+= 1+.。
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2019人教版精品教学资料·高中选修数学2．2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法和分析法1．结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法．2．了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会用综合法和分析法证明具体的问题．通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性．基础梳理1．综合法．(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．其一般表示形式是由因导果．(2)用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q2．分析法．(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法. 其一般表示形式是执果索因．(2)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3．分析综合法．(1)定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，就可以证明结论成立．这种证明方法称为分析综合法．(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则分析综合法可用框图表示为：P⇒P1→P1⇒P2→…→P n⇒P′⇓Q m⇐Q′←…←Q1⇐Q2←Q⇐Q1基础自测1．设x，y∈R＋，且x＋y＝6，则lg x＋lg y的取值范围是(B)A．(－∞，lg 6] B．(－∞，2lg 3]C．[lg 6，＋∞) D．[2lg 3，＋∞)解析：∵x，y∈R＋，x＋y＝6，∴2xy≤6，即0＜xy≤9，∴lg xy≤lg 9，即lg x＋lg y≤2lg 3.故选B.2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a”索的因应是(C)A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐3a2＋ac－(a＋c)2＞0⇐(2a＋c)(a－c)＞0⇐(a－b)(a－c)＞0.故选C.3．已知f(x)＝x2，则f′(3)的值为__________________．解析：∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝2×3＝6.答案：64．当a∈________时，函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数．解析：f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数⇐a－1≤5⇐a≤6.答案：(－∞，6]（一）综合法证题的基本步骤(1)分析题目的条件和结论，寻找已知与结论之间的有关数学公式、公理、定理、定义等，确定解决的初步思路；(2)整合所得信息进行推理论证，得出结论．（二）分析法证题的步骤以及格式欲证Q成立，只需证P1，即证P2，只需证P3，…，即证P，因为P成立，所以Q成立或运用逆向推理符号“⇐”，需要注意的是推理符号的方向，不可用反、用错．（三）分析综合法的综合应用在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：用分析法找思路，用综合法写步骤．分析法与综合法相互转换、相互渗透、互为前提，充分利用这一辩证关系，注意它们的联合运用，可以增加解题思路，开阔视野．1．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合起来使用，即先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．2．用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件，不是必要条件，因此各步的寻求用“⇐”，有些步骤也可用“⇔”，但不能用“⇒”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“⇔”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说每步都可逆，或全部都用“⇔”表达．3．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．这些方法是综合法和分析法的延续与补充．1．“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ ”的证明过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”应用了(B )A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.2．要证明3＋5＜4，可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(B ) A ．综合法 B ．分析法 C ．比较法 D ．归纳法解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215<16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.3．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b ＋2ab 4＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b 2＞a ＋b2.又因为y ＝lg x 为增函数，所以有m ＞n .答案：m ＞n4．如图，长方形ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝1， AD ＝2，E 是BC 的中点．(1)求证：直线BB 1∥平面D 1DE ； (2)求证：平面A 1AE ⊥平面D 1DE ；(1)证明：在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BB 1∥DD 1， 又∵BB 1⊄平面D 1DE ， DD 1⊂平面D 1DE ，∴直线BB 1∥平面D 1DE .(2)证明：在长方形ABCD 中， ∵AB ＝AA 1＝1， AD ＝2，∴AE ＝DE ＝ 2.∴AE 2＋DE 2＝4＝AD 2， 故AE ⊥DE .∵在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ACBD ， ∴DD 1⊥AE .又∵DD 1∩DE ＝D ， ∴直线AE ⊥平面D 1DE . 而AE ⊂平面A 1AE ，所以平面A 1AE ⊥平面D 1DE .1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝(D ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．52．在三角形中，a 为最大边，要想得到三角形为锐角三角形的结论，三边a ，b ，c 应满足说明条件(A )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：若三角形为锐角三角形，即∠A 为锐角，由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，∴b 2＋c 2－a 2＞0.3．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是{a n }的前n 项和，则(B) A ．S 4＜S 5 B ．S 4＝S 5 C ．S 6＞S 5 D ．S 6＝S 5解析：∵a 2＋a 8＝－6＋6＝0，∴a 5＝0，又公差d >0，∴S 5＝S 4.4．要使 3a －3b ＜3a －b 成立，则a ，b 应满足的条件是(D) A ．ab ＜0且a ＞b B ．ab ＞0且a ＞b C ．ab ＜0且a ＜bD ．ab ＜0且a ＜b 或ab >0且a >b解析：思路不明确，用分析法寻求使不等式成立的条件． 3a －3b ＜3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b ＜a －b ⇔3ab 2＜3a 2b ，∴当ab ＞0时，有3b ＜3a ，即b ＜a ；当ab ＜0时，由3b ＞3a ，即b ＞a . 所以选D.5．已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题： ①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确命题的个数是(B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①因为a ∥b ，b ∥α⇒a ∥α或a ⊂α，所以①不正确．②因为a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，当a 与b 相交时，才能α∥β，所以②不正确． ③α∥β，过a 作一平面γ，设γ∩β＝c ，则c ∥a ，又a ⊥α⇒c ⊥α⇒α⊥β，所以③正确．④a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ，所以④正确． 综上知③，④正确．6．a ＞0，b ＞0，则下列不等式中不成立的是(D )A ．A ＋B ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C.a 2＋b 2ab≥a ＋b D.2aba ＋b ≥ab解析：特殊法，取a ＝1，b ＝4，则D 不成立．7．函数f (x )＝In 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________．解析：因为f (－x )＝In 1＋x 1－x ＝In ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝In 1－x 1＋x ＝－f (x )，所以f (－a )＝－f (a )＝－b .答案：－b8．设a ＝3＋7，b ＝2＋6，则a 、b 的大小关系为________．解析：由12＋3＞16＋7，化简得2－3＞7－ 6.从而2＋6＞3＋7，即a ＜b答案：a ＜b9．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p 与q 的大小关系为________．解析：p 2＝ab ＋cd ＋2abcd ，q 2＝(ma ＋nc )⎝ ⎛⎭⎪⎫b m ＋d n＝ab ＋nbc m ＋madn＋cd ≥ab ＋cd ＋2abcd ∴q 2≥p 2，∴p ≤q . 答案：p ≤q10．当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：x 2＋mx ＋4＜0⇔m ＜－x －4x，∵y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(1，2)上单调递增，∴－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ∈(－5，－4)．∴m ≤5.答案：(－∞，－5]11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c2.代入上式得（a ＋c ）24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．12．如下图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .证明：(1)由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知，EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面ABC 而BC ⊂平面ABC . ∴EF ∥平面ABC .(2)由三棱锥ABC A 1B 1C 1为直三棱柱知，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1， ∴A 1D ⊥CC 1，又A 1D ⊥B 1C .CC 1∩B 1C ＝C ，又CC 1，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1D ⊥平面BB 1C 1C .又A 1D ⊂平面A 1FD ， ∴平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .►品味高考1．(2014·安徽高考)设a＝log3 7，b＝21.1，c＝0.83.1，则(B)A．b＜a＜c B．c＜a＜bC．c＜b＜a D．a＜c＜b解析：∵a＝log3 7，∴1＜a＜2.∵b＝21.1，∴b＞2.∵c＝0.83.1，∴0＜c＜1.故c＜a＜b，选B.π，c＝π－2，则(C)2．(2014·天津高考)设a＝log2π，b＝log12A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞b＞aπ＜0.因为π＞1，解析：因为π＞2，所以a＝log2π＞1.因为π＞1，所以b＝log12所以0＜π－2＜1，即0＜c＜1.所以a＞c＞b.3．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA ⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴ABDE为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD.∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.∴PA⊥CD.又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF.∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面PCD.。