《12任意三角函数》一课一练2

1.2 任意的三角函数
一、选择题
1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( )
A ．在x 轴上
B ．在y 轴上
C ．在直线y ＝x 上
D ．在直线y ＝－x 上
2．如果4π＜θ＜2
π，那么下列各式中正确的是( ) A ．cos θ＜tan θ＜sin θ
B ．sin θ＜cos θ＜tan θ
C ．tan θ＜sin θ＜cos θ
D ．cos θ＜sin θ＜tan θ
3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．若sin αtan α＞0，则α的终边在( )
A ．第一象限
B ．第四象限
C ．第二或第三象限
D ．第一或第四象限
5．若角α的终边与直线y =3x 重合且sin α＜0，又P （m ，n ）是角α终边上一点，且|OP |=10，则m －n 等于( )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
二、填空题
6．若0≤θ＜2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是_________．
7．在（0，2π）内使sin x ＞|cos x |的x 的取值范围是_________．
三、解答题
8．比较下列各组数的大小：
（1）sin 1和sin
3π； （2）cos 7π4和cos 7
π5；
（3）tan
8π9和tan 7π9； （4）sin
5π和tan 5
π．
9．已知α是第三象限角，试判断sin （cos α）·cos （sin α）的符号．
10．求下列函数的定义域：
（1）y =)lg(cos x ；
（2）y =lgsin2x +29x ．
11． 当α∈（0，
2π）时，求证：sin α＜α＜tan α．
12． 已知θ为正锐角，求证：
（1）sin θ＋cos θ＜2
π； （2）sin 3θ+cos 3θ＜1．
13．已知角α的终边经过点P （－3cos θ，4cos θ），其中θ∈（2k π+2
π，2k π+π）（k ∈Z ），求角α的各三角函数值．
14．（1）已知角α的终边经过点P （3，4），求角α的六个三角函数值；
（2）已知角α的终边经过点P （3t ，4t ），t ≠0，求角α的六个三角函数值．
15．已知角α终边上的一点P ，P 与x 轴的距离和它与y 轴的距离之比为3 ：4，且0s i
n <α
求：cosα和tanα的值．
参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3． D 4． D 5．A
二、填空题
6．［0，
4π］∪（2π，4π5］∪（2π3，2π） 7．（4
π，4π3） 三、解答题 8．分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线． 解：（1）sin1＜sin 3π；（2）cos 7π4>cos 7π5；（3）tan 8π9<tan 7π9；（4）sin 5π<tan 5
π． 9．分析：若α是第三象限的角，则有① cos α＜0，且－1＜cos α＜0；② sin α＜0，且－1＜sin α<0．在此基础上可确定sin （cos α）与cos （sin α）的符号，进而即可确定sin （cos α）·cos （sin α）的符号．
解：∵α是第三象限角，∴－1<cos α<0，－1<sin α<0．
∴sin （cos α）<0，cos （sin α）>0．∴sin （cos α）·cos （sin α）<0．
10．解：（1）由lg （cos x ）≥0，得cos x ≥1，又cos x ≤1，
∴cos x =1．
∴x =2k π，k ∈Z ．故此函数的定义域为{x |x =2k π，k ∈Z }．
（2）∵sin2x >0，∴2k π<2x <2k π+π（k ∈Z ）．
∴k π<x <k π+2π（k ∈Z ）． ① 又9－x 2≥0，∴－3≤x ≤3．
故y =lgsin2x +29x -的定义域为{x |－3≤x <－2π或0<x <2
π}． 11． 分析：利用代数方法很难得证．若利用三角函数线借助几何直观建立面积不等式，则可迎刃而解．
解：如下图，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P ，α的正弦线、正切线为MP 、AT ，则MP =sin α，AT =tan α．
x ∵△AOP 221sin α，S 扇形AOP =21α·r 2=21α，S △OAT =21OA ·AT =21AT =2
1tan α． 又S △AOP ＜S 扇形AOP ＜S △AOT ，
∴21sin α＜21α＜2
1tan α，即sin α＜α＜tan α． 12． 证明：（1）设角θ的终边与单位圆交于P （x ，y ），
过点P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M 、N 为垂足．
∵y ＝sin θ，x ＝cos θ，
x )y S △OAP 2＝21y ＝21sin θ， S △OPB ＝21|OB |·|NP |＝21x ＝2
1cos θ， S 扇形OAB ＝4
π4π2=R ． 又四边形OAPB 被扇形OAB 所覆盖，
∴S △OAP ＋S △OPB ＜S 扇形OAB ， 即4
π2cos 2sin <+θθ． ∴sin θ＋cos θ＜
2π． （2）∵0＜x ＜1，0＜y ＜1，
∴0＜cos θ＜1，0＜sin θ＜1．
∵函数y =a x （0＜a ＜1）在R 上是减函数，
∴cos 3θ＜cos 2θ，sin 3θ＜sin 2θ．
∴cos 3θ+sin 3θ＜cos 2θ+sin 2θ．
∵sin 2θ+cos 2θ=x 2+y 2=1， ∴sin 3θ+cos 3θ＜1．
13． 解：∵θ∈（2k π+
2π，2k π+π）（k ∈Z ）， ∴cos θ＜0．
∴x =－3cos θ，y =4cos θ，r =22y x +=22)cos 4()cos 3(θθ+-=－5cos θ． ∴sin α=－54，cos α=53，tan α=－34，cot α=－43，sec α=35，csc α=－4
5． 14． 解：（1）由x =3，y =4，得r =2243+=5．
∴sin α=r y =54，cos α=r x =53，tan α=x y =34，cot α=y x =43，sec α=x r =35，csc α=y r =4
5． （2）由x =3t ，y =4t ，得r =22)4()3(t t +=5|t |．
当t ＞0时，r =5t ．
因此sin α=54，cos α=53，tan α=34，cot α=43，sec α=35，csc α=4
5； 当t ＜0时，r =－5t ．
因此sin α=－54，cos α=－53，tan α=34，cot α=43，sec α=－35，csc α=－4
5． 15． 设P(x ，y)，则依题意知|y| ：|x| =3 ：4
∵sinα<0
∴α终边只可能在第三、四象限或y 轴负半轴上
若P 点位于第三象限，可设P （-4k ，-3k ），（k>0）
∴r=5k ，从而54cos -=α，4
3tan =α 若P 点位于第四象限，可设P （4k ，-3k ），（k>0）
∴r=5k ，从而54cos =α，4
3tan -=α 又由于|y| ：|x| =3 ：4，故α的终边不可能在y 轴的负半轴上
综上所述：知cosα的值为5454-或，tanα的值为4
343或-。