2021年新高考数学总复习第34讲：复数
高考数学应试技巧之复数
高考数学应试技巧之复数数学作为高考的必考科目之一，对于许多学生来说是一个极大的挑战。
尤其是在复数的应用中，许多学生常常感到棘手。
复数是高考数学中的一个重要知识点，也是一个需要深入理解和掌握的知识点。
本文将介绍几个复数的应试技巧，并提供一些例题帮助读者更好地掌握复数的应用。
一、基本定义复数是指形如 a+bi 的数，其中 a 和 b 分别为实数，i 表示虚数单位，它满足 i²=-1。
实数和虚数是复数中的两个部分，实数 a 被称为复数的实部，虚数 b 被称为复数的虚部。
二、极坐标表示法复数在极坐标表示法中的表示方式是：z=r(cosθ+isinθ)，其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的幅角。
在使用极坐标表示法求解问题时，可以利用三角函数的相关知识进行计算。
例题：已知复数 z=1+2i，求其极坐标形式。
解：复数的模为r=√(1²+2²)=√5，复数的幅角为cosθ=1/√5，sinθ=2/√5，因此θ=arctan(2/1)。
所以，复数 z 的极坐标表示形式为z=√5(cosθ+isinθ)=√5(cos(arctan(2))+isin(arctan(2)))。
三、共轭复数共轭复数是指保持实部不变但虚部变号的复数，可以表示为z*=a-bi。
共轭复数的一个重要性质是，任何实数的平方都是非负的，因此，复数与其共轭复数的乘积的实部是一个非负实数。
例题：已知 z=1+2i，求其共轭复数 z*。
解：由定义可知，z*=1-2i。
四、四则运算（1）加减法复数的加减法与实数的加减法类似，只是加减的对象从实数变成了复数。
需要注意的是，复数的实部与虚部分别相加减。
例题：已知 z1=1+2i，z2=3-4i，求 z1+z2 和 z1-z2。
解：z1+z2=(1+2i)+(3-4i)=4-2iz1-z2=(1+2i)-(3-4i)=-2+6i（2）乘法复数的乘法需要特别注意的是，(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²，其中 i²=-1。
高三数学复习知识点之复数
高三数学复习知识点之复数1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=-1.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i的数（其中a，b∈R）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i，即a；③ 虚数—当b≠0时的复数a + b i；④ 纯虚数—当a = 0且b≠0时的复数a + b i，即b i.⑤ 复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：a+bi=c+di<=>a=c且b=d(其中,a,b,c,d∈R)特别的a+bi=0<=>a=b=0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z₁,z₂为复数，则1°若z₁+z₂>0，则z₁>-z₂.（×）[z₁,z₂为复数，而不是实数]2°若z₁<z₂，则z₁-z₂<0.（√）②若a,b,c∈C，则(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0是a=b=c的必要不充分条件.（当(a-b)²=i²，(b-c)²=1,(c-a)²=0时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：d=|z₁-z₂|.其中z₁,z₂是复平面内的两点z₁和z₂所对应的复数，d表示z₁和z₂间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：|z-z0|=r(r>0).⑵曲线方程的复数形式：①|z-z0|=r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②|z-z₁|=|z-z₂|表示线段z₁z₂的垂直平分线的方程.③|z-z₁|+|z-z₂|=2a(a>0且2a>|z₁z₂|表示以Z₁,Z₂为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示线段Z₁,Z₂）.④||z-z₁|-|z-z₂||=2a(0<2a<|z₁z₂|,表示以Z₁,Z₂为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设z₁,z₂是不等于零的复数，则①||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,λ>0).②||z₁|-|z₂||≤|z₁-z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ>0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0).注：3. 共轭复数的性质：注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4⑴①复数的乘方：zⁿ=z·z·z...z}n(n∈N﹢)②对任何z，z₁,z₂∈C及m,n∈N﹢有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i²=-1,i的4次方=1若由就会得到-1=1的错误结论.②在实数集成立的|x|=x₂. 当x为虚数时，|x|≠x²，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若ω是1的立方虚数根。
新高考数学复数知识点总结
新高考数学复数知识点总结数学，作为一门重要的学科，对于每一个学生来说都至关重要。
而在数学中，复数是一个重要的概念，它有着广泛的应用和深远的意义。
本文将对新高考中的复数知识点进行总结。
一、复数的定义和表示方式复数是由实数和虚数单位i组成的数。
其中，虚数单位i满足i^2 = -1。
复数一般用a+bi的形式表示，其中a为实部，bi为虚部。
二、复数的基本运算1. 复数的加法和减法对于两个复数a+bi和c+di，它们的加法和减法分别为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 复数的乘法对于两个复数a+bi和c+di，它们的乘法为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 复数的除法对于两个复数a+bi和c+di，它们的除法为：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
三、复数的共轭与模1. 复数的共轭对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。
共轭复数的实部相同，虚部符号相反。
2. 复数的模对于复数a+bi，它的模为√(a^2+b^2)，即复数与原点的距离。
四、复数的乘方和根式1. 复数的乘方对于复数a+bi，它的n次幂为：(a+bi)^n = [(a^2+b^2)^(n/2)] * (cos(nθ) + sin(nθ)i)，其中θ为复数的辐角。
2. 复数的开方对于复数a+bi，它的平方根为：√(a+bi) = ±[√(√(a^2+b^2)+a)/2] + ±[√(√(a^2+b^2)-a)/2]i。
五、复数与方程1. 一元二次方程对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，其中a、b、c为实数且a≠0，如果它的解不是实数，那么方程有两个共轭复数解。
2. 方程组对于形如ax+by=c和dx+ey=f的方程组，其中a、b、c、d、e、f 为实数且ad-be≠0。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。
三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。
复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。
复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。
此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。
复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。
通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。
高三数学知识点复数
高三数学知识点复数复数是数学中的一个重要概念，在高三数学学习中也占有重要地位。
它不仅在代数中有广泛的应用，还在很多实际问题中起着关键的作用。
本文将就高三数学中的复数知识点进行详细介绍，包括定义、运算、表示方法等内容。
一、复数的定义1. 复数的概念在数学中，复数是由实数和虚数的和组成的数。
其中实数部分可以为任意实数，虚数部分为实数乘以虚数单位 i。
i 的定义为 i^2 = -1，其中 i 即为虚数单位。
2. 复数的表示方法一般来说，复数可用 a+bi 表示，其中 a 为实部，b 为虚部。
二、复数的运算1. 加法运算复数加法满足交换律和结合律。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的和为 z = (a+c) + (b+d)i。
2. 减法运算复数减法可以看作加法的逆运算。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的差为 z = (a-c) + (b-d)i。
3. 乘法运算复数乘法也满足交换律和结合律。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的乘积可以通过展开得到：z = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i。
4. 除法运算复数除法是乘法的逆运算。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的商可以通过乘以共轭复数并进行化简得到：z = (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd) / (c^2+d^2) + (bc-ad)i / (c^2+d^2)。
三、复数的性质1. 共轭复数对于复数 z = a+bi，其共轭复数可以用 z* 表示，即 z* = a-bi。
共轭复数实际上是对复数的虚数部分取负。
2. 模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，可以用 |z| 表示。
模的计算公式为|z| = √(a^2+b^2)。
高考数学复数知识点总结
高考数学复数知识点总结数学是一门让许多人头疼的学科，而高考数学更是让许多学生感到困惑。
在高考数学中，复数是一个重要的知识点，也是许多学生比较薄弱的内容之一。
本文将对高考数学中的复数知识点进行总结，希望能够帮助广大学生更好地掌握这一部分内容。
首先，我们来回顾一下复数的定义。
复数是由实部和虚部组成的数，一般写作a+bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。
实部是一个实数，而虚部则是一个纯虚数，即没有实数部分。
复数间的加法和减法与笛卡尔坐标系中的向量相似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
复数的乘法则遵循分配律，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
而复数的除法则需要用到共轭复数，即(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
接下来，我们来看一下复数的运算性质。
复数的加法和乘法封闭性是显而易见的，即两个复数之和（积）仍然是一个复数。
复数的减法和除法也满足封闭性。
此外，复数的乘法满足交换律，即(a+bi)(c+di) = (c+di)(a+bi)。
但是复数的加法和减法不满足交换律，即(a+bi) + (c+di) ≠ (c+di) + (a+bi)。
此外，复数的除法也不满足交换律，即(a+bi)/(c+di) ≠ (c+di)/(a+bi)。
在高考数学中，我们常常需要运用复数来解决实际问题。
特别是在解析几何中，复数可以帮助我们简化计算。
比如，在平面直角坐标系中，每个点可以用复数来表示。
复数的模表示了点到原点的距离，即|z| = √(x^2+y^2)。
而复数的幅角则表示了点与实轴正向之间的夹角，即arg(z) = arctan(y/x)。
利用复数的模和幅角，我们可以方便地进行平面向量的计算，包括向量的加减、数量积和向量积。
同时，复数在高考数学中也与多项式方程密切相关。
复数的定义可以用来解决多项式方程中出现的负根问题。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结高考作为我国当前最重要的一项考试，直接关系到学生的未来发展和人生轨迹。
而复数是高考数学中一个非常重要且容易出现的知识点。
掌握好复数的相关知识，不仅能够帮助学生在数学考试中获得高分，还能够培养学生的抽象思维和逻辑思维能力。
本文将以扩展的方式，分析复数的概念、性质、运算等方面的知识点。
一、复数的基本概念复数是一种由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。
复数的实部和虚部都是实数，虚部以i为单位。
实部为0，虚部不为0的复数称为纯虚数，如bi；实部和虚部都不为0的复数称为非零复数，如a+bi。
复数的共轭复数是虚部改变符号后所得的新的复数。
二、复数的表示形式复数有三种表示形式，分别是代数形式、三角形式和指数形式。
代数形式就是将复数写为a+bi的形式；三角形式是将复数转化为长度和角度的形式，通常用到的是模长和辐角；指数形式是将复数用指数函数e的形式表示。
三、复数的运算1. 复数的加法和减法：将两个复数的实部相加或相减得到新的复数的实部，虚部相加或相减得到新的复数的虚部。
2. 复数的乘法：将两个复数的实部和虚部分别相乘，再按照实部和虚部的乘法规则得到新的复数。
3. 复数的除法：将除数和被除数同除以共轭复数的模长的平方，然后相乘，得到新的复数。
4. 复数的乘方和开方：将复数进行指数运算，将复数的模长和辐角按照指数运算的规律进行计算。
四、复数方程与函数复数方程是指含有复数未知数的方程。
而复数函数是指函数的自变量和函数值都是复数。
复数方程与函数在高考中占有重要的地位。
学生需要掌握复数方程的解法，并能够灵活运用。
对于复数函数，学生需要能够了解其定义、性质和运算，并能够进行实际问题的解答。
五、复数在几何中的应用复数在几何中有着广泛的应用，特别是平面几何中。
通过将复数的实部和虚部分别作为平面直角坐标系的横坐标和纵坐标，可以将复数转化为点的位置，从而进行几何运算。
同时，复数平面可以用来表示向量和旋转变换等内容，为解决一些几何问题提供了便利。
复数总结知识点高考数学
复数总结知识点高考数学一、复数的概念复数是指形如a+bi的数，其中a和b分别是实数部分和虚数部分，i是虚数单位，满足i^2=-1。
可以看出，实数可以看作是复数中虚数部分为0的特殊情况。
二、复数的加减在复数形式下，两个复数相加或相减，只需要按照实部和虚部分别相加或相减即可。
例如：(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i三、复数的乘法复数的乘法需要用到虚数单位i的乘法规则i^2=-1。
将两个复数相乘，按照分开实数和虚数部分相乘，然后利用i^2=-1简化计算。
例如：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i四、复数的除法复数的除法，通常需要将除数和被除数都用复数的共轭表示式分子/分母，然后利用复数的乘法进行计算，最后将结果化简为标准形式。
例如：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c^2+d^2) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i五、复数的模复数的模指的是复数到原点的距离，用|z|表示。
对于复数a+bi，它的模为√(a^2+b^2)，即z的模等于它的实部a与虚部b的平方和的平方根。
复数模的性质：1) |z1z2| = |z1||z2|2) |z1/z2| = |z1|/|z2|六、复数的幂复数的幂运算可以直接套用实数的幂运算，但需要注意虚数单位i的幂次满足周期性规律。
具体计算时，先将底数化为极坐标形式，然后根据幂运算的规律进行计算。
例如：(a+bi)^n = (r(cosθ+isinθ))^n = r^n(cosnθ+isinnθ)七、复数的共轭复数的共轭是将实数部分不变，而虚数部分取负号得到的复数。
例如：复数a+bi的共轭为a-bi总结：复数是高考数学中的基础知识点，掌握复数的加减乘除、模和幂等运算规则对于解题至关重要。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。
理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。
下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。
一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。
二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。
3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。
4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。
四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。
复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。
共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。
高考关于复数的知识点
高考关于复数的知识点高考是每个学生都要经历的一场考试，而数学是其中一个科目。
在数学中，复数是一个重要的概念，也是高考中经常涉及到的知识点。
本文将讨论高考关于复数的知识点，并深入探讨其应用和相关概念。
1. 复数的定义和表示方法复数是由实数和虚数构成的数。
它的表示形式为a+bi，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用笛卡尔坐标系表示，其中实轴表示实数部分，虚轴表示虚数部分。
也可以用极坐标系表示，其中模表示复数到原点的距离，幅角表示与实轴的夹角。
2. 复数的运算规则复数的四则运算与实数的运算规则相似。
加法和减法的运算结果分别是实部和虚部相加减。
乘法的运算结果是模相乘，幅角相加；除法的运算结果是模相除，幅角相减。
3. 复数的共轭和模的计算一个复数的共轭是将其虚部取负，表示为a-bi，其中a和b都是实数。
共轭复数的实部相等，虚部相反。
复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
4. 复数的乘方与开方复数的乘方需要将复数转换为极坐标形式，然后进行模和幅角的乘方运算。
复数的开方可以通过求解方程来实现。
值得注意的是，复数的开方具有多个解，称为根。
5. 复数的应用复数在物理学、工程学和电路分析等领域有广泛的应用。
在物理学中，复数用于描述波动现象，如电磁波和声波。
在工程学中，复数用于求解电路中的交流电流和电压。
在电路分析中，利用复数可以方便地计算频率响应和相位差。
6. 复数与方程的关系复数一般会涉及到解复数方程的问题。
当根为复数时，可以使用求根公式来求解。
对于复数方程来说，方程的根可以是实数也可以是复数。
7. 复数与几何图形的关系复数可以用来描述几何图形，如向量。
复数的加法和乘法对应了向量的平移和旋转。
复数的共轭可以实现几何图形的镜像。
8. 复数在数学中的应用复数在数学中有广泛的应用场景。
例如，复数可以用于求解高次方程、计算三角函数的和差化积、表示级数的和等。
总之，复数是高考中重要的数学知识点之一。
高考有关复数的知识点
高考有关复数的知识点高考是每个学生人生中的一次重要考试，对于大多数学生来说，它是他们成就理想大学梦想的关键。
而在高考的数学科目中，复数是一个相对来说比较难理解的概念。
在本文中，我们将探讨高考中关于复数的知识点，希望能为考生们提供一些帮助和指导。
一、复数的定义与表示复数是由实数和虚数两部分组成的数。
它的定义为a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
在一般的表示形式中，a和b都是实数。
二、复数的运算1. 加减运算复数的加减运算跟我们实数的运算类似，只需要将实部和虚部分别相加或相减即可。
例如：(2+3i) + (4+5i) = 6+8i(2+3i) - (4+5i) = -2 - 2i需要注意的是，虚部的运算中不能简单地将i相加或相减，而是保留i这个虚数单位。
2. 乘法运算复数的乘法运算需要使用乘法公式，即展开相乘，并记住i²=-1。
例如：(2+3i) * (4+5i)= 2*4 + 2*5i + 3i*4 + 3i*5i= 8 + 10i + 12i + 15i²= 8 + 22i - 15= -7 + 22i在乘法运算中，我们需要特别注意i与i²的计算。
3. 除法运算复数的除法运算可以通过乘以倒数来实现，类似于实数的除法运算。
例如：(2+3i) / (4+5i)= (2+3i) * (4-5i) / (4+5i) * (4-5i)= (2+3i) * (4-5i) / (4² + 5²)= (8+23i) / 41= 8/41 + 23/41i进行复数的除法运算时，我们需要将分母有理化，然后按照乘法运算的规则进行计算。
三、复数的解析式对于一个一元二次方程ax²+bx+c=0，如果其判别式Δ=b²-4ac小于0，那么方程的解为复数。
可以用复数的解析式来表示方程的解。
例如：x₁=(-b+√Δ)/(2a)x₂=(-b-√Δ)/(2a)其中√Δ表示判别式的平方根，当判别式Δ小于0时，平方根√Δ也成为虚数。
数学高考复数知识点总结
数学高考复数知识点总结
复数的加减：当两复数相加时，实部相加，虚部相加。
当两复数相减时，实部相减，虚部
相减。
容易记住的是，虚数单位i的平方等于-1，即i^2=-1。
复数的乘法：两个复数相乘时，可以先将它们化为分别含有实部和虚部的形式，然后应用
分配律，最后与虚数单位i的平方等于-1的性质化简。
复数的除法：复数的除法与实数之间的除法有些相似，不同的地方在于要将除数和被除数
都化为含有实部和虚部的形式，在实际操作时可以将除数的分母有理化。
共轭复数：一个复数的共轭复数是保持实部不变，但虚部改变符号的复数。
即，如果一个
复数为a+bi，那么它的共轭复数就是a-bi。
它们的乘积是一个实数。
复数平方根：在求复数的平方根时，需要将复数化为含有实部和虚部的形式，然后利用平
方法求出平方根的实部和虚部。
指数表示与欧拉公式：欧拉公式是数学中一个非常重要的公式，在复平面中，指数函数可
以用欧拉公式表示，即e^(iθ)=cos(θ)+isin(θ)。
这一性质在复数的求导和积分中非常有用。
复数在数理科学中的应用非常广泛，例如在电路中的交流电分析中，谐波振动的研究中等。
因此，复数知识也是高考数学中非常重要的内容。
总结来说，复数是数学中非常重要的一个概念。
掌握复数的基本运算规则，能够灵活运用
共轭复数，求复数的平方根，以及应用欧拉公式的相关知识，对于高考数学复数部分的考
试至关重要。
希望广大考生能够加强对复数知识的学习，做好相关的练习，从而在高考中
取得优异的成绩。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结复数是数学中的一个重要概念，指由实数和虚数构成的数。
在高等数学中，复数被广泛应用于微积分、线性代数、复分析等多个领域，因此懂得复数的概念和性质是非常有益的。
本文总结高考中常用的复数知识点，供考生们参考。
一、复数的定义复数是指由实数和虚数构成的数，形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部。
实数可视为虚部为0的复数，也就是说，实数是复数的一种特殊情形。
二、复数的运算1.加法：将两个复数的实部和虚部分别相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2.减法：将两个复数的实部和虚部分别相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
3.乘法：将两个复数用分配律展开，再利用i²=-1化简，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4.除法：将分母和分子都乘以共轭复数，再利用i²=-1化简，即(a+bi)/(c+di)=[(ab+cd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i。
三、复数的性质1.加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
2.复数的乘法满足交换律和结合律，但不满足分配律。
3.i²=-1，即i是一个虚数单位。
4.复数a+0i等价于实数a，虚部为0的复数是实数的一种特殊情况。
5. 复数a+bi的共轭复数为a-bi，两个共轭复数的积是实数，即(a+bi)(a-bi)=a²+b²。
四、欧拉公式五、常见问题1.如何求复数的复数？给定一个复数a+bi，它的复数是a-bi。
2.如何判断两个复数是否相等？当两个复数的实部和虚部分别相等时，它们相等。
3.什么是实数？实数是没有虚部的复数，也就是虚部为0的复数。
4.什么是虚数？虚数是虚部不为0的复数，也就是实部为0的复数。
总之，在高中数学中，复数是一个重要的内容，在平面直角坐标系中可以代表一个点的位置。
第34讲--复数的概念与运算
第一页，编辑于星期五：十六点 十五分。
1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法及其几何意义． 3．了解两个具体复数相加、相减的几何意义，会进行复 数代数形式的四则运算．
第二页，编辑于星期五：十六点 十五分。
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如__a_＋__b_i_的数叫做复数，其中__a__为实部，
答案：B
第十二页，编辑于星期五：十六点 十五分。
复数的概念
复数的运算 复数的几何意义
第十三页，编辑于星期五：十六点 十五分。
考点一·复数的概念
【例 1】 下面是关于复数 z＝－12＋i的四个命题：
p1：|z|＝2;
p2：z2＝2i；
p3：z 的共轭复数为 1＋i;
p4：z 的虚部为－1.
其中的真命题为( )
|z|＝|a＋bi|＝____________.
第四页，编辑于星期五：十六点 十五分。
3．共轭复数 (1)定义：若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则这两个复数互为 ___共__轭__复__数__，用______表示． (2)代数形式：a＋bi 与 a－bi 互为共轭复数(a，b∈R)，即 z＝a＋bi⇔ z
＝___a_－__b_i_____.
(3)几何意义：非零复数 z1、z2 互为共轭复数⇔它们的对应点 Z1、Z2(或
向量O→Z1、O→Z2)关于实___轴___对称．
第五页，编辑于星期五：十六点 十五分。
4．复数的运算
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R).
运算
运算法则
第十五页，编辑于星期五：十六点 十五分。
点评：(1)本题全面考查了复数的概念，主要考查了复 数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复 数乘、除等基本运算．
2021年高三数学知识点：复数知识点总结
2021年高三数学知识点：复数知识点总结
学无止境，初中是人生成长变化最快的阶段，所以应该用心去想，去做好每件事，为大家整理了____年高三数学知识点：复数,希望可以帮助到更多学子。
范例剖析
例1.若复数是纯虚数，则实数a的值为
辨析：已知z，互为共轭复数，若，且为实数，则 .
例2.复数z=，求1+z+z2的值;
辨析：已知复数，则
例3.设复数z满足|z+|+|z-| = 2，求|z++1|的最小值.
辨析：已知z0=2+2i，|z-z0|=，
(1)求复数z在复平面内对应的点的轨迹
(2)求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|有最小值，
四巩固训练
1. 复数在复平面上对应的点位于第象限.
2.设复数，若为实数，则_= .
3.复数的值是.(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是，则z2的虚部为 .
5.已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是
6.已知，且为虚数单位，则的最小值是
7.(安徽省皖南八校____届高三第一次联考)定义运算，则符合条件的复数对应的点在
8.复数，满足，则与的大小关系是_________
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高考数学复习——复数
高考数学复习——复数高考数学复习——复数高考数学复习是每个学生都必须面对的挑战。
在高考数学中，复数是一个非常重要的知识点，也是学生经常容易出错的地方。
为了帮助大家更好地复习高考数学中的复数部分，本文将提供一些有用的复习资料和技巧。
一、理解复数的概念在复习复数时，首先要理解复数的概念。
复数是一个由实数和虚数组成的数，通常表示为z = a + bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
虚数单位i的平方等于-1。
学生需要掌握如何进行复数的加减法和乘除法运算，以及如何化简复数为三角形式。
二、掌握复数的性质复数具有一些特殊的性质，这些性质在解决复数问题时是非常有用的。
例如，如果两个复数相等，那么它们的实部和虚部必须分别相等。
此外，复数的模长是一个正实数，等于复数在平面上的距离。
学生需要能够计算复数的模长，以及在复平面内标出复数的位置。
三、练习复数问题为了更好地掌握复数，学生需要进行大量的练习题。
在练习时需要注意解题的步骤和方法，尤其是对于比较复杂的复数问题，需要分步骤逐步计算。
练习可以帮助学生熟悉复数的各种性质和运算规则，提高解题的速度和准确性。
四、总结复数知识在复习完复数之后，学生需要将所学知识进行总结和归纳。
总结可以帮助学生更好地理解复数的概念和性质，以及掌握解决复数问题的技巧和方法。
总结还可以帮助学生发现自己的不足之处，以便在后续的复习中加以改进。
总之，复习高考数学中的复数部分需要学生理解概念、掌握性质、练习题目和总结知识。
只有通过不断地练习和总结，才能够提高自己的解题能力和数学素养。
高中数学复数总复习
高中数学复数总复习随着时代的发展，数学发展也越来越快。
特别是在高中阶段，数学的难度也随之增加。
其中，复数是高中数学中比较重要的一章知识点。
对于大部分同学来说，复数一直是比较难以理解的内容，但是却也是不可避免的考试重点。
为了帮助同学们更好地理解和掌握复数知识，在这篇文章中我将对高中数学复数进行总复习。
一、复数概念复数是数学中一个重要的概念，是由实数与虚数共同组成的一个数。
一般写成“a+bi”的形式，其中a和b分别是实数，i是一个虚数单位，满足i²=-1。
实数和虚数分别对应于复数的实部和虚部。
二、复数的加减法复数之间的加减法和实数加减法类似。
如果两个复数相加，只需将它们的实部和虚部分别相加。
如果两个复数相减，只需将它们的实部和虚部分别相减。
如：（2+3i）+（4-2i）=（2+4）+（3-2）i =6+i（2+3i）-（4-2i）=（2-4）+（3+2）i =-2+5i三、复数的乘法复数乘法与实数乘法类似，只不过要注意虚数单位i²=-1的运算。
如下：（a+bi）×（c+di）=ac+bci+adi+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i四、复数的除法复数可以进行除法运算，如下所示：(a+ib)/(c+id) = [(a+ib)×(c-id)]/[(c+id)×(c-id)]= [(ac+bd)+i(bc-ad)]/(c²+d²)五、共轭复数共轭复数是指在一个复数中，只有虚部符号相反的数叫做这个复数的共轭数。
如下：以复数1+2i为例，它的共轭数是1-2i。
六、复数的模与参数复数的模是指该复数到原点的距离，是一个实数，用|z|表示。
复数的参数是该复数的辐角，用θ表示。
如下：七、欧拉公式欧拉公式是数学中一条重要的公式，它给出了一个复数的指数函数和三角函数之间的关系。
欧拉公式的形式如下：e^(ix) = cos(x) + i sin(x)其中i是一个虚数单位，e是自然常数，x是一个实数。
高考数学复数知识点
高考数学复数知识点复数是数学中的一个重要概念，也是高考数学考试中的一项重要知识点。
本文将介绍高考数学复数的相关知识，包括基本概念、四则运算、复数方程等内容。
希望能够对高考学生复习数学复数知识有所帮助。
1. 基本概念复数是由实数部分和虚数部分组成的数，本文以a+bi的形式表示，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
当虚数部分不为0时，复数可表示为a+bi，并称其为复数的标准形式。
当实数部分为0时，则称复数为纯虚数，例如bi。
2. 四则运算复数的四则运算与实数的运算规则类似，加减法直接对应实数的加减法，乘法和除法需要注意虚数单位的运算规则。
- 加法：将实部和虚部分别相加。
- 减法：将实部和虚部分别相减。
- 乘法：按照FOIL法则进行计算，然后利用i²=-1进行化简。
- 除法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，然后按照乘法的规则进行运算。
3. 复数方程复数方程是指含有复数的方程。
常见的复数方程包括一次方程、二次方程等。
- 一次方程：形如az+b=0的方程，其中a和b为复数，z为未知数。
解一次方程时，将方程化简为实部与虚部的方程，并分别解得实部和虚部的值。
- 二次方程：形如az²+bz+c=0的方程，其中a、b和c为复数，z为未知数。
解二次方程时，可以使用求根公式：z=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
4. 复数的几何意义复数可以用复平面上的点表示，实部对应x轴坐标，虚部对应y轴坐标。
复数在复平面上表示为一个有序对(a, b)，也可以看作是从原点到点(a, b)的向量。
利用复数的几何表示可以进行向量运算、求解几何问题等。
5. 欧拉公式欧拉公式是复数运算中的重要公式，它表达了复数与三角函数之间的关系：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。
欧拉公式的应用十分广泛，可以用于求解复数的高次方、求解三角函数等问题。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结引言复数是数学中的一个重要概念，在高中数学中也是必修的内容之一。
复数不仅在数学领域中有广泛的应用，也在物理学、工程学等学科中发挥着重要的作用。
本文将对高考中常见的复数知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和掌握复数的概念和运算方法。
一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数。
通常用z表示复数，形式为z = a + bi，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。
实数部分和虚数部分都是实数。
二、复数的表示形式复数可以用不同的表示形式来展示，包括： - 代数式表示：z = a + bi - 拆解式表示：z = |z| (cosθ + i sinθ)，其中|z|为模长，θ为辐角三、复数的运算复数之间可以进行加法、减法、乘法和除法的运算。
具体的运算规则如下：3.1 加法运算设z₁ = a₁ + b₁i，z₂ = a₂ + b₂i，两复数相加的结果为z = z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i。
3.2 减法运算设z₁ = a₁ + b₁i，z₂ = a₂ + b₂i，两复数相减的结果为z = z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。
3.3 乘法运算设z₁ = a₁ + b₁i，z₂ = a₂ + b₂i，两复数相乘的结果为z = z₁ * z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i。
3.4 除法运算设z₁ = a₁ + b₁i，z₂ = a₂ + b₂i，两复数相除的结果为z = z₁ / z₂ = (a₁a₂ + b₁b₂) / (a₂² + b₂²) + (a₂b₁ - a₁b₂) / (a₂² + b₂²)i。
四、复数的性质复数具有以下性质：4.1 共轭性设z = a + bi为复数，其共轭复数记为z* = a - bi。
共轭复数的实部相等，虚部相反。
4.2 模长性质设z = a + bi为复数，其模长表示为|z|，满足|z| = √(a² + b²)。
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答案A
解析由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝ ＝ ＝ ＋ i，故z的实部为 ，故选A.
9．(2020·武汉市武昌区调考)设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，α(i)＝()
A．8B．6
C．4D．2
答案C
解析∵α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，∴α(i)表示满足in＝1的最小正整数n.∵i2＝－1，∴i4＝1，∴α(i)＝4.
10．(2020·广州二测)已知i是虚数单位，复数z＝ ＋i2 019在复平面内所对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案C
解析∵z＝ ＋i2 019＝ ＋(i4)504·i3＝－2－i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(－2，－1)，位于第三象限．故选C.
11．设a是实数，且 ＋ 是实数，则a＝()
7．(2020·唐山二模)若复数z＝ (i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，则z的虚部为()
A．1B．i
C．2D．2i
答案A
解析设z＝ ＝bi(b∈R且b≠0)，
则1＋i＝b＋abi，∴b＝1.选A.
8．(2020·江南十校联考)若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为()
A. B. －1
15．(2019·邯郸二模)复数z在复平面内表示的点Z如图所示，则使得z2·z1是纯虚数的一个z1是()
A．3－4iB．4＋3i
C．3＋4iD．4－3i
答案D
解析由题意可得，z＝－2＋i，令z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2·z1＝(a＋bi)(－2＋i)2＝(a＋bi)(3－4i)＝(3a＋4b)－(4a－3b)i.又z2·z1为纯虚数，则z2·z1实部为0，即3a＋4b＝0，故选D.
A．满足：z＝ 的复数有±1，±i.
B．若a，b∈R且a＝b，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数．
C．复数z∈R的充要条件是z＝ .
D．在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．
答案ABD
解析因为(±1)2＝1，所以命题A不正确；对于命题B，当a＝b＝0时，不成立，命题B不正确；由共轭复数的定义知，命题C正确；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，命题D不正确．
5．(2016·课标全国Ⅲ)若z＝4＋3i，则 ＝()
A．1B．－1
C. ＋ iD. － i
答案D
解析 ＝ ＝ － i，故选D.
6．(2020·重庆市一调)在复平面内，复数z＝cos3＋isin3(i是虚数单位)对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案B
解析因为 <3<π，所以cos3<0，sin3>0，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数z＝cos3＋isin3对应的点位于第二象限．
2021
1．(2020·衡水中学调研卷)复数 (i是虚数单位)的虚部是()
A. B.
C. iD. i
答案A
2．(2019·课标全国Ⅰ)设z＝ ，则|z|＝()
A．2B.
C. D．1
答案C
解析方法一： ＝ ＝ ，故|z|＝ ＝ ＝ .故选C.
方法二：|z|＝ ＝ ＝ ＝ .
3．(2020·成都二诊)设复数z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若 为纯虚数，则实数b＝()
16．【多选题】下面是关于复数z＝ 的四个命题中，真命题是()
A．|z|＝2B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋iD．z的虚部为－1
答案BD
解析∵z＝ ＝－1－i，∴|z|＝ ，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知，BD是真命题．
17．【多选题】下列四个命题中不正确的是()
A．－2B．2
C．－1D．1
答案A
解析 ＝ ＝ ＝ 为纯虚数，得2＋b＝0，即b＝－2.
4．(2017·山东)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝()
A．－2iB．2i
C．－2D．2
答案A
解析∵zi＝1＋i，∴z＝ ＝ ＋1＝1－i.∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.选A.
A．1B.
C. D．－
答案A
解析 ＋ ＝ ＋ ＝ ，由于该复数为实数，故－a＋1＝0，即a＝1.
12．(2017·山东，理)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋ i，z· ＝4，则a＝()
A．1或－1B. 或－
C．－ D.
答案A
解析方法一：由题意可知 ＝a－ i，∴z· ＝(a＋ i)(a－ i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
18．(2015·天津，理)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
答案 －2
解析由题意知，复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，则实部a＋2＝0，虚部1－2a≠0，解得a＝－2.
19．(2020·江苏阜宁中学调研)若复数z＝i＋i2 020，则 ＋ 的模等于________．
答案6
解析z＝i＋i2 020＝i＋1， ＋ ＝1－i＋ ＝6－6i，其模为6 .
20．计算：(1) ；
(2) ＋ ；
(3) .
答案(1) ＋ i(2)－1(3)－ － i
解析(1) ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.
(2) ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1.
(3) ＝ ＝ ＝ ＝－ － i.
14．(2020·济南市质量评估)已知复数z满足z＋z·i＝2(其中i为虚数单位)，则 ＝()
A．1＋iB．1－i
C．－1＋iD．－1－i
答案A
解析方法一：由z＋z·i＝2，得z＝ ＝ ＝1－i，所以 ＝1＋i.
方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋bi＋(a＋bi)i＝2，即a－b＋(b＋a)i＝2，所以 解得 所以z＝1－i，所以 ＝1＋i.
方法二：z· ＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
13. (2019·湖北黄冈期末)复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，z1＝3＋4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B，则 2＝()
A．3－4iB．－4－3i
C．－4＋3iD．－3－4i
答案Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析由题意知A(3，4)，B(－4，3)，即z2＝－4＋3i， 2＝－4－3i.