离散型随机变量的期望
离散型随机变量的期望值和方差
(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道 有4个选项，其中有且仅有一个是正确的， 每个选对得3分，选错或不选均不得分，满 分150分，某学生选对每一道题的概率为 0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与 方差。
说明：可根据离散型随机变量的期望和方 差的概念、公式及性质解答。
三、课堂小结：
1、利用离散型随机变量的方差与期望的知 识，可以解决实际问题。利用所学知识分析 和解决实际问题的题型，越来越成为高考的 热点，应予重视。
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乙厂 55 65 55 65
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试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。
说明：本题考查利用离散型随机变量的方
差与期望的知识，分析解决实际问题的能
力。
例6、(1)设随机变量ξ具有分布列为 P(ξ=k)= 1 (k=1，2，3，4，5，6)，求Eξ、 E(2ξ+3)和6 Dξ。
(2) 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)= 1(k=1，2，3，…，n)，求Eξ和Dξ。 n
量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2(Eξ)2。 若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.
3、特别注意：在计算离散型随机变量的期 望和方差时，首先要搞清其分布特征及分 布列，然后要准确应用公式，特别是充分 利用性质解题，能避免繁琐的运算过程， 提高运算速度和准确度。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也 是随机变量，且Eη=aEξ+b。 E(c)= c
特别地，若ξ～B(n，P)，则 Eξ=nP
2、方差、标准差定义：
Dξ=(X1-Eξ)2·P1+(X2-Eξ)2·P2+…+(XnEξ)2·Pn+…称为随机变量ξ的方差。
关于离散型随机变量数学期望的几种求法
关于离散型随机变量数学期望的几种求法离散型随机变量数学期望是衡量随机变量数字大小指标之一，也是概率论与数理统计中最基本也最重要的概念。
它可以体现利用该变量值观察数据的水平。
本文将介绍离散型随机变量的求数学期望的几种方法。
首先，关于离散型随机变量的数学期望，最基本的求法是加法法则。
即将分布函数f（x）的每一个取值乘以相应样本量x取，并把所有乘积相加就可以得到离散型随机变量的数学期望。
用数学符号表示就是：E[X] = Σ xf (x)。
如果离散型随机变量X的取值和概率f (x)都很多，那上述乘加过程就不方便进行。
此时，可以利用乘法法则求数学期望。
乘法运算公式表示如下：E[X] = Σ xP(X=x)。
乘法运算的结果可以让抽样的数据简单明了，只要把每一个X的取值乘以相应的概率P(X=x)即可得到期望值，这不仅仅可以大大简化计算，而且是个较为可靠的评价指标。
而数学期望的另一种求解方法则叫做函数法则，其思想就是把μ作为一个函数，给定P(x)，当E[X]为函数f (X)，其结果可由函数f(X)与P(X)给出，函数法则可以有效降低传统加法法则求法中变量和概率的乘积，减小计算量，提高效率。
最后还有另一种求离散型随机变量数学期望的方法，它叫做采样平均法，这种法则的思想就是，根据我们了解到的离散型随机变量的取值及概率，以此为基础，根据实际的情况随机抽取一定数量的样本来分析离散型随机变量的期望，然后将抽到取值的平均值作为期望值来表示。
用数学符号表示就是：E[X] =抽样值x1+ x2 +。
+xn/n。
该方法结果较加法法则有一定的偏差，但也较准确。
总结来说，以上三种不同的方法都可以用来求离散型随机变量的数学期望，每一种方法都有其使用优劣之处。
但是，总体来说，最佳的方式是采用函数法则，当然，这也取决于需求的精确度。
离散型随机变量的期望及方差课件
02
离散型随机变量的期望
期望的定义与性质
定义
离散型随机变量的期望定义为所 有可能取值的概率加权和，即 $E(X) = sum x_i times P(X=x_i)$。
性质
期望具有线性性质，即$E(aX+b) = aE(X)+b$，其中$a$和$b$为 常数。
期望的运算性质
01
交换律
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
离散型随机变量具有可数性、确定性和随机性等性质，其取值范围称 为样本空间，记为Ω。
离散型随机变量的分类
03
伯努利试验
在n次独立重复的伯努利试验中，每次试 验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p 。例如，抛硬币、摸彩等。
二项分布
泊松分布
在n次独立重复的伯努利试验中，成功的 次数X服从参数为n和p的二项分布，记为 B(n,p)。例如，抛n次硬币，出现正面的 次数。
方差的定义与性质
方差的定义
方差是用来度量随机变量取值分散程 度的量，计算公式为$D(X) = E[(X E(X))^2]$，其中$E(X)$表示随机变 量$X$的期望值。
方差的基本性质
方差具有非负性，即对于任意随机变 量$X$，有$D(X) geq 0$；当随机变 量$X$取常数$c$时，方差$D(X) = 0$ 。
益。
投资决策
在保险公司的投资决策中，离散 型随机变量的期望和方差可以用 来评估不同投资组合的风险和回 报，帮助保险公司做出更明智的
投资决策。
在决策理论中的应用
风险偏好
离散型随机变量的期望和方差可以用来描述个人的风险偏好，通过比较不同决策方案的期望和方差， 个人可以做出更明智的决策。
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量概述:在概率论和数理统计中，期望和方差是两个重要的统计量。
它们用于描述随机变量的集中程度和离散程度。
本文将介绍期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望和方差公式:离散型随机变量是指在有限或可数的样本空间内取值的随机变量。
对于一个离散型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:期望是用来衡量随机变量取值的中心位置，常表示为E(X)。
对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中，x表示随机变量X取到的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率。
2. 方差公式:方差是用来衡量随机变量取值的离散程度，常表示为Var(X)或σ²。
方差的计算公式为：Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]其中，x表示随机变量X的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率，E(X)表示X的期望。
二、连续型随机变量的期望和方差公式:连续型随机变量是指取值在某一连续区间内的随机变量。
对于一个连续型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:连续型随机变量的期望的计算公式为：E(X) = ∫[x * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
2. 方差公式:连续型随机变量的方差的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，E(X)表示X的期望。
总结:本文介绍了期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∑[x * P(X = x)]，方差的计算公式为Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∫[x * f(x)] dx，方差的计算公式为Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx。
13个期望计算公式
13个期望计算公式期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要计算某种随机变量的期望，以便更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍13个常见的期望计算公式，帮助读者更好地理解和运用期望的概念。
1. 离散型随机变量的期望计算公式。
对于离散型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = Σx P(X=x)。
其中，x表示随机变量X可能取的值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
2. 连续型随机变量的期望计算公式。
对于连续型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫x f(x) dx。
其中，f(x)表示X的概率密度函数。
3. 二项分布的期望计算公式。
对于二项分布B(n,p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n p。
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
4. 泊松分布的期望计算公式。
对于泊松分布P(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = λ。
其中，λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。
5. 几何分布的期望计算公式。
对于几何分布G(p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/p。
其中，p表示每次试验成功的概率。
6. 均匀分布的期望计算公式。
对于均匀分布U(a,b)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = (a+b)/2。
其中，a和b分别表示随机变量X的取值范围的下限和上限。
7. 指数分布的期望计算公式。
对于指数分布Exp(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/λ。
其中，λ表示事件发生的速率。
8. 正态分布的期望计算公式。
对于正态分布N(μ,σ²)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = μ。
其中，μ表示分布的均值。
9. 超几何分布的期望计算公式。
对于超几何分布H(N,M,n)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n (M/N)。
其中，N表示总体容量，M表示总体中具有成功属性的个体数量，n表示抽取的样本容量。
随机变量的期望值计算
随机变量的期望值计算随机变量的期望值是概率论中一个非常重要的概念，它代表了随机变量在一次试验中平均取值的大小。
在实际问题中，计算随机变量的期望值可以帮助我们更好地理解问题的特性和规律。
本文将介绍随机变量的期望值的计算方法，包括离散型随机变量和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望值计算对于离散型随机变量X，其取值为有限个或可数个，记为{x1,x2, ..., xn}，对应的概率分布为{p1, p2, ..., pn}，则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn其中，xi为随机变量X的取值，pi为对应的概率。
通过这个公式，我们可以计算出离散型随机变量的期望值。
例如，假设有一个随机变量X的取值为{1, 2, 3, 4}，对应的概率分布为{0.1, 0.2, 0.3, 0.4}，那么随机变量X的期望值E(X)的计算如下：E(X) = 1*0.1 + 2*0.2 + 3*0.3 + 4*0.4 = 2.8因此，随机变量X的期望值为2.8。
二、连续型随机变量的期望值计算对于连续型随机变量X，其取值为一个区间[a, b]，概率密度函数为f(x)，则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(a到b) x*f(x) dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
通过这个公式，我们可以计算出连续型随机变量的期望值。
例如，假设有一个连续型随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x，取值区间为[0, 1]，那么随机变量X的期望值E(X)的计算如下：E(X) = ∫(0到1) x*2x dx = 2∫(0到1) x^2 dx = 2*[x^3/3] (0到1) = 2/3因此，随机变量X的期望值为2/3。
三、随机变量的期望值计算的应用随机变量的期望值计算在概率论和统计学中有着广泛的应用。
通过计算随机变量的期望值，我们可以得到随机变量的平均取值大小，从而更好地理解问题的特性和规律。
离散型随机变量的期望与方差
点评：当ξ的所有可能取值为x1，x2，…，xn这n个值时，若p1＝ p2＝…＝pn＝ ，则x1，x2，…，xn的方差就是我们初中学过 的方差．因此，现在学的方差是对初中学过的方差作了进一步 拓展．
4．方差的性质 (1)D(C)＝0(C 为常数)． (2)D(aξ＋b)＝a2Dξ. (3)Dξ＝Eξ2－(Eξ)2. (4)如果 ξ～B(n，p)，那么 Dξ＝npq.这里 q＝1－p. (5)如果随机变量 ξ 服从几何分布，且 P(ξ＝k)＝g(k，p)，q＝1 －p，那么 Dξ＝pq2.
B．1
C．2
D．4
解析：由ξ＝2η＋3得Dξ＝4Dη，而Dξ＝4，Dη＝1.故选B.
答案：B
5．(2011·安徽蚌埠二中练习)若随机变量 ξ 的分布列为：P(ξ
＝m)＝13，P(ξ＝n)＝a，若 Eξ＝2，则 Dξ 的最小值等于(
)
A．0 B．2
C．4 D．无法计算
解析：由题意得13＋a＝1，m×13＋n×a＝2， a＝23，m＋2n＝6，Dξ＝13×(2－m)2＋23×(2－n)2＝13×(2n－4)2 ＋23×(2－n)2＝2(n－2)2≥0，则 Dξ 的最小值等于 0.故选 A.
考点陪练 1.下面说法中正确的是( ) A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值 B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平 C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平 D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值 答案：C
【典例2】 编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个 座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数 是ξ.
(1)求随机变量ξ的概率分布；
离散型随机变量的期望值和方差
12.2 离散型随机变量的期望值和方差一、知识梳理1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i的概率为P（ξ=x i）=P i （i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑x i p i为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.2.方差：称Dξ=∑（x i－Eξ）2p i为随机变量ξ的均方差，简称方差. D叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b 为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，D ξ=npq（q=1－p）.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.二、例题剖析【例1】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、Dξ.拓展提高 既要会由分布列求E ξ、D ξ，也要会由E ξ、D ξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P （ξ=x 1）=53，P （ξ=x 2）=52，且x 1<x 2，又知E ξ=57，D ξ=256.求ξ的分布列.解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有E ξ=53x 1+52x 2=57， D ξ=53x 12+52x 22－E ξ2=256. 从而得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1123,723222121x x x x【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p 1，非意外死亡的概率为p 2，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利?【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求E ξ、D ξ.特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.【例4】 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p （0<p <1），用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.（1）求方差D ξ的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值. 【例5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n 的球n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。
离散型随机变量的期望和方差
离散型随机变量的期望和方差
离散型随机变量期望和方差是统计学中一个重要的知识点，也是概率论的基础知识。
期望和方差是离散随机变量可以推断出的一些重要数学性质，它们反映了离散随机变量的变化趋势。
在数学表述上，离散型随机变量的期望是指，取值不同的概率乘以该值的积分的平均值，用记号μ (mu)表示。
期望是离散型随机变量的基本特征，它描述了离散型随机变量中最有可能出现的值的程度，它的大小也反映了随机变量的中心位置。
离散型随机变量的方差是指期望和均值之差的平均平方值，用记号σ2 (sigma squared)表示，其中σ (sigma)是标准差。
方差反映了离散型随机变量取值之间的方差，它比较了每一个取值与离散型随机变量在期望上的偏差，表示了离散型随机变量取值分布情况。
运用离散型随机变量的期望和方差可以推断出更多的信息，即对离散随机变量要有更深入的了解，以便于更准确的预测。
可以利用期望和方差的知识来分析一个离散随机变量的发展趋势，以及在分析工具使用中的投资组合。
总之，离散型随机变量的期望和方差是随机变量分析的基础，也是揭示离散随机变量分布情况的重要工具，在众多领域都有重要的应用价值，如统计分析、投资组合设计等等。
以上就是关于离散型随机变量期望和方差的主要内容。
随机变量及其分布-离散型随机变量的数学期望和方差
离散型随机变量的数学期望和方差知识点一、离散型随机变量的数学期望 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称n n i i p x p x p x p x X E +++++= 2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。
2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。
3.性质：若X 是随机变量，b aX Y +=，其中b a ,是实数，则Y 也是随机变量，且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称∑=-=ni i ip X E x X D 12))(()(为随机变量的方差。
2.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。
3.性质：)()(2X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差如果),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=。
题型一离散型随机变量的均值【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝()X0123P0.1a b0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2 D．0.4【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为()A．0.6 B．1C．3.5 D．2【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【过关练习】1.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E (ξ)等于( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765D ．0.222.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：3.已知随机变量ξ的分布列为则x ＝______，P (1≤ξ<3)＝4.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．题型二 离散型随机变量方差的计算【例1】若X 的分布列为其中p ∈(0,1)，则( ) A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2D ．D (X )＝pq 2【例2】设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n⎝⎛⎭⎫23k .⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24, 则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29D ．16【例3】若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________.【例4】若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则σ(X 3)＝( )A ．0.5 B. 1.5 C. 2.5D ．3.5【例5】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：求工期延误天数Y 的均值与方差．【过关练习】1.某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( ) A ．0.48 B ．1.2 C ．0.72D ．0.62.设投掷一个骰子的点数为随机变量X ，则X 的方差为________．3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X 表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列结论：①E (X )＝65，E (η)＝95；②E (X 2)＝E (η)；③E (η2)＝E (X )；④D (X )＝D (η)＝925.其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)4.海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2(单位：s)，其分布列如下：课后练习【补救练习】1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.642．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为()A．100和0.08 B．20和0.4C．10和0.2 D．10和0.83.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较4．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．【巩固练习】1.现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是() A．6 B．7.8C．9 D．122.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为()A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.43.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6,2.4 B．2,2.4C．2,5.6 D．6,5.64.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.5.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.6.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.7.某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出3 km 时按起步价收费，若行驶路程超出3 km ，则按每超出 1 km 加收3元计费(超出不足 1 km 的部分按 1 km 计)．已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位：km)，它们出现的概率分别为0.12,0.18，0.20，0.20,0.18,0.12，设出租车行车路程ξ是一个随机变量，司机收费为η(元)，则η＝3ξ－3，求出租车行驶一天收费的均值．8.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D (ξ)为62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【拔高练习】1．设ξ为离散型随机变量，则E (E (ξ)－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．3.A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为：(1)在A ，B 两个项目上各投资10012A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．。
概率与统计中的期望值计算
概率与统计中的期望值计算期望值是概率与统计中的一个重要概念，用于衡量随机变量的平均值。
在概率论和统计学中，期望值是一种对随机变量取值的加权平均，通过对随机变量的每个可能取值乘以其对应的概率，然后将所有结果相加得到。
本文将介绍概率与统计中的期望值计算方法及其应用。
一、期望值的定义在概率与统计中，期望值表示随机变量的平均值，用E(X)表示。
对于一个离散型随机变量X，其期望值的计算公式如下：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x代表随机变量X的每一个可能取值，P(X=x)代表该取值发生的概率。
对于一个连续型随机变量X，其期望值的计算公式如下：E(X) = ∫x f(x)dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
二、期望值的计算方法1. 离散型随机变量的期望值计算对于离散型随机变量X，可以通过列出所有可能取值及其对应的概率，然后将每个取值乘以其概率，最后将所有结果相加来计算期望值。
例如，假设有一个掷骰子的实验，随机变量X表示掷骰子的结果，其可能取值为1、2、3、4、5、6，每个取值的概率均为1/6。
则可以计算如下：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5因此，掷骰子的期望值为3.5。
2. 连续型随机变量的期望值计算对于连续型随机变量X，其期望值的计算需要使用积分。
首先需要确定随机变量X的概率密度函数f(x)，然后将x乘以f(x)，再对整个乘积进行积分。
例如，假设有一个服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。
则可以计算如下：E(X) = ∫x f(x)dx = ∫x [(1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))]dx这个积分可以通过数值计算或使用数学软件进行求解。
离散型随机变量期望与方差
离散型随机变量期望与方差引言离散型随机变量是概率论与统计学中的重要概念之一。
在处理离散型随机变量时，我们经常需要计算其期望与方差，以帮助我们了解变量的分布特征。
本文将详细介绍离散型随机变量的期望与方差的定义及其计算方法。
期望的定义与计算离散型随机变量的期望表示了该随机变量可能取值的加权平均。
如果离散型随机变量X的取值为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn，那么随机变量X的期望可以通过以下公式计算：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + … + xn * pn其中E(X)表示变量X的期望。
下面以一个简单的例子来说明期望的计算过程。
假设某班级有10个学生，他们的考试成绩（以百分制计）分别为60、70、80、90、90、80、70、80、90、60，对应的概率分别为0.1、0.2、0.1、0.2、0.1、0.05、0.1、0.1、0.05、0.1。
现在我们来计算这些考试成绩的期望。
60 * 0.1 + 70 * 0.2 + 80 * 0.1 + 90 * 0.2 + 90 * 0.1 + 80 * 0.05 + 70 * 0.1 + 80 * 0.1 + 90 * 0.05 + 60 * 0.1 = 79所以，这些考试成绩的期望为79。
方差的定义与计算离散型随机变量的方差反映了该变量的取值相对于其期望的离散程度。
方差的计算公式如下所示：Var(X) = E((X - E(X))²) = (x1 - E(X))² * p1 + (x2 - E(X))² * p2 + … + (xn - E(X))² * pn其中Var(X)表示变量X的方差。
方差的计算比较繁琐，但仍然是可行的。
我们可以利用先前计算得到的X的期望，将其带入方差计算公式中，即可求得方差的值。
继续以前面的例子进行说明，我们已经计算得到班级考试成绩的期望为79。
高中数学选修2-3-离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量的期望与方差知识集结知识元离散型随机变量的期望与方差知识讲解1．离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…x n…P p1p2…p n…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+x n p n+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝p n，则有p1＝p2＝…＝p n＝，Eξ＝（x1+x2+…+x n）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，x n，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，p n…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．例题精讲离散型随机变量的期望与方差例1.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元、若中标的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则D（X）=（）A．7B．31.9C．37.5D．42.5例2.设随机变量ξ服从分布B（n，p），且E（ξ）=1.2，D（ξ）=0.96，则（）A．n=6，p=0.2B．n=4，p=0.3C．n=5，p=0.24D．n=8，p=0.15例3.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10-m个白球，B盒中有10-m个红球与m个白球（0<m<10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为（）A．3B．5C．7D．9当堂练习单选题练习1.随机变量ξ的分布列如表，且E（ξ）=1.1，则D（ξ）=（）A．0.36B．0.52C．0.49D．0.68练习2.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元、若中标的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则D（X）=（）A．7B．31.9C．37.5D．42.5练习3.设随机变量ξ服从分布B（n，p），且E（ξ）=1.2，D（ξ）=0.96，则（）A．n=6，p=0.2B．n=4，p=0.3C．n=5，p=0.24D．n=8，p=0.15练习4.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10-m个白球，B盒中有10-m个红球与m个白球（0<m<10），若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m的值为（）A．3B．5C．7D．9解答题练习1.'为了积极支持雄安新区建设，某投资公司计划明年投资1000万元给雄安新区甲、乙两家科技企业，以支持其创新研发计划，经有关部门测算，若不受中美贸易战影响的话，每投入100万元资金，在甲企业可获利150万元，若遭受贸易战影响的话，则将损失50万元；同样的情况，在乙企业可获利100万元，否则将损失20万元，假设甲、乙两企业遭受贸易战影响的概率分别为0.6和0.5．（1）若在甲、乙两企业分别投资500万元，求获利1250万元的概率；（2）若在两企业的投资额相差不超过300万元，求该投资公司明年获利约在什么范围内？'练习2.'某蛇养殖基地因国家实施精准扶贫，大力扶持农业产业发展，拟扩大养殖规模．现对该养殖基地已经售出的王锦蛇的体长（单位：厘米）进行了统计，得到体长的频数分布表如下：若王锦蛇、乌梢蛇成年母蛇的购买成本分别为650元/条、600元/条，每条母蛇平均可为养殖场获得1200元/年的销售额，且每条蛇的繁殖年限均为整数，将每条蛇的繁殖年限的频率看作概率，以每条蛇所获得的毛利润（毛利润=总销售额-购买成本）的期望值作为购买蛇类的依据，试问：应购买哪类蛇？'练习3.'中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．②记抽到45岁以上的人数为x，求随机变量x的分布列及数学期望．'练习4.'已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．（1）将甲每天生产的次品数记为x（单位：件），日利润记为y（单位：元），写出y与x的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．'练习5.'“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．'。
期望值和方差的公式
期望值和方差的公式一、期望值概念：期望值是随机变量取值与其概率的加权平均，用来表示随机变量的平均取值。
1.离散型随机变量的期望值：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的期望值E(X)定义为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn2.连续型随机变量的期望值：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx性质：1.期望值的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)2.期望值的保序性：如果随机变量X的取值总是大于等于随机变量Y的取值，则有：E(X)≥E(Y)二、方差概念：方差是用来度量随机变量与其期望值之间的偏离程度或波动程度。
1.离散型随机变量的方差：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 -E(X))^2*p2 + ... + (xn - E(X))^2*pn2.连续型随机变量的方差：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx性质：1.方差的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)2.方差的非负性：对于任意的随机变量X，有：Var(X) ≥ 03.方差的可加性：对于独立随机变量X和Y，有：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)三、期望值和方差的计算公式1.对离散型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn（2）方差：Var(X) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 - E(X))^2*p2 + ... + (xn -E(X))^2*pn2.对连续型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = ∫xf(x)dx（2）方差：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx总结：期望值和方差是概率论中重要的概念，用于描述随机变量的分布特征。
离散型随机变量的期望和方差公式
离散型随机变量的期望和方差公式
离散型随机变量是指其概率分布中的取值非连续，比较容易准确衡量的一种变量。
它的期望（Expectation）和方差（Variance）很容易求取，分别表示离散型
随机变量的平均值与离差的大小。
其具体的期望和方差的计算公式分别为：
期望：E(X)=∑(X×P(X))
方差：Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
其中，E(X)是离散型随机变量X的期望，P(X)是该随机变量X出现各种取值的
概率，Var(X)是X的方差。
从数学角度看，衡量离散型随机变量不同取值组合对系统产生的影响大小，首
先要做的就是求取这些函数的期望和方差。
以上公式可以很好地满足这一要求，只要知道每种取值的概率分布，按照公式便可轻松求得它的期望和方差。
计算期望和方差更重要的意义在于，它可以作为评价随机变量取值组合优劣的
标准。
期望和方差能够对随机对象的平均水平和变异程度有一个明确而准确的量化，是经济学研究中不可或缺的一项重要工具。
因此，熟练掌握离散型随机变量的期望和方差计算公式，可以有效的指导系统
优化、风险分析等管理与计算中的实际应用。
离散型随时机变量的期望与方差
2．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一 旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实 施结果：
投资成功 192次
投资失败 8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是________元． 答案：4 760
3．已知 ξ服从二项分布，即ξ～B(100， )，则E(2ξ＋3)＝________. 解析：由已知Eξ＝100× ＝50，∴E(2ξ＋3)＝2Eξ＋3＝103. 答案：103
【答题模板】
解答：根据已知条件随机变量x的取值分别是1,2,3.
P(x＝1)＝
，P(x＝2)＝
P(x＝3)＝
则随机变量ξ的分布列为
x
1
2
3
ξ
Eξ＝ ＋1＋ ＝
【分析点评】
1. 离散型随机变量的期望和方差是高考考查离散型随机变量分布列的重 点．高考中也考查二项分布和几何分布相关的分布列及期望和方差．
复试验，故ξ～B(5， )，即有P(ξ＝k)＝
，k＝0,1,2,3,4,5.
由此计算ξ的分布列如解法一．
(2)Eξ＝
.
解法三：(1)同解法一或解法二． (2)由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布， 故期望值相等．即3Eξ＝5，从而Eξ＝ .
变式2. 2010年广州亚运组委会向民间招募防暴犬，首先进行入围测试，计划考 查三类问题：①体能；②嗅觉；③反应，这三类问题中只要有两类通过测试， 就可以入围．某驯犬基地有4只优质犬参加测试，已知这4只优质犬通过①类问 题的概率都是 ，通过②类问题的概率都是 ， 通过③类问题的概率都是 . (1)求每只优质犬能够入围的概率； (2)若每入围1只优质犬给基地计10分，设基地得分为随机变量ξ，求Eξ.
随机变量及其分布-离散型随机变量的数学期望和方差
离散型随机变量的数学期望和方差知识点一、离散型随机变量的数学期望1. 定义则称E(X)=人》• X2p2亠 '亠人口亠I•.亠X n P n为随机变量X的数学期望或均值。
2. 意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。
3•性质：若X是随机变量，丫二aXF，其中a,b是实数，则Y也是随机变量，且E(aX b^aE(X) b二、离散型随机变量的方差1. 定义n则称D(X)八，(人-E(X))2p i为随机变量的方差。
i=12. 意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。
23. 性质：D(aX b)二a D(X)三、二项分布的均值与方差如果X ~ B(n, p)，则E(X)二np ， D(X)二叩(1 - p)。
题型一离散型随机变量的均值【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)= 1.6,则a— b =( )A.0.2 B . 0.1C.—0.2 D . 0.4【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数E的数学期望为()A . 0.6B . 1C. 3.5 D . 2【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分•小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的均值为________________________ .【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；⑵若要求P(X W n)> 0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n= 19与n= 20之中选其一，应选用哪个？【过关练习】1•今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为匕则E( 3等于()A . 0.765B . 1.75C . 1.765D . 0.222•某射手射击所得环数 3的分布列如下：3•已知随机变量 3的分布列为则 x = _______ , P(1< 33) = __________ , E( 3 = ________.4.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10个粽子，其中豆沙粽 2个，肉粽 3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同•从中任意选取 3个.(1) 求三种粽子各取到1个的概率；(2) 设X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望.题型二 离散型随机变量方差的计算【例1】若X 的分布列为其中 p € (0,1)，则( )A . D(X) = p 3B .C . D(X) = p — p 2D .0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为D(X)= p 2 D(X)= pq 2A . 8B . 12 2 C.9D . 16【例 3】若 D(3= 1 ,则 D( 3- D( 3) = _________ .3【例 4】若随机变量 X 1 〜B(n,0.2), X 2〜B(6, p), X 3〜B(n , p),且 E(X 1)= 2, D(X 2)=刁 贝卩 c(X 3)=( )A . 0.5 B. 1.5 C. 2.5D . 3.5【例5】根据以往的经验，某工程施工期 间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表:降水量X X<300300W X<700700 W X<900X > 900工期延误 天数Y2610该工程施工期间降水量 的均值与方差.【过关练习】1•某人从家乘车到单位，途中有3个路口 .假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4,则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为 ( )A . 0.48B . 1.2C . 0.72D . 0.62.设投掷一个骰子的点数为随机变量 X ,则X 的方差为 .3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取 3个球，以X 表示取到白球的个数，n 表示取到黑球的个数.给出6 9 9下列结论：① E(X)= 5, E (n= 5；② E(X 2) = E (n ；③ E (n )= E(X);④ D(X) = D (n = 25. 其中正确的是 _________ .(填上所有正确结论的序号) 4.海关大楼顶端镶有 A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2(单位：s),其分布列如下：【例2】设随机变量 ,k = 0,1,2,…,n ,且 E(8 = 24,则 D( 3的值为(历年气象资料表明, E 的分布列为P(E= k) = C n课后练习【补救练习】1. 若随机变量E〜B（n,0.6），且E（8= 3，贝U P（ 1）的值为（）A . 2 X 0.44B . 2X 0.45C. 3X 0.44 D . 3X 0.642•已知〜B（n, p）, E（8= 8, D（3= 1.6，则n与p的值分别为（）A . 100 和0.08B . 20 和0.4C. 10 和0.2 D . 10 和0.83•有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E（X 甲）= E（X 乙），方差分别为D（X（）甲）= 11, D（X乙）=3.4.由此可以估计A •甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B•乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D•甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较4.一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为__________ ;方差为________ .【巩固练习】1. 现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是（）A. 6B. 7.8C . 9D . 122. —射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为（）A . 2.44 B. 3.376C . 2.376 D. 2.43. 已知随机变量X + Y= 8，若X〜B （10,0.6），贝U E（Y）, D（Y）分别是（）A . 6,2.4 B. 2,2.4C . 2,5.6 D. 6,5.64•马老师从课本上抄录一个随机变量E的概率分布列如下表:请小牛同学计算E的数学期望•尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E(3 = __________ .5•某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历•假定该毕业生得到甲公司面试的2概率为2得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生1得到面试的公司个数，若P(X= 0) = 12,则随机变量X的数学期望E(X) = _____________ .6•随机变量E的分布列如下:1其中a, b, c成等差数列，若E( 3= 3则D(3 = _______________ •7•某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出3 km时按起步价收费，若行驶路程超出3 km，则按每超出1 km加收3元计费(超出不足 1 km的部分按 1 km计).已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位：km)，它们出现的概率分别为0.12,0.18, 0.20, 0.20,0.18,0.12，设出租车行车路程3是一个随机变量，司机收费为n元)，则n= 3 3- 3,求出租车行驶一天收费的均值.8.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设3为成活沙柳的株数，数学期望E(3= 3，标准差D 3为中.(1)求n, p的值并写出3的分布列；⑵若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.【拔高练习】1.设E为离散型随机变量，则E(E(3 —3 =( )A . 0B . 1C. 2 D .不确定2•甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛•假设每局甲获胜的概率为2,乙获胜的概率为3各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内洽4局)赢得比赛的概率；⑵记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望).3. A, B两个投资项目的利润率分别为随机变量X i和X2.根据市场分析，X i和X2的分布列分别为:(1)在A, B两个项目上各投资100万元，Y i(万元)和丫2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y”, D(Y2);⑵将x(0w X W 100)万元投资A项目，(100 —x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和•求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值.。
离散型随机变量的期望和方差的计算与分析
离散型随机变量的期望和方差的计算与分析随机变量是概率论中的重要概念，它描述了一个随机试验的结果。
离散型随机变量是指取有限个或可数个数值的随机变量。
在概率论和统计学中，我们经常需要计算和分析离散型随机变量的期望和方差，以便更好地理解和描述概率分布的特征。
一、离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望是对随机变量取值的加权平均值。
设X是一个离散型随机变量，其可能取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn。
那么X的期望E(X)可以通过以下公式计算：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn期望可以理解为随机变量的平均取值，它能够反映出随机变量的集中趋势。
例如，假设有一个骰子，其可能的结果为1、2、3、4、5、6，每个结果出现的概率均为1/6。
那么骰子的期望为：E(X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = 3.5这意味着在大量的骰子投掷中，我们可以预期的结果接近于3.5。
二、离散型随机变量的方差方差是对随机变量取值的离散程度的度量。
离散型随机变量X的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X) = E[(X - E(X))^2] = (x1 - E(X))^2 * p1 + (x2 - E(X))^2 * p2 + ... + (xn -E(X))^2 * pn方差的计算过程可以简单理解为，对随机变量的每个取值与期望的差异进行平方，并乘以对应的概率，最后将所有结果相加。
方差可以帮助我们判断随机变量的分布形态。
如果方差较小，说明随机变量的取值相对集中，分布形态较为陡峭；如果方差较大，说明随机变量的取值相对分散，分布形态较为平坦。
以骰子为例，骰子的方差为：Var(X) = (1 - 3.5)^2 * 1/6 + (2 - 3.5)^2 * 1/6 + (3 - 3.5)^2 * 1/6 + (4 - 3.5)^2 * 1/6 + (5 - 3.5)^2 * 1/6 + (6 - 3.5)^2 * 1/6 = 2.9167这意味着骰子的取值相对分散，分布形态较为平坦。
离散型随机变量的期望计算
离散型随机变量的期望计算离散型随机变量的期望是概率论中重要的概念之一，它用来描述随机变量的平均值。
在本文中，我们将详细介绍离散型随机变量的期望计算方法及相关概念。
一、离散型随机变量的定义离散型随机变量是指取有限或可数个数值的随机变量。
其概率分布以概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来表示。
设X 为一个离散型随机变量，其取值集合为{x1,x2,...,xn}，相应的概率为{p1,p2,...,pn}，则其概率质量函数可以表示为：P(X=x1) = p1P(X=x2) = p2...P(X=xn) = pn二、离散型随机变量的期望计算离散型随机变量的期望计算公式为：E(X) = ∑(xi * pi)其中，xi为随机变量X的取值，pi为相应的概率。
以一个简单的例子来说明期望的计算过程。
假设一批产品中有A、B、C三种类型，其数量分别为10、20、30个，出厂时的价值分别为100、200、300元。
我们可以定义随机变量X代表产品的类型，随机变量Y代表产品的价值。
根据数据，我们可以得到离散型随机变量X 和Y的概率质量函数如下：X的概率质量函数为：P(X=A) = 10 / 60 = 1/6P(X=B) = 20 / 60 = 1/3P(X=C) = 30 / 60 = 1/2Y的概率质量函数为：P(Y=100) = 10 / 60 = 1/6P(Y=200) = 20 / 60 = 1/3P(Y=300) = 30 / 60 = 1/2根据期望计算公式，我们可以计算出X和Y的期望：E(X) = (A * 1/6) + (B * 1/3) + (C * 1/2)= (10 * 1/6) + (20 * 1/3) + (30 * 1/2)= (10/6) + (20/3) + (30/2)= 5/3 + 20/3 + 15= 20/3 + 20 + 15= 40/3 + 15= 55/3≈ 18.33E(Y) = (100 * 1/6) + (200 * 1/3) + (300 * 1/2)= (100/6) + (200/3) + (300/2)= 50/3 + 200/3 + 300/2= 250/3 + 300/2= 250/3 + 450/3= 700/3≈ 233.33三、期望的解释与应用离散型随机变量的期望可以理解为随机变量的加权平均值。
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离散型随机变量的
苴日也
教学要求：
使学生了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望.
对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律。
在实际问题中，我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差。
引例:
某射手射击所得环数E的分布列如下:
根据这个射手射击所得环数E的分布列，在n次射击中，预计有大约
0.02n次的4环..
类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数E的分布列，即已知各个P
(^i)(i=O,1,2,3,...10),则可预计他任意n次射击的平均环数是
Eg二XP ( §二0) + 1 XP ( 5=1)+.. + XP ( ^=10)
称Eg为此射手射击所得环数g的期望，它刻划了随机变量g所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击水平。
1、期望
若离散型随机变量E的概率分布为
则称Eg二XP+X2P尹…+XnPn+…为§的数学期望或平均数、均值，又称期望。
问：若E为上述离散型随机变量，贝怕二ag+b的分布列怎样？Er］呢?
因为P ( r]=a Xj+b) =P ( g二片),i=1, 2, 3...
所以，n的分布图为
于是E r|= (ax〔+b)Pi+ (a x2+b)p2+...+ (a x n+b)p n+ ...
=a ( x1 p1+ x2p2+ ---+ x n p n+ ...) +b(P1+P2+…+p门+…)
=a E g+b
2、例题
例1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0
分。
已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分g的期望。
例2随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数§的期望。
例3有一批数量很大的产品，其次品率是15%。
对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽岀次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次。
求抽查次数E 的期望。
（结果保留三个有效数字）
解：抽查次数E取1~10的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检验的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15,取出正品的概率是0.85,前次取出正品而第k 次（k=1, 2, ...9）取出次品的概率
P （£二k） =g（k,0.15）=0.85k-1X0.15, （k=1, 2, ...9）；
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率
P（5=10） =0.859（为什么？）
3、鞋论⑴:若LB(n, p), |jjE&np
证明：・・・P(E二k)二C/pkqn-k (・.・ k CnQnCmL)
・・・E £ =0 X C n°p°q n+ 1 XC n1p1q n-1+ 2 X C n2p2q n-2 +
…+ kxc n k p k q n-k+.. + n x C n n p n q°
=np(C n.1°p°q n-1 + C m11p1q n-2+ ... +
% kJ pk・1 q(n-1 )-(k-1)+...+ % n'1 q°)
=n p(p+q)nJ= np
服从二项分布的随机变量的期望
若E~B(n,p),贝!|E^=np
例4 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项。
其中有且仅有一个是正确答案，每题选择正确答案得5分。
不作出选择或选错不得分，满分100分。
学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。
求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
犁5: —次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有厂个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分满分100分。
学生甲选对任一题的聶當劳鳥＞学生乙则在测验中对每题都从4个选项T随机地选择一个。
求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望O
解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是E 和耳,则
七〜B(205 0.9)，
耳〜B(20，0.25),
EE = 20X 0.9 = 18，E“ = 20X0.25 = 5.
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是％和刿。
所以，他们在测验中的成绩的期望分别是
E(5® = 5EE = 5X18 = 90，
E(5耳)=5E Y)=5X 5 = 25 ・
服从几何分布的随机变量的期望结论⑵:若p(^=k)=g(k, p),则E的/p
p 1 2
p pq
3 ...
pq2 ...
k
pqk-i
• • •
■ ■■
)1严T
・・・E g =p+2pq+3pq2+...+kpq k1+... qE § =pq+2pq2+3pq3+.._+kpq k+...
••・(1・q)E §
=p+pq+pq2+pq3+...+pq k+...
例5在独立重复的射击试验中，某人击中目标的概率为0.2，则他在射击时击中目标所需要的射击次数g 的期望是多少？
小结：1、随机变量的数学期望。
、若§〜
练习：P14 1-6o
作业：习题1.2 P16 1-6
补充：二点分布
（贝努里分布）一次试验中，某事件发生的概率为p, n是一次试验中此事件发生的次数问题：r］二？答案：r］二0 or 1
令q=1・p,则P(n=0)=p, P(n=1)=q,
••・Er］ = 0Xq + 1 Xp=p
由此可知，在一次试验中此事件平均发生p次
我们把上述分布称贝努里分布又称二点分布
讲评作业:P9习题3, 6
3、某射手射击击中目标的概率为0.9,求从开始射击到击中目标所需的射击次数E的概率分布。
解：身寸击次数E的概率分布为
6、某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件，求其中次品数E的分布列。
解：E〜B (5, 0.1U的分布列为。