二次函数第一课时概念
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二次函数的性质再研究第一课时--二次函数图像
1 2
x2的图象：
fg11(x(x))==-2×x×x
-1 2
×x×x
y=2x2y=x2
y=
1 2
x2
y=-
1 2
x2
y=-x2
y=-2x2
抽象概括
１.二次函数y=ax2(a0)的图像 可由的y=x2图像各点纵坐标变为原来的a倍得到
2.a决定了图像的开口方向: a>0开口向上，a<0开口向下
k0,向下平移k 个单位长度 y a( x h)2 k
函数y=2x2和y=2x2-12x+16图像的关系？
y 2x2 12x 16
2(x2 6x) 16 2(x2R 6x 32 32) 16 2( x 3)2 2
图像演示：函数y=2x2和y=2x2-12x+16图像的关 系
4.1 二次函数性的图像
画出函数 y x2 , y 2x2 y 1 x2 .
1.列表：
2
x
… -2 -1 0 1 2 …
2.描点： y=x2
.
4
10 1 4
3.连线：y=2x2 .
y=
1 2
x2
.
8
20 2 8
2 1/2 0 1/2 2
顶点坐标
y=2x2
y=x2
y=
1 2
x2
画出函数y=-x2、y=-2x2、y=-
y=2 y=2x2-12x+16
抽象概括
如何得到二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像？
一般地，二次函数 y ax2 bx c(a 0)可以通过配方得到
它的顶点式 y a( x h)2 k, 从而知道，由y ax2的图像如 何平移就得到 y ax2 bx c(a 0)的图像.
《二次函数的图像》第一课时教学课件
1 顶点坐标
顶点的x坐标为-Vx，y坐标为Vy。
2 轴对称线方程
轴对称线的方程为x = Vx。
二次函数图像的几个特殊情况
当二次函数的a、b和c的值满足特定条件时，图像可能具有一些特殊的形状和 性质。这些特殊情况需要我们额外关注和分析。
一元二次方程与二次函数的联 系
一元二次方程的一元二次项系数可以决定二次函数的图像开口方向以及顶点 的坐标。通过对一元二次方程进行因式分解，可以找到对应的二次函数的顶 点。
二次函数图像的坐标变化规律
1
沿x轴方向平移
2
当在二次函数中加上或减去常数时，
图像会沿x轴左右平移。
3
缩放
4
当对二次函数进行拉伸或压缩时， 图像会沿x轴或y轴方向进行缩放。
二次函数图像的基本性质
开口方向
当a大于0时，图像开口向上；当a小于0时， 图像开口向下。
顶点
顶点是图像的最高点或最低点，记为(Vx, Vy)。当a大于0时，Vy是最小值；当a小于 0时，Vy是最大值。
轴对称线
轴对称线是通过顶点并垂直于x轴的直线。 它将图像分成对称的两部分。
零点
零点是二次函数图像与x轴相交的点，即 使y等于0的点。
《二次函数的图像》第一 课时教学课件
欢迎来到《二次函数的图像》第一课时教学课件！本课程将介绍二次函数的 定义、图像的基本性质、与一元二次方程的联系，以及图像的坐标变化规律。 还将讨论平移、翻折和缩放，特殊情况的图像以及顶点坐标和轴对称线。
二次函数的定义
二次函数是一个以二次方程表示的函数，形如：y = ax^2 + bx + c。其中，a、b 和c是常数，a不等于0。
沿y轴方向平移
人教版数学九年级上册22 二次函数(第一课时)课件
4
【典例】下列各式中，y 是 x 的二次函数的是( )
A．y＝x12
B．y＝2x＋1
C．y＝x2＋x－2
D．y2＝x2＋3x
分析：y＝x12中，x12为分式，不是二次函数，故 A 不符题意；y＝2x＋1 中，x 的
次数为 1，是一次函数，故 B 不符题意；y＝x2＋x－2 符合二次函数的定义，是二次
函数解析式是 y＝3x＋2 或 y＝33＋215
5x＋5＋23
5或 y＝33－215
5x＋5－23
5 .
(2) 若 函 数 y ＝ (m2 － m － 2)xm2 － 5m － 4 ＋ (m ＋ 1)x ＋ m 为 二 次 函 数 ， 则
m2－5m－4＝2， m2－m－2≠0.
解得 m＝6.故当 m＝6 时，函数 y＝(m2－m－2)xm2－5m－4＋(m
• (1)求直线AB的解析式； • (2)若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数解析
式．
17
解：(1)如图所示，∵OE＝CD＝80 m，OC＝ED＝100 m，AE＝60 m，BC＝70 m， ∴OA＝20 m，OB＝30 m，即 A(0,20)、B(30,0)．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
►如果我们不曾相遇，你的梦里就不会有我的出现，我们都在不断地 和陌生人擦肩;如果人生不曾相遇，我的生命里就不会有你的片段，我 们都在细数着自己的日子。 ►当离别的脚步声越来越清晰，我们注定分散两地，继续彼此未完的 人生，如果我说放不下，短短一个月的光景，你是否愿意相信，我的 真诚，我的执着，只源于内心深处那一份沉沉的不舍。
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
2.2二次函数的图象与性质第一课时
（1）列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
（2）描点. （3）连线.
y
O
-5-4 -3-2-1 1 2 3 45
x
-2
-4
-6
-8
y=-x2
探索新知 思考：（1）二次函数y=-x2与y=x2的图象形状是否相同？
（2）寻找二次函数y=-x2与y=x2的图象之间的联系以及区别
提出、分析问题？
谢谢观看 XIE XIE GUAN KAN
（2）在直角坐标系中描点. （3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图象.
10 y y=x2 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
探究新知
观察y=x2的图象，回答下列问题： （1）你能描述图象的形状吗？ （2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （3）当x <0时，随着x的增大， y的值如何变化？ x >0呢？ （4）当x取什么值时， y的值最小？
应用提高
3 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝x2的图象交于A(－1，1)和
B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取值范围是( D )
A．x<－1
B．x>2
C．－1<x<2
D．x<－1或x>2
4 已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3) 都在函数y＝x2的图象上，则( C )
练习提高
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象上的两点，当x1<x2<0时，y1 与y2的大小关系为_y_1＜__y_2__．
二次函数第一课时
A
）
A y = 8x2 +1 . 1 C. y = 3x + 2 x
2
B. y = 2x −3 3 D. y = x
b ≠1 变式题： 是二次函数， 变式题：若 y = (b −1 x2 +3 是二次函数，则_________. )
类型二：实际问题中的二次函数。 类型二：实际问题中的二次函数。
例题2 一个正方形的边长为12cm,若从中挖去一个长为2x 例题2：一个正方形的边长为12cm,若从中挖去一个长为2x 12cm,若从中挖去一个长为 cm,宽为 宽为(x+1) cm的小长方形 的小长方形, cm,宽为(x+1) cm的小长方形,剩余部分的面积为 y cm2 (1)写出与 (1)写出与y之x间的关系表达式,并指出y是x的什么函数? 写出与y 间的关系表达式,并指出y 的什么函数? (2)当小长方形的长中,x的值为2,4时 当小长方形的长中,x的值为2,4 (2)当小长方形的长中,x的值为2,4时,相应的剩余部分 的面积是多少? 的面积是多少? 变式题：一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S 变式题：一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S 和半径r之间的关系式. 和半径r之间的关系式. 例题3 例题3：n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛, 出比赛的场次m与球队数n之间的关系式. 出比赛的场次m与球队数n之间的关系式.
总结反思,拓展升华 总结反思 拓展升华
(1)总结： (1)总结： 总结 二次函数的概念： 二次函数的概念：
一般地， a,b,c为常 一般地，形如 y = ax +bx + c（a,b,c为常 a≠0）的函数称为y关于x 二次函数。 数，a≠0）的函数称为y关于x的二次函数。
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(2)x2-4x+4≤0;
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数(第一课时)概念
2
7
是二次函数，求 m 的值。
2.试在平面直角坐标系画出二次函数 y=x2 和 y=-x2 图象 【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标 人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第 4 题，旨 在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣。
22. 二次函数
1、 二次函数的定义： 形如 y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c 为常数) 的函数叫做二次函数。
-5-
（2014-2015 学年度第一学期）
备课教师 李扬茂 年级 九年级 班级 905
科目 数学 教材版本：人教版
教学 反思
-6-
（2014-2015 学年度第一学期）
教 学
对二次函数的好奇和兴趣。 看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。 （电脑演示） 例 1、 (1)圆的半径是 r(cm)时， 面积 s (cm²)与半径之间的关系是什么?
过 程
解：s=π r² （r>0） 例 2、 用周长为 20m 的篱笆围成矩形场地， 场地面积 y(m² )与矩形一 边长 x(m)之间的关系是什么？ 解： y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x²+10x (0<x<10)
判断： 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数， 指出 a、 b、 c．
(1)y=3(x-1)² +1 (3)s=3-2t² (5) s=10π r²
(2)
y x2
1 x
(4)y=(x+3)² - x² (6) y=2² +2x (8)y=x4＋2x2＋1（可指出 y 是关于 x2 的二
对二次函数概念的理解。 由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 讲授法、讨论法。 主要教学过程 个人修改
7
是二次函数，求 m 的值。
2.试在平面直角坐标系画出二次函数 y=x2 和 y=-x2 图象 【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标 人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第 4 题，旨 在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣。
22. 二次函数
1、 二次函数的定义： 形如 y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c 为常数) 的函数叫做二次函数。
-5-
（2014-2015 学年度第一学期）
备课教师 李扬茂 年级 九年级 班级 905
科目 数学 教材版本：人教版
教学 反思
-6-
（2014-2015 学年度第一学期）
教 学
对二次函数的好奇和兴趣。 看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。 （电脑演示） 例 1、 (1)圆的半径是 r(cm)时， 面积 s (cm²)与半径之间的关系是什么?
过 程
解：s=π r² （r>0） 例 2、 用周长为 20m 的篱笆围成矩形场地， 场地面积 y(m² )与矩形一 边长 x(m)之间的关系是什么？ 解： y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x²+10x (0<x<10)
判断： 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数， 指出 a、 b、 c．
(1)y=3(x-1)² +1 (3)s=3-2t² (5) s=10π r²
(2)
y x2
1 x
(4)y=(x+3)² - x² (6) y=2² +2x (8)y=x4＋2x2＋1（可指出 y 是关于 x2 的二
对二次函数概念的理解。 由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 讲授法、讨论法。 主要教学过程 个人修改
二次函数(第一课时)
变式：把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项系数为_-3____, 一次项系数为___-_1_6_，常数项为 12 .
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c
不一定是，缺少a≠0的条 件.
② y=3-2x²
③y=x2
④ y= 1
x2
不是，右边是 分式.
解： 由题意得： m2 9 0
∴m≠±3
3.若函数y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4
是二次函数， 那么m取值范围是什么？
解：由题意得：
m2 2m 1 2 m 1 0
m的取值范围是m 3
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
问题2:用总长为60m的篱笆围成矩形场地,场地面积S(m²) 与矩形一边长x(m)之间的关系是什么? s x(30 x)
x2 30x
问题3:某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增 长,这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y
y 2(1 x)2
以上三个关系式有什么共同特点? 请归纳出二次函数的概念
x2 30x
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义.
6.写出下列各函数关系，判断它们是什么类型的函
数，并求出自变量的取值范围.
（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（
cm）之间的函数关系； S 6a2(a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函
3.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c
不一定是，缺少a≠0的条 件.
② y=3-2x²
③y=x2
④ y= 1
x2
不是，右边是 分式.
解： 由题意得： m2 9 0
∴m≠±3
3.若函数y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4
是二次函数， 那么m取值范围是什么？
解：由题意得：
m2 2m 1 2 m 1 0
m的取值范围是m 3
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
问题2:用总长为60m的篱笆围成矩形场地,场地面积S(m²) 与矩形一边长x(m)之间的关系是什么? s x(30 x)
x2 30x
问题3:某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增 长,这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y
y 2(1 x)2
以上三个关系式有什么共同特点? 请归纳出二次函数的概念
x2 30x
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义.
6.写出下列各函数关系，判断它们是什么类型的函
数，并求出自变量的取值范围.
（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（
cm）之间的函数关系； S 6a2(a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函
3.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)
二次函数根的分布(一)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点. 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
y
ac O
bx
y
c Oa
b x
实根分布探究
【探究一】方程ax2 bx c 0两(a根 0均) 在 数应满足什么条件。
（第一课时）
学习目标
根据一元二次方程根的分布情况, 确定部分类 型中参数的取值范围。
复习
函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。 等价关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
复习
零点存在判定定理
x1, x2 (k1, k2 )
备
注
y
ykxFra bibliotek0b 2a
k
f (k) 0
k1
k2 x
0
b k1 2a k2
f (k1) 0, f (k2 ) 0
条件中 0均可
换为 f b 0 2a
课后思考
1.方程ax2 bx c 0(a 0)一根为正,一根为负，系
数应满足什么条件。
2.方程 ax2 bx c 0(a 0)一根大于k,另一根小于k，
系数应满足什么条件。
3.方程ax2 bx c 0(a 0)仅有一根在区间（k1,k2）
内，系数应满足什么条件。
y
（f k1） 0
（f k1） 0
（f k2） 0
（f k2） 0
f ( b ) 0 2a
0
y
ac O
bx
y
c Oa
b x
实根分布探究
【探究一】方程ax2 bx c 0两(a根 0均) 在 数应满足什么条件。
（第一课时）
学习目标
根据一元二次方程根的分布情况, 确定部分类 型中参数的取值范围。
复习
函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。 等价关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
复习
零点存在判定定理
x1, x2 (k1, k2 )
备
注
y
ykxFra bibliotek0b 2a
k
f (k) 0
k1
k2 x
0
b k1 2a k2
f (k1) 0, f (k2 ) 0
条件中 0均可
换为 f b 0 2a
课后思考
1.方程ax2 bx c 0(a 0)一根为正,一根为负，系
数应满足什么条件。
2.方程 ax2 bx c 0(a 0)一根大于k,另一根小于k，
系数应满足什么条件。
3.方程ax2 bx c 0(a 0)仅有一根在区间（k1,k2）
内，系数应满足什么条件。
y
（f k1） 0
（f k1） 0
（f k2） 0
（f k2） 0
f ( b ) 0 2a
0
二次函数的图像与性质(第一课时)优质课件
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、 探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论 探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学 科组长组织组员针对疑难问题及 小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质 的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图 像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能 够y=x2比较出与 的图像的异同，初步建立二 次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min） 【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容 展示小组
14组小2源自2组组 合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论 ；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答 案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、 探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论 探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学 科组长组织组员针对疑难问题及 小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质 的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图 像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能 够y=x2比较出与 的图像的异同，初步建立二 次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min） 【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容 展示小组
14组小2源自2组组 合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论 ；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答 案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)
二次函数的图象与性质(第一课时) 课件(共34张PPT)北师大版初中数学九年级下册
（g为定值）
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(1)你能描述图象的形状吗？
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
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…
y
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4
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0
1
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…
(1)你能描述图象的形状吗？
二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)-课件全文
目录
新知理解
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数 有两个相等的实数
根 x1，x2(x1<x2)
根 x1＝x2＝－2ba
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1 或 x>x2}
xx≠－2ba
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
计算判别式=(-12)2-4×1×20 = 64 >0，
求根公式：a1=12－2
64 =
2，a2
12+ =2
64 =
10，
所以边界值为：a1= 2，a2= 10，
所以不等式的解集为{a│2 <a < 10}.
答：这个矩形苗圃的边长 a 取大于 2 且小于 10 的数时，苗圃的
面积会大于 20 平方关于 x 的一元二次不等式： （1）x2-5x + 6 > 0； （2）2x-x2 +3 <0. 解(2)整理为一般式 x2-2x-3>0， 法二：设二次函数 y=x2 -2x-3， 其图象开口向上， 解一元二次方程 x2-2x-3=0， 得到二次函数的零点：x1=-1，x2=3， 看函数的图象，得到不等式的解集为 {x│x>3 或 x<-1}
{x|x1<x<x2}
∅
∅
目录
巩固与练习 例 2 求不等式 9x2-6x+1>0 的解集.
解：
对于方程 9x2-6x+1=0，因为=0，
所以它有两个相等的实数根，解得
新知理解
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数 有两个相等的实数
根 x1，x2(x1<x2)
根 x1＝x2＝－2ba
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1 或 x>x2}
xx≠－2ba
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
计算判别式=(-12)2-4×1×20 = 64 >0，
求根公式：a1=12－2
64 =
2，a2
12+ =2
64 =
10，
所以边界值为：a1= 2，a2= 10，
所以不等式的解集为{a│2 <a < 10}.
答：这个矩形苗圃的边长 a 取大于 2 且小于 10 的数时，苗圃的
面积会大于 20 平方关于 x 的一元二次不等式： （1）x2-5x + 6 > 0； （2）2x-x2 +3 <0. 解(2)整理为一般式 x2-2x-3>0， 法二：设二次函数 y=x2 -2x-3， 其图象开口向上， 解一元二次方程 x2-2x-3=0， 得到二次函数的零点：x1=-1，x2=3， 看函数的图象，得到不等式的解集为 {x│x>3 或 x<-1}
{x|x1<x<x2}
∅
∅
目录
巩固与练习 例 2 求不等式 9x2-6x+1>0 的解集.
解：
对于方程 9x2-6x+1=0，因为=0，
所以它有两个相等的实数根，解得
5、4二次函数第一课时
5、4 二次函数（第1课时）目标展示：（1）会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系，（2）能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数..学习重、难点：了解二次函数的概念和列二次函数表示实际问题中的数量关系。
.导入课题：问题: 如图，从喷头飞出的水珠，在空中走过一条曲线后落到草地上，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？上面问题中变量之间的关系可以用那一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？今天我们学习“二次函数”（板书课题）1.自学指导（1）自学内容：P23页到P24页内容（2）自学时间：5分钟。
（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系写出两个变量的关系式. （4）自学参考提纲：①回忆正方体的表面积与棱长的关系公式，由此写出正方体的表面积y与棱长x的关系式，y是x的函数吗？②探索多边形的对角线数d与边数n的关系公式，根据公式写出d与n的关系式，d是n的函数吗？③探索一年后的产量与现在的年产量的关系，两年后的产量与现在的年产量的关系，写出y与x的关系式，y是x的函数吗？④请写出二次函数的定义.⑤请写出上述四个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项.练习：(1)写出下列问题中的两个变量之间的关系：①圆的面积y (cm2)与圆的半径x ( cm ) ,写出y与x之间的函数关系式；②王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y元,写出y与x之间的函数关系式；③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式；④n支球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数m与球队数n 之间的关系式.（2）交流学习成果：利用师生对话的形式强化两个问题中的等量关系、函数关系式的求法以及它是函数的理由.（3）总结：根据等量关系写两个变量的函数关系式的关键是寻找问题中的等量关系，等量关系可以从面积公式、体积公式、行程问题公式、工程问题公式、增长率问题公式等.1、已知函数y=(a-1)x2+3x -1,若y是x的二次函数，则a的取值范围是_______.2、有一根长80cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形的面积S（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式__________，自变量x的取值范围是________。
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(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解：（ 1 ）a 0 (2)a 0, b 0 (3)a 0, b 0, c 0
练习3. 已知二次函数y=x² +px+q,当x=1时, 函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个 二次函数的解析式.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y x 2 px q, 得：
有信心的人, 化渺小为大, 化平庸为神奇.
同学们努力！
喷泉(1)
创设情境，导入新课
问题：
（1）你们喜欢打篮球吗？ （ 2 ）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？怎样计算篮球达到 最高点时的高度？
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系： (1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm ) y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y y = 2(1+x)2
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax² +bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
做一做:
（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2） 是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘 米，试写出y与x的关系式． 2 2 ( 2 ) y ( 4 x )( 3 2 x ) 2 x 11x 12 解：（ 1 ）y x
(1) y x
2
是 不是 是
2
1 (2) y 2 x (3) y x(1 x) (4) y ( x 1) x
2
不是
(5) y x2 2 x 3
小结
拓展
回味无穷
• 定义中应该注意的几个问题: 1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx (a≠0,b≠0,c=0).
解： (1) y x(20 2 x)
2 x 20x
2
(o<x<10)
(2) y 2 32 20 3 42m
5.已知二次函数
y 2( x 1) 4
2
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时,函数y有最小值为4 （2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？ x取任意实数
x x . y ______
2
•你能根据这两个函数的结构特征，给二 次函数下一个定义吗？
y=(x+3)² -x² .
y=3x² -6x-3
例1、若函数 y (m 2)x 数，求m的值。
则
∴
m 2 2 2(1) m 2 0( 2)
m2 2
为二次函
解：因为该函数为二次函数，
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。 （2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
学习新知的目的在于应用，相信你能根 据二次函数的意义解答下列问
• 1.下列函数哪些是二次函数？哪些不是为什 么？
1.下列函数中,哪些是二次函数?
回顾
一般地，形如y kx b的形式，称y是x 的一次函数。 1) y x 1是什么函数？
k 1 一般地，形如y 的形式，称y是x 2）y 是什么函数？。 x x 的一次函数 xcm, 其面积为scm 2 , 则 3）一个正方形的边长为 2 s ___ x .
x, 另一边长为x 1, 则面积 4）一个矩形的一边长为
解: （1）由题意得 S 6 x2 ( x > 0)其中S是x的二次函数；
（2）由题意得 S 二次函数
1 1 x(26 x) x 2 13 x(0 x 26) 其中S是x的 2 2
练习2
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
∴m= - 2
m=2或-2 m 2
21 m 练习１.m取何值时，函数是y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数.
2. 函数y= (m+n)x +(m-3)x+m 是二次函数的 条件（ ) A.m ≠ n且n=2
C. m ≠ -n且n=1
n
B.m ≠ 0且n≠0
D.m ≠- n且n=2
｛
a b c 10 abc 4 4a 2b c 7
待定系数法
解得，a 2, b 3, c 5
所求的二次函数是 y 2x 2 3x 5
试一试:
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一 个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的 面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?
｛
1 p q 4 4 2 p q 5
解得，p 12, q 15.
所求的二次函数是y x 12x 15
2
例3:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求 这个二次函数的解析试.
解：设所求的二次函数 为y ax2 bx c,由题意得：
合作学习，探索新知 : (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果
温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室 内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。 1
y = (60-x-4)(x-2)
1
1
x
3
1.y
=πx2
2.y
= 2(1+x)2 3.y= (60-x-=2x +4x+2
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型
的函数 2 （1）写出正方体的表面积S（cm）与正方体棱长 x （cm）之间的函数关系； （2）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面 2 积S（cm）与一对角线长x（cm）之间的函数关系 ．
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.