第 23 讲 三角函数的性质
三角函数的基本性质知识点总结
三角函数的基本性质知识点总结一、正弦函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，正弦函数是指对于一个锐角A，其对边与斜边之比，即sin A = 对边/斜边。
2. 定义域和值域：正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sinA，对称轴为原点。
4. 周期性：正弦函数的周期是360°或2π，即sin(A + 360°) = sinA。
5. 正弦函数的图像：根据正弦函数的性质，可以绘制出正弦函数的图像，在0°到360°的范围内，图像呈现周期性的波动。
二、余弦函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，余弦函数是指对于一个锐角A，其临边与斜边之比，即cos A = 临边/斜边。
2. 定义域和值域：余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cosA，对称轴为y轴。
4. 周期性：余弦函数的周期是360°或2π，即cos(A + 360°) = cosA。
5. 余弦函数的图像：根据余弦函数的性质，可以绘制出余弦函数的图像，在0°到360°的范围内，图像呈现周期性的波动，与正弦函数的图像相似但形状相对位移。
三、正切函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，正切函数是指对于一个锐角A，其对边与临边之比，即tan A = 对边/临边。
2. 定义域和值域：正切函数的定义域是除去所有使得临边等于零的实数，值域是全体实数集。
3. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-A) = -tanA，对称轴为原点。
4. 周期性：正切函数的周期是180°或π，即tan(A + 180°) = tanA。
5. 正切函数的图像：根据正切函数的性质，可以绘制出正切函数的图像，在0°到180°的范围内，图像呈现周期性的波动。
三角函数性质及公式总结
三角函数性质及公式总结三角函数是高中数学中重要的内容之一，其性质和公式的掌握程度直接影响到解决三角函数相关题目的能力。
下面我将对三角函数的性质和公式进行总结，帮助大家更好地掌握和应用三角函数知识。
一、正弦函数的性质和公式1. 定义：在单位圆上，角A的终边与x轴正半轴所成的弧长与单位圆半径1之比称为角A的正弦，记为sinA。
2. 基本性质：-1≤sinA≤1，对于同一角的不同终边，其正弦相等。
3. 周期性：sin(A+2πn)=sinA，其中n为整数。
4. 正弦函数的图像为一条连续变化的曲线，其最大值为1，最小值为-1，且在0、π、2π、3π等处取得转折点。
5. 正弦函数的基本公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB。
二、余弦函数的性质和公式1. 定义：在单位圆上，角A的终边与x轴正半轴所成的弧长与单位圆半径1之比称为角A的余弦，记为cosA。
2. 基本性质：-1≤cosA≤1，对于同一角的不同终边，其余弦相等。
3. 周期性：cos(A+2πn)=cosA，其中n为整数。
4. 余弦函数的图像为一条连续变化的曲线，其最大值为1，最小值为-1，且在π/2、3π/2、5π/2等处取得转折点。
5. 余弦函数的基本公式：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB。
三、正切函数的性质和公式1. 定义：在单位圆上，角A的正切等于角A的正弦除以角A 的余弦，记为tanA=sinA/cosA。
2. 正切函数的定义域为所有余弦不为零的实数，其图像在余弦函数的零点处有无穷间断。
3. 正切函数的性质：tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)。
4. 正切函数的周期性：tan(A+π)=tanA，其中n为整数。
5. 正切函数的图像在每一区间(-π/2+πn，π/2+πn)上是连续的，且在π/4、3π/4、5π/4等处取得转折点。
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
三角函数的性质
三角函数的性质
三角函数是数学中的基本初等函数之一，具有多种性质，以下是一些主要的性质：
1.周期性：三角函数具有周期性，即它们的值在每隔一定的
角度后重复出现。
正弦函数和余弦函数的周期为360度
（或2π弧度），而正切函数的周期为180度（或π弧
度）。
2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，这意味着对于任
何角度θ，sin(-θ) = -sinθ和tan(-θ) = -tanθ。
余弦函数是
偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
3.有界性：正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，这意味
着它们的值始终在这个范围内。
正切函数的值域是实数集R，没有上界和下界。
4.单调性：在特定的区间内，正弦函数和余弦函数可以是增
函数或减函数。
正切函数在其定义域内的某些区间内也是增函数或减函数。
5.和差角公式：三角函数满足一些和差角公式，这些公式允
许我们计算两个角的和或差的正弦、余弦和正切值。
6.倍角公式：三角函数也满足一些倍角公式，这些公式允许
我们计算一个角的两倍的正弦、余弦和正切值。
7.三角恒等式：三角恒等式是一组恒真的等式，涉及正弦、
余弦、正切等三角函数。
这些恒等式在三角函数的计算和证明中非常有用。
8.单位圆上的定义：三角函数也可以定义为单位圆上的各种
线段的长度，这为它们提供了几何解释。
9.无穷级数表示：三角函数也可以用无穷级数来表示，这允
许我们将它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
这些性质使得三角函数在数学、物理、工程、信号处理等领域中有广泛的应用。
三角函数的性质知识点总结
三角函数的性质知识点总结三角函数是数学中重要的一部分，主要涉及到正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们在数学、物理、工程等学科中都有广泛的应用。
本文将对三角函数的性质进行总结，包括周期性、对称性、函数值范围等方面的内容。
一、正弦函数的性质1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即sin(x+2π) = sin(x)，其中x表示角度。
2. 对称性：正弦函数关于原点对称，即sin(-x) = -sin(x)。
3. 函数值范围：正弦函数的函数值范围在[-1, 1]之间。
二、余弦函数的性质1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
2. 对称性：余弦函数关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。
3. 函数值范围：余弦函数的函数值范围同样在[-1, 1]之间。
三、正切函数的性质1. 周期性：正切函数的周期是π，即tan(x+π) = tan(x)，其中x表示角度。
2. 对称性：正切函数关于原点对称，即tan(-x) = -tan(x)。
3. 函数值范围：正切函数的函数值范围是整个实数集。
1. 正弦函数和余弦函数的特殊角度值如下： sin(0) = 0, cos(0) = 1；sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2；sin(π/4) = √2/2, cos(π/4) = √2/2；sin(π/3) = √3/2, cos(π/3) = 1/2；sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0；2. 正切函数的特殊角度值如下：tan(0) = 0；tan(π/4) = 1；tan(π/3) = √3；tan(π/2) 没有定义。
五、三角函数的基本关系1. 正切函数与正弦函数和余弦函数的关系： tan(x) = sin(x) / cos(x)。
2. 正弦函数和余弦函数的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
1. 正弦函数和余弦函数的图像是波形振动，具有周期性和对称性。
三角函数的基本性质
三角函数的基本性质三角函数是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的基本性质，包括定义、周期性、奇偶性、单调性等方面。
一、三角函数的定义三角函数是以单位圆上的点的坐标为基础来定义的。
在单位圆上，我们可以找到一个点P，它的坐标为(x, y)，其中x和y分别表示点P在x轴和y轴上的坐标。
根据点P的位置，我们可以定义三角函数的值。
1. 正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。
它的定义为：在单位圆上，点P的y坐标值即为正弦函数的值。
正弦函数的记号为sin(x)。
2. 余弦函数（cos）余弦函数也是三角函数中的一个重要函数。
它的定义为：在单位圆上，点P的x坐标值即为余弦函数的值。
余弦函数的记号为cos(x)。
3. 正切函数（tan）正切函数是三角函数中的另一个常用函数。
它的定义为：tan(x) = sin(x) / cos(x)。
正切函数的值可以通过正弦函数和余弦函数的比值来求得。
二、三角函数的周期性三角函数具有周期性，即它们的值在一定的范围内重复出现。
以正弦函数为例，它的周期为2π（或360度）。
也就是说，当x增加或减少2π时，正弦函数的值将重复出现。
同样地，余弦函数和正切函数也具有相同的周期性。
这种周期性使得三角函数在很多问题中都有重要的应用，例如在波动问题、振动问题中的描述。
三、三角函数的奇偶性在介绍三角函数的奇偶性之前，我们先来了解一下奇函数和偶函数的定义。
1. 奇函数奇函数是指满足f(-x) = -f(x)的函数。
简单来说，如果一个函数关于原点对称，那么它就是奇函数。
2. 偶函数偶函数是指满足f(-x) = f(x)的函数。
换句话说，如果一个函数关于y轴对称，那么它就是偶函数。
在三角函数中，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
这种奇偶性的性质在解题和简化运算中起到了重要的作用。
四、三角函数的单调性单调性是指函数在定义域上的增减性。
三角函数最全知识点总结
三角函数最全知识点总结三角函数是高中数学中的重要内容，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
下面将对这些三角函数的定义、性质以及常用的解题方法进行总结。
一、正弦函数（sin）：1. 定义：在单位圆上，任选一点P与x轴正方向的夹角为θ，P点的纵坐标y即为θ的正弦值，记作sinθ。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 周期性：sin(θ+2π)=sinθ，sin(θ+π)=-sinθ。
其中π为圆周率。
3. 奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，即正弦函数关于原点对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，sinθ>0；当θ为钝角时，sinθ<0。
5. 值域变化：当θ从0增加到π/2时，sinθ从0增加到1，然后再从1减小到0。
二、余弦函数（cos）：1. 定义：在单位圆上，任选一点P与x轴正方向的夹角为θ，P点的横坐标x即为θ的余弦值，记作cosθ。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 周期性：cos(θ+2π)=cosθ，cos(θ+π)=-cosθ。
3. 奇偶性：cos(-θ)=cosθ，即余弦函数关于y轴对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，cosθ>0；当θ为钝角时，cosθ<0。
5. 值域变化：当θ从0增加到π/2时，cosθ从1减小到0。
三、正切函数（tan）：1. 定义：正切值tanθ等于θ的正弦值除以θ的余弦值，即tanθ=sinθ/cosθ。
正切函数的定义域为实数集，值域为实数集。
2. 周期性：tan(θ+π)=tanθ。
3. 奇偶性：tan(-θ)=-tanθ，即正切函数关于原点对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，tanθ>0；当θ为钝角时，tanθ<0。
四、反三角函数：1. 反正弦函数：定义域为[-1,1]，值域为[-π/2，π/2]。
记作arcsin x或sin⁻¹x。
2. 反余弦函数：定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
三角函数的定义与性质
有界性
三角函数的有 界性是指它们 在一定范围内 取值有限
有界性的证明 通常需要利用 三角函数的定 义和性质，如 周期性、对称 性等
有界性是三角函 数在解决实际问 题中非常重要的 性质之一，例如 在信号处理、控 制系统等领域
有界性还可以 帮助我们理解 三角函数的其 他性质，如单 调性、周期性 等
图像与性质
PART 05
三角函数的和差 化积公式
和差化积公式的基本形式
正弦和差化积公式： sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB
余弦和差化积公式： cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB
正切和差化积公式 ：tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1tanAtanB)
性质：余弦函数是一个周期函数，其周期为2π。
图像：余弦函数的图像是一个正弦曲线，其最大值为1，最小值为-1。
正切函数
定义：正切函数是三角函数之一，表示单位圆上某点与x轴正方向的夹角。 公式：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) 性质：正切函数在定义域内是连续的，但在某些点处不可导。 应用：正切函数在解析几何、微积分等领域有着广泛的应用。
THANK YOU
汇报人：
数学竞赛：诱 导公式是数学 竞赛中常见的 题型，掌握诱 导公式有助于 提高解题能力
特殊角度的三角函数值
0 °： s i n ( 0 °) = 0 , co s ( 0 °) = 1 , ta n ( 0 °) = 0
4 5 °： s i n ( 4 5 °) = √ 2 / 2 , co s ( 4 5 °) = √ 2 / 2 , ta n ( 4 5 °) = 1
202新数学复习第三章三角函数解三角形23三角函数的图象与性质含解析
课时作业23 三角函数的图象与性质一、选择题1．函数y＝错误!的定义域为（C）A．错误!,k∈ZB．错误!，k∈ZC．错误!，k∈ZD．错误!,k∈Z解析:要使函数y＝错误!有意义,则1－tan错误!≥0，故tan错误!≤1，故kπ－错误!<x－错误!≤kπ＋错误!，k∈Z，解得x∈错误!，k∈Z，故选C．2．已知f(x）＝sin错误!－1，则f(x）的最小正周期是（A）A．2π B．πC．3π D．4π解析：函数f(x）的最小正周期T＝错误!＝2π。
故选A．3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于直线x＝π6对称的是（B）A．y＝sin错误!B．y＝sin错误!C．y＝cos错误!D．y＝cos错误!解析：由函数的最小正周期为π，得错误!＝π，∴ω＝2，故选项A，C错误；当x＝错误!时，sin错误!＝sin错误!＝1,满足题意，故选项B正确；当x＝错误!时，cos错误!＝cos错误!＝0，不满足题意,故选项D错误．4．函数f(x)＝sin错误!＋sin错误!的最大值是（C）A．2 B．错误!C．错误!D．2错误!解析：sin错误!＋cos错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以f（x)＝sin错误!＋sin错误!＝sin错误!＋cos错误!＝sin x cos错误!＋cos x sin错误!＋cos错误!cos x＋sin x sin错误!＝（sin x＋cos x)错误!＝错误!×错误! sin错误!≤错误!×错误!＝错误!,故选C．5．（2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以错误!为周期且在区间错误!单调递增的是(A）A．f(x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x|C．f（x)＝cos|x| D．f(x）＝sin｜x｜解析：A中，函数f（x)＝｜cos2x|的周期为错误!，当x∈错误!时，2x∈错误!，函数f（x）单调递增,故A正确；B中,函数f(x)＝｜sin2x|的周期为错误!,当x∈错误!时，2x∈错误!,函数f(x）单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x｜＝cos x的周期为2π，故C 不正确；D中，f（x)＝sin｜x｜＝错误!由正弦函数图象知，在x≥0和x〈0时，f（x）均以2π为周期,但在整个定义域上f（x）不是周期函数，故D不正确．故选A．6．(2019·天津卷)已知函数f(x）＝A sin（ωx＋φ)（A>0，ω>0，｜φ|〈π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g（x)．若g(x)的最小正周期为2π,且g错误!＝错误!，则f错误!＝（C）A．－2 B．－错误!C．错误!D．2解析：由f（x）为奇函数可得φ＝kπ（k∈Z)，又|φ｜〈π，所以φ＝0，所以g(x)＝A sin错误!ωx。
三角函数知识点归纳
三角函数知识点归纳
三角函数是数学中一个重要的部分，主要用于描述三角形中边和角的关系。
以下是三角函数的主要知识点归纳：
1. 角度制与弧度制：角度制是用来测量角的大小的一种度量单位制，而弧度制则是用弧长与半径之比来度量角的大小。
2. 三角函数的基本关系式：包括正弦、余弦、正切的定义，以及它们的和差公式、倍角公式、半角公式等。
3. 三角函数的图像与性质：包括正弦、余弦、正切函数的图像，以及它们的周期性、奇偶性、单调性等性质。
4. 三角函数的变换：包括函数名变换（例如，利用诱导公式将正弦函数转换为余弦函数等）、振幅变换、平移变换等。
5. 三角函数的应用：三角函数在解决实际问题中有广泛应用，如物理中的简谐振动和交流电，数学中的解三角形问题等。
6. 特殊角的三角函数值：对于一些常见的特殊角（如0°、30°、45°、60°、90°等），需要知道它们的正弦、余弦和正切值。
7. 同角三角函数的基本关系：包括三角函数的定义，以及由定义得到的几个基本关系式（例如，平方关系、商数关系等）。
8. 三角函数的积化和差与和差化积公式：这些公式用于简化复杂的三角函数表达式。
9. 解三角形：利用已知的三角函数值来求解三角形中的未知元素（如角度或边长）。
10. 反三角函数：包括反正弦、反余弦和反正切函数，它们是三角函数的反函数。
以上是三角函数的主要知识点，理解和掌握这些知识点有助于解决与三角函数相关的问题。
三角函数的图像和性质教案
三角函数的图像和性质教案阳光教育的课题是三角函数的图像和性质。
这是一个重要的内容，但学生可能还不太清楚其中的概念和理解。
因此，需要及时巩固这些知识。
教学目标是掌握三角函数的图像及其性质在图像交换中的应用，并在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中应用这些知识。
教学重点是三角函数图像与性质的应用。
教学方法包括导入法、讲授法和归纳总结法。
在基础梳理部分，学生需要掌握“五点法”描图。
对于y=sin x和y=cos x的图像，在[0,2π]上的五个关键点的坐标应该知道。
此外，学生还需要了解三角函数的图像和性质，包括函数、性质、定义域、值域、图像、对称轴、对称中心、周期、单调性和奇偶性。
这些知识将有助于学生更好地理解三角函数的图像和性质。
在教学重点部分，学生需要掌握三角函数图像与性质的应用。
这包括如何求解三角函数的值域（最值），以及如何在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中应用这些知识。
为此，教师可以采用三种方法：利用sin x、cos x的有界性；将复杂的函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；利用奇偶性来简化函数形式。
最后，教师应该鼓励学生在课后进行练，巩固所学知识。
只有通过不断地练，才能真正掌握三角函数的图像和性质。
换元法是解决三角函数问题的一种常用方法。
通过把sinx 或cosx看作一个整体，可以将其化为求函数在区间上的值域问题。
例如，对于函数y=cos(x+π/3)，可以将cos(x+π/3)看作cos(x)的平移，因此其最小正周期与cosx相同，即2π。
另外，对于函数y=tan(-x)，其定义域为R\{(2k+1)π/2 | k∈Z}，即除去所有奇数个π/2的点。
下面来看几个例题。
对于函数y=sin(-x)，其周期为π，因为sin(-x)与sinx的图像关于y轴对称。
对于函数y=tan(3x-π/2)，可以将其化为y=tan3x的平移，因此其最小正周期为2π/3.当求解三角函数的定义域和值域时，常常需要借助三角函数线或三角函数图像来解决。
三角函数的性质与定理
三角函数的性质与定理三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何、物理、工程等领域具有广泛的应用。
在学习和掌握三角函数的过程中，了解其性质与定理对于解题和理解其本质起着至关重要的作用。
本文将介绍常见的三角函数性质与定理，并探讨其应用。
一、正弦函数的性质与定理1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x + 2π) = sin(x)，其中x为实数。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，这意味着正弦函数的图像以原点为对称轴。
3. 反函数：正弦函数的反函数是反正弦函数，记作arcsin(x)或sin^(-1)(x)。
反正弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
4. 增减性：在定义域内，正弦函数在[0, π]上是递增的，在[π, 2π]上是递减的。
5. 余弦函数关系：正弦函数与余弦函数满足sin^2(x) + cos^2(x) = 1，在此基础上可以推导出诸如sin(x+π/2) = cos(x)等关系。
二、余弦函数的性质与定理1. 周期性：余弦函数的周期也为2π，即cos(x + 2π) = cos(x)，其中x为实数。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，与正弦函数相比，余弦函数的图像关于y轴对称。
3. 反函数：余弦函数的反函数是反余弦函数，记作arccos(x)或cos^(-1)(x)。
反余弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
4. 增减性：在定义域内，余弦函数在[0, π/2]上是递减的，在[π/2, π]上是递增的。
5. 正弦函数关系：余弦函数与正弦函数的关系在正弦函数性质中已经介绍过，这里不再重复。
三、其他除了正弦函数和余弦函数外，还有诸如正切函数、余切函数、 secant函数和cosecant函数等。
1. 正切函数：正切函数的定义是tan(x) = sin(x)/cos(x)，其定义域为全体实数，但是在余弦函数为零的点上无定义。
三角函数相关知识点总结
三角函数相关知识点总结一、三角函数的定义。
1. 锐角三角函数。
- 在直角三角形中，设一个锐角为α。
- 正弦sinα=(对边)/(斜边)。
例如，在直角三角形ABC中，∠ C = 90^∘，∠A=α，BC为∠ A的对边，AB为斜边，则sinα=(BC)/(AB)。
- 余弦cosα=(邻边)/(斜边)，对于上述三角形，AC为∠ A的邻边，cosα=(AC)/(AB)。
- 正切tanα=(对边)/(邻边)=(BC)/(AC)。
2. 任意角三角函数（单位圆定义）- 设角α终边上一点P(x,y)，r=√(x^2)+y^{2}。
- sinα=(y)/(r)。
- cosα=(x)/(r)。
- tanα=(y)/(x)(x≠0)。
二、三角函数的基本性质。
1. 定义域。
- y = sin x和y=cos x的定义域都是R（全体实数）。
- y=tan x的定义域是<=ft{xx≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z}。
2. 值域。
- y = sin x和y=cos x的值域都是[ - 1,1]。
- y=tan x的值域是R。
3. 周期性。
- y = sin x和y=cos x的最小正周期都是2π。
即sin(x + 2kπ)=sin x，cos(x +2kπ)=cos x，k∈ Z。
- y=tan x的最小正周期是π，tan(x + kπ)=tan x，k∈ Z。
4. 奇偶性。
- y=sin x是奇函数，因为sin(-x)=-sin x。
- y = cos x是偶函数，因为cos(-x)=cos x。
- y=tan x是奇函数，因为tan(-x)=-tan x。
5. 单调性。
- y=sin x在<=ft[-(π)/(2)+2kπ,(π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递增，在<=ft[(π)/(2)+2kπ,(3π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递减。
- y=cos x在[2kπ-π,2kπ](k∈ Z)上单调递增，在[2kπ,2kπ + π](k∈ Z)上单调递减。
三角函数知识点归纳总结
三角函数知识点归纳总结一、基本概念1. 弧度在圆的单位圆上，任一弧所对圆心角的度数为 360°时，所对的弧长的长度就叫做一般的弧度，而这个角叫做一般的夹角。
2. 正弦、余弦和正切在直角三角形ABC中，三角形的三个顶点表示角A、B和C，如图所示。
其中，边AB为三角形中垂直于∠A的直角边，边BC为与∠A相邻且对∠A的斜边，边CA 为与∠A相邻的边。
这三个边关系称为AB为∠A的对边，BC为边边，AC为斜边。
由于三角形ABC是直角三角形，所以∠B和∠C是由直角∠A描述的。
据此定义三角形中成功的关于角A的三边，为了确定ABC中出现其他任何三角定向。
在三角形ABC中，三角函数可定义为：（1）正弦：sinA = 垂直于∠A的边的长度斜边的长度（，x为斜边）；（2）余弦：cosA = 临边与∠A相邻边的长度（，x为斜边）；（3）正切：tanA = 垂直于∠A的边的长度，邻边与∠A的边的长度。
二、三角函数的周期性与奇偶性1. 正弦函数正弦函数在数学中通常用符号sin表示。
正弦函数是一个周期函数，并且这个周期是2π，即sin(x+2π) = sinx。
正弦函数也是一个奇函数。
奇函数的定义是f(x) = -f(-x)。
因此，sin(-x) = -sinx，即sin函数是对称的。
2. 余弦函数余弦函数在数学中通常用符号cos表示。
余弦函数也是一个周期函数，并且这个周期是2π，即cos(x+2π) = cosx。
余弦函数是一个偶函数。
偶函数的定义是f(x) = f(-x)。
因此，cos(-x) = cosx，即cos函数是关于y轴对称的。
3. 正切函数正切函数在数学中通常用符号tan表示。
正切函数也是一个周期函数，周期是π，即tan(x+π) = tanx。
正切函数是一个奇函数。
tan(-x) = -tanx。
三、三角函数的性质1. 正弦和余弦函数的关系sin^2(x) + cos^2(x) = 12. 三角函数的复合（1）求三角函数值的和差化积的方法sin(x ± y) = sinx•cosy ± cosx•sinycos(x ± y) = cosx•cosy ∓ sinx•sinytan(x ± y) = [tanx ± tany] / [1 ∓ tanxtany]（2）求三角函数值的积化和差的方法sinA • sinB = ½ • [cos(A - B) - cos(A + B)]cosA • cosB = ½ • [cos(A - B) + cos(A + B)]sinA • cosB = ½ • [sin(A + B) + sin(A - B)]（3）特殊和差的公式sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ∓sinαsinβtan(α±β) = [tanα±tanβ]÷[1∓tanαtanβ]3. 三角函数的基本图像通过图像大致可以知道函数的周期性、奇偶性和极值特点。
三角函数的基本性质
三角函数的基本性质三角函数是数学中一个重要的概念，在数学、物理、工程等多个领域都有着广泛的应用。
要深入理解三角函数，掌握其基本性质是关键。
首先，让我们来了解一下什么是三角函数。
常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
它们都是以角度或者弧度为自变量的函数。
正弦函数 sin(x) 的定义是：在直角三角形中，锐角 x 的正弦值等于对边与斜边的比值。
其定义域为整个实数集，值域为-1, 1。
这意味着无论输入的角度是多少，正弦函数的输出值都在-1 到 1 之间。
正弦函数是一个周期函数，其最小正周期为2π。
也就是说，sin(x ＋2π) ＝ sin(x) 对于任何 x 都成立。
余弦函数 cos(x) 则是邻边与斜边的比值。
它的定义域也是整个实数集，值域同样为-1, 1，并且也是周期为2π 的周期函数。
正切函数 tan(x) 定义为正弦函数与余弦函数的比值，即 tan(x) ＝sin(x) ／ cos(x) 。
需要注意的是，余弦函数不能为 0，所以正切函数的定义域为{x ｜x ≠ （π/2) ＋kπ, k∈Z}，其值域为整个实数集。
正切函数的周期为π。
三角函数的奇偶性也是其重要性质之一。
正弦函数是奇函数，这意味着 sin(x) ＝ sin(x) 。
而余弦函数是偶函数，即 cos(x) ＝ cos(x) 。
三角函数的单调性也是需要关注的。
在一个周期内，正弦函数在π/2, π/2上单调递增，在π/2, 3π/2上单调递减。
余弦函数在0, π上单调递减，在π, 2π上单调递增。
三角函数之间还存在着一些重要的关系式，比如平方和关系：sin²(x) ＋ cos²(x) ＝ 1 。
在实际应用中，三角函数的这些性质有着广泛的用途。
例如，在物理学中，简谐振动可以用正弦函数或余弦函数来描述；在工程学中，交流电的电压和电流变化也常常涉及三角函数。
再比如，在解决几何问题时，如果知道一个三角形的某些角度和边长，就可以利用三角函数求出其他未知的边长和角度。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义和基本概念。
2. 学会绘制三角函数的图像。
3. 掌握三角函数的性质，并能应用于实际问题。
二、教学内容：1. 三角函数的定义与基本概念正弦函数（sin）余弦函数（cos）正切函数（tan）余切函数（cot）正割函数（sec）余割函数（csc）2. 三角函数的图像正弦函数的图像余弦函数的图像正切函数的图像其他三角函数的图像3. 三角函数的性质周期性奇偶性单调性极值三、教学方法：1. 采用讲解法，讲解三角函数的定义、图像和性质。
2. 利用数形结合法，引导学生通过观察图像来理解函数的性质。
3. 运用实例分析法，让学生通过实际问题来应用三角函数的性质。
四、教学步骤：1. 引入三角函数的概念，讲解三角函数的定义和基本性质。
2. 利用计算机软件或板书，绘制三角函数的图像，让学生观察和理解函数的图像。
3. 通过示例，讲解三角函数的性质，引导学生掌握如何判断函数的周期性、奇偶性、单调性和极值。
4. 布置练习题，让学生巩固所学内容，并能够应用三角函数的性质解决实际问题。
五、教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生对三角函数定义和基本概念的掌握程度。
3. 学生能够正确绘制三角函数的图像。
4. 学生能够运用三角函数的性质解决实际问题。
六、教学拓展：1. 探索三角函数的复合函数图像和性质。
2. 研究三角函数在科学和工程中的应用。
3. 引入三角恒等式，让学生了解三角函数之间的关系。
七、教学活动：1. 组织小组讨论，让学生共同探讨三角函数的性质和图像。
2. 开展数学竞赛，激发学生学习三角函数的兴趣。
3. 安排实地考察，让学生观察和理解三角函数在现实世界中的应用。
八、教学资源：1. 利用计算机软件，如GeoGebra或Matplotlib，绘制三角函数的图像。
2. 提供三角函数的图像和性质的参考资料，供学生自主学习。
3. 利用互联网资源，寻找实际问题，让学生应用三角函数的性质解决。
初中数学知识归纳三角函数的定义和性质
初中数学知识归纳三角函数的定义和性质三角函数是初中数学学习中一个非常重要的概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将对初中阶段涉及的三角函数的定义和性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、正弦函数的定义和性质1. 定义：在直角三角形中，对于一个锐角A，其对边与斜边的比值称为正弦函数，记作sinA。
2. 性质：（1）正弦函数的定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]；（2）正弦函数是一个奇函数，即sin(-A) = -sinA；（3）正弦函数在一个周期内是周期函数，其最小正周期为2π，即sin(A+2π) = sinA；（4）正弦函数在0°、90°、180°、270°等特殊角度上取得极值，分别对应sin0° = 0，sin90° = 1，sin180° = 0，sin270° = -1。
二、余弦函数的定义和性质1. 定义：在直角三角形中，对于一个锐角A，其邻边与斜边的比值称为余弦函数，记作cosA。
2. 性质：（1）余弦函数的定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]；（2）余弦函数是一个偶函数，即cos(-A) = cosA；（3）余弦函数在一个周期内是周期函数，其最小正周期为2π，即cos(A+2π) = cosA；（4）余弦函数在0°、90°、180°、270°等特殊角度上取得极值，分别对应cos0° = 1，cos90° = 0，cos180° = -1，cos270° = 0。
三、正切函数的定义和性质1. 定义：在直角三角形中，对于一个锐角A，其对边与邻边的比值称为正切函数，记作tanA。
2. 性质：（1）正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数；（2）正切函数是一个奇函数，即tan(-A) = -tanA；（3）正切函数以π为最小正周期，即tan(A+π) = tanA；（4）正切函数在0°、180°、360°等特殊角度上不存在极值。
高中数学高三三角函数的图象和性质【教案】
高三一轮（理） 3.3 三角函数的图象和性质【教学目标】1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。
【重点难点】1。
教学重点：函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质; 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】了解理解掌握函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质√［考纲传真] 1。
能画出y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象，了解函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。
真题再现学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。
通过对考纲的解读和分析.让学生明确考试要求，做到有的放矢2.【2014上海】 函数 的最小正周期是________ 【解析】由题意13.(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________.典例 (1)(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。
(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象 如图所示，则f (x )的单调递减区间为()A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，解析 (1)选项A中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意.6.（2016高考新课标1）已知函数为的零点,为 图像的对称轴， 且在单调，则的最大值为（ )数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x)的最小正周期．知识点3 三角函数的图象和性质y＝sin x y＝cos x y＝tan xR R x≠kπ＋错误!,k ［－1，1][－1,1]R增区间：错误!，减区间:错误!增区间：[2kπ－π，2kπ］，减区间：[2kπ,2kπ＋π]，递增区间kπ－错误!，kπ＋∈Z奇函数偶函数奇函数（kπ,0）,k ∈Z 错误!,k∈Zkπ2，0，k∈Z在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时和解题效率.学必求其心得，业必贵于专精。
三角函数性质及三角函数公式总结
三角函数性质及三角函数公式总结一。
三角函数的性质正弦函数 y = sin x 的定义域为实数集，值域为 [-1.1]，函数在每个周期内都呈现出相同的形状，即具有周期性，周期为T = 2π。
在[0.π] 区间内，正弦函数单调递增，在[π。
2π] 区间内单调递减。
正弦函数是奇函数，即满足 sin(-x) = -sin(x)，同时具有对称性，即满足sin(π-x) = sin(x)。
余弦函数 y = cos x 的定义域为实数集，值域为 [-1.1]，函数在每个周期内都呈现出相同的形状，即具有周期性，周期为T = 2π。
在[0.π/2] 区间内，余弦函数单调递减，在[π/2.π] 区间内单调递增。
余弦函数是偶函数，即满足 cos(-x) = cos(x)，同时具有对称性，即满足cos(π-x) = -cos(x)。
正切函数 y = tan x 的定义域为实数集，值域为 R，函数在每个周期内都呈现出相同的形状，即具有周期性，周期为 T = π。
在(kπ - π/2.kπ + π/2) 区间内，正切函数单调递增或递减。
正切函数是奇函数，即满足 tan(-x) = -tan(x)，但没有对称轴。
二。
三角函数诱导公式三角函数诱导公式的作用是把求任意角的三角函数值，转化为求到2π角的三角函数值，或者把负角的三角函数转化为正角的三角函数。
例如，可以把180°～270°间的角的三角函数转化为锐角三角函数，或者把90°～180°间的角的三角函数转化为锐角三角函数。
同时，三角函数诱导公式还可以把任意角的正弦余弦函数进行转化。
三。
其他常用三角函数公式最基本的三角公式是 sin²x + cos²x = 1.两角和的余弦公式是 cos(a+b) = cosacosb - sinasinb。
两角差的余弦公式是 cos(a-b) = cosacosb + sinasinb。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，涉及到三角比例和角度，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在本文中，我们将讨论三角函数的图像以及其性质。
一、正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin表示。
正弦函数的图像为一条连续不断的曲线，其横坐标表示角度（以弧度为单位），纵坐标表示正弦值。
正弦函数的周期是2π，即在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像会完整地重复出现。
正弦函数的图像特点如下：1. 在0度（或0弧度）和180度（或π弧度）处，正弦函数的值为0；2. 在90度（或π/2弧度）处，正弦函数的值最大，为1；3. 在270度（或3π/2弧度）处，正弦函数的值最小，为-1；4. 在其他角度处，正弦函数的值位于-1和1之间，根据角度的大小而变化。
二、余弦函数（cos）余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos表示。
余弦函数的图像也是一条连续曲线，其横坐标为角度，纵坐标为余弦值。
余弦函数的周期也是2π，即在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像会一次完整地重复。
余弦函数的图像特点如下：1. 在0度（或0弧度）和360度（或2π弧度）处，余弦函数的值为1；2. 在180度（或π弧度）处，余弦函数的值最小，为-1；3. 在其他角度处，余弦函数的值位于-1和1之间，根据角度的大小而变化。
三、正切函数（tan）正切函数是三角函数中的第三个重要函数，用tan表示。
正切函数的图像也是一条光滑的曲线，以角度为横坐标，正切值为纵坐标。
正切函数的周期是π，即在区间[0, π]内，正切函数的图像会完整地重复。
正切函数的图像特点如下：1. 在0度（或0弧度）和180度（或π弧度）处，正切函数的值为0；2. 在90度（或π/2弧度）处，正切函数的值不存在，即为无穷大（正无穷或负无穷）；3. 在其他角度处，正切函数的值在正无穷和负无穷之间变化。
四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数外，还有一些相关的三角函数，如余割函数（cosec）、正割函数（sec）和余切函数（cot）等。
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第 23 讲 三角函数的性质（第课时）三角函数的性质⎪⎩⎪⎨⎧单调性奇偶性和周期性定义域和值域重点：三角函数的性质及应用。
难点：三角函数的性质与其他内容综合。
2．了解周期函数与最小正周期的意义。
3．只要会求)sin(φω+=xA y 、 )cos(φω+=x A y 和)tan(φω+=x A y 或可以化为上述形式的函数的周期；4. 利用奇偶性和单调性解题。
3．求单调区间及比较两值的大小。
（详见附表） ⑴ 定义域和值域。
⑵ 奇偶性。
⑶ 周期性：若对一个函数)(x f y =存在一个常数0≠T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+成立，则称)(x f y =是周期函数，常数T 叫做这个函数的周期，所有的周期中最小的正数叫做最小正周期。
⑷ 最大值和最小值。
⑸ 单调区间。
2．求定义域求三角函数的定义域，实际上就是解三角不等式（组），一般可利用三角函数的图像以及三角函数线来解。
例．求函数 1sin 2-=x y 的定义域。
解：01sin 2≥-x ，即 21sin ≥x ，由右图可见 65262ππππ+≤≤+k x k 。
例．说明x 在什么范围内，有1sin -≥x且 1≤tgx （π20≤≤x ）。
解：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥)2(1)1(21sin tgx x ， 不等式⑴的解如图1， 不等式⑵的解如图2，两图叠加后如图3，显然，双重阴影部分就是所求的x ：40π≤≤x 或672ππ≤≤x 或ππ2611≤≤x 。
解题错误：不会做。
3．求值域求三角函数的值域除开可以使用求函数的值域一般的方法之外，根据三角函数的特点，还可以把三角函数化为二次函数后使用配方法求值域。
例．求 θθ2sin4sin 12-=y 的最值。
分析：如果把题给函数当成二次函数c bx ax y ++=2直接使用442b ac y -=最值来求最值，那将会出现问题。
因为c bx ax y ++=2与θθ2sin 4sin 12-=y 并不是同一函数，θsin 和x 的取值范围可能不同而导致它们的最值也可能不同。
此题应该用配方法来解。
解：把题给函数变形为 13)23(sin 4sin4sin 1222+--=-=θθθy ，当1sin =θ时，y 有最大值为12，当1sin -=θ时，y 有最小值为-12。
点评：求最大值时要小心，不能套用二次函数最值公式。
本题最大值不是13，因为2)23(sin 4--θ不可能等于零（θsin 不可能等于 23）。
例．求函数 2sin 1sin 3++=x x y 的值域。
解：把题给函数变形为 2sin 532sin 5)2(sin 3+-=+-+=x x x y ， 当 1sin =x 时，34max =y ，当 1sin -=x 时，2min -=y ， 故所求的函数值域为 ]34,2[- 。
4．周期性)sin(φω+=x A y 和 )cos(φω+=x A y 的最小正周期为ωπ2 ，)tan(φω+=x A y 的最小正周期为ωπ 。
（0>A ，0≠ω） 例．函数 axx f cot)(= 的最小正周期是 （ ）A . πa ；B . πa ；C .aπ； D .aπ。
解：ππa aT ==1 ，故应选B 。
例．（2008高考文科湖南题）已知函数x xx x f sin 2sin 2cos )(22+-=，求函数)(x f 的最小正周期。
解：由题设有 )4sin(2sin cos )(π+=+=x x x x f ，∴ 函数)(x f 的最小正周期是 π2=T 。
5．奇偶性首先予以考虑。
②一般情况下，应先对函数表达式进行化简，然后再判断奇偶性。
例．判断下列函数的奇偶性：⑴ xx x x e e e e x f sin sin sin sin )(---+= ；⑵ xx xx y cos sin 1cos sin 1++-+= ；⑶ x x x y 2cos cos sin 44+-= 。
解：⑴ 定义域为 0sin sin ≠--x x e e ，∴ 0sin ≠x ，∴ πk x ≠ Z k ∈ ，∴ 定义域关于原点对称，又∵ )()(sin sin sin sin )sin()sin()sin()sin(x f e e e e e e e e x f xx xx x x x x -=-+=-+=--------- ，∴ 该函数是奇函数。
⑵ ∵ 2π=x 时，2cos sin 1=++x x ，2π-=x 时，0cos sin 1=++x x ，函数无意义，∴定义域关于原点不对称，∴ 该函数既不是奇函数，也不是偶函数。
⑶ 定义域为实数集，∴ 定义域关于原点对称，又∵ x x x x x x x x y 2cos )cos )(sin cos (sin 2cos cos sin 222244+-+=+-=02cos 2cos =+-=x x∴ 该函数既是奇函数，又是偶函数。
6．单调性要确定函数 )sin(φω+=x A y （0>A ，0>ω） 的单调区间，只要把φω+x 看成一个整体，例如，由 2222ππφωππ+≤+≤-k x k （Z k ∈）解出x 的范围即为增区间，由23222ππφωππ+≤+≤+k x k （Z k ∈）解出x 的范围即为减区间。
例．求函数 )64cos()34(sin ππ-++=x x x y 的单调区间。
解：∵ )34sin(2)]64(2sin[)34(sin )64cos()34(sin ππππππ+=-+++=-++=x x x x x x x y当 223422πππππ+≤+≤-k x k （Z k ∈），函数单调递增，故所求函数的递增区间为 ]242,2452[ππππ+-k k （Z k ∈）， 当 2323422πππππ+≤+≤+k x k （Z k ∈），函数单调递减，故所求函数的递减区间为 ]2472,242[ππππ++k k （Z k ∈）。
例．（2007高考文科湖南题）已知函数()212sin 2sin cos 888f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.求函数()f x 的单调增区间.解：)42sin()42cos()(ππ+++=x x x fx x x 2cos 2)22sin(2)442sin(2=+=++=πππ当πππk x k 222≤≤-，即πππk x k ≤≤-2（Z k ∈）时，函数x x f 2cos 2)(=是增函数，故函数()f x 的单调增区间是],2[πππk k -（Z k ∈）点评：必须先写出2x 的单调区间，再写出x 的单调区间。
⑴ )cos 21(log )(sin x x f x += ；⑵ )cos lg(sin )(x x x f -= ；⑶ xx x f tan 1cos 2)(+= 。
2．求 θθ2sin 9sin 13-=y 的最值。
3．求 4sin 82cos +-=x x y 的最值。
6（2007高考文科湖南题）. 已知函数()212sin 2sin cos 888f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 求函数)(x f 的最小正周期。
7（2003高考文科全国题）. 已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+，求函数()f x 的最小正周期和最大值；9. 已知函数 1cos sin 22++=x x y ，⑴ 讨论它的奇偶性； ⑵ 讨论它的周期性；⑶ 讨论它的单调性和最值； ⑷ 在[0，2π]间作出它的图像。
1．求下列函数的定义域：⑴ )cos 21(log )(sin x x f x += ；⑵ )cos lg(sin )(x x x f -= ；⑶ xx x f tan 1cos 2)(+=。
解：⑴ ⎩⎨⎧<<>+1sin 00cos 21x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧<<>1sin 021cos x x ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠+<<+<<-)(2222322322Z k k x k x k k x k πππππππππ且 ，故所求函数的定义域为 )(223222Z k k x k x k ∈+≠+<<πππππ且 。
⑵ 0cos sin >-x x ，即 x x cos sin > ，作出 x y sin = 和 x y cos = 的图像如右图，由图可知，当 42ππ+=k x 或 452ππ+=k x 时，x x cos sin = ，故所求函数的定义域为 )(45242Z k k x k ∈+<<+ππππ 。
⑶ ⎩⎨⎧≠≥+0tan 01cos 2x x ，⎪⎩⎪⎨⎧∈±≠≠∈+≤≤-)(32,)(322322Z k k x k x Z k k x k πππππππ ，故所求函数的定义域为 322322ππππ+≤≤-k x k ，且 )(32,Z k k x k x ∈±≠≠πππ 。
2．求 θθ2sin 9sin 13-=y 的最值。
解：36169)1813(sin 9sin9sin 1322+--=-=θθθy ， 当1813sin =θ时，y 有最大值为36169，当1s i n -=θ时，y 有最小值为22183193616922-=⨯-。
解题错误：套用二次函数最值公式。
3．求 4sin 82cos +-=x x y 的最值。
解：3)2(sin 2sin 8sin 254sin 82cos 22++-=--=+-=x x x x x y ， 当1sin -=x 时，y 有最大值为1，当1sin =x 时，y 有最小值为-15。
4．设 0≥a ，若 b x a x y +-=sin cos 2 的最大值为0，最小值为-4，试求a 与b 的值，并求出使得y 取得最大值、最小值时的x 值。
解：原函数化为 2241)2(sin ab a x y ++++-= ，⑴ 当 20≤≤a 且 2sin ax -= 时，y 取得最大值0，即 )2arcsin()1(a k x k--+=π )(Z k ∈ 时，0412max =++=a b y ①， 当且仅当 1sin =x 时，y 取得最小值-4，即 22ππ+=k x )(Z k ∈ 时，441)21(22min-=++++-=ab a y ②，联立①②解得 2=a ，2-=b ；⑵ 当 2>a 且 1sin -=x 时，y 取得最大值0，即 232ππ+=k x )(Z k ∈ 时，041)21(22max =++++--=a b a y ③， 当且仅当 1sin =x 时，y 取得最小值-4，即 22ππ+=k x )(Z k ∈ 时，441)21(22min-=++++-=ab a y ④，③式-④式得 4)21()21(22-=+++--a a，解得 2=a ，这与2>a 矛盾，故舍去， 综上所述，2=a ，2-=b ，当 )2arcsin()1(a k x k --+=π )(Z k ∈ 时，y 取得最大值0；当 22ππ+=k x )(Z k ∈ 时，y 取得最小值-4。