07学考复习第七模块概率
七年级数学第七章知识点
七年级数学第七章知识点一、概率概率是研究随机事件发生可能性的一门数学分支，它是在实践中形成，并逐步发展起来的。
1.1 随机事件的概念随机事件是指在一定条件下，不能确定结果的事件。
以投掷一个骰子为例，每一次的点数难以预测，因此称之为随机事件。
1.2 事件的概率事件的概率是指在所有可能事件中发生某个事件的可能性大小。
概率的计算方法有频率法、古典概型和几何概型等。
1.3 概率的性质概率有加法原理、乘法原理和条件概率等性质。
二、统计统计学是集中研究和分析数据，发现数据之间的规律和联系。
它主要包括统计图表、统计描述、统计分布等内容。
2.1 统计图表统计图表可以直观地表示数据，包括直方图、折线图、饼图等。
2.2 统计描述统计描述主要研究各种数据的平均数、中位数、众数等，以及方差、标准差等统计指标。
2.3 统计分布统计分布是指统计学中的各种数据分布规律，包括正态分布、泊松分布等。
三、等比数列等比数列是指一个数列中每一项与前一项的比相等。
比如1，2，4，8，16，32就是一个等比数列，它的公比为2。
3.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式是an=a1*q^(n-1)（a1为首项，q为公比，an为第n项）。
3.2 等比数列的前n项和等比数列前n项和的公式是Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
3.3 应用等比数列在很多方面都有应用，比如金融、工程等领域。
以上就是七年级数学第七章知识点的内容。
通过学习这些知识点，我们可以更好地理解和应用数学，提高数学能力。
概率统计课件第七章练习册答案
所以S＝
4
2、由对称性：r
2 sin （圆）及r 2 cos 2 （双纽线）的交点的
6
所求的面积 S 分为左右两部分；而右边部分的面积又分为两部分计算：S1 S2 ,
S1由
0，
6
和r
2
sin
围成，所以
S1
6 0
1 2
(
2 sin )2d 12
3 8
S2由
,
6
和r2
4
cos
2围成，所以 S2
3
令x2
2
sin t ,所以 S1
2
4 3
所以下方面积： S2
8
(2
4) 3
6
4 3
.
2、如图： y 1 与 y x的交点的横坐标 x 1
x
则阴影部分面积为
2
1
(
x
1 x
)d
2
3、解围成图形面积为
1(ex 0
ex
)dx
e
1 e
2
。
| 4、S lnb (ey 0)dy ey lnb b a。
第七章
习题答案
7.1 微元分析法
7.2 平面图形的面积 7.3 体积 7.4 平面曲线的弧长 7.5 经济应用
ppt课件
1
习题 7.1
一、1：如图示：抛物线 y 1 x2与园 x2 y2 8
2
的图形，设阴影部分面积为 S1
则
S1＝ 2
2
(
0
8 x2 1 x2 )dx 2 2
2
0
8 x2 dx 8 ,
4 6
1 2
cos 2d
1 4
7-9_概率.doc
知识框架图“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算．一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的． 这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()mP A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．三、相互独立事件事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积， 即：()()()P A B P A P B ⋅=⋅．教学目标例题精讲知识要点概率模块一、概率的意义【例 1】（2007年希望杯决赛）气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．①本市明天将有80%的地区降水．②本市明天将有80%的时间降水．③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．【例 2】在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？【解析】200尾鱼中有25条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125÷=，所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800÷=尾．【例 3】一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．【解析】因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．【例 4】一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.【解析】掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）．当总点数是8时，再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大．当总点数在9至12之间时，再掷一次，总点数是13的可能性不比总点数是14，15，16，17的可能性小．例如，总点数是11时，再掷一次，出现05的可能性相同，所以总点数是1116的可能性相同，即总数是13的可能性不比总数点数分别是14，15，16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性最大．【例 5】从小红家门口的车站到学校，有1路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆．小红到车站后，只要看见1路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后3分钟就来9路车，而9路车过去以后7分钟才来1路车．小红乘坐______路车的可能性较大．【解析显然由上表可知每10分钟乘坐1路车的几率均为10，乘坐9路车的几率均为10，因此小红乘坐1路车的可能性较大．模块二、计数求概率【例 6】如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______．【解析】 每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为116、14、38、14、116．【例 7】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2、3、5、7、9五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______．【解析】 警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是2、3、5、7、9中的任何一个，有5种可能，第二位数字有4种可能，……，第五位数字有1种可能，所以一共有54321120⨯⨯⨯⨯=种可能，则输入正确车牌号的可能性是1120．【例 8】 分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少? 【解析】 根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有6636⨯=．将点数为6的情况全部枚举出来有： ()1,5()2,4()3,3()4,2()5,1点数之积为6的情况为： ()()()()1,62,33,26,1两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是536； 点数之积为6的概率为41369=．【例 9】 甲、乙两个学生各从09 这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的差不超过2的概率，⑵两个数字的差不超过6的概率．【解析】 ⑴两个数相同（差为0）的情况有10种，两个数差为1有2918⨯=种，两个数的差为2的情况有2816⨯=种，所以两个数的差不超过2的概率有10181611101025++=⨯． ⑵两个数的差为7的情况有23⨯种． 两个数的差为8的情况有224⨯=种． 两个数的差为9的情况有2种．所以两个数字的差超过6的概率有6423101025++=⨯. 两个数字的差不超过6的概率有32212525-=.【例 10】 工厂质量检测部门对某一批次的10件产品进行抽样检测，如果这10件产品中有两件产品是次品，那么质检人员随机抽取2件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？【解析】 从10件产品中选择2件一共有21045C =种情况.所以这两件产品恰好都是次品的概率为145．两件产品中有一件次品的情况有112816C C ⨯=种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为1645. 两件产品中都不是次品的概率有2828C =种情况，所以两件产品都不是次品的概率为2845.【例 11】 一个班有女生25人,男生27人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?【解析】 从25名女生中任意抽出两个人有25243002⨯=种不同的方法．从全体学生中任意抽出两个人有525113262⨯=种不同的方法．计算概率：300501326221=．【例 12】 从6名学生中选4人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？【解析】 法一：从6名学生中选4人的不同组合有6543154321⨯⨯⨯=⨯⨯⨯种．其中，4人中包括甲的不同组合相当于在5名学生中选3人所以一共有54310321⨯⨯=⨯⨯种．所以甲被选择上的概率为102153=．法二：显然这6个人入选的概率是均等的．即每个人作为一号选手入选的概率为16，作为二号入选的概率为16，作为三号入选的概率为16，作为四号入选的概率为16，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是互斥事件，所以他被入选的概率为1111266663+++=．【例 13】 （2008年奥数网杯）一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点和半夜12点都显示为12:00．如果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______．【解析】 一天当中，手表上显示的时刻一共有1260720⨯=种．其中冒号之前不出现1的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种， 冒号之后不出现1的情况有()()6110145-⨯-=种， 所以不出现1的情况有458360⨯=种．所以至少看到一个数字“1”的情况有720360360-=种，所以至少看到一个数字“1”的概率为36017202=种．【例 14】 从立方体的八个顶点中选3个顶点，你能算出：⑴它们能构成多少个三角形？⑵这些三角形中有多少个直角三角形？⑶随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？【解析】 从8个顶点中任取3个顶点都能构成三角形，所以应该有()87632156⨯⨯÷⨯⨯=个．如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有8个不是直角三角形．所以直角三角形共有56848-=个．构成直角三角形的可能性有486 567=．【例 15】一个标准的五角星（如图）由10个点连接而成，从这10个点随机选取3个点，则这三个点在同一条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？如果选取4个点，则这四个点恰好构成平行四边形的概率为多少？【解析】10个点中任意取3个的情况为1098120 321⨯⨯=⨯⨯种，其中涉及到5条直线，每条直线上各有4个点，其中任意3点都共线，所以取这3点不能够成三角形，这样的概率是34511206C⨯=,所以3点构成三角形的概率为15166-=．10个点中取4个点的情形为41010987210 4321C⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种，10个点中平行四边形有10个，所以构成平行四边形的概率为101 21021=．【例 16】如图9个点分布成边长为2厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为1厘米），在这9个点中任取3个点，则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为12平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为1平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为32平方厘米的概率为多少？构成面积为2平方厘米的三角形的概率为多少？【解析】从9个点中任取3个点一共有3998784 321C⨯⨯==⨯⨯种情况．三个点共线一共有3328++=种情况．所以三个点能够成三角形的概率为81918421 -=．9个点中能构成面积为12的三角形一共有444432⨯+⨯=种情况．所以三个点能够成面积为12平方厘米的三角形的概率为3288421=．9个点中能够成面积为1平方厘米的三角形的情况有46832⨯+=种情况．所以三个点能够成面积为1平方厘米的三角形的概率为328 8421=．9个点中能够成面积为32平方厘米的三角形的情况有4种情况． 所以三个点能够成面积为32平方厘米的三角形的概率为418421=．9个点中能够成面积为2平方厘米的三角形的情况有8种情况．所以三个点能够成面积为2平方厘米的三角形的概率为828421=．【例 17】 甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中选择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少？【解析】 对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有3种可能，所以四次传球的总路线有4381=种可能，每一种之间都是互斥的等概率事件. 而恰好传回到甲的情况，以第一步为→甲乙为例有如下7种情况：⎧→→⎧⎪⎪→→→⎨⎪⎪⎪→→⎩⎪⎪→⎨→→⎧⎪→⎨⎪→→⎩⎪⎪→→⎧→⎨⎪→→⎩⎩乙甲甲丙甲丁甲甲乙乙甲丙丁甲乙甲丁丙甲所以第4次传回甲的概率为3778127⨯=．模块三、对立事件与相互独立事件【例 18】 一张圆桌旁有四个座位，A 、B 、C 、D 四人随机坐到四个座位上，求A 与B 不相邻而坐的概率． 【解析】 四人入座的不同情况有432124⨯⨯⨯=种．A 、B 相邻的不同情况，首先固定A 的座位，有4种，安排B 的座位有2种，安排C 、D 的座位有2种，一共有42216⨯⨯=种，所以A 、B 相邻而座的概率为216243÷=，那么A 、B 不相邻而座的概率为21133-=．【例 19】 某小学六年级有6个班，每个班各有40名学生，现要在六年级的6个班中随机抽取2个班，参加电视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，将抽取4名幸运观众，那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为多少？【解析】 小宝所在班级被抽中参加娱乐活动的概率为152651153C C ==，如果小宝参加了娱乐活动，那么小宝成为幸运观众的概率为4140220=⨯，所以小宝成为幸运观众的概率为11132060⨯=.【例 20】 从装有3个白球，2个黑球的口袋中任意摸出两球，全是白球的概率．【解析】 法一：5个球任意取出两个有25541021C ⨯==⨯种情况，互相之间都是互斥事件，且出现概率均等，而两个球都是白球有2332321C ⨯==⨯种情况，全是白球的概率为310．法二：将摸出两个球视作两次行为，摸出第一个球是白球的概率为35，再摸出一个白球的概率为311512-=-，所以两次摸出两个白球的概率为3135210⨯=．（建议讲完独立事件再讲这一方法）【例 21】 A 、B 、C 、D 、E 、F 六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？【解析】 A 抽中的概率为16，没抽到的概率为56，如果A 没抽中，那么B 有15的概率抽中，如果A 抽中，那么B 抽中的概率为0，所以B 抽中的概率为511656⨯=.同理，C 抽中的概率为54116546⨯⨯=，D 抽中的概率为5431165436⨯⨯⨯=，E 抽中的概率为543211654326⨯⨯⨯⨯=，F 抽中的概率为5432111654326⨯⨯⨯⨯⨯=.由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.【巩固】如果例题中每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概率为多少？【解析】 抽中的概率依次为：16、5166⨯、511666⨯⨯、51116666⨯⨯⨯、5111166666⨯⨯⨯⨯、511111666666⨯⨯⨯⨯⨯，在这种情况下先抽者，抽中的概率大．【例 22】 在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为0.5，0.4，0.2，考试结束后，最容易出现几个人优秀？【解析】 注意他们的优秀率是互不影响的．三人都优秀的概率是0.50.40.20.04⨯⨯=，只有甲乙两人优秀的概率为()0.50.410.20.16⨯⨯-=，（或0.50.40.040.16⨯-=）． 只有甲丙二人优秀的概率()0.510.40.20.06⨯-⨯=， 只有乙丙二人优秀的概率()10.50.40.20.04-⨯⨯=， 所以有两人优秀的概率为0.160.060.040.26++=， 甲一人优秀的概率()()0.510.410.20.24⨯-⨯-=， 乙一人优秀的概率()()10.50.410.20.16-⨯⨯-=， 丙一人优秀的概率()()10.510.40.20.06-⨯-⨯=， 所以只有一人优秀的概率为0.240.160.060.46++= 全都不优秀的概率为()()()10.510.410.20.24---=，最容易出现只有一人优秀的情况．【巩固】在某次的考试中，甲、乙两人优秀（互不影响）的概率为0.5，0.4，考试结束后，只有乙优秀的概率为多少？【解析】 只有乙优秀的概率为()0.410.50.2⨯-=．【例 23】 某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为40%，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少?【解析】 ⑴全部射中靶心的概率为0.40.40.40.064⨯⨯=．⑵第一箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=．第二箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=． 第三箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=．有一箭射中的概率为0.1440.1440.1440.432++=.⑶第一箭射空，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=． 第二箭射空，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=．第三箭射空，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=． 有两箭射空的概率为0.960.960.960.288++=.【例 24】 设每门高射炮击中敌机的概率为0.6,今欲以99%的把握击中敌机,则至少应配备几门高射炮同时射击？【解析】 如果只配一门高射炮，那么未击中的概率为0.4，配备两门高射炮那么未击中的概率为0.40.40.16⨯=，如果配备三门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.064⨯⨯=，如果配备四门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.40.0256⨯⨯⨯=，如果配备五门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.40.40.01024⨯⨯⨯⨯=， 如果配备六门高射炮，那么未击中的概率为60.40.004096=． 所以至少配备6门高射炮，同时射击．【例 25】 某地天气变化的概率是：如果今天晴天，那么明天晴天的概率是34．如果今天下雨，那么明天晴天的概率是13．今天是星期三，天气温暖晴好．小明一家想在星期六去泡温泉，那么星期六晴天的概率是多少？【解析】 根据题意，每天的天气应该只有晴、雨两种可能，不需要考虑阴天等情况，否则是把问题复杂化，而且这道题也没法做了．如果今天晴天，那么明天晴天的概率是3/4．如果今天下雨，那么明天晴天的概率是1/3．也就是说：晴——晴 概率为34； 晴——雨 概率为14；雨——晴 概率为13；雨——雨 概率为23； 可以画一个树状图把星期六是晴天的各种情况都列出来：星期六晴晴晴晴星期五晴雨雨晴星期四雨晴晴星期三然后再分别计算四种情况的概率：3332744464⨯⨯=；311144316⨯⨯=；113143416⨯⨯=；121143318⨯⨯=；所以星期六晴天的概率是2711134764161618576+++=。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第七章
t
28 July 2013
t1 2 ( n 1)
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第七章 假设检验
第29页
若取 =0.05，则 t0.975(4)= 2.776. 现由样本计算得到: x 239.5, s 0.4, 故
由此可得如下结论：
28 July 2013
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第七章 假设检验
第13页
当 减小时，c 也随之减小，必导致的增大； 当 减小时，c 会增大，必导致 的增大； 说明：在样本量一定的条件下不可能找到一 个使 和 都小的检验。 英国统计学家 Neyman 和 Pearson 提出水平 为 的显著性检验的概念。
x 0 u / n
三种假设的拒绝域形式分别见下图：
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第七章 假设检验
第20页
W {u c}
W {u c} W {u c1 或 u c2 }
(a) H1 : 0
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(b) H1 : 0
(c) H1 : 0
的拒绝域为W，则样本观测值落在拒绝域内 的概率称为该检验的势函数，记为
g ( ) P ( x W ),
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0 1
(7.1.3)
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第七章 假设检验
第10页
势函数 g ( )是定义在参数空间 上的一个函数。 犯两类错误的概率都是参数 的函数，并可由势 函数算得，即：
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第七章 假设检验
第11页
这个势函数是 的减函数
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概率论与数理统计教程第七章答案
.第七章假设检验7.1设总体J〜N(4Q2),其中参数4, /为未知，试指出下面统计假设中哪些是简洁假设，哪些是复合假设：(1) W o: // = 0, σ = 1 ；(2) W o√∕ = O, σ>l5(3) ∕70:// <3, σ = 1 ；(4) % :0< 〃 <3 ；(5)W o :// = 0.解：(1)是简洁假设，其余位复合假设7.2设配么，…，25取自正态总体息(19),其中参数〃未知，无是子样均值,如对检验问题“0 ：〃 = 〃o, M ：4工从)取检验的拒绝域：c = {(x1,x2,∙∙∙,x25)r∣x-χ∕0∖≥c},试打算常数c ,使检验的显著性水平为0. 05_ Q解：由于J〜N(〃,9),故J~N(",二)在打。
成立的条件下，一/3 5cP o(∖ξ-^∖≥c) = P(∖ξ-μJ^∖≥-)=2 1-Φ(y) =0.05Φ(-) = 0.975,-= 1.96,所以c=L176°3 37. 3 设子样。
,乙，…，25取自正态总体，cr：已知，对假设检验%邛=μ0, H2> /J。
,取临界域c = {(X[,w,…,4)：片>9)}，(1)求此检验犯第一类错误概率为α时，犯其次类错误的概率夕，并争论它们之间的关系；(2)设〃o=0∙05, σ~=0. 004, a =0.05, n=9,求"=0.65 时不犯其次类错误的概率。
解：(1)在儿成立的条件下，F~N(∕o,军)，此时a = P^ξ≥c^ = P0< σo σo )所以，包二为册=4_,,由此式解出c°=窄4f+为% ∖∣n在H∣成立的条件下，W ~ N",啊 ,此时nS = %<c°) = AI。
气L =①(^^~品)二①匹%=①(2δξ^历σoA∣-σ+A)-A-------------- y∕n)。
2007年高考数学试题分类详解概率与统计
2007年高考数学试题分类详解概率与统计一、选择题1、（山东文理8）某班50于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒 的学生人数占全班人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方 图中可以分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.935，B ．0.945，C ．0.135，D ．0.145，【答案】 A 【分析】：从频率分布直方图上可以看出1(0.060.04)0.9x =-+=，50(0.360.34)35y =⨯+=.2、（山东文12）设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4【答案】D 【试题分析】事件n C 的总事件数为6。
只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可。
当n=2时，落在直线2x y +=上的点为（1，1）； 当n=3时，落在直线3x y +=上的点为（1,2）、（2,1）； 当n=4时，落在直线4x y +=上的点为（1,3）、（2,2）； 当n=5时，落在直线5x y +=上的点为（2,3）； 显然当n=3,4时，事件n C 的概率最大为13。
3、（广东理8）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是13 14 15 16 17 18 19 秒【解析】随机取出2个小球得到的结果数有154102⨯⨯=种(提倡列举).取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1,2},{1,5},{2,4}共3种,故所求答案为(A).4、（山东理12） 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为（A ）51()2（B ） 2551()2C （C ）3351()2C （D ） 235551()2C C【答案】:B.【分析】：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为223511()(1)22P C =-。
浙大版概率论与数理统计答案---第七章
第七章 参数估计注意： 这是第一稿（存在一些错误）1、解 由θθθμθ2),()(01===⎰d x xf X E ，204103)(2221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^=θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，nnX D D 5204)2()(22^θθθ=⋅==。
3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为：3262121^=-=-=X θ。
建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L令0148))1ln(4ln 8()(ln =--=∂-+∂=∂∂θθθθθθθL ，得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计：()1012122μθλθλθλ=⋅+⋅+⋅--=--，()()()()2222222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =,234B =, 故()()()()222ˆˆ221,3ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ222121.4θλθλθθλλθλθλ⎧--=⎪⎨--++-++--=⎪⎩解得1ˆ,43ˆ.8λθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求矩估计。
极大似然估计：(){}()33214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--，()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--，()(),330,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ∂⎧=-=⎪⎪∂--⎨∂⎪=-=⎪∂--⎩解得3ˆ,81ˆ.4θλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即为所求。
5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为^394(3)34322X X p -----==建立关于p 的似然函数：3210)1()2)1(3()()2)1(()(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =∂∂pp L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 22210^++=6、解：(1)()1112EX x x dx θθθθ+=+=+⎰， 由ˆ1ˆ2X θθ+=+得21ˆ1X X θ-=-为θ的矩估计量。
概率论期末考试复习题及答案
概率论期末考试复习题及答案第⼀章1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____61_______.2. 设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 相互独⽴，则P （B ）=______41_____.3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____.4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独⽴，则P （A B ）=________1/3________. A 与B 相互独⽴5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________.6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______．7．⼀⼝袋装有3只红球，2只⿊球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为⼀红⼀⿊的概率是________ 0.6________．8．设袋中装有6只红球、4只⽩球，每次从袋中取⼀球观其颜⾊后放回，并再放⼊1只同颜⾊的球，若连取两次，则第⼀次取得红球且第⼆次取得⽩球的概率等于____12/55____.9．⼀袋中有7个红球和3个⽩球，从袋中有放回地取两次球，每次取⼀个，则第⼀次取得红球且第⼆次取得⽩球的概率p=___0.21_____.10．设⼯⼚甲、⼄、丙三个车间⽣产同⼀种产品，产量依次占全⼚产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该⼚⽣产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间⽣产的概率. 35 18第⼆章1.设随机变量X~N （2，22），则P {X ≤0}=___0.1587____.（附：Φ（1）=0.8413）设随机变量X~N （2，22），则P{X ≤0}=（P{(X-2)/2≤-1} =Φ（-1）=1-Φ（1）=0.15872.设连续型随机变量X 的分布函数为≤>-=-,0,0;0,1)(3x x e x F x则当x >0时，X 的概率密度f (x )=___ xe 33-_____.3．设随机变量X 的分布函数为F （x ）=?≤>--,0,0;0,2x x e a x 则常数a =____1____.4．设随机变量X~N （1，4），已知标准正态分布函数值Φ（1）=0.8413，为使P{X5．抛⼀枚均匀硬币5次，记正⾯向上的次数为X ，则P{X ≥1}=_____3231_______.6.X 表⽰4次独⽴重复射击命中⽬标的次数，每次命中⽬标的概率为0.5，则X~ _B(4, 0.5)____7.设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，则P {}3≤X = ____0.6_______.8.设随机变量X 的分布律为Y =X 2，记随机变量Y 的分布函数为F Y （y ），则F Y （3）=_____9/16____________.9.设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 110.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞求：（1）A 值；（2）P {021 21(1-e -1)≤>-=-0210211)(x e x e x F x x11.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-?+≥>?（1）求常数A ，B ；（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）. A=1 B=-1 P {X ≤2}=λ21--e P {X ＞3}=λ3-e≤>=-0)(x x e x f xλλ 12.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=??<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ）.≥≤<-+-≤<≤=21211221102100)(22x x x x x x x x F13.设随机变量X 的分布律为求（1）X 的分布函数，（2）Y =X 2的分布律.≥<≤<≤<≤--<≤--<=313130/191030/170130/11125/120)(x x x x x x x F 14.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数；（2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. <<=others e y y y f Y 011)(>=-othersz ez f zZ 0021)(2第三章1．设⼆维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 >>=+-,,0;0,0,),()(其他y x ey x f y x（1）求边缘概率密度f X (x)和f Y (y )，（2）问X 与Y 是否相互独⽴，并说明理由.≤>=-00)(x x e x f xX ≤>=-00)(y y e y f yY因为 )()(),(y f x f y x f Y X = ，所以X 与Y 相互独⽴2．设⼆维随机变量221212(,)~(,, ,,)X Y N µµσσρ，且X 与Y 相互独⽴，则ρ=____0______.3.设X~N （-1，4），Y~N （1，9）且X 与Y 相互独⽴，则2X-Y~___ N （-3，25）____.4.设随机变量X 和Y 相互独⽴，它们的分布律分别为，则{}==+1Y X P _____516_______. 5．设随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，其中区域D 是直线y=x ，x=1和x 轴所围成的三⾓形区域，则(X,Y)的概率密度101()2y x f x y others≤<≤=，．6，Y（2）随机变量Z=XY 的分布律.7求：Y 的边缘分布列；（3）X 与Y 是否独⽴？为什么？（4）X+Y 的分布列.因为{0,1}{0}{1}P X Y P X P Y ==≠==，所以X 与Y 不相互独⽴。
07年高考数学概率题(有答案)
20．（07安徽.理）（本小题满分13分）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的只数．（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望E ξ； （Ⅲ）求概率()P E ξξ≥．20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：（Ⅰ）ξ的分布列为：（Ⅱ）数学期望为2(162534)228E ξ=⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）所求的概率为5432115()(2)2828P E P ξξξ++++===≥≥．19．（07安徽.文）（本小题满分13分）在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔． （I ）求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率； （II ）求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率．19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．解：以k A 表示恰剩下k 只果蝇的事件(016)k = ，，，． 以m B 表示至少剩下m 只果蝇的事件(016)m = ，，，． 可以有多种不同的计算()k P A 的方法．方法1（组合模式）：当事件k A 发生时，第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7k -只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以17287()28kk C k P A C --==． 方法2（排列模式）：当事件k A 发生时，共飞走8k -只蝇子，其中第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前7k -只飞出的蝇子中有6k -只是果蝇，有68kC -种不同的选择可能，还需考虑这7k -只蝇子的排列顺序．所以162688(7)!7()28kk kC C k kP A A ----== ． 由上式立得163()2814P A ==； 356563()()()()28P B P A A P A P A =+=+=． 18．（07北京.文.理）（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.18．（共13分）解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． （I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为1102503402302.3100100⨯+⨯+⨯==．（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==． （III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+123111110505040241001005099C C C C C C =+=； (2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==； ξ的分布列：ξ的数学期望：0129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． 18．（07北京.文）（本小题共12分）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： （I ）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率； 18．（共13分） 解：（I ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为610661512.15121010A P ==0≥． （II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为33666914580.014581010C P ⨯===．（07福建.理）无 18．（07福建.文）（本小题满分12分）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率． （07广东.文.理）无18．本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．满分12分．解：记“甲第i 次试跳成功”为事件i A ，“乙第i 次试跳成功”为事件i B ，依题意得()0.7i P A =，()0.6i P B =，且i A ，i B （123i =，，）相互独立． （Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件123A A A ，且三次试跳相互独立，123123()()()()0.30.30.70.063P A A A P A P A P A ∴==⨯⨯=．答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063．（Ⅱ）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C ． 解法一：111111C A B A B A B =++ ，且11A B ，11A B ，11AB 彼此互斥， 111111()()()()PC P A B P A B P A B ∴=++ 111111()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.70.40.30.60.70.6=⨯+⨯+⨯ 0.88=．解法二：11()1()()10.30.40.88P C P A P B =-=-⨯= ． 答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88． （Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件(012)i M i =，，， “乙在两次试跳中成功i 次”为事件(012)i N i =，，，事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为1021M N M N +，且10M N ，21M N 为互斥事件，∴所求的概率为10211021()()()P M N M N P M N P M N +=+ 1021()()()()P M P N P M P N =+1221220.70.30.40.70.60.4C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0.06720.2352=+ 0.3024=答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024．在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；，中的概率及纤度小于（II）估计纤度落在[1.381.50)1.40的概率是多少？，的中点值（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）样本数据（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于1.40的概率约为10.040.250.300.442++⨯=． （Ⅲ）总体数据的期望约为1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（07湖北.文）无 17．（07湖南.文.理）（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望． 17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=． 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是3()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45P P A B ==⨯= ． 所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9P P P =+=+=．（II ）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布(30.9)B ，，33()0.90.1kk k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，，即ξ的分布列是ξ的期望是10.02720.24330.729 2.7E ξ=⨯+⨯+⨯=．（或ξ的期望是30.9 2.7E ξ=⨯=）17．（07江苏）（本题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后第2位）： （1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．（4分）17．本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为22522355(2)0.8(10.8)100.80.20.05P C -=⨯⨯-=⨯⨯≈． （2）5次预报中至少有2次准确的概率为551(0)(1)P P --005011515510.8(10.8)0.8(10.8)C C --=-⨯⨯--⨯⨯-10.000320.00640.99=--≈． （3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为1412340.80.8(10.8)40.80.20.02C -⨯⨯⨯-=⨯⨯≈．19．（07江西.理）（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．19．（07江西.文）（本小题满分12分） 栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率． 19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =． （1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯= ；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ，， 则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为()0.420.550.580.450.492P AB AB +=⨯+⨯=．解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=．19．（07辽宁.理）（本小题满分12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为3232010(0)3q C q q q =-++>该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：设123L L L ，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k ξ，表示当产量为q ，而市场前景无法确定的利润．（I ）分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式； （II ）当产量q 确定时，求期望k E ξ；（III ）试问产量q 取何值时，k E ξ取得最大值．19本小题主要考查数学期望，利用导数求多项式最值等基础知识，考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力。
(全国版)2017版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.7 离散型随机变量及其
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…
__C_mMC_C_nNnN_mM__
则称随机变量X服从超几何分布.
【特别提醒】 1.确定随机变量取值时的关注点:每个取值对应的实际 结果及各个取值表示的结果是彼此互斥的. 2.某指定范围的概率: 某指定范围的概率等于本范围内所有随机变量的概率 和.
【解题导引】(1)由于每个粽子被取到的机会均等,且所 有选法是一定的,因此可直接用古典概型的概率计算公 式计算. (2)该问题符合超几何分布的定义,利用超几何分布求出 分布列即可.
【规范解答】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1
个”，则由古典概型的概率计算公式有
P(2()AX)的=C所12CC有13130C1可5 能14 .值为0,1,2，且
X 则常数c的值为 P(
0 9)c2-c
1 3-8c
A .2或 1 B .2 C .1 D .1 33 3 3
(2)设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 2 34 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求η=|X-1|的分布列.
【解题导引】(1)根据离散型随机变量分布列的性质列 出关于c的不等式和方程求解. (2)先利用离散型随机变量分布列的性质求出m的值,再 求η=|X-1|的分布列.
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,
有时也用等式_P_(_X_=_x_i_)_=_p_i,_i_=_1_,_2_,_…__,_n_表示X的分布列. (2)性质:
①_________________;② =1.
2019-2020年全国通用2017年高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题七概率与统计第一讲计数原理二项
(2)满足 a，b∈{－1,0,1,2}，且关于 x 的方程 ax2＋2x＋b
＝0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14
B．13
C．12
D．10
[解析] 方程 ax2＋2x＋b＝0 有实数解的情况应分类讨
论．当 a＝0 时，关于 x 的方程为 2x＋b＝0，此时有序数对
(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当 a≠0 时，Δ＝
2．[2015·天津五区县一模] 如图，用四种不同的颜色给 图中的 A，B，C，D，E，F 六个点涂色，要求每个点涂一 种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的 涂色方法有( )
A．288 种 C．240 种
B．264 种 D．168 种
解析 解法一：先涂 A，D，E 三个点，共有 4×3×2 ＝24(种)涂法，然后再按 B，C，F 的顺序涂色，分为两类：
4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，
(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－
1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有 4＋9＝13(个)，
故选 B.
应用两个计数原理解题的方法 (1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类 再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示 意图或表格，使问题形象化、直观化．
2024_2025学年新教材高中数学第七章概率7
必备学问基础练进阶训练第一层学问点一随机现象的概念1.(1)我国东南沿海某地明年将3次受到热带气旋的侵袭；(2)若a为实数，则|a|≥0；(3)某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；(4)抛一石块，石块下落；(5)一个正六面体的六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6，将它抛掷两次，向上的面的数字之和大于12；(6)一个电影院某天的上座率超过50%.学问点二确定试验的样本空间2.要求分别进行试验．(1)从中任取一个球；(2)从中任取两个球；(3)先后各取一个球．分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数．3．将数字1,2,3,4随意排成一列，试写出该试验的样本空间．学问点三随机事务的概念4.在是不行能事务的是()A．3个数字相邻B．3个数字全是偶数C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质5．从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个，给出下列事务：①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必定事务是________，不行能事务是________，随机事务是________．(填序号) 6．现有7名数理化成果优秀者，其中A1，A2，A3数学成果优秀，B1，B2物理成果优秀，C1，C2化学成果优秀，从中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，组成一个小组代表学校参与竞赛．写出事务A ＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)}的含义．关键实力综合练进阶训练其次层1．(多选题)下列现象是随机现象的是()A．从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中随意抽取一张，抽到4号签B．向水中扔一块铁块，铁块沉入水中C．同性电荷相互排斥D．张伟同学在下一次考试中得第一名2．从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事务中，必定事务是()A．3人都是男生B．至少有1名男生C．3人都是女生D．至少有1名女生3．一个家庭有两个小孩，则样本空间Ω是()A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的探讨中取得了世界领先的成果．歌德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的样本点个数是()A．3 B．6C．10 D．455．小敏打开计算机时，遗忘了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，其次位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏密码全部可能的样本点个数是()A．5 B．8C．15 D．206．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，视察点的位置，则事务“点落在x轴上”包含的样本点共有()A．7个B．8个C．9个D．10个7．抛掷两枚硬币，面朝上的样本空间有________．8．从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个．①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品．以上的样本点是________．9．从1,2,3,4中任取2个数，样本空间为______________，事务A“恰好一个奇数，一个偶数”用集合表示为________．10．某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．(1)写出这个试验的全部结果；(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事务．学科素养升级练进阶训练第三层1A．连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点B．某人买彩票中奖C．从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2D．在标准大气压下，水加热到90 ℃时会沸腾2．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1(a≠0)，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b 得到样本点(a，b)，则使函数y＝f(x)有零点的样本点的个数为________．3．(学科素养—数据处理)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采纳分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参与竞赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参与双打竞赛．①用所给编号列出样本空间；②记M为事务“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，列出事务M包含的样本点．第七章概率§1随机现象与随机事务1．1随机现象1．2样本空间1．3随机事务必备学问基础练1．答案：(1)(3)(6)为随机现象，(2)(4)(5)为确定性现象．2．解析：(1)Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点的总数为4.(2)一次取两个球，若记(红，白)代表一次取出红球、白球各一个，则样本空间Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的总数为6.(3)先后取两个球，如记(红，白)代表第一次取出一个红球，其次次取出一个白球．列表如下：第一次红白黄黑其次次红(白，红)(黄，红)(黑，红)白(红，白)(黄，白)(黑，白)黄(红，黄)(白，黄)(黑，黄)黑(红，黑)(白，黑)(黄，黑)则样本空间为Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(黄，白)，(白，黄)，(白，黑)，(黑，白)}，样本点的总数为12.3．解析：这个试验的样本点实质是由1,2,3,4这四个数字组成的没有重复数字的四位数，所作树状图如图．这个试验的样本空间Ω＝{1234,1243,1324,1342,1432,1423,2134,2143,2341,2314,2431,2413,3124,3 142,3214,3241,3421,3412,4123,4132,4213,4231,4312,4321}．4．解析：从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6，小于5的状况不行能发生，故“这3个数字的和小于5”这一事务是不行能事务．答案：C5．解析：从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个，可能的结果是“三个全是正品”“两个正品，一个次品”“一个正品，两个次品”．因此，“至少一个正品”是必定事务；“三个次品”是不行能事务；其余的是随机事务．答案：⑥④①②③⑤6．解析：从7人中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)}，由事务A中的样本点可看出，任一样本点出现都有C1被选中，事务A发生，而事务A发生必有其中一样本点出现，因此事务A的意义为从各组中任选一人，C1被选中．关键实力综合练1．解析：B，C为确定性现象，A，D为随机现象．答案：AD2．解析：由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生．答案：B3．解析：因为两个小孩有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．故选C.答案：C4．解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，从中选2个不同数之和等于30的有(7,23)，(11,19)，(13,17)，共3种．答案：A5．解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，共有15种．答案：C6．解析：“点落在x轴上”这一事务记为M，则M＝{(－9,0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1,0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)}，包含9个样本点．答案：C7．解析：每枚硬币都有可能正面朝上、反面朝上，则样本空间为{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．答案：{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}8．解析：从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品一个次品”，“一个正品两个次品”．答案：①②③9．答案：{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，A＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)}．10．解析：(1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x ＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的全部结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事务A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．学科素养升级练1．解析：A、B是随机事务，C是必定事务，D是不行能事务，故选AB.答案：AB2．解析：(a，b)的状况有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15种．函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，符合条件的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个样本点．答案：63．解析：(1)甲、乙、丙三个乒乓球协会共有运动员27＋9＋18＝54(人)，则应从甲协会抽取27×654＝3(人)，应从乙协会抽取9×654＝1(人)，应从丙协会抽取18×654＝2(人)．故从甲、乙、丙三个乒乓球协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参与双打竞赛的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}．②事务M包含的样本点为(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)．。
高中数学-新人教A版选择性必修第三册-第七章-7.1.1条件概率-课件
结论：概率的乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝_P_(_A_)_P_(B__|A__) ．
设A，B为两个事件，已知P(A) ＝23 ，P(B|A) ＝12 ，则P(AB) ＝( )
A．12 B．13 C．92 D．32
【解析】选B.由条件概率的计算公式，可得：P(AB)
【解析】(1) 由古典概型的概率公式可知P(A)＝25 ，P(B)＝2×15＋×43×2 ＝280 ＝25 ，
P(AB)＝52××41 ＝110 .
1 (2)P(B|A)＝PP（（AAB）） ＝120 ＝14 .
5
【类题通法】用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(AB)； (3)代入公பைடு நூலகம்求P(B|A)＝PP（（AAB）） .
(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝160
5 ×9
＝13
.
(3)P( A
B)＝P( A
)P(B| A
)＝140
6 ×9
＝145
.
【跟踪训练】 在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取
得次品的概率．
【解析】设Ai表示“第i次取得次品”(i＝1，2，3)，B表示“第三次才取得次品”，则
【解析】先后抛掷一枚骰子两次，“将出现的点数分别记为a，b”包含的基本事件 有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)， (6，6)，共36个． (1)记“向量m＝(a，b)，n＝(2，－1)，且m·n＝1”为事件A，由m·n＝1得：2a－b＝ 1， 从而事件B包含(1，1)，(2，3)，(3，5)共3个基本事件，故P(A)＝336 ＝112 .
新教材人教a版选择性必修第三册第七章711第1课时条件概率课件
√A.12
2 B.9
1 C.9
4 D.9
解析
1 P(B|A)＝PPAAB＝23＝12.
3
1234
2.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连
续两天的空气质量为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随
后一天的空气质量为优良的概率是
√A.0.8
C.0.6
解析 根据条件概率公式得所求概率为00..765＝0.8.
解 设A＝“抽到的两张都是假钞”，B＝“抽到的两张中至少有一张 是假钞”，则所求概率为P(A|B). ∵P(AB)＝P(A)＝CC22250，P(B)＝C25＋CC22015C115， ∴P(A|B)＝PPABB＝C25＋CC2515C115＝8150＝127.
三、缩小样本空间求条件概率
例3 集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取 (不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的 数大的概率.
事件B为“两个点数中最大点数为4”，则P(B|A)等于
1 A.12
1 B.6
√C.15
5 D.6
解析 由题意，知抛掷两枚均匀骰子，构成的样本点的总数共有36个，
其中事件A包含的样本点共有36－6＝30(个)，
又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的样本点为(1,4)，(2,4)，(3,4)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，共有6个， 6
√C.23，35
D.12，35
解析 P(A|B)＝PPABB＝00..1182＝23，
P(B|A)＝PPAAB＝00..122＝35.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
初中数学第7章总结
初中数学第7章总结前言初中数学第7章主要是关于概率的学习，通过本章的学习，我们可以了解到概率在日常生活中的应用，培养我们的数理思维能力和逻辑推理能力。
本文将对初中数学第7章内容进行总结，帮助大家回顾和巩固所学知识。
7.1 概率的引入概率是研究随机现象的理论，它描述的是随机事件发生的可能性大小。
通过概率的引入，我们可以了解到概率的基本概念和常用术语，例如样本空间、随机事件、必然事件、不可能事件等。
在计算概率时，我们可以利用频率法、古典概率和几何概率等方法。
其中，频率法是通过实验的数据统计得出概率；古典概率是根据事件的可能性推测概率；几何概率是通过几何模型计算概率。
7.2 事件的概率在概率的学习中，我们需要了解事件的概率以及如何计算事件的概率。
事件的概率是指事件发生的可能性大小，可以用一个数值来表示。
事件的概率可以通过频率法进行估计。
通过多次重复实验，我们可以统计事件发生的次数与实验总次数的比例，作为事件发生的概率。
事件的概率可以通过古典概率进行推算。
如果事件的样本空间中，每个样本发生的可能性相等且有限，那么事件发生的概率等于事件包含的样本个数与样本空间的个数的比例。
7.3 概率与分数在数学中，概率与分数是密切相关的。
我们可以将概率用分数的形式表示，例如1/2表示事件发生的概率为1/2。
通过概率与分数的关系，我们可以进行概率的运算。
例如，事件A和事件B的概率分别为p(A)和p(B)，那么事件A和事件B同时发生的概率为p(A∩B)=p(A)×p(B)。
在实际问题中，我们经常需要根据已知的概率求解未知的概率。
通过利用分数的运算规律，我们可以灵活地计算概率。
7.4 不相容事件与互斥事件在概率的学习中，不相容事件和互斥事件是两个重要的概念。
不相容事件是指两个事件不能同时发生的情况，例如掷骰子得到奇数和得到偶数就是不相容事件。
互斥事件是指两个事件至少发生一个的情况，例如掷骰子得到奇数或得到6都是互斥事件。
新教材人教a版选择性必修第三册711条件概率课件3
解．
[解析] 由古典概型的概率公式可知
(1)P(A)＝52， P(B)＝2×51×＋43×2＝280＝25，
P(A∩B)＝25××14＝110．
1 (2)P(B|A)＝PPA∩AB＝120＝14．
5
[规律方法] (1)在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……
发生的概率”时，一般可认为是条件概率．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
利用定义求条件概率
典例 1 •
一个袋中有2 个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为
A；事件“第二次抽到黑球”为B．
•
(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；
•
(2)求P(B|A)．
•
[分析] 首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求
5
[规律方法] 非相互独立事件同时发生的概率求法 若A，B不是相互独立事件，则P(AB)的求法是用条件概率的变形式 P(AB)＝P(A)·P (B|A)．而P(B|A)可采用缩减样本空间法来计算，P(B|A)＝ nnAAB，其中n(AB)表示事件AB包含的样本点个数，n(A)表示事件A包含的 样本点个数．
(B )
A．41
B．13
C．12
D．1
[解析] 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，
1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是13．
•
3．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙
市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)和P(B|A)分别等于
广东省2020年高中数学学业水平测试(小高考)复习课件 第七章 概率与统计(共121张PPT)
件,即至多有一张移动卡.
第七章
概率与统计
赢在考情精析
赢在考点训练
章末综合测试
-13-
考点1
考点2
考点3
考点4
考向2 随机事件的频率与概率
典型例题2
经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:
排队人数 0 1
概率
0.1 0.16
-7-
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)对立事件:若A∩B为 不可能 事件,而A∪B为 必然 事件,那 么事件A与事件B互为对立事件,其含义:事件A与事件B在任何一次
试验中有且仅有一个发生.
对立事件的概率和为1,即P(A)+P( ������ )= 1 .它的变形形式 为P(A)= 1-P(������) .
2
34
5 人及 5 人以上
0.3 0.3 0.1 0.04
求:(1)至多2人排队等候的概率; (2)至少3人排队等候的概率.
【解析】记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人 排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件 E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.
用样本估计总 体
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件 发生的概率. 3.随机数与几何概型
(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.
(2)了解几何概型的意义.
概率与统计
第七章
赢在考情精析 赢在考点训练 章末综合测试
-3-
内容
考纲
随机事件的概
率、古典概型 4.随机抽样
高考知识点汇总之概率模块
概一计数原理1、 分类计数原理：要完成一件事，分成n 类方法，第一类方法中有1m 种不同方法，第二类方法中有2m 种不同方法、、、第n 类方法中有n m 种不同方法，则完成这件事共有12...n N m m m =+++种不同方法。
2、 分步计数原理：要完成一件事，分成n 个步骤，第一步中有1m 种不同方法，第二步中有2m 种不同方法、、、第n 步中有n m 种不同方法，则完成这件事共有12n N m m m =⋅⋅⋅⋅种不同方法。
3、 计数原理部分应用题型1）数字问题：数字问题在高考中出题的概率比较大，而且题型变化比较多。
①用0、1、2、3、4五个数字可以组成多少个三位数？要完成三位数，只需要把百位，十位，个位选好数字N=455100⨯⨯=②用0、1、2、3、4五个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？N=44348⨯⨯=③用0、1、2、3、4五个数字可以组成多少个比213小的数？首先先观察需要进行分类：一位数，二位数和三位数（没强调可不可重复默认可以重复） 一位数：5个 二位数：4520⨯=个 三位数：555333⨯++= 所以：N=583）实际应用问题：①某人写了3封信，想邮给2个人，有多少种不同的邮递方法？32 ②一公交车上有5名乘客，沿途停靠3站，有多少种不同的下车方式？531 2 3 5 有四种不同颜色的涂料，对图中五个区域进行上色，要求相邻区域不同色，则有多少种不同上色方法？（一）1、3同色4312372⨯⨯⨯⨯= 1、3不同色4321372⨯⨯⨯⨯=共144种 （二）先从5开始上色43322144⨯⨯⨯⨯=种4 有四种不同颜色的染料，对图中五个区域进行上色，要求相邻区域不同色，有多少种不同的上色方法？ 2、4同色：4321248⨯⨯⨯⨯= 2、4不同色：4321124⨯⨯⨯⨯= 共48+24=72种不同上色方法。
③3名运动员争夺2个单项运动的冠军，有多少种不同的夺冠方式？23 ④集合A={}1,2,3,4，集合B={},,a b c 则不同的:f A B →有多少个？43小结：对于实际应用问题中，最容易出错的地方就是分不清楚谁选谁的问题，通过上面例题不难发现，先观察谁可以多对一，则可以多对一的一方作为主选元素考虑。
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学考第七模块 概率
知识梳理
1．随机事件的概率
事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率m /n 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。
由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
2．事件间的关系
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；
3．事件间的运算
（1）事件A +B （和事件）
当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：
P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。
4．古典概型
（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数
包含的基本事件个数A ； 5．几何概型：积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P )( 过关习练
1.在数学考试中，小明的成绩在90以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，则小明及格的概率是_______;70分以上的概率是_______;不到80分的概率是_______.
2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.112
B.110
C.15
D.310
3.从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率为_____.
4.从含有两件正品12,a a 和一件次品1b 的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，求：
（1）没有正品的概率； （2）都是正品的概率；
（3）两次产品相同的概率； （4）有一件次品的概率；
（5）至多有一件正品的概率； （6）至少有一件正品的概率；
5.剪短一根3米长的绳子得到的两段绳子长度都超过1.2米得概率为________.
6.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率_________________.
7.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
8.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点，则△PBC的面积大于S
4的概率为( )
A.1
4 B.
1
2 C.
3
4 D.
2
3
9.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区
域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为2 3，
则阴影区域的面积为( )
A.4
3
B.
8
3
C.
2
3
D.
1
3
10.设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率。