人教版高中数学必修2-1.3解题思维：空间几何体的表面积和体积
2020版人教A数学必修2：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
的底面积 S= 1 ×4×2=4,棱锥的高 h=4,所以棱锥的体积 V= 1 ×4×4= 16 .
2
3
3
故选 B.
[备用例2] 1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.
解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱 的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的 三棱锥,其体积为 1 × 1 ×6×3×3=9.
32
3.(2018·天津河西区高一期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为
.
解析:几何体上部是圆锥,下部是圆柱,所以几何体的体积为π·12×4+ 1 × 3
22π×2= 20π . 3
答案: 20π 3
4.(2018·杭州高一期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
是
;表面积是
.
解析:由题意几何体是棱长为 2 的正方体,挖去一底面半径为 1,高为 1 的圆锥,
π rl+π
r2
. .
圆台
上底面面积:S上底= 下底面面积:S下底=
π r′2 . π r2 .
侧面积:S侧= π l(r+r′) .
表面积:S= π (r′2+r2+r′l+rl) .
2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高);
高中数学人教A版必修2 1.3 空间几何体的表面积和体积 课件
π D.6
解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征
知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径
为2，故半径为1，
其体积是43×π×13＝43π.
解析 答案
(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3， 5， 15，则它的外 接球表面积为___9_π__.
解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，
ab＝ 3， 则bc＝ 5，
ac＝ 15，
a＝ 3， 解得b＝1，
c＝ 5，
∴外接球半径为 a2＋2b2＋c2＝32，
∴外接球表面积为 4π×322＝9π.
反思与感悟 (1)正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时
球的半a 径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与2 正方体的各条棱相切
解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π，
所以小圆的半径为 2，
已知球心到该截面的距离为1，
所以球的半径为 3， 所以球的表面积为 4π( 3)2＝12π.
命题角度2 与球有关的切、接问题 例4 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则 该球的体积为
√A.43π
B.
2π 3
C.
3π 2
√A.5030π cm3
1 C.
372π 3
cm3
866π B. 3
cm3
2 048π D. 3
cm3
反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆， 将问题转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的 距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
跟踪训练3 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心 到该截面的距离为1，则该球的1表2π面积为______.
人教版高中数学必修二1.3 空间几何体的表面积与体积 PPT课件
圆台的展开图是一个扇环，它的表面积等于上、 下两个底面和加上侧面的面积，即
S ( r r r l rl )
'2 2 '
2r `
O`
2r
O
例2 如下图, 一个圆台形花盆直径为 20cm, 盆底 直径为 15cm, 底部渗水圆孔直径为 1.5cm, 盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是 多少平方厘米(取 3.14, 结果精确到 1cm) ?
1、 3
空间几何体的表面积与体积
1. 柱体、锥体、台体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的 几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的 表面积？
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图 形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图 形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
32 3
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球 切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各 顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面
小结
本节课主要介绍了求空间几何体的表面积 和体积的公式和方法： 将空间图形问题转化为平面图形问题， 利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积。
这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行 四边形、三角形、梯形的面积问题。
例1、已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的 四 面体S ABC(如下图), 求它的表面积 .
S
A B D C
圆柱的展开图是一个矩形：
如果圆柱的底面半径为 r ，母线为 l ，那么圆柱 2 r 的底面积为 ，侧面积为 2rl 。因此圆柱的 表面积为
20cm
15cm
15cm
柱体、锥体、台体的体积
高中数学必修二：1.3空间几何的的表面积和体积课件
栏 目
则 OE＝12AB＝12×12＝6，O1E1＝12A1B1＝3.
开 过 E1 作 E1H⊥OE，垂足为 H，
关
则 E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.
在 Rt△E1HE 中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，
所以 E1E＝3 17.
所以 S 侧＝4×12×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(12＋6)×3 17＝108 17.
解 ∵四棱锥 S—ABCD 的各棱长均为 5，各侧面都
是全等的正三角形．
本 设 E 为 AB 的中点，则 SE⊥AB.
课 时 栏
∴S
侧＝4S△SAB＝4×12×AB×SE＝2×5×
52－522＝25 3.
目 开
S 表面积＝S 侧＋S 底＝25 3＋25＝25( 3＋1)．
关
第1课时
研一研·问题探究、课堂更高效
目
所示．
开
关
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第1课时
问题 2 几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，棱柱，棱锥，
棱台的侧面展开图是怎样的？如何求棱柱，棱锥，棱台的表面积？
答 如下图所示，只需求出各个展开图中的各部分平面图形的面
本
积，然后求和即可．
课
时
栏
目
开
关
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第1课时
例 1 已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体 S—ABC，求
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第1课时
小结 解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本
本 量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正
人教版数学必修二空间几何体的表面积和体积(共82张PPT)
S直棱柱侧＝ .（类比矩形的面积）
ch
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ .（类比矩形的面积） 2πrl
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？
侧面积怎么求？
h
cb
a
h
a
Байду номын сангаас
h
bc
S 直 棱 ＝ 拄 a （ 侧 bc)hch
• 侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和（除去
底面）
2022年9月22日星期四9时44分23秒 云在漫步
棱柱、棱锥、棱台的侧面积
• 侧面积所指的对象分别如下： • 棱柱----直棱柱。 • 棱锥----正棱锥。 • 棱台----正棱台
2022年9月22日星期四9时44分24秒 云在漫步
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是
(1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面积．
【思路点拨】 (1)证明△AED为直角三 角形，然后求侧棱长；(2)分别求出侧面积与 底面积．
【解】 (1)设正三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长
为 x.
∵△ABC 是正三角形，
∴AE⊥BC.
又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C，且交线为 BC，
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
和高，再根据体积公式求出其体积. 2、对应的面积公式
V台体= 如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。
知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内 把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 设H为正△ABC的中心，
高二数学必修2空间几何体的表面积和体积ppt课件
25
例5 圆台的上、下底面半径分别为2和
4，高为 2 3 ，求其侧面展开图扇环所
对的圆心角
26
例6：圆台的上、下底半径分别是10cm和 20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果 中保留π）
答：1800
27
小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键；
3.14，结果精确到1 cm2 ）？
4/16/2021 7:27:01 PM 云在漫步
24
20cm
解：由圆台的表面积公式得
花盆的表面积：
15cm
S15 21 51 52 015 1.52 15cm
2 2 2 2
999(cm2)
答：花盆的表面积约是999 cm2 ．
4/16/2021 7:27:01 PM 云在漫步
(2)正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面 把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱 台的侧面积.
15
例3：一个正三棱台的上、下底面边长
分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱
台的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
答：60
答：9 7
16
的棱锥
4、正棱台： 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部 分叫正棱台
3
斜高的概念
作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出 斜高
C1
P
A1
B1
A1
C1
C A
B1 D1
A
C
B
O
D
B
C O
D
人教版数学高一必修二导学案 1.3空间几何体的表面积与体积
1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【考纲要求】[学习目标]1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法．2．能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体、柱体和锥体之间的转换关系．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．[目标解读]1．求柱体、锥体、台体的表面积与体积是重点；2．求组合体的表面积与体积是难点．【自主学习】1．多面体与旋转体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是的面积的和，也就是的面积．旋转体圆柱底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝圆锥底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V=(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V= .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V= .特别提醒：柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特征，必要时要展开．【考点突破】要点一柱体、锥体、台体的表面积1.求柱体、锥体、台体的侧面积或表面积时，可直接使用公式．但像台体的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的．2．在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算出以上旋转体的母线长和底面圆的半径长．3．这些公式的推导方法向我们揭示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间概念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题．典型例题1、已知四棱锥S－ABCD中，各侧面为正三角形，底面为正方形，且各棱长均为5，求它的侧面积、表面积．【思路启迪】由题意可知，四棱锥的四个侧面为全等的正三角形，底面为正方形．【解】设E为AB中点，则SE⊥AB，∴S侧＝4S△SAB＝4×12×AB×SE＝2×5×52－⎝⎛⎭⎫522＝25 3.S表＝S侧＋S底＝253＋25＝25(3＋1)．旋转体圆台上底面面积：S上底＝下底面面积：S下底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝方法指导：求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．反馈训练1、若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A ．3:2B ．2:1C ．4:3D ．5:3 要点二 柱体、锥体、台体的体积求几何体的体积首先要明确几何体的形状及相应的体积公式，其次需要计算几何体的底面积和高．当几何体不规则或直接求体积有困难时，可利用转化思想，采用间接方法，如割补法等求其体积，也可借助体积公式和图形的性质转化为其他等体积的几何体，再求体积．典型例题2、已知过三棱台上底面的一边与一条侧棱平行的一个截面，它的两个顶点是下底面两边的中点，求棱台被分成两部分的体积的比．【思路启迪】 注意应用棱台和棱柱的体积公式．【解】 设棱台上底面△A ′B ′C ′的面积为S ′，棱台的高为h . 由题意可知：△A ′B ′C ′≌△DBE .∵△DBE ∽△ABC ，D ，E 分别是AB ，BC 的中点， ∴S △DBE S △ABC ＝14.∴S △ABC ＝4S ′. ∴V 台ABC －A ′B ′C ′＝13h ·(S ′＋S ′·4S ′＋4S ′)＝13h ·7S ′＝73h ·S ′， V 柱DBE －A ′B ′C ′＝S ′·h .∴棱台被分成的两部分体积比为4:3或3:4.方法指导：求几何体的体积要分清是由什么几何体构成，利用相应几何体的体积公式进行求解．反馈训练2、如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．16 要点三 三视图与几何体的表面积与体积把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，再结合表面积或体积公式解题．典型例题3、(2012·江西卷)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A.112 B ．5 C.92D ．4 【思路启迪】 先根据三视图复原几何体，再根据几何体的特征与体积公式求其体积． 【解析】 由三视图可以判断该几何体为六棱柱，直观图如图所示．AB ＝1，AA 1＝1. V ABCDEF －A1B 1C 1D 1E 1F 1＝4×1＝4. 【答案】 D方法指导：根据三视图首先确定几何体的结构特征，再依据三视图中的数据进行相应的计算． 反馈训练3、(1)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2(2)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3考点巩固1．一个圆锥的全面积是底面积的4倍，则轴截面的面积是底面积的( ) A.152π倍 B.15π倍C.2π倍 D.22π倍2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A 1－BC 1D 的体积为( )A.23B.13C.14D.123．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．805．如图是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点，现在沿三角形GFH 所在的平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的_____ ___．6．已知正三棱锥V－ABC的正视图，俯视图如图所示，其中VA=4，AC=23，求该三棱锥的表面积．7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD 内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．考点巩固-答案1、解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h依题意得πr2＋πrl＝4πr2∴l＝3r，圆锥的高h＝(3r)2－r2＝22r故S 轴＝r ·22r ＝22r 2，S 轴S 底＝22π.答案：D2、解析：三棱锥A 1－BC 1D 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1去掉4个角得到的，其体积V ＝1×1×1－4×13×12×1×1＝13.答案：B3、解析：当俯视图为A 中正方形时，几何体为棱长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.答案：C 4、解析：由该几何体的三视图得出原型为： S 四边形A1B 1C 1D 1＝4×2＝8， S 四边形ABCD ＝4×4＝16，四边形ADD 1A 1与四边形BCC 1B 1为全等的梯形，面积均为：(2＋4)×42＝12，四边形ABB 1A 1与四边形CDD 1C 1均为矩形，其中BB 1＝42＋1＝17，∴面积均为：4×17＝417.∴该几何体的全面积S ＝8＋16＋12×2＋417×2＝48＋817. 答案：C5、解析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于三角形AGF 所在的正方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是直角三角形AGF ，而∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，∴AF ＝AG ＝12a ，∴S △AGF ＝12×12a ×12a ＝18a 2，又AH ＝12a ，∴锯掉一角的体积为V ＝13×12a ×18a 2＝148a 3，∴锯掉的这块的体积是原正方体体积的148.答案：1486、解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA ＝VB ＝VC ＝4， AB ＝BC ＝AC ＝23， 取BC 的中点D ，连接VD ，则 VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13，∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，∴三棱锥V －ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)． 7、解析：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6和8的矩形，高为4的四棱锥．设底面矩形为ABCD .如图所示，AB ＝8，BC ＝6，高VO ＝4. (1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥中侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形． 在△VBC 中，BC 边上的高 h 1＝VO 2＋⎝⎛⎭⎫AB 22＝42＋⎝⎛⎭⎫822＝4 2.在△VAB 中，AB 边上的高 h 2＝VO 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22＝42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.所以此几何体的侧面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.8、解：如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°， ∴CD ＝BC －ADcos60°＝2a ，AB ＝CD sin60°＝3a ，∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a .由于以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a ，底面半径2a ，圆锥的母线长2a ，底面半径a . ∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2， 圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2，圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2， ∴组合体上底面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2，∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh ＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3.V 锥＝13S ′h ＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3.∴V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3.1.3.2球的体积和表面积【考纲要求】[学习目标]1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题． 3．培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力． [目标解读]1．球的表面积与体积公式的应用是重点；2．解决球的组合体及三视图中球的有关问题是难点． 【自主学习】1．球的体积公式是V 球 = (R 为球的半径)． 2．球的表面积公式是S 球 = (R 为球的半径)． 特别提醒：在球的截面中，经过球心的截面是最大的圆． 【考点突破】要点一 球的表面积与体积1.球的体积是球体所占空间的大小的度量，设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数即V =43πR 3.2．球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是关于球半径的函数即S =4πR 2. 典型例题1、(1)已知球的直径为6cm ，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64π，求它的体积； (3)已知球的体积为5003π，求它的表面积．【思路启迪】 利用条件确定半径R 代入相关公式可求． 【解】 (1)∵直径为6cm ，∴半径R ＝3cm ， ∴表面积S 球＝4πR 2＝36π(cm 2)， 体积V 球＝43πR 3＝36π(cm 3)．(2)∵S 球＝4πR 2＝64π，∴R 2＝16，即R ＝4， ∴V 球＝43πR 3＝43π×43＝2563π.(3)∵V 球＝43πR 3＝5003π方法指导：已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．反馈训练1、(1)把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为 ( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R(2)若两球表面积之比为4:9，则其体积之比为__ ___． 要点二 球的切接问题球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体，主要包括“内切”和“外接”等有关的问题，像长方体内接于球，正方体内接于球，正四面体内接于球，球内切于正方体，球内切于正四面体，球内切于圆台等组合体．解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．典型例题2、正三棱锥(三棱锥的底面是正三角形，顶点在底面的投影是底面三角形的中心)的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积．【思路启迪】 本题关键是求出球的半径．类比三角形内切圆半径的求法(即分割法)，求出三棱锥内切球半径．【解】：如图，过侧棱PA 与球心O 作截面PAE ，交侧面PBC 于PE .∵△ABC 为正三角形，易知AE 既是△ABC 底边BC 上的高，又是BC 边上的中线． 作正三棱锥的高PD ，则PD 过球心O ，且D 是正△ABC 的中心， ∵AB ＝26，∴DE ＝13AE ＝13·32AB ＝ 2.∴PE ＝12＋(2)2＝ 3.∴S 全＝S 侧＋S 底＝3·12·26·3＋34(26)2＝92＋63，即棱锥的全面积为92＋6 3.以球心为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，球半径为r . 则V 1＋V 2＋V 3＋V 4＝13r ·S 全＝13h ·S △ABC ，∴r ＝S △ABC ·hS 全＝34·(26)2·192＋63＝6－2，∴S 球＝4πr 2＝4π(6－2)2. 方法指导：(1)与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关键．(2)球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球的直径．(3)球与旋转体的组合，通常作轴截面解题．反馈训练2、有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积．要点三球的截面问题解决球的问题时常常用到球的轴截面，在轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心与圆心的连线所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置．典型例题3、已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．【思路启迪】要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的轴截面(过直径的球的平面)．【解】如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：r22＝R2－x2且πr22＝π(R2－x2)＝8π，r21＝R2－(x＋1)2且πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π(平方单位)．方法指导：球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．反馈训练3、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3 B.8π3 C ．82π D.82π3考点巩固1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C.2倍D ．32倍2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )A ．4:3B ．3:1C ．3:2D ．9:43．某几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.⎝⎛⎭⎫8＋4π3m 3 B.⎝⎛⎭⎫8＋2π3m 3 C.⎝⎛⎭⎫4＋4π3m 3 D.⎝⎛⎭⎫4＋2π3m 3 4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．5．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为__________．6．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积之比．7．一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少．8．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)考点巩固-答案1、解析：设原来球的半径为r ，变化后的球半径为r ′， ∴4πr ′2＝2·4πr 2，∴r ′＝2r . ∴V ′V ＝43πr ′343πr 3＝(2r )3r3＝2 2. 答案：B2、解析：作轴截面如图，则PO ＝2OD ，∠CPB ＝30°，CB ＝33PC ＝3r ，PB ＝ 23r ，圆锥侧面积S 1＝6πr 2，球的面积S 2＝4πr 2，S 1:S 2＝3:2. 答案：C3、解析：该几何体是一棱长为2的正方体，上面放了一个半径为1的半球，所以其体积为23＋2π3＝8＋2π3(m 3)． 答案：B4、解析：据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如上图所示． 故该几何体的表面积为S ＝S 圆柱＋S 球＝2π＋6π＋4π＝12π. 答案：12π5、解析：设两圆锥高分别为h 1，h 2，(设h 2<h 1)球半径为R ，圆锥底面半径为r ，如图，S 1S 2＝2R ，AO 1＝r ，且∠S 1AS 2＝90°，AO 1⊥S 2S 1，∴AO 21＝S 1O 1·S 2O 1， 即r 2＝h 1h 2，又∵πr 2＝3164πR 2，∴r ＝32R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧h 1h 2＝34R 2h 1＋h 2＝2R∴h 1，h 2分别为32R ，12R ，∴h 2h 1＝13.答案：136、解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h ， 图中圆锥的底面半径为r ，高为h ，则V 圆锥＝13πr 2h ，球的半径为r ，所以V 球＝43πr 3，又h ＝2r所以V 圆锥:V 球:V 圆柱＝⎝⎛⎭⎫13πr 2h :⎝⎛⎭⎫43πr 3: (πr 2h ) ＝⎝⎛⎭⎫23πr 3:⎝⎛⎭⎫43πr 3: (2πr 3)＝1:2:3.7、解：设球未取出时高PC ＝h ，球取出后水面高PH ＝x .如图所示，∵AC ＝3r ，PC ＝3r ，∴以AB 为底面直径的圆锥容积为V 圆锥＝13πAC 2·PC ＝13π(3r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝43πr 3.球取出后水面下降到EF ，水的体积为 V 水＝13πEH 2·PH＝13π(PH ·tan30°)2·PH ＝19πx 3. 而V 水＝V 圆锥－V 球，即19πx 3＝3πr 3－43πr 3，∴x ＝315r . 故球取出后水面的高为315r . 8、解：如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝3π2R 2，S 圆锥BO 1侧＝π×32R ×R ＝3π2R 2， ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧 ＝11π2R 2＋3π2R 2＝11＋32πR 2. 故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR 2. 章末小结【知识框架】。
高中数学必修2第一章第三节《空间几何体的表面积与体积》全套教案
空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
【教学重点难点】【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【学前准备】：多媒体，预习例题（3）初中时，我们已经学习了计算特殊的柱体——正方体、长方体以及圆柱的体积公式：如图，把正方体截去四个角，得到一个体比2a和积此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥底面半径，且圆柱的全面积：圆锥的底面积3:2=．）求圆锥母线与底面多成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积参考答案：1. B 2. C 3. 1 , 3 4. A 5. B 6. B 7. 1:3 3a π或32aπ9．已知圆锥有一个内接圆柱此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱. 三棱锥的外接球问题【教学目标】⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【学前准备】：多媒体，预习例题4：如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上，DA⊥平面ABC,DA=AB=AC=3,∠ABC=60，则球半径是类型五：正三棱锥的外接球问题6：已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，求外接球半径。
高中数学中的立体几何体积与表面积解题方法
高中数学中的立体几何体积与表面积解题方法在高中数学中，立体几何体的体积与表面积是一个重要的解题内容。
准确计算和解答立体几何体的体积与表面积问题，不仅需要掌握相关的公式和方法，还需要灵活运用数学思维和推导能力。
本文将从四个方面介绍高中数学中立体几何体积与表面积的解题方法。
一、立体几何体的体积计算方法立体几何体的体积是指该几何体所包含的三维空间的容积大小。
常见的立体几何体包括长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体等。
针对每一种立体几何体，都有相应的体积计算公式。
1. 长方体和正方体的体积计算长方体和正方体的体积计算公式非常简单，即体积 = 长 ×宽 ×高。
其中，长方体的长、宽、高分别代表立方体的长、宽、高。
2. 圆柱体的体积计算圆柱体的体积计算公式为体积 = 底面积 ×高。
其中，底面积是指圆柱体的底部面积，可以用半径的平方乘以π来表示。
3. 圆锥体的体积计算圆锥体的体积计算公式也是体积 = 底面积 ×高。
底面积可以用半径的平方乘以π来表示。
而在计算底面积时，需要注意底面是个圆形。
4. 球体的体积计算球体的体积计算公式为体积= 4/3 × π × 半径的立方。
其中，半径是指球体的半径。
二、立体几何体的表面积计算方法立体几何体的表面积是指该几何体所有表面的总面积大小。
不同的几何体有不同的表面积计算公式。
1. 长方体和正方体的表面积计算长方体的表面积计算公式为表面积 = 2 × (长×宽 + 长×高 + 宽×高)。
正方体的表面积与长方体相同，即表面积 = 6 ×边长的平方。
2. 圆柱体的表面积计算圆柱体的表面积计算公式为表面积= 2π×半径×高+ 2π×半径的平方。
其中，第一项代表圆柱体侧面的面积，第二项代表圆柱体底面和顶面的面积。
3. 圆锥体的表面积计算圆锥体的表面积计算公式为表面积= π×半径×斜高+ π×半径的平方。
高二数学必修2 空间几何体的表面积和体积PPT精选文档
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形
组成． S
解：先求ABC的面积，过点作 SDB，C
交BC于点D．
A
因为BC=a，SDSBsin60 3a 2
BD
C 所以：S ABC 1 2BC SD 1 2a2 3a4 3a2
因此，四面体S-ABC 的表面积
S 4 3 a2 4 4/16/2021 9:12:19 PM 云在漫步
2、对应的面积公式
S正三棱锥＝ 侧12ch'
S圆锥侧= πrl
C’=0
r1=0
S正棱台 ＝ 侧 1 2 （ c＋ c')h' S圆台侧=π（r1+r2)l
C’=C
S直棱柱 ＝ c侧h'. ch
r1=r2 S圆柱侧=28 2πrl
知识小结
柱体、锥体、台体的表面积 展开图
圆柱 S2r(rl)
rr
圆台S(r2r2rlr)l
3a2.
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？（类比梯形的面积）
h'
h'
.
S正棱台 ＝侧 12（ 13 cc')h'
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正四棱台的侧面展开图
h'
S表面 S 积 侧 S上 底 S下底
例2:(1)一个正三棱柱的底面是边长为5 的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积 为 ______;
的棱锥
4、正棱台： 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分 叫正棱台
人教版数学必修二1.3-空间几何体的表面积和体积
3．几何体的表面积应注意重合部分的处理．
一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积 。
• 侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和 （除去底面）
14.12.2020 15:32:33 云在漫步
棱柱、棱锥、棱台的侧面积
• 侧面积所指的对象分别如下： • 棱柱----直棱柱。 • 棱锥----正棱锥。 • 棱台----正棱台
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2.几何体的表面积 （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积 之和 . （2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 矩 形 、 扇形 、扇环形；它们的表面积等于侧面积 与底面面积之和.
1
Ｖ圆台＝ 3
πh
(r12r1r2r22)
五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S V1(S
3
SSS)h S 0
V
1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面 h为锥体高 面积，h 为台体高
S为底面面积， h为柱体高
知识点二．柱、锥、台、球的体积
(1)长方体的体积 V长方体＝abc＝ Sh. (其中a、b、c为长、宽、高，S为底面 积，h为高) (2)柱体(圆柱和棱柱)的体积 V柱体＝Sh. 其中，V圆柱＝πr2h(其中r为底面半径)．
6
回忆复习有关概念 1、直棱柱： 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱 2、正棱柱： 直 底面是正多边形的 棱柱叫正棱柱 3、正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心
人教版必修二高一数学：空间几何体的表面积与体积
人教版必修二高一数学：空间几何体的表面积与体积一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积之_________，因此，我们可以把多面体展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积． 2．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积（1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个_________、_________、_________所组成的．侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）．由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和．（2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有_________和_________展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积．可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为：2S S S =+棱柱表棱柱侧底，S S S =+棱锥表棱锥侧底，S S S S =++棱台表棱台侧上底下底．3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积（1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形．如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为S =_________(c 为底面周长，h 为侧棱长)．（2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形．如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为S =_________(c 为底面周长，h ′为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高)．（3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形．如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为S =_________(c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高，即侧面等腰梯形的高)．二、圆柱、圆锥、圆台的表面积三、柱体、椎体、台体的体积1．柱体、椎体、台体的高（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．圆柱的_________即圆柱的高．（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．（3）棱台（圆台）的高是指两个_________之间的距离．2．柱体、锥体、台体的体积四、组合体的表面积与体积求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减．五、球的体积与表面积1．球的体积设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．事实上，如果球的半径为R，那么它的体积V =_________． 2．球的表面积设球的半径为R ，它的表面积由半径R 唯一确定，即它的表面积S 是以R 为自变量的函数．事实上，如果球的半径为R ，那么它的表面积S =_________． 六、球的截面1．球的截面在解决球的相关计算问题中的作用（1）当截面过球心时，截面圆的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； （2）当截面不过球心时，截面圆的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆． 2．球的截面的性质（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式: d =三、球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是12a ；正方体的外接球半径是2a ；与正方体所有棱相切的球的半径是2a ．（2）若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h（3）若正四面体的棱长为a ；与正四面体所有棱相切的球的半径是4a ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 答案 一、1．和2．平行四边形 三角形 梯形 侧面 底面3．ch12ch ′12(c +c ′)h ′ 二、πr 2πrl π(r ′2+r 2+r ′l +rl )三、1．母线底面 2．Sh13πr 2h 五、1．34π3R 2．24πR1．柱体的表面积和体积（1）圆柱和直棱柱的侧面展开图都是矩形，解决其侧面积问题时，只需求出相应底面周长及高，再代入侧面积公式求解即可.（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法.所谓定义法就是利用侧面积为各侧面的面积之和来求，公式法即利用平行四边形面积公式进行求解.1）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A. B.【答案】B【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积是：，故选B ．2）已知矩形ABCD 中，2AB BC =，把这个矩形分别以AB BC 、所在直线为轴旋转一周，所成几何体的18+54+2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+侧面积分别记为12S S 、，则1S 与2S 的比值等于（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】设,2BC a AB a ==，所以12122π2,2π2,:1S a a S a a S S =⋅⋅=⋅⋅∴=，选B.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用，多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． 2．锥体的表面积和体积圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________. 【答案】169π 【解析】 因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形， 所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝120×π×22360＝43π，设圆锥的底面圆的半径为r ，因为扇形的弧长为2π3×2＝43π，所以2πr ＝43π，所以r ＝23，所以底面圆的面积为49π.所以圆锥的表面积为169π.3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积为_______2cm ，体积为______3cm .【答案】323【解析】由三视图还原原几何体如图，由此可知该几何体为三棱锥，底面三角形ABC 为直角三角形，侧棱PA 为高，由2BC AC ==，可得AB =12PA AC ==，，可得PC =，∴该几何体的表面积为111122212132222S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，则该三棱锥的体积为112221323⨯⨯⨯⨯＝．故答案为323．（1）本题考查由三视图还原几何体并求几何体的表面积、体积，求解的关键是由三视图还原原几何体，是中档题．（2）求解棱锥的表面积和体积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意高、斜高、底面边心距所组成的直角三角形的应用. 3．台体的表面积和体积（1）求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用.①高、侧棱、上下底面外接圆半径所成的直角梯形；②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．（2）求解圆台的表面积和体积时，注意轴截面是等腰梯形的运用，求圆台的表面积关键在于求侧面积，“还台为锥”是解题的常用策略,利用侧面展开图将空间问题平面化也是解决问题的重要途径.1）已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．72【答案】A 【解析】如图．设O 1、O 分别是正四棱台上、下底面的中心，则OO 1是正棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的高，E 1、E 分别是A 1D 1、AD的中点，连接OE 、O 1E 1、EE 1，作E 1H ∥OO 1，则E 1H =O 1O ，由题意得，1(36)49362EE +⨯=+，∴152EE =,在Rt △EHE 1中，22211259444E H EE EH =-=-=，∴E 1H =2，∴O 1O =2. 【思路点拨】欲求棱台的高，根据题目中给出的侧面积和上、下底面面积的关系，可列等式求得侧面斜高，进而求出棱台的高．2）已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.【解析】 如图所示，作轴截面A 1ABB 1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r 、R ，l ，高为h .作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3.又∵∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1D tan 60°，即R －r ＝3×33，∴R －r ＝ 3.又∵∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°.∴BD ＝A 1D ·tan 60°，即R ＋r ＝3×3， ∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3，∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.所以圆台的体积为21π.4．组合体的表面积和体积（1）求组合体的表面积与体积，关键是弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的，然后由相应几何体的表面积或体积得出.需要注意，组合体的表面积，并不是简单几何体的表面积的和，因其接合部分并不裸露在表面.（2）组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积，其体积是各简单几何体的体积之和（若是“挖去”，则是体积之差）.1）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.2）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．6√2C ．4√2D ．4【答案】A【解析】由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，如图所示，所以剩余部分体积为222383V =⨯⨯⨯=.故选A ．3）一个几何体的三视图如图1310所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.20π24π28π32π122416S ππ=⋅⋅=2122482S ππ=⋅⋅⋅=2324S ππ=⋅=12328S S S S π=++=图1310【答案】 83π【解析】 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.【方法点睛】（1）求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.（2）需要注意：求组合体的表面积，并不是简单几何体的表面积的和，因其接合部分并不裸露在表面；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用等积法、分割法、补形法等进行求解.4）若E ，F 是三棱柱ABC A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A BEFC 的体积．【解析】 如图所示，连接AB 1，AC 1.∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积．又四棱锥A BEFC 的高与四棱锥A B 1EFC 1的高相等，∴V A BEFC ＝VA B 1EFC 1＝12VA BB 1C 1C ，又VA A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ，VABC A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·h ＝m ，∴VA A 1B 1C 1＝m 3，∴VA BB 1C 1C ＝VABC A 1B 1C 1－VA A 1B 1C 1＝23m ，∴V A BEFC ＝12×23m ＝m3.即四棱锥A BEFC 的体积是m3.5．表面积计算不全致错由三视图还原几何体时要注意两点：一是图形的转化,在转化过程中注意图中各个数据的对应关系；二是特殊情况的处理,在求表面积时,要搞清几何体的特征,注意分割与拼补的技巧,切不可漏掉某个面.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．B．．21 D．18【错解】B或C或D【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥后剩余的部分，B项计算三角形面积时出错；截取两个全等的小正三棱锥后剩余的部分,即除去了六个全等的等腰直角三角形，但C项忽略了几何体多了两个等边三角形面；D项计算三角形面积时出错，且计算时还少加了三棱锥的底面.【正解】由三视图可知原几何体如图所示，是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥后剩余的部分.正方体的表面积为S=24，两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形，其侧面面积的和为3，故所求几何体的表面积为24−故选A.6．球的体积与表面积确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=900,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A．36π B.64π C.144π D.256π【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C ．2）若球的表面积膨胀为原来的3倍，则膨胀后的球的体积为原来的（ ） A倍 B． C． D ．4倍【答案】C【解析】设球的半径为r ，则球的表面积为24πr ，球的体积为34π3r ，膨胀后球的表面积为212πr ，球的，∴膨胀后球的体积为)34π3，∴膨胀后球的体积变成了原来的)334π34π3r =倍，故选C.本题是基础题，考查的是球的体积的计算，考查了计算能力.求解时，设出球的半径，求出膨胀后球的半径，即可得到体积比. 7．球的截面问题当截面过球心时，截面圆的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；当截面不过球心时，截面圆的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.1）一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )A.100π3 cm 3 B.208π3 cm 3 C.500π3 cm 3 D.41613π3cm 3【答案】 C【解析】 根据球的截面性质，有R ＝r 2＋d 2＝32＋42＝5，∴V 球＝43πR 3＝5003π(cm 3)．AOB O ABC -O R 2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==6R =O 24144S R ππ==2）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为（ ）AB ．C ．D ．【答案】B【解析】设球O 的半径为R ，则R ==34π3V R ==球．故选B.【技巧点拨】（1）解题时，利用平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α出球的半径，然后求解球的体积.（2）对于球的截面问题，注意：①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式：d =.8．球与几何体的切、接问题解决几何体的内切球问题：（1）找过切点和球心的截面；（2）体积法.解决几何体的外接球问题：（1）由球心和几何体抽象得出新几何体；（2）找过球心的截面.1）设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3 C ．43π D ．323π 【答案】 C【解析】 设正方体边长为a ，由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2.设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.2）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．500π3B ．π3 C ．125π3D ．π3【答案】D【解析】由三视图可知，此几何体为三棱柱的切割体，由于保留了大部分顶点，所以其外接球即为原三棱柱外接球，由于底面为直角三角形，所以该外接球是以此三棱柱底面直角边为长和宽，以此三棱柱的高为高的长方体的外接球，由长方体外接球半径公式可得：2224355222r ++==，所以体积为1252π3.故选D.3）轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积. 【解析】 如图所示，作出轴截面，因为△ABC 是正三角形，所以CD ＝12AC ＝2，所以AC ＝4，AD ＝32×4＝23，因为Rt △AOE ∽Rt △ACD ，所以OE AO ＝CD AC.设OE ＝R ，则AO ＝23－R ，所以R 23－R ＝12，所以R ＝233.所以V 球＝43πR 3＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2333＝323π27.所以球的体积等于323π27.【归纳总结】球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长； (2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； (5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．求解本题时，由三视图可知此空间几何体为三棱柱的切割体，相对于原三棱柱，只缺失了一个顶点，所以此几何体的外接球即为三棱柱外接球，由于底面为直角三角形，所以该外接球可转化为长方体外接球，进而求出体积. 9．问题考虑不全面出错已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为 .【错解】如图(1)，设球的大圆为圆O ，C ，D 分别为两截面圆的圆心，AB 为经过点C ，O ，D 的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.在Rt △COE 中，221068OC =-=.在Rt △DOF 中，221086OD =-=.所以CD =OC −OD =8−6=2,故这两个截面圆间的距离为2. 【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误.事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧.【正解】如上图，设球的大圆为圆O ，C ，D 为两截面圆的圆心，AB 为经过点C ，O ，D 的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.当两截面在球心同侧时，如图(1)，22221061082CD OC OD =-=---=； 当两截面在球心两侧时，如图(2)，222210610814CD OC OD =+=--=. 综上可知，两截面圆间的距离为2或14.1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A ．122π B ．12π C ．82πD ．10π【答案】B【解析】根据题意，可得截面是边长为22结合圆柱的特征，2的圆，且高为2222π22π2212πS =+=，故选B.2.若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（ ） A ．40π B ．36π C ．26π D ．20π 【答案】B【解析】圆锥的母线5l ==，则圆锥的表面积21π4π42536π2S =⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选B ． 本题考查了圆锥的表面积，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题．3.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．2π C ．4π 【答案】C=∴外接球半径R ==C ． 本题考查正棱柱外接球体积的求解问题，关键是能够根据正棱柱的特点确定球心位置，从而利用勾股定理求得外接球半径．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体是一个三棱锥，作出直观图如图所示，其底面ABC △的是等腰三角形，侧棱PA ⊥底面ABC ，且2PA =，4BC =，3AD =，所以该几何体的体积11342432V =⨯⨯⨯⨯=，故选C ．本题考查根据三视图绘出原图以及求三棱锥的体积，三棱锥的体积公式为13V S h ，考查推理能力，是简单题．5．已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积（ ） A ．12π B ．16π C ．20π D ．24π 【答案】A【解析】由题得正方体的对角线长为A ． 本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．6．已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ ） A ．1 B ．43C ．2D ．4 【答案】B【解析】设圆柱的高为h ，则21V h h =π⨯⨯=圆柱，B ． 本题主要考察圆柱和球的相关公式，难度较小．7．已知三棱锥D-ABC ）A ．3πB ．C ．6πD 【答案】A【解析】根据结论在正四面体中，外接球的半径R 等于4a 式243R π=π，故选A ．8．一个正四棱锥的底面边长为2 ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20 【答案】B，所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅．故选B ． 本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）A ．5πB ．6πC ．62π+D ．52π+ 【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为22π1π12π11215π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，故选D ．本小题主要考查根据三视图识别几何体，考查几何体表面积的计算，属于基础题． 10．圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ）A ．40πB ．52πC ．50πD 【答案】B【解析】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径2MD =，下底面半径6NC =，过D 做DE 垂直NC ，则624EC =-=， 由5CD =，故3DE =，即圆台的高为3，B ． 本题考查的知识点是旋转体及其体积的计算，圆台的几何特征，其中画出轴截面，将空间问题转化为平面问题是解答的关键．11．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（ ）A ．4B ．．【答案】B【解析】设长方体的三条棱的长分别为：,,x y z ，则2()524()36xy yz zx x y z ++=⎧⎨++=⎩，===．故选B ．设长方体的棱长和为A ，表面积为B ，对角线的长为C ，则216A CB =-，解题中注意各代数式之间的关系．12．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱18AA =．若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过1111AC BC AC B C ，，，的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为（ ）A ．6B ．7C ．2D ．4 【答案】A【解析】根据题意，当侧面AA 1B 1B 水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形， 设△ABC 的面积为S ，则S 梯形=34S ，水的体积V 水=34S ×AA 1=6S ， 当底面ABC 水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h ，则有V 水=Sh =6S ，故h =6．故选A ． 13．已知正方体外接球的体积是323π，则此正方体的棱长是（ ） A ．3 B ．23C ．43D ．3【答案】C【解析】设正方体的棱长为l ，则体对角线长为3l ，即外接球的直径为3l ，故由34332323l ⎛⎫π⨯=π ⎪ ⎪⎝⎭，得433l =． 14.如图1317，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径．图1317【解析】 设球的半径为R ，由题意可得43πR 3＝π×32×0.5，解得R ＝1.5(cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.15.如图所示(单位：cm)四边形ABCD 是直角梯形，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积．【解析】 12S 球＝12×4π×22＝8π(cm 2)，S 圆台侧＝π(2＋5)(5－2)2＋42＝35π(cm 2)，S 圆台下底＝π×52＝25π(cm 2)，即该几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm 2)．又V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)，V 半球＝12×4π3×23＝16π3(cm 3)．所以该几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－16π3＝140π3(cm 3)．16.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16 【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B ．三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图．17.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π 【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．18.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：由题意可得：11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径2r ==，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π4V r h ==⨯⨯=⎝⎭，故选B ．（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 19.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 【答案】A【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为21113(21)13222V π⨯π=⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整．20．等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球<S 圆柱<S 正方体B ．S 正方体<S 球<S 圆柱C ．S 圆柱<S 球<S 正方体D ．S 球<S 正方体<S 圆柱【答案】 A【解析】 设等边圆柱底面圆半径为r ，球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 3＝32，⎝ ⎛⎭⎪⎫a r 3＝2π，S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2，S 球S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 2＝323<1，S 正方体S 圆柱＝6a 26πr 2＝1π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a r 2＝34π>1，故选A21．在四面体ABCD 中，1AB BC CD DA ====，AC =，BD =，则它的外接球的表面积S =（ ）A ．4πB ．2π 【答案】D【解析】如下图所示．1AB BC CD DA ====，BD =222AB AD BD ∴+=，222BC CD BD +=，∴90BAD BCD ∠=∠=，12OA OC BC OB OD ∴====，O ∴为该三棱锥的外接球球心，BD 为球的直径，设其半径为R ，则22BD R ==， 因此，三棱锥A BCD -外接球的表面积为242S R =π=π，故选D ．本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，解本题的关键在于找出外接球球心的位置，找出外接球的一条直径，考查逻辑推理能力，属于中等题．22．在半径为2的球O 中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________．【解析】设球内接正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，则球的半径:2r ==，22216h a ∴+=≥，ah ∴≤∴正四棱柱的侧面积：4S ah =≤侧，球的表面积：24216S π=⨯=π，∴故本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用．。
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空间几何体的表面积和体积思维总结
1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的
(1)全面积：S 全=3a 2；
(2)体积：V =12
2a 3； (3)对棱中点连线段的长：d =
22a ； (4)内切球半径：r =12
6a ； (5)外接球半径：R =
46a ； (6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)．
2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：
如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB =∠BOC =∠COA =90°，
OA =a,OB =b,OC =c ．
则：①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；
③体积 V =
6
1abc ； ④底面△ABC =21222222a c c b b a ++； ⑤S 2△ABC =S △BHC ·S △ABC ；
⑥S 2△BOC =S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦21OH =21a +21b +21c
;
⑧外切球半径 R =21
222c b a ++；
⑨内切球半径 r =c
b a +++∆∆∆ABC BOC AOB S -S S 3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.
①圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l ，高为h ，底面半径为r ，则
sin α=cos
2β =l h ， α+2
β=90°⇒ cos α=sin 2
β =l r . ②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l ，高为h ，上、下底面半径分别为r ′、r ，则h =l sin α，r -r ′=l cos α．
③球的截面
用一个平面去截一个球，截面是圆面.
(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；
(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；
(3)球心和截面距离d,球半径R ，截面半径r 有关系：
r =22d -R .
4．经度、纬度：
经线：球面上从北极到南极的半个大圆；。