浙江省台州市2020届高三4月教学质量评估数学试题

台州市2020年4月高三年级教学质量评估试题数学2020.04本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生接规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：柱体的体积公式：V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：()1213V h S S =+其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π= 球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，则()U A B =I ð（ ） A.∅B.{}4C.{}3D.{}3,4,52.已知复数z 满足()34i i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A.25B.125C.5D.153.已知a ，b ∈R ，则“33a b <”是“33a b <”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若实数x ，y 满足12,325,x y x y ≤+≤≤+≤⎧⎨⎩则3x y +的最大值为（ ）A.7B.8C.9D.105.函数()y f x =的部分图象如图所示，则（ ）A.()()()1112121x f x x x =+++-B.()()()1112121x f x x x =-++-C.()()()1112121x f x x x =+-+-D.()()()1112121x f x x x =--++-6.已知数列{}n a 满足：()1211n n n a a n +++-=（n *∈N ），若65a =，则1a =（ ） A.26-B.0C.5D.267.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按照香农公式，N 若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升至2000，则C K 大约增加了（ ） A.10%B.30%C.50%D.100%8.已知1F ，2F 分别为双曲线221916x y -=的左右焦点，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12F PF ∆的面积为（ ）A. B. C.D.9.平面向量a r ，b r ，c r ，d r 满足2a b -=r r ，3b c -=r r ，4c d -=r r ，5d a -=r r ，则()()a cb d -⋅-=r rr r （ ） A.14- B.14C.7-D.710.已知函数()2q x x x f p =++，满足022p pf ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，则（ ） A.函数()()y f x =有2个极小值点和1个极大值点 B.函数()()y f x =有2个极大值点和1个极小值点 C.函数()()y f x a =-有可能只有一个零点D.有且只有一个实数a ，使得函数()()y f x a =-有两个零点非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.在二项式()61x -的展开式中，含3x 项的系数为______；各项系数之和为______.（用数字作答） 12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则它的体积是______.13.某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口.如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有______种：如果他在每个路口遇见红灯的概率均为13，用ξ表示他遇到红灯的次数，则()E ξ=______.（用数字作答） 14.如图，过()1,0A ，10,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点的直线与单位圆221x y +=在第二象限的交点为C ，则点C 的坐标为______；9sin 4AOC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭______.15.若函数()2lg ,0,2,0,x x x f x x x >+≤⎧⎪=⎨⎪⎩则f f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______；不等式()()1f x f x +≥的解集为______. 16.在等差数列{}n a 中，若2211910a a +=，则数列{}n a 的前10项和10S 的最大值为______.17.如下图①，在直角梯形ABCD 中，90ABC CDB DAB ∠=∠=∠=o ，30BCD ∠=o ，4BC =，点E 在线段CD 上运动.如下图②，沿BE 将BEC △折至BEC '△，使得平面BEC '⊥平面ABED ，则AC '的最小值为______.三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本小题满分14分）已知函数()22cos cos sin x x x f x x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）问方程()23f x =在区间11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和。

19.（本小题满分15分）如图，ABC △与等边ABD △所在的平面相互垂直，DE BC P ，M 为线段AD 中点，直线AE与平面CBM 交于点N .22BC BA DE ===，90ABC ∠=o .（Ⅰ）求证：平面CBMN ⊥平面ADE ； （Ⅱ）求二面角B CN A --的平面角的余弦值.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且()134n n S a =+，2211n n n S b S -=+. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1117714n n T n <<+. 21.（本小题满分15分）如图，已知椭圆1C ：22221y x a b+=（0a b >>）的离心率为2，并以抛物线2C ：28x y =的焦点F 为上焦点.直线l ：y kx m =+（0m >）交抛物线2C 于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作抛物线2C 的切线，两切线相交于点P ，又点P 恰好在椭圆1C 上.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程； （Ⅱ）求mk 的最大值；（Ⅲ）求证：点F 恒在AOB △的外接圆内.22.（本小题满分15分）已知函数()2e xf x x =-，()g x ax =.（I ）求证：存在唯一的实数a ，使得直线()y g x =与曲线()y f x =相切； （Ⅱ）若[]1,2a ∈，[]0,2x ∈，求证：()()2e 6f x g x -≤-. （注：e 2.71828=L 为自然对数的底数.）台州市2020年4月高三年级教学质量评估试题数学参考答案2020.04一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1-5：BDCCA6-10：BACDA二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.20-；012.213.15，214.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；1015.34，[)30,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U16.25三、解答题（本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.（本小题满分为14分）解：（Ⅰ）因为()cos 222sin 26x x x y f x π⎛⎫==-- ⎝=⎪⎭，………………4分 所以22T ππ==，………………6分 当2262x k πππ-=-，k ∈Z ，即6x k ππ=-，k ∈Z 时，函数()y f x =取得最大值2.…………………………8分 （Ⅱ）由2262x k πππ-=-，k ∈Z ，可得函数()f x 的对称轴为26k x ππ=-，k ∈Z ， 因为函数()f x 的图象如下，………………10分所以方程()23f x =在区间11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上共有4个不同的实数根，………………12分， 且这些实数根关于56x π=对称，所以实根之和103π.………………14分 19.（本小题满分为15分）（Ⅰ）证明：因为平面ABC ⊥平面ABD ，且两平面交于AB ，90ABC ∠=o ， 所以BC ⊥平面ABD ，所以……………………2分 又因为ABD △为等边三角形，M 为线段AD 中点， 所以BM AD ⊥.………………4分因为BC BM B =I ，所以AD ⊥平面CBMN ，因为AD ⊂平面ADE ，所以平面CBMN ⊥平面ADE …………6分 （Ⅱ）解：因为DE BC P ，DE ⊄平面CBMN ，且BC ⊂平面CBMN ， 所以DE P 平面CBMN ，因为平面ADE I 平面CBMN MN =， 所以DE BC MN P P ，所以N 为AE 的中点.………………8分 以AB 中点O 为坐标原点，建系如图，根据已知可得：()1,0,0A -，()1,2,0C -，11,22N ⎛-- ⎝⎭，(D ，所以()2,2,0AC =-u u u r，11,22AN ⎛=- ⎝⎭u u u r ，设平面ACN 的法向量()1,,n x y z =，由110,0,AC n AN n ⎧⎪⎨=⎩⋅=⋅⎪u u u r u u u r可得220,110,22x y x y z -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 取1x =，则1y =，0z =，所以平面ACN 的一个法向量()11,1,0n =，……………………12分 由（Ⅰ）得AD ⊥平面CBMN ，所以平面CBMN的一个法向量(2n AD ==u u u r，设二面角B CN A --的大小为θ，所以1122cos 4n n n n θ⋅===u r u u u u r u r r ， 所以二面角B CN A --的平面角的余弦为4.……15分 20.（本小题满分为15分）（Ⅰ）解：因为()134n n S a =+，令1n =得11a =，………………1分 当2n ≥时，由()134n n S a =+，()11134n n S a --=+两式相减得()()1113344n n n a a a -=+-+，即113n n a a -=-，由此可知数列{}n a 是首项1为公比为13-的等比数列，故113n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.……………………4分所以()1131134443n n n S a -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，21222111131173n n n n n S b S --+-==+-.………………6分 （Ⅱ）证明：由2121113173n n n b --+=-知17n b >，故17n T n >.……………………9分 又()21212121212118811141333117777121377733n n n n n n n b ------+-=-=<=⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，………………12分 所以12321111411177721333n n b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-<⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为3211111133113339819n n -⎛⎫++⋯+=⋅-< ⎪⎝⎭-，所以1431721814n T n -<⋅=，综上，1117714n n T n <<+.………………15分（注：学生用数学归纳法等其他方法证明时，酌情给分） 21.（本小题满分为15分）（Ⅰ）解：由已知得()0,2F ，所以2c =，………………2分又因为c e a ==，所以a =4分 所以椭圆1C 的方程为22184y x +=.………………5分 （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由直线l ：y kx m =+（0m >）与抛物线2C ：28x y =方程联立可得2880x kx m --=，所以121228,8,64320,x x k x x k m +==-∆=+>⎧⎪⎨⎪⎩……………………7分因为4xy '=，所以PA ：()211184x x y x x -=-，即PA ：21148x x y x =-，同理可得PB ：22248x x y x =-， 所以1212,28x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，即()4,P k m -，………………9分 因为点P 在椭圆22184y x +=上，所以2216184m k +=， 即22328m k +=.……………………10分因为2232m k +≥， 所以当2m =，4k =时，mk取得最大值2.………………11分 （Ⅲ）证法-：因为过原点O ，所以可设AOB △的外接圆方程为220x y Dx Ey +++=，由已知可得2211112222220,x y Dx Ey x y Dx Ey +++=+++=⎧⎪⎨⎪⎩故()()4422122122221221121221212212211221648x x x x x x x x x x y x x x y x E x x x x x y x y --++-+==-- ()331222121212218888x x x x x x x x x x --+++==---，所以288E k m =---，……………………13分将点()0,2F 代入外接圆方程可得()22428816212k m k m -++=---， 因为0m >，所以2162120k m ---<，所以点F 恒在AOB △的外接圆内.……………………15分 证法二：设AOB △的外心为(),Q Q Q x y ，由已知可得OA 的中垂线为21118162x x y x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即31118416x x y x x +=+，同理OB 的中垂线为32228416x x y x x +=+，联立可得()()33121212416Q x x x x y x x --=+- 所以()22222121212113444161624Q x y x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=+++=+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………13分 又因为()2222Q Q x y FQ =+-，2222Q Q R OQ x y ==+， 所以FQ OQ R <=，所以点F 恒在AOB △的外接圆内.……………………15分22.（本小题满分为15分）证明：（Ⅰ）由()e 2x f x x '=-知，在()(),t f t 处的切线为()()()22t t y e t e tx t --=--，当该直线为y ax =时，可得()()2e 2,e e 2,t t t a t t t t =---=--⎧⎪⎨⎪⎩………………2分 所以()21e 0t t t --=，所以1t >， 令()()21e t h t t t =--，则当1t >时，()()e 20t h t t '=->， 所以()h t 在()1,t ∈+∞单调递增，而()110h =-<，()22e 40h =->，所以存在唯一的实数t （()1,2t ∈）， 使得()0h t =，相应的e 2t a t =-也是唯一的，即存在唯一-的实数a ，使得直线()y g x =与曲线()y f x =相切.………………6分 （Ⅱ）要证()()2e 6f x g x -≤-，即证2226e e e 6x x ax -≤--≤-，令()2e x ax F x a =--，对于确定的x ，()F a 是一次函数，只要证明， ()()22226e 1e 6,6e 2e 6,F F -≤≤⎧--≤≤-⎪⎨⎪⎩ 注意到对于同一[]0,2x ∈，()()12F F ≥，所以只要证明()()221e 66,,2e F F ≥⎧-≤-⎪⎨⎪⎩①②………………8分 先证明①：记()()21e x G x F x x ==--，则()e 21xx G x '=--，令e 21x y x =--，因为e 2x y '=-，所以ln 20x y '⇒>>，由此可知()G x '在区间[]0,ln 2递减，在区间[]ln 2,2递增.又因为()00G '=，()ln2e 2l 2l n 10n 2G =--<'，()22e 50G '=->，所以，在区间[]ln 2,2上存在唯一实数0x ，使得()00G x '=.故在区间[]00,x ，()G x 递减，在区间[]0,2x ，()G x 递增.于是()()(){}2max max 0,2e 6G x G G ==-.①得证.………………11分 再证明②：记()()22e 2xH x F x x ==--， 当[]0,1x ∈时，利用不等式e 1x x ≥+得，()()22221111116e x x x x H x x --=--+≥--=->-≥+；当[]1,2x ∈时，利用不等式2e 12xx x ≥++（0x ≥）得 ()()2121e e e e e 11222x x x x -⎛⎫-⋅≥⋅+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 于是()()222e e e e 2122222x x x x x H x ⎛⎫⎛⎫≥++--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中二次函数()2e e 1222x x x ϕ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭开口向上，对称轴为222x e =>-， 当[]1,2x ∈时，()x ϕ最小值为()e e 5e 41822224ϕ⎛⎫=--+=-⎪⎝⎭， 所以()()()226e H x x ϕϕ≥≥>-. 综上，不等式①②均成立.所以，当[]0,2x ∈，对任意的[]1,2a ∈，总有()()2e 6f x g x -≤-.………………15分。