苏州大学2014届高考考前指导卷(2)定稿
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苏州大学2014届高考考前指导卷（2）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x> 1}，则集合∁UA＝________．
2．设复数z满足z(4－3i)＝1，则z的模为________．
3．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是______．
（2）是否存在实常数k和m，使得x>0时，f(x)≥kx＋m且g(x)≤kx＋m？若存在，分别求出k和m的值；若不存在，说明理由．
20．已知数列{an}的前 项和为Sn，且满足a2＝6，3Sn＝(n＋1)an＋n(n＋1)．
（1）求a1，a3；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）已知数列{bn}的通项公式是bn＝，cn＝bn+1－bn，试判断数列{cn}是否是单调数列，并证明对任意的正整数n，都有1＜cn≤－．
记锐角 ．且满足 ．
（1）求 ；
（2）求 边上高的值．
16．如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF．
（1）求证：BF∥平面ACE；
（2）求证：BF⊥BD．
17．如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东北方OB，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，为了市民出行方便与城市环境问题，现要求市中心O到AB的距离为10 km，设 ．
6.已知函数 是奇函数，当 时， ，且 ，则 =．
7．一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6 cm时，该容器的容积为________cm3．
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n，且满足16＜ak＋ak＋1＜22，则正整数k＝________．
9．若x，y满足约束条件 目标函数 仅在点(1,1)处取得最小值，则k的值为_______．
10．已知函数f(x)＝sinx＋cosx的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的取值范围是________．
11．已知△ABC中，3(＋)·＝42，则＝.
12．设平面点集A＝，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为________．
(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD．
17．解（1）如图，作OM垂直AB，垂足为M，则OM=10，
由题意 ， ， ．在 中，由正弦定理得 ，即 ．
∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．
19．解(1)由F(x)＝x3－2x＋1－lnx(x>0)，得F′(x)＝(x>0)，令F′(x)＝0得x＝1，易知F(x)分别在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F(x)的极小值为F(1)＝0．
(2)易知f(x)与g(x)有一个公共点(1,0)，而函数g(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，下面只需验证都成立即可．设h(x)＝x3－2x＋1－(x－1)(x>0)，则h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)(x>0)．
（1）试求AB关于角 的函数关系式；
（2）问把A、B分别设在公路上离市中心O多远处，才能使AB最短，并求其最短距离．
18．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－．设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
（1）若·＝(O为坐标原点)，求|y1－y2|的值；
（2）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知函数f(x)＝x3－2x＋1，g(x)＝lnx．
（1）求函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间和极值；
4．抛物线 的准线方程为________．
5．将参加夏令营的500名学生编号为001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，编号从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为________．
即(n－1)an+1－(n＋1)an＋2(n＋1)＝0，③
所以nan+2－(n＋2)an+1＋2(n＋2)＝0，④④－③得nan+2－(2n＋1)an+1＋(n＋1)an＋2＝0，
故存在这样的实常数k＝1和m＝－1，使得x>0时，f(x)≥kx＋m且g(x)≤kx＋m．
20．解（1）令n＝1得3a1＝2a1＋2，解得a1＝2；令n＝3得3(8＋a3)＝4a2＋12，解得a3＝12．
（2Hale Waihona Puke Baidu由已知3Sn＝(n＋1)an＋n(n＋1)，①
3Sn+1＝(n＋2)an+1＋(n＋1)(n＋2)，②②－①得3an+1＝(n＋2)an+1－(n＋1)an＋2(n＋1)，
易知h(x)分别在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)＝0，
所以f(x)≥x－1恒成立．
设k(x)＝lnx－(x－1)，则k′(x)＝(x>0)．易知k(x)分别在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以k(x)的最大值为k(1)＝0，所以g(x)≤x－1恒成立．
13．设曲线 在点 处的切线为 ，曲线 在点 处的切线为 ．若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是．
14．若关于x的不等式（组） 恒成立，则所有这样的解x构成的集合是．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在△ 中， ， 为 中点， ．
(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，依题意可知直线l斜率存在且不为零，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝．∵直线QA，QB的倾斜角互为补角，∴kQA＋kQB＝0，即＋＝0，又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，∴2×＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，
在 中， ，所以 ．
（2）
．
因为 ，所以当 时有AB的最小值 ．
此时， ．
答：A，B都设在公路上离市中心 km处，才能使AB最短，其最短距离是 km．
18．解(1)由椭圆的定义知a＝，设P(x，y)，则有·＝－，则＝－，
∴化简得椭圆C的方程是＋＝1．∵·＝，∴||·||cos∠AOB＝，∴||·||sin∠AOB＝4，∴S△AOB＝||·||sin∠AOB＝2，又S△AOB＝|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4．
苏州大学2014届高考考前指导卷（2）参考答案
一、填空题
1．{x|x 1}2． 3．274． 5．16．57．48
8．89．1 10．11．712．13．[ ]14．
二、解答题
15．解（1）∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ， ，∴ ．
（2）由（1）得，∴ ，
在 中，由正弦定理得： ，
∴ ，则高 ．
16．证明(1)AC与BD交于O点，连接EO．正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x> 1}，则集合∁UA＝________．
2．设复数z满足z(4－3i)＝1，则z的模为________．
3．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是______．
（2）是否存在实常数k和m，使得x>0时，f(x)≥kx＋m且g(x)≤kx＋m？若存在，分别求出k和m的值；若不存在，说明理由．
20．已知数列{an}的前 项和为Sn，且满足a2＝6，3Sn＝(n＋1)an＋n(n＋1)．
（1）求a1，a3；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）已知数列{bn}的通项公式是bn＝，cn＝bn+1－bn，试判断数列{cn}是否是单调数列，并证明对任意的正整数n，都有1＜cn≤－．
记锐角 ．且满足 ．
（1）求 ；
（2）求 边上高的值．
16．如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF．
（1）求证：BF∥平面ACE；
（2）求证：BF⊥BD．
17．如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东北方OB，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，为了市民出行方便与城市环境问题，现要求市中心O到AB的距离为10 km，设 ．
6.已知函数 是奇函数，当 时， ，且 ，则 =．
7．一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6 cm时，该容器的容积为________cm3．
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n，且满足16＜ak＋ak＋1＜22，则正整数k＝________．
9．若x，y满足约束条件 目标函数 仅在点(1,1)处取得最小值，则k的值为_______．
10．已知函数f(x)＝sinx＋cosx的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的取值范围是________．
11．已知△ABC中，3(＋)·＝42，则＝.
12．设平面点集A＝，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为________．
(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD．
17．解（1）如图，作OM垂直AB，垂足为M，则OM=10，
由题意 ， ， ．在 中，由正弦定理得 ，即 ．
∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．
19．解(1)由F(x)＝x3－2x＋1－lnx(x>0)，得F′(x)＝(x>0)，令F′(x)＝0得x＝1，易知F(x)分别在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F(x)的极小值为F(1)＝0．
(2)易知f(x)与g(x)有一个公共点(1,0)，而函数g(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，下面只需验证都成立即可．设h(x)＝x3－2x＋1－(x－1)(x>0)，则h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)(x>0)．
（1）试求AB关于角 的函数关系式；
（2）问把A、B分别设在公路上离市中心O多远处，才能使AB最短，并求其最短距离．
18．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－．设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
（1）若·＝(O为坐标原点)，求|y1－y2|的值；
（2）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知函数f(x)＝x3－2x＋1，g(x)＝lnx．
（1）求函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间和极值；
4．抛物线 的准线方程为________．
5．将参加夏令营的500名学生编号为001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，编号从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为________．
即(n－1)an+1－(n＋1)an＋2(n＋1)＝0，③
所以nan+2－(n＋2)an+1＋2(n＋2)＝0，④④－③得nan+2－(2n＋1)an+1＋(n＋1)an＋2＝0，
故存在这样的实常数k＝1和m＝－1，使得x>0时，f(x)≥kx＋m且g(x)≤kx＋m．
20．解（1）令n＝1得3a1＝2a1＋2，解得a1＝2；令n＝3得3(8＋a3)＝4a2＋12，解得a3＝12．
（2Hale Waihona Puke Baidu由已知3Sn＝(n＋1)an＋n(n＋1)，①
3Sn+1＝(n＋2)an+1＋(n＋1)(n＋2)，②②－①得3an+1＝(n＋2)an+1－(n＋1)an＋2(n＋1)，
易知h(x)分别在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)＝0，
所以f(x)≥x－1恒成立．
设k(x)＝lnx－(x－1)，则k′(x)＝(x>0)．易知k(x)分别在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以k(x)的最大值为k(1)＝0，所以g(x)≤x－1恒成立．
13．设曲线 在点 处的切线为 ，曲线 在点 处的切线为 ．若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是．
14．若关于x的不等式（组） 恒成立，则所有这样的解x构成的集合是．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在△ 中， ， 为 中点， ．
(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，依题意可知直线l斜率存在且不为零，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝．∵直线QA，QB的倾斜角互为补角，∴kQA＋kQB＝0，即＋＝0，又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，∴2×＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，
在 中， ，所以 ．
（2）
．
因为 ，所以当 时有AB的最小值 ．
此时， ．
答：A，B都设在公路上离市中心 km处，才能使AB最短，其最短距离是 km．
18．解(1)由椭圆的定义知a＝，设P(x，y)，则有·＝－，则＝－，
∴化简得椭圆C的方程是＋＝1．∵·＝，∴||·||cos∠AOB＝，∴||·||sin∠AOB＝4，∴S△AOB＝||·||sin∠AOB＝2，又S△AOB＝|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4．
苏州大学2014届高考考前指导卷（2）参考答案
一、填空题
1．{x|x 1}2． 3．274． 5．16．57．48
8．89．1 10．11．712．13．[ ]14．
二、解答题
15．解（1）∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ， ，∴ ．
（2）由（1）得，∴ ，
在 中，由正弦定理得： ，
∴ ，则高 ．
16．证明(1)AC与BD交于O点，连接EO．正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE．