第2课时 求最大利润问题1
人教版数学九年级上册：22.3 第2课时 最大利润问题 (含答案)
第2课时最大利润问题1．将进货价为每件70元的某种商品按每件100元出售时每天能卖出20件，若这种商品每件的售价在一定范围内每降低1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x 元，则单件的利润为________元，每日的销售量为________件，则每日的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是y＝________________，所以每件降价________元时，每日获得的利润最大，为________元．2．服装店将进价为100元/件的服装按x元/件出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为()A．150 B．160 C．170 D．1803．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y关于x的函数解析式是()A．y＝x2＋a B．y＝a(x－1)2C．y＝a(1－x)2D．y＝a(1＋x)24．[2019·丹东] 某服装超市购进单价为30元/件的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于30元/件，不高于60元/件．销售一段时间后发现：当销售单价为60元/件时，平均每月的销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元/件，平均月销售量为y件．(1)求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当销售单价为多少时，销售这种童装每月可获利1800元？(3)当销售单价为多少时，销售这种童装每月获得的利润最大？最大利润是多少？5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60，且x 为整数)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，那么销售单价应定为多少元/个？6. 某商店销售某种商品所获得的利润y(元)与所卖件数x(件)之间满足关系式y＝－x2＋1000x －200000，则当0<x≤450时的最大利润为()A．2500元B．47500元C．50000元D．250000元7．某种工艺品的进价为每件100元，当标价135元出售时，每天可售出100件．根据销售统计，该工艺品每件的价格每降低1元，每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，则每件需降价()A．5元B．10元C．15元D．20元8．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系符合一次函数y＝－x＋140.(1)直接写出x的取值范围：__________；(2)若销售该服装获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式：________________________________________________________________________.9．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元，试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元/袋)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如果想每天获得160元的利润，那么销售单价应定为多少元/袋？(3)设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元/袋时，每天的利润最大？最大利润是多少元？10．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图22－3－9所示．(1)求y与x之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，那么当销售单价为多少时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？图22－3－911．十一黄金周期间，由于7座以下小型车辆免收高速公路通行费，使汽车租赁市场需求旺盛．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当租出的车辆每减少1辆，每辆车的日租金将增加50元，另外公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x(0≤x≤20)辆车时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)(1)公司每日租出x(x≤20)辆车时，每辆车的日租金增加__________元，此时每辆车的日租金为__________元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最多？最多是多少元？答案1．(30－x) (20＋x) －x 2＋10x ＋600 5 6252．A [解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －100)(200－x)＝－x 2＋300x －20000＝－(x －150)2＋2500(100≤x≤200)， 故当x ＝150时，w 有最大值．3．D4．解：(1)由题意得y ＝80＋20×60－x 10， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋200(30≤x≤60)．(2)由题意得(x －30)(－2x ＋200)－450＝1800，解得x 1＝55，x 2＝75(不符合题意，舍去)．答：当销售单价为55元/件时，销售这种童装每月可获利1800元．(3)设每月获得的利润为w 元．由题意得w ＝(x －30)(－2x ＋200)－450＝－2(x －65)2＋2000.∵－2＜0，∴当x≤65时，w 随x 的增大而增大．∵30≤x≤60，∴当x ＝60时，w 取最大值，w 最大＝－2(60－65)2＋2000＝1950.答：当销售单价为60元/件时，销售这种童装每月获得的利润最大，最大利润是1950元．5．解：(1)w ＝()x －30·y ＝(x －30)·(－x ＋60)＝－x 2＋90x －1800(30≤x≤60，且x 为整数)．(2)w ＝－x 2＋90x －1800＝－()x －452＋225.∵－1＜0，∴当x ＝45时，w 有最大值，最大值为225.答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．(3)当w ＝200时，可得方程－()x －452＋225＝200，解得x 1＝40，x 2＝50. ∵50＞42，∴x ＝50不符合题意，舍去．答：销售单价应定为40元/个．6．B [解析] 因为抛物线的对称轴为直线x ＝500，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，因此在0<x≤450的范围内，当x ＝450时，函数有最大值为47500.7．A8．(1)60≤x≤90 (2)W ＝－x 2＋200x －8400[解析] (1)∵规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，∴60≤x≤90.(2)∵单件利润为(x －60)元，销售量为y ＝－x ＋140，∴销售该服装获得的利润W ＝(x －60)(－x ＋140)＝－x 2＋200x －8400.9．解：(1)设y ＝kx ＋b ，将x ＝3.5，y ＝280；x ＝5.5，y ＝120代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3.5k ＋b ＝280，5.5k ＋b ＝120，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－80，b ＝560.则y 与x 之间的函数关系式为y ＝－80x ＋560(3.5≤x≤5.5)． (2)由题意，得(x －3)(－80x ＋560)－80＝160，整理，得x 2－10x ＋24＝0，解得x 1＝4，x 2＝6.∵3.5≤x≤5.5，∴x ＝4.答：如果想每天获得160元的利润，那么销售单价应定为4元/袋．(3)由题意，得w ＝(x －3)(－80x ＋560)－80＝－80x 2＋800x －1760＝－80(x －5)2＋240.∵3.5≤x≤5.5，∴当x ＝5时，w 有最大值为240.故当销售单价定为5元/袋时，每天的利润最大，最大利润是240元．10．解：(1)设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700. 故y 与x 之间的函数解析式为y ＝－10x ＋700.(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x≤46.设每天获得的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x－50)2＋4000.∵－10＜0，∴当x＜50时，w随x的增大而增大．∴当x＝46时，w最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．11．解：(1)50(20－x)(－50x＋1400)(2)由题意，得y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000.∵－50＜0，∴函数图象开口向下，函数有最大值，即当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000.答：当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最多，最多是5000元．。
初中九年级上册数学：第22章-二次函数 22.3 第2课时 商品利润最大问题
第2课时 商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题 【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可) 【类型二】利用图象解析式确定最大利润 (2014·福建莆田)某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．(1)求y 2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克． 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.。
22.3实际问题与二次函数 第2课时 最大利润问题(精品原创)
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在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如商品销？
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
温故而知新
某商场春节前购进一批海南西瓜，每天能售出500千克， 每千克盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施．调查表明：当销售价每降价0.1元时，其销售量每 天将多售出100千克．商场要想平均每天盈利达到120元，每 千克西瓜应降价多少元？
3.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出 200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少买10件（每 件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整 数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？ 最大月利润是多少元？
例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品
解：设降低x元后，单件利润为（13.5-x-2.5），销售件 数是（500+100x）, y=（13.5-x-2.5）（500+100x） 即y=－100x2+600x+5500 （0≤x≤11 ）
配方得y=－100（x－3）2+6400
当x=3时，y的最大值是6400元. ∴销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
3.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出 200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少买10件（每 件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整 数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？ 最大月利润是多少元？
最新人教版初中数学九年级上册22.3 第2课时 商品利润最大问题过关习题及解析答案
第2课时 商品利润最大问题知识点1、二次函数常用解决最优化的问题，这个问题实质是求函数的最大（小）值。
2、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点是它的最高（低）点，当x=2b a-时，二次函数有最大（小）值y=244ac b a -。
一、选择题1、进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价。
若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A 、2(1)y a x =-B 、2(1)y a x =-C 、2(1)y a x =-D 、2(1)y a x =-2、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。
若每件商品的售价为x 元，则可卖处(350-10x)件商品。
商品所获得的利润y 元与售价x 的函数关系为（ ）A 、2105607350y x x =--+B 、2105607350y x x =-+-C 、210350y x x =-+D 、2103507350y x x =-+-3、某产品的进货价格为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其定价应定为（ ）[]A 、130元B 、120元C 、110元D 、100元4、小明在跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数23.5 4.9h t t =-（t 单位s ，h 单位m ）可用描述她的重心的高度变化，则她从起跳后到重心处于最高位置时所用的时间是（）A、0.71sB、0.70sC、0.63sD、0.36s5、如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），2y PC=，则y关于x的函数图像大致为（）[]A B 第5题 C D6、已知二次函数2(0)=++≠的图像如图所示，现有下列结论：①abcy ax bx c a＞0；②24-＜0；③c＜4b；④a+b＞0.则其中正确的结论的个数是（）b acA、1B、2C、3D、47、如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A B C 第7题 D8、某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（）A、x=10,y=14B、x=14,y=10C、x=12,y=15D、x=15,y=12第6题第8题二、填空题1、已知卖出盒饭的盒数x（盒）与所获利润y（元）满足关系式：21200357600y x x=-+-，则卖出盒饭数量为盒时，获得最大利润为元。
数学九年级人教版第二课时二次函数最大利润问题ppt课件
要
点
分
类
练
知识点 2
“每……每……”的销售利润问题
3.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时
每天能卖出20件,若这种商品的零售价在一定范围内每降价
1元/件,其日销售量就增加1件,为了获得最大利润,决定每件
降价x元,则单件的利润为
元,每天的销售量为
(30-x)
(20+x) 件,则每天的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是
把(280,40),(290,39)代入,得
1
=- ,
280 + = 40,
10
解得
290 + = 39,
= 68,
1
∴y 与 x 之间的函数解析式为 y=- x+68(200≤x≤320).
10
规
律
方
法
综
合
练
(2)当每个房间每天的定价定为多少时,宾馆每天所获利润最
大?最大利润是多少元?
A.2500元
B.47500元
C.50000元
D.250000元
[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=500,在对称轴左侧,y随x的
增大而增大,因此在0<x≤450的范围内,当x=450时,函数有最大值
为47500.
规
律
方
法
综
合
练
6.(2021鄂尔多斯)鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居
住,每个房间每天的定价不低于200元且不超过320元.如果
(1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量的取值范围);
解:(1)根据题意,得y=300-10(x-60)=-10x+900.
九年级数学上册第二章一元二次方程2.4二次函数的应用第2课时最大利润问题
第2课时最大利润问题知识点 1 利润最大化问题1．毕节某旅行社在十一黄金周期间接团去外地旅游，经计算所获营业额y(元)与旅行团人员x(人)之间满足关系式y＝－x2＋100x＋28400，要使所获营业额最大，则旅行团应有( )A．30人B．40人C．50人D．55人2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A．5元B．10元C．0元D．36元3．2017·贵阳模拟某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式．(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？知识点 2 利用二次函数的最值解决其他实际问题4．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到________．5．某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．6．生物学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测量出这种植物高度的增长情况(如下表)．科学家经过猜想，推测出y与x之间是二次函数关系．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)推测最适合这种植物生长的温度，并说明理由．图2－4－127．如图2－4－13所示，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且AE⊥EF，则AF的最小值是________．图2－4－138．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小明和小华提出的问题．图2－4－149．2017·安顺模拟经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？10．[2016·黄冈] 东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧14t ＋30（1≤t≤24，t 为整数），－12t ＋48（25≤t≤48，t 为整数），且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：(1)已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少； (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n 元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．详解1．C 2.A3．解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧65k ＋b ＝55，75k ＋b ＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝120. ∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋120. (2)根据题意，得W ＝(x －60)(－x ＋120) ＝－x 2＋180x －7200 ＝－(x －90)2＋900. ∵抛物线的开口向下，∴当x ＜90时，W 随x 的增大而增大， 而60≤x ≤87，∴当x ＝87时，W 最大＝－(87－90)2＋900＝891.∴当销售单价定为87元/件时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 4．95．20 [解析] 设果园里增种x 棵橘子树，那么果园里共有(x ＋90)棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，∴平均每棵树结(520－4x )个橘子．∴y ＝(x ＋90)(520－4x )＝－4x 2＋160x ＋46800，∴当x ＝－b 2a ＝－1602×（－4）＝20时，y 最大，橘子总个数最多．6．解：(1)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，选(0，49)，(2，41)，(－2，49)代入后得方程组⎩⎪⎨⎪⎧c ＝49，4a －2b ＋c ＝49，4a ＋2b ＋c ＝41，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49，∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－x 2－2x ＋49. (2)最适合这种植物生长的温度是－1 ℃.理由：由(1)可知，当x＝－b2a＝－1时，y取最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是－1 ℃.7．5 [解析] 在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝42＋(4－CF)2，若AF最小，则CF最大．设BE＝x，CF＝y，∵∠B＝∠AEF＝90°，则∠BAE＋∠AEB＝∠FEC＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴ABEC＝BECF，即44－x＝xy，化简得y＝－x2＋4x4＝－14(x－2)2＋1，∴当x＝2时，y有最大值为1，此时DF最小，为3，由勾股定理得到AF＝AD2＋DF2＝5.8．解：(1)小华的问题解答：设利润为W元，每个定价为x元，则W＝(x－2)·[500－100(x－3)]＝－100x2＋1000x －1600＝－100(x－5)2＋900.当W＝800时，解得x＝4或x＝6，又因为2×240%＝4.8(元)，所以x＝6不符合题意，舍去，故每个定价为4元时，每天的利润为800元．(2)小明的问题解答：当x＜5时，W随x的增大而增大．所以当x＝4.8时，W最大，为－100(4.8－5)2＋900＝896(元)．所以800元销售利润不是最多，每个定价为4.8元时，才会使每天利润最大．9．解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.(2)当1≤x＜50时，二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝－b2a＝45，∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，∴当x＝50时，y最大＝－120×50＋12000＝6000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．10．解：(1)依题意，得y＝120－2t.当t ＝30时，y ＝120－60＝60. 答：在第30天的日销售量为60千克． (2)设日销售利润为W 元，则W ＝(p －20)y . 当1≤t ≤24时，W ＝(14t ＋30－20)(120－2t )＝－12t 2＋10t ＋1200＝－12(t －10)2＋1250.当t ＝10时，W 最大＝1250. 当25≤t ≤48时，W ＝(－12t ＋48－20)(120－2t )＝t 2－116t ＋3360＝(t －58)2－4.由二次函数的图象及性质知，当t ＝25时，W 最大＝1085. ∵1250>1085，∴在第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元． (3)依题意，得每天扣除捐款后的日销售利润W ＝(14t ＋30－20－n )(120－2t )＝－12t 2＋2(n ＋5)t ＋1200－120n .其图象对称轴为直线t ＝2n ＋10，要使W 随t 的增大而增大． 由二次函数的图象及性质知， 2n ＋10≥24，解得n ≥7. 又∵n <9， ∴7≤n <9.。
人教版九年级数学上知识点深度解析第2课时 商品利润最大问题
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3. 教材P51习题T2变式某种商品每件进价为20元，调 查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20≤ x ≤30， 且 x 为整数）出售，可卖出（30－ x ）件.若使利润最 大，每件的售价应为 25 元.
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4. 教材P50探究2变式一件工艺品进价为100元，以 标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计， 一件工艺品每降价1元，则每天可以多售出4件.要使 日利润最大，则每件应降价 5 元.
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Hale Waihona Puke 谢谢观看运用策略常见的关系式： 商品 ①商品利润＝商品售价－商品进价； 利润 ②商品利润、进价、利润率之间的关系： 最大 商品利润÷商品进价＝商品利润率； 问题 ③标价＝进价×（1＋提高率）；
④实际售价＝标价×打折率.
当堂检测
1. 某超市销售一种商品，发现一周利润 y （元）与销
售单价 x （元）之间的关系满足 y ＝－2（ x －20）2＋
1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤ x ≤22，
那么一周可获得最大利润是（ A ）
A. 1558元
B. 1550元
C. 1508元
D. 20元
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2. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销 售经理经调查发现，该商品每月的销售量 y （件）与销 售单价 x （元）之间满足函数关系式 y ＝－5 x ＋550.若 设该商品每月所获利润为 w （元），则 w 与 x 之间化简 后的函数关系式为 w ＝－5 x2＋800 x －27500 ， w 的 最大值为 4500 .
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数 第2课时 商品利润最大问题
要点归纳
最大利润问题
(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利？
- 最大利润问题（PPT优秀课件）
- 最大利润问题（PPT优秀课件）
解：(2)由题意可知，租赁公司的日收益为y＝x(1500－50x)－6250 ＝－50(x－15)2＋5000，∵－15<0，当x＝15时，租赁公司日收益最大， 最大是5000元
解：(1)根据题意得y＝50－x(0≤x≤50，且x为整数) (2)W＝(120＋10x－20)(50－x)＝－10x2＋400x＋5000＝－10(x－ 20)2＋9000，∵a＝－10<0，∴当x＝20时，W最大值＝9000，则当每间房 价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元
- 最大利润问题（PPT优秀课件）
- 最大利润问题（PPT优秀课件）
(3)由题意得－ 201（0（ －xx－ ＋2500） ）≤2＋690000，0≥5000，解得 20≤x≤40， ∵房间数 y＝50－x，又∵－1<0，∴当 x＝40 时，y 的值最小， 这天宾馆入住的游客人数最少， 最少人数为 2y＝2(－x＋50)＝20(人)
4．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天 能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日 销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利 润为 (30－x)元，每日的销售量为 (20＋x) 件，每日的利润y ＝ －x2＋10x＋600 ，所以每件降价__5__元时，每日获得的利润 最大为_6_2_5_元．
段时间后得到如下数据：
2.4第2课时商品利润最大问题(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与商品利润最大问题相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用一元二次方程寻找使商品利润最大的售价。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
（3）理解利润最大问题中的边界条件：学生可能对为何取最大利润时的售价是方程的根感到疑惑。
举例：教师可以通过图示或实际案例，解释边界条件在利润最大问题中的意义，让学生理解为何要寻找方程的根。
（4）运用数学知识解决实际问题的思维转换：学生在面对实际问题时，可能不知道如何运用所学数学知识进行求解。
举例：在教学过程中，教师可以设置多个实际问题，引导学生运用所学的一元二次方程知识进行分析和解决，逐步培养学生的数学应用能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《商品利润最大问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过如何让商品利润最大化的情况？”（例如：摆地摊时如何定价）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索商品利润最大问题的奥秘。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了商品利润最大问题的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程解决实际问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了商品利润最大问题，运用了一元二次方程来解决实际问题。课后，我对整个教学过程进行了反思，有以下几点感悟：
人教九年级数学上册- 最大利润问题(附习题)
即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
基础巩固
随堂演练
1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些
综合应用
3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40 件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利 最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 由题意得：y=(20-x)(40+10x)
=-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天的盈利最多。
点的坐标(用公式)：
(1)y=-4x2+3x;
(2)y=3x2+x+6.
解：b 2a
3
2 4
3 8
,
4ac b2 4a
32
4 4
9, 16
最高点为
3 8
,
9 16
.
解：b 1 1 , 2a 2 3 6
4ac b2 4 3 6 12 71
,
4a
43
12
最低点为
1 6
,
71 12
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
分析:(1)根据题意,设平均每天销售A种礼盒 为x盒,B种礼盒为y盒,列二元一次方程组解 答;(2)根据题意,设A种礼盒降价m元/盒,则A 种礼盒的销售量为(10+m3 )盒,再根据总利润 =每件商品的利润×销售量”列出解析式即 可.
九年级数学 教案1 第2课时 商品利润最大问题
第2课时商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润(2014·福建莆田)某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx ＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m－24m＋n＝6，49m－56m＋n＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克． 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.。
【人教版】秋九年级数学上22.3.2商品利润最大问题
You made my day!
我们，还在路上……
∴售价x应在50~70元之间.
∴令：－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品 售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
图象和性质可知: 当51≤x≤59时，Q≥1218
0
51 55 59
x
∴若该商品所获利润不低于1218元，
则售价x的取值范围为51≤x≤59.
（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品 的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最 大，最大利润是多少元？
解：由题意得：
51≤x≤59
30 (－2 x +160)≥1620
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
20
300
6000
涨价销售
20+x
300-10x y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000.
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
九年级上册数学精品课件：商品利润最大问题
虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自 变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000， 当 x 100时,y5=-10×52+100×5+6000=6250.
2 (10)
∴售价x应在50~70元之间. ∴令：－2(x－55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160=
58(件)
当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160=
42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品
∵a = －2＜0，图象开口向下， ∴当x = 55时，Q最大= 1250 ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，
最大利润是1250元.
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该
商解品：售∵价当与40当≤月x≤的5销0时售，量Q各最是大多= 少12？00＜1218 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218
∵-1<0,对称轴x=10,
y
∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 16
即销售单价定为10元时，销售利润最
大，为25元；
O 57
x
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售 利润不低于16元？
(2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
课堂小结
例3：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/
《第2课时 商品利润最大问题1》教案 (公开课)2022年北师大版数学
2.4 二次函数的应用第2课时商品利润最大问题1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题；(重点)2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．(难点)一、情境导入某商店经营T恤衫，成批购进时单价是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是135元时，销售量是500件，而单价每降低10元，就可以多售出200件．请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？二、合作探究探究点一：商品利润最大问题【类型一】利用二次函数求实际问题中的最大利润某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元时，销售量为y套．(1)求出y与x的函数关系式；(2)当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？解析：(1)由销售单价为x元得到销售减少量，用240减去销售减少量得到y与x的函数关系式；(2)直接用销售单价乘以销售量等于14000，列方程求得销售单价；(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－40)(－4x＋480)，然后利用配方法求最值．解：(1)销售单价为x元，那么销售量减少x－605×20，故销售量为y＝240－x－605×20＝－4x＋480(x≥60)；(2)根据题意可得x(－4x＋480)＝14000，解得x1＝70，x2＝50(不合题意，舍去)，故当销售价为70元时，月销售额为14000元；(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－40)(－4x＋480)＝－4x2＋640x－19200＝－4(x－80)2x＝80时，w有最大值，最大值为6400.所以，当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．方法总结：先得到二次函数的顶点式y＝a(x－h)2＋k，当a＜0，x＝h时，y有最大值k；当a>0，x＝h时，y有最小值k.变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第7题某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．右面的二次函数图象(局部)刻画了该公司年初以来累积利润w(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和w和销售时间t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答以下问题：(1)由图象上的信息，求累积利润w(万元)与销售时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可到达30万元；(3)求第8个月公司所获利润是多少万元．解析：(1)此题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出w与t之间的函数关系式；(2)把w ＝30代入累计利润w ＝12t 2－2t 的函数关系式里，求得月份；(3)分别将t ＝7，t ＝8代入函数解析w ＝12t 2－2t ，再把总利润相减就可得出．解：(1)由图象可知其顶点坐标为(2，－2)，故可设其函数关系式为w ＝a (t －2)2－2.∵所求函数关系式的图象过(0，0)，于是得a (0－2)2－2＝0，解得a ＝12.∴函数关系式为w ＝12(t －2)2－2，即w ＝12t 2－2t .所以，累积利润w 与销售时间t 之间的函数关系式为w ＝12t 2－2t ；(2)把w ＝30代入w ＝12t 2－2t ，得12t 2－2tt 1＝10，t 2＝－6(不合题意，舍去)．所以，截止到10月末公司累积利润可达30万元；(3)把t ＝7代入关系式，得w ＝12×72－2×，把t ＝8代入关系式，得w ＝12×82－2×8＝16.16－10.5＝5.5(万元)．所以，第8个月公司所获利润是5.5万元．方法总结：此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对此题图象中所给信息的理解是解决问题的关键．【类型二】 综合运用一次函数和二次函数求最大利润宿松超市以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数关系如图(20≤x ≤60)．(1)求每天销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)假设该商品每天的利润为w (元)，试确定w (元)与售价x (元/件)之间的函数关系式，并求售价x 为多少时，每天的利润w 最大，最大利润是多少？解析：(1)当20≤x ≤40时，设y ＝ax ＋b ，当40＜x ≤60时，设y ＝mx ＋n ，利用待定系数法求一次函数解析式即可；(2)利用(1)中所求进而得出w (元)与售价x (元/件)的函数表达式，进而求出函数最值．解：(1)分两种情况：当20≤x ≤40时，设y ＝ax ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝40，40a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝20，故y ＝x ＋20；当40＜x ≤60时，设y ＝mx ＋n ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40m ＋n ＝60，60m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝140，故y ＝－2x ＋140.故每天销售量y (件)与售价x (元/件)之间的函数表达式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋20〔20≤x ≤40〕，－2x ＋140〔40＜x ≤60〕； (2)w ＝错误!①当20≤x ≤40时，w ＝x 2－400，由于1＞0，因而抛物线开口向上，且x ＞0时w 随x 的增大而增大，又20≤x ≤40，因此当x ＝40时，w 有最大值，w 最大值＝402－400＝1200；②当40＜x ≤60时，w ＝－2x 2＋180x －2800＝－2(x －45)2＋1250，由于－2＜0，抛物线开口向下，又40＜x ≤60，所以当x ＝45时，w 有最大值，w 最大值＝1250.综上所述，当x ＝45时，w 最大值＝1250. 所以，售价为45元/件时，每天的利润最大，最大利润是1250元．方法总结：一次函数与二次函数的综合应用问题主要解决的是图象与性质的问题或生活中的实际应用问题．变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞 第2题【类型三】 利用表格信息求最大利润 某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x (1≤x ≤90)天的售价与销量的相关该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y 元．(1)求出y 与x 的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？解析：(1)分1≤x ＜50和50≤x ≤90两种情况进行讨论，利用利润＝每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；(2)利用(1)得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．解：(1)当1≤x ＜50时，y ＝(200－2x )(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000；当50≤x ≤90时，y ＝(200－2x )(90－30)＝－120x ＋12000.综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000〔1≤x ＜50〕，－120x ＋12000〔50≤x ≤90〕； (2)当1≤x ＜50时，y ＝－2x 2＋180x ＋2000，二次函数开口向下，对称轴为x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x ≤90时，y ＝－120x ＋12000，y 随x 的增大而减小，当x ＝50时，y 最大＝6000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．方法总结：此题考查了二次函数的应用，读懂表格信息、理解利润的计算方法，即利润＝每件的利润×销售的件数，是解决问题的关键．三、板书设计商品利润最大问题1．利用二次函数求实际问题中的最大利润2．综合运用一次函数和二次函数求最大利润本节课是在学习了二次函数的概念、图象及性质后，应用二次函数的最大值解决销售问题的最大利润问题．本节课的设计力求通过创设问题情境，有方案、有步骤地安排好思维序列，使学生的思维活动在“探索——发现〞的过程中充分展开，力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过程，整个教学过程突出知识的形成与开展的过程，让学生既获得了知识又开展了智力，同时提升了能力.第2课时 三角形的三边关系1．掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；2．探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决问题．(难点)一、情境导入数学来源于生活，生活中处处有数学．观察下面的图片，你发现了什么？问：你能不能给三角形下一个完整的定义？二、合作探究探究点一：三角形按边分类以下关于三角形按边分类的集合中，正确的选项是( )解析：三角形根据边分类⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧只有两边相等的三角形三边相等的三角形〔等边三角形〕 应选D.方法总结：三角形按边分类，分成不等边三角形与等腰三角形，知道等边三角形是特殊的等腰三角形是解此题的关键． 探究点二：三角形中三边之间的关系 【类型一】 判定三条线段能否组成三角形以以下各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．5cm ，6cm ，10cmC ．1cm ，1cm ，3cmD ．3cm ，4cm ，9cm解析：选项A 中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B 中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C 中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．应选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型二】 判断三角形边的取值范围一个三角形的三边长分别为4，7，x ，那么x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜11B ．4＜x ＜7C ．－3＜x ＜11D ．x ＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x ，∴7－4＜x ＜7＋4，即3＜x A.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【类型三】 三角形三边关系与绝对值的综合假设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，化简|a －b －c |＋|b －c －a |＋|c ＋a －b |.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a －b －c ＜0，b －c －a ＜0，c ＋a －b ＞0.∴|a －b －c |＋|b －c －a |＋|c ＋a －b |＝b ＋c －a ＋c ＋a －b ＋c ＋a －b ＝3c ＋a －b .方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．三、板书设计1．三角形按边分类：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，三边互不相等的三角形是不等边三角形．2．三角形中三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形〞引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系〞．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴趣，又增强了学生的动手能力。
【初中数学】第2课时 最大利润问题 [人教版九年级上册] (练习题)
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第2课时最大利润问题[人教版九年级上册] (2912) 1.某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y=−x+60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包的销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，那么销售单价应定为多少？2.某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．(1)求遮阳伞每天的销出量y个)与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售润最大？最大利润是多少元？3.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为元，每日的销售量为件，每日的利润y=(写出自变量的取值范围)，所以每件降价元时，每日获得的最大利润为元．4.某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．(1)求y与x的函数表达式；(2)当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？5.某商店销售某件商品所获得的利润y(元)与所卖的件数x之间的关系满足y=−x2+1000x−200000，则当0<x⩽450时的最大利润为（）A.2500元B.47500元C.50000元D.250000元6.鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？7.红星公司销售一种成本为40元/件产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件).(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值.参考答案1(1)【答案】解：w=(x−30)·y=(x−30)·(−x+60)=−x2+90x−1800，∴w与x之间的函数关系式为w=−x2+90x−1800(30≤x≤60)．(2)【答案】w=−x2+90x−1800=−(x−45)2+225.∵−1<0，∴当x=45时，w有最大值，w的最大值为225.答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润为225元．(3)【答案】当w=200时，可得方程−(x−45)2+225=200.解得x1=40，x2=50.∵50>42，∴x2=50不符合题意，应舍去．答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元/个．2(1)【答案】解：设函数关系式为y=kx+b，，由题意可得：{260=28k+b240=30k+b，解得：{k=−10b=540∴函数关系式为y=−10x+540；【解析】:设函数关系式为y=kx+b，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；(2)【答案】由题意可得：w=(x−20)y=(x−20)(−10x+540)=−10(x−37)2+2890，∵−10<0，∴当x=37时，W有最大值为2890，答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售润最大，最大利润是2890元．【解析】:由每天销售利润=每个遮阳伞的利润x销售量，列出函数关系式，由二次函数的性质可求解．3.【答案】:(30−x)；(20+x)；−x2+10x+600(0⩽x⩽30，且x为整数)；5；625【解析】:根据题意用x表示出单件的利润、日销售量、日利润，进而根据二次函数的性质，求出每日获得的最大利润4(1)【答案】解：根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）=−10x+900，∴y与x的函数表达式为：y＝−10x+900；【解析】:根据等量关系“利润=（售价−进价）×销量”列出函数表达式即可．(2)【答案】设利润为w，由（1）知：w＝（x﹣50）（−10x+900）=﹣10x2＋1400x﹣45000，∴w＝﹣10（x﹣70）2＋4000，∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．【解析】:根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．5.【答案】:B【解析】:因为抛物线的对称轴为直线x=500，在对称轴左侧,y随x的增大而增大，因此在0<x⩽450的范围内，当x=450时，函数有最大值为475006(1)【答案】解：由题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，把（280，40），（290，39）代入得：{280k+b=40290k+b=39，解得：{k=−1 10b=68，∴y与x之间的函数解析式为y=−110x+68（200≤x≤320）；【解析】:根据图象设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；(2)【答案】设宾馆的利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（−110x+68）=−110x2+70x﹣1360=−110（x﹣350）2+10890，∵−1<0，10∴当x＜350时，w随x的增大而增大，∵200≤x≤320，∴当x＝320时，w取得最大值，最大值为10800元，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是10800元．【解析】:根据宾馆利润数＝单个房间的利润×游客居住房间数，列出二次函数的关系式，再根据二次函数的性质解决问题．7(1)【答案】解：由题知，y=5−(x−50)×0.1，整理得y=10−0.1x（40≤x≤100）；【解析】:根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；(2)【答案】设月销售利润为z，由题知，z=(x−40)y=(x−40)(10−0.1x)=−0.1x2+14x−400=−0.1(x−70)2+90，∴当x=70时，z有最大值为90，即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；【解析】:根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可；(3)【答案】由(2)知，当月销售单价是70元时，月销售利润最大，即(70−40−a)×(10−0.1×70)=78，解得a=4，∴a的值为4.【解析】:根据(2)中的函数和月销售单价不高于70元/件的取值范围，确定a值即可．。
人教版九年级上册第22章 课时2 最大利润问题1(16页)
随堂练习
4．某种商品每天的销售利润 y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：
y＝ax2＋bx－75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ y/元
解：由题中条件可求y＝－x2＋20x－75．
∵－1＜0，对称轴为x＝10， 16
∴当x＝10时，y值最大，最大值为25．
y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000.
新课讲授
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可 以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
建立函数 关系式
总利润=单件利润×销售量 或总利润=总售价-总成本.
最大利润问题
确定自变量 取值范围
涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0.
确定最 大利润
利用配方法或公式法求最大值 或利用函数简图和性质求出.
随堂练习
3.某体育馆可容纳四千人同时观看比赛，现C区有座位400个，某赛事试营销售阶 段发现：当票价为80元时，可售出C区票280张，若每降价1元，可多售出6张票， 设降价 x元( x 取正整数)，写出总票价 y 关于 x 的函数关系式及自变量x取值范围.
解：y=(80-x)(280+6x)= -6x2+200x+22400 280+6x ≤ 400，且 x ≥ 0. 所以，0≤ x ≤20 ( x 取正整数).
22.3 实际问题与二次函数 课时2 最大利润问题
学习目标
1.会运用二次函数的性质解决商品销售中的最大利润问题. 2.能弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
人教版初中初三年级九年级数学上册 商品利润最大问题 精品教学教案
第2课时商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x －1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.。
22.3.2商品利润最大问题(第2课时)(课件)2024-2025学年九年级数学上册(人教版)
服装厂生产某品牌的 T 恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，
以单价 13 元批发给经销商，经销商愿意经销 5000 件 ，并且表
示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多?
总利润 = (销售单价 - 成本单价)×销量 = 单利润×销量
= −4x2 + 140x − 864
∴当
答：当
时，利润 w 有最大值，最大值为 361.
时，利润最大.
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出
售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导
致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10
件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
13
10
假设批发单价12.8 5000 +
5000
− .
500×
.
3
12.8 - 10
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
解：设厂家批发单价是为 x 元，获利 y 元.
② 根据题意，求出自变量的取值范围
还有其他的设未
知数方法吗？
∵ 13 − x≥0，且 x＞10，∴ 10＜x≤13.
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商
品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
有一个这样的故事：
银行家的儿子问爸爸：“爸爸，银行里的钱都是客户和储户的，
那你是怎么赚来房子、奔驰和游艇的呢？”
“儿子，冰箱里有一块肥肉，你把它拿来。”
儿子拿来了。“你再把它放回去。”
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【教学说明】通过练习，前后呼应，巩固已学知识， 并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型.
课后小结
求二次函数最大(小)值的方法： （1）配方化为顶点式求最大(小)值； （2）直接带入顶点坐标公式求最大(小)值； （3）利用图象找顶点求最大(小)值.
润，最大利润是
元.
2.在解决第（3）问中，先引导学生观察得 出此函数为二次函数，再引导学生探索思考 “何时 获得最大利润”的数学意义.
【教学说明】在本章前面的学习中，学生已 初步了解求特殊二次函数最大(小)值的方法. 鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大 值的方法.
【归纳结论】 求二次函数最大（小）值的方法：
分析：当每天的房价增加x元时，就会有x 个
10
房间空闲.
∴一天订住的房间数为（50- x），每间房可 10
获利（180 + x-20)，从而可列出函数关系式.
答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是10880元.
3.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10 元出售，一天可销出约100件，该店想通过降 低售价，增加销售量的办法来提高利润，经 过市场调查，发现这种商品单价每降低0. 1元， 其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降 低多少时，能使销售材“习题2.9”中第1、2题. 2.完成练习册中本课时的练习.
学习是劳动，是充满思想的劳动。 —— 乌申斯基
【教学说明】 用生活中的事例，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学 生的学习热情.
思考探究
1.（1）此题主要研究哪两个变量之间的关系， 哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）销售量可以表示为 ；销售额(销售总 收入）可以表示为 ；所获利润与销售单价之 间的关系式可以表示为 .
（3）当销售单价是 元时，可以获得最大利
4 二次函数的应用
第2课时 求最大利润问题
北师版 九年级下册
情境导入
问题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元. 根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系： 在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低 1元，就可以多销售200件. 若设销售单价为x(20≤x≤35的整数)元，该商店所获利润为y元. 请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？ 你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？
4.某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价 是3元，年销售量为100万件.为了获得更好的效益， 公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年 投入的广告费是x(十万元）时，产品的年销售量将 是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关 系如下表：
（1）求y与x的函数关系式;
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本 费和广告费，试写出年利润S(十万元）与 广告费x（十万元）的函数关系式；
分析：先写出函数关系式，在求出函数的最大值
解:设每件商品降价x元（0＜x＜2)，该商品每天的利润 为y元. 商品每天的利润y与x的函数关系式是：
y=（10-x-8）（100+100x） 即y=-100x2+100x+200 配方得 y -10（0 x 1）2 +225
2
因为x=1/2时，满足0≤x≤2. 所以当x=1/2时，函数取得最大值，最大值y=225. 所以将这种商品的售价降低1/2元时，能使销售利润最大.
（1）配方化为顶点式求最大（小）值； （2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值； （3）利用图象找顶点求最大（小）值.
运用新知
1.见教材P48例2. 2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180 元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时， 就会有 一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20 元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元. 设每个房间的房价每天增加x元(为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y，直接写出 y与x的函数关系式及 自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为W元,求W与 x的函数关系式; （3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多 少元？