2016学年正定名校高一数学上学期期末考试题(含答案)
石家庄市正定中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题及答案
正定中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．已知全集UR =， {|21}x A y y ==+， {|ln 0}B x x =≥，则A B =（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|1}x x >C ．{|01}x x <<D ．∅2．定义在R 的奇函数)(x f ，当0<x 时，x x x f +-=2)(，则(2)f 等于（ ）A ．4B ．6C ．4-D ．6- 3．已知向量()()1,2,23,2a a b =+=，则（ ）A ．()1,2b =-B ．()1,2b =C ．()5,6b =D ．()2,0b = 4．已知函数()f x 是定义在[)0,+∞上的增函数，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-32,B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,31 C ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,21 5．下列函数中，既在定义域上是增函数且图象又关于原点对称的是（ ） A ．2y x =-B ．2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭C ．x y 2=D ．22x x y -=+ 6．函数5()3f x x x =+-零点所在的区间是（ ）A ．[]1,0B ．[]2,1C ．[]3,2D ．[]4,3 7．若βα,都是锐角，且552sin =α，1010)sin(=-βα，则=βcos （ ）A ．22 B ．102 C ．22或102- D ．22或1028．将函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图象关于原点对称，则ϕ的值为（ ） A ．3π-B ．3πC ．6πD ．6π- 9．函数)82ln(2+--=x x y 的单调递减区间是（ ） A ．)1,(--∞ B ．)2,1(- C ．)1,4(-- D ．),1(+∞- 10．已知))1(2(a m b m ==-，，，，若()2a b b -⊥，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．511．已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><一个周期的图象如图所示，则ϕ的值为（ ） A.6π B.4π C.3π D.83π 12．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=,2,13,2,12x x x x f x 若函数()()[]2-=x f f x g 的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13．已知三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a ，则,,a b c 的大小关系为 ．14．化简02sin15sin 75的值为___________.15．若αtan ，βtan 是方程23340x x -+=的两个根，则()=+βαtan ．16．在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点，则AE AC ⋅=_______. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）已知C B A ,,三点的坐标分别是)0,3(A ，)3,0(B ，)sin ,(cos ααC ，其中232παπ<<. （1）若||||BC AC =，求角α的值； （2）若1-=⋅BC AC ，求α2sin 的值.18.（本小题满分12分）(sin ,sin()),(sin ,3sin )2a x xb x x πωωωω=+=已知()0>ω，记()f x a b =⋅．且()f x 的最小正周期为π.（1）求()x f 的最大值及取得最大值时x 的集合； （2）求()x f 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．19.（本小题满分12分）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点(10,80)A ，过点(12,78)B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中(40,50)C ，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳. （1）试求()y f x =的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.20.（本小题满分12分）设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0,21x x 都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+，且0)1(>=a f .(1)求⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛41,21f f ； (2)求证：)(x f 是周期函数.21.（本小题满分12分） 已知函数1()log ,(0,1)1ax f x a a x +=>≠-且. （1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若对于[2,4]x ∈，恒有()log (1)(7)a mf x x x >-⋅-成立，求m 的取值范围.22.（本小题满分12分）函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=2,0,2cos sin 2πθθθθm m g . （1）当3=m 时，求()θg 的单调递增区间； （2）若()01<+θg 恒成立，求m 的取值范围.参考答案一、选择题1-5 BBADC 6-10 BAABB 11-12 CB 二、填空题13. c a b >> 14. 1 15. 3- 16.12 三、填空题 17.解:（1）54πα=………………………………………………….4分 （2）cos (cos 3)sin (sin 3)AC BC αααα=-+-13(s i n c o s )αα=-+=-2sin cos 9αα∴+=……………………………………………6分 252sin cos (sin cos )19αααα∴=+-=- ……………………8分原式=2sin (sin cos )52sin cos cos sin 9cos αααααααα+==-+ ……………………….10分18.解：（1）2π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++⎪⎝⎭1cos 23()sin 222x f x x ωω-=+311sin 2cos 2222x x ωω=-+ π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． ……….6分 （2）由（1）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． …..12分 19.解：（1）当(]0,12x ∈时，设()()21080f x a x =-+ 因为这时图像过点(12,78)，代入得12a =-所以()()2110802f x x =--+ 当[]12,40x ∈时，设y kx b =+，过点(12,78)(40,50)B C 、得190k b =-⎧⎨=⎩，即90y x =-+ ………6分故所求函数的关系式为()()(](]211080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩………7分（2）由题意得()201211080622x x <≤⎧⎪⎨--+>⎪⎩或12409062x x <≤⎧⎨-+>⎩ ……………9分 得412x <≤或1228x <<，即428x <<则老师就在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳 ……12分. 20.解：(1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,02x，于是()02222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x xf x f ， ∵()22121211⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=f f f ，且0)1(>=a f ，∴a f =⎪⎭⎫⎝⎛21，同理，因为24121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛f f ，所以441a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛； ……………………6分 (2)∵)(x f 是偶函数，∴ ()()x f x f =-，)(x f 图象关于直线1=x 对称，∴ ()()x f x f -=+11，∴对任意实数x ，都有()()[]()[]()()x f x f x f x f x f =-=+-=++=+11112，∴)(x f 是周期为2的周期函数…………12分 21.解:（1）因为101x x +>-解得11x x <->或 所以函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞函数()f x 为奇函数，证明如下：由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称，又因为11()log log ()11aa x x f x f x x x -+--===---+所以函数()f x 为奇函数…………4分 （2）若对于[2,4]x ∈,()log (1)(7)amf x x x >-⋅-恒成立即1log log 1(1)(7)aa x mx x x +>--⋅-对[2,4]x ∈恒成立 111(1)(7)x ma x x x +>>--⋅-当时即对[2,4]x ∈成立. 1(7)mx x +>-, 即(1)(7)x x m +⋅->成立，所以015m <<同理111(1)(7)x ma x x x +<<--⋅-当0<时,解得16m > 综上所述：1a >当时0<m<15 ,1a <当0<时m>16 ………….12分 22.解：（1）令θcos =t []1,0∈，473223132322+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-=t t t y 记4732)23()(2+---=t t g ，)(t g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,23上单调递减. 又θcos =t 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减.令123≤≤t ，解得60πθ≤≤故函数)(x f 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π……………………………………6分 （2）由)(θg <－1得θθ2cos 2)cos 2(->-m即]cos 22)cos 2[(4cos 2cos 22θθθθ-+--=-->m]2,1[cos 2]2,0[∈-∴∈θπθ22cos 22)cos 2(≥-+-∴θθ，等号成立时.22cos -=θ故4－θθcos 22)cos 2[(-+-]的最大值是.224- 从而224->m .…………………12分。
河北省正定中学2016届高三上学期期末考试文数试题Word版含解析
河北省正定中学2016届高三上学期期末考试文数试题1．已知集合{}0342<+-=x x x A ，{}42<<=x x B ，则=B A （ ） A ．)3,1( B ．)4,1( C ．)3,2( D ．)4,2( 【答案】B 【解析】试题分析：因为{}{}310342<<=<+-=x x x x x A ，{}{}{}414231<<=<<<<=x x x x x x B A ．故选B ．考点：集合的运算． 2．已知R a ∈，若复数iia z +-=12为纯虚数，则=+ai 1（ ） A ．10 B ．10 C ．5 D ．5 【答案】D 【解析】 试题分析：2)2()2()1)(1()1)(2(12ia a i i i i a i i a z +--=-+--=+-=为纯虚数，则2=a ．1ai +=12i +=D ．考点：复数的概念与运算．3．已知)(sin )(3R x x x x f ∈+=是（ ） A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解析】试题分析：33()()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以)(x f 是奇函数．故选B ． 考点：函数的奇偶性．4．抛物线241x y =的焦点坐标为（ ） A ．)0,161( B ．)161,0( C ．)1,0( D ．)0,1(【答案】C 【解析】试题分析：抛物线的标准方程为24x y =，2p =，焦点在y 轴正半轴上，为(0,1)． 考点：抛物线的几何性质．5．为了了解高一、高二、高三的身体状况，现用分层抽样的方法抽出一个容量为1200的样本，三个年级学生数之比依次为3:5:k ，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为（ ）A ．240B ．300C ．360D ．400 【答案】C 【解析】试题分析：由已知高一年级抽取的比例为511200240=，所以5135=++k k ，得2=k ，故高三年级抽取的人数为36035231200=++⨯．考点：分层抽样．6．函数x x f 2log 1)(+=与x x g -=12)(在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）【答案】C 【解析】试题分析：x x f 2log 1)(+=的图象由函数x x f 2log )(=的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过)1,1(点，且为单调函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点)0,1(，而不是)1,1(，故不满足； 函数x xx g )21(22)(1⨯==-，其图象经过)2,0(点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y 轴的交点坐标为)1,0(，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．综上所述，排除A ，B ，D ．故选C ． 考点：函数的图象．7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．21B ．1-C ．2D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环2,21==i a ；第二次循环3,1=-=i a ；第三次循环4,2==i a ；第四次循环2,21==i a ；周期为3，则执行该程序后输出的结果是1-．故选B ． 考点：程序框图．8．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以h km /40的的速度由A 处出发，沿北偏东60方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B 处时，发现北偏西45方向有一艘船C ，若船C 位于A 的北偏东30方向上，则缉私艇所在的B 处与船C 的距离是（ ）A ．km )26(5+B ．km )26(5-C ．km )26(10-D ．km )26(10+【答案】C 【解析】试题分析：由题意，知303060=-=∠BAC ，754530=+=∠ABC ，753075180=--=∠ACB ，∴)(202140km AB AC =⨯==，由余弦定理，得 )32(400340080030cos 202022020cos 22222-=-=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+= BAC AB AC AB AC BC ∴))(26(10)13(210)13(200)32(4002km BC -=-=-=-=．故选C ．考点：解三角形的应用． 9．若“81≥a ”是“c xax x ≥+>∀2,0”的充分不必要条件，则实数c 的取值范围为（ ） A ．10≤<c B ．10≤≤c C ．1≤c D ．1≥c 【答案】C 【解析】试题分析：若0≤c ，则0≥a ，符合题意，若0>c ，则82222c a c a x a x ≥⇒≥≥+，于是108182≤<⇒≤c c ．所以1≤c ．故选C ． 考点：充分必要条件．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．π231+ B ．12211++π C ．2211+π D ．ππ2211+ 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：122111221221222++=⨯⨯+⨯⨯+⨯++πππππ，故选B ． 考点：三视图，几何体的表面积．11. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左，右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若221PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．]3,1(B ．]3,1(C ．]3,3[D ．),3[+∞ 【答案】A ． 【解析】试题分析：设t PF =2，则a c t t a PF -≥+=,21．又a a ta t t t a PF PF 844)2(22221≥++=+=，当且仅当a t 2=时等号成立．所以a a c 2≤-，所以31≤<e ．故选A ． 考点：双曲线的几何性质．【名师点睛】本题以双曲线为素材，综合考察双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．要求离心率e 的取值范围，就要想办法建立一个关于,a c 的不等式，题中已知条件是221PF PF 的最小值为a 8，由双曲线性质知设2PF t =，则有t c a ≥-，而已知条件为()228a t a t+≥，由函数性质可求得2t a =时最小值取到，因此有2a c a ≥-，这样目标达到了．12．已知函数2ln )(bx x a x f -=，R b a ∈,．若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，则a 的取值范围是（ ）A ．),[+∞eB ．),2[2+∞eC ．),2[22e e D ．),[2+∞e【答案】B 【解析】试题分析：若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，即x bx x a ≥-2ln 对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，即2ln bx x x a ≥-对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，即0ln ≥-x x a 对],(2e e x ∈都成立，即xx a ln ≥对],(2e e x ∈都成立，即a 大于等于x x ln 在区间],(2e e 上的最大值，令xx x h ln )(=，则2)(l n 1ln )(x x x h -='，当],(2e e x ∈时，0)(>'x h ，)(x h 单调递增，所以x x x h ln )(=，],(2e e x ∈的最大值为2)(22e e h =，即22e a ≥，所以a 的取值范围为),2[2+∞e ． 考点：不等式恒成立问题，导数与函数的单调性、极值．【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明与恒成立问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而得出结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设向量a ，b 是相互垂直的单位向量，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数=λ________. 【答案】2 【解析】试题分析：由题意1a b ==，0a b ⋅=，又()(2)0a b a b λ+⋅-=，即22(12)20a a b b λλ+-⋅-=，所以20λ-=，2λ=．考点：向量的数量积与垂直．14．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-131y y x x y ，则2+=x y z 的最大值为_______．【答案】23【解析】试题分析：画出可行域，目标函数)2(02---=+=x y x y z 表示可行域内的点),(y x 与点)0,2(-连线的斜率，当其经过点)2,1(A 时，2+=x y z 取到最大值为32=z ．考点：简单的线性规划的应用．15．直三棱柱111C B A ABC -中，2==AC AB ，32π=∠BAC ，41=AA ，则该三棱柱的外接球的体积为________． 【答案】3264π【解析】试题分析：设O 是外接球球心，1O 是ΔABC 外接圆圆心，则1OO ⊥底面ABC ，11122OO AA ==，又2s i 2233πBC AB=⨯=⨯=，所以24sin sin 3BC OB BAC ===∠，即12O B =，所以OB ==，所以334433球V πOB π=⨯=⨯=．C 1B 1A 1O 1OCB A考点：棱柱与外接球，球的体积．【名师点睛】几个与球有关的切、接常用结论 （1）正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则2R； ②正方体的内切球，则2R ＝a ；③球与正方体的各棱相切，则2Ra ．（2）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，16．函数ϕωϕω,,)(sin()(A x A x f +=是常数，且0,0>>ωA ）的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π； ②将)(x f 的图象向左平移6π个单位，所得到的函数是偶函数；③1)0(=f ；④)1314()1112(ππf f <； ⑤)35()(x f x f --=π，其中正确的是_______．【答案】①④⑤ 【解析】试题分析：由图可知，ππϕπωππππ2321272,2431274,2+=+⨯=⇒=⇒=-==k T T A ，.,32Z k k ∈+=ππϕ3)0()32sin(2)(=⇒+=f x x f π，)322sin(2)332sin(2)6(ππππ+=++=+x x x f ，对称轴为直线Z k k x ∈+=,122ππ，一个对称中心为)0,65(π，所以②、③不正确；因为)(x f 的图象关于直线1213π=x 对称，且)(x f 的最大值为)1213(πf ，121313141213111212131112⨯=->⨯=-ππππππ，所以)1314()1112(ππf f <，即④正确；设))(,(x f x 为函数)32sin(2)(π+=x x f 的图象上任意一点，其对称中心)0,65(π的对称点))(,35(x f x --π还在函数)32sin(2)(π+=x x f 的图象上，即)35()()()35(x f x f x f x f --=⇒-=-ππ，故⑤正确． 考点：函数()sin()f x A ωx φ=+的解析式、图象与性质．【名师点睛】本题在解答过程中用到了数形结合的数学思想，从图中准确提取有效信息是解答本题的关键．根据五点法的作图规律，认清图中的一些已知点属于五点法中的哪一点，进而选择对应的方程得出ϕ的值．对于()sin()f x A x h ωϕ=++，应明确A ω、决定“形变”，h ϕ、决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A ωϕ、、影响单调性．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．设数列{}n a 的前n 项和12a a S n n -=，且41+a 是32,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n T ．【答案】（1）nn a 2=；（2）222n nn T +=-． 【解析】试题分析：（1）已知n S 与n a 的关系求通项公式，一般是利用1(2)n n n a S S n -=-≥化关系式为n a 的关系，从而得得{}n a 是等比数列，通项公式可得；（2）数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是由等差数列与等比数列相除（乘）得到的，因此其前n 项和n T 只能用错位相减法求得． 试题解析：（1）由已知12a a S n n -=，有)1(2211>-=-=--n a a S S a n n n n n ， 即)1(21>=-n a a n n ．从而122a a =，134a a =．又因为41+a 是32,a a 的等差中项，即321)4(2a a a +=+．解得21=a ． 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故nn a 2=．（2）由（1）得n n n a n 2=，所以n n n T 223222132+⋅⋅⋅+++=， 12223112-+⋅⋅⋅+++=n n nT 两式相减 nn nn n n n n n T 2222211)21(12212121112+-=---=-+⋅⋅⋅+++=-． 考点：已知n S 与n a 的关系求通项公式，等比数列的通项公式，错位相减法求和．18. 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图．（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于cm 173的同学，求身高为cm 176的同学身高被抽中的概率．【答案】（1）乙班同学的平均身高较高；（2）)(2.572cm ；（3）52=P ． 【解析】试题分析：（1）由茎叶图，获得所有身高数据，计算平均值可得；（2）由方差公式2211()ni i s x x n ==-∑计算方差；（3）由茎叶图知乙班这10名同学中身高不低于cm 173的同学有5人，可以把5人编号后，随便抽取2名同学这个事件含有的基本事件可以用列举法列举出来（共10个），其中含有身高176cm 基本事件有4个，由概率公式计算可得．试题解析：（1）由茎叶图知：设样本中甲班10位同学身高为甲x ，乙班10位同学身高为乙x ，则)(170)158162163168168170171179179182(101cm x =+++++++++=甲．2分 )(1.171)159162165168170173176178179181(101cm x =+++++++++=乙．4分 ∵甲乙x x >，据此可以判断乙班同学的平均身高较高．设甲班的样本方差为2甲s ，由（1）知cm x 170=甲．则22222222)170168()170168()170170()17017()170179()170179()170182[(101-+-+-+-+-+-+-=1甲s )(2.57])170158()170162()170163(2222cm =-+-+-+， 8分由茎叶图可知：乙班这10名同学中身高不低于cm 173的同学有5人，身高分别为cm 173、cm 176、cm 178、cm 179、cm 181．这5名同学分别用字母A 、B 、C 、D 、E 表示．则记“随机抽取两名身高不低于cm 173的同学”为事件Ω，则Ω包含的基本事件有：],[B A 、],[C A 、],[D A 、],[E A 、],[C B 、],[D B 、],[E B 、],[D C 、],[E C 、],[E D 共10个基本事件． 10分记“身高为cm 176的同学被抽中”为事件M ，则M 包含的基本事件为：],[B A 、],[C B 、],[D B 、],[E B 共4个基本事件． 由古典概型的概率计算公式可得：52104)()()(==Ω=n M n N P ． 12分 考点：茎叶图，均值，方差，古典概型．19. 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）求证：∥PB 平面AEC ；（2）设1=AP ，2=AD ，60=∠ABC ，求点A 到平面PBD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】 试题分析：（1）要证线面平行，由判定定理知要证线线平行，而由性质定理知，这条平行线是过直线PB 的平面与平面AEC 相交所得，由图可知设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，EO 就是要找的平行线；（2）要求点到平面的距离，可根据定义作出点到平面的垂线，从已知条件可知由平面PAC ⊥平面PBD ，因此只要作AH PO ⊥于点H ，由有AH ⊥平面PBD ，在ΔAPO 中求得AH 即可，另外求点到平面的距离也可用体积法，由P ABD A PBD V V --=易得所求距离．试题解析：（1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又因为E 为PD 的中点，所以PB EO ∥．⊂EO平面AEC ，⊄PB 平面AEC ，所以∥PB 平面AEC设CD AB ,交于点O ，由题设知⊥BD 平面PAC ，所以面PBD PAO ⊥，作PO AH ⊥交PO 于H ，故⊥AH 平面PAO ，又22=⋅=PO AO PA AH ， 所以A 到平面PBD 的距离为22． 方法二：33120sin 6131=⋅⋅=⋅⋅=∆- AD AB PA PA S V ABD ABD P ， 5==PD PB ，2==AD AB ， 120=∠BAD ， 所以32=BD ，2=PO ，ABD P PBD A V V --=，设A 到平面PBD 的距离为d ，所以有3331=∆d S PBD ，22=d ， 所以A 到平面PBD 的距离为22． 考点：线面平行的判断，点到平面的距离．20. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 和2F ，由4个点),(b a M -，),(b a N ，2F 和1F 组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点1F 的直线和椭圆交于两点B A ,，求AB F 2∆面积的最大值．【答案】（1）13422=+y x ；（2）3． 【解析】试题分析：（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一是b =的面积得3a c +=，再结合222a c b -=可得；（2）此题中直线AB 的斜率可能不存在，但不能为0，因此可设直线方程为1-=my x ，同时设交点为),(),,(2211y x B y x A ，把直线方程代入椭圆方程得y 的一元二次方程，由韦达定理得1212,y y y y +，再求出2ΔF A B S ，注意2Δ121212F A B S F F y y =-，最终把2ΔF AB S 表示为m 的函数，由函数单调性可得最值． 试题解析：（1）由条件，得3=b ，且333222=+c a ，所以3=+c a ． 又322=-c a ，解得2=a ，1=c ．所以椭圆的方程13422=+y x ． 显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为1-=my x ，直线与椭圆交于),(),,(2211y x B y x A ， 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422my x y x ，消去x 得，096)43(22=--+my y m ． 因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交． ∴439,436221221+-=+=+m y y m m y y ． 22221221212121)43(1124)(212++=-+=-=-=∆m m y y y y y y y y F F S AB F )1(9132114)311(1422222++++=+++=m m m m , 令112≥+=m t ，设t t y 91+=，易知)31,0(∈t 时，函数单调递减，),31(+∞∈t 函数单调递增，所以当112=+=m t 即0=m 时，910min =y ，AB F S 2∆取最大值3． 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题．【名题点睛】求椭圆标准方程，一般要列出关于,,a b c 的两个方程（不含222a b c =+），这可由已知条件及椭圆的几何性质可得；（2）解析几何中最值问题，处理方法是选取适当的参数，求出相应量，再求得这个函数的最值，题中涉及到直线与椭圆相交问题，因此设交点为()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为3x my =+（这样设包含了斜率不存在的情形），代入椭圆方程由韦达定理可用m 表示出1212,y y y y +，把2ΔF A B S 用12,y y 表示，最后把1212,y y y y +代入化简，即把2ΔF AB S 表示为m 的函数．这是解析几何中常用的“设而不求”法．21．设函数x a x x f ln )()(+=．x ex x g 2)(=．已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行．（1）求a 的值；（2）是否存在自然数k ，使得方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的实根？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1a =；（2）1=k 时，方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根．【解析】试题分析：（1）本小题考查导数的几何意义同，由题意知'(1)2f =，由此可得a 值；（2）实质是方程()()f x g x =只有一解，为此研究函数x e x x x x g x f x h 2ln )1()()()(-+=-=，首先从函数值可以看出(0,1]x ∈时，()0h x <，而24(2)3ln 20h e =->，因此方程)()(x g x f =要有解必定在(1,2)上，再利用导数证明()h x 在(1,)+∞是单调递增即可．试题解析：（1）由题意知，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线斜率为2，所以2)1(='f ． 又1ln )(++='xa x x f ，所以1=a ． （2）1=k 时，方程)()(x g x f =在)2,1(内存在唯一的根． 设x ex x x x g x f x h 2ln )1()()()(-+=-=， 当]1,0(∈x 时，0)(<x h ．又01148ln 42ln 3)2(22=->-=-=e e h ， 所以存在)2,1(0∈x ，使0)(0=x h ． 因为x e x x x x x h )2(11ln )(-+++='，所以当)2,1(∈x 时，011)(>->'ex h ， 当),2(+∞∈x 时，0)(>'x h ，所以当),1(+∞∈x 时，)(x h 单调递增．所以1=k 时，方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根．考点：导数的几何意义，函数的零点，导数与单调性．【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：（1）已知切点A （x 0，f （x 0））求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′（x 0）；（2）已知斜率k ，求切点A （x 1，f （x 1）），即解方程f ′（x 1）＝k ；（3）已知过某点M （x 1，f （x 1））（不是切点）的切线斜率为k 时，常需设出切点A （x 0，f （x 0）），利用k ＝()()1010f x f x x x --求解．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 选修4-1：几何证明选讲22. 已知AB 是半圆O 的直径，4=AB ，点C 是半圆O 上一点，过C 作半圆O 的切线CD ，过点A 作CD AD ⊥于D ，交半圆于E ，1=DE ．（1）求证：AC 平分BAD ∠；（2）求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）问题实际上是证明CAD OAC ∠=∠，这不能直接证明，但它们的余角是同弧所对的圆周角与弦切角，是相等的，结论得证；（2）要求BC 长，由（1）知BC CE =，这样只要证得CDE RT∆ACB RT ∆，正好由已知的两线段长求得BC ．试题解析：（1）连接OC ，因为OC OA =，所以OCA OAC ∠=∠，因为CD 为半圆O 的切线，所以CD OC ⊥，因为CD AD ⊥，所以AD OC ∥，所以CAD OCA ∠=∠，CAD OAC ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠．连接CE ，由（1）知CAD OAC ∠=∠，所以CE BC =．因为D C B A ,,,四点共圆，故CED ABC ∠=∠，因为AB 是半圆O 的直径，所以ACB ∠是直角，CDE RT ∆ACB RT ∆，AB CB CE DE ::=，2=BC ．考点：切线的性质，弦切角定理，圆周角定理，相似三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在极坐标系中，已知曲线)4sin(22:πθρ-=C ，P 为曲线C 上的动点，定点)4,1(πQ ． （1）将曲线C 的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求P 、Q 两点的最短距离．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：02222=-++y x y x 且曲线C 是以)1,1(-为圆心，2为半径的圆；（2）23-．【解析】试题分析：（1）由22y x +=ρ，22sin y x y+=θ，22cos y x x +=θ或cos ,sin ,ρθx ρθy ==222ρx y =+可将极坐标方程化为直角坐标方程，方程配方后得圆标准方程；（2）由圆性质知，PQ 的最短距离等于Q 到圆心的距离减去圆的半径．试题解析：（1）由)cos (sin 2)4sin(22θθπθρ-=-=，得到θρθρρcos 2sin 22-=，∴曲线C 的直角坐标方程为：02222=-++y x y x 且曲线C 是以)1,1(-为圆心，2为半径的圆． Q 点直角坐标为)22,22(，Q 点到圆心)1,1(-的距离为3)221()221(22=-+--， PQ 的最短距离为23-．考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点间距离公式，圆的性质．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数112)(++-=x x x f ．（1）求不等式2)(≥x f 的解集；（2）若关于x 的不等式a x f <)(的解集为R ,求参数a 的取值范围．【答案】（1）),32[]0,(+∞-∞ ；（2）23≤a ． 【解析】试题分析：含绝对值的函数与不等式工，可根据绝对值定义，令每个绝对值里式子为0，求得x 的值，这些x 的值把实数分成若干区间，在每个区间内去绝对值符号可得解，（1）在每个区间求得不等式的解后，要求并集；（2）求出函数()f x 的最小值就可得到结论．试题解析：（1）当21≥x 时，23)(≥=x x f ，得到32≥x ， 当211≤≤-x 时，22)(≥-=x x f ，得到01≤≤-x ， 当1-<x 时，23)(≥-=x x f ，得到1-<x ， 综上，不等式解集为),32[]0,(+∞-∞ ．（2）由题意知，a x f ≥)(对一切实数x 恒成立， 当21≥x 时，233)(≥≥x x f ， 当211≤≤-x 时，232)(≥-=x x f ， 当1-<x 时，33)(>-=x x f ． 综上，23)(min =x f ．故23≤a ． 考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值．。
河北省正定中学高一上学期期末考试数学试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设全集，集合，则 ( )A ．B ．C ．D ．2. 设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点，则OA OB OC OD +++= ( )A ．B ．C ．D ． 3．已知在中，为ABC 的面积，若向量222(4,),(3,)p a b c q S =+-=满足，则 ( )A ．B ．C ．D ．4. 设，记()()()()ln ln ,lg lg ,ln lg ,lg ln a x b x c x d x ====则的大小关系( )A ．B ．C ．D ．5. 已知，，且，，则的值为( )A. B. C. D ．或6．在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形7. 为得到函数的图象，只需将函数的图象( )A ．向右平移5π12个单位长度B ．向左平移5π12个单位长度8．定义在上的函数满足：()()(),(1)f x f x f x f x -=-+=，当时，，则 ( )10. 在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )A ．B ．C ．D ．11．已知π()2sin(),(0,||)2f x x ωφωφ=+>≤在上单调，且，，则等于( ) A ．﹣2 B ． C ． D ．12. 知函数在区间上均有意义，且是其图象上横坐标分别为的两点．对应于区间内的实数，取函数的图象上横坐标为的点，和坐标平面上满足()λλ-+=1的点，得．对于实数，如果不等式对恒成立，那么就称函数在上“k 阶线性近似”．若函数在上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应位置）13．已知，则πsin()cos(π)2πsin()sin(π)2θθθθ+--=--- ． 14.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于 ．15. 已知为坐标原点，点(2,0),(0,2),(cos ,sin )A B C αα，且．若，则与的夹角为 ．16．给出下列四个命题： ①函数2212-+-=x x y 为奇函数； ②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；③函数的值域是；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤函数的单调递增区间是．其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本题满分10分)设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.求：（1）集合；（2）集合.18. (本题满分12分)在锐角中，满足；（1）求角A 的大小；（2）求的取值范围.19. (本题满分12分) 闽东某电机厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产某型号电机产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）.销售收入 (万元)满足⎩⎨⎧>≤≤+-=)12(28)120(52.0)(2x x x x x R ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数的解析式（利润=销售收入—总成本）；（2）工厂生产多少台产品时，可使利润最多？20. (本题满分12分)函数()()03sin 32cos 62>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．（1）求的值及函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值.21. (本题满分12分)已知定义域为的函数是奇函数.（1）判断函数的单调性，并用定义证明；（2）若对于任意都有2()(21)0f kx f x +->成立，求实数的取值范围.22. (本题满分12分)设)10()(log )(≠>=a a x g x f a 且（1）若，且满足，求的取值范围；（2）若，是否存在使得在区间[，3]上是增函数？如果存在，说明可以取哪些值；如果不存在，请说明理由.（3）定义在上的一个函数，用分法:q x x x x x p n i i =<<<<<<=- 110将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得不等式M x m x m x m x m x m x m x m x m n n i i ≤-++-++-+---|)()(||)()(||)()(||)()(|111201 恒成立，则称函数为在上的有界变差函数. 试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由.高一数学期末考试试题答案ADCCB DABDD CC13．14.15．16．①④⑤17.（1）}1<3≥|{=x x x N 或（2）3|12M N x x x ⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭或18.（1） ——————————————————------------————6分（2）的取值范围------------------------------------12分20. (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋ 3sin ωx ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f (x )的单调增区间为102[8,8],33k k k -++∈．(2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.-故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝76521．(12分)(1)因为在定义域为上是奇函数，所以=0，即又>0 ∴>0即∴在上为减函数. ．．．．．．．8分（3）因是奇函数，从而不等式：等价于)21()12()(2x f x f kx f -=-->，………...….8分因为减函数，由上式推得：．即对一切有：恒成立， ．．．．．．．10分设221211()2x g x x x x -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，令,则有21()2,,23g t t t t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，min min ()()(1)=-1g x g t g ∴==，即k 的取值范围为。
正定中学高一期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. πC. √2D. -32. 已知函数f(x) = 2x - 1，那么f(3)的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 83. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > 4B. 3x < 6C. 4x ≤ 8D. 5x ≥ 104. 在△ABC中，若∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°5. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，3，5，则该数列的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 下列命题中，正确的是（）A. 两个平行四边形一定是矩形B. 两个等腰三角形一定是等边三角形C. 两个正方形一定是菱形D. 两个等边三角形一定是等腰三角形7. 若直线l的方程为2x + 3y - 6 = 0，则直线l与x轴的交点坐标为（）A. (3, 0)B. (0, 2)C. (3, 2)D. (2, 3)8. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(2)的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 69. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-1, 1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (1, 2)B. (1, 3)C. (2, 1)D. (3, 2)10. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √25二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = 3x - 2，那么f(-1)的值为______。
12. 在△ABC中，若AB = AC，则△ABC是______三角形。
13. 等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = ______。
14. 已知函数f(x) = x^2 - 4，那么f(-2)的值为______。
河北省定州市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题含答案
定州市2016—2017学年度第一学期期末教学质量检测高一数学考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。
已知集合{|33},{2,0,1},{1,0,1,2}I x Z x A B =∈-<<=-=-，则()I C A B 等于（ ） A ．{}1 B ．{}2 C ．{}1,2- D ．{}1,0,1,2-2. 计算sin tan 63ππ+的值为( ） A ．332B ．536C ．1323+D ．132+ 3。
{|02}A x x =≤≤，下列图象中能表示定义域和值域都是A 的函数的是（ )A ．B ．C ．D ．4。
323(lg 501)(lg 21)--= ( ）A ．2lg 5B ．0C ．1-D ，．2lg5-5。
已知函数()2(24,x b f x x b -=≤≤为常数）的图象经过点(3,1)，则()f x 的值域为 （ )A ．[]4,16B ．[]2,10C ．1[,2]2 D ．1[,)2+6。
已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么 （ )A ．1k =-且c 与d 反向B ．1k =-且c 与d 同向C ．1k =且c 与d 反向D ．1k =且c 与d 同向7。
函数sin(2)12y x π=+的图象经过平移后所得图像关于点(,0)12π中心对称，这个平移变换可以是（ )A ．向左平移8π个单位B ．向左平移4π个单位C ．向右平移8π个单位D ．向右平移4π个单位 8.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上有单调性，且(2)(1)f f -<，则下列不等式成立的是 （ )A ．()()()123f f f -<<B ．()()()234f f f <<-C ．()()120()2f f f -<<D ．()()()531f f f <-<-9. 已知5(sin(),sin()),(cos(),cos()),366313a x x b x x a b ππππ=+-=-+⋅=，且[,]36x ππ∈-，则sin 2x 的值为( )A ．531226+B ．531226-C ．512326+D ．512326- 10。
高一数学上册期末试卷（附答案）
高一数学上册期末试卷（附答案）高一数学期末考试试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数的定义域为( )A.( ,1)B.( ,∞)C.(1，+∞ )D.( ,1)∪( 1，+∞)2.以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为( )A.( ，1，1)B.(1，，1)C.(1，1， )D.( ，，1)3.若，，，则与的位置关系为( )A.相交B.平行或异面C.异面D.平行4.如果直线同时平行于直线，则的值为( )A. B.C. D.5.设，则的大小关系是( )A. B. C. D.6.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则直线EF与CD所成的角为( )A.45°B.30°C.60°D.90°7.如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.8.圆：和圆：交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )A. B.C. D.9.已知，则直线与圆的位置关系是( )A.相交但不过圆心B.过圆心C.相切D.相离10.某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的表面积是( )A.28+65B.60+125C.56+125D.30+6511.若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.12.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若是奇函数，则 .14.已知，则 .15.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=3 cm，则球的体积是 .16.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三种说法：①△DBC是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥D-ABC的体积是26.其中正确的序号是________(写出所有正确说法的序号).三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题10分)根据下列条件，求直线的方程：(1)已知直线过点P(-2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1;(2)过两直线3x-2y+1=0和x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0.18.(本小题12分)已知且，若函数在区间的最大值为10，求的值.19.(本小题12分)定义在上的函数满足 ,且 .若是上的减函数，求实数的取值范围.20.(本小题12分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱) 中，，分别是棱上的点(点不同于点 )，且为的中点.求证：(1)平面平面 ;(2)直线平面 .21.(本小题12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形A BCD所在的平面，BC=22，M为BC的中点.(1)证明：AM⊥PM;(2)求二面角P-AM-D的大小.22.(本小题12分)已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程.(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.高一数学期末考试试题答案一、选择题ACBAD BDCAD BC二、填空题13. 14.13 15. 16.①②三、解答题17.(本小题10分)(1)x+2y-2=0或2x+y+2=0.(2)3x-y+2=0.18.(本小题12分)当0当x=-1时，函数f(x)取得最大值，则由2a-1-5=10，得a=215，当a>1时，f(x)在[-1，2]上是增函数，当x=2时，函数取得最大值，则由2a2-5=10，得a=302或a=-302(舍)，综上所述，a=215或302.19.(本小题12分)由f(1-a)+f(1-2a)<0，得f(1-a)<-f(1-2a).∵f(-x)=-f(x)，x∈(-1,1)，∴f(1-a)又∵f(x)是(-1,1)上的减函数，∴-1<1-a<1，-1<1-2a<1，1-a>2a-1，解得0故实数a的取值范围是0，23.20.(本小题12分)(1)∵ 是直三棱柱，∴ 平面。
【全国百强校】河北省正定中学2016届高三上学期期末考试理数试题(原卷版)
河北省正定中学2016届高三上学期期末考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}3<=x x M ，{}1->=x x N ，全集R U =，则=)(N M C UA ．{}1-≤x xB ．{}3≥x xC ．{}30<<x xD ．{}31≥-≤x x x 或 2.已知i iz +=+13，则复数z 在复平面上对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知函数R x x x x f ∈+=,sin )2cos 1()(2，则)(x f 是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 4.等比数列{}n a 中，4021=+a a ，6043=+a a ，=+87a aA ．135B ．100C ．95D ．805.设函数⎩⎨⎧≥<-+=-1,101),2lg(1)(1x x x x f x ，则=+-)30(lg )98(f f A ．5 B ．6 C ．9 D ．226.某几何体的三视图如图所示，则其体积为A ．4B ．24C ．34D ．87.过三点)2,1(A ，)2,3(-B ，)2,11(C 的圆交x 轴于N M ,两点，则=MNA ．63B ．64C ．21D ．2128.根据如图所示程序框图，若输入42=m ，30=n ，则输出m 的值为A ．0B ．3C ．6D ．129.球O 半径为13=R ，球面上有三点A 、B 、C ，312=AB ，12==BC AC ，则四面体OABC 的体积是A ．360B ．350C ．660D ．65010.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下面叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用两车比用乙车更省油11.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的左，右顶点为B A ,，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角θ满足31cos -=θ，则E 的离心率为A ．5B ．2C ．3D ．212.设函数)(x f '是偶函数))((R x x f ∈的导函数，)(x f 在区间),0(+∞上的唯一零点为2，并且当)1,1(-∈x 时，0)()(<+'x f x f x ，则使得0)(<x f 成立的x 的取值范围是A ．)2,0()0,2( -B ．),2()2,(+∞--∞C ．)1,1(-D ．)2,2(-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量a ，b 是相互垂直的单位向量，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数=λ________.14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤--020063y x y x y x ，则y x z 2-=的最大值为_______.15.已知对任意实数x ，有7722106)1)((x a x a x a a x x m +⋅⋅⋅+++=++，若327531=+++a a a a ，则=m ____.16.已知数列{}n a 满足11=a ，)2(1222≥-=n S S a n n n ，其中n S 为{}n a 的前n 项和，则=2016S ________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且a A b B A a 35cos sin sin 2=+. （1）求ab ； （2）若22258b a c +=，求角C . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 平面ABC ，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1. （1）证明：BC DC ⊥1；（2）设21=AA ，11B A 的中点为P ，求点P 到平面1BDC 的距离.19.（本小题满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：95,90,85,80,75,70,65,60，物理分数从小到大排序是：95,93,90,88,84,80,77,72.①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率； ②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：根据上表数据，用变量y 与x 的相关系数或散点图说明物理成绩y 与数学成绩x 之间线性相关关系的强弱.如果具有较强的线性相关关系，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到01.0）；如果不具有线性相关性，请说明理由. 参考公式：相关系数∑∑∑===----=n i ni i in i i iy y x x y y x x r 11221)()())((；回归直线的方程是：a bx y +=∧，其中对应的回归估计值∑∑==---=ni in i i ix x y y x x b 121)())((，x b y a -=，∧i y 是与i x 对应的回归估计值. 参考数据：5.77=x ，875.84=y ，1050)(812≈-∑=i ix x ，457)(812≈-∑=i i y y ，688))((81≈--∑=i i i y y x x ，4.321050≈，4.21457≈，5.23550≈.20.（本小题满分12分）已知P 是圆4:22=+y x C 上的动点，P 在x 轴上的射影为P '，点M 满足P M '=，当P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）经过点)2,0(A 的直线l 与曲线E 相交于点D C ,，并且AC =l 的方程. 21.（本小题满分12分） 已知函数xx x f )1ln(1)(++=. （1）求函数)(x f 的图象在点1=x 处的切线的斜率；（2）若当0>x 时，1)(+>x k x f 恒成立，求正整数k 的最大值. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABDC 内接于圆，过B 作腰AC 的平行线BE 交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，1==ED PC ，2=PA .（1）求AC 的长；（2）求证：EF BE =.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为)0,(sin 1cos 2πααα<<⎩⎨⎧+=+=为参数t t y t x ，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为)1,2(P ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且328=⋅PB PA ，求αtan 的值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数R x a x x x f ∈-+-=,25)(. （1）求证：当21-=a 时，不等式1)(ln >x f 成立； （2）关于x 的不等式a x f ≥)(在R 上恒成立，求实数a 的最大值.高考一轮复习：。
2015-2016学年河北省石家庄市高一(上)期末数学试卷
） 的图象 （
）
10． （5.00 分）已知 f（x）=Asin（ωx+φ） ， （A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一
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部分如图所示，则 f（x）解析式是（
）
A．f（x）=2sin（ x﹣．f（x）=2sin（ x+ ） D．f（x）=2sin（2x+
21． （12.00 分）如图，在△ABC 中，已知 AB=3，BC=4，∠ABC=60°，BD 为 AC 边 上的中线． （1）设 = ， = ，用 ， 表示向量 ；
（2）求中线 BD 的长．
22． （12.00 分）已知函数 f（x）=1﹣ 调性定义证明． 23． （12.00 分）已知函数 f（x）=2sin2（ （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）若不等式 f（x）﹣m+1＜0 在[ 24． （12.00 分）对于函数 f（x）=log （1）求函数 f（x）的最小值 g（a） ；
）
5． （5.00 分）下列函数在区间（0，+∞）上，随着 x 的增大，函数值的增长速度 越来越慢的是（ ）
A．y=2x B．y=x2 C．y=x D．y=log2x 6． （5.00 分）三个数 0.90.3，log3π，log20.9 的大小关系为（ A．log20.9＜0.90.3＜log3π C．0.90.3＜log20.9＜log3π 7． （5.00 分）若 sin（α+ A．﹣ B． C． B．log20.9＜log3π＜0.90.3 D．log3π＜log20.9＜0.90.3 ）= ，且 α∈（ D．﹣ ） ， ） ，则 cosα=（ ） ）
A． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B． （﹣2，2） C．[﹣2，2] ∪[2，+∞）
高一上册期末数学试题带答案
高一上册期末数学试题带答案一、选择题1．若全集{1,2,3,4,5,6},{1,4},{2,3}U M N ，则集合{5,6}等于（ ）A ．M N ⋃B ．M N ⋂C ．()()U UM N D ．()()U UM N2．函数1()3f x x =+的定义域为（ ） A ．(3,0]- B ．(3,1]- C ．(,3)(3,0]-∞-- D ．(,3)(3,1]-∞-- 3．若cos 0,tan 0αα>>，则角α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =-上，则sin 2α的值为（ ）．A ．45-B ．45±C ．35D ． 5．已知函数()2x f x e x =--有一个零点所在的区间为()()*,1k k k N +∈，则k 可能等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．为净化水质，向游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：小时）的变化关系为220()t aC t t b+=+（,a b 为常数，0t ≥），当0t =时池水中药品的浓度为0mg /L ，当1t =小时池水中药品的浓度为4mg /L ，则池水中药品达到最大浓度需要（ ） A ．2小时B ．3小时C ．4小时D ．5小时7．若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20f x f x +-≥的解集为（ ） A ．(],2-∞ B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞8．已知()2xf x x =+，[](),M a b a b =<，(){}4,N y y f x x M ==∈∣，则使得M N 的实数对(),a b 有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题9．具有性质： ()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负“变换的函数，下列函数中满足“倒负“变换的函数是（ ）A ．()2f x x x =-B ．()1f x x x=-C ．()1f x x x=+D ．(),010,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩10．下列叙述中不正确的是（ ）A ．若0a ≠，,b c R ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“240b ac -≤”B ．若,,a b c ∈R ，则“22ac bc >”的充要条件是“a b >”C ．“0a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的充分不必要条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 11．若0a b <<，则下列不等式不可能成立的是（ ） A ．11a b a>- B ．a b > C ．11<a bD ．22a b >12．已知函数()()1sin cos cos sin 2f x x x x x =-++，下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．函数图象关于直线4x π=对称C ．函数在3,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．方程()10f x +=有无数个解三、多选题13．已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________.14．设22a b m ==，且112a b+=，则m =_________.15．将函数()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图像，则()g x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为_______.16．函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 取值范围为________. 四、解答题17．设32:1,:|1|(0)23x p q x a a x --<>-． （1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，P 为该图像的最高点.（1）若2πω=，求cos APB ∠的值；（2）若PAB 45∠=︒，P 的坐标为()1,2，求()f x 的解析式.19．已知函数1()(0xxb f x a a a -=+>且1)a ≠是奇函数． （1）求b 的值；（2）令函数()()1x g x f x a =--，若关于x 的方程2()3t g x t +=+在R 上有解，求实数t 的取值范围．20．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深/米7.05.03.05.07.05.03.05.0()()sin ,0,2f t A t B A πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来描述.（1）根据以上数据，求出函数()()sin f t A t B ωϕ=++的表达式；（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？21．已知函数()f x x x a =-为R 上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）若不等式()()2sin 2cos 0f x f t x +-≥对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的最小值．22．已知函数2()24f x x ax =-+，()g x = （Ⅰ）求函数()lg(tan 1)(12cos )h x x g x =-+-的定义域；（Ⅱ）若函数()2sin 23m x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()[()] n x f m x =的最小值；（结果用含a 的式子表示）（Ⅲ）当0a =时()4,0,()()4,0,f x x F x f x x -≥⎧=⎨-+<⎩，是否存在实数b ，对于任意x ∈R ，不等式()2221(32)2(1)4F bx x F bx b x bx -++->+--恒成立，若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】由集合{5,6}，根据全集{1,2,3,4,5,6},{1,4},{2,3}U M N，分别求得()(),U U M N 再判断. 【详解】 因为全集{1,2,3,4,5,6},{1,4},{2,3}UM N ，(){}(){}2,3,5,6,1,4,5,6U U M N ==， ()(){}5,6UU M N ⋂=，故选：C【分析】直接利用负数不能开偶次方根和分母不能为零求解. 【详解】因为030x x -≥⎧⎨+≠⎩，所以0x ≤且3x ≠-，所以函数1()3f x x =+的定义域为(,3)(3,0]-∞--， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 3．A 【分析】根据余弦函数、正切函数的正负性的性质进行求解即可. 【详解】因为cos 0α>，所以角α的终边可能位于第一或第四象限，也可能与横轴的正半轴重合； 又因为tan 0α>，所以角α的终边可能位于第一或第三象限. 因为cos 0,tan 0αα>>同时成立，所以角α的终边只能位于第一象限. 于是角α是第一象限角. 故选：A 【点睛】本题考查了余弦函数和正切函数的正负性的性质，属于基础题. 4．A 【分析】根据角的终边所在直线斜率得tan α，然后应用二倍角公式并转化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，化为tan α，代入计算． 【详解】 由题意tan 2α，22222sin cos 2tan 2(2)4sin 2sin cos tan 1(2)15ααααααα⨯-====-++-+．故选：A ．【分析】根据零点存在性定理可得答案. 【详解】因为(1)120f e =--<，2(2)220f e =-->，3(3)320f e =-->，4(4)420f e =-->， 所以(1)(2)0f f <，且函数的图象连续不断，所以函数()2x f x e x =--有一个零点所在的区间为(1,2)，故k 可能等于1. 故选：B 6．A 【分析】由题意求出解析式，再由定义证明4,0y t t t=+>的单调性得出其最小值，进而得出池水中药品达到最大浓度需要的时间. 【详解】由题意可得02041a ba b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得0,4a b ==当0t =时，(0)0C =，当0t >时，22020()44t C t t t t==++令4,0y t t t=+>任取()12,0,t t ∈+∞，且12t t <，则()()121212121212444t t t t y y t t t t t t --⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭ 当2t ≥时，12120,4t t t t -<>，即12y y <；当02t <<时，12120,4t t t t -<<，即12y y > 则函数4,0y t t t=+>在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，即min 4224t t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即当2t =时，max ()(2)5C t C == 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由定义证明函数4,0y t t t=+>的单调性进而得出其最小值.7．B 【分析】由奇函数性质结合已知单调性得出函数在R 上的单调性，再由奇函数把不等式化为(2)()f x f x -≥-，然后由单调性可解得不等式．【详解】∵()f x 是奇函数，在(,0]-∞上递减，则()f x 在[0,)+∞上递减， ∴()f x 在R 上是减函数，又由()f x 是奇函数，则不等式()()20f x f x +-≥可化为(2)()f x f x -≥-， ∴2x x -≤-，1x ≤． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性．这类问题常常有两种类型： （1）()f x 为奇函数，确定函数在定义域内单调，不等式为12()()0f x f x +>转化为12()()f x f x >-，然后由单调性去掉函数符号“f ”，再求解；（2）()f x 是偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调，不等式为12()()f x f x >，首先转化为12()()f x f x >，然后由单调性化简． 8．D 【分析】先判断函数()2xf x x =+是奇函数，且在R 上单调递增；根据题中条件，得到()()44f a a f b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，求解，即可得出结果. 【详解】因为()2xf x x =+的定义域为R ，显然定义域关于原点对称，又()()22x xf x f x x x --==-=--++， 所以()f x 是奇函数， 当0x ≥时，()21222x x f x x x x ===-+++显然单调递增；所以当0x <时，()2x f x x =-+也单调递增；又()00f =，所以函数()2xf x x =+是连续函数； 因此()2xf x x =+在R 上单调递增；当[],x M a b ∈=时，()()()44,4y f x f a f b =∈⎡⎤⎣⎦，因为(){}4,N yy f x x M ==∈∣，所以为使M N ，必有()()44f a af b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩，即4242aa ab b b a b⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪<⎪⎩，解得22a b =-⎧⎨=⎩或20a b =-⎧⎨=⎩或02a b =⎧⎨=⎩，即使得M N 的实数对(),a b 有()2,2-，()2,0-，()0,2，共3对. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于先根据函数解析式，判断函数()f x 是奇函数，且在R 上单调递增，得出[],x M a b ∈=时，()4y f x =的值域，列出方程，即可求解.二、填空题9．BD 【分析】根据中给出的“倒负”变换的函数的定义，对四个选项中的函数进行逐一的判断即可． 【详解】解：对于A ，()2f x x x =-，则()2111f f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足“倒负”变换的函数的定义，故选项A 错误； 对于B ，1()f x x x =-，因为11()()f x f x x x=-=-，满足“倒负”变换的函数的定义，故选项B 正确；对于C ，()1f x x x=+，因为11()()()f x f x f x x x =+=≠-，不满足“倒负”变换的函数的定义，故选项C 错误； 对于D ，,01()0,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩，当01x <<时，11()()1f x f x x x =-=-=-， 当1x =时，1()0()f f x x==-，当1x >时，111()()()f f x xxx==--=-，满足“倒负”变换的函数的定义，故选项D 正确； 故选：BD ．10．ABC 【分析】当1a =-，0b =，0c ，判断A 选项错误；当1a =，0b =，0c 判断B 选项错误；根据 “0a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的充要条件判断C 选项错误；根据不等式性质判断D 选项正确 【详解】解：A 选项：当1a =-，0b =，0c 此时240b ac -≤，但20ax bx c ++≤，故A 选项错误；B 选项：当1a =，0b =，0c 此时a b >，但22ac bc =，故B 选项错误；C 选项：方程20x x a ++=有一个正根和一个负根等价于0a <，所以“0a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的充要条件，故C 选项错误；D 选项：因为1a >⇒11a <，所以充分性满足 ，因为11a<⇒0a <或1a >，所以必要性不满足，故D 选项正确； 故选：ABC 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、一元二次不等式的求解、一元二次方程的根的分布、不等式的性质，是中档题. 11．AC 【分析】根据题干0a b <<，逐一分析判断选项即可. 【详解】因为0a b <<，对A ，可得0a b a >->，所以11a b a<-，故A 错；对B ，a b >成立，故B 正确；对C ，11a b>，故C 错误；对D ，a b >，所以22a b >成立，故D 正确. 故选：AC 12．BC 【分析】A 选项，计算()f x π+，判定()()f x f x π+≠，可得A 错；B 选项，计算4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭与4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得出44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得B 正确； C 选项，由3,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，化简()cos f x x =，可得C 正确；D 选项，讨论x 的范围，去绝对值，求出()f x 的值域，可判断D 错. 【详解】 A 选项，()()()()()1sin cos cos sin 2f x x x x x πππππ⎡⎤+=+-+++++⎣⎦ ()()()11sin cos cos sin sin cos cos sin 22x x x x x x x x f x =-+--=---≠， 所以π不是()f x 的周期，故A 错；B 选项，1sin cos cos sin 424444f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12x x x x x x x x ⎫=⎪⎪⎭)12x x =； 1sin cos cos sin 424444f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12x x x x x x x x ⎫=+⎪⎪⎭)12x x =， 所以44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；即B 正确；C 选项，cos sin 4x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，当3,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,244x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 04x x x π⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，此时()()()11sin cos cos sin cos sin cos sin cos 22f x x x x x x x x x x =-++=-++=，根据余弦函数的单调性，可得，其在3,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上显然单调递增，即C 正确；D 选项，由sin cos 04x x x π⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭可得()224Z k x k k ππππ≤-≤+∈，则()52244k x k k Z ππππ+≤≤+∈；此时()()1sin cos cos sin sin 2f x x x x x x ⎡⎤=-++=∈⎢⎥⎣⎦；由sin cos 04x x x π⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭可得()224k x k k Z ππππ-+<-<∈，则()32244k x k k Z ππππ-+<<+∈；此时()()1sin cos cos sin cos 2f x x x x x x ⎛⎤=-++=∈ ⎥ ⎝⎦；综上，()f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()112f x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此方程()10f x +=无解，即D 错； 故选：BC. 【点睛】 思路点睛：判定含三角函数的函数对称性、周期性、单调性等问题时，一般可根据正弦（余弦、正切）函数的性质，利用代入验证的方法判定对称性和周期性；求解最值或研究方程根的问题时，可先判断函数单调性，进而即可求解.三、多选题 13．18a >【分析】转化为命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，根据二次函数知识列式可解得结果. 【详解】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题， 所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >【点睛】关键点点睛：转化为命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题求解是解题关键. 14．2 【分析】先利用22a b m ==判断出a=b ，并进行指对数互化，由112a b+=求出a=1，即可求出m .【详解】 ∵22a b m == ∴2log a b m == 又112a b+=， ∴2log 1a b m ===∴m =2 故答案为：2 【点睛】指、对数运算技巧： (1)应用常用对数值； (2)灵活应用对数的运算性质； (3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构．15．⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用三角函数的性质进行伸缩和平移，然后，利用三角函数的单调性即可求解值域 【详解】由题意得，()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，这时变为cos(2)6y x π=-，再把得到的图像向左平移6π个单位长度，这时变为cos 2()cos(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=-⎢⎥⎣⎦，所以，()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵52,626x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴()g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．8[,6)3【分析】根据指数函数和一次函数的性质，得出关于a 的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，可得13021322a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-+⎪⎩，解得863a ≤<，即实数a 取值范围8[,6)3.故答案为：8[,6)3.【点睛】利用函数的单调性求解参数的取值范围：根据函数的单调性，将题设条件转化为函数的不等式（组），即可求出参数的值或范围；若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的.四、解答题17．（1）(2,)+∞ ；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦．【分析】设命题p 、q 对应的集合分别为A 、B ，化简集合A ，B ， （1）由题意可得A B ，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围；（2）由题意可得A ⊇B ，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】设32|123x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，所以3|12A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭， 设{}||1|B x x a =-<，所以{}|11B x a x a =-<<+， （1）因为p 是q 的充分不必要条件，所以31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(1,1)a a -+，即11312a a -<-⎧⎪⎨+≥⎪⎩，所以实数a 的取值范围为(2,)+∞； （2）因为p 是q 的必要条件，所以31,(1,1)2a a ⎡⎫-⊇-+⎪⎢⎣⎭，即11312a a -≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【点睛】方法点睛：充分不必要条件可根据如下规则转化：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对应集合与p 对应集合互不包含．18．（1）6565；（2）()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【分析】 (1) 由2πω=，则2242AB πππω===，由周期可分别求出,AQ BQ ,进一步求出,AP BP ，由余弦定理可得答案.(2)由条件可得2AQ QP ==，即8T =，所以4πω=，又(1)2sin()24f πϕ=+=可得答案.【详解】解析：（1）由题设可知，由2πω=，则2242AB πππω===在APB △中，max ()2PQ f x ==，则14T AQ ==,334T BQ == 所以222145AP AQ PQ =+=+=，222223213BP PQ BQ =+=+=，由余弦定理可得：2225131665cos 2652513AP PB AB APB AP BP+-+-∠===⋅⋅⨯⨯.（2）由PAB 45∠=︒，P 的坐标为()1,2,所以在APQ ，2AQ QP == 易知24T=，8T =，所以4πω=， 又(1)2sin()24f πϕ=+=，则2,42k k Z ππϕπ+=+∈又02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.19．(1) 0b = (2) 532t -<<- 【分析】（1）由()f x 的定义域为R ，且奇函数，则(0)0f =，从而可求出答案.(2)由题意1()1x g x a -=-，先求出函数()g x 的值域，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则max 2()3t g x t +>+，从而得出答案. 【详解】 (1)函数1()(0)x x b f x a a a-=+>的定义域为R ,又()f x 是奇函数 所以(0)110f b b =+-==当0b =时，1()xx f x a a =-，11()()xx x xf x a a f x a a --⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭-- 满足()f x 是奇函数，所以0b = (2) 11()()111x x xx xg x f x a a a a a --=--=--=- 由0x a >，则10x a >，所以10x a -<，所以111xa -<-- 即()g x 的值域为()1-∞-，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则213t t +<-+，解得532t -<<- 所以满足条件的实数t 的取值范围：532t -<<-20．（1）()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【分析】由表格易知()()max min 7,3f t f t ==，由()()()()max minmax min,22f t f t f t f t A B -+==，求得A ，B ，再根据14212T =-=和2t =时，函数取得最大值，分别求得,ωϕ即可.（2）根据货船需要的安全水深度为6，由()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭求解.【详解】由表格可知()()max min 7,3f t f t ==,， 则()()()()max minmax min2,522f t f t f t f t A B -+====，又214212,6T T ππω=-===， 当2t =时，()22sin 2576f πϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以232k ππϕπ+=+，又2πϕ<， 所以6π=ϕ， 所以()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）因为货船需要的安全水深度为6，所以()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，即1sin 662t ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以5226666k t k ππππππ+≤+≤+， 即12412k t k ≤≤+， 又因为[]0,24t ∈，当0k =时，[]0,4t ∈，当1k =时，[]12,16t ∈，所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【点睛】方法点睛：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象或表格确定A ，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准“零点”或“最大（小）值点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 21．（1）0a =；（2）14．【分析】（1）由奇函数得到()x x a x x a -⋅--=-⋅-，再由多项式相等可得a ；（2）由()f x 是奇函数和已知得到()()2sin 2cos f x f x t ≥-，再利用()f x 是R 上的单调增函数得到2sin 2cos x x t ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．利用参数分离得22cos sin t x x ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，再求22cos sin x x -，π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最大值可得答案．【详解】（1）因为函数()f x x x a =-为R 上的奇函数， 所以()()f x f x -=-对任意x ∈R 成立， 即()x x a x x a -⋅--=-⋅-对任意x ∈R 成立， 所以--=-x a x a ，所以0a =．（2）由()()2sin 2cos 0f x f t x +-≥得()()2sin 2cos f x f t x ≥--，因为函数()f x 为R 上的奇函数， 所以()()2sin 2cos f x f x t ≥-．由（1）得，()22,0,,0,x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩是R 上的单调增函数，故2sin 2cos x x t ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．所以22cos sin t x x ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．因为()2222cos sin cos 2cos 1cos 12x x x x x -=+-=+-， 令cos m x =，由π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得1cos 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即11,2m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．所以()212y m =+-的最大值为14，故14t ≥，即t 的最小值为14．【点睛】本题考查了函数的性质，不等式恒成立的问题，第二问的关键点是根据函数的为单调递增函数，得到2sin 2cos x x t ≥-，再利用参数分离后求22cos sin x x -π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.22．（Ⅰ）532,22,23242k k k k ππππππππ⎡⎫⎛⎫++⋃++⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭， k Z ∈；（Ⅱ）2min52(1),()4(12),84(2),a a n x a a a a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩；（Ⅲ）不存在，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）根据函数解析式，得到tan 10,12cos 0,x x ->⎧⎨-≥⎩由三角函数性质，求解不等式，即可得出定义域；（Ⅱ）先根据正弦型函数的性质，得到1()2m x ≤≤，令()t m x =，2()()24n x f t t at ==-+，讨论1a ≤，2a ≥，12a <<，结合二次函数的性质，即可求出结果；（Ⅲ）当0a =时，先得到()F x 的解析式，推出()F x 在R 上单调递增且为奇函数，结合题中条件，得到对于任意x ∈R ，不等式()222121(23)23F bx x bx x F bx bx -++-+>-+-恒成立．令()()G x F x x =+，根据函数单调性，推出22(1)40bx b x -++>在R 上恒成立，讨论0b <，0b >两种情况，结合二次函数的性质，分别求解，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）根据题意，得tan 10,12cos 0,x x ->⎧⎨-≥⎩即,42522,33k x k k x k ππππππππ⎧+<<+⎪⎪⎨⎪+≤≤+⎪⎩k Z ∈ ∴2232k x k ππππ+≤<+，k Z ∈或532242k x k ππππ+<<+，k Z ∈ ∴函数()h x 的定义域为532,22,23242k k k k ππππππππ⎡⎫⎛⎫++⋃++⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，k Z ∈． （Ⅱ）∵42ππx ≤≤，∴22x ππ≤≤，∴22633x πππ≤-≤， ∴1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，∴12sin 223x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，即1()2m x ≤≤． 令()t m x =，则[1,2]t ∈，2()()24n x f t t at ==-+，[1,2]t ∈． ∵函数()f x 的图像关于直线x a =对称，（1）当1a ≤时，()f t 在[1,2]上单调递增，∴min ()(1)52f t f a ==-． （2）当2a ≥时，()f t 在[1,2]上单调递减，∴min ()(2)84f t f a ==-．（3）当12a <<时，2min ()()4f t f a a ==-．∴函数[]()()n x f m x =的最小值2min52(1),()4(12),84(2),a a n x a a a a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩． （Ⅲ）∵22,0,(),0,x x F x x x ⎧≥=⎨-<⎩∴()F x 在R 上单调递增且为奇函数． 又∵对于任意x ∈R ，不等式()2221(32)2(1)4F bx x F bx b x bx -++->+--恒成立．∴对于任意x ∈R ，不等式()222121(23)23F bx x bx x F bx bx -++-+>-+-恒成立．令()()G x F x x =+，则()G x 在R 上单调递增，又∵()221(23)G bx x G bx -+>-，∴对于任意x ∈R ，不等式22123bx x bx -+>-在R 上恒成立， 即22(1)40bx b x -++>在R 上恒成立． 当0b <时，不合题意．当0b =时，不合题意．当0b >时，则20,4(1)160,b b b >⎧⎨+-<⎩即20,210,b b b >⎧⎨-+<⎩不合题意． 综上所述，不存在符合条件的实数b ，使得对于任意x ∈R ，不等式()2221(32)2(1)4F bx x F bx b x bx -++->+--恒成立．【点睛】 关键点点睛：求解本题第三问的关键在于先由题中条件，判断()F x 的单调性和奇偶性，将题中所给条件转化为不等式22123bx x bx -+>-在R 上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.。
2016届河北省正定中学高一下学期期末考试数学试题(含答案)
2013-2014学年高一下学期期末考试试题数学一 、选择题。
(每小题5分，共60分)1.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R AC B =.(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D -2.已知θ是直线2y x =的倾斜角，则=θcosA . 55-B . 55C .552-D .552 3. 等差数列{}n a 中，()()3456814164336a a a a a a a ++++++=，那么该数列的前14项和为A .20B . 21C .42D .844.若直线1l ：03)1(=--+y a ax 与直线2l ：02)32()1(=-++-y a x a 互相垂直，则a的值为A .3-B . 21-C . 0或23- D . 1或3- 5. 已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为A .3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B . 4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C .3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D .4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，6. 若13(,1),ln ,2ln ,ln x ea xb xc x -∈===则A .c b a <<B . b a c <<C .c a b <<D .a c b <<7.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为A .8B . 7C .2D .1 8.在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )A ．30B ．45C ．60D ．90 9. 任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是A .相离B .相切C .相交但直线不过圆心D .相交且直线过圆心10. 已知一个实心铁质的几何体的主视图、左视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为AA BC D PPDBCP 1222260主视图左视图俯视图A . 32216πB .3216πC . 32210πD . 3210π11. 正项等比数列{}n a 满足1232a a a +=，若存在两项 n m a a , ，使得 14a a a n m =•， 则nm 41+的最小值是 A .625 B .35C .23D .不存在 12.已知函数)0()(2>++=a c bx ax x f 的零点为21,x x （21x x <）；)(x f 的最小值[]210,x x y ∈则函数))((x f f y =的零点个数是A .2或3B . 3或4C .3D .4二、填空题。
河北石家庄市2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题
河北省石家庄市2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 化简=--+CD AC BD ABA.0；B.BC ；C.0；D. ；2. 函数1f (x )lg x=+ A.(0，2] B.(0，2) C.(01)(12],, D.(2],-∞3. 已知集合{}1,0,1P =-,{}cos ,Q y y x x R ==∈,则P Q =A.PB.QC.{}1,1-D.{}0,1 4. 在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是 A.23BG BE = B.2CG GF = C.12DG AG = D.121332DA FC BC += 5.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，2()2sin f x x x =-，则当0<x 时，)(x f =A ．22sin x x --B ．22sin x x -+C ． 22sin x x +D ．22sin x x -6sin()cos()4242.x x k Z y ππ∈=++设，函数的单调增区间为 A.1[(),(1)]2k k ππ++ B.[(21),2(1)]k k ππ++ C.1[,()]2k k ππ+ D. [2,(21)]k k ππ+ 7.设,cos sin )cos (sin αααα⋅=+f 则)6(sin πf 的值为 A. ;83 B. ;81 C. ;81- D. ;83- 8.若α是第一象限角，则sin cos αα+的值与1的大小关系是A.sin cos 1αα+>B.sin cos 1αα+=C.sin cos 1αα+<D.不能确定9.函数sin(2)3y x π=+的图象可由函数cos y x =的图象A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移6π个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位 C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位 201011()()log ()03()x f x x x f x x x f x =-<<10.已知函数，若实数是函数的零点，且，则的值A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于011．已知tan tan ，αβ是方程240x ++=的两根，且2222，ππππαβ-<<-<<，则αβ+是 222333333A ．或 B ． C ．或 D ．ππππππ---- 12. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当[]0,2-∈x 时，若在区间)6,2(-内关于x 的方程0)2(lo g )(=+-x x f a ,恰有4个不同的实数根，则实数a )1,0(≠>a a 的取值范围是 B.(1,4) C. (1,8) D.)(8,+∞第II 卷（非选择题，共70分）二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分 13,2,3,32a b a b a b a b λλ⊥==+-．已知且与垂直，则实数的值为______；14. 已知40παβ<<<,1312)cos(=-βα,且54)sin(=+βα,则sin 2α的值为_______； 15.在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP =，则AB AD = ．16．已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，则实数b 的取值范围为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分。
河北省正定中学2016届高三上学期期末考试理数试题 Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}3<=x x M ，{}1->=x x N ，全集R U =，则=)(N M C U I A ．{}1-≤x x B ．{}3≥x x C ．{}30<<x x D ．{}31≥-≤x x x 或 【答案】D 【解析】试题分析：由已知{|13}M N x x =-<<I ，所以(){|13}或U C M N x x x =≤-≥I ，故选D ．考点：集合的运算． 2. 已知i iz+=+13，则复数z 在复平面上对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D考点：复数的运算与几何意义．3. 已知函数R x x x x f ∈+=,sin )2cos 1()(2，则)(x f 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】D 【解析】试题分析：221cos 211cos 41()(1cos 2)(1cos 2)sin 22224x x f x x x x --=+⋅=-=-=，()()f x f x -=，()f x 是偶函数，周期为242ππT ==，故选D ．考点：二倍角公式，三角函数的周期与奇偶性．4. 等比数列{}n a 中，4021=+a a ，6043=+a a ，=+87a a A ．135 B ．100 C ．95 D ．80 【答案】A考点：等比数列的性质与通项公式．5. 设函数⎩⎨⎧≥<-+=-1,101),2lg(1)(1x x x x f x ，则=+-)30(lg )98(f f A ．5 B ．6 C ．9 D ．22 【答案】B 【解析】 试题分析：(98)(lg30)f f -+=lg3011lg[2(98)]10-+--+lg30101lg100123610++=++=．故选B ．考点：分段函数，对数的运算．6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为 （ ） A ．4 B ．24 C ．34 D ．8【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥，其底面面积为1(24)262S =⨯+⨯=，高为22(5)12h =-=，所以1162433V Sh ==⨯⨯=．故选A ．考点：三视图，棱锥的体积．7. 过三点)2,1(A ，)2,3(-B ，)2,11(C 的圆交x 轴于N M ,两点，则=MN A ．63 B ．64 C ．21 D ．212 【答案】D考点：圆的方程．8. 根据如图所示程序框图，若输入42=m ，30=n ，则输出m 的值为 A ．0 B ．3 C ．6 D ．12【答案】C考点：程序框图．9. 球O 半径为13=R ，球面上有三点A 、B 、C ，312=AB ，12==BC AC ，则四面体OABC 的体积是A ．360B ．350C ．660D ．650 【答案】A 【解析】试题分析：设ΔABC 外接圆半径为r ，由312=AB ，12==BC AC 得30,120A B C ==︒=︒， 123224r ==，12r =，则O 到面ABC 的距离 222213125d R r =-=-=，又Δ11212sin1203632ABC S =⨯⨯⨯︒=，所以136356033O ABC V -=⨯⨯=，故选A ．考点：棱锥的体积，球的性质．10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下面叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D考点：函数的图象与应用．【名师点睛】本题考查函数的图象，题中给出一个新概念“燃油效率”，正确理解新概念是解题的基础与关键，题中“燃油效率”是汽车每消耗1升汽油所行驶的路程，因此“燃油效率”越高，则每消耗1升汽油所行驶的路程越多或者是行驶同样的距离消耗的汽油越少，其次“燃油效率”与汽车行驶速度有关，本题图形就是反应速度与“燃油效率”的关系的图象．只要正确理解了图象，就能判别题中每个命题的正确性．11. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的左，右顶点为B A ,，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角θ满足31cos -=θ，则E 的离心率为 A ．5 B ．2 C ．3 D ．2 【答案】C考点：双曲线的几何性质．【名师点睛】求圆锥曲线的离心率，一般要寻找到关于,,a b c 的一个等式，这个等式可化为关于e 的方程，解之可得．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.12. 设函数)(x f '是偶函数))((R x x f ∈的导函数，)(x f 在区间),0(+∞上的唯一零点为2，并且当)1,1(-∈x 时，0)()(<+'x f x f x ，则使得0)(<x f 成立的x 的取值范围是 A ．)2,0()0,2(Y - B ．),2()2,(+∞--∞Y C ．)1,1(- D ．)2,2(- 【答案】D 【解析】试题分析：设()()g x xf x =，则'()'()()g x xf x f x =+，由题意'()0g x <（(1,1)x ∈-），所以()gx 在(1,1)-上单调递减，又(0)0g =，所以(0,1)x ∈时，()()0g x xf x =<，()0f x <，同理当(1,0)x ∈-时，()0f x <，又0'(0)(0)0f f ⨯+<，即(0)0f <，在(0,)+∞上()f x 只有唯一的零点2，因此当12x ≤<时()0f x <，当2x >时，()0f x >，由于()f x 是偶函数，因此当21x -<≤-时，()0f x <，当2x <-时，()0f x >，(2)(2)0f f -==，综上可知()0f x <的解集是(2,2)-．故选D ．考点：函数的零点，导数与单调性，函数的奇偶性．【名题点睛】本题考查导数的应用，解题的关键是构造新函数，结合导数的运算法则构造出新函数能根据已知条件判断单调性，利用单调性判断出新函数()()g x xf x =的正负，从而确定()f x 的部分正负性，然后再由函数()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点，确定不等式的解集．这考查了学生的创新能力，分析与转化能力．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量a ，b 是相互垂直的单位向量，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数=λ________. 【答案】2考点：向量的数量积与垂直．14. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤--020063y x y x y x ，则y x z 2-=的最大值为_______.【答案】2 【解析】试题分析：作出题中约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），再作直线:20l x y -=，当直线l 向下平移时，2z x y =-增大，因此当l 过点(2,0)B 时，2z x y =-取得最大值2．考点：简单的线性规划问题．15. 已知对任意实数x ，有7722106)1)((x a x a x a a x x m +⋅⋅⋅+++=++，若327531=+++a a a a ，则=m ____.【答案】0考点：二项式定理．【名师点睛】1．二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．2．一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.16. 已知数列{}n a 满足11=a ，)2(1222≥-=n S S a n nn ，其中n S 为{}n a 的前n 项和，则=2016S ________.【答案】40311 【解析】试题分析：2n ≥时，21221nn n n n S a S S S -=-=-，整理得1112n n S S --=，所以数列1{}n S 是公差为2的等差数列，又11111S a ==，所以112(1)21n n n S =+-=-，121n S n =-，所以2016112201614031S ==⨯-． 考点：等差数列的通项公式；已知n S 与n a 关系，求通项公式．【名师点睛】1．数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．2．在已知n S 与n a 关系求通项公式时，一般化n S 为n a ，但有时也利用1n n n a S S -=-，把条件化为{}n S 的递推式，求出n S 后再求n a .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且a A b B A a 35cos sin sin 2=+.（1）求ab；（2）若22258b a c +=，求角C .【答案】（1）53；（2）23π．由余弦定理得21532492592cos 222222-=⋅⋅-+=-+=t t t t t ab c b a C . 所以32π=C . .................12分 考点：正弦定理，余弦定理． 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 平面ABC ，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1. （1）证明：BC DC ⊥1；（2）设21=AA ，11B A 的中点为P ，求点P 到平面1BDC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）64．考点：线面垂直的性质，点到平面的距离．19.（本小题满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：95,90,85,80,75,70,65,60，物理分数从小到大排序是：95,93,90,88,84,80,77,72.①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱.如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到01.0）；如果不具有线性相关性，请说明理由.参考公式：相关系数∑∑∑===----=niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()())((；回归直线的方程是：abxy+=∧，其中对应的回归估计值∑∑==---=niiniiixxyyxxb121)())((，xbya-=，∧iy是与ix对应的回归估计值.参考数据：5.77=x，875.84=y，1050)(812≈-∑=iixx，457)(812≈-∑=iiyy，688))((81≈--∑=iiiyyxx，4.321050≈，4.21457≈，5.23550≈.【答案】（1）315525CC；（2）①114；②线性回归方程是73.3366.0+=∧xy.试题解析：（1）应选女生540825=⨯位，男生340815=⨯位，可以得到不同的样本个数是315525C C ...3分（2）①这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是3334A C （或34A ），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是55A ，根据乘法原理，满足条件的种数是553334A A C .这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有88A 种.故所求的概率14188553334==A A A C P . ................6分 考点：分层抽样，分步乘法原理，古典概型，线性回归方程．20.（本小题满分12分）已知P 是圆4:22=+y x C 上的动点，P 在x 轴上的射影为P '，点M 满足P M '=，当P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）经过点)2,0(A 的直线l 与曲线E 相交于点D C ,，并且AD AC 53=，求直线l 的方程. 【答案】(1) 1422=+y x ；（2）2+±=x y . 【解析】（2）经检验，当直线x l ⊥轴时，题目条件不成立，所以直线l 存在斜率.设直线2:+=kx y l . 设),(),,(2211y x D y x C ，则01216)41(2142222=++⎪⎩⎪⎨⎧+⇒+==+kx x k kx y y x . ................6分 012)41(4)16(22>⋅+-=∆k k ，得432>k . 2214116k k x x +-=+①，2214112k x x +=②， ...................8分 又由53=，得2153x x =，将它代入①，②得12=k ，1±=k （满足432>k ）.所以直线l 的斜率为1±=k .所以直线l 的方程为2+±=x y . ...............12分 考点：代入转移法求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系．【名师点睛】求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系或F (x ，y )＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程．本题就是用代入转移法求曲线方程．21. （本小题满分12分）已知函数xx x f )1ln(1)(++=. （1）求函数)(x f 的图象在点1=x 处的切线的斜率；（2）若当0>x 时，1)(+>x k x f 恒成立，求正整数k 的最大值. 【答案】（1）1ln 22--；（2）3．（2）当0>x 时，1)(+>x k x f 即k x x x x h >+++=)]1ln(1)[1()(对0>x 恒成立.即)0)((>x x h 的最小值大于k . ................................5分2)1ln(1)(xx x x h +--='，记)0)(1ln(1)(>+--=x x x x ϕ， 则01)(>+='x x x ϕ，所以)(x ϕ在),0(+∞上连续递增. ...................7分考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性，函数的极值，不等式恒成立．【名师点睛】1.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解． 2．解决含参数问题及不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABDC 内接于圆，过B 作腰AC 的平行线BE 交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，1==ED PC ，2=PA .（1）求AC 的长；（2）求证：EF BE =.【答案】（1）2；（2）证明见解析．考点：切割线定理，相交弦定理，相似三角形．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为)0,(sin 1cos 2πααα<<⎩⎨⎧+=+=为参数t t y t x ，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为)1,2(P ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且328=⋅PB PA ，求αtan 的值.【答案】（1）x y 42=；（2）3tan =α或3tan -=α. 【解析】考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数R x a x x x f ∈-+-=,25)(. （1）求证：当21-=a 时，不等式1)(ln >x f 成立； （2）关于x 的不等式a x f ≥)(在R 上恒成立，求实数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）54． 【解析】 试题分析：（1）要证此不等式，只要求得()f x 的最小值即可证明；（2）不等式()f x a ≥恒成立，同样是求出()f x 的最小值，由最小值a ≥，求得a 的范围．第（1）小题如果从绝对值的几何意义出发求最小值将更简单，第（2）小题由绝对值的性质求最小值，比较简捷．考点：含绝对值的函数（分段函数）的最值，绝对值的性质，绝对值不等式．。
2016-2017学年河北省定州市高一上学期期末考试数学试题(解析版)8
高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．已知集合{}{}{|33},2,0,1,1,0,1,2I x Z x A B =∈-<<=-=-，则()I CA B ⋂等于（ ）A. {}1B. {}2C. {}1,2-D. {}1,0,1,2- 【答案】C【解析】{}2,1,0,1,2I =--,{}1,2I C A =-,(){}1,2I C A B ⋂=-.点睛: 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2．计算sin tan 63ππ+的值为（ ）A.B. C. 12 D. 12+【答案】D【解析】根据特殊角的三角函数值可知，原式12=+ 3．{|02}A x x =≤≤，下列图象中能表示定义域和值域都是A 的函数的是（ ）A. B. C.D.【答案】A【解析】四个选项定义域都为[]0,2， B 选项值域为[]1,2，不符合题意， ,C D 选项值域为{}1,2，不符合题意，故选A .4．= （ ）A. 2lg5B. 0C. 1-D. 2lg5- 【答案】B 【解析】由于lg 5010->-<，所以原式()lg5011lg2lg2502220=---=⨯-=-=.5．已知函数()2(24,x b f x x b -=≤≤为常数）的图象经过点()3,1，则()f x 的值域为 （ ）A. []4,16B. []2,10C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】将()3,1代入函数，得321,30,3b b b -=-==，所以()32x f x -=，在区间[]2,4上为增函数，故值域为()()][12,4,22f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.6．已知向量()()()1,0,0,1,,a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么 （ ）A. 1k =-且c 与d 反向B. 1k =-且c与d 同向 C. 1k =且c 与d 反向 D. 1k =且c与d 同向【答案】A【解析】()(),1,1,1c k d ==-，由于//c b ，所以()110,1k k ⋅--==-，此时()()1,1,1,1,c d c d =-=-=- ，所以,c d 反向，故选A .7．函数sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象经过平移后所得图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，这个平移变换可以是（ ）A. 向左平移8π个单位B. 向左平移4π个单位C. 向右平移8π个单位D. 向右平移4π个单位【答案】C 【解析】令ππ20,1224x x +==-，为原函数零点的横坐标， πππ12248⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故只需向右平移π8个单位. 8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ） A. ()()()123f f f -<< B. ()()()234f f f <<-C. ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D. ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .9．已知5sin ,sin ,cos ,cos ,366313a x x b x x a b ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，且,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则sin2x 的值为（ ）A.B.C.D. 【答案】B 【解析】πππππ5s in c363a b x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以π12cos 2613x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππππs i 66x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 10．函数()()sin (0,0,)2f x A wx A w πϕϕ=+>><的部分图象如图所示，若将()f x 图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A. sin 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图像得1A =，311ππ3π,π,241264T T ω=-===，所以()()s i n 2fx x ϕ=+，横坐标缩短为原来一半，得到πsin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.11．在ABC ∆中，若对任意t R ∈都有2BA tBC BA BC -≥-，则ABC ∆的形状是（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不确定 【答案】A【解析】原不等式两边平方并化简得2222cos 4cos 40a t ac B t ac B a -⋅+-≥恒成立，故其判别式为非正数，即()222224cos 44cos 40a c B a ac B a ∆=--≤，化简得()2cos 20c B a -≤，即c o s 2c B a -=，由正弦定理得()s i nc o s 2s i n 2s i n 2s i n c o s 2c oC B AB C B CB C ==+=+，即2s iBC B C =-，由于sin 0,sin 0BC >>，所以cos ,cos C B 必有一个是负数，故三角形为钝角三角形.点睛：本题主要考查向量运算——平方、数量积等，考查一元二次不等式恒成立问题的求解方法，考查正弦定理和三角形的内角和定理，考查两角和的正弦公式.由于题目涉及到向量的模的不等式，故考虑两边平方进行化简，化简后根据一元二次不等式恒大于零，得到判别式小于或等于零，由此求得边角关系，并用正弦定理和三角形内角和定理进行化简，并判断出三角形的形状.12．设函数()f x 在(),-∞+∞上有意义，对于给定的正数k ，定义函数()()()(),{,k f x f x kf x k f x k<=≥，取()3,2xk k f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()2k k f x =的零点有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 不确定，随k 的变化而变化【答案】C【解析】根据32l o g 333322x⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得333222log 3,log 3log 3x x <-<<，故()3322333223,log 3log 32{3,log 3,log 3xx f x x x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭=≤-≥，要使()332f x =，只能在3322log 3log 3x -<<段取得，即33,1,122xx x ⎛⎫===± ⎪⎝⎭，故零点有两个.点睛：本题主要考查新定义函数的理解，考查指数不等式的解法，考查函数方程与零点问题.首先处理新定义函数的定义域问题，也即是解()f x k <这个指数不等式，指数不等式或者对数不等式的解法常用的是化为同底的方法，结合函数的单调性即可求得x 的范围.确定有解的区间和函数表达式后，解方程可求得x 的值有两个，即有两个零点.二、填空题13．若幂函数()22133m m y m m x --=-+的图象不经过原点，则m 的值是__________． 【答案】1【解析】由于函数为幂函数，故2331m m -+=，解得1,2m m ==，当2m =时，y x =经过原点，故舍去，故1m =，此时1y x=，不经过原点，符合题意. 14．若函数()24x f x x =+-的零点()1,x a b ∈，且1,,b a a b N-=∈，则a b +=__________． 【答案】3【解析】()()110,220f f =-=，故零点在区间()1,2上，故1,2,a b a b ==+=. 15．已知,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足()2220172222αβπα+=+-52πβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则αβ+= __________．【答案】512π【解析】cos 11cos 222αβ+-+=+cos 02αβ-=，αβ=①. ()5πsin 2017πsin 2ααββ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即s i n 2s i n αβ②，①②两式平方相加得22213cos sin 2,cos ,cos 2αααα+===，由于两个角都为锐角，故ππ,cos 46αββ===，所以5π12αβ+=. 16．已知12,e e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=- ，若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅= ，则b =__________．【答案】2【解析】由于两个向量是单位向量，设12,e e所成的角为θ，则1212πcos ,23e e θθ⋅==-= .由于12b e b e ⋅=⋅ ，故b 在12,e e 的角平分线上，故b与它们夹角都为π3，所以1πcos 1,23b e b b ⋅=⋅== .点睛：本题主要考查单位向量的概念，考查两个向量数量积的运算，考查两个向量的夹角.首先根据1212e e ⋅=- ，利用数量积的运算，可求得这两个向量的夹角，根据1210b e b e ⋅=⋅=>可知b 在12,e e 的角平分线上，故b 与它们夹角都为π3，再根据向量的数量积运算，可求得b .三、解答题17．设函数()()ln 2f x x m =-的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B .（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （2）若A B φ⋂=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(],2-∞（2）[)6,+∞【解析】试题分析： ()f x 的定义域为2m x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭， ()g x 的定义域满足30{10x x -≥->，解得13x <≤.（1）由于B 是A 的子集，所以1,22mm ≤≤；（2）由于,A B 交集为空集，所以3,62mm ≥≥. 试题解析：可知集合2m A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{|13}B x x =<≤（1）若B A ⊆，则12m≤，即2m ≤； 故实数m 的取值范围是(],2-∞； （2）若A B φ⋂=，则32m≥，故实数m 的取值范围是[)6,+∞ 18．已知sin cos αα+=，且0απ<<. （1）求tan α的值；（2）求2sin2sin sin cos cos21ααααα+--的值.【答案】（1）tan 3α=-（2）32-【解析】试题分析：（1）联立22{sin cos 1sin cos αααα+=+=，解出sin ,cos αα，进而求得tan α；（2）原式222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-，分子分母同时除以2cos α，转化为含tan α的式子，代入（1）的结论即可求得它的值. 试题解析：（1）由22{5sin cos 1sin cos αααα+=+=，因为0απ<<，解得sin αα==所以tan 3α=-；（2）22sin22tan 3sin sin cos cos21tan tan 22αααααααα==-+--+-.19．设函数()f x a b =⋅，其中向量()()2cos ,1,cos a x b x x == .（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）T π=，递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()max 36f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()min 14f x f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）利用向量数量积的坐标运算，和辅助角公式，化简()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由此求得最小正周期，将π26x +代入正弦函数的递增区间，解出x 的范围即是()f x 的单调递增区间；（2）由（1）知函数在给定区间上递增，故在端点取得最大值和最小值.试题解析：由题意得，得()f x a b =⋅ 2cos cos 2sin 216x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，（1）()f x 的最小正周期为T π=， 由222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）求（1）可知，函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()m a x 36fx f π⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()min 14f x f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭20．在ABC ∆中， 3144AM AB AC =+.（1）求ABM ∆与ABC ∆的面积之比；（2）若N 为AB 中点， AM 与CN交于点P ，且(),A P xA B yA C x y R =+∈ ，求x y +的值. 【答案】（1）14（2）47【解析】试题分析：（1）根据3144AM AB AC =+可得3BM MC = ，故M 是靠近B 的四等分点，所以面积比为1:4；（2）由于,AM AP共线，对比系数可知3x y =.利用,AB AC 表示出,CP NP，再根据这两个向量共线，可求得21x y +=，结合3x y =可求出,x y 的值，进而求得x y +的值.试题解析：（1）在ABC ∆中， 3144AM AB AC =+，可得3BM MC = ，即点M 在线段BC 靠近B 点的四等分点.故ABM ∆与ABC ∆的面积之比为14；（2）因为31,//44AM AB AC AM AP =+，(),AP xAB yAC x y R =+∈，所以3x y =， 因为N为AB 中点，所以1122NP AP AN xAB y AC AB x AB y AC ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭，()1CP AP AC xAB yAC AC xAB y AC =-=+-=+-因为//NP CP ，所以()112x y xy ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即21x y +=，又3x y =，所以31,77x y ==，所以47x y +=.21．某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量P （件）与单价x （元）之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元.（1）根据周销售量图写出P （件）与单价x （元）之间的函数关系式； （2）写出利润y （元）与单价x （元）之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润.【答案】（1）112,50k b =-=， 250,1220,{30,2028,x x P x x -+≤≤=-+<≤（2）当该商品的销售价格为17.5元时，周利润最大为87.5元.【解析】试题分析：（1）在][12,20,20,28⎡⎤⎣⎦这两个区间上，函数图像都是线段，故利用斜截式，列方程组，可求得其函数表达式；（2）利润是销售量乘以每件的利润，再减去固定成本25，结合（1）求得的表达式，可求得y 关于x 的关系式，并利用二次函数配方法可求得最大值. 试题解析：（1）①设当[]12,20x ∈时， 11P k x b =+，代入点()()12,26,20,10， 得112,50k b =-=，②设当(]20,28x ∈时， 22P k x b =+，代入点()()20,10,28,2， 得221,30k b =-=，故周销量P （件）与单价x （元）之间的函数关系式为250,1220,{30,2028,x x P x x -+≤≤=-+<≤（2）()()()()()2501025,1220,1025{301025,2028,x x x y P x x x x -+--≤≤=--=-+--<≤，①当[]12,20x ∈时， 235175222y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以352x =时， max 1752y =；②当(]20,28x ∈时， ()22075y x =--+，可知()22075y x =--+在(]20,28x ∈单调递减，所以75y <，由①②可知，当352x =时， max 1752y =， 故当该商品的销售价格为17.5元时，周利润最大为87.5元.点睛：本题主要考查函数实际应用问题.本题分成两个步骤，第一个步骤是先根据题目所给函数的图像，求出销售量的表达式，这个过程中由于函数图像分成两个线段，故采用设出线段所在直线的斜截式方程，代入点的坐标即可求得函数的解析式.第二问要算利润，即是销售利润减去固定成本，写出利润表达式后利用配方法求最值.22．已知()()2log 2log 3(0m m f x x x m =+->，且1)m ≠ （1）当2m =时，解不等式()0f x <；（2）()0f x <在[]2,4恒成立，求实数m 的取值范围.第 11 页 共 11 页 【答案】（1）1{|2}8x x <<（2）()4,⎛⋃+∞ ⎝. 【解析】试题分析：（1）2m =时，原不等式变为()222log 2log 30x x +-<，解这个一元二次不等式可求得23log 1x -<<，进而求得解集为1{|2}8x x <<；（2）原不等式恒成立，等价于3log 1m x -<<在[]2,4上恒成立.对m 分成， 01,1m m <两类，利用单调性讨论得出m 的取值范围.试题解析：（1）当2m =时，解不等式()0f x <，得()2log 2log 30m m x x +-<， 即23log 1x -<<， 故不等式的解集为1{|2}8x x <<； （2）由()0f x <在[]2,4恒成立，得3log 1m x -<<在[]2,4恒成立，①当1m >时，有3log 2{log 21m m -<<，得4m >， ②当01m <<时，有3log 4{log 21m m -<<，得0m <<， 故实数m的取值范围()4,⎛⋃+∞ ⎝. 点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查恒成立问题的解法，考查分类讨论的数学思想方法.第一问由于m 是已知的，利用一元二次不等式的解法，求得23log 1x -<<，解这个对数不等式可求得不等式的解集.第二问同样利用一元二次不等式的解法，求得3log 1m x -<<，由于m 的范围不确定，故要对m 分成两类，结合单调性来讨论.。
河北省石家庄市高三数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．805．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．226．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．87．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A．B．C．D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．129．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．5010．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A． B．2 C． D．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ=．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m= ．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出M∩N，从而求出M∩N的补集即可．【解答】解：集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则M∩N={x|﹣1＜x＜3}，则∁U（M∩N）={x|x≤﹣1或x≥3}，故选：D．2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： =1+i，∴=（3+i）（1+i）=2+4i，∴z=2﹣4i，则复数z在复平面上对应点（2，﹣4）位于第四象限．故选：D．3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选D．4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．80【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得等比数列的公比q，而7+a8=（a1+a2）q6，代值计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q2===，∴a7+a8=（a1+a2）q6=40×=135，故选：C．5．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．22【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质及对数函数性质、运算法则和换底公式求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣98）=1+lg100=3，f（lg30）=10lg30﹣1==3，∴f（﹣98）+f（lg30）=3+3=6．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面为直角梯形，高为侧视图三角形的高．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，棱锥底面为俯视图中的直角梯形，棱锥的高为侧视图中等腰三角形的高．∴四棱锥的高h==2，∴棱锥的体积V==4．故选A．7．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A．B．C．D．【考点】圆的一般方程．【分析】设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），求出b，r，利用勾股定理求出|MN|．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），可得，解得：b=2，r=5，所以|MN|=2=2，故选：D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；9．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．50【考点】球内接多面体．【分析】求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．【解答】解：∵AB=12，AC=BC=12，∴cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴△ABC的外接圆的半径为=12，∴O到平面ABC的距离为5，∵S△ABC==36，∴四面体OABC的体积是=60．故选：A．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A． B．2 C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．【解答】解：不妨取点M在第一象限，如右图：∵△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，∴|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，∴点M的坐标为（a+，2a•），即（，），又∵点M在双曲线E上，∴将M坐标代入坐标得﹣=1，整理上式得，b2=2a2，而c2=a2+b2=3a2，∴e2==，因此e=，故选：C．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）＜0的解集即可．【解答】解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，1）递减，而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R是奇函数，∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，如图示：，x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：﹣2＜x＜0，综上：x∈（﹣2，2），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直，令数量积为零列方程解出．【解答】解：∵向量，是相互垂直的单位向量，∴=0，．∵λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ﹣2=0．解得λ=2．故答案为2．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC及内部），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（2，0）时，截距取最小值，z取最大值，代值计算可得z的最大值为2，故答案为：2．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m= 0 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，分别令x=1、x=﹣1，可得2个等式，再结合a1+a3+a5+a7=32，求得m的值．【解答】解：对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，令x=1，可得（m+1）（1+1）6=a0+a1+a2+…+a7①，再令x=﹣1，可得（m﹣1）（1﹣1）6=0=a0﹣a1+a2+…﹣a7②，由①﹣②可得 64（m+1）=2（a1+a3+a5+a7）=2×32，∴m=0，故答案为：0．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．【考点】数列的求和．【分析】通过对a n=（n≥2）变形可知2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，进而可知数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n=（n≥2），∴2=2S n a n﹣a n，∴2﹣2S n a n=S n﹣1﹣S n，即2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，∴2=﹣，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，∴S2016==，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，，…即，故．…（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是．即c=7t．…由余弦定理得．所以．…18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由题目条件结合勾股定理，即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，代入运用公式进行计算即可得出答案．【解答】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．∵D为AA1的中点，∴DC=DC1．又，可得，∴DC1⊥DC．而DC1⊥BD，DC∩BD=D，∴DC1⊥平面BCD．∵BC⊂平面BCD，∴DC1⊥BC．…（2）解：由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，∴CA，CB，CC1两两垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．由题意知，，．则，，．设是平面BDC1的法向量，则，即，可取．设点P到平面BDC1的距离为d，则．…12分19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式得出样本个数；（II）（i）使用乘法原理计算；（ii）根据回归方程计算回归系数，得出回归方程．【解答】解：（I）应选女生位，男生位，可以得到不同的样本个数是．（II）（i）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是（或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理，满足条件的种数是．这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种．故所求的概率．（ii）变量y与x的相关系数．可以看出，物理与数学成绩高度正相关．也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图如下：从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关．设y与x的线性回归方程是，根据所给数据，可以计算出，a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，所以y与x的线性回归方程是．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）利用代入法，求曲线E的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l：y=kx+2与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量得出坐标关系，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．【解答】解：（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆x2+4y2=4上，所以x2+4y2=4，即…..（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率．设直线l：y=kx+2．设C（x1，y1），D（x2，y2），则．…△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．…．①，…②．…又由，得，将它代入①，②得k2=1，k=±1（满足）．所以直线l的斜率为k=±1．所以直线l的方程为y=±x+2…21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）即可；（Ⅱ）问题转化为对x＞0恒成立，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出正整数k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣+，∴…（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即对x＞0恒成立．即h（x）（x＞0）的最小值大于k．…，，记ϕ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0）则，所以ϕ（x）在（0，+∞）上连续递增．…又ϕ（2）=1﹣ln3＜0，ϕ（3）=2﹣2ln2＞0，所以ϕ（x）存在唯一零点x0，且满足x0∈（2，3），x0=1+ln（x0+1）．…由x＞x0时，ϕ（x）＞0，h'（x）＞0；0＜x＜x0时，ϕ（x）＜0，h'（x）＜0知：h（x）的最小值为．所以正整数k的最大值为3．…请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，从而求得AC的长；（II）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系．【解答】解：（I）∵PA2=PC•PD，PA=2，PC=1，∴PD=4，…又∵PC=ED=1，∴CE=2，∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴，…∴AC2=PC•AB=2，∴…证明：（II）∵，CE=2，而CE•ED=BE•EF，…∴，∴EF=BE．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．【解答】解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，所以，或，即或．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。
定州中学高一数学上学期期末考试试题
河北定州中学2016—2017学年度第一学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题1．已知集合{}{}24|0log 1,|40A x x B x x =<<=-≤，则A B =（ ）A ．()0,1B ．(]0,2C ．()1,2D ．(]1,22．已知函数()22f x x x =-，()2g x ax =+（0a >），对任意的[]11,2x ∈-，存在[]01,2x ∈-，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)3,+∞D ．(]0,3 3．已知集合A={}21|<<-x x ，}02|{<≤-=x x B ，则B A ⋂=（ ）A ．}01|{<<-x xB ．{}22|<≤-x xC ．}22|{<<-x xD ．或,2|{-<x x 2≥x }4．下列运算中，正确的是（ ）A ．523x x x =⋅B ．32x x x =+C ．x x x =÷232D ．2)2(33x x = 5．已知函数2()x f x a -=（0a >且1a ≠），当2x >时，()1f x >，则()f x 在R 上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．当2x >时是增函数，当2x <时是减函数D ．当2x >时是减函数，当2x <时是增函数6．下列命题中错误的个数为：（ ）①11221x y =+-的图象关于(0,0)对称； ②31y x x =++的图象关于(0,1)对称；③211y x =-的图象关 于直线0x =对称；④sin cos y x x =+的图象关于直线4x π=对称． A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．计算：()=⨯--2332927（ ）A.3-B.31- C.3 D.31 8．若函数()21ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．[)1,2 D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．已知函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若((1))4f f a =，则实数a =（ ） A ．12 B ．43C ．2D ．4 10．用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程20x ax b ++=没有实根B ．方程20x ax b ++=至多有一个实根C ．方程20x ax b ++=至多有两个实根D ．方程20x ax b ++=恰好有两个实根11． 关于函数2||21()sin ()32x f x x =-+，看下面四个结论：①()f x 是奇函数；②当2007x >时，1()2f x >恒成立；③()f x 的最大值是32； ④()f x 的最小值是12-． 其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．函数()3sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 13．已知函数()1,1,21,1,1xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪<⎪-⎩则()()2f f =______．14．欧巴老师布置给时镇同学这样一份数学作业：在同一个直角坐标系中画出四个对数函数的图象，使它们的底数分别为1013、和53.时镇同学为了和暮烟同学出去玩，问大英同学借了作业本很快就抄好了,详见如图.第二天，欧巴老师当堂质问时镇同学：“你画的四条曲线中，哪条是底数为e 的对数函数图象？” 时镇同学无言以对，憋得满脸通红，眼看时镇同学就要被欧巴老师训斥一番，聪明睿智的你能不能帮他一把，回答这个问题呢？曲线 才是底数为e 的对数函数的图象.15．y =___________．16．已知函数)(x f 是周期为2的奇函数，当01≤≤-x 时，x x x f +=2)(，则=)22017(f . 三、解答题 17．设集合{}{}22|320,|10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，{}2|20C x x mx =-+=，且,A B A A C C ⋃=⋂=，求实数,a m 的取值范围．18．已知函数()()log 1g )o (l 3a a f x x x ＝－＋＋（0a >，且1a ≠）． （1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）若函数()f x 有最小值为2-，求a 的值．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。
2015-2016学年河北省石家庄市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共13小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x≥3}，B={1，2，3，4，5}则A∩B=（）A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{1，2，3，4，5}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】进而根据集合交集及其运算，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x≥3}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B={3，4，5}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．函数f（x）=lg（4﹣x2）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由对数式的真数大于0，然后求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由4﹣x2＞0，得x2＜4，即﹣2＜x＜2．∴函数f（x）=lg（4﹣x2）的定义域为（﹣2，2）．故选：B．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．B． C．y=x3D．y=tanx【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】阅读型．【分析】根据函数的奇函数的性质及函数的单调性的判断方法对四个选项逐一判断，得出正确选项．【解答】解：A选项的定义域不关于原点对称，故不正确；B选项正确，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减；C选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增；D选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增．故选B【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，求解本题的关键是掌握住判断函数的奇偶性的方法与判断函数的单调性的方法，本题中几个函数都是基本函数，对基本函数的性质的了解有助于快速判断出正确选项．4．已知向量=（1，﹣），=（﹣2，0），则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意和向量的夹角公式可得夹角余弦值，则两向量夹角可求．【解答】解：∵向量=（1，﹣），=（﹣2，0），设与的夹角为θ，∴由夹角公式可得cosθ===，又θ∈[0，π]，可得夹角θ=．故选：C．【点评】本题考查利用数量积求向量的夹角，属基础题．5．下列函数在区间（0，+∞）上，随着x的增大，函数值的增长速度越来越慢的是（）A．y=2x B．y=x2C．y=x D．y=log2x【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据基本指数函数，幂函数，对数函数的图象和特点即可判断．【解答】解：y=2x，y=x2，随着x的增大，函数值的增长速度越来越快，y=x随着x的增大，函数值的增长速度保持不变，y=log2x随着x的增大，函数值的增长速度越来越慢，故选：D．【点评】本题考查了基本初等函数的增加程度，关键是掌握基本函数的图象和性质，属于基础题．6．三个数0.90.3，log3π，log20.9的大小关系为（）A．log20.9＜0.90.3＜log3πB．log20.9＜log3π＜0.90.3C．0.90.3＜log20.9＜log3πD．log3π＜log20.9＜0.90.3【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由于0＜0.90.3＜1，log3π＞1，log20.9＜0，即可得出．【解答】解：∵0＜0.90.3＜1，log3π＞1，log20.9＜0，∴log20.9＜0.90.3＜log3π，故选：A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若sin（α+）=，且α∈（，），则cosα=（）A．﹣B．C． D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+），再利用两角差的余弦公式求得cosα的值．【解答】解：∵sin（α+）=，且α∈（，），∴α+∈（，π），则cos（α+）=﹣=﹣，∴cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣•+•=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．8．函数f（x）=lnx+2x﹣7的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】二分法的定义．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的单调性，零点的存在性定理求解特殊函数值即可判断．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣7+2x，x∈（0，+∞）单调递增，f（1）=0﹣7+2=﹣5，f（2）=ln2﹣3＜0，f（3）=ln3﹣1＞0，∴根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是（2，3）．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理，难度不大，属于中档题．9．为得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=cos（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=cos（2x+）的图象向右平移个单位，即可得到函数y=cos[2（x﹣）+]=cos（2x﹣）=sin2x 的图象，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．已知f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则f （x）解析式是（）A．f（x）=2sin（x﹣）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x﹣）D．f（x）=2sin（2x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象，可得A=2，•=﹣，∴ω=，再根据五点法作图，可得+φ=π，φ=，∴f（x）=2sin（x+），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．11．设f（sinα+cosα）=sin2α（α∈R），则f（sin）的值是（）A．B． C．﹣D．以上都不正确【考点】三角函数的化简求值；函数的值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=sinα+cosα，则t2=1+sin2α，求得f（t）的解析式，可得f（sin）的值．【解答】解：令t=sinα+cosα，则t2=1+sin2α，∴sin2α=t2﹣1．由f（sinα+cosα）=sin2α，可得f（t）=，∴f（sin）=f（）==﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的求值问题，属于基础题．12．f（x）=，则f+fA．1+B．C．1﹣D．﹣【考点】函数的值．【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式进行转化求解即可．【解答】解：由分段函数得f=sin（π+）=﹣sin=﹣，f=sin（π++）=﹣sin（+）=﹣cos=﹣，f=f=sin=，则f+f已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2015）B．（1，2016）C．（2，2016）D．[2，2016]【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】0≤x≤1，可得sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减．x＞1，log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得a+b=1，2015＞c＞1，即可得出．【解答】解：∵0≤x≤1，∴sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增，函数值由0增加到1；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减，函数值由1减少到0；x＞1，∴log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，∵f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=1，2015＞c＞1，∴a+b+c的取值范围是（2，2016）．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性与值域，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）14．已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点，则2α=，∴α=，故函数的解析式为y f（x）=，∴f（4）==2，故答案为2．【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求函数的值，属于基础题．15．若角α的终边经过点P（﹣1，2），则sin2α=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】利用三角函数的定义，计算α的正弦与余弦值，再利用二倍角公式，即可求得结论．【解答】解：由题意，|OP|=，∴sinα=，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2××（﹣）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的定义，考查二倍角公式，属于基础题．16．已知Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（t，0），B（1，2），C（0，3），则实数t的值为﹣1或﹣3．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的斜率．【专题】计算题；转化思想；向量法；直线与圆．【分析】由题意画出图形，分类利用向量数量积为0求得实数t的值．【解答】解：如图，由图可知，角B或角C为直角．当B为直角时，，，由得，﹣（t﹣1）﹣2=0，即t=﹣1；当C为直角时，，由得，t+3=0，即t=﹣3．故答案为：﹣1或﹣3．【点评】本题考查两直线垂直的关系，考查了向量数量积判断两直线的垂直，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．17．已知函数f（x）=x3+x，且f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=3x2+1＞0，则函数f（x）为增函数，∵f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣（x3+x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，则f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0等价为f（3a﹣2）＜﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），则3a﹣2＜1﹣a，即a＜，故答案为：（﹣∞，）【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．18．已知f（x）=x3+ln，且f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0，则实数a的取值范围是（，）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据条件先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：由＞0，得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），f（x）=x3+ln=x3+ln（x+1）﹣ln（1﹣x），则函数f（x）为增函数，∵f（﹣x）=﹣x3+ln（﹣x+1）﹣ln（1+x）=﹣[x3+ln（x+1）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则不等式f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0等价为f（3a﹣2）＜﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），则不等式等价为，即，得＜a＜，故答案为：（，）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．三、解答题（共6小题，满分70分）19．全集U=R，若集合A={x|2≤x＜9}，B={x|1＜x≤6}．（1）求（C R A）∪B；（2）若集合C={x|a＜x≤2a+7}，且A⊆C，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】（1）根据全集与补集、并集的定义，进行化简、计算即可；（2）根据子集的概念，列出不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵全集U=R，集合A={x|2≤x＜9}，∴∁R A={x|x＜2或x≥9}，又B={x|1＜x≤6}，∴（C R A）∪B={x|x≤6或x≥9}；（2）∵集合A={x|2≤x＜9}，集合C={x|a＜x≤2a+7}，且A⊆C，∴，解得1≤a＜2，∴实数a的取值范围是1≤a＜2．【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，是基础题目．20．已知向量=（1，sinα），=（2，cosα），且∥，计算：．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用．【专题】定义法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】根据向量平行建立方程关系，代入进行化简即可．【解答】解：∵∥，∴2sinα﹣cosα=0，即cosα=2sinα，则===﹣5．【点评】本题主要考查三角函数式的化简和求值，根据向量共线的等价条件进行等量代换是解决本题的关键．比较基础．21．如图，在△ABC中，已知AB=3，BC=4，∠ABC=60°，BD为AC边上的中线．（1）设=，=，用，表示向量；（2）求中线BD的长．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）根据向量的平行四边形的法则即可求出，（2）根据向量的模的计算和向量的数量积即可求出．【解答】解：（1）∵设=，=，BD为AC边上的中线．∴=（+）=（+），（2）∵=（+），AB=3，BC=4，∠ABC=60°，∴||2=（||2+||2+2•）=（||2+||2+2||•||cos60°）=（9+16+2×3×4×）=，∴||=，故中线BD的长为．【点评】本题考查了向量的加减几何意义以及向量的模的计算和向量的数量积公式，属于基础题．22．已知函数f（x）=1﹣，判断f（x）的单调性并运用函数的单调性定义证明．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的单调性的定义证明即可．【解答】证明：函数f（x）的定义域是：{x|x＞0}，设x1＞x2，则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣）=﹣=＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增．【点评】本题考查了通过定义证明函数的单调性问题，是一道基础题．23．已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若不等式f（x）﹣m+1＜0在[，]上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数恒成立问题．【专题】综合题；数形结合；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=2．再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间．（2）由x∈[，]，可得∈．可得取值范围．根据不等式f（x）﹣m+1＜0在[，]上恒成立，可得m＞[f（x）+1]max．【解答】解：（1）f（x）=﹣﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2．由≤≤2kπ+，k∈Z，解得：≤x≤+kπ，∴函数f（x）的单调递增区间是[，+kπ]，k∈Z．（2）由x∈[，]，则∈．∴∈[0，1]．∴f（x）∈[0，1]．∵不等式f（x）﹣m+1＜0在[，]上恒成立，∴m＞[f（x）+1]max=2．∴实数m的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数求值、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．对于函数f（x）=log x﹣a•log2x2，x∈[1，4]，a∈R．（1）求函数f（x）的最小值g（a）；（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m＞n≥0；②当函数g（a）的定义域为[n，m]时，值域为[﹣m，﹣n]，若存在，求出所有满足条件的m、n的值；若不存在，说明理由．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用换元法求函数的最值．（2）根据二次函数图象和性质，结合定义域和值域之间的关系进行讨论即可．【解答】（本题满分为12分）解：（1）设t=log2x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，f（x）=t2﹣2at=（t﹣a）2﹣a2，当t=a，即x=2a时，f（x）min=g（a）=﹣a2．…（2）∵m＞n≥0，∴g（a）=﹣a2在[0，∞）上为减函数，…又∵g（a）的定义域为[n，m]，值域为[﹣m，﹣n]，∴﹣n2=﹣n，﹣m2=﹣m，∴m=n=1，这与m＞n≥0矛盾．故满足条件的m，n不存在．…【点评】本题考查了函数与方程的关系，同时考查了换元法求函数的最值，要求熟练掌握二次函数的图象和性质，属于中档题．2016年3月7日。
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2016学年正定名校高一数学上学期期末考试题(含答案)
2015-2016学年第一学期高一年级期末考试数学试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．已知全集，，，则（） A． B． C． D． 2．定义在R的奇函数，当时，，则等于（） A． B． C． D． 3．已知向量，则（） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的增函数，则满足的取值范围是（） A． B． C． D． 5．下列函数中，既在定义域上是增函数且图象又关于原点对称的是（）
A． B． C． D． 6．函数零点所在的区间是（） A． B． C． D． 7．若都是锐角，且，，则（） A． B． C．或 D．或 8．将函数的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则的值为（）A． B． C． D． 9．函数的单调递减区间是（） A． B． C． D． 10．已知，若，则（） A．2 B．3 C．4 D．5 11．已知函数一个周期的图象如图所示，则的值为（） A. B. C. D. 12．已知函数若函数的零点个数为（） A．3 B．4 C．5 D．6 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13．已知三个数，则的大小关系为． 14．化简的值为___________. 15.若，是方程的两个根，则． 16．在菱形中，对角线，为的中点，则 _______.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）已知三点的坐标分别是，，，其中 . （1）若，求角的值；（2）若，求的值.
18.（本小题满分12分），记．且的最小正周期为 . （1）求的最大值及取得最大值时的集合；（2）求在区间上的取值范围．
19.（本小题满分12分）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段，其中，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳. （1）试求的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.
20.（本小题满分12分）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意都有，且 . (1)求； (2)求证：是周期函数.
21.（本小题满分12分）已知函数 . （1）判断的奇偶性并证明；（2）若对于，恒有成立，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）函数 . (1)当时，求的单调递增区间；（2）若恒成立，求的取值范围. 2015-2016高一期末考试数学试卷答案一、选择题 1-5．B B A D C 6-10 B A A B B 11-12 C B 二、填空题 13. 14. 1 15. 16.12 三、填空题 17.解析:（1）..........................................................4分（2） (6)
分……………………8分原式= ……………………….10分 18.解析：（Ⅰ）．因为函数的最小正周期为，且，所以，解得． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得．因为，所以，所以，因此，即的取值范围为． 12分 19.解析：（1）当时，设因为这时图像过点，代入得所以当时，设，过点得，即 6分故所求函数的关系式为………7分（2）由题意得或……………9分得或，即则老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳…… 12分.
20.解析：(1)设，则，于是，∵ ，且，∴ ，
同理，因为，所以；……………………6分(2)∵ 是偶函数，∴ ，图象关于直线对称，∴ ，∴对任意实数，都有，∴ 是周期为2的周期函数…………12分 21.解析:（1）因为解得所以函数的定义域为函数为奇函数，证明如下：由（I）知函数的定义域关于原点对称，又因为所以函数为奇函数…………4分（2）若对于 , 恒成立即对恒成立对成立. , 即成立，所以同理解得综上所述：, ………………………….12分 22.解析：（1）令，记，在上单调递增，在上单调递减. 又在上单调递减.令，解得故函数的单调递增区间为……………………………………6分（2）由 <－1得即，等号成立时故4－ ]的最大值是从而.…………………12分。