2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时规范练24平面向量的概念及线性运算理新人教B版
(通用版)2020版高考数学大一轮复习第24讲平面向量的概念及其线性运算课件文新人教A版
������ ������ |������ | |������ |
成立.对照各个选项可知,选项 A 中向量 a 与 b
的方向相同;选项 B 中向量 a 与 b 共线,方向相同或相反;选项 C 中向量 a 与 b 的方向 相反;选项 D 中向量 a 与 b 互相垂直.故选 C.
数乘
λa
λ1a+λ2a
b=λa
.
课前双基巩固
常用结论 1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的向量,即������1 ������2 +������2 ������3 +������3 ������4 +…+������������ -1 ������������ =������1 ������������ .特别地,一个封闭图形首尾连接而成的 向量和为零向量. 2.若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内任一点,则������������= (������������+������������). 3.若 A,B,C 是平面内不共线的三点,则������������+������������+������������ =0⇔P 为△ABC 的重心.
1 2
课前双基巩固
4.在△ABC 中,AD,BE,CF 为三角形三边的中线,它们交于 G(如图 4-24-1 所示),易知 G 为 △ABC 的重心,则有如下结论: (1)������������+������������+������������ =0;
1 3 1 1 (3)������������= (������������+������������ ),������������= (������������+������������ ). 2 6
高三数学一轮复习课时规范练24平面向量的概念及线性运算文含解析北师大版
课时规范练24 平面向量的概念及线性运算基础巩固组1.下列说法错误的是( ) A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线C.零向量的长度为0D.方向相反的两个非零向量必不相等2.设a ,b 是非零向量,则a =2b 是a|a |=b|b |成立的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件3.(2020河南实验中学4月模拟,6)设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗ 4.已知向量a 与b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n a +b (m ,n ∈R ),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的条件是( ) A.m+n=0 B.m-n=0 C.mn+1=0D.mn-1=05.在△ABC 中,AD 是边BC 上的中线,过点B 的直线l 与AD ,AC 分别相交于E ,F 两点,若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( ) A.13 B.25C.411D.5136.(2020安徽合肥二模,文5)在平行四边形ABCD 中,若DE⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE 交BD 于F 点,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗D.13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗7.已知O 是四边形ABCD 所在平面上任一点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 一定为( ) A.菱形 B.任意四边形 C.平行四边形 D.矩形8.已知向量e 1与e 2不共线,且向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+m e 2,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n e 1+e 2,若A ,B ,C 三点共线,则实数m ,n 满足的条件是 ( )A.mn=1 B .mn=-1 C.m+n=1D .m+n=-1 9.(2020安徽合肥二中高三段考)已知P 为△ABC 所在平面内一点,AB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则△ABC 的面积等于( )A.√3B.2√3C.3√3D .4√310.(2020河北武邑中学质检)在锐角三角形ABC 中,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x ,y ∈R ),则x y= .11.(2020山东德州高三模拟)设向量a ,b 不平行,向量a +14λb 与-a +b 平行.则实数λ= .综合提升组12.(2020辽宁庄河高级中学期中)有下列说法,其中正确的是( ) A.若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cB.若2OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC ,△ABC 的面积,则S △AOC ∶S △ABC =1∶6 C.两个非零向量a ,b ,若|a -b |=|a |+|b |,则a 与b 共线且同向 D.若a ∥b ,则存在唯一实数λ使得a =λb13.设a ,b 是非零向量,则“存在实数λ,使得a =λb ”是“|a +b |=|a |+|b |”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 14.在等腰梯形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点E 是线段BC 的中点,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=( )A.52 B.54C.12D.1415.过△ABC 的重心G 作直线l ,已知l 与AB 、AC 的交点分别为M ,N ,S △ABC S △AMN=209,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 ( )A.23或25 B.34或35 C.34或25D.23或3516.在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD 为BC 边上的高,O 为AD 的中点,若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R ,则λ+μ= .创新应用组17.在平行四边形ABCD 中,M 是DC 的中点,向量DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 18.(2020山东青岛西海岸联盟校模考)在△ABC 中,有如下结论:若M 为△ABC 的重心,则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.设a ,b ,c 分别为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边,M 为△ABC 的重心.若a MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +√33cMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则内角A 的大小为 ;当a=3时,△ABC 的面积为 .▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁课时规范练24 平面向量的概念及线性运算1.B 零向量的定义:零向量与任一向量平行,与任意向量共线,零向量的方向不确定,但模的大小确定为0,故A 与C 都是正确的;因为方向相反的两个非零向量必定平行,所以方向相反的两个非零向量一定共线,故B 错误;对于D,因为向量相等的定义是:长度相等且方向相同的向量相等,所以方向相反的两个非零向量必不相等,故D 正确,故选B .2.B 因为a ,b 是非零向量,由a =2b 可知,a ,b 方向相同,所以a|a |=b|b |成立,即由a =2b 可推出a|a |=b|b |成立;若a|a |=b|b |,则a =|a ||b |b ,而|a ||b |不一定等于2,所以a|a |=b|b |不一定推出a =2b ,所以a =2b 是a|a |=b|b |成立的充分不必要条件.故选B.3.B ∵D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(FE⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选B.4.D 由AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n a +b (m ,n ∈R )共线,得a +m b =λ(n a +b )=λn a +λb ,∵向量a 与b 不共线,∴{1=λn ,m =λ,即mn-1=0,故选D . 5.A BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-AB⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由于BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBF ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以μ=34,μλ=14,得λ=13.故选A. 6.D 如图,∵DE⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴E 为CD 的中点. 设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又B ,F ,D 三点共线,∴λ2+λ=1,解得λ=23,∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选D.7.C 由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,可得|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即四边形中|AB|=|CD|. 又由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ∥CD ,即四边形ABCD 中有一组对边平行且相等,所以四边形ABCD 为平行四边形,故选C .8.A 因为A ,B ,C 三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以有e 1+m e 2=n λe 1+λe 2,由此可得{1=nλ,m =λ,所以mn=1.故选A .9.B 由|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |得,△PBC 是等腰三角形.取BC 的中点D ,连接PD ,则PD ⊥BC.又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PD=12AB=1,且PD ∥AB ,故AB ⊥BC ,即△ABC 是直角三角形.由|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1可得|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3,所以△ABC 的面积为12×2×2√3=2√3. 10.3 由题设可得CA⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),整理,得4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=34,y=14.故xy =3.11.-4 ∵a ,b 不平行,a +14λb 与-a +b 平行,∴存在实数μ,使a +14λb =μ(-a +b ),∴{-μ=1,14λ=μ,∴λ=-4.12.B A 错误,例如b =0,推不出a ∥c ;设AC 的中点为M ,BC 的中点为D ,因为2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以2×2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以O 是MD 的三等分点,可知O 到AC 的距离等于D 到AC 距离的13,而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍,故可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16,根据三角形面积公式可知B 正确;C 错误,两边平方可得-2a ·b =2|a ||b |,所以cos <a ,b >=-1,即夹角为π,两向量反向,结论不正确;D 错误,例如a =0,b =0,λ值不唯一.故选B .13.B 存在实数λ,使得a =λb ,说明向量a ,b 共线,当a ,b 同向时,|a +b |=|a |+|b |成立,当a ,b 反向时,|a +b |=|a |+|b |不成立,所以,充分性不成立.当|a +b |=|a |+|b |成立时,有a ,b 同向,存在实数λ,使得a =λb 成立,必要性成立,即“存在实数λ,使得a =λb ”是“|a +b |=|a |+|b |”的必要不充分条件,故选B . 14.B (方法1)取AB 的中点F ,连接CF ,则四边形AFCD 是平行四边形,所以CF ∥AD ,且CF=AD.因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(FC ⃗⃗⃗⃗⃗ −FB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=34,μ=12,λ+μ=54,故选B .(方法2)连接AC ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=34,μ=12,λ+μ=54,故选B .15.B 设AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为G 为△ABC 的重心,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即13λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13xAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ .由于M ,N ,G 三点共线,所以13λ+13x =1,即x=λ3λ-1.因为S △ABCS △AMN=209,S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin A ,S △AMN =12|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin A , 所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |λx |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1λx =209,即有20λ23λ-1=9,解得λ=34或35,故选B .16.23由题意,得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故λ+μ=12+16=23.17.16a -23b 根据题意画图如下.则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a -23b ,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a -23b -12a =16a -23b .18.π69√34由a MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +√33cMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +√33c (-MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=a-√33c MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b-√33c MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,∴a-√33c=b-√33c=0,∴a=b=√33c.在△ABC 中,由余弦定理可求得cos A=√32,∴A=π6.若a=3,则b=3,c=3√3,S △ABC =12bc sin A=12×3×3√3×12=9√34.。
【志鸿优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习：课时规范练24 平面向量应用举例
课时规范练24平面向量应用举例一、选择题1.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)答案:D2.已知m=(-5,3),n=(-1,2),当(λm+n)⊥(2n+m)时,实数λ的值为()A. B.- C.- D.答案:C解析:由已知得|m|=,|n|=,m·n=11.∵(λm+n)⊥(2n+m),∴(λm+n)·(2n+m)=λm2+(2λ+1)m·n+2n2=0,即34λ+(2λ+1)×11+2×5=0,解得λ=-.3.已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,-1),则|2a-b|的最大值和最小值分别是()A.4,0B.4,2C.16,0D.4,0答案:D解析:由于|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4a·b=8-4(cosθ-sinθ)=8-8cos,易知0≤8-8cos≤16,故|2a-b|的最大值和最小值分别为4和0.4.已知平面上三点A,B,C满足||=6,||=8,||=10,则的值等于()A.100B.96C.-100D.-96答案:C解析:∵||=6,||=8,||=10,62+82=102,∴△ABC为直角三角形,即·=0.∴····()=·=-||2=-100.5.在△ABC中,有如下命题,其中正确的是()①;②=0;③若()·()=0,则△ABC为等腰三角形;④若>0,则△ABC为锐角三角形.A.①②B.①④C.②③D.②③④答案:C解析:①中应为;④中·>0可化为·<0,∴∠B为钝角,∴△ABC为钝角三角形;②,③显然正确.6.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则P点的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)答案:C解析:设P点坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,·有最小值1.故点P坐标为(3,0),故选C.二、填空题7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2.若a·b=0,则实数k的值为.答案:解析:由题意知a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=0,即k+e1·e2-2k e1·e2-2=0,即k+cos-2k cos-2=0,化简可求得k=. 8.在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,则=.答案:-解析:··()=·()=·=1-×1×2cos60°-×4=-.9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(3b-c)cos A=a cos C,S△ABC=,则=.答案:-1解析:依题意得(3sin B-sin C)cos A=sin A cos C,即3sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C)=sinB>0,于是有cos A=,sin A=.又因为S△ABC=·bc sin A=bc×,所以bc=3,·=bc cos(π-A)=-bc cos A=-3×=-1.10.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=.答案:解析:a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)·b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-,则a=(1,-1),故|a|=.11.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.答案:5解析:以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x.∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),=(2,-x),=(1,a-x),∴+3=(5,3a-4x),|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,∴|+3|的最小值为5.三、解答题12.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,求a+b与a-b的夹角.解:将|a+b|=|a-b|两边同时平方得a·b=0;将|a-b|=|a|两边同时平方得:b2=a2.所以cos<a+b,a-b>=.所以<a+b,a-b>=60°.13.在△ABC中,A=120°.(1)若三边长构成公差为4的等差数列,求△ABC的面积.(2)已知AD是△ABC的中线,若=-2,求||的最小值.解:(1)因为A=120°,设三边长为a,a-4,a-8,由余弦定理得a2=(a-4)2+(a-8) 2-2(a-4)(a-8)cos120°,即a2-18a+56=0,所以a=14,a=4(舍),S△ABC=×A B×AC×sin A=×10×6×=15.(2)因为·=||||cos A=-2,所以||·||=4.因为),所以||2=(||2+||2+2·)=(||2+||2-4)≥(2||·||-4)=×(2×4-4)=1.所以||2≥1(当且仅当|AB|=|AC|=2时等号成立).所以||min=1.14.已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈.(1)若||=||,求角α的值;(2)若=-1,求的值.解:(1)∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),∴=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα,=cos2α+(sinα-3)2=10-6sinα.由||=||,可得,即10-6cosα=10-6sinα,得sinα=cosα.又∵α∈,∴α=.(2)由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,∴sinα+cosα=.①又=2sinαcosα.由①式两边分别平方,得1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-,∴=-.15.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,边长c=2,角C=,求△ABC的面积.(1)证明:∵m∥n,∴a sin A=b sin B,即a·=b·,其中R是三角形ABC外接圆半径,a=b,∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由题意可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去ab=-1),∴S=ab sin C=·4·sin.四、选做题1.设向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,则β-α=()A. B.-C. D.-答案:A解析:由|2a+b|=|a-2b|得3|a|2-3|b|2+8a·b=0,而|a|=|b|=1,故a·b=0,∴cosαcosβ+sinαsinβ=0,即cos(α-β)=0,由于0<α<β<π,故-π<α-β<0,∴α-β=-,即β-α=.2.已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,则|α|的取值范围是. 答案:3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-.(1)求sin A的值;(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量方向上的投影.解:(1)由m·n=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,∴cos(A-B+B)=-,∴cos A=-.∵0<A<π,∴sin A=.(2)由正弦定理,有,∴sin B=.∵a>b,∴A>B,∴B=.由余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,∴c=1或c=-7(舍去).故向量方向上的投影为||cos B=c cos B=1×.。
2020版高考数学一轮复习课时规范练24平面向量的概念及线性运算理北师大版
课时规范练平面向量的概念及线性运算基础巩固组.下列关于平面向量的说法正确的是().零向量是唯一没有方向的向量.平面内的单位向量是唯一的.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量.共线向量就是相等向量.设都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是()⊥∥.设为△所在平面内一点,则()....已知向量与不共线(∈),则共线的条件是().设分别是正方形的边上的点,且.如果(为实数),那么的值为()..设向量不共线.若三点共线,则实数的值是().如图所示,平行四边形的对角线与相交于点,点是线段的中点,设,则.(结果用表示).已知为圆上的三点,若),则的夹角为..设分别是△的边上的点.若λλ(λ,λ为实数),则λλ的值为..设两个非零向量与不共线.()若(),求证三点共线;()试确定实数,使和共线.综合提升组.在△中是边上的一点λ.若,则用表示为().在△中为其内部一点,且满足,则△和△的面积比是()∶∶∶∶.在△中,点在线段的延长线上,且与点不重合,若(),则实数的取值范围是().(∞) .(∞).() .().已知为△边的中点,点满足λ,则实数λ的值为.创新应用组.(河北衡水中学九模)若非零向量满足,则下列不等式恒成立的为()><><.如图,为单位向量,夹角为°,的夹角为°,用表示.参考答案课时规范练平面向量的概念及线性运算对于,零向量是有方向的,其方向是任意的,故不正确;对于,单位向量的模为,其方向可以是任意方向,故不正确;对于,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故正确;对于,由共线向量和相等向量的定义可知不正确.故选.由,得,即·,则向量共线且方向相反,故选.().故选.由(∈)共线,得λ()λλ,∵向量与不共线,∴即,故选.如图().。
2020版高考数学一轮复习课后限时集训24平面向量的概念及线性运算文含解析北师大版
课后限时集训(二十四)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④如果a∥b ，b∥c ，那么a∥c . 以上命题中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0D [对于①，向量可用有向线段表示，但向量不是有向线段，故①错． 对于②，当a 与b 中有一个是0时，a 与b 的方向不一定相同或相反，故②错． 对于③，直线AB 与CD 也可能平行，故③错． 对于④，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故④错．]2．在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A ．12a －b B ．12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12bA [AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A ．]3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，DD ．A ，C ，DB [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．]4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．23B ．13C ．－13D ．－23A [∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]5．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的一个充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |C [a |a |＝b |b |⇔a ＝|a |b |b |⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ>0.B ，D 选项中a 和b 可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]二、填空题 6．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若λa ＝0(λ为实数)，则λ＝0；④若两个向量共线，则其方向必定相同或相反，其中真命题的序号是________． ② [对于①，向量a 与b 的方向可以是任意的，故①错； 对于②，由AB →＝DC →，可得|AB →|＝|DC →|，且AB →∥DC →. 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，因此四边形ABCD 为平行四边形，反之也成立，故②正确； 对于③，当a ＝0，λ＝1时，λa ＝0，故③错；对于④，当两个向量有一个零向量时，两个向量的方向不一定相同或相反，故④错．] 7．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．平行四边形 [由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →，所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．]8．(2019·郑州模拟)在△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y＝________.3 [由CM →＝3MB →得CM →＝34CB →，所以AM →＝AC →＋CM →＝AC →＋34CB →＝AC →＋34(AB →－AC →)＝34AB →＋14AC →，所以x ＝34，y ＝14，因此x y ＝3.]三、解答题9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.[解] AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， 求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． [解] (1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.B 组 能力提升1．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1D [因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ，所以λμ＝1，故选D.]2．如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A ．911B ．511C ．311D ．211B [注意到N ，P ，B 三点共线，因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511.故选B.]3．如图，点E 是平行四边形ABCD 的对角线BD 的n (n ∈N 且n ≥2)等分点中最靠近点D 的点，线段AE 的延长线交CD 于点F ，若AF →＝xAB →＋AD →，则x ＝________(用含有n 的代数式表示)．1n －1 [依题意与图形得DF AB ＝DE EB ＝1n －1(n ∈N 且n ≥2)，所以DF →＝1n －1AB →，所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1n －1AB →，又因为AF →＝xAB →＋AD →， 所以x ＝1n －1.] 4．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.[证明] (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， 所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，所以A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ， 使BP →＝λBA →，所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0.所以m ＋n ＝1.结论得证．。
平面向量 高三 一轮复习(完整版)
题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；3、向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+21、下列命题中：其中正确的是_____________① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =⑥22a a = ；⑦2a b ba a⋅=； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若//(0)a b b ≠⇒（2）若a b λ=共线定理作用（1） （2）【例2】设两个非零向量a 与b不共线,（1）若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A..B.D 三点共线;（2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb +共线。
2021版新高考数学一轮复习 课时规范练24 平面向量的概念及线性运算 新人教A版.docx
基础巩固组1.(2019山东淄川中学期中)下列说法错误的是()A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线C.零向量的长度为0D.方向相反的两个非零向量必不相等2.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使a|a|+a|a|=0成立的是()A.a⊥bB.a∥bC.a=2bD.a=-b3.(2019四川雅安中学月考)如图所示,在正△ABC中,D,E,F均为所在边的中点,则以下向量和aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的是()A.aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.已知向量a与b不共线,aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+m b,aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n a+b(m,n∈R),则aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的条件是() A.m+n=0 B.m-n=0C.mn+1=0D.mn-1=05.(2019四川名校联盟信息卷)在平行四边形ABCD 中,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,若E 是DC 的中点,则aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.12a -b B.32a -bC.-12a +bD.-32a +b6.设向量a ,b 不共线,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +p b ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a -2b .若A ,B ,D 三点共线,则实数p 的值是( ) A.-2B.-1C.1D.27.(2019重庆北碚期末)下列命题中,正确的个数是( )①单位向量都相等;②模相等的两个平行向量是相等向量;③若a ,b 满足|a |>|b |且a 与b 同向,则a >b ;④若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . A.0个B.1个C.2个D.3个8.(2019云南云天化中学期中)已知O 是四边形ABCD 所在平面上任一点,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 一定为( )A.菱形B.任意四边形C.平行四边形D.矩形9.设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD=12AB ,BE=23BC.若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 10.设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +8b ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a -b ),求证:A ,B ,D 三点共线; (2)试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 共线.综合提升组11.(多选)(2019济南期末)设点M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是( )A.若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点M 是边BC 的中点 B.若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点M 在边BC 的延长线上 C.若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点M 是△ABC 的重心D.若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且x+y=12,则△MBC 的面积是△ABC 面积的1212.(2019河南八市联考二,6)在等腰梯形ABCD 中,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,点E 是线段BC 的中点,若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λaa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μaa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=( )A.52 B.54 C.12 D.1413.(2019湖南长郡中学期中)在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD 为BC 边上的高,O 为AD 的中点,若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λaa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μaa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R ,则λ+μ= .14.已知D 为△ABC 边BC 的中点,点P 满足aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λaa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .创新应用组15.(2019北京昌平二模)设a ,b 是非零向量,则“存在实数λ,使得a =λb ”是“|a +b |=|a |+|b |”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16.(2019江西上饶六校联考)过△ABC 的重心G 作直线l ,已知l 与AB 、AC 的交点分别为M ,N ,a △aaaa△aaa=209,若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λaa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为( )A.23或25B.34或35C.34或25D.23或3517.(2019浙江杭州模拟)在平行四边形ABCD 中O 是对角线交点,E 是OD 的中点,连接AE 交CD 于F ,设aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b ,则x= ,y= .参考答案课时规范练24 平面向量的概念及线性运算1.B 零向量的定义:零向量与任一向量平行,与任意向量共线,零向量的方向不确定,但模的大小确定为0,故A 与C 都是对的;因为方向相反的两个非零向量必定平行,所以方向相反的两个非零向量一定共线,故B 错;对于D,因为向量相等的定义是:长度相等且方向相同的向量相等,所以方向相反的两个非零向量必不相等,故D 对,故选B .2.D 由a |a |+a |a |=0,得a |a |=-a |a |,即b =-|a ||a |a ,则向量a ,b 共线且方向相反,故选D .3.D 因aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,所以这三个向量与向量aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不相等,而向量aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同长度相等,故选D .4.D 由aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n a +b (m ,n ∈R )共线,得a +m b =λ(n a +b )=λn a +λb ,∵向量a 与b 不共线,∴{1=aa ,a =a ,即mn-1=0,故选D . 5.D 如图所示,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -a -12a =-32a +b ,故选D .6.B ∵aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a -2b ,∴aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a -b .又A ,B ,D 三点共线,∴aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.设aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aaa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 则2a +p b =λ(2a -b ).即2=2λ,p=-λ.解得λ=1,p=-1.7.A 单位向量的大小相等,但方向不一定相同,故①错误;模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量,故②错误;向量是有方向的量,不能比较大小,故③错误;向量是可以自由平移的矢量,当两个向量相等时,它们的起点和终点不一定相同,故④错误;b =0时,a ∥b ,b ∥c ,则a 与c 不一定平行.综上,以上正确的命题个数是0,故选A .8.C 由|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,可得|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,即四边形中|AB|=|CD|.又由aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ∥CD ,即四边形ABCD 中有一组对边平行且相等,所以四边形ABCD 为平行四边形,故选C .9.12aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∵aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,因此λ1+λ2=12.10.(1)证明∵aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +8b ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a -b ),∴aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +8b +3(a -b )=2a +8b +3a -3b =5(a +b )=5aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.又它们有公共点B ,∴A ,B ,D 三点共线. (2)解∵k a +b 与a +k b 共线,∴存在实数λ,使k a +b =λ(a +k b ),即k a +b =λa +λk b ,∴(k-λ)a =(λk-1)b .∵a ,b 是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0.∴k 2-1=0,∴k=±1.11.ACD 若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点M 是边BC 的中点,故A 正确;若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即有aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点M 在边CB 的延长线上,故B 错误;若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则点M 是△ABC 的重心,故C 正确;若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且x+y=12,可得2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2y aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,由图可得M 为AN 的中点,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12,故D 正确.故选ACD .12.B(方法一)取AB的中点F,连CF,则四边形AFCD是平行四边形,所以CF∥AD,且CF=AD.∵aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1 2aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=34,μ=12,λ+μ=54,故选B.(方法二)连接AC,aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1 2aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=34,μ=12,λ+μ=54,故选B.13.23由题意,得aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故λ+μ=12+16=23.14.-2因为D是BC的中点,则aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aaa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点P是以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=-2.15.B存在实数λ,使得a=λb,说明向量a,b共线,当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|成立,当a,b反向时,|a+b|=|a|+|b|不成立,所以,充分性不成立.当|a+b|=|a|+|b|成立时,有a,b同向,存在实数λ,使得a =λb 成立,必要性成立,即“存在实数λ,使得a =λb ”是“|a +b |=|a |+|b |”的必要不充分条件,故选B .16.B 设aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为G 为△ABC 的重心,所以aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即13a aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13aaa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由于M ,N ,G 三点共线,所以13a+13a=1,即x=a3a -1.因为a △aaaa△aaa=209,S △ABC =12|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin A ,S △AMN =12|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin A ,所以|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |λx|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1aa =209,即有20a 23a -1=9,解得λ=34或35,故选B .17.-43 -23 如图,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-(a +b ).因为E 是OD 中点,O 是AC 中点,则aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因为A ,E ,F 三点共线,所以设aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +a 4aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,又因为D ,F ,C 三点共线,所以a2+a4=1,k=43.所以aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43×12(aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23(-b -a -a )=-43a -23b ,故x=-43,y=-23.。
2020年高考数学一轮复习考点24平面向量的概念及其线性运算必刷题理含解析
考点24 平面向量的概念及其线性运算1．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试理）已知向量(1,3)BA =-，向量，则ABC∆的形状为（ ）A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰非直角三角形【答案】A 【解析】画出图像如下图所示，由图可知满足勾股定理，故为等腰直角三角形.2．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】存在实数λ，使得a b λ=， 说明向量,a b 共线，当,a b 同向时，成立，当,a b 反向时，不成立，所以，充分性不成立.当成立时，有,a b 同向，存在实数λ，使得a b λ=成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得a b λ=”是“”的必要而不充分条件.故选：B .3．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试理）已知向量(,2)a m =，(1,1)b =，若，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．12-【答案】A 【解析】根据题意，向量a =（m ，2），b =（1，1）， 则a b +=（m +1，3），则|a b +|，|a |=|b |=若|a b +|＝|a |+|b |，则有，两式平方得到再平方得到解可得：m ＝2； 故答案为：A ．4．（河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺一理）已知等边三角形ABC 中，D 是线段AC 的中点，DE AB ⊥，垂足为,E F 是线段BD 的中点，则DE =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵F 是线段BD 的中点，∴CF ==；∵D 是线段AC 的中点，∴BD =；又=；令，则-4BAμ=（，∴1424λμ=-，，解得34μ=-，18λ=，∴，故选C.5．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试）已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设与的夹角为，由向量夹角公式得，所以选D项．6．（2019年3月2019届高三第一次全国大联考理）已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则A．25 B．7 C．5 D．【答案】D【解析】因为，且向量，的夹角为，所以，所以．本题选择D 选项．7．（山东省师大附中2019届高三上学期第二次模拟考试数学理）设是非零向量，则是成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】由可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量所以成立;反之不成立.故选B ．8．（2019学年唐山市度高三年级第一次模拟考试）在ABC △中，90B ∠=︒，，，则λ=（ ） A ．1- B ．1C ．32D ．4【答案】A 【解析】 由题ABC △ 中，又即解得1λ=-．故选A ． 9．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月）在平行四边形ABCD 中，若则ADC ∠=( )A ．56πB ．34πC ．23π D ．2π 【答案】C 【解析】如图所示,平行四边形ABCD 中,,，，,因为,所以,，所以，故选C.10．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科）在ABC ∆中，，，若，则（ ） A ．3y x = B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D 【解析】 因为，所以点D 是BC 的中点，又因为，所以点E 是AD 的中点，所以有：，因此，故本题选D.11．（江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试）在△ABC 中，，则λμ+= （ ）A ．1-3B ．13C ．1-2D ．12【答案】A 【解析】 因为所以P 为ABC ∆的重心， 所以,所以,所以因为，所以故选：A ．12．（河南省新乡市2019届高三第三次模拟测试理科）设向量12,e e 是平面内的一组基底，若向量与12b e e λ=-共线，则λ=（ ）A ．13B ．13-C ．3-D ．3【答案】B 【解析】因为a 与b 共线，所以存在R μ∈，使得a b μ=，即，故3μ=-，1λμ-=-，解得13λ=-. 13．（四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试）定义域为[],a b 的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，向量，(,)M x y 是()f x 图像上任意一点，其中，若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值.若函数2y x=定义在[1,2]上，则该函数的线性近似阈值是（ ）A ．2B ．C ．3+D ．2+【答案】B 【解析】 作出函数2y x=图像，它的图象在[]1,2上的两端点分别为：()1,2A ,()2,1B所以直线AB 的方程为：设(),M x y 是曲线2y x=上的一点，[]1,2x ∈，其中由，可知,,A B N 三点共线，所以N 点的坐标满足直线AB 的方程，又()1,2OA =,()2,1OB =,则所以,M N 两点的横坐标相等.故函数2y x=在[]1,2上满足“k 范围线性近似” 所以x ∈[]1,2时，恒成立.即：恒成立.记，整理得：，x ∈[]1,2，当且仅当x =时，等号成立。
高考数学一轮复习平面向量多选题知识点及练习题及答案
高考数学一轮复习平面向量多选题知识点及练习题及答案一、平面向量多选题1．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λa bB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++=【答案】AD【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D.【详解】对于选项A ： 由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确； 对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直， 故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.故选：AD【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.2．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ）A ．||||a b =B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果.【详解】对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；对于D ，又cos ,222a ba b a b ⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD.【点睛】 关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.3．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y = C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1-【答案】BCD【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确.【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ 1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对 x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确故选：BCD【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.4．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ） A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD 【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项.【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅， ||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，30,2A ⎛⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，解得30,4O ⎛ ⎝⎭，O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；132,,,2233AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=121=023236⨯--≠，故A 错误； 32OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确；1,63ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,22BA ⎛= ⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b ⋅进行求解.5．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）A ．2b =B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．(2)a b BC +⊥ 【答案】AD【分析】 本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确.【详解】 因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=，因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确，因为AB a =，BC b =， 所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误，所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，C 错误， 因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=，所以(2)a b BC +⊥，D 正确，故选：AD.【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.6．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ） A ．0AB AC AD +-=B ．0DA EB FC ++=C ．若3||||||AB AC AD AB AC AD +=，则BD 是BA 在BC 的投影向量 D ．若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18 【答案】BCD【分析】对选项A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确.对选项C ，首先根据已知得到AD 为BAC ∠的平分线，即AD BC ⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确.对选项D ，首先根据,,A P D 三点共线，设(1)BP tBA t BD ，01t ≤≤，再根据已知得到12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228t y t t ，即可判断选项D 正确. 【详解】如图所示：对选项A ，20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠，故A 错误.对选项B ，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-+-+-+ 111111222222AB AC BA BC CA CB =------ 1111110222222AB AC AB BC AC BC =--+-++=，故B 正确. 对选项C ，||AB AB ，||AC AC ，||AD AD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量， 由平面向量加法可知：||||AB AC AB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量.因为3||||||ABAC ADAB AC AD+=，所以AD为BAC∠的平分线，又因为AD为BC的中线，所以AD BC⊥，如图所示：BA在BC 的投影为cosBDBA B BA BDBA，所以BD是BA在BC的投影向量，故选项C正确.对选项D，如图所示：因为P 在AD上，即,,A P D三点共线，设(1)BP tBA t BD，01t≤≤.又因为12BD BC=，所以(1)2tBP tBA BC.因为BP BA BCλμ=+，则12ttλμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t≤≤.令21111()2228ty t t，当12t=时，λμ取得最大值为18.故选项D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.7．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）A ．1-B ．113C ．3132+D ．3132- 【答案】BCD【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅= 230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅= ()()2,3,1,AB AC k ==()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k = 若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k ==()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得313k ±= 综合可得，k 的值可能为211313313,,,3322+--故选：BCD【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.8．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=的格点B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个【答案】BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．二、立体几何多选题9．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（ ）．A ．1A D EF ⊥B ．当12BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -6π C ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -的体积为2173 D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF 的距离为177【答案】ACD【分析】 A 选项：证明1A D ⊥面1A EF ，得1A D EF ⊥； B 选项：当122BE BF BC ===时，三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥1A EFD -的外接球体积； C 选项：利用等体积法求三棱锥1A EFD -的体积； D 选项：利用等体积法求出点1A 到平面DEF 的距离.【详解】A 选项：正方形ABCD,AD AE DC FC ∴⊥⊥由折叠的性质可知：1111,A D A E A D A F ⊥⊥ 又111A E A F A ⋂=1A D ∴⊥面1A EF 又EF ⊂面1A EF ，1A D EF ∴⊥；故A 正确. B 选项：当122BE BF BC ===时，112,22A E A F EF ===在1A EF 中，22211A E A F EF +=，则11A E A F ⊥由A 选项可知，1111,A D A E A D A F ⊥⊥ ∴三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直， 把三棱锥1A EFD -22222426++=，三棱锥1A EFD -6，体积为334468633R πππ==，C 选项：当114BE BF BC ===时，113,A E A F EF ===在1A EF中，22222211111338cos 22339A E A F EF EA F A E A F+-+-∠===⋅⨯⨯，1sin 9EA F ∠=则111111sin 332292A EF S A E A F EA F =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=111111433A EFD D A EF A EF V V S A D --∴==⋅⋅==故C 正确；D 选项：设点1A 到平面EFD 的距离为h ，则在EFD △中，2222225524cos 225525DE DF EF EDF DE DF +-+-∠===⋅⨯⨯，7sin 25EDF ∠=则1177sin 5522252EFD S DE DF EDF =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=11173323A EFD DEF V S h h -∴=⋅⋅=⨯⨯=即7h = 故D 正确；故选：ACD【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．10．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥C ．当1AR A C ⊥时，1ARD R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a，a ⎡∈⎣，()Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,22R λλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,2D R λλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C ⊥，则()()12,222212440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时113313,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4433R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14233D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,n =-， 故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.。
2020高考数学一轮复习课时规范练24平面向量的概念及线性运算理北师大版
课时规范练24 平面向量的概念及线性运算基础巩固组1.下列关于平面向量的说法正确的是()A.零向量是唯一没有方向的向量B.平面内的单位向量是唯一的C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量D.共线向量就是相等向量2.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使=0成立的是()A.a⊥bB.a∥bC.a=2bD.a=-b3.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-B.C.D.4.已知向量a与b不共线,=a+m b,=n a+b(m,n∈R),则共线的条件是()A.m+n=0B.m-n=0C.mn+1=0D.mn-1=05.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=AB,BF=BC.如果=m+n(m,n为实数),那么m+n的值为()A.-B.0C.D.16.设向量a,b不共线,=2a+p b,=a+b,=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是()A.-2B.-1C.1D.27.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点M是线段OD的中点,设=a,=b,则= .(结果用a,b表示)8.已知A,B,C为圆O上的三点,若),则的夹角为.9.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.10.设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证;A,B,D三点共线;(2)试确定实数,使a+b和a+b共线.综合提升组11.在△ABC中,D是AB边上的一点,=λ,||=2,||=1.若=b,=a,则用a,b表示为()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b12.在△ABC中,O为其内部一点,且满足+3=0,则△AOB和△AOC的面积比是()A.3∶4B.3∶2C.1∶1D.1∶313.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合,若=+(1-),则实数的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)14.已知D为△ABC边BC的中点,点P满足=0,=λ,则实数λ的值为.创新应用组15.(2018河北衡水中学九模,10)若非零向量a,b满足|a-b|=|b|,则下列不等式恒成立的为()A.|2b|>|a-2b|B.|2b|<|a-2b|C.|2a|>|2a-b|D.|2a|<|2a-b|16.如图,为单位向量,夹角为120°,的夹角为45°,||=5,用表示.参考答案课时规范练24 平面向量的概念及线性运算1.C对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正确;对于B,单位向量的模为1,其方向可以是任意方向,故B不正确;对于C,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故C正确;对于D,由共线向量和相等向量的定义可知D不正确.故选C.2.D由+=0,得=-=0,即b=-·a,则向量a,b共线且方向相反,故选D.3.A=+=++=+=+ (-)=-+.故选A.4.D由=a+mb,=na+b(m,n∈R)共线,得a+mb=λ(na+b)=λna+λb,∵向量a与b不共线,∴即mn-1=0,故选D.5.C如图,=++=-+-=-+- (+)=-+.∵=m+n,∴m=-,n=,∴m+n=.故选C.6.B∵=a+b,=a-2b,∴=+=2a-b.又A,B,D三点共线,∴,共线.设=λ,则2a+pb=λ(2a-b).即2=2λ,p=-λ.解得λ=1,p=-1.7. a+b 由题可知,=+=+=+=b+ (a-b)= a+b.8.90°由= (+),得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故与的夹角为90°.9. =+=+=+ (-)=-+,∵=λ1+λ2,∴λ1=-,λ2=,因此λ1+λ2=.10.(1)证明∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.∴,共线.又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)解∵a+b与a+b共线,∴存在实数λ,使a+b=λ(a+b),即a+b=λa+λb,∴(-λ)a=(λ-1)b.∵a,b是不共线的两个非零向量,∴-λ=λ-1=0.∴2-1=0,∴=±1.11.A由题意,得CD是∠ACB的平分线,则=+=+=+(-)=+=a+b,故选A.12.D如图,在△ABC中,M为AC的中点,则+=2,又由++3=0,则有2=-3,从而可得B,O,M三点共线,且2OM=3BO.由2OM=3BO可得,==,有S△AOB+S△BOC=S△ABC.又由S△AOB=S△ABM-S△AOM=S△CBM-S△COM=S△CBO, 则S△AOB=S△ABC,则=.13.A设=λ(λ>1),则=+=+λ=(1-λ)+λ.又=+(1-),所以+(1-)=(1-λ)+λ.所以λ=1->1,解得<0.14.-2因为D是BC的中点,则+=2.由++=0,得=.又=λ,所以点P是以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此=+=2=-2,所以λ=-2.15.A若两向量共线,则由于向量a,b非零,且|a-b|=|b|,∴必有a=2b;代入可知只有A,C满足;若两向量不共线,结合向量模的几何意义,可以构造如图所示的△ACO,使其满足OB=AB=BC;令=a,=b,则=a-b,∴=a-2b且|a-b|=|b|;又BA+BC>AC,∴|a-b|+|b|>|a-2b|,∴|2b|>|a-2b|.故选A.16.解以,为邻边,为对角线构造平行四边形OECD,把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0,则=λ+μ.∵||=||=1,∴λ=||,μ=||,在△OEC中,∠E=60°,∠OCE=75°,由==,得||==,||==,∴λ=,μ=,∴=+.。
2021高考数学一轮复习课时作业24平面向量的概念及其线性运算文
课时作业24 平面向量的概念及其线性运算[基础达标]一、选择题1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线解析：可举特例，当n ＝0时，满足m ∥n ，n ∥k ，故A ，B ，C 选项都不正确，故D 正确． 答案：D2．[2020·通州模拟]已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC → B.AB →＝12BC →＋DA →C.AD →－DC →＝AC → D ．2CD →＋BA →＝CA →解析：A 错，应为AB →＋AC →＝2AD →；B 错，应为12BC →＋DA →＝BD →＋DA →＝BA →；C 错，应为AC →＝AD →＋DC →；D 正确，2CD →＋BA →＝CB →＋BA →＝CA →，故选D.答案：D3．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a －b 可表示为( ) A ．3e 2－e 1 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 2解析：向量a －b 是以b 的终点为始点，a 的终点为终点的向量．由图形知，a －b ＝e 1－3e 2.答案：C4．[2019·江西南昌二中期末]已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线解析：∵CD →＝－3a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，∴BD →＝CD →＋BC →＝2a ＋6b ，又AB →＝a ＋3b ，∴AB →＝12BD →，∴AB →∥BD →，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B 项．答案：B5．[2020·北京八十中学月考]已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1.若A ，B ，D 三点共线，则mn ＝( )A.12B ．2C ．1D ．－3解析：∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →∥AD →，设AB →＝λAD →，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λn ，m ＝λ，∴mn ＝1.故选C项．答案：C 二、填空题 6．给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c . ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②7．[2020·广西南宁联考]设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.解析：∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝μ(a ＋2b )(μ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，∴λ＝μ＝12.答案：128．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0.则|AB →||BC →|等于________．解析：由已知得，OA →－OB →＝2(OB →－OC →)， ∴AB →＝2BC →，∴|AB →||BC →|＝2.答案：2 三、解答题9．在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解析：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 10．设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值． 解析：(1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →， 又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2，且BF →＝3e 1－k e 2， 由B ，D ，F 三点共线得BF →＝λBD →， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3－k ＝－4λ，解得k ＝12，∴k ＝12.[能力挑战]11．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 解析：由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行． 答案：A12．[2020·清华大学自主招生能力测试]O 为△ABC 内一点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△OBC 和△ABC 的面积比S △OBCS △ABC＝________.解析：如图所示，设AB 的中点为M ，连接OM ，则OA →＋OB →＝2OM →，∴OA →＋OB →＋2OC →＝2OM →＋2OC →＝0，即OM →＋OC →＝0，∴点O 为线段MC 的中点，则S △OBC ＝12S △MBC ＝14S △ABC ，所以S △OBC S △ABC ＝14.答案：1413．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析：OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，所以△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第5章 平面向量 24 Word版含解析
【课时训练】第24节 平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．(2018丰台期末)已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( )A ．3x －4y ＝0B ．3x ＋4y ＝0C ．4x ＋3y ＝0D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2．(2018河南新乡三模)已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)，所以Error!解得Error!所以c ＝(－23，－12)．3．(江苏苏州质检)若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB→＝(3,5)，＝(2,4)，则＝( )AC → AD →A ．(－1，－1)B ．(5,9)C ．(1,1)D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得＝＝－＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－AD → BC → AC → AB →1)．4．(2018浙江温州模拟)已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( )A ．(7,2)B ．(7，－14)C ．(7，－4)D ．(7，－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．5．(2018江西南昌二模)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以Error!解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6．(2018山西临汾三模)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．7．(2018河北衡水二模)已知平行四边形ABCD 中，＝(3,7)，AD →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则的坐标为( )AB → CO →A. B ．(－12，5)(12，5)C.D ．(12，－5)(－12，－5)【答案】D【解析】＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴＝＝AC → AB → AD → OC → 12AC →.∴＝.(12，5)CO → (－12，－5)8．(2018广东揭阳质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝，||＝2.若＝π4OC →OC → λ＋μ，则λ＋μ＝( )OA → OB →A ．2B ．22C ．2D ．4 2【答案】A【解析】因为||＝2，∠AOC ＝，所以点C 的坐标为(，OC → π422)．又＝λOA ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μOC → OB → 22，λ＋μ＝2 .22二、填空题9．(2018陕西西安二模)若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________．【答案】－54【解析】＝(a －1,3)，＝(－3,4)，由题意知∥，∴4(a －AB → AC → AB → AC →1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－.5410．(2019四川眉山中学质检)在△ABC 中，点P 在BC 上，且＝2BP →，点Q 是AC 的中点．若 ＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.PC → PA → PQ → BC →【答案】(－6,21)【解析】∵＝－＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴＝2＝AQ → PQ → PA → AC → AQ →2(－3,2)＝(－6,4)．又＝＋＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴＝3PC → PA → AC → BC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．PC →11．(2018青海西宁质检)已知向量，和在正方形网格中AC → AD → AB →的位置如图所示．若＝λ＋μ，则λμ＝________.AC → AB → AD →【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则＝(2，－2)，AC →＝(1,2)，＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即Error!AB → AD → 解得Error!所以λμ＝－3.12．(2018江西宜春模拟)P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________.【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则Error!得Error!此时a ＝b ＝(－13，－23)．三、解答题13．(2018湖南长沙二模)给定两个长度为1的平面向量和，OA → OB →它们的夹角为.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆2π3弧上运动．若＝x ＋y ，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最AB → OC → OA → OB →大值．【解】以O 为坐标原点，所在的直线为x 轴建立平面直角坐OA →标系，如图所示，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为，(－12，32)设∠AOC ＝α，则点C 的坐标为(cos α，sin α)， (α∈(0，2π3))由＝x ＋y ，得Error!OC → OA → OB →所以x ＝cos α＋sin α，y ＝sin α，332 33所以x ＋y ＝cos α＋sin α＝2sin ，3(α＋π6)又α∈，则α＋∈.[0，2π3]π6[π6，5π6]π6π2π3所以当α＋＝，即α＝时，x＋y取得最大值2.。
高三数学一轮复习课时作业24 平面向量的概念及其线性运算 新人教A版 理
[时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．[2011·四川卷] 如图K24－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )图K24－1A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →2．[2011·成都模拟] 设非零向量a ，b ，c ，若p ＝a |a |＋b |b |＋c|c |，那么|p |的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0,3]D ．[1,2]3．[2011·石狮模拟] 已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－64．[2011·深圳一调] 如图K24－2所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO → 能力提升5．已知λ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a | D ．|λa |＞06．[2011·宁德联考] △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin B ＝1，向量p ＝(a ，b )，q ＝(1,2)．若p ∥q ，则C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π37．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m＝( )A ．2B ．3C ．4D ．58．[2011·信阳模拟] 如图K24－3，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，129．[2011·济南调研] 如图K24－4，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．10．[2011·泰州模拟] 若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC的面积之比为________．11．设a 、b 为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λa ＋μb ＝0，则称a 、b 线性相关，下面的命题中，a 、b 、c 均为已知平面M 上的向量．①若a ＝2b ，则a 、b 线性相关；②若a 、b 为非零向量，且a ⊥b ，则a 、b 线性相关； ③若a 、b 线性相关，b 、c 线性相关，则a 、c 线性相关； ④向量a 、b 线性相关的充要条件是a 、b 共线．上述命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号)12．(13分)[2011·焦作模拟] 如图K24－5所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB →→→＝c ，试用a ，b ，c 表示BC →，MN →.难点突破13．(12分)[2011·湘潭一中模拟] 如图K24－6，G 是△ABC 的重心，OG 延长线交AB于点M ，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ、OP →、OQ →表示；(2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值．课时作业(二十四)【基础热身】1．D [解析] BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，所以选D.2．C [解析] 因为a |a |，b |b |，c|c |是三个单位向量，因此三个向量同向时，|p |的最大值为3.3．D [解析] 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)， ∴4(x ＋3)－(x －6)＝0，x ＝－6.4．C [解析] 设a ＝OP →＋OQ →，利用平行四边形法则作出向量OP →＋OQ →，再平移即发现a ＝FO →.【能力提升】5．C [解析] 当λ＜0时，|λa |＝λ|a |不成立，A 错误；|λa |应该是一个非负实数，而非向量，所以B 不正确；当λ＝0或a ＝0时，|λa |＝0，D 错误．6．B [解析] 由sin B ＝1⇒B ＝π2，在△ABC 中cos C ＝ab，又由p ＝(a ，b )，q ＝(1,2)，p ∥q ⇒2a －b ＝0⇒a ＝b 2，故cos C ＝12⇒C ＝π3.7．B [解析] 由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ， 则AM →＝23AD →①，因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →②，联立①②可得m ＝3，故B 正确． 8．C [解析] ∵AD ＝DB ，AE ＝EC ，∴F 是△ABC 的重心，则DF →＝13DC →，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13(AC →－AD →)＝23AD →＋13AC →＝13AB →＋13AC →， ∴x ＝13，y ＝13.9.311 [解析] AP →＝14AC →＋NP →＝mAB →＋211AC →，NP →＝mAB →－344AC →. NB →＝NC →＋CB →＝34AC →＋(AB →－AC →)＝AB →－14AC →，设NP →＝λNB →，则λAB →－14λAC →＝mAB →－344AC →，m＝λ＝311.10.14 [解析] 由题知B 、M 、C 三点共线，设BM →＝λBC →，则：AM →－AB →＝λ(AC →－AB →)， ∴AM →＝(1－λ)AB →＋λAC →，∴λ＝14，∴S △ABM S △ABC ＝14. 11．①④ [解析] ②若a⊥b ，则a 、b 不线性相关，命题错误；③b 为零向量时，命题错误．12．[解答] BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋c ，∵MN →＝MD →＋DA →＋AN →，又∵MD →＝－12DC →，DA →＝－AD →，AN →＝12AB →，∴MN →＝12a －b －12c .【难点突破】13．[解答] (1)OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →. (2)证明：由(1)，得 OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λy OB →.① ∵G 是△OAB 的垂心，∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.②而OA →、OB →不共线，∴由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧1－λx ＝13，λy ＝13.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ，∴1x ＋1y ＝3，即1x ＋1y是定值．。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题24 平面向量的概念及其线性运算(解析版)
考点24 平面向量的概念及其线性运算1．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试理）已知向量(1,3)BA =-u u u r ，向量(4,2)BC u u u r=-，则ABC∆的形状为（ ）A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰非直角三角形【答案】A 【解析】画出图像如下图所示，由图可知10,2025AB BC BC ====满足勾股定理，故为等腰直角三角形.2．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）设,a b r r 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=v v ”是“a b a b +=+r r r r ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】存在实数λ，使得a b λ=vv，说明向量,a b r r 共线，当,a b r r同向时，a b a b +=+r r r r 成立， 当,a b r r反向时，a b a b +=+r r r r 不成立，所以，充分性不成立.当a b a b +=+r r r r 成立时，有,a b r r 同向，存在实数λ，使得a b λ=v v成立，必要性成立， 即“存在实数λ，使得a b λ=v v ”是“a b a b +=+r r r r ”的必要而不充分条件.故选：B .3．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试理）已知向量(,2)a m =r ，(1,1)b =r，若||||||a b a b +=+r r r r，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．12-【答案】A 【解析】根据题意，向量a =r（m ，2），b =r （1，1）， 则a b +=r r （m +1，3），则|a b +r r |=|a r|=|b r|=若|a b +rr|＝|a r|+|b r|=两式平方得到2m +=2440.m m -+= 解可得：m ＝2； 故答案为：A ．4．（河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺一理）已知等边三角形ABC 中，D 是线段AC 的中点，DE AB ⊥，垂足为,E F 是线段BD 的中点，则DE =u u u r（ ） A ．3584BD FC -+u u ur u u u rB ．3584BD FC -u u ur u u u rC ．1384BD FC -u u ur u u u rD ．1384BD FC -+u u ur u u u r【答案】C 【解析】∵F 是线段BD 的中点，∴CF uuu v =()12CD CB +u u uv u u u v =1113 4244CA CB BA BC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ；∵D 是线段AC 的中点，∴BD u u u v =()12BA BC +u uu v u u u v ； 又34DE BE BD BA BD =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =()31114242BA BA BC BA BC -+=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v； 令DE BD FC λμ=+u u u v u u u v u u u v ，则()1134224BA BC BA BC BC λμ-=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v - 4BA μu u u v =（32424BA BC λμλμ-++u u uv u u u v ）（），∴1424λμ=-，13224λμ-=+，解得34μ=-，18λ=，∴1384DE BD FC=-u u u v u u u v u u u v，故选C.5．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试）已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设与的夹角为，由向量夹角公式得，所以选D项．6．（2019年3月2019届高三第一次全国大联考理）已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则A．25 B．7 C．5 D．【答案】D【解析】因为，且向量，的夹角为，所以，所以．本题选择D选项．7．（山东省师大附中2019届高三上学期第二次模拟考试数学理）设是非零向量，则是成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量所以成立;反之不成立.故选B ．8．（2019学年唐山市度高三年级第一次模拟考试）在ABC △中，90B ∠=︒，()12AB =-u u u r ，，()3AC λ=u u u r，，则λ=（ ） A ．1- B ．1C ．32D ．4【答案】A 【解析】由题ABC △ 中， (1? 2)(3? )?22AB AC BC AC AB λλ-∴=-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r＝，，＝，，（，）， 又90?0B AB BC AB BC u u u r u u u r u u u u r u u u r，，∠=︒∴⊥∴⋅=即2220λ-+=（）， 解得1λ=-． 故选A ． 9．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月）在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====uu u r uu u r uuu r uuu r 若CP C 12,Q ⋅=uu r uu u r则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C 【解析】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 10．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科）在ABC ∆中，2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，0AE DE +=u u u r u u u r r，若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则（ ） A ．3y x = B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D 【解析】因为2AB AC AD +=u u u v u u u v u u u v ，所以点D 是BC 的中点，又因为0AE DE +=u u u v u u u v v，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，因此31,344x y x y =-=⇒=-，故本题选D.11．（江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试）在△ABC 中，,2,BD DC AP PD BP AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλμ===+，则λμ+= （ ）A ．1-3B ．13C ．1-2D ．12【答案】A 【解析】因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以23BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以211=,,333λμλμ-=∴+=- 故选：A ．12．（河南省新乡市2019届高三第三次模拟测试理科）设向量12,e e r r是平面内的一组基底，若向量123a e e =--r r r 与12b e e λ=-r r r共线，则λ=（ ）A ．13B ．13-C ．3-D ．3【答案】B 【解析】因为a r与b r共线，所以存在R μ∈，使得a b μ=rr，即()12123e e e e μλ--=-r r r r，故3μ=-，1λμ-=-，解得13λ=-. 13．（四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试）定义域为[],a b 的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，向量(1)ON OA OB u u u v u u u v u u u vλλ=+-，(,)M x y 是()f x 图像上任意一点，其中(1)x a b λλ=+-，若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值.若函数2y x=定义在[1,2]上，则该函数的线性近似阈值是（ ）A ．2-B ．111(0,1)(2,2)(3,1)A B O ---C ．3+D ．2+【答案】B 【解析】 作出函数2y x=图像，它的图象在[]1,2上的两端点分别为：()1,2A ,()2,1B所以直线AB 的方程为：30x y +-=设(),M x y 是曲线2y x=上的一点，[]1,2x ∈，其中()112x λλ=⨯+-⨯ 由()1ON OA OB λλ=+-u u u v u u u v u u u v，可知,,A B N 三点共线，所以N 点的坐标满足直线AB 的方程30x y +-=，又()1,2OA =u u u r ,()2,1OB =u u u r,则()()()21,21ON λλλλ=+-+-u u u v所以,M N 两点的横坐标相等. 故()23MN x x=-- 函数2y x=在[]1,2上满足“k 范围线性近似” 所以x ∈[]1,2时，()23x k x--≤恒成立. 即：()max23x k x --≤恒成立. 记()23y x x =--，整理得：23y x x=+-，x ∈[]1,2 2233223y x x x x=+-≥⨯=，当且仅当2x =时，等号成立。
高考数学一轮复习同步训练 第24讲《平面向量基本定理及向量坐标运算》文 北师大版必修4
[时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(6,9)B ．(5,4)C ．(7,14)D ．(9,24)2．原点O 在正六边形ABCDEF 的中心，OA →＝(－1，－3)，OB →＝(1，－3)，则OC →等于( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(0，－23)D ．(0，3)3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝________. 能力提升5．[2011·广东卷] 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 6．已知O 为原点，A 、B 是两定点，OA →＝a ，OB →＝b ，且点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q关于点B 的对称点为R ，则PR →等于( )A ．a －bB ．2(a －b )C ．2(b －a )D ．b －a7．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 8．已知平面向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(3，－5)，则用a ，b 表示向量c 为( )A ．2a －bB ．－a ＋2bC ．a －2bD ．a ＋2b9．已知AB →＝(2，－1)，AC →＝(－4,1)，则BC →的坐标为________．10．[2011·湖南卷] 设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．11．在坐标平面内，已知A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →；③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →.其中所有正确结论的序号为________．12．(13分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |(0<θ<π)，求θ的值．难点突破13．(12分)如图K24－1，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a 、b 为基底表示OM →.课时作业(二十四)【基础热身】1．B [解析] OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6,9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5,4)，故点B 坐标为(5,4)．2．A [解析] ∵正六边形中，OABC 为平行四边形，∴OB →＝OA →＋OC →，∴OC →＝OB →－OA →＝(2,0)．3．B [解析] 由计算可得c ＝(4,2)＝3a －b ，故选B.4．－12 [解析] m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )， a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由于m a ＋n b 与a －2b 共线，则有2m －n 4＝3m ＋2n －1， ∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12. 【能力提升】5．B [解析] 因为a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a ＋λb )∥c ，所以(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12. 6．C [解析] 设OA →＝a ＝(x 1，y 1)，OB →＝b ＝(x 2，y 2)，则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设P (x ，y )，则由中点坐标公式可得Q (2x 1－x,2y 1－y )，R (2x 2－2x 1＋x,2y 2－2y 1＋y )．∴PR →＝OR →－OP →＝(2x 2－2x 1,2y 2－2y 1)，＝2(x 2，y 2)－2(x 1，y 1)，即PR →＝2(b －a )．7．A [解析] ∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＋OB →－2OA →＝0，∴OC →＝2OA →－OB →.8．C [解析] 设c ＝x a ＋y b ，∴(3，－5)＝(x －y ，－x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3，－x ＋2y ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. ∴c ＝a －2b .9．(－6,2) [解析] BC →＝AC →－AB →＝(－6,2)．10．(－4，－2) [解析] 因为a 与b 的方向相反，根据共线向量定义有：a ＝λb (λ<0)，所以a ＝(2λ，λ)．由||a ＝25，得2λ2＋λ2＝25⇒λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a ＝(－4，－2)．11．①③④ [解析] ①∵OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)，∴OC →＝－(2，－1)＝－BA →，又OC ，BA 不共线，∴OC ∥BA ，∴①正确；②∵AB →＋BC →＝AC →≠CA →，∴②错误；③∵OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，∴③正确；④∵AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，∴④正确．12．[解答] (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5，从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.【难点突破】13．[解答] 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a .因为A 、M 、D 三点共线，所以m －1－1＝n 12，即m ＋2n ＝1，又CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝－14a ＋b ，因为C 、M 、B 三点共线，所以m －14－14＝n 1，即4m ＋n ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37.∴OM →＝17a ＋37b .。
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课时规范练24 平面向量的概念及线性运算
基础巩固组
1.下列关于平面向量的说法正确的是()
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.平面内的单位向量是唯一的
C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量
D.共线向量就是相等向量
2.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是()
A.a=-b
B.a∥b
C.a=2b
D.a∥b,且|a|=|b|
3.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()
A.=-
B.
C. D.
4.(2017北京丰台一模,理4)设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=AB,BF=BC.如果
=m+n(m,n为实数),那么m+n的值为()
A.-
B.0
C.
D.1
5.设向量a,b不共线,=2a+p b,=a+b,=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是()
A.-2
B.-1
C.1
D.2
6.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若+2=3,则的值为()
A. B.
C. D.
7.在四边形ABCD中,O是四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,=a-b+c,则四边形ABCD的形状为()
A.梯形
B.正方形
C.平行四边形
D.菱形
8.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的三等分点,=a,=b,则=()
A.a-b
B.a-b
C.a+b
D.a+b〚导学号21500726〛
9.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5+3,则△ABM与△ABC的面积比
为.
10.已知A,B,C为圆O上的三点,若),则的夹角为.
11.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足=0,=λ,则实数λ的值
为.
12.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=.
综合提升组
13.在△ABC中,D是AB边上的一点,=λ,||=2,||=1.若=b,=a,则用a,b表示为()
A.a+b
B.a+b
C.a+b
D.a+b
14.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合,若=x+(1-x),则实数x的取值范围是()
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-1,0)
D.(0,1)
15.A,B,C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O,存在实数t使得
=t+.
16.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c=.
创新应用组
17.已知A,B,C三点不共线,且点O满足=0,则下列结论正确的是()
A.
B.
C.
D.=-
18.(2017安徽马鞍山质检)已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足
),,则△APD的面积为()
A. B.
C. D.2〚导学号21500727〛
参考答案
课时规范练24平面向量的
概念及线性运算
1.C对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正确;对于B,单位向量的模为1,其方向可以是任意方向,故B不正确;对于C,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故C正确;对于D,由共线向量和相等向量的定义可知D不正确.故选C.
2.C因为表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量,所以只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.
3.A)=-.故选A.
4.C如图,=-=-)=-.
∵=m+n,
∴m=-,n=,
∴m+n=.故选C.
5.B∵=a+b,=a-2b,
∴=2a-b.
又A,B,D三点共线,
∴共线.设=λ,
则2a+p b=λ(2a-b).
即2=2λ,p=-λ.解得λ=1,p=-1.
6.A由+2=3,得=2-2,即=2,所以.故选A.
7.C因为=a-b+c,所以=c-b.
又=c-b,
所以且||=||,
所以四边形ABCD是平行四边形.
8.D连接CD(图略),由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB,且a,所以
=b+a.
9.如图,设AB的中点为D.
由5+3,
得3-3=2-2,
即3=2,
故C,M,D三点共线,且,也就是△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,故△ABM与△ABC的面积比为.
10.90°由),得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故的夹角为90°.
11.-2如图,由=λ,且=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的顶点,因此
=-2,故λ=-2.
12.1如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以=0,=0.
又因为=0,
所以.①
同理.②
由①+②,得2+()+()=,所以
),
所以λ=,μ=.所以λ+μ=1.
13.A由题意,得CD是∠ACB的平分线,
则)
=a+b,故选A.
14.A设=λ(λ>1),
则+λ=(1-λ)+λ.
又=x+(1-x),
所以x+(1-x)=(1-λ)+λ.
所以λ=1-x>1,解得x<0.
15.(1-t)根据共线向量定理知,A,B,C三点共线的充要条件是存在实数t使得=t,即
=t(),即=t+(1-t).
16.0因为a+b与c共线,
所以a+b=λ1c.①
又因为b+c与a共线,
所以b+c=λ2a.②
由①得b=λ1c-a.
所以b+c=(λ1+1)c-a=λ2a,
所以
所以a+b+c=-c+c=0.
17.D∵=0,
∴O为△ABC的重心,
∴=-)=-)=-)=-
(2)=-,故选D.
18.A取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形,所以AE⊥BC,).
又),所以点D是AE的中点,AD=.取,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知.因为△APD是直角三角形,AF=,所以△
APD的面积为.。