2014-2015学年湖北省武汉市部分重点学校高一(上)期末数学试卷含答案

2014-2015学年湖北省武汉市部分重点学校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个正确的答案，请在答题卡上把相应地方用2B铅笔涂黑）1．（5.00分）已知全集U=R，集合A={x∈Z|y=}，B={x|x＞6}，则A∩（C U B）=（）A．[4，6]B．[4，6） C．{4，5，6}D．{4，5}2．（5.00分）sin（﹣660°）=（）A．B．C．D．﹣3．（5.00分）设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．π4．（5.00分）函数y=sin（2x+）的图象可由函数y=sinx的图象怎样变换而来？（）A．先向左平移，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍B．先向左平移，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的C．先向右平移，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍D．先向左平移，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的5．（5.00分）函数y=|tanx|的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．无最小正周期6．（5.00分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（5.00分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0，﹣＜ϕ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．D．，8．（5.00分）若函数y=a x+b的图象如图，则函数y=的图象为（）A．B． C．D．9．（5.00分）函数f（x）=asinx+blog2（x+）+4（a、b为常数），若f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣4，则f（x）在（﹣∞，0）上有（）A．最大值﹣2 B．最大值4 C．最大值10 D．最大值1210．（5.00分）定义在（﹣1，1）的函数f（x）﹣f（y）=f（），当x∈（﹣1，0）时f（x）＜0，若P=f（）+f（），Q=f（），R=f（0），则P，Q，R的大小为（）A．R＞P＞Q B．R＞Q＞P C．P＞Q＞R D．Q＞P＞R二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把每题的答案填在答题卡上相应的地方）11．（5.00分）已知sinx+cosx=，则sin2x=．12．（5.00分）已知α为锐角，且，则sinα=．13．（5.00分）若函数y=2sin（x+m﹣）的图象关于y轴对称，则实数m（m ＞0）的最小值为．14．（5.00分）已知f（x）=，则满足f（m）≤f（）的实数m的取值范围为．15．（5.00分）已知函数f（x）=2sin（2x+）+n在区间[0，]上的最大值为3，则（Ⅰ）n=；（Ⅱ）对任意a∈R，函数y=f（x+a）在[0，10π]上的零点个数为．三、解答题（本大题有6个小题，共75分，解答题要写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12.00分）已知A={x|a≤x≤a+2}，B={x|x＞1或x＜﹣6}（1）若A∩B=ϕ，求实数a的取值范围；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．17．（12.00分）已知角α的终边过点P（x，﹣1），且sinα=x．（其中x＜0）（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（12.00分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=（1）求证：sinα•cosβ=5cosα•sinβ（2）若已知0＜α+β＜，0＜α﹣β＜，求cos2α的值．19．（12.00分）已知函数f（x）=sin2x+2cosx•sin（x﹣）+sinxcosx．（1）求函数y=f（x）的增区间（2）若2f（x）﹣m+1=0在[，]有两个相异的实根，求m的取值范围．20．（13.00分）某地绿化治理沙漠需要大量用水，第1年的用水量约为100（百吨），第2年的用水量约为120（百吨）．该地政府综合各种因素预测：①每年的用水量会逐年增加；②每年的用水量都不能达到130（百吨）．某校数学兴趣小组想找一个函数y=f（x）来拟合该项目第x（x≥1）年与当年的用水量y（单位：百吨）之间的关系，则函数y=f（x）必须符合预测①：f（x）在[1，+∞）上单调递增；预测②：f（x）＜130对x∈[1，+∞）恒成立．（1）若f（x）=+n，试确定m，n的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；（2）若f（x）=a•b x+c（b＞0，b≠1），欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b的取值范围．21．（14.00分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，对任意x∈R均有f（x+4）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=log a（4﹣x）（a＞1）（1）当x∈[﹣2，0]时，求f（x）的表达式；（2）当x∈[4k﹣2，4k+2]（k∈z）时，求f（x）的表达式；（3）若f（x）的最大值为2，解关于x的不等式f（x）＞log23．2014-2015学年湖北省武汉市部分重点学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个正确的答案，请在答题卡上把相应地方用2B铅笔涂黑）1．（5.00分）已知全集U=R，集合A={x∈Z|y=}，B={x|x＞6}，则A∩（C U B）=（）A．[4，6]B．[4，6） C．{4，5，6}D．{4，5}【解答】解：A={x∈Z|y=}={x|x≥4，且x∈Z}，C U B={x|x≤6}，则A∩（C U B）={4，5，6}，故选：C．2．（5.00分）sin（﹣660°）=（）A．B．C．D．﹣【解答】解：sin（﹣660°）=sin（﹣720°+60°）=sin60°=，故选：B．3．（5.00分）设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．π【解答】解：设扇形中心角的弧度数为α，半径为r．则αr=2，=2，解得α=1．故选：A．4．（5.00分）函数y=sin（2x+）的图象可由函数y=sinx的图象怎样变换而来？（）A．先向左平移，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍B．先向左平移，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的C．先向右平移，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍D．先向左平移，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的【解答】解：将函数y=sinx的图象先向左平移，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍即可得到y=sin（2x+）的图象，故选：B．5．（5.00分）函数y=|tanx|的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．无最小正周期【解答】解：∵y=tanx的周期为π，而y=|tanx|的周期和y=tanx的周期相同，∴函数y=|tanx|的最小正周期为π，故选：B．6．（5.00分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．7．（5.00分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0，﹣＜ϕ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．D．，【解答】解：由图知，==﹣=，故ω=2．由“五点作图法”知，×2+ϕ=，解得ϕ=﹣∈（﹣，），故选：A．8．（5.00分）若函数y=a x+b的图象如图，则函数y=的图象为（）A．B． C．D．【解答】解：由图象可知函数为减函数，则0＜a＜1，∵f（0）=1+b∈（0，1），∴﹣1＜b＜0，则函数y===a+，则对应的图象为A．故选：A．9．（5.00分）函数f（x）=asinx+blog2（x+）+4（a、b为常数），若f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣4，则f（x）在（﹣∞，0）上有（）A．最大值﹣2 B．最大值4 C．最大值10 D．最大值12【解答】解：令F（x）=f（x）﹣4=asinx+blog2（x+），则F（﹣x）=asin（﹣x）+blog2（﹣x+），=﹣（asinx+blog2（x+））=﹣F（x）；∵f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣4，∴F（x）在（0，+∞）上有最小值﹣8；∴F（x）在（﹣∞，0）上有最大值8；故f（x）在（﹣∞，0）上有最大值8+4=12；故选：D．10．（5.00分）定义在（﹣1，1）的函数f（x）﹣f（y）=f（），当x∈（﹣1，0）时f（x）＜0，若P=f（）+f（），Q=f（），R=f（0），则P，Q，R的大小为（）A．R＞P＞Q B．R＞Q＞P C．P＞Q＞R D．Q＞P＞R【解答】解：取x=y=0，则f（0）﹣f（0）=f（0），所以，f（0）=0，设x＜y，且满足﹣1＜x＜y＜1，则﹣1＜＜0，所以f（）＜0，又f（x）﹣f（y）=f（），所以f（x）＜f（y），所以函数f（x）在（﹣1，1）上为增函数，由f（x）﹣f（y）=f（），得：f（x）=f（y）+f（），取y=，=，则x=，所以P=f（）+f（）=f（），因为0＜＜，所以f（0）＜f（）＜f（）．所以R＜P＜Q．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把每题的答案填在答题卡上相应的地方）11．（5.00分）已知sinx+cosx=，则sin2x=﹣．【解答】解：∵sinx+cosx=，∴（sinx+cosx）2=1+sin2x=，∴sin2x=﹣，故答案为：﹣．12．（5.00分）已知α为锐角，且，则sinα=．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：13．（5.00分）若函数y=2sin（x+m﹣）的图象关于y轴对称，则实数m（m＞0）的最小值为．【解答】解：∵函数y=2sin（x+m﹣）的图象关于y轴对称，∴m﹣=+kπ，即m=+kπ，k∈Z，∵m＞0，∴当k=0时，实数m（m＞0）的最小值为，故答案为：．14．（5.00分）已知f（x）=，则满足f（m）≤f（）的实数m的取值范围为[，2] ．【解答】解：f（）==2，当m≥1时，f（m）≤f（）即为2m﹣2≤2，解得m≤2，则有1≤m≤2；当0＜m＜1时，f（m）≤f（）即为≤2，解得m≥，则有≤m≤1．综上可得，实数m的取值范围为[，2]．故答案为：[，2]．15．（5.00分）已知函数f（x）=2sin（2x+）+n在区间[0，]上的最大值为3，则（Ⅰ）n=1；（Ⅱ）对任意a∈R，函数y=f（x+a）在[0，10π]上的零点个数为40或41．【解答】解：（Ⅰ）当0≤x≤，则≤2x+≤，则当2x+=时，函数取得最大值为f（x）=2+n=3，解得n=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+）+1，∴T==π，∴对于区间[a，a+20π]的长度为20π+a﹣a=20π，∴在此区间上，函数f（x）可以有20个周期，当a=﹣+kπ（k∈Z）时，在第一个周期内恰有3个零点，以后每个周期均由2个零点，则此时零点个数为：20×2+1=41．当a≠﹣+kπ（k∈Z）时，在每个周期内有2个零点，则此时零点个数为：20×2=40．综合得零点的个数为40或41个，故答案为：1，40或41．三、解答题（本大题有6个小题，共75分，解答题要写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12.00分）已知A={x|a≤x≤a+2}，B={x|x＞1或x＜﹣6}（1）若A∩B=ϕ，求实数a的取值范围；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|a≤x≤a+2}，B={x|x＞1或x＜﹣6}，且A∩B=∅，∴，解得：﹣6≤a≤﹣1；（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，∵A={x|a≤x≤a+2}，B={x|x＞1或x＜﹣6}，∴a+2＜﹣6或a＞1，解得：a＜﹣8或a＞1．17．（12.00分）已知角α的终边过点P（x，﹣1），且sinα=x．（其中x＜0）（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）根据题意得：sinα==x，整理得：x4+x2﹣20=0，即（x2﹣4）（x2+5）=0，解得：x=2或x=﹣2，∵x＜0，∴x=﹣2，∴si nα=﹣，cosα=﹣=﹣，则tanα=；（2）∵tanα=，∴tan2α===，原式===﹣2．18．（12.00分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=（1）求证：sinα•cosβ=5cosα•sinβ（2）若已知0＜α+β＜，0＜α﹣β＜，求cos2α的值．【解答】（1）证明：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴2sinαcosβ+2cosαsinβ=1①，3sinαcosβ﹣3cosαsinβ=1②，②﹣①得：sinαcosβ﹣5cosαsinβ=0，则sinαcosβ=5cosαsinβ；（2）∵sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，0＜α+β＜，0＜α﹣β＜，∴cos（α+β）=，sin（α﹣β）=，则cos2α=cos[（α+β）+（α﹣β）]=cos（α+β）cos（α﹣β）﹣sin（α+β）sin（α﹣β）=×﹣×=．19．（12.00分）已知函数f（x）=sin2x+2cosx•sin（x﹣）+sinxcosx．（1）求函数y=f（x）的增区间（2）若2f（x）﹣m+1=0在[，]有两个相异的实根，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+2cosx•sin（x﹣）+sinxcosx…2分=×（）+2cosx（sinx﹣cosx）+sinxcosx=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）…4分∴由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）…6分（2）2f（x）﹣m+1=0在[，]内有两个相异的实根，f（x）=两个相异的实根，即y=f（x）图象与y=图象有两个交点，…8分结合函数图象，当1≤＜2，解得：m∈[3，5）时原方程有两个相异的实根，故m∈[3，5）…13分20．（13.00分）某地绿化治理沙漠需要大量用水，第1年的用水量约为100（百吨），第2年的用水量约为120（百吨）．该地政府综合各种因素预测：①每年的用水量会逐年增加；②每年的用水量都不能达到130（百吨）．某校数学兴趣小组想找一个函数y=f（x）来拟合该项目第x（x≥1）年与当年的用水量y（单位：百吨）之间的关系，则函数y=f（x）必须符合预测①：f（x）在[1，+∞）上单调递增；预测②：f（x）＜130对x∈[1，+∞）恒成立．（1）若f（x）=+n，试确定m，n的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；（2）若f（x）=a•b x+c（b＞0，b≠1），欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b的取值范围．【解答】解：（1）将（1，100）、（2、120）代入到f（x）=+n中，得，解得m=﹣40，n=140，∵f（x）=﹣+140，∴f′（x）=＞0，故f（x）在[1，+∞）上单调递增，符合预测①；又当x≥4 时，f（x）=﹣+140≥130，∴此时f（x）不符合预测②；（2）∵f（x）=a•b x+c（b＞0，b≠1），将（1，100）、（2、120）代入到f（x）=a•b x+c，∴，解得a=，c=100﹣，∴f′（x）=ab x lnb，要想符合预测①，则f′（x）＞0，∴alnb＞0，∴或，①当b＞1时，a=＞0，此时符合预测①，但由f（x）≥130，解得x≥，即当x≥时，f（x）≥130，∴此时f（x）不符合预测②；②当0＜b＜1，a=＜0，此时符合预测①，又由x≥1，知b x∈（0，b]，∴ab x∈[ab，0），∴f（x）∈[ab+c，c），要使得f（x）也符合预测②，则c≤130，∴100﹣≤130，又0＜b＜1，解得0＜b≤．综上所述，b的取值范围是（0，]．21．（14.00分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，对任意x∈R均有f（x+4）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=log a（4﹣x）（a＞1）（1）当x∈[﹣2，0]时，求f（x）的表达式；（2）当x∈[4k﹣2，4k+2]（k∈z）时，求f（x）的表达式；（3）若f（x）的最大值为2，解关于x的不等式f（x）＞log23．【解答】解：（1）当x∈[﹣2，0]时，f（x）=f（﹣x）=log a[4﹣（﹣x）]=log a（4+x）；（2）当x∈[4k﹣2，4k]（k∈z）时，x﹣4k∈[﹣2，0]，f（x）=f（x﹣4k）=log a[4+（x﹣4k）]．当x∈[4k，4k+2]（k∈Z）时，x﹣4k∈[0，2]，f（x）=f（x﹣4k）=log a[4﹣（x﹣4k）]．故当x∈[4k﹣2，4k+2]（k∈Z）时，f（x）的表达式为f（x）=；（3）∵f（x）是以4为周期的周期函数，且为偶函数，∴f（x）的最大值就是当x∈[0，2]时，f（x）的最大值．∵a＞1，∴f（x）=log a（4﹣x）在[0，2]上是减函数，∴f（x）的最大值为f（0）=log a4=2，∴a=2．当x∈[﹣2，2]时，f（x）=log2（4﹣|x|），由f（x）＞log23，即有4﹣|x|＞3，解得﹣1＜x＜1．∵f（x）是以4为周期的周期函数，∴f（x）＞log23的解集为（4k﹣1，4k+1）（k∈Z）．。