“函数的单调性”教学设计——“数学归纳法(第一课时)”教学点评
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间 Ｄ上 是递 减 的 （ 如图７ ） ．
增等．
（ ３ ） 已知 ａ ＜ ｘ ＜ ｚ ＜ ３ ＜ ６ ，若 有ｆ（ ａ ） （ 。 ） （ ： ） ＜
增吗？
【 说 明】为表 达准 确规 范 ，要 求学 生先写 下来 ，
当 ＞ 时 ，都 有 ｆ（ ， ）＜ 厂（ ） ，则 称 函数 Ｙ＝ ／（ Ｘ ）
（ ４ ） 设函数 Ｙ ＝ （ ） 的定义域为 Ｒ，任取
Ｘ ２ ∈ Ｒ ，
特 别 报 道 》
丁 ， 薯昂 ｌ ｌ Ｅ 。 Ａ ． Ｑ Ｑ ． Ｑ… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
【 说明】 函数图象虽然直观 ，但是缺乏精确性 ，必 破 “ 无 限 ”的数 学 方 法 ，体 会 用 “ 任 意 ”来 处 理 “ 无
须结合 函数解析式；但仅凭解析 式常常也难 以判断其 限 ” 的数 学思 想 ．
单调 性 ．借 此 认 知冲 突 ，让 学 生 意识 到 学 习形 式 化定 义 的必要 性．学生 自然开 始探 索． 学 习单 ３ ：引 导探 索 ，生成 新知 ． 问题 ４ ：（ １ ） 如何 理 解 “ Ｙ随 的增 大而增 大 ” ，或 者说 怎 样用 数学 符号 描 述 函数 图象 的 “ 上 升 ”特征 ？
调 性 ，三 个 点 也 不 行 ，进 而 思考 无 数 个 点是 否 可 以． 者作 图） ． 引导学生过渡到符号化表 示，体会取点的 “ 任意性” ， （ １ ） 设 函数 Ｙ＝ ，（ ） 的定义 域 为 ［ 口 ，＋ ０ Ｏ ） ，若 对 任 呈 现 知识 的 自然 生成． 意 ＞ ０ ，都有ｆ （ ｘ ） ＞ 厂 （ ０ ） ，则 Ｙ ＝ 厂（ ） 在区间［ ０ ，＋ ∞） （ ４ ） 已知 ０ ＜ １ ＜ ２ ＜ ３ ＜ ４ ＜… ＜ｂ ，若 有 ｆ（ 口 ） ＜ 上递增 ； ｆ（ ） ＜ 厂（ ） ＜ （ Ｘ ， ） ＜ （ ） ＜… ＜ （ ｂ ） ，能保 证 函数 （ ２ ） 设 函数 Ｙ＝ 厂（ ） 的定 义 域 为 Ｒ，若 对 任 意 Ｙ＝ ． 厂 （ ） 在区间［ ０ ，ｂ ］ 上递 增 吗 ？ ∈ ，＋ ０ ｏ ） ，且 。 ＞ ，都刁 厂 （ ） ＞ ／（ ） ，贝 ０ Ｙ＝ ／（ ） 【 说明】先让持赞 同观 点的学生说明理 由，再让持 是 递增 的 ；
《特 别 报 道
…
Ｔ 。 Ｅ 零 ｌ 豪 ｓ ｎ Ｑ
预 设 ：学 生 会 凭 感 觉 猜 测 ， 可 追 问 学 生 的判 定
依据 ．
紧接 着师 生 一起 回顾 子集 的概念 （ ｐ ｐ ｔ 展 示教材 上 的子 集 定义） ，再 次体 验 对 “ 任 意一 个 ”进 行操 作 ，突
问题 ５ ：如何用数学语言准确刻画函数 Ｙ ＝ ｆ（ ） 在
区 间 Ｄ上递 增 呢 （ 如图 ６ ） ？
以二次函数 ｆ （ ） ＝ 在区间［ ０ ，＋ ∞） 上 的单调性
为 例 ，用 几 何 画板 软 件 动 画演 示 “ Ｙ随 的增 大 而 增 大” ，生 成表 格 （ 表格 略 ，共 １ ５对数 据 ） ．
ｆ（ ｘ 。 ） ＜ （ ｂ ） ，能 保证 函数 Ｙ＝ ，（ ） 在 区间 ［ ０ ，ｂ ］ 上 递 然 后 展 示 ， 并 有 意 引 导 学 生使 用 “ 任 意 。 ， ∈Ｄ， 利用 几何 画板软 件改 变 函数 Ｙ＝厂 （ ） 的 图象 ，观 察 在 区间 Ｄ 上递 减 ” ， 以此打 破 必 须 有 “ 。 ＜ ” 的 思维
图 ６ 图 ７
【 说 明】 先借助 图形 、动 画和表格 等直观感 受 “ Ｙ
即若 ＜ ，则 Ｙ ＜ｙ ２ ．为 突破难 点做 好 铺垫 ．
预设 ：让 学 生 自行 尝 试 概 括 定 义 ，然 后 师 生 共 同
任意 随 的增大而增大” ，引导学生思考 ，得 出符号表示 ， 完 善 ，并 板书 “
： ∈ Ｄ ，当 ＜ 时 ，都 有
ｆ（ 。 ） ＜ 厂（ ： ） ，则 称 函数 Ｙ＝ 厂（ ） 在 区 间 Ｄ上 递 增 ” ，
任意”和 “ 都有” ；若缺少关键词 “ 任 （ ２ ） 已知 口 ＜ ＜ ： ＜ ｂ ，若有ｆ （ ａ ） ＜ （ ） ＜ Ｉ 厂 （ ） ＜ 则突出关键词 “
ｆ（ ｂ ） ． 能 保证 函数 Ｙ＝ 厂（ ） 在 区间 ［ ０ ，ｂ ］ 上递增 吗 ？
．
取”或 “ 任意” ，则 追 问 ： “ 验证 两 个点 就能 保证 函数 在
利用几何 画板软件改变函数 Ｙ ＝ 厂 （ ） 在区间［ 口 ，ｂ ］ 区 间 Ｄ上递 增 吗 ？”
上 的 图象 ，可 以递 增 ，可 以先 增后 减 ，也 可 以先 减 后 问题 ６ ：试 着 用 数 学 语 言 定 义 函 数 Ｙ＝厂 （ பைடு நூலகம்） 在 区
反对意见的学生作 图反驳． 有意引发争论 ，强化理解 ，
突破 难 点．然后 追 问 ：无 数个 也不 能保 证 函数 递 增 ，
（ ３ ） 反 比例 函数 厂（ ）＝
．
的 单 调 递 减 区 间 是
一 ｏ 。 ，Ｏ ） Ｕ（ ０ ，＋ ∞） ； 该 怎么办？若 学生 回答全部取 完或任 取 ，教 师追 问： （ 总不 能一个 个 的验 证 吧？
函数 Ｙ：厂 （ ） 在 区 间［ 口 ，ｂ ］ 上 的图象 变化 ．
．
定 势． 学 习单 ４ ：学 以致 用 ，理解 感悟 ． 判 断题 ：下 列说 法 是 否 正 确 ，说 明理 由 （ 举 例 或
【 说 明】先让学生讨论交流并举反例 ，然后借助几
何 画板 软 件 动 态说 明验 证 两个 定 点不 能 确 定 函数 的单
增等．
（ ３ ） 已知 ａ ＜ ｘ ＜ ｚ ＜ ３ ＜ ６ ，若 有ｆ（ ａ ） （ 。 ） （ ： ） ＜
增吗？
【 说 明】为表 达准 确规 范 ，要 求学 生先写 下来 ，
当 ＞ 时 ，都 有 ｆ（ ， ）＜ 厂（ ） ，则 称 函数 Ｙ＝ ／（ Ｘ ）
（ ４ ） 设函数 Ｙ ＝ （ ） 的定义域为 Ｒ，任取
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【 说明】 函数图象虽然直观 ，但是缺乏精确性 ，必 破 “ 无 限 ”的数 学 方 法 ，体 会 用 “ 任 意 ”来 处 理 “ 无
须结合 函数解析式；但仅凭解析 式常常也难 以判断其 限 ” 的数 学思 想 ．
单调 性 ．借 此 认 知冲 突 ，让 学 生 意识 到 学 习形 式 化定 义 的必要 性．学生 自然开 始探 索． 学 习单 ３ ：引 导探 索 ，生成 新知 ． 问题 ４ ：（ １ ） 如何 理 解 “ Ｙ随 的增 大而增 大 ” ，或 者说 怎 样用 数学 符号 描 述 函数 图象 的 “ 上 升 ”特征 ？
调 性 ，三 个 点 也 不 行 ，进 而 思考 无 数 个 点是 否 可 以． 者作 图） ． 引导学生过渡到符号化表 示，体会取点的 “ 任意性” ， （ １ ） 设 函数 Ｙ＝ ，（ ） 的定义 域 为 ［ 口 ，＋ ０ Ｏ ） ，若 对 任 呈 现 知识 的 自然 生成． 意 ＞ ０ ，都有ｆ （ ｘ ） ＞ 厂 （ ０ ） ，则 Ｙ ＝ 厂（ ） 在区间［ ０ ，＋ ∞） （ ４ ） 已知 ０ ＜ １ ＜ ２ ＜ ３ ＜ ４ ＜… ＜ｂ ，若 有 ｆ（ 口 ） ＜ 上递增 ； ｆ（ ） ＜ 厂（ ） ＜ （ Ｘ ， ） ＜ （ ） ＜… ＜ （ ｂ ） ，能保 证 函数 （ ２ ） 设 函数 Ｙ＝ 厂（ ） 的定 义 域 为 Ｒ，若 对 任 意 Ｙ＝ ． 厂 （ ） 在区间［ ０ ，ｂ ］ 上递 增 吗 ？ ∈ ，＋ ０ ｏ ） ，且 。 ＞ ，都刁 厂 （ ） ＞ ／（ ） ，贝 ０ Ｙ＝ ／（ ） 【 说明】先让持赞 同观 点的学生说明理 由，再让持 是 递增 的 ；
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预 设 ：学 生 会 凭 感 觉 猜 测 ， 可 追 问 学 生 的判 定
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紧接 着师 生 一起 回顾 子集 的概念 （ ｐ ｐ ｔ 展 示教材 上 的子 集 定义） ，再 次体 验 对 “ 任 意一 个 ”进 行操 作 ，突
问题 ５ ：如何用数学语言准确刻画函数 Ｙ ＝ ｆ（ ） 在
区 间 Ｄ上递 增 呢 （ 如图 ６ ） ？
以二次函数 ｆ （ ） ＝ 在区间［ ０ ，＋ ∞） 上 的单调性
为 例 ，用 几 何 画板 软 件 动 画演 示 “ Ｙ随 的增 大 而 增 大” ，生 成表 格 （ 表格 略 ，共 １ ５对数 据 ） ．
ｆ（ ｘ 。 ） ＜ （ ｂ ） ，能 保证 函数 Ｙ＝ ，（ ） 在 区间 ［ ０ ，ｂ ］ 上 递 然 后 展 示 ， 并 有 意 引 导 学 生使 用 “ 任 意 。 ， ∈Ｄ， 利用 几何 画板软 件改 变 函数 Ｙ＝厂 （ ） 的 图象 ，观 察 在 区间 Ｄ 上递 减 ” ， 以此打 破 必 须 有 “ 。 ＜ ” 的 思维
图 ６ 图 ７
【 说 明】 先借助 图形 、动 画和表格 等直观感 受 “ Ｙ
即若 ＜ ，则 Ｙ ＜ｙ ２ ．为 突破难 点做 好 铺垫 ．
预设 ：让 学 生 自行 尝 试 概 括 定 义 ，然 后 师 生 共 同
任意 随 的增大而增大” ，引导学生思考 ，得 出符号表示 ， 完 善 ，并 板书 “
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ｆ（ 。 ） ＜ 厂（ ： ） ，则 称 函数 Ｙ＝ 厂（ ） 在 区 间 Ｄ上 递 增 ” ，
任意”和 “ 都有” ；若缺少关键词 “ 任 （ ２ ） 已知 口 ＜ ＜ ： ＜ ｂ ，若有ｆ （ ａ ） ＜ （ ） ＜ Ｉ 厂 （ ） ＜ 则突出关键词 “
ｆ（ ｂ ） ． 能 保证 函数 Ｙ＝ 厂（ ） 在 区间 ［ ０ ，ｂ ］ 上递增 吗 ？
．
取”或 “ 任意” ，则 追 问 ： “ 验证 两 个点 就能 保证 函数 在
利用几何 画板软件改变函数 Ｙ ＝ 厂 （ ） 在区间［ 口 ，ｂ ］ 区 间 Ｄ上递 增 吗 ？”
上 的 图象 ，可 以递 增 ，可 以先 增后 减 ，也 可 以先 减 后 问题 ６ ：试 着 用 数 学 语 言 定 义 函 数 Ｙ＝厂 （ பைடு நூலகம்） 在 区
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突破 难 点．然后 追 问 ：无 数个 也不 能保 证 函数 递 增 ，
（ ３ ） 反 比例 函数 厂（ ）＝
．
的 单 调 递 减 区 间 是
一 ｏ 。 ，Ｏ ） Ｕ（ ０ ，＋ ∞） ； 该 怎么办？若 学生 回答全部取 完或任 取 ，教 师追 问： （ 总不 能一个 个 的验 证 吧？
函数 Ｙ：厂 （ ） 在 区 间［ 口 ，ｂ ］ 上 的图象 变化 ．
．
定 势． 学 习单 ４ ：学 以致 用 ，理解 感悟 ． 判 断题 ：下 列说 法 是 否 正 确 ，说 明理 由 （ 举 例 或
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