2014-2015年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(文科)及答案

2014-2015学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若实数a，b，c，d满足a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣d B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．＞2．（5分）命题“对任意实数x，都有x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＜1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤13．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a3+a4+a5+a6=100，则a1+a7等于（）A．20B．30C．40D．505．（5分）设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，b=4，∠A=30°，那么∠B=（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°7．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点．若线段AB 的中点到y轴的距离为，则|AF|+|BF|=（）A．2B．C．3D．48．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3B．4C．6D．89．（5分）△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，A、B、C成等差数列，则角C=（）A．B．C．或D．或10．（5分）在等比数列{a n}中，a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．﹣C．3或D．﹣3或﹣11．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+y=4，则使不等式+≥m恒成立的实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．[，+∞）12．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，则双曲线离心率为（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，若S n=2n+1，则a5=．14．（5分）双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为．15．（5分）在圆x2+y2=9上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，若点M在线段PD上，且满足DM=DP，则当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是．16．（5分）给出下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的逆命题；②“全等三角形面积相等”的否命题；③“若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（1，2）”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”．其中所有正确命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，c=8，角A为锐角，△ABC的面积为6．（1）求角A的大小；（2）求a的值．18．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=5，a5﹣5a2=3，等比数列{b n}满足b1=3，公比q=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．19．（12分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．20．（12分）某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品，根据过去的经验，每月A产品销售数量y（万件）与销售员的数量x（人）之间的函数关系式为：y=（x＞0）．（1）若要求在该月A产品的销售量大于10万件，销售员的数量应在什么范围内？（2）在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？（精确到0.1万件）21．（12分）已知数列{b n}（n∈N*）是递增的等比数列，且b1，b3为方程x2﹣5x+4=0的两根．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n=log2b n+3，求证：数列{a n}是等差数列；（Ⅲ）若c n=a n•b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，过顶点A（0，1）的直线L与椭圆C相交于两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M在椭圆上且满足，求直线L的斜率k的值．2014-2015学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若实数a，b，c，d满足a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣d B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．＞【解答】解：A、∵a＞b，c＞d，∴﹣c＜﹣d，∴a+c与b+c无法比较大小，故本选项错误；B、∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b﹣d，故本选项正确；C、当a＞b，c＞d＞0时，ac＞bd，故本选项错误；D、当a＞b，c＞d＞0时，，故本选项错误．故选：B．2．（5分）命题“对任意实数x，都有x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＜1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意实数x，都有x ＞1”的否定是：存在实数x，使x≤1．故选：D．3．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题【解答】解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选：D．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a3+a4+a5+a6=100，则a1+a7等于（）A．20B．30C．40D．50【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4，又a2+a3+a4+a5+a6=100，∴5a4=100，解得a4=20，∴a1+a7=2a4=40故选：C．5．（5分）设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．故是a＞b＞0的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，b=4，∠A=30°，那么∠B=（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【解答】解：由题意得，a=4，b=4，∠A=30°，由正弦定理得，，则sinB==，因为b＞a，0＜B＜180°，所以B=60°或120°，故选：D．7．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点．若线段AB 的中点到y轴的距离为，则|AF|+|BF|=（）A．2B．C．3D．4【解答】解：由题意可得F（，0），设A、B到准线x=﹣的距离分别为AM，BN，则由梯形中位线的性质可得AM+BN=2（+）=3．再由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=AM+BN=3，故选：C．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2）将A的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+2=6．即z=2x+y的最大值为6．故选：C．9．（5分）△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，A、B、C成等差数列，则角C=（）A．B．C．或D．或【解答】解：由，利用正弦定理得：，即sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∵0＜A＜π，0＜B＜π，0＜A+B＜π．∴2A=2B或2A+2B=π．∴A=B或A+B=．又A、B、C成等差数列，则A+C=2B，由A+B+C=3B=π，得B=．当A=B=时，C=；当A+B=时，C=．∴C=或．故选：D．10．（5分）在等比数列{a n}中，a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．﹣C．3或D．﹣3或﹣【解答】解：由数列{a n}为等比数列，则a3a13=a5a11=3，又a3+a13=4，联立解得：a3=1，a13=3或a3=3，a13=1．∴==3或=．故选：C．11．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+y=4，则使不等式+≥m恒成立的实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．[，+∞）【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y=4，则使不等式+===≥m（当且仅当y=2x=取等号）恒成立的实数m的取值范围是：．故选：A．12．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，则双曲线离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：∵双曲线﹣=1的渐近线方程为：y=±x，即bx±ay=0，圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径为r=1，∴由双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，得=1，又c=，∴c=2a，∴e==2．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，若S n=2n+1，则a5=16．【解答】解：∵S n是数列{a n}的前n项和，S n=2n+1，∴a5=S5﹣S4=（25+1）﹣（24+1）=16．故答案为：16．14．（5分）双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为4．【解答】解：双曲线x2﹣my2=1化为x2﹣=1，∴a2=1，b2=，∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，解得m=4．故答案为：4．15．（5分）在圆x2+y2=9上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，若点M在线段PD上，且满足DM=DP，则当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是．【解答】解：设P（x0，y0），M（x，y），D（x0，0），∵点M在线段PD上，且满足DM=DP，∴x0=x，y0=y，又P在圆x2+y2=9上，∴x02+y02=9，∴x2+y2=9，∴点M的轨迹方程．故答案为：．16．（5分）给出下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的逆命题；②“全等三角形面积相等”的否命题；③“若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（1，2）”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”．其中所有正确命题的序号是③④．【解答】解：对于①，“若a2＜b2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则a2＜b2”，比如a=﹣2，b=﹣1，则a2＞b2，则①错；对于②，“全等三角形面积相等”的逆命题为“若三角形的面积相等，则它们全等”，则显然错误，比如三角形同底等高，则它的否命题也为错，则②错；对于③，若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则2k﹣1＞2﹣k＞0，解得1＜k＜2．则原命题正确，则逆否命题也正确，则③对；对于④，若x（x≠0）为有理数，则x为无理数，可以运用反证法证明，假设x为非零的有理数，为无理数，则x必为无理数，与条件矛盾，则④对．综上可得，正确的选项为③④．故答案为：③④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，c=8，角A为锐角，△ABC的面积为6．（1）求角A的大小；（2）求a的值．【解答】解：（1）∵S=bcsinA=×3×8×sinA=6，△ABC∴sinA=，∵A为锐角，∴A=．（2）由余弦定理知a===7．18．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=5，a5﹣5a2=3，等比数列{b n}满足b1=3，公比q=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．【解答】（1）解：∵等差数列{a n}满足a3=5，a5﹣5a2=3，∴a5﹣a4=a4﹣a3=a3﹣a2，∵a﹣a 4=a﹣a，∴a5+a3=2a4，∵a4﹣a3=a3﹣a2，∴a4+a2=2a3=2×5=10，∴a4=10﹣a2，a5+a3=2a4=2（10﹣a2）=20﹣2a2=a5+5，∴a5+2a2=15，又a5﹣5a2=3，解得a5=9，a2=3，∴，解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1．∵等比数列{b n}满足b1=3，公比q=3．∴b n=3n．（2）解：∵c n=a n+b n=2n﹣1+3n，∴S n=2（1+2+3+…+n）﹣n+（3+32+33+…+3n）=2×﹣n+=+﹣．19．（12分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有．所以实数a的取值范围为．20．（12分）某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品，根据过去的经验，每月A产品销售数量y（万件）与销售员的数量x（人）之间的函数关系式为：y=（x＞0）．（1）若要求在该月A产品的销售量大于10万件，销售员的数量应在什么范围内？（2）在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？（精确到0.1万件）【解答】解：（1）由条件可知＞10，整理得：x2﹣89x+1600＜0．即（x﹣25）（x﹣64）＜0，解得25＜x＜64．该月月饼的销售量不少于10万件，则销售员的数量应在（25，64）．（2）依题意y==，∵x+≥2=80，当且仅当x=，即x=40时，上式等号成立．∴y max=≈11.1（万件）．∴当x=40时，销售的数量最大，最大销售量为11.1万件．21．（12分）已知数列{b n}（n∈N*）是递增的等比数列，且b1，b3为方程x2﹣5x+4=0的两根．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n=log2b n+3，求证：数列{a n}是等差数列；（Ⅲ）若c n=a n•b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（Ⅰ）解：∵b1，b3为方程x2﹣5x+4=0的两根，数列{b n}（n∈N*）是递增的等比数列，解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4，∴b1=1，b3=4，∴=4，解得q=2或q=﹣2（舍）∴．（Ⅱ）证明：∵a n=log2b n+3==n﹣1+3=n+2，∴数列{a n}是首项为3，公比为1的等差数列．（Ⅲ）解：c n=a n•b n=（n+2）•2n﹣1，∴，①2T n=3•2+4•22+5•23+…+（n+2）•2n，②①﹣②，得：﹣T n=3+2+22+23+…+2n﹣1﹣（n+2）•2n=3+=1﹣（n+1）•2n，∴．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，过顶点A（0，1）的直线L与椭圆C相交于两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M在椭圆上且满足，求直线L的斜率k的值．【解答】解：（1）由e=，b=1，a2=1+c2，解得a=2，故椭圆方程为．（2）设l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n）．联立，消去y解得（1+4k2）x2+8kx=0，因为直线l与椭圆C相交于两点，所以△=（8k）2＞0，所以x1+x2=，x1×x2=0，∵，∴点M在椭圆上，则m2+4n2=4，∴，化简得x1x2+4y1y2=x1x2+4（kx1+1）（kx2+1）=（1+4k2）x1x2+4k（x1+x2）+4=0，∴4k•（）+4=0，解得k=±．故直线l的斜率k=±．。