鼓楼区高一下期中考试数学试卷
江苏省南京市鼓楼区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
南京市鼓楼区2020~2021学年度第二学期高一(下)期中试卷数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自已的姓名､准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.计算：sin105=（）2.计算：复数21ii-=+（）A.1322i+ B.1322i- C.1322i-- D.1322i-+3.在△ABC中，角A､B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：7，则其最大角的大小为（）A.60°B.75°C.120°D.150°4.托勒密(C.Ptolemy，约90-168)，古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（）A.0.0017B.0.0454C.0.5678D.0.57365.在下列向量组中，可以把向量()1,3m =-表示出来的是（ ）A.()()1,2,3,2a b =-=B.()()0,0,1,4a b ==-C.()()5,1,10,2a b ==D.()()4,3,4,3a b =-=-6.ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则a b ⋅=（）A.1B.1- D.7.化简22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得（ ） A.4cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.cos 23πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭8.已知ABC 的内角,A B C ､所对的边为,,a b c ，其面积为S ，若2222sin ,S C a b c =+-且ABC 的外接圆ABC 周长的取值范围为（ ）A.(]4,6B.(4,C.(]6,8D.( 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)9.在下列选项中，正确的是（ ） A.3sin17cos13cos17sin132+= B.1cos75cos15sin 75sin152+=C.存在角α，β，使得sin(α+β)<sin α+sin β成立D.对于任意角α，β，式子cos(α+β)<cos α+cos β都成立10已知,,a b c 是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）A.a b b a ⋅=⋅B.()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D.若a b a c ⋅=⋅则b c =11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A B C =+，在下列选项中，正确的是（ ）A.06C π<< B.04C π<<C.sin C 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭D.当6c b =时，则2sin 3C =，12.在下列选项中正确的是（ ）A.若z △C ，|z |2=z 2，则z △RB.若z 1，z 2△C ，|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则z 1z 2=0C.若复数122z =-+，则41122z ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭D.若复数z =(cos25°+i sin25°)(cos65°+i sin65°)，则z =i第Ⅱ卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知α为锐角，且3cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 14.已知复数z 满足|z -1-2i |=2，则|z |的最大值为______.15.作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡.已知F 1=4N ，F 2=5N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则力F 3的大小为______N .16.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，12BF CF =，△BFE =120°，EF =2.若△CEF的面积为3-，则AB =________，sin△BEC =________.四､解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)（1）求m n ⋅的值；（2）求2m n +的值.18.(本小题满分12分)已知z 是复数，z +3i 为实数(i 为虚数单位)，且||z =（1）求z ；（2）若z 和(z +mi )2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m 的取值范围.19.(本小题满分12分)在△a =7；△c sin A =4；△512B π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.问题：是否存在锐角三角形ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =8，cos cos()B A C C +-=，__________？20.(本小题满分12分)设函数2()2cos cos ()f x x x x x R =+∈.（1）求f (x )的最小正周期；（2）设方程5()?2f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两解分别为x 1，x 2，求cos(x 1-x 2)的值. 21.(本小题满分12分)关于公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN 中，点P 在边MN 上，点Q 在边GN 上，QT △HM ，垂足为T ，△HPQ =90°，设HQ =1，△QHP =α，△PHM =β.在直角三角形QHP 中，QP =sin α，PH =cos α，在直角三角形PHM 中，PM =___________，在直角三角形QPN 中，△QPN =β，PN =sin αcos β，在直角三角形HQT 中，QT =___________，因为QT =PM +PN ，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.22.(本小题满分12分)已知向量()()()1,4,,3,,0,0,0,OA OB a OC b a b O =-=-=->>为坐标原点.（1）当2,3a b ==时，求AB 与AC 的夹角的余弦值；（2）若,,A B C 三点共线，求13a b+的最小值.南京市鼓楼区2020~2021学年度第二学期高一(下)期中试卷数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自已的姓名､准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.计算：sin105=（）【答案】D【考点】两角和与差的正弦公式【解析】由题意可知，()321sin105sin6045sin60cos45cos60sin4522224=+=+=⨯+⨯=，故答案选D2.计算：复数21ii-=+（）A.1322i+ B.1322i- C.1322i-- D.1322i-+【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意可知，()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-，故答案选B . 3.在△ABC 中，角A ､B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ：b ：c =3：5：7，则其最大角的大小为（ ）A.60°B.75°C.120°D.150°【答案】C【考点】余弦定理的应用【解析】由题意可知，c 为最大边，且设3,5,7a b c ===，则在ABC 中，由余弦定理可得，222cos 2a b c C ab+-= 22235712352+-==-⨯⨯，又()0,C π∈，所以23C π=，即最大角的大小为120，故答案选.C 4.托勒密(C.Ptolemy ，约90-168)，古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）A.0.0017B.0.0454C.0.5678D.0.5736【答案】C【考点】新情景问题下的文化题：三角函数值求解【解析】由题意可知，查表可得3436︒'的正弦值为0.5678，故答案选C.5.在下列向量组中，可以把向量()1,3m =-表示出来的是（ ）A.()()1,2,3,2a b =-=B.()()0,0,1,4a b ==-C.()()5,1,10,2a b ==D.()()4,3,4,3a b =-=-【答案】A【考点】平面向量的基本定理应用：基底的选取与向量的表示【解析】由题意可知，平面向量的基底不共线，选项B 中，a //b ，所以排除；选项C 中，b =2a ，即a //b ，所以排除；选项D 中，a =-b ，即a //b ，所以排除；选项A 中，a 与b 不共线，则向量m =(-1，3)可以用a 与b 表示出来，所以选项A 正确，故答案选A.6.ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则a b ⋅=（ ）A.1B.1- D.【答案】B【考点】平面向量的数量积运算【解析】在ABC 中，由2AB a =，可得1a =，则()2224242AB AC a a b a a b a b ⋅=+=+⋅=+⋅，且AB AC ⋅=1cos602222AB AC ⋅=⨯⨯=∣，所以422a b +⋅=，解得1a b ⋅=-，故答案选.B 7.化简22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得（ ）A.4cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.cos 23πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【考点】三角恒等变换：二倍角公式､诱导公式的应用 【解析】由题意可知，22222sin sin sin cos cos2cos 2cos 3633333πππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛+--=+-+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝2)sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故答案选.B 8.已知ABC 的内角,A B C ､所对的边为,,a b c ，其面积为S ，若2222sin ,S C a b c=+-且ABC 的外接圆ABC 周长的取值范围为（ ） A.(]4,6B.(4,C.(]6,8D.( 【答案】A【考点】正余弦定理的综合应用：求周长的范围问题【解析】由题意可知，在ABC 中，因为22222222212sin 2sin 2sin ab C S ab C C a b c a b c a b c⋅===+-+-+-，因为()0,C π∈，所以sin 0C >，所以222ab a b c =+-，则由余弦定理可得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又()0,C π∈，所以C 3π=，则23A B π+=，在ABC中，由正弦定理可得，sin sin sin a b c A B C ====2,,3c a A b ==3B =，所以ABC 周长()434343432sin sin 2sin sin 2sin sin 33333l a b c A B A B A π⎡⎛=++=++=++=+- ⎢⎝⎣143)]2sin sin 2sin cos 24sin 23223226A A A A A A A π⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++=++=++ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以A 5,666πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则ABC 周长(]4sin 24,66l a b c A π⎛⎫=++=++∈ ⎪⎝⎭，故答案选.A 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)9.在下列选项中，正确的是（ ）A.3sin17cos13cos17sin132+= B.1cos75cos15sin 75sin152+=C.存在角α，β，使得sin(α+β)<sin α+sin β成立D.对于任意角α，β，式子cos(α+β)<cos α+cos β都成立【答案】BC【考点】两角和与差的公式应用【解析】由题意可知，对于选项A ，()1sin17cos13cos17sin13sin 1713sin302+=+==，所以选项A 错误；对于选项()1,cos75cos15sin75sin15cos 7515cos602B +=-==，所以选项B 正确；对于选项C ，当，,36ππαβ==时()1,sin sin sin 1,sin sin sin sin 1362362πππππαβαβ⎛⎫+=+==+=+=> ⎪⎝⎭，所以()sin sin αβα+<，所以sin()sin sin αβαβ+<+成立，所以选项C 正确；对于选项D ，当,22ππαβ==-时()cos cos 1,cos cos 22ππαβαβ⎛⎫+=-=+= ⎪⎝⎭2cos cos 02ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以选项D 错误；综上，答案选.BC 10已知,,a b c 是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）A.a b b a ⋅=⋅B.()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D.若a b a c ⋅=⋅则b c =【答案】CD【考点】平面向量的运算律应用【解析】由题意可知，对于选项A ，满足数量积的交换律，所以选项A 正确；对于选项B ，满足数量积的分配律，所以选项B 正确；对于选项C ，a ·b 与b ·c 的结果均为数，则(a ·b )·c 与a ·(b ·c )的方向不一定相同，大小不一定相等，所以选项C 错误；对于选项D ，若a =0，则b 与c 不一定相等，所以选项D 错误；综上，答案选C D. 11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A B C =+，在下列选项中，正确的是（ ） A.06C π<< B.04C π<<C.sin C 的取值范围为⎛ ⎝⎭D.当6c b =时，则2sin 3C =， 【答案】BCD【考点】解三角形的综合应用【解析】由题意可知，对于选项AB ，因为3A B C =+，且A B C π++=，所以联立解得24,22B C A C ππ+=-=，则2,22B C A C ππ=-=+，又因为()()0,,0,B A ππ∈∈，所以()()()20,20,,20,C C C πππππ⎧-∈⎪⎪⎪+∈⎨⎪∈⎪⎪⎩解得0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以选项A 正确，选项B 错误；对于选项C ，由0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，可得sin 0,2C ⎛∈ ⎝⎭，所以选项C 正确；对于选项D ，当6c b =时，由正弦定理可得，sin 6sin C B =，又22B C π=-，所以sin C ()26sin 6sin 26cos2612sin 2B C C C π⎛⎫==-==- ⎪⎝⎭，则解得2sin 3C =，所以选项D 正确；综上，答案选BCD .12.在下列选项中正确的是（ ）A.若z △C ，|z |2=z 2，则z △RB.若z 1，z 2△C ，|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则z 1z 2=0C.若复数12z =-+，则4112z ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭D.若复数z =(cos25°+i sin25°)(cos65°+i sin65°)，则z =i【答案】ACD【考点】复数的综合应用【解析】由题意可知，对于选项A ，可设z a bi =+，则)222222222||,()2z b a b z a bi a abi b ==+=+=-+，若，22||z z =，则0b =，所以z a R =∈，所以选项A 正确；对于选项B ，设12,z a bi z c di =+=+，则12z z+12z z =-=1212z z z z +=-，则0ac bd +=，而()12(z z a bi c =++()1d ac bd ac bd i ac bd =-++=-，不一定得到120z z =，所以选项B 错误；对于选项C，若12z =-+，所以234111,22z z z =--==-+，所以41111222222z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选项C 正确；对于选项D ，若()()()()cos25sin25cos6565cos25sin25sin2525sin2525z i isin i icos cos =++=++=-()22sin25cos25sin 25cos 25i i ++=，所以选项D 正确；综上，答案选ACD 第Ⅱ卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知α为锐角，且3cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】17【考点】同角三角函数关系､两角和与差的正切公式【解析】由题意可知，α为锐角，且3cos 5α=，所以4sin 5α==，则sin 4tan cos 3ααα==，所以tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭41tan 11341tan 713αα--===++ 14.已知复数z 满足|z -1-2i |=2，则|z |的最大值为______.【答案】2+【考点】复数的运算以及综合应用【解析】由题意可设，z a bi =+，由122z i --=，可得()122a b i -+-=，2=，即22(1)(2)4a b -+-=，可令12cos ,22sin a b θθ-=-=，所以z ==ϕ=为任意角，且1tan )2ϕ=，当()sin 1θϕ+=时取到最大值，所以z=2=15.作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡.已知F 1=4N ，F 2=5N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则力F 3的大小为______N .【考点】正余弦定理在物理上的应用【解析】由题意可知，三个力123,,F F F 平衡，则1F 与2F 的合力F 与3F 等大反向，所以在1OFF 中，由余弦定理可得，2245245cos12061F ==+-⨯⨯⋅=，即3.F =16.如图，在矩形ACD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，12BF CF =，△BFE =120°，EF =2.若△CEF 的面积为3AB =________，sin△BEC =________.【答案】 【考点】双空题：正余弦定理在平面几何中的应用【解析】由题意，因为120BFE ∠=，所以18012060CFE ∠=-=，则在CEF 中，可得12CEF SEF CF =⋅⋅sin 3CFE ∠=-2EF =，可解得2CF =，在CEF 中，可得132CEF S CF h =⋅⋅=，所以h =231AB -===又12BF CF =，所以1,3BF BC BF CF ==+=，在BEF 中，由余弦定理可得，)222222cos 1)2212cos1206BE BF EF BF EF BFE ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⋅=，解得BE 6=，在CEF 中，由余弦定理可得，()222222cos 2)222CE CF EF CF EF CFE ∠=+-⋅⋅=+-⨯)222cos60241]⨯⋅=-==，解得CE =BCE 中，12BCE S BC h =⋅⋅=1sin 2BE CE BEC ∠⋅⋅，则3sin BC h BEC BE CE ∠⋅====⋅ 四､解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)（1）求m n ⋅的值；（2）求2m n +的值. 【考点】平面向量的数量积的坐标运算､模的求解【解析】（1）由题意，因为(2,m =--，所以m =所以23cos ,43cos 6m n m n m n π⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=-； （2）由（1）知6m n ⋅=-，所以|2m +()2224441646949n m m n n =+⋅+=⨯+⨯-+=，所以|2m +7n =∣.18.(本小题满分12分)已知z 是复数，z +3i 为实数(i 为虚数单位)，且||z =（1）求z ；（2）若z 和(z +mi )2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m 的取值范围.【考点】复数的运算､几何意义【解析】（1）由题意可设z a bi =+，则(),333z a bi z i a bi i a b i =-+=-+=+-，又因为3z i +为实数，所以3b =，因为z =2245a b +=，解得6a =±，所以63;z i =±+（2）若z 和2()z mi +在复平面内对应的点都在第一象限，则()22263,()(63)36(3)123z i z mi i mi m m i =++=++=-+++， 所以有236(3)0m -+>，且()1230m +>，解得一33m <<，则实数m 的取值范围为()3,3.- 19.(本小题满分12分)在△a =7；△c sin A =4；△512B π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.问题：是否存在锐角三角形ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =8，cos cos()B A C C +-=，__________？【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用【解析】在ABC 中，因为()cos cos B A C C +-=，且A B C π++=，所以()()cos cos A C A C C -++-=，即2sin sin A C C =，又因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C >，所以sin 2A =， 在ABC 中，由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3A π=， 选△：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即214964162b b =+-⨯，解得3b =或5b =，所以1sin 2ABC S bc A ==或103；选△：sin 84c A ==≠，故该三角形不存在； 选△：由512B π=可得，4C A B ππ=--=，则由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即sin sin c A a C ==且5sin sin sin sin cos cos sin 12464646B πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 824224ABC S ac B ==⨯⨯=+20.(本小题满分12分)设函数2()2cos cos ()f x x x x x R =+∈.（1）求f (x )的最小正周期；（2）设方程5()?2f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两解分别为x 1，x 2，求cos(x 1-x 2)的值. 【考点】三角函数的图像与性质､三角恒等变换给值求值问题【解析】（1）由题意，()1cos212cos212sin 2126f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则()f x 的最小正周期为22;2T πππω=== （2）由（1）知()2sin 21,6f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以方程()52f x =可化为：3sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由12,x x 为方程3sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根可得，13sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭且23sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内122266x x πππ+++=，解得123x x π+=，即123x x π=-，所以()1222223cos cos cos 2sin 23364x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21.(本小题满分12分)关于公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN 中，点P 在边MN 上，点Q 在边GN 上，QT △HM ，垂足为T ，△HPQ =90°，设HQ =1，△QHP =α，△PHM =β.在直角三角形QHP 中，QP =sin α，PH =cos α，在直角三角形PHM 中，PM =①，在直角三角形QPN 中，△QPN =β，PN =sin αcos β，在直角三角形HQT 中，QT =②，因为QT =PM +PN ，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.【考点】开放性试题：两角和的正弦公式证明【解析】（1）由题意可知，在直角三角形PHM 中，sin cos sin ;PM PH βαβ=⋅=在直角三角形HQT 中，QT =()()sin sin HQ αβαβ⋅+=+（2）由题意可知，在ABE 中，cos cos ,sin sin BE AE AB AE ββββ=⋅==⋅=，且AB BE ⊥， 所以11sin cos 22ABE S AB BE ββ=⋅⋅=， 在ADE 中，()ADE ∠παβ=-+，所以()()11111sin sin 222ADE S AE DE παβαβ⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅⋅-+=+⎣⎦， 在CDE 中，cos cos ,sin sin CE DE CD DE αααα=⋅==⋅=，所以11sin sin cos 22CDE S DE CE ααα=⋅⋅⋅=， 又()()()()()111sin sin cos cos 222ABCD S AB CD BC AB CD BE CE βαβα=⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅+⋅+四边形， 所以()()()12111sin sin cos cos sin cos sin sin cos 222βαβαββαβαα⋅+⋅+=+++， 化简可得，()sin sin cos cos sin .αβαβαβ+=+得证.22.(本小题满分12分)已知向量()()()1,4,,3,,0,0,0,OA OB a OC b a b O =-=-=->>为坐标原点.（1）当2,3a b ==时，求AB 与AC 的夹角的余弦值；（2）若,,A B C 三点共线，求13a b+的最小值. 【考点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量共线的充要条件、基本不等式综合应用【解析】（1）当2,3a b ==时()(),2,3,3,0OB OC =-=-，所以()()()()()()2,31,41,1,3,01,44,4AB OB OA AC OC OA =-=---==-=---=-则()()()1,14,414140AB AC ⋅=⋅-=⨯-+⨯=，所以cos ,0AB AC AB AC AB AC ⋅==；（2）若,,A B C 三点共线，则//AB AC ，又因为()()()()()(),31,41,1,,01,41,4AB OB OA a a AC OC OA b b =-=---=-=-=---=--， 则()()14110a b -⨯-⨯--=，解得43a b +=，则4133a b +=， 因为0,0a b >>，所以130,0a b>>，所以131344474712333333a b a b a a b a b b a b +⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当43a b b a =，即b =时取等号，所以13a b +。
2015-2016年福建省福州市鼓楼区文博中学高一(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年福建省福州市鼓楼区文博中学高一（下）期中数学试卷一、选择题页脚（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）赋值语句n=n+1的意思是（）A．n等于n+1B．n+1等于nC．将n的值赋给n+1D．将n的值增加1，再赋给n，即n的值增加12．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣2，则输出y的值为（）A．5B．﹣5C．3D．﹣33．（5分）已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（）A．27B．11C．109D．364．（5分）在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（）弧度A．1B．2C．3D．45．（5分）某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶6．（5分）把“二进制”数1011001（2）化为“五进制”数是（）A．224（5）B．234（5）C．324（5）D．423（5）7．（5分）已知任意角α的终边经过点P（﹣3，m），且cosα=﹣，则sinα=（）A．﹣B．C．±D．±8．（5分）有一堆形状大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其他的轻，某同学利用科学的算法，最多两次利用天平找出了这颗最轻的珠子，则这堆珠子最多的粒数是（）A．4B．5C．6D．79．（5分）如图为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（）A．i＞20B．i＜20C．i＞=20D．i＜=20 10．（5分）对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（）A．2.25，2.5B．2.25，2.02C．2，2.5D．2.5，2.25 11．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{0，1，2，3}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．二、填空题页脚（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为．14．（4分）天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0〜9之间随机整数的20组如下：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为．15．（4分）某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为的学生．16．（4分）利用计算机随机模拟方法计算y=x2与y=4所围成的区域Ω的面积时，可以先运行以下算法步骤：第一步：利用计算机产生两个在[0，1]区间内的均匀随机数a，b；第二步：对随机数a，b实施变换：得到点A（a1，b1）；第三步：判断点A（a1，b1）的坐标是否满足；第四步：累计所产生的点A的个数m，及满足的点A的个数n；第五步：判断m是否小于M（一个设定的数）．若是，则回到第一步，否则，输出n并终止算法．若设定的M=100，且输出的n=34，则据此用随机模拟方法可以估计出区域Ω的面积为（保留小数点后两位数字）．三、解答题页脚（本大题共7小题，共74分）17．（12分）甲乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分情况如茎叶图所示，（1）求甲乙两位歌手这5次得分的平均分（2）请分析甲乙两位歌手这5次得分中谁的成绩更稳定．18．（12分）如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y 的值，（I）请指出该程序框图所使用的逻辑结构；（Ⅱ）若视x为自变量，y为函数值，试写出函数y=f（x）的解析式；（Ⅲ）若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则输入x的值的集合为多少？19．（12分）截至2014年11月27目，我国机动车驾驶人数量突破3亿大关，年均增长超过两千万．为了解我地区驾驶预考人员的现状，选择A，B，C三个驾校进行调查．参加各驾校科目一预考人数如下：若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取24人进行分析，他们的成绩如下：（1）求三个驾校分别应抽多少人？（2）补全下面的茎叶图，并求样本的众数和极差；（3）在对数据进一步分析时，满足|x﹣96.5|≤4的预考成绩，称为具有M特性．在样本中随机抽取一人，求此人的预考成绩具有M特性的概率．20．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．21．（12分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标（x，y）满足x2+y2≤5，从区域W中随机取点M（x，y）．（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，求点M位于第四象限的概率；（Ⅱ）已知直线l：y=﹣x+b（b＞0）与圆O：x2+y2=5相交所截得的弦长为，求y≥﹣x+b的概率．23．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．2015-2016学年福建省福州市鼓楼区文博中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题页脚（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）赋值语句n=n+1的意思是（）A．n等于n+1B．n+1等于nC．将n的值赋给n+1D．将n的值增加1，再赋给n，即n的值增加1【解答】解：赋值语句的一般格式：变量=表达式赋值语句中的“=”称作赋值号赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；故选：D．2．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣2，则输出y的值为（）A．5B．﹣5C．3D．﹣3【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，当输入x=﹣2时，输出y=﹣2×（﹣2）+1=5．3．（5分）已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（）A．27B．11C．109D．36【解答】解：由秦九韶算法可得f（x）=x5+2x3+3x2+x+1=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，∴v0=1，v1=1×3+0=3，v2=3×3+2=11，v3=11×3+3=36．故选：D．4．（5分）在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（）弧度A．1B．2C．3D．4【解答】解：扇形的面积为1，所以扇形的弧长为2，所以扇形所对圆心角的弧度是2．故选：B．5．（5分）某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶【解答】解：∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，故选：C．6．（5分）把“二进制”数1011001（2）化为“五进制”数是（）A．224（5）B．234（5）C．324（5）D．423（5）【解答】解：先将“二进制”数1011001化为十进制数为26+24+23+20=89（10）（2）然后将十进制的89化为五进制：89÷5=17余4，17÷5=3余2，3÷5=0余3所以，结果是324（5）7．（5分）已知任意角α的终边经过点P（﹣3，m），且cosα=﹣，则sinα=（）A．﹣B．C．±D．±【解答】解：∵任意角α的终边经过点P（﹣3，m），∴P到原点的距离r=，则cosα=，得m=±4．∴sinα=．故选：C．8．（5分）有一堆形状大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其他的轻，某同学利用科学的算法，最多两次利用天平找出了这颗最轻的珠子，则这堆珠子最多的粒数是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：这堆珠子最多有7个．将这堆珠子拿出一个，平均分成2组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量；若天平平衡，那么没称的珠子就是所找的珠子；若天平不平衡，那么较轻的珠子就在较轻的那堆珠子里；然后将较轻的那堆珠子进行第二次测量，同第一次测量一样，将其中两个放在天平的两端；若天平平衡，那么没称的珠子就是所找的珠子；若天平不平衡，那么较轻的珠子就是所找的珠子．因此最多用两次即可找出较轻的珠子．故选：D．9．（5分）如图为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（）A．i＞20B．i＜20C．i＞=20D．i＜=20【解答】解：根据题意为一个求20个数的平均数的程序，则循环体需执行20次，从而横线上应填充的语句为i＞=20．故选：C．10．（5分）对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（）A．2.25，2.5B．2.25，2.02C．2，2.5D．2.5，2.25【解答】解：由频率分布直方图可知，数据在[2，2.5]之间的面积最大，此时众数集中在[2，2.5]内，用区间.2的中点值来表示，∴众数为2.25．第一组的频率为0.08×0.5=0.05，对应的频数为0.05×100=5，第二组的频率为0.16×0.5=0.08，对应的频数为0.08×100=8，第三组的频率为0.30×0.5=0.15，对应的频数为0.15×100=15，第四组的频率为0.44×0.5=0.22，对应的频数为0.22×100=22，第五组的频率为0.50×0.5=0.25，对应的频数为0.25×100=25，前四组的频数之和为5+8+15+22=50，∴中位数为第4组的最后一个数据以及第5组的第一个数据，则对应的中位数在5组内且比2大一点，故2.02比较适合，故选：B．11．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x，0＜x＜12若矩形面积S=x（12﹣x）＜32，则x＞8或x＜4即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P==故选：C．12．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{0，1，2，3}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，a，b满足|a﹣b|≤1的有10种情况，∴得出他们“心有灵犀”的概率为：=．故选：C．二、填空题页脚（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为．【解答】解：这五张牌中随机取2张牌，共有=10种不同情况，而且这些情况是等可能发生的，其中所取2张牌均为红心，共有=3种不同情况，故所取2张牌均为红心的概率P=，故答案为：14．（4分）天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0〜9之间随机整数的20组如下：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为0.25．【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为=0.25．故答案为：0.2515．（4分）某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为37的学生．【解答】解：这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为12+（8﹣3）×5=37．故答案为：37．16．（4分）利用计算机随机模拟方法计算y=x2与y=4所围成的区域Ω的面积时，可以先运行以下算法步骤：第一步：利用计算机产生两个在[0，1]区间内的均匀随机数a，b；第二步：对随机数a，b实施变换：得到点A（a1，b1）；第三步：判断点A（a1，b1）的坐标是否满足；第四步：累计所产生的点A的个数m，及满足的点A的个数n；第五步：判断m是否小于M（一个设定的数）．若是，则回到第一步，否则，输出n并终止算法．若设定的M=100，且输出的n=34，则据此用随机模拟方法可以估计出区域Ω的面积为10.56（保留小数点后两位数字）．【解答】解：根据题意可得，点落在y=x2与y=4所围成的区域Ω的点的概率是，矩形的面积为4×4=16，阴影部分的面积为S，则有=，∴S=10.56．故答案为：10.56．三、解答题页脚（本大题共7小题，共74分）17．（12分）甲乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分情况如茎叶图所示，（1）求甲乙两位歌手这5次得分的平均分（2）请分析甲乙两位歌手这5次得分中谁的成绩更稳定．【解答】解：（1）由茎叶图知，甲的得分情况为17，16，28，30，34；乙的得分情况为15，28，26，28，33，因此可知甲的平均分为=×（77+76+88+90+94）=85…4分乙的平均分为=×（75+86+88+88+93）=86；…8分（2）由（1）知＜，根据茎叶图数据的分布情况可知，乙的数据主要集中在86左右，甲的数据比较分散，乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定（也可以用方差或标准差来分析）…12分．18．（12分）如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y 的值，（I）请指出该程序框图所使用的逻辑结构；（Ⅱ）若视x为自变量，y为函数值，试写出函数y=f（x）的解析式；（Ⅲ）若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则输入x的值的集合为多少？【解答】解：（I）程序框图所使用的逻辑结构是条件结构和顺序结构；…（2分）（Ⅱ）解析式为：f（x）=…（7分）（Ⅲ）依题意得，或，或，解得x=0，或x=1，或x=3故所求的集合为{0，1，3}．…（13分）19．（12分）截至2014年11月27目，我国机动车驾驶人数量突破3亿大关，年均增长超过两千万．为了解我地区驾驶预考人员的现状，选择A，B，C三个驾校进行调查．参加各驾校科目一预考人数如下：若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取24人进行分析，他们的成绩如下：（1）求三个驾校分别应抽多少人？（2）补全下面的茎叶图，并求样本的众数和极差；（3）在对数据进一步分析时，满足|x﹣96.5|≤4的预考成绩，称为具有M特性．在样本中随机抽取一人，求此人的预考成绩具有M特性的概率．【解答】解：（1）∵A、B、C三个驾校的人数分别是150、200、250，∴从三个驾校分别应抽的人数是24×=6，24×=8，24×=10；（2）根据表中数据，补全茎叶图如图所示，根据茎叶图，得；样本的众数是92，极差是99﹣64=35；（3）根据题意，满足|x﹣96.5|≤4的预考成绩，有99、99、99、98、97、97、94、93、93共9个，在样本数据中随机抽取一人，则此人的预考成绩具有M特性的概率是P==．20．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．21．（12分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是3×5=15，函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且，即2b≤a若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为．（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为，∴所求事件的概率为．22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标（x，y）满足x2+y2≤5，从区域W中随机取点M（x，y）．（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，求点M位于第四象限的概率；（Ⅱ）已知直线l：y=﹣x+b（b＞0）与圆O：x2+y2=5相交所截得的弦长为，求y≥﹣x+b的概率．【解答】解：（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，则点M的个数共有21个，列举如下：（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1）；（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2）；（0，﹣2），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）；（1，﹣2），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2）；（2，﹣1），（2，0），（2，1）．当点M的坐标为（1，﹣1），（1，﹣2），（2，﹣1）时，点M位于第四象限．故点M位于第四象限的概率为．（6分）（Ⅱ）由已知可知区域W的面积是5π．因为直线l：y=﹣x+b与圆O：x2+y2=5的弦长为，如图，可求得扇形的圆心角为，所以扇形的面积为，则满足y≥﹣x+b的点M构成的区域的面积为，所以y≥﹣x+b的概率为．（13分）23．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．【解答】解：（Ⅰ）所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，建立如图所示直角坐标系，其中“相近”作物株数为1的植株有2株，植株坐标分别为（4，0），（0，4），“相近”作物株数为2的植株有4株，植株坐标分别为（0，0），（1，3），（2，2），（3，1），“相近”作物株数为3的植株有6株，植株坐标分别为（1，0），（2，0），（3，0），（0，1），（0，2），（0，3），“相近”作物株数为4的植株有3株，植株坐标分别为（1，1），（1，2），（2，1）．列表如下：所种作物的平均所收获量为：（51×2+48×4+45×6+42×3）==46；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（Y=51）=，P（Y=48）=，故在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率为P（Y≥48）=P（Y=51）+P（Y=48）=+=．。
南京市鼓楼区学高一下期中考试数学试题含答案
高一<下>期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页,包括填空题<第1题~第14题>、解答题<第15题~第20题>两部分．满分为160分,考试时间为120分钟．2．答题前,考生务必将自己的学校、##、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应区域内．考试结束后,交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在答题卡相应位置上．1．cos 75°＝．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝．3．在平面直角坐标系内,若角α的终边经过点P<1,－2>,则sin2α＝．4．在△ABC中,若AC＝错误!,∠A＝45°,∠C＝75°,则BC＝．5．在△ABC中,若sin A︰sin B︰sin C＝3︰2︰4,则cos C＝．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1＝2,S3＝12,则a6＝．7．若等比数列{a n}满足a1＋a3＝5,a3＋a5＝20,则a5＋a7＝．8．若关于x的不等式ax2＋x＋b＞0的解集是<－1,2>,则a＋b＝．9．若关于x的不等式1＋错误!≤0的解集是[－2,1>,则k＝．10．若数列{a n}满足a11＝错误!,错误!－错误!＝5<n∈N*>,则a1＝．11．已知正数a,b满足错误!＋错误!＝2,则a＋b的最小值是．12．下列四个数中,正数的个数是．①错误!－错误!,a＞b＞0, m＞0；②<错误!＋错误!>－<错误!＋错误!>,n∈N*；③2<a2＋b2>－<a＋b> 2,a,b∈R；④错误!－2,x∈R.13．在斜三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若错误!＋错误!＝1,则错误!＝．14．若数列{a n}的前n项和S n＝2n,则a1＋2 a2＋3 a3＋…＋n a n＝．二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．<本题满分14分>设f<x>＝x2－<t＋1>x＋t < t,x∈R>．<1>当t＝3时,求不等式f<x>＞0的解集；<2>已知f<x>≥0对一切实数x成立,求t的值．16．<本题满分14分>设函数f<x>＝2cos2x＋2错误!sin x cos x<x∈R>．<1>求函数f<x>的最小正周期；<2>在0＜x≤错误!的条件下,求f<x>的取值范围．17．<本题满分14分>在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos<B－C>－2sin B sin C＝－错误!.<1>求角A的大小；<2>当a＝5,b＝4时,求△ABC的面积．18．<本题满分16分>已知{a n}是等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,a3＋a4＝12．<1>求a1＋a2＋a3＋a4＋a5；<2>设b n＝10－a n,数列{b n}的前n项和为S n,若b1≠b2,则n为何值时,S n最大？S n最大值是多少？19．<本题满分16分>如图,扇形AOB是某个旅游景点的平面示意图,圆心角AOB的大小等于错误!,半径OA ＝200m,点M在半径OA上,点N在AB弧上,且MN∥OB,求观光道路OM与MN长度之和的最大值．20．<本题满分16分>设正项数列{a n}满足：a1＝错误!,a n＋1＝错误!, n∈N*.<1>证明：若a n＜错误!,则a n＋1＞错误!；<2>回答下列问题并说明理由：是否存在正整数N,当n≥N时｜a n－错误!｜＋｜a n＋1－错误!｜＜0.001恒成立?高一<下>期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分．1．错误!2．错误!3．－错误!4．错误!5．－错误!6．12 7．80 8．1 9．3 10．错误! 11．错误!<3＋2错误!> 12．2 13．3 14．<n－1>2n＋2二、解答题：本大题共6小题,共计90分．15．<1>当t＝3时,不等式f<x>＞0与不等式x2－4x＋3＞0同解,得<x－1><x－3>＞0, ……………………………………… ........................3分不等式f<x>＞0的解集是<－∞,1>∪<3．＋∞>;…… ........................6分<2>不等式f<x>≥0对一切实数x成立等价于△＝<t＋1>2－4t≤0,........................10分即<t－1>2≤0,即t＝1．........................14分16．<1>f<x>＝2sin <2x＋错误!>＋1,……........................6分所以,函数f<x>的最小正周期为π; ........................8分<2>0＜x≤错误!时,错误!＜2x＋错误!≤错误!,…........................10分函数y＝sin x在区间[错误!,错误!]是增函数,在区间[错误!,错误!]是增函数,f<x>的值域是[2sin错误!＋1, 2sin错误!＋1],即[2,3]．........................14分17．<1>由cos<B－C>－2sin B sin C＝－错误!得cos<B＋C>＝－错误!,........................4分∴cos A＝－错误!,∵0＜A＜π,∴A＝错误!;........................7分<2> 由c2＋42－2×c×4 cos 错误!＝52与c＞0得c＝2＋错误!,........................11分△ABC的面积S△ABC＝错误!×4×<2＋错误!>×sin错误!＝2错误!＋错误!．.........................14分18．<1>设{a n}的公差为d,∵a1,a2,a5成等比数列,∴<a1＋d>2＝a1 <a1＋4d>,∴d＝0,或d＝2 a1,........................4分当d＝0时,∵a3＋a4＝12,∴a1＝a3＝6,∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝30, ........................6分当d≠0时,∵a3＋a4＝12,∴a1＝1,d＝2, .........................8分∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25;<2>∵b1≠b2,b n＝10－a n,∴a1≠a2,∴d≠0,∴b n＝10－a n＝10－<2n－1>＝11－2n,........................12分当n≤5时,b n＞0,当n≥6时,b n＜0,当n＝5时,S n最大,S n最大值是9＋7＋5＋3＋1＝25．........................16分19．连ON,设∠MON＝θ,0＜θ＜错误!,在△MON中,ON＝200,∠OMN＝错误!,错误!＝错误!＝错误!,........................4分∴MN＝错误!sin θ, OM＝错误!sin<错误!－θ>,........................8分MN＋OM＝错误![ sin θ＋sin<错误!－θ>]＝错误!< sin θ＋错误!cos θ－错误!sin θ>＝错误!sin<错误!＋θ>,........................13分∵0＜θ＜错误!,∴错误!＜错误!＋θ＜错误!,∴当θ＝错误!时,sin<错误!＋θ> 最大,MN＋OM最大,最大值是错误!错误!m．........................16分20．<1>若0＜a n＜错误!,则0＜1＋a n＜1＋错误!,则a n＋1＝错误!＞错误!＝错误!; ........................4分<2>仿<1>可得,若a n＞错误!,则a n＋1＜错误!,........................6分则n≥2时｜a n－错误!｜＋｜a n＋1－错误!｜＝｜a n＋1－a n｜＝｜错误!－错误!｜＝错误!,∵a n＞0,∴a n＋1＝错误!＜1 < n∈N*>,∴n≥2时, a n＝错误!＞错误!,又a1＝错误!,∴n≥2时,<1＋a n> <1＋a n－1>＝<1＋错误!> <1＋a n－1>＝2＋a n－1≥错误!, (8)分∴｜a n＋1－a n｜＝错误!≤错误!｜a n－a n－1｜≤<错误!>2｜a n－1－a n－2｜≤…≤<错误!>n－1｜a2－a1｜＝错误!×<错误!>n－1,........................12分数列{错误!×<错误!>n－1}递减,错误!×<错误!>7－1＜0．001,只要N≥7,当n≥N时必有｜a n＋1－a n｜＜0．001,即｜a n－错误!｜＋｜a n＋1－错误!｜＜0．001成立．........................16分。
南京鼓楼实验学校数学高一下期中经典测试题(培优专题)
一、选择题1．(0分)[ID ：12420]若四棱锥的三视图如图，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为（ ）A ．3B 13C ．32D ．332．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥3．(0分)[ID ：12399]设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．(0分)[ID ：12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为433，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．45．(0分)[ID ：12378]已知平面//α平面β，直线mα，直线n β，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤ B ．a c b ≤≤C ． c a b ≤≤D ．c b a ≤≤6．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=7．(0分)[ID ：12346]已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ） A ．5B ．6C ．35D 418．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形9．(0分)[ID ：12329]设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α C ．若a ∥α，α∥β，则a ∥β D ．若α∥β，a α⊂，则a ∥β 10．(0分)[ID ：12396]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b11．(0分)[ID ：12366]已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( ) A ．153B ．53C ．64D ．10412．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1013．(0分)[ID ：12428]在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．8314．(0分)[ID ：12385]一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．√33B ．√17C ．√41D ．√4215．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12475]如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线． 其中正确的结论的序号为________．17．(0分)[ID ：12457]点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.18．(0分)[ID ：12485]三棱锥P ABC -中，5PA PB ==2AC BC ==AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.19．(0分)[ID ：12484]已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点3)A 处的切线的方程是___________.20．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线；②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行；写出所有真命题的序号________21．(0分)[ID ：12470]已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 22．(0分)[ID ：12466]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PEEC=__________．23．(0分)[ID ：12465]将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60 ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与CD 所成的角为60 ④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒ 则上面结论正确的为_______．24．(0分)[ID ：12505]小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()3x g x -=，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____ 25．(0分)[ID ：12430]若直线:20l kx y --=与曲线()2111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.三、解答题26．(0分)[ID ：12600]如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，090ABC ∠=，23SA AB ==，1BC =，23AD =060ACD ∠=，E 为CD 的中点.（1）求证：//BC 平面SAE ；（2）求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.27．(0分)[ID ：12594]如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，4524AB CD BAD AB CD ∠=︒==∥，，，点E 为AB 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P EBCD -，点M 为棱PB 的中点.（1）求证：PD MCE ∥平面；（2）若PDE EBCD ⊥平面平面，求三棱锥M BCE -的体积.28．(0分)[ID ：12551]已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．29．(0分)[ID ：12613]如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，M ，N 分别是BC ，1CC 的中点.（1）证明：平面AMN ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为30，试求三棱锥M ANC -的体积. 30．(0分)[ID ：12536]如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ． （2）求M 到平面BEFD 的距离．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．C3．B4．C5．D6．B7．A8．A9．D10．B11．D12．D13．C14．C15．D二、填空题16．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直17．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两18．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球19．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O在点处的切线的方程的斜率∴圆O在点A处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的20．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方21．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确；l⊂γl⊥m所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l⊂βl⊥α22．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定23．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E是BD的中点易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD24．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得25．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，可证得,CD PD ⊥CB PB ⊥，分别计算四个侧面三角形的面积，比较即得解. 【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD由于,,CD AD CD PA AD PA A CD ⊥⊥=∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥同理可证：CB PB ⊥1111222,2332222PAB PAD S PA AB S PA AD ∆∆∴=⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯= 1111322222PBC PCD S PB BC S CD PD ∆∆=⨯=⨯==⨯=⨯=故四棱锥的四个侧面的面积中最大值为故选：C 【点睛】本题考查了利用三视图还原几何体，侧面三角形面积的计算，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.2．C解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.3．B解析：B 【解析】 【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO ，即满足2PO ，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO故2222000103634PO x y y y ==+-+ 解得0825y ，0605x 即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO ，从而得到不等式求出参数的取值范围．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题． 【详解】解：根据题意作出图形： 设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 234312343S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．5．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大. 【详解】由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离.而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时,因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b .故选D.【点睛】本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．7．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.8．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A．9．D解析：D【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若a∥α，b∥α，则a与b平行或异面或相交，所以该选项不正确；⊂，所以该选项不正确；B. 若a∥b，b∥α，则a∥α或aαC. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确；D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确.故选：D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 11．D解析：D【解析】【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则11C N BC BN ===设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得cos θ==，即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为4，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D【解析】【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ， 当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =， 再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 13．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =，所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯=，故选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.14．C解析：C【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面ABCD 边长为4，侧面PAD ⊥平面ABCD ，点P 在底面的射影为E ，所以PE ⊥AD,DE =1,AE =4,PE =4,所以PA =√PE 2+AE 2=5,PB =√PE 2+BE 2=√41,PC =√PE 2+CE 2=√33,PD =√PE 2+DE 2=√17,底面边长为4，所以最长的棱长为√41，故选C.考点：简单几何体的三视图．15．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直解析：③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．17．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两 解析：13【解析】【分析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果.【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=，由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩， 所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-==故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙. 18．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π【解析】【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和． 【详解】∵PA PB ==AC BC ==PC =，∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，R =，球表面积为2244(7.2S R πππ==⨯= 故答案为：7π．【点睛】 本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．19．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的30y +-=【解析】【分析】先求出k OA ，从而圆O 在点(处的切线的方程的斜率k = ，由此能出圆O在点A 处的切线的方程．【详解】k OA =O 在点(处的切线的方程的斜率k =，∴圆O 在点A (处的切线的方程1y x =-） ，30y +-=．30y +-=.【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题. 20．①②【解析】【分析】①求出直线l 的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l 和直线y ＝x 的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y 轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l 的方 解析：①②【解析】【分析】①求出直线l 的方向向量，判断它与向量()cos , sin a αα=共线;②求出直线l 和直线y ＝x 的斜率与倾斜角，即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y 轴上的截距，得出两直线不一定平行.【详解】对于①，直线l 的方向向量是()1,tan α，它向量()cos , sin a αα=共线，是真命题； 对于②，当π04α<<时，直线l 的斜率是tan α，倾斜角是α，直线y ＝x 的斜率是1，倾斜角是π4，因此两直线的夹角为π4α-，是真命题; 对于③，直线l 的斜率是tan k α=，在y 轴上的截距是m ，直线sin cos 0x y n αα-+=的斜率tan k α=，且在y 轴上的截距是cos n α，当m ＝cos n α时，两直线重合，不平行，∴假命题.综上，是真命题的序号是①②.故答案为:①②【点睛】本题考查了直线的斜率，倾斜角，方向向量等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl ⊥m 所以l ⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl ⊥α解析：②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解.【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．故答案为②④【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.22．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定 解析：13【解析】【分析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PE EC 的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以22AF AB ==，而AC =:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.23．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E是BD的中点易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD解析：②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论．【详解】作出如图的图象，E是BD的中点，易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；--的平面对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角B AC D角，又BH=DH=32AC,BD=2,AC cos ∠BHD=-1,3故二面角B AC D --不是120︒综上知②③④是正确的故答案为②③④【点睛】本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．24．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得 解析：372]+ 【解析】【分析】根据斜率的几何意义，()3x g x -=表示函数y x =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解.【详解】 ()3x g x -=为点(x x 与点(2,3)连线的斜率， 点(),[0,1]x x x ∈在函数,[0,1]y x x =∈图像上， (1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-， 最小值为过A 点与,[0,1]y x x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入,[0,1]y x x =∈得，320,0,14(32)0kx x k k k k --=≠∆=--=， 即281210k k -+=，解得374k +=或374k =当374k +=时，137[0,1]3724x ==-∈+⨯， 当374k -=时，137[0,1]3724x ==+∉-⨯ 不合题意，舍去，()g x 值域为37[,2]4+. 故答案为:37[,2]4+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.25．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k 的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则解析：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可知，曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，作出直线l 与曲线C 的图象，可知直线l 是过点()0,2-且斜率为k 的直线，求出当直线l 与曲线C 相切时k 的值，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有两个公共点时实数k 的取值范围.【详解】对于直线:2l y kx =-，则直线l 是过点()0,2P -且斜率为k 的直线，对于曲线()2111C y x --=-，则101x x -≥⇒≥，曲线C 的方程两边平方并整理得()()22111x y -+-=，则曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，如下图所示：当直线l 与曲线C 相切时，0k >()222123111k k k k ---==++-，解得43k =， 当直线l 过点()1,0A 时，则有20k -=，解得2k =.结合图象可知，当4,23k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，直线l 与曲线C 有两个交点. 故答案为：4,23⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题26．（1）见解析； （2）217. 【解析】【分析】（1）在ACD ∆中，由余弦定理可解得：4CD =所以222AC AD CD +=，所以ACD ∆是直角三角形，又ACE ∆可证为等边三角形，所以060CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ，即可证明//BC 平面SAE ；（2）：由（1）可知090BAE ∠=，以点A 为原点，以AB ,AE ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.（1）证明：因为3AB =，1BC =，090ABC ∠=，所以2AC =，060BCA ∠=，在ACD ∆中，23AD =，2AC =，060ACD ∠=， 由余弦定理可得：2222?cos AD AC CD AC CD ACD =+-∠解得：4CD =所以222AC AD CD +=，所以ACD ∆是直角三角形，又E 为CD 的中点，所以12AE CD CE == 又060ACD ∠=，所以ACE ∆为等边三角形，所以060CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ，又AE ⊂平面SAE ，BC ⊄平面SAE ，所以//BC 平面SAE .（2）解：由（1）可知090BAE ∠=，以点A 为原点，以AB ,AE ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,2S ，()3,0,0B ，()3,1,0C ，()3,3,0D -. 所以()3,0,2SB =-，()3,1,2SC =-，()3,3,2SD =--. 设(),,n x y z =为平面SBC 的法向量，则·0·0n SB n SC ⎧=⎨=⎩，即320320x z x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 设1x =，则0y =，32z =，即平面SBC 的一个法向量为31,0,2n ⎛= ⎝⎭， 所以·2321cos ,77164n SDn SD n SD -===-⨯ 所以直线SD 与平面SBC 21.。
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知tan 2α=，tan 3β=-，则()tan αβ-的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【分析】利用两角差的正切公式计算可得.【详解】因为tan 2α=，tan 3β=-，所以()()()23tan tan tan 11tan tan 123αβαβαβ----===-++⨯-.故选：B2．在ABC 中，已知角A ，B 的对边分别为a ，b ，π4A =，π6B =，2a =，则b =（）A ．2B ．3C ．22D ．23【答案】A【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解作答.【详解】在ABC 中，π4A =，π6B =，2a =，由正弦定理得sin sin a bA B=，所以2π6π12sin22n42si 2b ⨯===.故选：A3．在复平面内，向量OA ，OB分别与复数2i +，43i -对应，其中O 为坐标原点，i 为虚数单位，则AB = （）A ．23B ．4C ．32D ．25【答案】D【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．【详解】向量OA ，OB分别与复数2i +，43i -对应，则(2,1)OA = ，(4,3)OB =-，(2,4)AB OB OA =-=- ，即22||2(4)25AB =+-=．故选：D ．4．已知一个物体在三个力1(1,2)F = ，23(1,3),F F =--的作用下，处于静止状态，则3F = （）A ．()0,1B ．()1,0-C ．()0,1-D ．()1,1-【答案】A【分析】由题意可知1230F F F ++=，设3(,)F x y = ，代入求解即可.【详解】已知一个物体在三个力1(1,2)F = ，23(1,3),F F =--的作用下，处于静止状态，设3(,)F x y = ，则()123(1,2)(1,3)(,),10F F F x y x y ++=+--+=-=，即010x y =⎧⎨-=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以3(0,1)F = .故选：A5．已知a ，b 是单位向量，且满足()20b a b ⋅-= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B【分析】利用向量的夹角公式可求a 与b的夹角.【详解】由()20b a b ⋅-= 可得220a b b ⋅-= ，故21a b ⋅= ，故1cos ,2a b a b = 即1cos ,2a b = ，而[],0,πa b ∈ ，故π,3a b = ，故选：B.6．2tan 37.51tan 37.5︒=-︒（）A ．23+B ．23-C ．312+D ．312-【答案】C【分析】利用二倍角正切公式得到2tan 37.51tan 751tan 37.52︒=︒-︒()1tan 45302=︒+︒，利用两角和的正切公式计算可得.【详解】()22tan 37.512tan 37.511tan 237.5tan 751tan 37.521tan 37.522︒︒=⨯=⨯⨯︒=︒-︒-︒()1tan 45302=︒+︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30︒+︒=⨯-︒︒311323113312+==⨯+⨯-.故选：C7．在ABC 中，cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理的边角互化可得sin 2sin 2A B =，进而可得22A B =或22A B π+=，即可求解.【详解】cos cos a A b B =，正弦定理可得2sin cos 2sin cos R A A R B B =，即sin 2sin 2A B =，()20,2A π∈，()20,2B π∈，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，∴ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选：D8．在ABC 中，点M 是边BC 所在直线上的一点，且2BM BC =，点P 在直线AM 上，若向量()0,0BP BA BC λμλμ=+>> ，则12λμ+的最小值为（）A ．3B ．4C ．322+D ．9【答案】B【分析】由题意可得12BP BA BM λμ=+，又点A ，P ，M 三点共线，所以112λμ+=，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解即可．【详解】 2BM BC =，∴12BC BM =，∴12BP BA BC BA BM λμλμ=+=+，点A ，P ，M 三点共线，∴112λμ+=，又0λ> ，0μ>，∴12121222224222μλμλλμλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22μλλμ=，即12λ=，1μ=时，等号成立，∴12λμ+的最小值为4．故选：B ．二、多选题9．已知复数i z a b =+，(),R a b ∈，则下列选项中，正确的是（）A ．若()1i 5z -=，则i z =B ．若2R z ∈，则0b =C ．若z z =，则0b =D ．若12a =-，32b =，则210z z ++=【答案】CD【分析】将i z a b =+，(),R a b ∈逐个代入各选项中分析判断即可.【详解】对于A ，由()1i 5z -=，得()()i 1i 5a b +-=，()()i 5a b b a ++-=，因为,R a b ∈，所以50a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得52b a ==，所以55i 22z =+，所以A 错误，对于B ，由i z a b =+，得()()()222222i 2i i 2i z a b a ab b a b ab =+=++=-+，因为2R z ∈，所以20ab =，所以0a =或0b =，所以B 错误，对于C ，由z z =，得i i a b a b =+-，则2i 0b =，所以0b =，所以C 正确，对于D ，因为13i 22z =-+，所以213131i i 2222⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭213133i i i 22422⎛⎫=++-+ ⎪⎪⎝⎭233i 044=+=，所以D 正确，故选：CD10．已知a ，b，c ，m ，n 是平面向量，则下列选项中，正确的是（）A ．若//a b r r ，//b c，则//a cr r B ．若()2,6a = ，(1,3)b =- ，则a ，b可以作为平面内的一组基底C ．若()0,3a =，()3,1b =，则a 在b上的投影向量为333,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．若4m = ，3n = ，5m n ⋅=，则15m n -= 【答案】BC【分析】根据共线向量判断A 、B ，根据投影向量的定义判断C ，根据数量积的运算律判断D.【详解】对于A ：当0b = ，a 、c 不平行时，满足//a b r r ，//b c ，得不出//a c，故A 错误；对于B ： ()2,6a =，(1,3)b =-，所以a、b不共线，∴a、b可作为平面内的一组基底，故B 正确；对于C ：因为()0,3a =，()3,1b =，所以3a b ⋅=，()22312b =+= ，所以a 在b 上的投影向量为()33333,1,444a b b b b ⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ：||4m = ，||3n =r ，5m n ⋅=，∴()22221691015m n m n m n m n -=-=+-⋅=+-= ，故D 错误．故选：BC ．11．函数()ππsincos 44x xf x =+，则下列选项中正确的是（）A ．()f x 的最大值是2B ．()f x 的图象在直线1y =-的上方C ．点()1,0-是()f x 图象的一个对称中心D ．函数()11y f x x =-+在区间[]10,10-上的所有零点之和等于6-【答案】ACD【分析】利用正弦型函数的值域可判断AB 选项；利用正弦型函数的对称性可判断C 选项；数形结合可判断D 选项.【详解】对于A 选项，()ππππsincos 2sin 4444x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故函数()f x 的最大值为2，A 对；对于B 选项，由A 选项可知，()f x 的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦，则函数()f x 的图象不恒在直线1y =-上，B 错；对于C 选项，因为()12sin 00f -==，所以，点()1,0-是()f x 图象的一个对称中心，C 对；对于D 选项，令()11g x x =+，其中1x ≠-，则()()112211g x g x x x --==-=---++，故函数()g x 的图象关于点()1,0-成中心对称，作出函数()f x 在区间[]10,10-的图象以及函数()g x 的图象，如下图所示：由图可知，函数()f x 在区间[]10,10-的图象以及函数()g x 的图象共有六个交点，分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，其中A 与F 、B 与E 、C 与D 均关于点()1,0-对称，因此，函数()11y f x x =-+在区间[]10,10-上的所有零点之和等于6-，D 对.故选：ACD.12．已知75A ∠= ，在A ∠的两条边上分别有B ，D 两个动点，13BD =+，在A ∠内部有一点C ，满足BCD A ∠=∠，且6=BC ，则下列选项中正确的是（）A ．AB AD>B ．45DBC ∠=C ．ABD △的面积有最大值D ．AC 的最大值为52+【答案】BC【分析】在BCD △中，由余弦定理求得2CD =，再由正弦定理求得BCD ∠，即可判定B ；根据题意得到点A 的运动轨迹为 BAD，故,AD AB 的大小不能确定，且ABD △的面积有最大值，可判定A 错误，C 正确；令ABD △的外接圆圆心为O ，求得CO 的长，进而求得AC 的最大值，可判定D 错误.【详解】在BCD △中，1756,3,BD BC C =+∠==︒，由余弦定理可得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅∠，即2(33)2230CD CD --⋅+-=，解得2CD =或13CD =-（舍去），在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC DB DBC BCD =∠∠，即231sin sin 75DBC +=∠，解得2sin 2DBC ∠=，所以45DBC ∠= ，所以B 正确；在ABD △中，因为13BD =+，75A ∠= ，所以点A 的运动轨迹为 BAD，故,AD AB 的大小不能确定，所以A 错误；在ABD △中，由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD A=+-⋅22cos (22cos )AB AD AB AD A AB AD A ≥⋅-⋅=⋅⋅-，当且仅当AB AD =时，等号成立，所以22322cos 1cos 75BD AB AD A +⋅≤=--,又由ABD △的面积为1sin 2ABD S AB AD A =⋅ ，所以ABD △的面积有最大值，故A 错误，C 正确；令ABD △的外接圆圆心为O ，取BD 的中点为M ，OM BD ⊥，则222sin BDOB A==，可得2OB =，又由312MB +=，所以62cos 4OBM +∠=，所以15OBM ∠= ，所以60OBC ∠= ，在OBC △中，由余弦定理可得222cos 60823CO BO BC BO BC =+-⋅=- ，所以AC 的最大值为8232-+，所以D 错误.故选：BC.三、填空题13．已知复数z 满足2023i 1i z =+，其中i 是虚数单位，则z =．【答案】2【分析】利用虚数单位的性质结合复数的除法可求z ，再利用公式求出其模.【详解】因为202345053=⨯+，故20233i i i ==-.故i 1i z -=+即()1i1i i 1i iz +==+=-+-，故22112z =+=，故答案为：2.14．若π2sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+=⎪⎝⎭．【答案】19-【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】因为π2sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则22ππππcos 2cos 2πcos 22sin 13666αααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2212139⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：19-.15．如图，在平面四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，2AC =，45BAC ∠=︒，则2CB CD +的最小值为．【答案】5【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设()(),0,0,B b D d ，利用垂直关系和模的坐标公式可得()22515CB CD d +=-+ ，故可求模的最小值.【详解】以A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设()(),0,0,B b D d ，因为45BAC ∠=︒，且2AC =，故()1,1C ，故()1,1CD d =-- ，()1,1CB b =--，故()23,23CB CD b d +=-- ，而90BCD ∠=︒，故0CD CB ⋅=uuu r uur，故()()11110b d -⨯--⨯-=，即2b d +=，所以()()()()222223232323CB CD b d d d +=-+-=--+- ()2515d =-+，当1d =时，min25CB CD +=.故答案为：5四、双空题16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos 3sin a b c B c B +=+，角C 的平分线交AB 于D 点，且354BD =，214AD =，则ACB =∠︒，ABC 的内切圆面积是．【答案】1203π【分析】由正弦定理结合三角变换可得()sin 301C -︒=，结合角C 的范围即可求解角C ；由角平分线的性质可得53BC BD CA AD ==，利用余弦定理可求得10,6BC AC ==，再利用等面积法求得内切圆的半径，从而可求解内切圆的面积.【详解】由正弦定理可得sin 2sin sin cos 3sin sin A B C B C B +=+，sin()2sin sin cos 3sin sin B C B C B C B ∴++=+，sin cos cos sin 2sin sin cos 3sin sin B C B C B C B C B ++=+∴，sin cos 2sin 3sin sin B C B C B ∴+=，sin 0,cos 23sin B C C ≠∴+= ，()3sin cos 2sin 302C C C ∴-=-︒=，()sin 301,0180,3090,120C C C C ∴-︒=︒<<︒∴-︒=︒∴=︒ .角C 的平分线交AB 于D 点，且354BD =，214AD =，53BC BD CA AD ∴==，在ABC 中，由余弦定理可得2222222cos120,14AB AC BC AC BC AC BC AC BC =+-⋅︒∴=++⋅，10,6BC AC ∴==，设ABC 内切圆的半径为r ，11()sin ,30303,322AB BC CA r AC BC BCA r r ∴++⋅=⋅⋅∠∴=∴=，ABC ∴ 的内切圆面积是2π3πr =.故答案为：120；3π.五、解答题17．已知向量()1,1a =-，()2,b λ= ，()3,1c = ．(1)若//a b，求实数λ的值；(2)若ka c + 与c垂直，求实数k 的值．【答案】(1)2-(2)5-【分析】（1）根据//a b，利用向量共线的坐标表示，即可求解；（2）根据ka c + 与c垂直，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】（1）因为向量()1,1a =-，()2,b λ= ，因为//a b，可得112λ⨯=-⨯，解得2λ=-.（2）因为向量()1,1a =- ，()3,1c = ，可得()3,1ka c k k +=+-+，因为ka c + 与c垂直，所以()()3310k k ++-+=，解得5k =-．18．已知复数1i z m =+，1i2z +-是实数，其中i 是虚数单位，m ∈R ．(1)求m 的值；(2)若复数03i z z =--+是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值．【答案】(1)3m =-(2)4b =，20c =【分析】（1）化简23i 1i 1i z m ++=--33i 22m m -+=+，由1i2z +-是实数可得302m +=，求解即可；（2）由（1）可得024i z =--，由0z 方程20x bx c ++=的根可得()()212416i 0b c b -+-+-+=，再根据复数相等的条件可得21204160b c b -+-=⎧⎨-+=⎩，求解即可.【详解】（1）因为1i z m =+，所以23i 1i 1i z m ++=--()()()()3i 1i 1i 1i m ++=-+33i 22m m-+=+，因为1i2z +-是实数，所以302m +=，解得3m =-，故m 的值为3-.（2）由（1）可知13i z =-，所以03i 24i z z =--+=--，因为0z 方程20x bx c ++=的根，所以()()224i 24i 0b c --+--+=，即()()212416i 0b c b -+-+-+=，由21204160b c b -+-=⎧⎨-+=⎩，解得4b =，20c =．故实数b 和c 的值分别为4,20.19．在ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，22223sin sin sin sin sin sin 3B C A A B C +=+，在下列条件中选择一个，判断ABC 是否存在．如果存在，那么求出ABC 的面积；如果不存在，那么请说明理由．①BC 边的中线AD 长为102；②23b c +=；③3cos 5B =-．【答案】条件选择见解析，答案见解析【分析】根据正弦定理结合余弦定理可求得π3A =，选①：根据余弦定理求得228b c +=，结合余弦定理求出b 、c 的值，说明ABC 存在，进而可求得ABC 的面积；选②：由已知条件结合余弦定理求得b 、c 的值，说明ABC 存在，进而可求得ABC 的面积；选③：根据余弦函数的单调性结合三角形的内角和定理说明ABC 不存在.【详解】解：因为22223sin sin sin sin sin sin 3B C A A B C +=+，由正弦定理可得22223sin 3b c a bc A +=+，即22223sin 3b c a bc A +-=，又由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，所以23sin 2cos 3bc A bc A =，即sin 3cos A A =，因为()0,πA ∈，所以，sin 3cos 0A A =>，所以tan 3A =，所以π3A =.选择①：BC 边的中线AD 长为102，在ABD △中，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，（i ）在ACD 中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，（ii ）因为πADB ADC ∠+∠=，所以，πADC ADB ∠=-∠，所以，()cos cos πcos ADC ADB ADB ∠=-∠=-∠，（i ）+（ii ）可得222222AB AC AD BD +=+，即228b c +=，因为226b c bc +-=，所以2bc =，解得3131b c ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或3131b c ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，所以ABC 存在，所以，ABC 的面积为1133sin 22222ABC S bc A ==⨯⨯= ；选择②：23b c +=，因为226b c bc +-=，所以2bc =，解得3131b c ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或3131b c ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，所以ABC 存在，所以，ABC 的面积为1133sin 22222ABC S bc A ==⨯⨯= ；选择③：3cos 5B =-，因为函数cos y x =在()0,π上是减函数，且3152-<-，即2πcos cos3B <，又因为()0,πB ∈，所以2ππ3B <<，因为π3A =，所以πAB +>，这与πA B +<矛盾，所以ABC 不存在．20．已知平面向量()sin ,cos a x x =- ，()3cos ,cos b x x =- ，()1,2cos 1c x =- ．设函数()2·f x a b = (1)求()f x 的最小正周期；(2)设()y f x a c =+⋅ ，①记sin cos t x x =+，试用t 表示sin cos x x ⋅，并写出t 的取值范围；②求y 的最小值．【答案】(1)π(2)①()21sin cos 12x x t ⋅=-，t 的取值范围是2,2⎡⎤-⎣⎦；②13312-【分析】（1）根据平面向量的数量积求出函数()f x 的解析式，再利用辅助角公式化为sin()A x ωϕ+的形式，即可求出最小正周期；（2）化函数()23sin cos sin cos y f x a c x x x x =+⋅=++，①记sin cos t x x =+，用2t 表示出sin cos x x ，再根据三角函数的有界性求出t 的取值范围；②根据二次函数的图象与性质，即可求出y 的最小值．【详解】（1）平面向量(sin ,cos )a x x =- ，(3cos b x = ，cos )x -，(1,2cos 1)c x =- ，所以函数231()223sin cos 2cos 3sin 2(1cos 2)2(sin 2cos 2)12s in(2)1226f x a b x x x x x x x x π=⋅=+=++=++=++ ，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；（2）函数22()(23sin cos 2cos )(sin 2cos cos )23sin cos sin cos y f x a c x x x x x x x x x x =+⋅=++-+=++ ，①记sin cos t x x =+，则222sin cos 2sin cos 12sin cos t x x x x x x =++=+，所以21sin cos (1)2x x t ⋅=-，因为πsin cos 2sin 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2t ∈-，2]；②22123(1)332y t t t t =⨯-+=+-，当123t =-时，y 取得最小值为1113333121223⨯--=-．21．在小岛N 的正北方向有一补给点P ，某巡逻艇从N 出发沿北偏西45︒方向航行，航行156海里后到达点M ，此时，巡逻艇接到了位于P 正北方向50海里的抛锚渔船Q 处发来的求救信号，同时观测到P 位于M 的北偏东60︒方向．已发现巡逻艇燃料不足，现有两种营救方案：方案一为节省燃油、确保能到达抛锚渔船Q 处，巡逻艇以35海里/小时的速度航行，以最短路程前往；方案二巡逻艇以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往补给点，在补充燃油后仍然以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往，已知在到达补给点后补充燃油总共需要在补给点停留0.2小时；试判断哪种营救方案可以更快的达到抛锚渔船Q 处．（在实施两种方案时，均不考虑水流速度）【答案】采用方案二可以更快的达到抛锚渔船Q 处【分析】根据题意，在PMN 中，由正弦定理求得PM ，再在MPQ 中，由余弦定理求得MQ ，分别计算两个方案中的用时，即可求解.【详解】因为P 点在N 的正北方，且P 在M 的北偏东60︒的方向，所以60,45MPN MNP ∠=︒∠=︒，在PMN 中，由正弦定理得sin sin PM MN MNP MPN =∠∠，可得sin 30sin MN MNP PM MPN∠==∠海里，在MPQ 中，由余弦定理得2222cos MQ MP PQ MP PQ MPQ =+-⋅∠，可得70MQ =海里，若采用方案一，需要170352t =÷=小时，若采用方案二，需要()23050500.2 1.8t =+÷+=小时，所以采用方案二可以更快的达到抛锚渔船Q处．22．已知，在斜三角形．．．．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin cos A B =．(1)求A B -的大小；(2)若1a =，求AB AC ⋅uuu r uuu r 的最小值；(3)若3sin cos tan 2A B C ==，求,A B 的大小．【答案】(1)π2(2)223-(3)2π3A =，π6B =【分析】（1）由sin cos A B =，得到πcos cos 2A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求得π2A B -=；（2）由正弦定理分别求得tan b B =，cos 2cos B c B=，结合向量的数量积的运算公式和三角恒等变换，得到2212cos 3cos AB AC B B⋅=+- ，结合基本不等式，即可求解.（3）因为3sin tan 2A C =，得到()21cos 2cos 2cos 302A A A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，求得1cos 2A =-或17cos 2A -±=，结合题意，即可求解.【详解】（1）解：因为sin cos AB =，所以πcos cos 2A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π2π2A k B -=+或π2π2A kB -=-，Z k ∈，因为0π0π0πA B A B <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩且ππA B -<-<，所以π2A B +=或π2A B -=，由ABC 为斜三角形知，π2A B +=（舍），所以π2A B -=.（2）解：由正弦定理：11sin cos sin()π2b B B B ==+，所以tan b B =，又由11sin cos sin()π2c C B B ==+，可得11πcos 2sin sin(2)cos cos 2cos B c C B B B B =⋅=⋅-=，所以cos 2πcos tan cos cos 2B AB AC bc A B B B ⎛⎫⋅==⋅⋅+ ⎪⎝⎭ 22cos 2sin cos B B B=-()()2222cos 11cos cos B B B --=-4222cos 2cos 1cos B B B-+=2212cos 3cos B B =+-223≥-，当且仅当22cos 2B =时，等号成立，所以AB AC ⋅uuu r uuu r 的最小值为223-.（3）解：因为3sin tan 2A C =，所以()33π3sin tan tan 22222tan 2A A B A A ⎛⎫=-+=--= ⎪⎝⎭，所以2sin sin 23cos 2A A A =，所以()224sin cos 32cos 1A A A =-，即()()2241cos cos 32cos 1A A A -=-，整理得324cos 6cos 4cos 30A A A +--=，所以()21cos 2cos 2cos 302A A A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以1cos 2A =-或17cos 2A -±=，因为A 是钝角，所以1cos 2A =-，所以23A π=，所以ππ26B A ===．。
2022-2023学年江苏省徐州市鼓楼区高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省徐州市鼓楼区高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 1．已知tan α＝2，tan β＝﹣3，则tan （α﹣β）的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．22．在△ABC 中，已知角A ，B 的对边分别为a ，b ，A =π4，B =π6，a ＝2，则b ＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2√2D ．2√33．在复平面内，向量OA →，OB →分别与复数2+i ，4﹣3i 对应，其中O 为坐标原点，i 为虚数单位，则|AB →|=（ ） A ．2√3B ．4C ．3√2D ．2√54．已知一个物体在三个力F →1＝（1，2），F →2＝（﹣1，﹣3），F →3的作用下，处于静止状态，则F →3＝（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，0）C ．（0，﹣1）D ．（﹣1，1）5．已知a →，b →是单位向量，且满足b →•（2a →−b →）＝0，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．tan37.5°1−tan 237.5°=（ ）A ．2+√3B ．2−√3C ．1+√32D ．1−√327．在△ABC 中，BC •cos A ＝AC •cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．在△ABC 中，点M 是边BC 所在直线上的一点，且BM →=2BC →，点P 在直线AM 上，若向量BP →=λBA →+μBC →（λ＞0，μ＞0），则1λ+2μ的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．3+2√2D ．9二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得O 分） 9．已知复数z ＝a +bi ，（a ，b ∈R ），则下列选项中，正确的是（ ） A ．若z （1﹣i ）＝5，则z ＝i B ．若z 2∈R ，则b ＝0C ．若z =z ，则b ＝0D ．若a =−12，b =√32，则 1+z +z 2＝010．已知a →，b →，c →，m →，n →是平面向量，则下列选项中，正确的是（ ）A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．若a →=（2，6），b →=（﹣1，3），则a →，b →可以作为平面内的一组基底C ．若a →=（0，3），b →=（√3，1），则a →在b →上的投影向量为(3√34，34) D ．若|m →|＝4，|n →|＝3，m →•n →=5，则|m →−n →|＝1511．函数f(x)=sin πx4+cos πx4，则下列选项中正确的是（ ） A ．f （x ）的最大值是√2B ．f （x ）的图象在直线y ＝﹣1的上方C ．点（﹣1，0）是f （x ）图象的一个对称中心D ．函数y =f(x)−1x+1在区间[﹣10，10]上的所有零点之和等于﹣612．已知∠A ＝75°，在∠A 的两条边上分别有B ，D 两个动点，BD =1+√3，在∠A 内部有一点C ，满足∠BCD ＝∠A ，且BC =√6，则下列选项中正确的是（ ） A ．AB ＞ADB ．∠DBC =π4C ．△ABD 的面积有最大值D ．AC 的最大值为√5+√2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数z 满足zi 2023＝1+i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝ ． 14．若sin(α−π6)=23，则cos(2α+2π3)= ．15．如图，在平面四边形ABCD 中∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AC =√2，∠BAC ＝45°，则|CB →+2CD →|的最小值为 ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a +2b ＝c cos B +√3c sin B ，角C 的平分线交AB 于D 点，且BD =354，AD =214，则∠ACB ＝ °，△ABC 的内切圆面积是 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量a →=（1，﹣1），b →=（2，λ），c →=（3，1）． （1）若a →∥b →，求实数λ的值；（2）若k a →+c →与c →垂直，求实数k 的值． 18．（12分）已知复数z ＝1+mi ，z+21−i是实数，其中i 是虚数单位，m ∈R ．（1）求m 的值；（2）若复数z 0＝﹣3﹣i +z 是关于x 的方程x 2+bx +c ＝0的根，求实数b 和c 的值．19．（12分）在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =√6，sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A sin B sin C ，在下列条件中选择一个，判断△ABC 是否存在．如果存在，那么求出△ABC 的面积；如果不存在，那么请说明理由．①BC 边的中线AD 长为√102②b +c ＝2√3； ③cos B =−35．20．（12分）已知平面向量a →=（sin x ，﹣cos x ），b →=（√3cos x ，﹣cos x ），c →=（1，2cos x ﹣1）． （1）设函数f （x ）＝2a →•b →，求f （x ）的最小正周期； （2）设函数y ＝f （x ）+a →•c →，①记t ＝sin x +cos x ，试用t 表示sin x •cos x ，并写出t 的取值范围； ②求y 的最小值．21．（12分）在小岛N 的正北方向有一补给点P ．某巡逻艇从N 出发沿北偏西45°方向航行，航行15√6海里后到达点M ，此时，巡逻艇接到了位于P 正北方向50海里的抛锚渔船Q 处发来的求救信号，同时观测到P 位于M 的北偏东60°方向．已发现巡逻艇燃料不足，现有两种营救方案：方案一 为节省燃油、确保能到达抛锚渔船Q 处，巡逻艇以35海里/小时的速度航行，以最短路程前往： 方案二 巡逻艇以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往补给点，在补充燃油后仍然以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往，已知在到达补给点后补充燃油总共需要在补给点停留0.2小时； 试判断哪种营救方案可以更快的达到抛锚渔船Q 处． （在实施两种方案时，均不考虑水流速度）22．（12分）已知，在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ＝cos B ． （1）求A ﹣B 的大小；（2）若a ＝1，求AB →⋅AC →的最小值；（3）若sinA =cosB =32tanC ，求A ，B 的大小．2022-2023学年江苏省徐州市鼓楼区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 1．已知tan α＝2，tan β＝﹣3，则tan （α﹣β）的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：因为tan α＝2，tan β＝﹣3，所以tan （α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ=2−(−3)1+2×(−3)=−1．故选：B ．2．在△ABC 中，已知角A ，B 的对边分别为a ，b ，A =π4，B =π6，a ＝2，则b ＝（ ） A ．√2 B ．√3C ．2√2D ．2√3解：∵a sinA=b sinB，∴b =asinBsinA=√2． 故选：A ．3．在复平面内，向量OA →，OB →分别与复数2+i ，4﹣3i 对应，其中O 为坐标原点，i 为虚数单位，则|AB →|=（ ） A ．2√3B ．4C ．3√2D ．2√5解：向量OA →，OB →分别与复数2+i ，4﹣3i 对应，则OA →=(2，1)，OB →=(4，−3)， AB →=OB →−OA →=（2，﹣4），即|AB →|=√22+(−4)2=2√5． 故选：D ．4．已知一个物体在三个力F →1＝（1，2），F →2＝（﹣1，﹣3），F →3的作用下，处于静止状态，则F →3＝（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，0）C ．（0，﹣1）D ．（﹣1，1）解：已知一个物体在三个力F →1＝（1，2），F →2＝（﹣1，﹣3），F →3的作用下，处于静止状态，设F 3→=(x ，y)， 所以F 1→+F 2→+F 3→=(1，2)+(−1，−3)+(x ，y)=0→=(0，0)， 解得F 3→=(0，1)． 故选：A ．5．已知a →，b →是单位向量，且满足b →•（2a →−b →）＝0，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：设a →与b →的夹角为θ，θ∈[0，π]，a →，b →是单位向量，且满足b →•（2a →−b →）＝0，则2a →⋅b →=b →2，故2×1×1×cos θ＝1，解得cos θ=12，故θ=π3． 故选：B ． 6．tan37.5°1−tan 237.5°=（ ）A ．2+√3B ．2−√3C ．1+√32 D ．1−√32解：tan37.5°1−tan 237.5°=12×2tan37.5°1−tan 237.5°=12tan75°=12tan （45°+30°）=12×tan45°+tan30°1−tan45°tan30°=12×1+√331−√33=12×√3+13−1＝1+√32．故选：C ．7．在△ABC 中，BC •cos A ＝AC •cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解：在△ABC 中，BC •cos A ＝AC •cos B ， 根据正弦定理：sin A •cos A ＝sin B •cos B ，整理得：sin2A ＝sin2B ，故2A ＝2B 或2A ＝π﹣2B ，即A ＝B 或A +B =π2． 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D ．8．在△ABC 中，点M 是边BC 所在直线上的一点，且BM →=2BC →，点P 在直线AM 上，若向量BP →=λBA →+μBC →（λ＞0，μ＞0），则1λ+2μ的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．3+2√2D ．9解：∵BM →=2BC →，∴BC →=12BM →，∴BP →=λBA →+μBC →=λBA →+12μBM →， ∵点A ，P ，M 三点共线， ∴λ+12μ=1， 又∵λ＞0，μ＞0， ∴1λ+2μ=(1λ+2μ)（λ+12μ）＝2+μ2λ+2λμ≥2+2√μ2λ⋅2λμ=4，当且仅当μ2λ=2λμ，即λ=12，μ＝1时，等号成立，∴1λ+2μ的最小值为4．故选：B ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得O 分） 9．已知复数z ＝a +bi ，（a ，b ∈R ），则下列选项中，正确的是（ ） A ．若z （1﹣i ）＝5，则z ＝i B ．若z 2∈R ，则b ＝0C ．若z =z ，则b ＝0D ．若a =−12，b =√32，则 1+z +z 2＝0解：对于A ，z （1﹣i ）＝5，则z =51−i =5(1+i)(1−i)(1+i)=52+12i ，故A 错误； 对于B ，不妨设z ＝﹣2i ，满足z 2∈R ，但b ≠0，故B 错误； 对于C ，z =z ，则a +bi ＝a ﹣bi ，即2bi ＝0，解得b ＝0，故C 正确； 对于D ，a =−12，b =√32，则z =−12+√32i ，z 2=−12−√32i ，所以1+z +z 2＝0，故D 正确．故选：CD ．10．已知a →，b →，c →，m →，n →是平面向量，则下列选项中，正确的是（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．若a →=（2，6），b →=（﹣1，3），则a →，b →可以作为平面内的一组基底C ．若a →=（0，3），b →=（√3，1），则a →在b →上的投影向量为(3√34，34) D ．若|m →|＝4，|n →|＝3，m →•n →=5，则|m →−n →|＝15解：A .b →=0→，a →，c →不平行时，满足a →∥b →，b →∥c →，得不出a →∥c →，A 错误； B ．∵a →，b →不共线，∴a →，b →可作为平面内的一组基底，B 正确；C .a →在b →上的投影向量为：a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=34(√3，1)=(3√34，34)，C 正确；D ．∵|m →|＝4，|n →|＝3，m →•n →=5，∴|m →−n →|√(m →−n →)2=√m →2+n →2−2m →⋅n →=√16+9−10=√15，D 错误． 故选：BC ．11．函数f(x)=sin πx 4+cos πx4，则下列选项中正确的是（ ） A ．f （x ）的最大值是√2B ．f （x ）的图象在直线y ＝﹣1的上方C．点（﹣1，0）是f（x）图象的一个对称中心D．函数y=f(x)−1x+1在区间[﹣10，10]上的所有零点之和等于﹣6解：f(x)=sin πx4+cosπx4=√2(√22sinπx4+√22cosπx4)=√2sin(πx4+π4)．所以f（x）的周期为8．A选项由f（x）的解析式可知最大值为√2．故A正确．B选项由f（x）的解析式可知最小值为−√2＜−1，所以有一部分在﹣1的下方，故B错误．C选项可以把（﹣1，0）代入f（x），可知f（﹣1）＝0，所以该点是对称中心，故C正确．D选项令g（x）=1x+1，它的对称中心为（﹣1，0）．在[﹣10，10]内，g（x）和f（x）有6个交点，如图所示，两两关于（﹣1，0）对称并且横坐标和为﹣1，例如A点和B点的横坐标之和为﹣1，所以零点之和为﹣6．故D正确．故选：ACD．12．已知∠A＝75°，在∠A的两条边上分别有B，D两个动点，BD=1+√3，在∠A内部有一点C，满足∠BCD＝∠A，且BC=√6，则下列选项中正确的是（）A．AB＞AD B．∠DBC=π4C．△ABD的面积有最大值D．AC的最大值为√5+√2解：在△BCD中，BC=√6，BD＝1+√3，∠BCD＝75°，由余弦定理可得BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CDos∠BCD，即CD2﹣（3−√3）CD+2﹣2√3=0，CD＝2或1−√3（舍），在△BCD中，由正弦定理可得DCsin∠DBC =DBsin∠BCD，2sin∠DBC=√3+1√6+√24，所以sin ∠DBC =√22，即∠DBC =π4，故B 正确；在△ABD 中，因为DB =1+√3，A ＝75°，所以点A 的运动轨迹为BAD ̂，故AD ，AB 的大小不能确定，且△ABD 的面积有最大值，故A 错误，C 正确； 令△ABD 的外接圆圆心为O ，OM ⊥BD ，则2OB =BDsin∠A=2√2∴OB =√2， 又MB =√3+12，∴cos ∠OBM =√6+√22，∴∠OBM ＝15°，故∠OBC ＝60°，在△OBC 中，由余弦定理可得CO =√BO 2+BC 2−2BO ⋅BCcos60°=√8−2√3， AC 的最大值为√8−2√3√2，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数z 满足zi 2023＝1+i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝ √2 ． 解：i 2023＝（i 4）505•i 3＝﹣i ， ∵zi 2023＝1+i ， ∴z =1+i−i=−1﹣i ， 故|z |=√(−1)2+(−1)2=√2． 故答案为：√2．14．若sin(α−π6)=23，则cos(2α+2π3)= −19． 解：∵sin （α−π6）＝﹣cos[π2+（α−π6）]＝﹣cos （α+π3）=23，∴cos （α+π3）=−23． ∴cos(2α+2π3)=2 cos 2(α+π3)−1=−19， 故答案为−19．15．如图，在平面四边形ABCD 中∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AC =√2，∠BAC ＝45°，则|CB →+2CD →|的最小值为 √5 ．解：设∠ACD ＝θ，θ∈（0°，90°），则∠ACB ＝90°﹣θ，∠B ＝45°+θ，∠D ＝135°﹣θ， 在△ABC 中，由正弦定理得：AC sinB=BC sin∠CAB，∴BC =AC×sin∠CAB sinB =1sin(45°+θ)，在△ACD 中，由正弦定理得：AC sinD =CDsin∠DAC，∴CD =AC×sin∠DAC sinD =1sin(135°−θ)=1sin(45°+θ)， ∵∠DCB ＝90°，∴CD →⋅CB →=0，∴|CB →+2CD →|2=CB →2+4CD →2+4CD →⋅CB →=CB 2+4CD 2=1sin 2(45°+θ)+4sin 2(45°+θ)=5sin 2(45°+θ)，∵θ∈（0°，90°），∴45°+θ∈（45°，135°），∴sin(45°+θ)∈(√22，1]，∴5sin 2(45°+θ)∈[5，5√2)，∴|CB →+2CD →|min =√5． 故答案为：√5．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a +2b ＝c cos B +√3c sin B ，角C 的平分线交AB 于D 点，且BD =354，AD =214，则∠ACB ＝ 120 °，△ABC 的内切圆面积是 3π ． 解：由已知结合正弦定理可得sin A +2sin B ＝sin C cos B +√3sin C sin B ， ∴sin （B +C ）+2sin B ＝sin C cos B +√3sin C sin B ， ∴sin B cos C +cos B sin C +2sin B ＝sin C cos B +√3sin C sin B ， ∴sin B cos C +2sin B =√3sin C sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos C +2=√3sin C ， ∴√3sin C ﹣cos C ＝2sin （C −π6）＝2， ∴sin （C ﹣30°）＝1，∵0°＜C ＜180°， ∴C ﹣30°＝90°，∴C ＝120°， 角C 的平分线交AB 于D 点，且BD =354，AD =214， ∴BC CA=BD AD=53，在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC cos120°， ∴142＝AC 2+BC 2+AC •BC ，解得BC ＝10，AC ＝6， 设△ABC 内切圆的半径为r ，∴12（AB +BC +CA ）•r =12AC •BC •sin ∠BCA ，∴30r ＝30√3，∴r =√3∴△ABC 的内切圆面积是πr 2＝3π． 故答案为：120；3π．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量a →=（1，﹣1），b →=（2，λ），c →=（3，1）． （1）若a →∥b →，求实数λ的值；（2）若k a →+c →与c →垂直，求实数k 的值． 解：（1）a →=（1，﹣1），b →=（2，λ），a →∥b →， 则λ•1＝（﹣1）•2，解得λ＝﹣2； （2）a →=（1，﹣1），c →=(3，1)， ∴ka →+c →=(k +3，−k +1)， ∵k a →+c →与c →垂直，∴3（k +3）+（﹣k +1）＝0，解得k ＝﹣5． 18．（12分）已知复数z ＝1+mi ，z+21−i是实数，其中i 是虚数单位，m ∈R ．（1）求m 的值；（2）若复数z 0＝﹣3﹣i +z 是关于x 的方程x 2+bx +c ＝0的根，求实数b 和c 的值． 解：（1）复数z ＝1+mi ，则z+21−i =3+mi 1−i=(3+mi)(1+i)(1−i)(1+i)=3−m 2+3+m 2i ，∵z+21−i是实数，∴3+m 2=0，解得m ＝﹣3；（2）z 0＝﹣3﹣i +z ＝﹣3﹣i +1﹣3i ＝﹣2﹣4i ， 复数z 0＝﹣3﹣i +z 是关于x 的方程x 2+bx +c ＝0的根， 则﹣2+4i 也为x 的方程x 2+bx +c ＝0的另一个根， 故{−2+4i +(−2)−4i =−b (−2+4i)(−2−4i)=c，解得b ＝4，c ＝20． 19．（12分）在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =√6，sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A sin B sin C ，在下列条件中选择一个，判断△ABC 是否存在．如果存在，那么求出△ABC 的面积；如果不存在，那么请说明理由．①BC 边的中线AD 长为√102②b +c ＝2√3； ③cos B =−35．解：∵sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A sin B sin C ，∵b 2+c 2﹣a 2=2√33bc sin A ， 由余弦定理得，b 2+c 2﹣a 2＝2bc cos A ，∴2√33bc sin A ＝2bc cos A ，∴tan A =√3， ∵A ∈（0，π），∴A =π3，若选①，BC 边的中线AD 长为 √102， ∵AD →=12（AB →+AC →），∴4AD →2=AB →2+AC →2+2AB →•AC →•cos A ， ∴10＝b 2+c 2+2bc ×12，∴b 2+c 2+bc ＝10，由余弦定理得，6＝b 2+c 2﹣2bc ×12，∴b 2+c 2﹣bc ＝6，解得{b =√3−1c =√3+1或{b =√3+1c =√3−1，∴△ABC 存在， ∴△ABC 的面积为12×bc ×sin A =√32； 若选②，b +c ＝2√3，由余弦定理得，6＝b 2+c 2﹣2bc ×12，∴b 2+c 2﹣bc ＝6，解得{b =√3−1c =√3+1或{b =√3+1c =√3−1，∴△ABC 存在， ∴△ABC 的面积为12×bc ×sin A =√32； 若选③，cos B =−35，∵y ＝cos x 在（0，π）上为减函数，cos B =−35＜−12，∴B ＞2π3，∵A =π3，∴A +B ＞π，∴△ABC 不存在．20．（12分）已知平面向量a →=（sin x ，﹣cos x ），b →=（√3cos x ，﹣cos x ），c →=（1，2cos x ﹣1）．（1）设函数f （x ）＝2a →•b →，求f （x ）的最小正周期；（2）设函数y ＝f （x ）+a →•c →，①记t ＝sin x +cos x ，试用t 表示sin x •cos x ，并写出t 的取值范围；②求y 的最小值．解：（1）平面向量a →=（sin x ，﹣cos x ），b →=（√3cos x ，﹣cos x ），c →=（1，2cos x ﹣1），所以函数f （x ）＝2a →•b →= 2√3 s in x cos x +2cos 2x =√3 s in2x +（1+cos2x ）＝2（√32 s in2x +12 c os2x ）+1＝2sin （2x +π6）+1，所以f （x ）的最小正周期为T =2π2=π；（2）函数y ＝f （x ）+a →•c →=（2√3sin x cos x +2cos 2x ）+（sin x ﹣2cos 2x +cos x ）＝2√3sin x cos x +sin x +cos x ， ①记t ＝sin x +cos x ，则t 2＝sin 2x +cos 2x +2sin x cos x ＝1+2sin x cos x ，所以sin x •cos x =12（t 2﹣1）， 因为t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），所以t ∈[−√2，√2]；②y ＝2√3×12（t 2﹣1）+t =√3t 2+t −√3，当t =12√3时，y 取得最小值为√3×11212√3−√3=−13√312． 21．（12分）在小岛N 的正北方向有一补给点P ．某巡逻艇从N 出发沿北偏西45°方向航行，航行15√6海里后到达点M ，此时，巡逻艇接到了位于P 正北方向50海里的抛锚渔船Q 处发来的求救信号，同时观测到P 位于M 的北偏东60°方向．已发现巡逻艇燃料不足，现有两种营救方案：方案一 为节省燃油、确保能到达抛锚渔船Q 处，巡逻艇以35海里/小时的速度航行，以最短路程前往： 方案二 巡逻艇以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往补给点，在补充燃油后仍然以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往，已知在到达补给点后补充燃油总共需要在补给点停留0.2小时； 试判断哪种营救方案可以更快的达到抛锚渔船Q 处．（在实施两种方案时，均不考虑水流速度）解：因为P 点在N 的正北方，且P 在M 的北偏东60°的方向，所以∠MPN ＝60°，在△PMN 中，由正弦定理得PM sin∠MNP =MN sin∠MPN ，所以MP ＝30海里，在△MPQ 中，由余弦定理得MQ 2＝MP 2+PQ 2﹣2MP •PQ cos ∠MPQ ，所以MQ ＝70海里，若采用方案一，需要t 1＝70÷35＝2小时，若采用方案二，需要t 2＝（30+50）÷50+0.2＝1.8小时，所以采用方案二可以更快的达到抛锚渔船Q 处．22．（12分）已知，在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ＝cos B ．（1）求A ﹣B 的大小；（2）若a ＝1，求AB →⋅AC →的最小值；（3）若sinA =cosB =32tanC ，求A ，B 的大小．解：（1）因为sin A ＝cos B ，所以cos （π2−A ）＝cos B ，所以π2−A ＝2k π+B 或π2−A ＝2k π﹣B ，k ∈Z ， 因为0＜A ，B ，A +B ＜π，﹣π＜A ﹣B ＜π，所以A +B =π2或A ﹣B =π2，由△ABC 为斜三角形知，A +B =π2（舍），所以A ﹣B =π2；（2）由正弦定理：b sinB =1sin(B+π2)=1cosB ，所以b ＝tan B ，同理，c =cos2B cosB ， 所以AB →•AC →=bc cos A ＝tan B •cos2B cosB •cos （B +π2）=−cos2Bsin 2B cos 2B =−(2cos 2B−1)(1−cos 2B)cos 2B =2cos 4B−3cos 2B+1cos 2B ＝2cos 2B +1cos 2B−3≥2√2−3（当且仅当cos 2B =√22时，等号成立）， 所以AB →•AC →的最小值为2√2−3；（3）因为sin A =32tan C ，所以sin A =−32tan （A +B ）=−32tan （2A −π2）=32tan2A ，所以2sin A sin2A ＝3cos2A ，所以4sin 2A cos A ＝3（2cos 2A ﹣1），即4（1﹣cos 2A ）cos A ＝3（2cos 2A ﹣1）， 整理得4cos 3A +6cos 2A ﹣4cos A ﹣3＝0，所以（cos A +12）（2cos 2A +2cos A ﹣3）＝0，所以cos A =−12或cos A =−1±√72， 因为A 是钝角，所以cos A =−12，所以A =2π3，所以B =π6．。
(苏科版)南京市鼓楼区2018-2019学年高一下期中考试数学试题(附答案)
高一(下)期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．cos 75°＝ ．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝ ．3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P (1，－2)，则sin2α＝ ．4．在△ABC 中，若AC ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC ＝ ．5．在△ABC 中，若sin A ︰sin B ︰sin C ＝3︰2︰4，则cos C ＝ ．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝ ．7．若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝5，a 3＋a 5＝20，则a 5＋a 7＝ ．8．若关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＞0的解集是(－1，2)，则a ＋b ＝ ．9．若关于x 的不等式1＋k x －1≤0的解集是[－2，1)，则k ＝ ． 10．若数列{a n }满足a 11＝152，1 a n +1－1 a n＝5(n ∈N *)，则a 1＝ ． 11．已知正数a ，b 满足1a ＋2b＝2，则a ＋b 的最小值是 ． 12．下列四个数中，正数的个数是 ．①b ＋m a ＋m －b a，a ＞b ＞0, m ＞0； ②(n ＋3＋n )－(n ＋2＋n ＋1),n ∈N *；③2(a 2＋b 2)－(a ＋b ) 2，a ，b ∈R ； ④x 2＋3x 2＋2－2，x ∈R .13．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C tan A ＋tan C tan B ＝1，则a 2＋b 2c 2＝ ．14．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋n a n ＝ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)设f (x )＝x 2－(t ＋1)x ＋t ( t ，x ∈R )．(1)当t ＝3时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)已知f (x )≥0对一切实数x 成立，求t 的值．16．(本题满分14分)设函数f (x )＝2cos 2 x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在0＜x ≤π3的条件下，求f (x )的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12. (1)求角A 的大小；(2)当a ＝5，b ＝4时，求△ABC 的面积．18．(本题满分16分)已知{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12．(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？如图，扇形AOB 是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB 的大小等于π3，半径OA ＝200m ，点M 在半径OA 上，点N 在AB 弧上，且MN ∥OB ，求观光道路OM 与MN 长度之和的最大值．20．(本题满分16分)设正项数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝1 1＋a n， n ∈N *. (1)证明：若a n ＜5－12，则a n ＋1＞5－12； (2)回答下列问题并说明理由：是否存在正整数N ，当n ≥N 时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＜0.001恒成立?高一(下)期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 6 －24 2．12 3．－45 4． 2 5．－14 6．12 7．80 8．1 9．3 10．12 11．12(3＋22) 12．2 13．3 14． (n －1)2n ＋2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)当t ＝3时，不等式f (x )＞0与不等式x 2－4x ＋3＞0同解，得(x －1)(x －3)＞0， ……………………………………… ........................3分 不等式f (x )＞0的解集是(－∞，1)∪(3．＋∞); …… ........................6分(2)不等式f (x )≥0对一切实数x 成立等价于△＝(t ＋1)2－4t ≤0，........................10分 即(t －1)2≤0， 即t ＝1． ........................14分16．(1)f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1， …… ........................6分 所以，函数f(x)的最小正周期为π; ........................8分 (2)0＜x ≤π3时，π6＜2x ＋π6≤5π6， …........................10分 函数y ＝sin x 在区间[π6，π2]是增函数，在区间[π2，5π6]是增函数， f (x )的值域是[2sin 5π6＋1， 2sin π2＋1]，即[2，3]． ........................14分 17．(1)由cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12得cos(B ＋C )＝－12， ........................4分 ∴cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3; ........................7分 (2) 由c 2＋42－2×c×4 cos π3＝52 及c ＞0得c ＝2＋13， ........................11分 △ABC 的面积S △ABC ＝12×4×(2＋13)×sin π3＝23＋39． .........................14分 18．(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1 (a 1＋4d )，∴d ＝0，或d ＝2 a 1， ........................4分 当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝a 3＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30， ........................6分 当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2， .........................8分 ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25;(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ， ........................12分 当n ≤5时，b n ＞0， 当n ≥6时，b n ＜0，当n ＝5时，S n 最大，S n 最大值是9＋7＋5＋3＋1＝25． ........................16分19．连ON ，设∠MON ＝θ，0＜θ＜π3, 在△MON 中，ON ＝200， ∠OMN ＝2π3， 200sin 2π3＝MN sin θ＝OM sin(π3－θ)， ........................4分 ∴MN ＝4003sin θ， OM ＝4003sin(π3－θ)， ........................8分 MN ＋OM ＝4003[ sin θ＋sin(π3－θ)] ＝4003( sin θ＋32cos θ－12sin θ)＝4003sin(π3＋θ)， ........................13分 ∵0＜θ＜π3，∴π3＜π3＋θ＜2π3， ∴当θ＝π6时，sin(π3＋θ) 最大， MN ＋OM 最大，最大值是40033m ． ........................16分 20．(1)若0＜a n ＜5－12，则0＜1＋a n ＜1＋5－12， 则a n ＋1＝1 1＋a n ＞1 1＋5－12＝5－12; ........................4分 (2)仿(1)可得，若a n ＞5－12，则a n ＋1＜5－12， ........................6分 则n ≥2时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＝｜a n ＋1－a n ｜ ＝｜1 1＋a n －1 1＋a n －1｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)， ∵a n ＞0，∴a n ＋1＝1 1＋a n＜1 ( n ∈N *)， ∴n ≥2时， a n ＝1 1＋a n －1＞12，又a 1＝12， ∴n ≥2时， (1＋a n ) (1＋a n －1)＝(1＋1 1＋a n －1) (1＋a n －1)＝2＋a n －1≥52，...................8分 ∴｜a n ＋1－a n ｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)≤25｜a n －a n －1｜≤(25)2｜a n －1－a n －2｜ ≤…≤(25)n －1｜a 2－a 1｜＝16×(25)n －1， ........................12分 数列{16×(25)n －1}递减，16×(25)7－1＜0．001， 只要N ≥7，当n ≥N 时必有｜a n ＋1－a n ｜＜0．001，即｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＜0．001成立． ........................16分。
2023-2024学年江苏省南京市高一下册期中考试数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高一下册期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝sin x，x∈R}，则（）A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．A＝B D．∁R A＝B2．复数z＝（i是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第（）象限．A．一B．二C．三D．四3．下列函数中，在区间[，]上单调递增的函数是（）A．y＝cos（x﹣）B．y＝sin x﹣cos xC．y＝sin（x+）D．y＝|sin2x|4．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．如表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为（）（小数点后保留2位有效数字）α10°20°30°40°50°60°70°80°sinα0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848A．﹣0.42B．﹣0.36C．0.36D．0.426．函数f（x）＝2cos x﹣cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为32D．偶函数，最大值为327．已知均为单位向量，且满足，则的值为（）A．B．C．D．8．锐角△ABC中，（a﹣b）（sin A+sin B）＝（c﹣b）sin C，若a=3，则b2+c2的取值范围是（）A．（9，18]B．（15，18）C．[9，18]D．[15，18]二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知复数z满足，则下列结论正确的是（）A ．复数z 的共轭复数为B ．z 的虚部为C ．在复平面内z 对应的点在第二象限D ．10.已知n ∈N *，则以3，5，n 为边长的钝角三角形的边长，则n 的值可以是（）A 3B6C7D911．对于非零向量，下列命题正确的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（）A 若a+b =2c ，则C ＞；B 若a +b ＞2c ，则C ＜；C 若a 4+b 4＝c 4，则C ＜；D 若（a 2+b 2）c 2＜2a 2b 2，则C ＞．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量＝（4，﹣3），＝（x ，6），且∥，则实数x 的值为．14．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x 0，0）（x 0＞0）成中心对称，则x 0的最小值为．15．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x 0，0）成中心对称，，则x 0＝．16．设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ．若b 2+3a 2＝c 2，则＝，tan A 的最大值是．四．解答题（共6小题，共70分）17．（10分）设，已知向量＝),1α，＝()2,2cos α，且⊥．（1）求sin α的值；（2）求的值．．18．（12分）已知函数的最小正周期为π，且点是该函数图象上的一个最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）把函数f（x）的图象向右平移θ个单位长度，得到函数g（x）的图象，g（x）在上是增函数，求θ的取值范围．19．（12分）如图，扇形AOB所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动，且总有OP＝BQ，设，．（1）若，用，表示，；（2）求的取值范围．20．（12分）某地为响应关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB＝60°，点Q在OA上，点M，N在OB 上，点P在弧AB上，设∠POB＝θ．（1）若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由．21．（12分）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，b sin＝a sin B．（1）求sin A；（2）如图，点M为边AC上一点，MC＝MB，∠ABM＝，求△ABC的面积．22．（12分）如果对于三个数a、b、c能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a、b、c，如果函数y＝f（x）使得三个数f（a）、f（b）、f（c）仍为“三角形数”，则称y＝f（x）为“保三角形函数”．（1）对于“三角形数”α、2α、，其中，若f（x）＝tan x，判断函数y＝f（x）是否是“保三角形函数”，并说明理由；（2）对于“三角形数”α、、，其中，若g（x）＝sin x，判断函数y＝g（x）是否是“保三角形函数”，并说明理由．答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝sin x，x∈R}，则（）A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．A＝B D．∁R A＝B解：B＝{y|﹣1≤y≤1}，A＝{﹣1，0，1}；∴A∩B＝A，A∪B＝B．故选：B．2．复数z＝（i是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第（）象限．A．一B．二C．三D．四解：z＝＝＝的共轭复数为在复平面上对应的点位于第一象限．故选：A．3．下列函数中，在区间[，]上单调递增的函数是（）A．y＝cos（x﹣）B．y＝sin x﹣cos xC．y＝sin（x+）D．y＝|sin2x|解：结合余弦函数的单调性及函数图象的平移可知y＝cos（x﹣）在区间[，]上不单调，不符合题意；y＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），结合正弦函数的单调性及函数图象的平移可知，f（x）在区间[，]上单调递增，符合题意；y＝sin（x+），结合正弦函数的单调性及函数图象的平移可知在区间[，]上单调递减，不符合题意；结合正弦函数的图象变换可知y＝|sin2x|在区间[，]上单调递减，不符合题意．故选：B．4．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣解：法1：∵cos（﹣α）＝，∴sin2α＝cos（﹣2α）＝cos2（﹣α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，法2：∵cos（﹣α）＝（sinα+cosα）＝，∴（1+sin2α）＝，∴sin2α＝2×﹣1＝﹣，故选：D．5．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．如表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为（）（小数点后保留2位有效数字）α10°20°30°40°50°60°70°80°sinα0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848A．﹣0.42B．﹣0.36C．0.36D．0.42解：tan1600°＝tan（4×360°+160°）＝tan160°＝﹣tan20°＝﹣＝﹣＝﹣≈﹣0.36．故选：B．6．函数f（x）＝2cos x﹣cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为32D．偶函数，最大值为32解：由题意，f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣cos（﹣2x）＝cos x﹣cos2x＝f（x），所以该函数为偶函数，又f（x）＝2cos x﹣cos2x＝﹣2cos2x+2cos x+1＝﹣2（cos x﹣12）2+32，所以当cos x＝12时，f（x）取最大值32．故选：D．7．已知均为单位向量，且满足，则的值为（）A．B．C．D．解：由，则，同理，又＝1，则，＝＝，故选：B．8．锐角△ABC中，（a﹣b）（sin A+sin B）＝（c﹣b）sin C，若a=3，则b2+c2的取值范围是（）A．（9，18]B．（15，18）C．[9，18]D．[15，18]解：∵（a﹣b）（sin A+sin B）＝（c﹣b）sin C，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2＝bc．由余弦定理可得：cos A＝＝＝，∴A为锐角，可得A＝，∵3，∴由正弦定理可得：∴可得：b2+c2＝（B）2（﹣B）]2＝3+2sin2B+sin2B＝1-2cos（2B﹣），∵B∈，可得：2B﹣∈，∴sin（2B﹣）∈（，1]，可得：b2+c2＝4+2sin（2B﹣）∈（15，18]．故选：D．二．多选题（共4小题）,z z满足z1+z2=3-i,z1-z2=5+3i，则（）9．已知复数12A．z1=4+iB．|z2|C．2z1+z2为纯虚数-z1.zz12=-2+9i解：因为z1+z2=3-i,z1-z2=5+3i，，所以z1=4+i，z2=-1-2i故A正确；对于B，|z2|故B正确；对于D z1.zz2=（z1=4+i）（-1-2i）=-2-9i，，故D错误．故选：AB．10.已知n∈N*，则以3，5，n为边长的钝角三角形的边长，则n的值可以是（）A3B6C7D9解：钝角三角形中，其中一边的平方大于另两边的平方和，由题意，当5为钝角三角形的最大边时，有：32+n2＜52，解得：0＜n＜4，由三角形三边关系可得，得2＜n＜8，所以2＜n＜4，由于n∈N*，此时，n＝3；当n为钝角三角形的最大边时，有：32+52＜n2，解得：＜n，由三角形三边关系可得，得2＜n＜8，所以，由于n∈N*，此时，n＝6，7；故BC．11．对于非零向量，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则解：对于A选项：若，则，故A选项错误；对于B选项：若，则，故0＝0满足，故B选项错误；对于C选项：若＝0，则不可说明，故C选项错误．对于D选项：若，则，化简得，故D选项正确；故选：BD．12．设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题正确的是（）A若a+b=2c，则C＞；B若a+b＞2c，则C＜；C若a4+b4＝c4，则C＜；D若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞．解：对于A，若a+b=2c，根据余弦定理，可得cos C＝≥，结合C为三角形的内角，可得C>，故正确；对于B，若a+b＞2c，根据余弦定理，可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∴4c2＝4（a+b）2﹣8ab（1+cos C）＜（a+b）2，可得3（a+b）2＜8ab（1+cos C），结合2≤a+b，得到12ab≤3（a+b）2，∴12ab＜8ab（1+cos C），解得cos C＞，结合C为三角形的内角，可得C＜，故正确；对于C，若a4+b4＝c4，则（a2+b2）2＝c4+2a2+b2＞c4，∴a2+b2＞c2，可得cos C＝＞0，得C＜，故正确；对于D，取a＝b＝2，c＝1，可得（a+b）c＜2ab、（a2+b2）c2＜2a2b2成立，但C为最小角，必定是锐角且小于，故C＞与C＞圴不正确，得D是错误故选ABC三．填空题（共4小题）13．已知向量＝（4，﹣3），＝（x，6），且∥，则实数x的值为﹣8．解：∵量＝（4，﹣3），＝（x，6），且∥，则4×6﹣（﹣3）x＝0．解得：x＝﹣8．故﹣8．14．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）（x0＞0）成中心对称，则x0的最小值为．解：设函数f（x）的周期为T，由已知，故T＝π，所以ω＝2．因为该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，所以，又x0∈（0，+∞），所以．故答案是：．15．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0＝．解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴＝π，∴ω＝2∴f（x）＝sin（2x+）．∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）＝0，即sin（2x0+）＝0，∴2x0+＝kπ，∴x0＝﹣，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0＝．故．16．设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C．若b2+3a2＝c2，则＝﹣2，tan A的最大值是．解：设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C．b2+3a2＝c2，可得C为钝角，∴b2﹣c2＝﹣3a2，∴则＝＝＝＝＝﹣2．∴tan C＝﹣2tan B，∴tan A ＝tan[π﹣（B +C ）]＝﹣tan （B +C ）＝＝＝．∵tan B ＞0，可得≥2，当且仅当tan B ＝时等号成立，∴tan A ＝≤，当且仅当tan B ＝时等号成立，可得tan A 的最大值是，故﹣2，．四．解答题（共6小题）17．设，已知向量＝),1α，＝()2,2cos α，且⊥．（1）求sin α的值；（2）求的值．解：（1）∵＝),1α，＝()2,2cos α，且．∴1cos 022αα+=，∴22sin cos 1αα+=，1sin 2α=（2）由（1）得，，∵，∴，∴，则＝＝．18．已知函数的最小正周期为π，且点是该函数图象上的一个最高点．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）把函数f（x）的图象向右平移θ个单位长度，得到函数g（x）的图象，g（x）在上是增函数，求θ的取值范围．解：（1）由已知得A＝2，，故f（x）＝2sin（2x+φ），所以2sin（）＝2，故sin（）＝1，得＝，k∈Z，又|φ|，故k＝0时，即为所求，故f（x）＝2sin（2x+）．（2）函数f（x）的图象向右平移θ个单位长度，得g（x）＝2sin[2（x ﹣θ）]，令t＝2x，则y＝g（x）化为y＝2sin t，因为，故t∈[，]，所以g（x）在上是增函数，即y＝2sin t在[，]上单调递增，又因为，所以t∈（，]，仅包含y＝sin t的单调递增区间[﹣]，故要使原函数在[0，]上单调递增，只需，解得，故所求θ的取值范围是[]．19．如图，扇形AOB所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动，且总有OP＝BQ，设，．（1）若，用，表示，；（2）求的取值范围．解：（1）由题知△BOC，△AOC均为等边三角形，所以四边形OACB为菱形．所以，所以，，（2）设，则，x∈[0，1]，∴，，∴，∵x∈[0，1]，∴当，上式最小值为；当x＝0或1时，上式最大值为2，∴的取值范围．20．某地为响应关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB＝60°，点Q在OA上，点M，N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB＝θ．（1）若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由．（本题满分为14分）解：（1）在Rt△PON中，PN＝200sinθ，ON＝200cosθ，在Rt△OQM中，QM＝PN＝200sinθ，…（2分）OM＝＝＝，所以MN＝0N﹣OM＝200cosθ﹣，…（4分）因为矩形MNPQ是正方形，∴MN＝PN，所以200cosθ﹣＝200sinθ，…（6分）所以（200+）sinθ＝200cosθ，所以tanθ＝＝＝．…（8分）（2）因为∠POM＝θ，所以∠POQ＝60°﹣θ，∴PS+PT＝200sinθ+200sin（60°﹣θ）＝200（sinθ+cosθsinθ）…（10分）＝200（sinθ+cosθ）＝200sin（θ+60°），0°＜θ＜60°．…（12分）所以θ+60°＝90°，即θ＝30°时，PS+PT最大，此时P是的中点．…（14分）21．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，b sin＝a sin B．（1）求sin A；（2）如图，点M为边AC上一点，MC＝MB，∠ABM＝，求△ABC的面积．解：（1）∵b sin＝a sin B，∴，∴，由正弦定理，可得，∵sin B≠0，∴，，∵，∴，则，∴＝．（2）cos A＝，∵MB＝MC，∴∠MBC＝∠MCB，∵，∴，则2C＝，∴sin2C＝＝，又sin∠ABC＝sin（π﹣C﹣A）＝sin（A+C）＝，∴在△ABC中，由正弦定理，可得，∴，c＝，∴＝×＝＝．22．如果对于三个数a、b、c能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a、b、c，如果函数y＝f（x）使得三个数f（a）、f（b）、f（c）仍为“三角形数”，则称y＝f（x）为“保三角形函数”．（1）对于“三角形数”α、2α、，其中，若f（x）＝tan x，判断函数y＝f（x）是否是“保三角形函数”，并说明理由；（2）对于“三角形数”α、、，其中，若g（x）＝sin x，判断函数y＝g（x）是否是“保三角形函数”，并说明理由．解：（1）设tanα＝p，因为，则，所以，＝，因为，则，因为1﹣p2＞0且，所以﹣p3﹣p2+p＞0，故f（α），f（2α），f（）能构成三角形，所以f（x）＝tan x是“保三角形函数”；（2），，当时，sin（）最大，且sinα＞cosα，故sinα+sin（）＝，当时，sin（）最大，sinα+sin（）＝，综上所述，f（α），f（），f（）能构成三角形，所以f（x）＝sin x是“保三角形函数”．。
2023-2024学年江苏省南京市高一下册期中数学试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高一下册期中数学试题一、单选题1．集合{1,0,1}A =-，{|sin ,}B y y x x R ==∈则（）A ．AB B = B ．A B =C ．A B B⋃=D ．R A B=ð【正确答案】C首先求集合B ，比较集合后判断选项.【详解】由三角函数性质可知{}11B y y =-≤≤，又因为{}1,0,1A =-，所以A B B ⋃=.故选：C 2．复数z ＝11i+（i 是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第（）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四【正确答案】A【分析】先求出z ，在求出它的共轭复数z ，找出坐标即可判断.【详解】因为z ＝11i +＝1i (1i)(1i)-+-＝11i 22-，所以z 的共轭复数为11i 22z =+，则在复平面上对应的点为11(,)22位于第一象限．故选：A ．3．下列函数中，在区间,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增的函数是（）A ．y ＝cos(x －3π)B ．y x －cos x C ．y ＝sin(x ＋4π)D ．y ＝|sin2x |【正确答案】B【分析】分别求出其单调区间，再分析判断即可【详解】对于A ，由03x ππ-<-<，则233x ππ-<<，所以函数在,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以A 错误，对于B ，cos y x =-时，2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，062x ππ≤-≤，263x ππ≤≤，所以函数在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦单调增，所以B 正确，对于C ，sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由24x πππ≤+≤，得344ππ≤≤x ，所以函数在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，所以C 错误，对于D ，sin 2y x =，可知函数在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上递减，所以D 错误，故选：B ．4．若3cos()45πα-=，则sin 2α=A ．725B ．15C ．15-D ．725-【正确答案】D【详解】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．5．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0~90︒︒之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值，则tan1600︒的值为（）（小数点后保留2位有效数字）α10︒20︒30︒40︒50︒60︒70︒80︒sin α0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848A ．0.42-B ．0.36-C ．0.36D ．0.42【正确答案】B【分析】利用诱导公式化简得原式sin 20sin 70︒︒=-即得解.【详解】解：sin 20tan1600tan(4360160tan160tan 20cos 2)0︒︒︒︒︒︒=⨯+=-==-sin 200.34200.36sin 700.9397︒︒=-=-≈-故选：B6．函数()2cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（）A ．奇函数，最大值为2B ．偶函数，最大值为2C ．奇函数，最大值为32D ．偶函数，最大值为32【正确答案】D【分析】计算得到()()f x f x -=，函数为偶函数，化简得到()2132cos 22f x x ⎛⎫=--+ ⎝⎭，计算最值得到答案.【详解】()()()()2cos cos 22cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，函数为偶函数，()22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+⎪⎝⎭所以当1cos 2x =时，()f x 取最大值32．故选：D7．已知,,OA OB OC 均为单位向量，且满足102OA OB OC ++=，则AB AC ⋅uu u r uuu r 的值为（）A ．38B ．58C ．78D ．198【正确答案】B【分析】通过向量的线性运算进行化简求值即可.【详解】()2,32AO OB OC AB OB OC =+=+ ，同理23AC OB OC=+()()2274(),,32238AO OB OC OB OC AB AC OB OC OB OC=+∴⋅=-⋅=++2291566136688OB OC OB OC =++⋅=+-= ．故选：B.8．锐角ABC 中,()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-，若3a =，则22b c +的取值范围是（）A ．(]9,18B ．()15,18C ．[]9,18D ．(]15,18【正确答案】D【分析】先利用正弦定理化角为边可得222b c a bc +-=,则利用余弦定理可得π3A =,再由正弦定理可得22b c +π126sin 26B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,根据B 的范围即可求解.【详解】由题,由正弦定理可得()()()a b a b c b c -+=-,整理可得222b c a bc +-=,所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===,即π3A =,又sin sin sin a b c A B C ===,所以()()2222b c BC+=+22π12sin 12sin 3B B ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭())2932sin 123cos2B BB B =++=+-π126sin 26B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,因为锐角三角形,所以2A B π+>,所以ππ26B >>,则ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,所以π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,所以(]2215,18b c +∈,故选：D.二、多选题9．已知复数z 满足1i z z+=，则下列结论正确的是（）A ．复数z 的共轭复数为11i22-+B ．z 的虚部为12C ．在复平面内z 对应的点在第二象限D．z 【正确答案】AD【分析】先由已知求出复数z ，然后再逐个分析判断即可【详解】由1i z z+=，得1i z z +=，所以1(1i)11i 1i (1i)(1i)22z --+===----+，所以复数z 的共轭复数为11i 22-+，复数z 的虚部为12-，复数z 在复平面内对应的点在第三象限，z ==所以AD 正确，BC 错误，故选：AD10．已知N n *∈，则以3,5,n 为边长的钝角三角形的边长，则n 的值可以是（）A ．3B ．6C ．7D ．9【正确答案】BC【分析】分n 是否为最大边进行讨论分析即可.【详解】钝角三角形中，其中一边的平方大于另两边的平方和，当5为钝角三角形的最大边时，有：22235n +<，解得：04n <<，由三角形三边关系可得3535n n +>⎧⎨+>⎩，即28n <<，所以24n <<，由于N n *∈，此时，3n =；由222335+>不满足题意，故3n ≠，当n 为钝角三角形的最大边时，有：22235n +<，解得：n >，由三角形三边关系可得3535n n +>⎧⎨+>⎩，即28n <<，8n <<，由于N n *∈，此时6,7n =；故BC ．11．对于非零向量,a b，下列命题正确的是（）A ．若0a b ⋅=，则a bB ．若a b ⊥ ，则2()a b a b ⋅=⋅ C ．若a c b c ⋅=⋅，则a b= D ．若a b a b -=+ ，则0a b ⋅= 【正确答案】BD【分析】利用向量数量积的运算律以及有关概念对各个选项进行判断即可.【详解】A.若0a b ⋅=，则a b ⊥ ,故错误；B.若a b ⊥ ，则0a b ⋅=，所以2()a b a b ⋅=⋅ 成立，故正确；C.当c 为零向量时，满足a c b c ⋅=⋅，但是推不出a b = ，故错误；D.若a b a b -=+ ，则22a b a b -=+ ，可得222222a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ，整理即可得到0a b ⋅=，故正确；故选：BD12．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（）A ．若2a b c +=，则π3C >；B ．若2a b c +>，则π3C <；C ．若444a b c +=，则π2C <；D ．若()222222a b c a b +<，则π3C >．【正确答案】BC【分析】根据余弦定理结合基本不等式可以判断A 错误；根据条件可得：()()()2224481cos c a b ab C a b =+-+<+，进而判断B 正确；根据条件可得：22242242244()22a b a a b b a b c c +=++=+>，结合余弦定理可以判断C 正确；取2,1a b c ===，举例可以判断D 错误.【详解】对于A ，若2a b c +=，根据余弦定理，可得：222222222cos 223328322182a b a b a b c C ab aba b ababab ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==+-=⨯-≥=，当且仅当a b =时等号成立，结合C 为三角形的内角，可得π03C <≤，故A 错误；对于B ，若2a b c +>，根据余弦定理，可得2222cos c a b ab C =+-,∴()()()2224481cos c a b ab C a b =+-+<+，可得()()2381cos a b ab C +<+，结合a b ≤+，得到()2123ab a b ≤+，∴()1281cos ab ab C <+，解得1cos 2C >，结合C 为三角形的内角，可得π3C <，故B 正确；对于C ，若444a b c +=，则22242242244()22a b a a b b a b c c +=++=+>，∴222a b c +>，可得222cos 02a b c C ab+-=>，因为(0,π)C ∈，所以π2C <，故C 正确；对于D ，取2,1a b c ===，可得()222222a b c a b +<成立，但C 为最小角，必定是锐角且小于π3，所以D 错误；故选：BC.三、填空题13．已知向量(4,3)a =- ，(,6)b x = ，且//a b，则实数x 的值为_____【正确答案】8-【分析】直接由向量共线的坐标运算得答案．【详解】解：∵量a =（4，﹣3），b = （x ，6），且a ∥b ，则4×6﹣（﹣3）x ＝0．解得：x ＝﹣8．故答案为﹣8．平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若a =（a 1，a 2），b = （b 1，b 2），则a ⊥b ⇔a 1a 2+b 1b 2＝0，a ∥b⇔a 1b 2﹣a 2b 1＝0，是基础题．14．若函数()()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()()00,0,0x x >成中心对称，则0x 的最小值为______.【正确答案】512π【分析】由题意可知，最小正周期T π=，则2ω=，令02,6x k k Z ππ+=∈，求解即可.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，由题意可知22T π=，即T π=.所以22T πω==，则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.因为该函数图象关于点()0,0x 成中心对称所以02,6x k k Z ππ+=∈，即0,122k x k Z ππ=-+∈又因为()00x ∈+∞,，所以当1k =时，()0min 512x π=.故512π本题考查正弦型三角函数的性质，属于中档题.15．若函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x =________.【正确答案】512π【详解】试题分析：由题意得：2,, 2.22T T πππωπ====又2,6212k x k x ππππ+==- ，而0[0,2x π∈，则0x =512π三角函数性质四、双空题16．设ABC ∆的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若2223b a c +=，则tan tan CB=______，tan A 的最大值是______.【正确答案】-24化简tan tan CB成正余弦的关系式,再利用余弦定理与正弦定理化简求解即可.【详解】(1)222222222222tan sin cos 2tan sin cos 2a c b c C C B a c b ac a b c B B C a b c b ab +-⋅+-===+-+-⋅()222222222234223a b a b a a a b b a ++-===--+-+(2)由(1)tan 2tan C B =-,故[]tan tan tan tan ()tan()tan tan 1B C A πB C B C B C +=-+=-+=⋅-()2tan tan 2tan 2tan 11tan 12tan 12tan tan B B B B B B B B--===⋅-++,因为2223b a c +=故B 为锐角.故1142tan tan B B≤+.故(1).-2(2).4本题主要考查了解三角形中正余弦定理的运用,同时也考查了基本不等式的运用,需要根据题意将正切函数化简为正弦与余弦的表达式,进而想到边角的互化以及余弦定理的公式,属于中等题型.五、解答题17．设()0,απ∈，已知向量),1a α=，()2,2cos b α= ，且a b ⊥ ．(1)求sin α的值；(2)求7cos 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】(1)1sin 2α=2【分析】（1）根据向量垂直列方程，解方程即可；（2）利用特殊角的三角函数值求解.【详解】（1）因为),1a α=，()2,2cos b α= ，且a b ⊥ ，则2cos 0a b αα⋅=+=，即4sin 06πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,απ∈ ，7,666πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，6παπ∴+=，即56πα=，所以1sin 2α=；（2）由（1）得56πα=，则79cos 2cos 1242ππα⎛⎫+== ⎝⎭.18．已知函数()()πsin (0,0)2f x A x A ωϕωϕ=+>><，的最小正周期为π，且点π(,2)6P 是该函数图象上的一个最高点.(1)求函数()f x 的解析式；(2)把函数()f x 的图象向右平移θπ02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象，()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数，求θ的取值范围.【正确答案】(1)()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由给定周期求出ω，根据最高点求得A 及ϕ的值，写出()f x 的解析式作答..（2）由（1）及已知求出()g x 的解析式，并求出()g x 的单调递增区间，再根据给定区间列不等式组求解作答.【详解】（1）依题意，2A =，周期2ππT ω==，解得2ω=，因为函数()f x 的图象经过点π,26P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2sin 226ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，而π2ϕ<，于是得π6ϕ=，所以函数()f x 的解析式是()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由（1）及已知得：()()()ππ2sin 22sin 2266g x f x x x θθθ⎡⎤⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由πππ2π222π,Z 262k x k k θ-≤-+≤+∈，解得：ππππ,Z 36k x k k θθ+-≤≤++∈，于是得函数()g x 的增区间为πππ,π,Z 36k k k θθ⎡⎤+-++∈⎢⎥⎣⎦，因函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数，于是得ππ03ππ64k k θπθ⎧+-≤⎪⎪⎨⎪++≥⎪⎩，Z k ∈，解得ππ3,Z ππ12k k k θθ⎧≤-⎪⎪∈⎨⎪≥-⎪⎩，又π02θ<<，即03122k k πππππ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得51123k -<<，又Z k ∈，则0k =，ππ,123θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以θ的取值范围是ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19．如图，扇形OAB 所在圆的半径为2，它所对的圆心角为23π，C 为弧AB 的中点，动点P ，Q 分别在线段OA ，OB 上运动，且总有OP BQ =，设OA a = ，OB b =.（1）若23OP OA = ，用a ，b表示CP ，CQ ；（2）求CP CQ ⋅的取值范围.【正确答案】（1）13CP a b =-- ，23CQ a b =-- ；（2）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由23OP OA = ,结合向量的线性运算及平面向量基本定理,即可a ,b表示CP ,CQ .（2）设OP xa =,则()1OQ x b =- ,即可表示出,CP CQ .结合向量数量积的运算及[]0,1x ∈,即可结合二次函数性质求得CP CQ ⋅的取值范围.【详解】（1）由题知BOC ∆,AOC ∆均为等边三角形,所以四边形OACB 为菱形.所以OC OA OB a b =+=+ ,所以2133CP OP OC a b a b =-=--=-- ,1233CQ OQ OC b a b a b =-=--=-- .（2）设OP xOA xa ==,则()()11OQ x OB x b =-=- ,[]0,1x ∈.∴()1CP OP OC xa a b x a b =-=--=--,()1CQ OQ OC x b a b a xb =-=---=-- ,∴()()2131222CP CQ x a b a xb x ⎛⎫⎡⎤⋅=----=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭ ,∵[]0,1x ∈,∴当12x =,上式最小值为32x =；当0x =或1时,上式最大值为2.∴CP CQ ⋅ 的取值范围3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题考查了平面向量的线性运算及平面向量基本定理的应用,平面向量数量积的运算,由二次函数性质求最值,属于中档题.20．某地为响应关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形OAB 的半径为200米，圆心角60AOB ∠=︒，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，点P 在弧AB 上，设POB θ∠=.（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道PS 和PT （宽度不计），使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.【正确答案】（1）矩形MNPQ是正方形时，tan θ=2）当P 是 AB 的中点时，PS PT +最大【详解】试题分析：（1）因为四边形PQMN 是扇形的内接正方形，所以cos sin tan 60QMOP MN PN OP θθ-===︒，注意到sin QM PN OP θ==，代入前者就可以求出tan θ.（2）由题设可由200sin 200sin(60)PS PT θθ+=+︒-，060θ︒<<︒，利用两角差的正弦和辅助角公式把PS PT +化成200sin(60)PS PT θ+=+︒的形式，从而求出PS PT +的最大值.解析：（1）在Rt PON ∆中，200sin PN θ=，200cos ON θ=，在Rt OQM ∆中，200sin QM PN θ==，,tan 603QM OM θ==︒所以MN ON OM =-200cos sin 3θθ=-，因为矩形MNPQ 是正方形，MN PN ∴=，所以200cos 200sin θθθ=，所以200cos θθ=，所以tan θ==．（2）因为,POM θ∠=所以60POQ θ∠=︒-，200sin 200sin(60)PS PT θθ+=+︒-1200(sin sin )2θθθ=+-1200(sin )200sin(60)2θθθ==+︒，060θ︒<<︒．所以+60=90θ︒︒,即=30θ︒时，PS PT +最大，此时P 是 AB 的中点．答：（1）矩形MNPQ是正方形时，tan θ=（2）当P 是 AB 的中点时，PS PT +最大．21．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，sin sin 2B C a b B +==．(1)求sin A ；(2)如图，点M 为边AC 上一点，π,2MB MC ABM =∠=，求ABC的面积．【正确答案】(1)45(2)278【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式，化简整理，可求得sin 2A，cos 2A 的值，即可求得答案.（2）根据（1）可求得cos BMC ∠，进而可求得sin BMC ∠，根据余弦定理，可求得MB ，进而可求得AB ，代入面积公式，即可求得答案.【详解】（1）∵sin sin 22B C b a B +=，∴2sin sin 2B Cb B +=，∴π2sinsin 2Ab B -=，由正弦定理，可得2sin cos sin 2AB A B =，∵sin 0B ≠，∴2cos 2A A =，cos cos 222A A A =，∵cos 02A≠，∴sin25A =，则cos 25A =，∴sin 2sin cos 22A A A =＝425=．（2）23cos 2cos 125A A =-=，又40π,sin 5A A <<=，∵MB MC =，∴MBC MCB ∠=∠，∵π2ABM ∠=，∴π22A C +=，则π22C A =-，∴sin 2C ＝πsin()cos 2A A -=＝35，又()()πsin sin πsin sin()cos 2ABC C A C A C C ∠=--=+=-=，∴在ABC中，由正弦定理，可得sin sin sin 4b c a BAC C A ===∠，∴sin 4b ABC =∠，sin 4c C =，∴1sin 2ABC S bc A ∆=＝14sin 2445ABC C ⨯∠⨯⨯＝45cos sin 4C C ＝4527sin 288C =．22．如果对于三个数a 、b 、c 能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a 、b 、c ，如果函数()y f x =使得三个数()f a 、()f b 、()f c 仍为“三角形数”，则称()y f x =为“保三角形函数”.（1）对于“三角形数”α、2α、4απ+，其中84ππα<<，若()tan f x x =，判断函数()y f x =是否是“保三角形函数”，并说明理由；（2）对于“三角形数”α、6πα+、3πα+，其中7612ππα<<，若()sin g x x =，判断函数()y g x =是否是“保三角形函数”，并说明理由.【正确答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析.【分析】（1）取6πα=，分别求得(),(2),4f f f πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此可得()(2)4f f f πααα⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，故函数()tan f x x =不是“保三角形函数”；（2）分64ππα<≤，5412ππα<≤，571212ππα<<三种情况均可证得(),,63g g g ππααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭能构成三角形的三边，故函数()sin g x x =是“保三角形函数”.【详解】（1）因为84ππα<<，取6πα=，则()tan 6f πα=(2)tan 3f πα==，1tan 2446f πππα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然()(2)4f f f πααα⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，即(),(2),4f f f πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭不能构成三角形的三边，故函数()tan f x x =不是“保三角形函数”.（2）①当64ππα<≤时，5766122312ππππππααα<<+≤<<+≤，所以sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭最大.()sin sin sin636311sin cos sin cos2244cos sin sin cos,121212g g gππππααααααααααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=++-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎫=⋅-⋅=⋅-⋅⎪⎪⎭⎫⎛⎫=⋅-⋅=-⎪ ⎪⎭⎝⎭由64ππα<≤得12126πππα<-≤，所以sin012πα⎛⎫->⎪⎝⎭，故()63g g gππααα⎛⎫⎛⎫++>+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(),,63g g gππααα⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭能构成三角形的三边；②当5412ππα<≤时，57361261234ππππππααα<≤<+≤<+≤，所以sin6πα⎛⎫+⎪⎝⎭最大.()sin sin sin363631sin cos22g g gππππαααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=++-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=⋅⋅由5412ππα<≤得sin0α>，cos0α>，故()36g g gππααα⎛⎫⎛⎫++>+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(),,63g g gππααα⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭能构成三角形的三边；③当571212ππα<<时，571112126312πππππααα<<<+<+<，所以sinα最大.()sin sin sin6363sin cossin sin cos cos,121212g g gππππααααααααααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎫=+=+⎪⎪⎭⎫⎛⎫=+⋅=-⎪ ⎪⎭⎝⎭由571212ππα<<得3122πππα<-<，所以cos012πα⎛⎫->⎪⎝⎭，故()63g g gππααα⎛⎫⎛⎫+++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(),,63g g gππααα⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭能构成三角形的三边；综合①②③可知，函数()sing x x=是“保三角形函数”.关键点点睛：第（2）问的关键点是：分64ππα<≤，5412ππα<≤，571212ππα<<三种情况证明(),,63g g gππααα⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭能构成三角形的三边.。
江苏省南京市鼓楼区高一下学期期中考试数学试题
高一(下)期中考试数学试卷注意事项：1 •本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题卜解答题(第15题~第20题)两部分.满分为160分，考试时间为120分钟.2 •答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上•试题的答案写在答题卡的对应区域内•考试结束后，交回答题卡.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.1. cos 75 = _________ .2. sin 14 c°s 16 半cos 14 Sin 16 =°______ .3. 在平面直角坐标系内，若角_____________________ a的终边经过点P(1,—2)，贝U sin2a= .4. ____________________________________________________________ 在△ ABC 中，若AC=｛3，/ A = 45° / C = 75° 贝U BC= _____________________________ .5 .在△ ABC 中，若sin A : sin B : sin C = 3 : 2 : 4,贝U cos C = ________ .6. ______________________________________________________________ 设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1 = 2, S3= 12,则a6= ________________________________ .7. __________________________________________________________ 若等比数列｛ a n｝满足a1 + a3= 5, a3 + a5= 20,则a5 + a? = _________________________________ .&若关于x的不等式ax? + x+ b> 0的解集是(一1, 2)，贝V a + b= __________________.k9. 若关于x的不等式1+ w 0的解集是［—2, 1)，贝V k= _____________________ .x—11 1 1 *10. 若数列｛a n｝满足a11= _________________ , ——= 5(n€ N )，则a1= .52 a n+1 a n11. 已知正数a, b满足1+ 2= 2，贝V a + b的最小值是a b -------------12 .下列四个数中，正数的个数是 __________ .① b + m—b, a>b>0, m>0;a + m a②(，n + 3+ ,n) —(n + 2+ n + 1),n € N *;③2(a2+ b2)—(a + b) 2, a, b € R;13. 在斜三角形ABC 中，角A, B, C 所对的边分别为14. ______________________________________________________________ 若数列｛a n ｝的前 n 项和 S n = 2n ，贝V a i + 2 a 2 + 3 a 3+…+ n a n = ________________________ . 二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分)设 f(x) = x 2 — (t + 1)x + t ( t ，x € R ). (1) 当t = 3时，求不等式f(x) > 0的解集； (2) 已知f(x)> 0对一切实数x 成立，求t 的值.16. (本题满分14分)设函数 f(x)= 2cos 2 x + 2 3sin xcos x(x € R ). (1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 在O v x <才的条件下，求f(x)的取值范围.3卄 ta n C tan C ‘ a ，b ，c ，右耐+tanB = 1,④2, x € R .17. (本题满分14分)1 在厶ABC 中，a, b, c 分别为角A, B, C 的对边，且cos(B —C) —2sinBsin C = -(1) 求角A的大小；(2) 当a= 5, b= 4时，求△ ABC的面积.18. (本题满分16分)已知2n｝是等差数列，且a1, a2, 成等比数列，a3 + a4= 12.(1)求a1 + a?+ a3+ a4+ a5；⑵设b n= 10—a n,数列｛ b n｝的前n项和为S n,若b1潮2，则n为何值时，S n最大？S n最大值是多少？19. （本题满分16分）如图，扇形AOB是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB的大小等于彳,半径OA=200m，点M在半径OA上，点N在AB弧上，且MN // OB，求观光道路OM与MN 长度之和的最大值.20. （本题满分16分）设正项数列｛a n ｝满足:1 a i = 2，an + 1 =1 1 + a n（1）证明：若a n < ； 1，贝V a n +1〉； 1； ⑵回答下列问题并说明理由：是否存在正整数 N ，当n 沐 时| a n - 5-1 | +.5— 12v 0.001恒成立高一(下)期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1. 62. 23.—44. .2 51 6. 12 7. 80 8. 1 9. 3 10. *111. 2(3 + 2 .2) 12. 2 13. 314. (n — 1)2°+ 2二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.15. (1)当t = 3时，不等式f(x)>0与不等式x 2— 4x + 3>0同解，得(x — 1)(x — 3)> 0,................................................... ......................................... 3 分不等式f(x)>0的解集是(—汽1) U (3. +);……............ 6分(2)不等式f(x)>0对一切实数x 成立等价于△= (t + 1)2— 4t < 0, ................................... 10分 即(t — 1)2< 0, 即 t = 1 ...................... 14 分n八16. (1)f(x) = 2sin (2x + 6)+ 1,……........... 6 分所以，函数f(x)的最小正周期为 n ； ...................... 8分(2)0 v x w 3时，2x +6，… ..................... 10 分n nn 5 n函数y = sin x 在区间［$,刁是增函数，在区间运，~］是增函数,f(x)的值域是［2si°56+ 1， 2si°n+ 1］,即［2 , 3］.17. (1)由 cos(B — C) — 2sin Bsin C =— *得 cos(B + C)=—••• cos A — ；••• 0v A V 」A = 3；⑵ 由 c 2 + 42— 2Xc>4 cos52 及 c >0 得 c = 2 + J3,A______ _____________________________________________________△ ABC 的面积 S ^ABC = 2>4>2 + ,13) ^inT ^ 2寸3+;：［39.2 3 18. (1)设｛a n ｝的公差为d , v a 1, a ?,成等比数列,(a 1+ d)2= a 1 (a 1 + 4d),「. d = 0, 或 d = 2 a 1, ............ 4 分 当 d = 0 时，v a 3+ a 4 = 12,. a 1 = a 3 = 6, .a 1 + a 2+ a 3+ a 4+ a 5 = 30,...................... 6 分 当 d 工0寸，v a 3 + a 4= 12,. a 1 = 1, d = 2,...................... 8 分...................... 14分...................... 4分...................... 7分....................... 11分 ........................ 14分--a i + 82+ 83+ 84+ a 5 = 25;⑵ T b i 和2, b n = 10 — a n ,…a i 旳2，…d 工0 ••• b n = 10- a n = 10-(2n — 1)= 11 — 2n, ...................... 12 分当 n < 5 时，b n > 0, 当 n 》6时，b n v 0, 当n = 5时，S n 最大, S n 最大值是 9 + 7 + 5 + 3+ 1 = 25. ...................... 16分19.连 ON ，设/ MON = 0, 0V 冗 < 3, 2n y, 200 MN O2n sin 0 nsin 亍sin(3—-0)400400 n • MN ==3sin 0OM=, 3si n(3400n ci MN + OM =屈 sin0+ si n (3 — 0]在厶 MON 中，ON = 200, / OMN 400 / =^j3( sin 0+ 2 cos0— 1,sin 0)= 400sin (n+ 0), 只n••• ovx 3, 2n3 ,•••当 0= sin(n+ 0最大, MN + OM 最大，最大值是 20. (1)若 0< a n V^5—1，贝V 0< 1 + a n < 1 + "5—, r, 1 则an +1= G > ,5— 1 ⑵仿⑴可得，若则n 》2时丨a . — ； 11 .5 — 1 =2 ； 1+ 2 5— 1 沖.5 — 1 a n > 2 —，贝V a n +1< 厂,.5 — 1—I = 1 a n + 1— a n I...................... 4分...................... 8分...................... 13分...................... 16分...................... 4分....................... 6分I + 1 a n +12 丨 a n — an -1 丨(1 + a n ) (1 + a n -1), 1 *T a n >0, • a n +1=彳丄 < 1 ( n € N ),1 + a n1 1 + a n 1 + a n -11 Ip 1an=1 + a n_i>2，又ai=2，1 5 …n》2时，(1+ a n) (1 + a n - 1)= (1 + ) (1 + a n T)=2 + a n -1》1 + a n-1 2I a n —a n-1 I 2 2 2an+1—an I= (1+ a n) (1 + a n-1) w 51 an—an—1 I<(5)1 an —1 —an—2 1 K(|)n—1I a2- a1l= 6x(|)n-1,…•…数列｛6*|)n、递减，6^(5)^1< 0 001，只要N》7,当n纲时必有I a n+1 - a n I< 0. 001,a n2a n+1 —••• n >2 时,12分,5—1< 0. 001 成立. 16分2。
2023-2024学年江苏省南京高一下册期中数学试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京高一下册期中数学试题一、单选题1．已知()21i 42i z +=+（i 为虚数单位），则z =（）A ．12i +B ．12i -C ．1i+D ．1i-【正确答案】B【分析】设出复数，利用复数四则运算及复数相等的充要条件求解即可.【详解】设i z a b =+，则()21i 2i(i)22i 42i z a b b a +=+=-+=+，所以2422b a -=⎧⎨=⎩，即21b a =-⎧⎨=⎩，所以12z i =-.故选：B2．已知向量()2,1a =r ，()2,2b =- ，向量a 在向量b上的投影向量的坐标为（）A ．()2,2-B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D．⎫⎪⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】根据投影向量的定义计算即可.【详解】由题意易知22212a b ⋅=⨯-⨯= ，b == 而a 在b上的投影向量为.211cos ,,822b a b b a a b b b b b ⋅⎛⎫⋅⋅=⋅=⋅=- ⎪⎝⎭故选：B3．设a ，b都是非零向量，下列四个条件中，使得a a bb = 成立的条件是（）A ．2a b=- B ．a b ∥ C ．2a b= D ．a b ∥且a b= 【正确答案】C【分析】根据单位向量的含义结合向量同向还是反向，一一判断各选项，即得答案.【详解】由题意可知,b a ba分别表示与a ，b 同向的单位向量，对于A ，当2a b =- 时，a ，b反向，a a bb=-，A 错误；对于B ，a b ∥ ，则a ，b反向时，a abb=-，B 错误；对于C ，当2a b =时，22a a b b b b== ，C 正确；对于D ，a b ∥ 且a b = 时，有可能是a b =-，此时a abb=-，D 错误，故选：C4．如图，《周髀算经》中的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中最小的角为α，且小正方形与大正方形的面积之比为1:3，则tan α的值为（）A ．12B ．2C ．34D ．32-【正确答案】D【分析】法一、设正方形边长，再利用α的三角函数表示弦图中的对应边，化简计算即可；法二、直接设边，计算其比例即可.【详解】法一、设AB =sin BFBF AE ABααα=⇒=⇒=，同理AF α=，所以1sin cosAF AE EF αααα=+⇒=⇒-=平方得2211sin cos 112sin cos sin cos 33sin cos 3αααααααα-=⇒=⇒=+，同除2cos α得2tan 1tan 13αα=+，解得3tan 2α=.法二、设直角三角形的斜边为c ，两直角边为(),a b a b >，显然tan baα=.则由题意可得：()2221211333a b a b a b a bb a b a-=⇒-=⇒+=++，解之得：b a =a b >，故tan b a α==故选：D5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3A =，1b =，ABC则ABC 外接圆的直径为（）A．BC．3D【正确答案】C【分析】由三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理求解即可.【详解】11sin 14222ABC S bc A c c ==⋅⋅⋅⇒=△，由余弦定理得2222cos 13a b c bc A =+-=，即a ，由正弦定理得22sin 3a R R A =⇒=.故选：C.6．已知θ是第二象限，且π3sin 45θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．43-B ．43C ．34-D ．34【正确答案】A【分析】先利用平方关系求出πcos 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据πππtan tan 442θθ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结合诱导公式计算即可.【详解】由θ是第二象限，得π2π,π2π2k k θ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，则π3π5π2π,2π444k k θ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，又π3sin 45θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以π4cos 45θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以πππsin cos πππ4424tan tan πππ4423cos sin 424θθθθθθ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=+==-=- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7）A ．12B ．2C D ．2【正确答案】B【分析】根据三角函数诱导公式以及同角的三角函数关系结合二倍角正弦公式和辅助角公式，化简求值，即得答案.【详解】sin 70cos 20sin 402sin 20cos 20=︒︒︒()4525cos 25sin 252sin 202sin 202︒-︒︒-︒===︒︒,故选：B8．如图，ABC 中，4C π∠=，2AC =，BC =.在ABC 所在的平面内，有一个边长为1的正方形ADEF 绕点A 按逆时针方向旋转（不少于1周），则AE BD ⋅ 的取值范围是（）A ．[]3,5-B ．[]4,6-C ．[]5,9-D ．[]3,4-【正确答案】A【分析】由余弦定理求得AB =由正方形ADEF 的边长为1，求得45AE DAE =∠= ，利用向量的数量积的公式，化简得到()14cos AE BD AE AD AB BAE ⋅=⋅-==-∠，结合cos [1,1]BAE ∠∈-，即可求解.【详解】在ABC 中，4C π∠=，2AC =，BC =由余弦定理得22222cos 4282AB AC BC AC BC C =+-⋅=+-⨯=，所以AB =，又由正方形ADEF 的边长为1，可得45AE DAE =∠= ，则()cos cos AE BD AE AD AB AE AD AE AB AE AD DAE AE AB BAE ⋅=⋅-=⋅-⋅=∠-∠1cos4514cos BAE BAE ⨯∠=-∠，正方形ADEF 绕点A 按逆时针方向旋转（不少于1周），可得cos [1,1]BAE ∠∈-，所以14cos [3,5]BAE -∠∈-，即AE BD ⋅的取值范围是[3,5]-.故选：A.二、多选题9．下列选项中，与2023πsin 6⎛⎫- ⎪⎝⎭的值相等的是（）A ．2sin15sin 75︒︒B ．sin 72cos 42cos72sin 42︒︒-︒︒C ．()()11tan11tan 44+︒+︒D ．6π8πcoscos 55+【正确答案】ABC【分析】先求出2023π1sin 62⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据诱导公式及二倍角公式化简求值判断A ，根据两角差的正弦公式化简求值判断B ，根据两角和的正切公式化简求值判断C ，根据诱导公式化简判断D.【详解】2023π2023π5π1sin sin 338πsin 6662⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项：12sin15sin 752sin15cos15sin 302︒︒=︒︒=︒=，故A 对；B 选项：()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=︒=，故B 对；C 选项：()()111tan11tan 441tan1tan 44tan1tan 44=+︒+︒+︒⋅︒+︒+︒1111tan1tan 44tan 45[1tan1tan 44]1tan 452===+︒⋅︒+︒-︒⋅︒+︒，故C 对；D 选项：6π8ππ3ππ3πcos cos cos πcos π(cos cos )0555555⎛⎫⎛⎫+=+++=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错.故选：ABC10．函数()()cos 0,0,02πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）A ．该函数的解析式为25π2cos 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象的一个对称中心C ．该函数的减区间是5ππ3π,3π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈D ．把函数2sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的32倍，纵坐标不变，再向左平移π2个单位长度，可得到该函数图象【正确答案】BD【分析】由振幅得到2A =，再由对称轴和零点得到周期，进而得到ω，再由π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得解析式，然后逐项判断.【详解】解：由振幅得2A =，由对称轴和零点得ππ44T =-，即23ω=，所以()22cos 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意得π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()π2πZ 6k k ϕ+=∈，因为02πϕ<<，所以π2π6ϕ=-+，所以()2π2π2π2cos 2π2cos 2sin 363633f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；πππ2cos 0236f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；令2π2ππ2π,Z 36k x k k ≤-≤+∈，解得π7π3π3π,Z 44k x k k +≤≤+∈，所以该函数的减区间是π7π3π,3πZ 4,4k k k ⎡⎤⎢⎦++⎣∈⎥，故C 错误.把函数2sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的32倍，得到22sin 3y x =，纵坐标不变，再向左平移π2个单位长度，得到2π2π2sin 2sin 3233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BD11．在平面直角坐标系xOy 内，设两个向量()11,a x y =，()22,b x y = ，定义运算：1221a b x y x y ⊗=-，下列说法正确的是（）A ．0a b ⊗= 是a b ∥的充要条件B ．a b b a⊗=⊗ C ．()a b c a b a c⊗+=⊗+⊗ D ．若点O ，A ，B 不共线，则OAB 的面积12S OA OB=⊗【正确答案】ACD【分析】根据题中给出的新定义，结合我们学过的共线定理，线性运算以及数量积来判断四个选项的正误.【详解】12210a b x y x y ⊗=-= ，而12210a b x y x y ⇔-=∥，故A 对；1221a b x y x y ⊗=- ，2112b a x y x y ⊗=-，故B 错；设()33,c x y =，则()()()123231a b c x y y x x y ⊗+=+-+ 12211331x y x y x y x y a b a c =-+-=⊗+⊗，故C 对；对于选项D ：如图BH 是边OA 上的高，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，a是与OA 垂直的单位向量，OA t= 则111(,)a y x t =- ，a OB BH a OB a⋅==⋅ ，即1122y x BH x y t t =-+，12211122S BH t x y x y =⋅⋅=-，设OA a = ，OB b = ，则12211122S OA OB x y x y =⊗=-，所以D 对.故选.ACD12．函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，且()2f x +为偶函数，当[]0,1x ∈时，()1f x cos x π=+，则下列不等式一定成立的是（）A ．ππcos sin 66f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()()cos 2sin 2f f >C ．()()()()sin sin cos cos f x f x >D ．()()()()sin sin cos cos f x f x <【正确答案】BD【分析】本题利用函数的奇偶性，先判断函数的对称性，再利用函数的单调性去解决问题.【详解】由()1f x +为奇函数得()f x 关于()1,0对称，()2f x +为偶函数得()f x 关于2x =对称，所以函数()f x 为周期为4的周期函数，且函数()f x 为偶函数因为[]0,1x ∈时，函数()1cos πf x x =+，可知函数()f x 在[]0,1上单调递减；对于A ：1cos sin 0cos sin 6666f f ⎛⎫⎛⎫>>>⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ，故A 错；对于B ：由上可知()()cos 2cos 2f f =-，因为2π10cos 2cos 32>>=-，2π1sin 2sin 32>=所以10cos 2sin 212<-<<<，因函数()f x 在[]0,1x ∈上单调递减，所以()()()1cos 2cos 2sin 22f f f f ⎛⎫=->> ⎪⎝⎭故B 对；对于CD 选项我们需要先证明()()sin sin cos cos x x <.证明如下：ππsin cos 42x x x ⎛⎫+=+≤< ⎪⎝⎭，所以πsin cos 2x x <-，ππsin cos 42x x x ⎛⎫-=-≤< ⎪⎝⎭，所以πsin cos 2x x <+，故知πππ1sin cos 222x x -<-≤<-≤.由sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得()()()sin sin sin cos cos cos cos cos 2x x x x ⎛⎫<-== ⎪⎝⎭π，即证.对于C ：函数()f x 在[]0,1上单调递减，由函数()f x 为偶函数，可知函数()f x 在[]1,0-上单调递增，所以函数()f x 在[]1,1-不单调，因()()sin sin cos cos x x <恒成立，可知C 错.对于D ：由()()sin sin cos cos x x <恒成立，可知()()()()sin sin cos cos f x f x <，可知D 正确.故选：BD.三、填空题13．复数z 满足12z -≤（i 为虚数单位），则z 在复平面内所对应的点构成图形的面积为______.【正确答案】4π【分析】设复数i z x y =+，根据题意求得()2214x y -≤+，结合圆的面积公式，即可求解.【详解】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，由12z -≤2≤，即()2214x y -≤+，所以复数z 在复平面内对应的点构成图形为半径为2的圆及其内部，故其面积为2π4πr =.故答案为.4π14．已知()7,9a b -= ，()220,18a b += ，则向量a ，b的夹角为______.【正确答案】4π/45 【分析】根据向量的线性运算，即可求解()9,9a = ，()2,0b =，进而根据夹角公式即可求解.【详解】由()7,9a b -= ，()220,18a b += 得()9,9a = ，()2,0b =，所以cos ,2a b a b a b⋅=⋅，由于[],0,πa b ∈ ，所以π,4a b = ，故π415．在ABC 中，AB =，π4ABC ∠=，π3ACB ∠=，点D 在BC 的延长线上，且10CD =，则AD =______.【正确答案】14【分析】在ABC 中，由正弦定理求得6AC =，再在ADC △中，利用余弦定理，即可求得AD 的长，得到答案.【详解】如图所示，在ABC 中，因为π,34πAB ABC ACB =∠=∠=，由正弦定理知sin sin AC ABB C=，可得362322AC =，解得6AC =，在ADC △中，由6AC =，10CD =且2π3ACD ∠=，由余弦定理得2222π2cos1963AD AC CD AC CD =+-⋅⋅=，所以14AD =.故答案为.14四、双空题16．已知函数()sinsin cos 222x x x f x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0ω>），先将函数()y f x =的图象向下平移12个单位长度，再向左平移π4ω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x =______；若在区间[]π,2π上至少存在两个不相等的实数1x ，2x ，使得()()122g x g x +=，则ω的取值范围是______.【正确答案】22x ω9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【分析】化简得到()π2142x f x ω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，再根据平移法则得到()g x ，根据周期得到2ω≥，考虑4ω≥，522ω≤≤，542ω<<三种情况，计算得到答案.【详解】()2π211cos sin 4sin sin cos 22222x x x x x x f x ωωωωωω⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭=+==，函数依据题意平移后得到()ππ214412sin 222x g x xωωω⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=；()22g x x ω=≤()()122g x g x +=，故函数()g x 在区间上至少存在两处取最大值，首先由必要条件区间长2ππT ω≥=，2ω≥，当4ω≥时，2ππ2ω≤，[]π,2π至少包含两个完整周期，满足；当522ω≤≤时，需满足9π2π2ω≥，得到9542ω≤≤；当542ω<<时，需满足13π2π2ω≥，得到1344ω≤<.综上所述：9513,,424ω⎡⎤⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故2x ω；9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭五、解答题17．在直角坐标系xOy 中，向量()1,1OA =-，()8,OB m = ，()7,3OC = ，(),OD x y = ，其中m ，x ，R y ∈.(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值；(2)若四边形ABCD 为菱形，求x y +的值.【正确答案】(1)113(2)7【分析】（1）根据A ，B ，C 三点共线，可得,AB AC共线，根据向量共线的坐标表示列式计算，可得答案；（2）根据菱形的性质，结合向量模以及向量的线性运算，列出方程，求得m 的值，即可求得答案.【详解】（1）由已知得()7,1AB OB OA m =-=+ ，()6,4AC OC OA =-= ，因为A ，B ，C 三点共线，,AB AC共线，所以()117461,3m m ⨯=+∴=；（2）()1,1AD OD OA x y =-=-+ ,()6,4AC =,由四边形ABCD 为菱形得AB AD = 即()222491(1)(1)m x y ++=-++①，由菱形得1760,,1142x x AC AB AD y m y m -+==⎧⎧=+∴∴⎨⎨+++==-+⎩⎩ ,将02x y m =⎧⎨=-+⎩代入①，解得5m =-，所以27x y m +=-+=.18．（1）证明：()()cos 2cos 22cos cos αβαβαβ+=+-；（2）若sin sin a αβ+=，cos cos b αβ+=，其中实数a ，b 不全为零.①求()cos αβ-；②求()cos αβ+.【正确答案】（1）证明见解析；（2）①2212a b +-；②2222b a a b-+【分析】（1）由两角和与差的余弦公式结合二倍角的余弦、正弦公式即可证明；（2）将两个已知式分别平方再相加，利用三角函数的平方关系和两角差的余弦公式可求出()cos αβ-的值，将两个已知式分别平方再相减，结合二倍角的余弦公式和两角和的余弦公式可求出()cos αβ+的值.【详解】（1）()()()()2cos cos 2cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+-=-+22221cos 21cos 21cos 21cos 22cos cos 2sin sin 2·2·2222αβαβαβαβ++--=-=⋅-⋅()()()()1cos 21cos 21cos 21cos 2cos 2cos 22αβαβαβ++---==+；（2）由sin sin a αβ+=两边平方得222sin sin +2sin sin a αβαβ+=，cos cos b αβ+=两边平方得222cos cos +2cos cos b αβαβ+=，①两式相加可得：()222+2sin sin cos cos a b αβαβ+=+，即()222+2cos a b αβ-=+则()22222cos 122a b a b αβ+-+-==-，②两式相减可得：222222cos sin cos sin +2cos cos 2sin sin b aααββαβαβ-+--=-()22cos 2cos 22cos b a αβαβ+++=-，由（1）知，()()cos 2cos 22cos cos αβαβαβ+=+-，则()()()222cos cos 2cos b a αβαβαβ+-++=-，()()222cos cos 1b a αβαβ⎡⎤+-+=-⎣⎦，则()2222cos b a a b αβ-+=+.19．如图，某镇有一块空地OAB ，其中3km OA =，OB =，90AOB ∠=︒.当地镇政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ，其中M ，N 都在边AB 上且不与端点重合，且30MON ∠=︒，挖出的泥土堆放在OBN △地带上形成假山，剩下的OAM △地带设儿童游乐场，为了安全起见，需在OBM 的周围安装防护网.(1)当3km BN =时，求防护网的总长度；(2)为节省投入资金，人工湖OMN 的面积要尽可能小，问：BON ∠多大时，可使OMN 的面积最小？最小面积是多少？【正确答案】(1)92+km(2)当π4BON ∠=时，OMN 的面积最小为(2724【分析】（1）由已知可求得30B =︒，根据余弦定理可求出3ON =.然后在Rt BOM △中，求出,OM BM 的长，即可得出答案；（2）设=AOM θ∠，在OAM △以及OBN △中，根据正弦定理表示出,OM ON ，根据面积公式得出11222sin 3OMN S θ=⋅- ⎪⎝⎭△，进而化简可得27π8sin 23OMN S θ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭△，然后根据角的范围，即可得出面积的最小值.【详解】（1）由已知可得，tan 3OA B OB ==，所以30B =︒，在BON△中，由余弦定理得2222cos ON OB BN OB BN B =+-⋅⋅279239=+-⨯⨯，所以3ON=，所以ON BN=，所以30BON∠=︒，所以60BOM∠=︒，90BMO∠=︒.因此在Rt BOM△中，有sinOM OB B==9cos2BM OB B==，（2）设=AOMθ∠，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则在OAM△中，有π3A=，3OA=，π2ππ33AMOθθ⎛⎫∠=-+=-⎪⎝⎭，由正弦定理sin sinOA OMAMO A=∠可得，πsin32πsin2sin33OAOMθθ==⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理，在OBN△中有，π2BNO NOA Aθ∠=∠+∠=+，由正弦定理sin sinOB ONONB B=∠可得，1sin2πsin2cossin2OB BONONBθθ===∠⎛⎫+⎪⎝⎭，所以1πsin26OMNS OM ON=⋅⋅△11222sin3θ=-⎪⎝⎭.因为22π1sin cos cos sin cos322θθθθθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭1cos21sin2222θθ++⨯1πsin2234θ⎛⎫=++⎪⎝⎭，所以27π8sin23OMNSθ=⎛⎫++⎪⎝⎭△.因为π3θ<<，所以ππ2π33θ<+<，当且仅当ππ232θ+=，即π12θ=(2724-=，此时ππππ33124BON AOM ∠=-∠=-=.20．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，()sin cos cos A C b A B ++2sin b a B =+.(1)求C 的大小；(2)若c =ABC 周长的取值范围.【正确答案】(1)π3(2)(3【分析】（1）由两角和的正弦公式，正弦定理边化角和两角和的余弦公式化简已知表达式，cos 1C C -=，再由22sin cos 1C C +=，即可求出C 的大小；（2）由正弦定理、辅助角公式以及三角函数求范围可求得结果.【详解】（1()2sin cos cos sin A C b A B b a B ++=+，2sin sin cos cos sin sin sin C B B A B B A B ⇒+=+，cos cos 1sin sin C A B A B ⇒+=+，cos cos sin sin 1C A B A B ⇒+-=()cos 1cos 1C A B C C ⇒++=⇒-=又有22sin cos 1C C +=，且π02C <<，解得1cos 2C =，即π3C =；（2）由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==，即2sin a A =，2sin b B =，所以π2sin 2sin 2sin 2sin 3a b c A B A A ⎛⎫++=++=++ ⎪⎝⎭π3sin 6A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭在锐角三角形中有π0ππ22ππ62032A A B A ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎪<=-<⎪⎩，即ππ2π363A <+<πsin 16A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，π36A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭(36a b c A π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭.21．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且π3A =.(1)若4cos 5B =，求sin 2C ；(2)若2a =，c b <，1146AP AB AC =+ ，且π2BPC ∠=，求c .【正确答案】(1)2450-(2)7【分析】（1）由4cos 5B =求出sin B ，即可求出sin 2,cos 2B B ，而2ππsin 2sin 2sin 233C B B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由两角差的正弦公式代入即可得出答案.（2）求出2235116363PB PC c b bc ⋅=--+ ，再由0PB PC ⋅= ，化简代入可得32b c =，由余弦定理即可求出答案.【详解】（1）由4cos 05B =>，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为22sin cos 1B B +=，可得3sin 5B =，又因为2247sin22sin cos ,cos22cos 12525B B B B B ===-=，因为π3A =，所以2ππ3C A B B =--=-，所以2ππsin 2sin 2sin 2sin 223312C B B B B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）因为1146AP AB AC =+，所以,31154646PB AB AP AB AC PC AC AP AB AC =-=-=-=-+，故31154646PB PC AB AC AB AC ⎛⋅⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+22352cos 16363AB AC AB AC A =--+ 2235116363c b bc =--+，由π2BPC ∠=得0PB PC ⋅= 可得：22351016363c b bc --+=，则222748200c bc b -+=，所以()()329100c b c b --=，解得32b c =或910b c =，因为c b <，1b c>，所以32b c =.在三角形ABC 中，由余弦定理得.222222932cos 442a b c bc A c c c c =+-⇒=+-⇒22．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2222a b c +≥.(1)求C 的最大值；(2)若2c =，74a b c +≤，求ABC 面积的最大值.【正确答案】(1)π3【分析】（1）根据题意，由余弦定理和基本不等式求得1cos 2C ≥，结合余弦函数的单调性，即可求解；（2）由74a b c +≤，求得()221649a b c +≥，得到226417ab a b +≥，根据三角形的面积公式，化简得到11sin 22ABC S ab C ab ==△，结合余弦定理和不等式、二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：在ABC 中，满足2222a b c +≥，由余弦定理得222222212cos 2242a ba b a b a b c b a C ab ab +++-+-=≥=≥，当且仅当a b =时取等，所以1cos 2C ≥，又因为()0,πC ∈，且函数cos y x =在区间()0,π上为单调递减函数，所以C 的最大值为π3.（2）解：因为74a b c +≤，可得()47c a b ≥+，所以()221649a b c +≥，又因为2222a b c +≥，所以()22216249a b a b ++≥⋅，整理得226417ab a b +≥，所以11sin 22ABCSab C ab ==△≤=≤。
福建省福州市鼓楼区福州黎明中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
18．已知
ar
=
4，
r b
=
8
，
ar
与
r b
的夹角为
2π
．
3
(1)求
ar
+
r b
；
( ) ( ) (2)当 k 为何值时，
ar
+
r 2b
^
kar
-
r b
？
19． = 45°
AC = 10
cos
C
=
2
5 5
(1)求 BC 边的长； (2)求 AB 边上的中线 CD 的长.
20．已知平面向量
= (-2 - 2x)(2 - 2x) + 12 = 4x2 + 8 ，
因为 x Î[-2, 2] ，
所以 4x2 + 8 Î[8, 24] . 故选：D 8．C
【分析】首先求出角 C 的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得 a = 2 cos C ，再利用
答案第31 页，共22 页
正弦定理和三角恒等变换得 b = 4 cos2 C -1，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质 即可得到范围.
r a
=
(1,
x
)
，
r b
=
(2
x
+
3,
-
x
)
，
xÎ
R
.
(1)若
r a
/
r /b
，求
r a
-
r b
；
试卷第41 页，共33 页
(2)若
r a
与
r b
的夹角为锐角，求
x
的取值范围.
21． DABC
2020-2021学年福建省福州市鼓楼区文博中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年福建省福州市鼓楼区文博中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，则集合A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥1}D．{x|1≤x＜2} 2．下列关于向量的命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，则3．如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1C．D．4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A＝45°，a＝6，b＝，则B的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，且a＝，则＝（）A．2B．3C．4D．27．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记＝，＝，则＝（）A．B．C．D．8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若（其中S△ABC表示△ABC的面积），且角A的平分线交BC于E，满足，则△ABC 的形状是（）A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9．下列说法中错误的为（）A．已知＝（1，2），＝（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（﹣，+∞）B．向量＝（2，﹣3），＝（，﹣）不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足||＞||且与同向，则＞D．非零向量和，满足||＝||＝|﹣|，则与+的夹角为30°10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论中正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．直线是g（x）图象的一条对称轴C．D．g（x）为奇函数11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则（）A．长方体的表面积为20B．长方体的体积为6C．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为D．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为12．在△ABC中，角所对的边分别为a，b，c，给出下列四个命题中，其中正确的命题为（）A．若A：B：C＝1：2：3，则a：b：c＝1：2：3B．若cos A＜cos B，则sin A＞sin BC．若A＝30°，a＝3，b＝4，则这个三角形有两解D．当△ABC是钝角三角形．则tan A•tan C＜1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空2分，第二空3分，满分20分）13．++﹣﹣＝．14．向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数λ＝．15．已知向量与的夹角为60°．且||＝4，||＝3，若，且，则实数λ的值是．16．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，p为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是；若向量，则4λ﹣μ的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．已知i为虚数单位，复数z1＝1﹣i，z2＝3+ai（a∈R）．（1）若z1+z2为实数，求z1z2的值；（2）若为纯虚数，求|z2|．18．已知，是同一平面内的向量，（1）若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，求|﹣2|；（2）若＝（1，1），＝（2，x），与4平行，求与的夹角θ．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B+b cos A＝2c cos B，．（1）求B；（2）若a﹣c＝2，求△ABC的面积．20．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°．在A 地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°．（1）求A，C两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米∕秒）21．已知O为坐标原点，＝（2cos x，），＝（sin x+cos x，﹣1），若f（x）＝•+2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）当x∈（0，）时，若方程f（x）+m＝0有根，求m的取值范围．22．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域及其值域；（2）求方程f（x）＝2x﹣2的解；（3）若函数y＝2x﹣mf（x）有两个不同零点，求m的取值范围．参考答案一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，则集合A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥1}D．{x|1≤x＜2}解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，∴集合A∩B＝{x|1≤x＜2}．故选：D．2．下列关于向量的命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，则解：对于A：向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出＝，即该选项错误；对于B：长度不能相互平行，故该选项错误；对于C：若，，显然可得出，故该选项正确；对于D：若，不共线，＝，则该选项错误．故选：C．3．如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1C．D．解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是×＝1，∴原平面图形的面积是1×2＝2，故选：D．4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A＝45°，a＝6，b＝，则B的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解：在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得sin B＝．∵b＜a，∴B＜A＝45°，∴B＝30°，故选：A．5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c解：∵，，∴c＜a＜b．故选：A．6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，且a＝，则＝（）A．2B．3C．4D．2解：△ABC的三边a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，整理得，由于A∈（0，π），所以A＝，故sin A＝，故．故选：A．7．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记＝，＝，则＝（）A．B．C．D．解：∵平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，∴＝＝＝＝﹣，＝＝，∴＝++＝++＝﹣+（+）＝+（﹣﹣）＝﹣，故选：D．8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若（其中S△ABC表示△ABC的面积），且角A的平分线交BC于E，满足，则△ABC 的形状是（）A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解：∵，∴ab sin C＝＝，∴tan C＝，由C∈（0°，180°），可得∠C＝60°．又∵角A的平分线交BC于E，满足，∴AE⊥BC，∴△ABE≌△ACE，可得B＝C＝60°，A＝60°，∴△ABC的形状是等边三角形．故选：B．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9．下列说法中错误的为（）A．已知＝（1，2），＝（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（﹣，+∞）B．向量＝（2，﹣3），＝（，﹣）不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足||＞||且与同向，则＞D．非零向量和，满足||＝||＝|﹣|，则与+的夹角为30°解：对于A，•（+λ）＝3λ+5＞0，且λ≠0，所以A不正确；对于B，向量＝（2，﹣3），＝（，﹣），满足＝4，两个向量共线，所以不能作为平面内所有向量的一组基底，所以B正确；对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，所以C不正确；对于D，非零向量和，满足||＝||＝|﹣|，所以以向量和的长度为边，构造菱形，满足与+的夹角为30°，所以D正确；故选：AC．10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论中正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．直线是g（x）图象的一条对称轴C．D．g（x）为奇函数解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin2x 的图象，故函数g（x）的周期为＝π，故A正确；令x＝，求出g（x）＝，故C正确，B不正确；显然，g（x）为奇函数，故D正确，故选：ACD．11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则（）A．长方体的表面积为20B．长方体的体积为6C．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为D．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为解：长方体的表面积为2×（3×2+3×1+2×1）＝22，故选项A错误；长方体的体积为3×2×1＝6，故选项B正确；如图（1）所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AB＝3，BC＝2，BB1＝1，求表面上两点间最短（长）距离，可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离为；如图（3）所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则AC1＝，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离为；如图（4）所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则AC1＝，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离为，因为＜＜，所以沿着长方体表面由A到C1的最短距离是，故选项C正确，选项D错误．故选：BC．12．在△ABC中，角所对的边分别为a，b，c，给出下列四个命题中，其中正确的命题为（）A．若A：B：C＝1：2：3，则a：b：c＝1：2：3B．若cos A＜cos B，则sin A＞sin BC．若A＝30°，a＝3，b＝4，则这个三角形有两解D．当△ABC是钝角三角形．则tan A•tan C＜1解：对于A，若A：B：C＝1：2：3，则A＝30°，B＝60°，C＝90°，故a：b：c＝sin30°：sin60°：sin90°＝1：：2．故错误；对于B，在△ABC中，cos A＜cos B⇔A＞B⇔sin A＞sin B，故正确；对于C，由A＝30°，a＝3，b＝4，可得，可得sin B＝＞sin30°，故满足条件的角B有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解，故正确；对于D，当A为钝角时，tan A＜0，tan C＞0，tan A tan C＜1，成立，当C为钝角时，tan A＞0，tan C＜0，tan A tan C＜1，成立，当B为钝角时，cos B＝﹣cos（A+C）＝sin A sin C﹣cos A cos C＜0，可得sin A sin C＜cos A cos C，可得tan A•tan C＜1，成立，综上，命题正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空2分，第二空3分，满分20分）13．++﹣﹣＝．解：++﹣﹣＝＝；故答案为：．14．向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数λ＝2．解：建立如图所示平面直角坐标系，取小正方形的边长为1，则＝（1，1），＝（0，﹣1），＝（2，1），∴＝（λ，λ−1），∵向量与共线，∴λ﹣2（λ﹣1）＝0，∴λ＝2．故答案为：2．15．已知向量与的夹角为60°．且||＝4，||＝3，若，且，则实数λ的值是．解：向量与的夹角为60°．且||＝4，||＝3，若，且，可得＝＝0，即9﹣16λ+（λ﹣1）×＝0，解得λ＝．故答案为：．16．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，p为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是[0，1]；若向量，则4λ﹣μ的最大值为2．解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，∵正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0），设P（cosθ，sinθ），∴＝（1，1),＝（cosθ，sinθ),＝（cosθ﹣1，sinθ），•＝cos2θ﹣cosθ+sin2θ＝1﹣cosθ，∵0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，∴•的取值范围是[0，1]，再由向量＝λ(1,1）+μ(,﹣1)＝(λ+μ,λ﹣μ)＝(cosθ，sinθ)∴,∴,∴4λ﹣μ＝2sinθ+2cosθ＝2sin(θ+),∵θ∈[0,],∴θ+∈[,],∴sin(θ+)的最大值为1，∴4λ﹣μ的最大值为2．故答案为：[0，1]，2．四、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．已知i为虚数单位，复数z1＝1﹣i，z2＝3+ai（a∈R）．（1）若z1+z2为实数，求z1z2的值；（2）若为纯虚数，求|z2|．解：（1）∵z1+z2＝4+（a﹣1）i，若z1+z2为实数，则a＝1．………此时z2＝3+i，∴z1z2＝（1﹣i）（3+i）＝4﹣2i．………（2）∵＝，………若为纯虚数，则，得a＝3，………∴．………18．已知，是同一平面内的向量，（1）若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，求|﹣2|；（2）若＝（1，1），＝（2，x），与4平行，求与的夹角θ．解：（1）根据题意，若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，则•＝1×2×cos60°＝1，则（﹣2）2＝2﹣4+42＝1﹣4+4×4＝13，则|﹣2|＝；（2）根据题意，若＝（1，1），＝（2，x），则＝（3，1+x），4＝（6，4x﹣2），若与4平行，则有3（4x﹣2）＝6（1+x），解可得x＝2，则＝（2，2），则有＝2，与方向相同，则与的夹角θ＝0°．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B+b cos A＝2c cos B，．（1）求B；（2）若a﹣c＝2，求△ABC的面积．解：（1）∵a cos B+b cos A＝2c cos B，∴sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos B，∴sin（A+B）＝2sin C cos B，∴sin C＝2sin C cos B，∵sin C≠0，∴cos B＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）由余弦定理得，7＝a2+c2﹣2ac cos，∴a2+c2﹣ac＝7，∵a﹣c＝2，∴a＝3，c＝1，∴S△ABC＝ac sin B＝×3×＝．20．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°．在A 地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°．（1）求A，C两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米∕秒）解：（1）由题意，设AC＝x，则∵在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒0∴BC＝x﹣×340＝x﹣40，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2+CA2﹣2BA•CA•cos∠BAC，即（x﹣40）2＝x2+10000﹣100x，解得x＝420．（2）在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，∴CH＝AC•tan∠CAH＝140米．答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米．21．已知O为坐标原点，＝（2cos x，），＝（sin x+cos x，﹣1），若f（x）＝•+2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）当x∈（0，）时，若方程f（x）+m＝0有根，求m的取值范围．解：（Ⅰ）∵＝（2cos x，），＝（sin x+cos x，﹣1），∴f（x）＝•+2＝2cos x sin x+2cos2x﹣+2，＝sin2x+cos2x+2，＝2sin（2x+）+2，其单调递减区间满足2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）∵当x∈（0，）时，方程f（x）+m＝0有根，∴﹣m＝f（x）．∵x∈（0，），∴2x+∈（，），∴﹣＜sin（2x+）≤1，∴f（x）∈（﹣+2，4]，∴m∈[﹣4，﹣2）．22．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域及其值域；（2）求方程f（x）＝2x﹣2的解；（3）若函数y＝2x﹣mf（x）有两个不同零点，求m的取值范围．解：（1）由2x﹣1≥0，解得x≥0，则函数的定义域为[0，+∞）．∵≥1，∴函数f（x）的值域为[1，+∞）；（2）由f（x）＝2x﹣2，得，即，两边平方得（2x）2﹣7•2x+10＝0，解得2x＝2或2x＝5，∴x＝0或x＝log25，验证x＝0不适合，舍去，故x＝log25；（3）∵，∴y＝2x﹣mf（x）＝，令t＝（t≥1），可得2x＝1+(t﹣1)2＝t2﹣2t+2，则原函数化为h（t）＝t2﹣（m+2）t+2（t≥1）．要使y＝2x﹣mf（x）有两个不同零点，即方程h（t）＝t2﹣（m+2）t+2＝0在[1，+∞）上有两个不等根．则，解得＜m≤1．∴若函数y＝2x﹣mf（x）有两个不同零点，则m的取值范围是（，1]．。
2023-2024学年高一下数学《平面向量及立体几何初步》测试卷及答案解析
2023-2024学年高一数学《平面向量及立体几何初步》一．选择题（共12小题）
1．（2022春•鼓楼区校级期中）已知向量，，若∥，则实数m ＝（）
A．1B．﹣1C ．D
．﹣
2．（2022春•鼓楼区校级期中）已知向量，是单位向量，若|2﹣|＝，
则
与的夹角为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（2022春•鼓楼区校级期中）P是△ABC
所在平面内一点，若，则S△ABP：S
△ABC
＝（）
A．1：4B．1：3C．2：3D．2：1 4．（2022•福州模拟）已知向量，为单位向量，且⊥，则•（4﹣3）＝（）A．﹣3B．3C．﹣5D．5 5．（2022春•马尾区校级月考）已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，若2c sin C ＝（a+b）（sin B﹣sin A），则当角C取得最大值时，B＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（2022春•福州期中）在四边形ABCD
中，若＝，且|﹣|＝|
+|，则该四边
形一定是（）
A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形7．（2022•鼓楼区校级三模）已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD．O1，O分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A﹣BCD的体积为18，则该圆柱的侧面积为（）
A．9πB．12πC．16πD．18π8．（2022•福州模拟）在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是BC的中点，F是AB的中点，则（）
A．AE＝CF，AC与EF是共面直线
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鼓楼区高一下期中考试数学试卷
一．填空题：（每小题4分，共14小题，合计56分）
1 已知=-⎩⎨⎧-=56,,12,1a a n n n a n 则为偶数
为奇数____10__________.
书P32 习题3改编
2.已知等差数列}{n a 中1065=+a a ，则=10S ____50________.
书P44 习题6改编
3.已知等比数列}{n a 的通项公式132-⋅=n n a ，则=6S ____728_______.
书P44 习题4改编
4. 在等比数列}{n a 中，01>a ，252867564=++a a a a a a ，则75a a +=_____5________. 书P49 习题6改编
5. 已知数列}{n a 中，322
+-=n n S n ，则数列的通项公式n a =⎩⎨⎧∈≥-=*2,321,2N n n n n 且 书P44 习题8改编
6.若三条线段的长分别为2，3，4，则用这三条线段能组成__钝角__三角形.（填“直角”“锐角”或“钝角”） 书P15 练习2改编
7. 在ABC ∆中，若B a c cos 2=，则ABC ∆的形状为____等腰三角形______.
书P10 练习2
8.在ABC ∆中，已知︒===30,32,2A b a ，则=c __ 2或4_____.
书P7 例2 改编
9.已知0<a ,一元二次方程x c bx ax 32=++的解集为}3,2{,则不等式x c bx ax 32>++的解集
为}32|{<<x x
书P94 习题10 改编
10.已知函数)2lg(2++=kx kx y 的定义域为R ，则k 的取值范围为_____[0,8)___________ 书P49 习题6改编
11.已知两点)3,3(),1,1(B A -，点),5(a C 在直线AB 上，则实数a 的值为______7________. 书P72 练习5改数字
12.已知直线1+=x y l ：，则直线l 关于点)3,1(M 对称的直线方程是3+=x y
书P97 17 改数字
13.直线l 经过点)3,2(-M ，且原点到直线l 的距离等于2，则直线l 的方程为2026125-==-+x y x 或. 书P96 3
14.已知数列}{n a 满足*13221,3
333N n n a a a a n n ∈=++++- ，则通项公式n a =n -3
二．解答题：（每小题6分，共44分）
15.（6分）已知ABC ∆的角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，三角形的周长为12+， 且C B A sin 2sin sin =
+. （I ）求边c 的长；
（II ）若ABC ∆的面积为C sin 6
1，求角C 的度数. 2007 浙江卷 解答第一题
【解】（I ）由题意及正弦定理，得12+=++c b a ，
c b a 2=+，
两式相减，得．1=c
（II ）由ABC △的面积C C ab sin 61sin 21=，得3
1=ab ， 由余弦定理，得ab
c b a C 2cos 2
22-+= 2
122)(22=--+=ab c ab b a ， 所以60C =．
16. (6分)已知直线l 经过直线012082=+-=-+y x y x 和直线的交点，且垂直于直线0143=--y x ，求直线l 的方程
书P87 3 改编
【解】由直线l 垂直于直线0143=--y x ，设直线l 的方程为034=++m y x
由⎩⎨⎧=+-=-+012082y x y x 得⎩
⎨⎧==23y x ，即交点为)2,3( 代人直线l 的方程得20-=m
直线l 的方程02034=-+y x
17. （7分）在等差数列}{n a 中，6314,18a a a =-=
（I ）求数列的通项公式n a
（II ）当n 取何值时，n S 最小？
书P38 习题3，4改编
【解】（I ）由题意得)5(4211d a d a +=+，
又181-=a ，得3=d
所以，213)1(318-=-+-=n n a n
（II ）法一. 8
507)213(232)21318(2--=-+-=n n n S n 由*N n ∈得，当76或=n 时n S 取最小值
法二. 0213=-=n a n 令,7=n 得
由01<a ,0>d 知，数列}{n a 前6项为负，第7项为零，从第八项起为正
所以，当76或=n 时n S 取最小值
18. （8分）已知等差数列}{n a 的首项,11=a 且公差为0>d ，它的第2，5，14项依次构成一个等比数列， （I ）求数列}{n a 的通项公式；
（II ）令1
1+=
n n n a a c ，求数列}{n c 的前n 项和n S 书P49 4
【解】（I ）由题意得)13)(()4(1121d a d a d a ++=+
整理得d a d 1263=，
因为公差不为零，得221==a d
所以， 122)1(1-=-+=n n a n
（II ）由题意得，
1
21)1
211(21)]121121()7151()5131()311[(21)
12)(12(1751531311+=+-=+--++-+-+-=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n n n S n
19．（8分）过点)8,2(的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，当ABC ∆的面积最小时，求直线l 的方程，并求出此时的最小面积.
书P90 例3 改数字
【解】设点)0,)(0,(),0,(>b a b B a A ，
则直线l 的方程为1=+b
y a x 由题意，点)8,2(在此直线上， 所以，182=+b
a 由基本不等式，得64162821≥⇒≥+=
ab ab b a 于是，3221≥=∆ab S ABC ，当且仅当,82b
a =即16,4==
b a 时，取“=” 因此，当ABC ∆的面积最小时，直线l 的方程为116
4=+y x 即0164=-+y x
20. (9分)在数列{}n a 与{}n b 中，4,111==b a ，数列{}n a 的前n 项和n S 满足()031=+-+n n S n nS , 12+n a 为n b 与1+n b 的等比中项，*N n ∈．
（Ⅰ）求22,b a 的值；
（Ⅱ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（Ⅲ）设()()()*,1112121N n b b b T n a a a n n ∈-++-+-= ．证明3,22
≥<n n T n 2008天津卷
【解】（Ⅰ）解：由题设有12140a a a +-=，11a =，解得23a =．由题设又有22214a b b =，14b =，解
得29b =．
（Ⅱ）由题设1(3)n n nS n S +=+
1(1)(2)
n n n S n S --=+ ①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)n n na n a +=+，2n ≥．所以 3224a a =，
4335a a =，
……
1(1)(1)n n n a n a +-=+，3n ≥．
将以上各式左右两端分别相乘，
由（Ⅰ）并化简得 2(1)(1)62n n n n n a a ++=
=，3n ≥． 止式对1,2n =也成立．
由题设有2114n n n b b a ++=，所以221(2)(1)n n b b n n +=++，即1221(1)(2)
n n b b n n +⋅=++，*n N ∈． 令2(1)n n b x n =+，则11n n x x +=，即11n n
x x +=．由11x =得1n x =，1n ≥．所以21(1)n b n =+，即2(1)n b n =+，1n ≥． （Ⅲ）证明：12(1)
222122(1(1)23(1)(1))(1)n a a n n n a n b T b n b ++=-+-+
-=--++-+．
当4n k =，*k N ∈时， 22222222(42)2(41)(3454)(41)n k k k k T ----=--+++++-． 注意到2222(42)(41)(4)(41)324k k k k k ----+++=-，故 (1)(12)4324322n T k k k k k +⨯+++-=⨯
-= 224(44)4(4)343k k k k k n n ⨯==-++=+． 当41n k =-，*k N ∈时，
22224(41)(1)3(1)(2(4))3n k k k n n n T n =⨯-+=+++-+=+． 当42n k =-，*
k N ∈时， 222224(41)(4)(43(2)()3)333n k k k n n n k n T ⨯-+-=+=-=-+--+． 当43n k =-，*
k N ∈时，
22224(41)(41)3(3)(4)(23)3n k k n n T k n n ⨯-++-=+-+++=--=．
所以22*3,4333,42,,413,4n n n k n n n k T k n n k n n n N k
--=-⎧⎪---=-⎪=⎨=-⎪⎪+=∈⎩． 从而3n ≥时，有222132,
5,9,13,3312,
6,10,14,||1
2,3,7,11,3
12,
4,8,12,n n n n n T n n n n n n n ⎧+<=⎪⎪
⎪++<=⎪=⎨⎪<
=⎪⎪⎪+<=
⎩ 总之，当3n ≥时有2||
2n T n <，即2||2n T n <．。