离散数学第2章 集合-简化
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主讲：鲍永平 数学与统计科学学院
E-mail：ldbyp@163.com Tel：186 60012613
第二章 集 合
第二章 集 合
2.1 集合论的基本概念 2.2 集合上的运算 2.3* 归纳法和自然数 2.4* 语言上的运算 2.5 集合的笛卡儿乘积
2013-2014-2
鲁东大学
数学与统计科学学院
(9) A A∪B (10) A∩B A
(11) 如果A B，那么，A∪B=B
证 (1) 设 x 是任意元素， 那么 x A∪(B∩C) x A∨x ( B∩C ) x A∨ ( x B ∧ x C ) ( x A∨ x B ) ∧ ( x A ∨ x C ) (x A∪ B )∧ ( x A∪ C) x ( A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) 即 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
∪与∨对应 x是任意的，得出
∩与∧对应
2013-2014-2
即 A B B ∪ A x(x∈A ∩( B∩ C∪ ) x= ∈ (A ∩B ) ∩C)
即 A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
鲁东大学 数学与统计科学学院 鲍永平
第二章 集 合 定理 2.2-2 对任意集合 A、B 和 C 有（分配律） (1) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) (2) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 用定义 证相等
2013-2014-2
鲁东大学
数学与统计科学学院
鲍永平
第二章 集 合 定理 2.2-3 设A、B、C和 D 是论述域U 的任意子集合， 那么下列断言是真： (1) A∪A=A x A∪A x A∨x A
(2) A∩A=A
xA
即：A∪A＝A
x A∪ x A∨x
A={ a | a∈I∧0＜a∧a＜5 }, { a | a∈I∧1≤a≤50 }
S={ a | P(a) } 表示 a ∈ S 当且仅当 P(a) 是真 3）归纳定义法
2013-2014-2
见2.3（自看）
鲁东大学 数学与统计科学学院 鲍永平
第二章 集 合 注意：集合的元素可以是一个集合 A={a,b,c,D}， D={0,1}
A B x( x A x B) x( x B x A) A B x( x A x B) x( x B x A)
注意：从属关系“∈”及包含关系“
2013-2014-2
”之间的区别
鲍永平
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第二章 集 合
2013-2014-2
鲁东大学
数学与统计科学学院
鲍永平
第二章 集 合 集合的三种表示方法 1) 列举法 把集合中的元素一一列举出来
例如“所有小于5的正整数” 集合命名为A， 记为A={1, 2, 3, 4} 从1 到50 的整数集合可记为{1, 2, 3, …, 50} 2）描述法 用谓词描述出集合元素的公共特征
A
B
A 和 B 是不相交的。
2013-2014-2
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数学与统计科学学院
鲍永平
第二章 集 合 定理 2.2-1 集合的并和交运算是可交换和可结合的。 对任意A，B和C： (1) A∪B=B∪A (4) 证 设 x 是任意元素，那么 用定义 证相等
xA∩( B∩C ) 右 (1) 设 x 是论述域U的任意元素， 那么 xA ∧ x ( B ∩ C ) (2) A∩B=B∩A xx A ∪ x B A∧ x AB ∧ (x x B C) x B x A (3) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ( xA ∧ x B ) ∧ x C x B∪A x ( A ∩ B ) ∧ x C (4) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) x 是任意的, 得 x ( A ∩B)∩C 左 左 右 且 右 左 x ( x A B x B A)
鲍永平
第二章 集 合
2.1 集合论的基本概念
2.1.1 集合的概念 又称为类、族等
集合是能作为整体论述的事物的集体。
硬币的两面——正面和反面 全体正整数 坐标满足方程x2+y2≤R2的全部点 通常用大写字母 A, B, C, …代表集合 用小写字母 a, b, c, …代表元素
2013-2014-2
朴素集合论
2013-2014-2
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鲍永平
第二章 集 合 2.1.3 集合间的包含关系 定义2.1-1 设 A 和 B 是集合，如果 A 的每一元素是 B 的一个 元素， 那么 A 是 B 的子集合。 记为 A B 读做“A包含于B” 或“B包含A”
用逻辑符表示为：
A B x ( x A x B )
(2) 集合{{q}}是单元素集合， 它的子集是
{{q}}、 幂集
一般地， n 个元素的集合有 2n 个不同的子集。
2013-2014-2
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鲍永平
第二章 集 合
P60 作业 9, 12, 14(1)真; (3)假
2013-2014-2
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鲍永平
第二章 集 合
2013-2014-2
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鲍永平
第二章 集 合 *2.1.2 罗素悖论
食人岛 故事
1901 年罗素 (Bertrand Russell) 提出以 下悖论: 设论述域是所有集合的集合 , 并
定义S为下述集合
S { A | A A}
问“S是不是它自己的元素?” ;
理发师 悖论
鲍永平
第二章 集 合 外延公理（集合相等的定义） 两个集合 A 和 B 相等， 即 A = B， 当且仅当它们有相同的成员 (即：A的每一元素是B
的一个元素，而 B的每一元素也是 A 的一个元素)。
用逻辑符号表达：
A B x ( x A x B )
或
A B x( x A x B) x( x B x A)
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鲍永平
第二章 集 合 如果两个集合有相同的元素，那么不管集合 是如何表示的， 它们都相等。 (1) 列举法中, 元素的次序是无关紧要的。 { x，y，z } 与 { z，x，y } (2) 元素的可重复出现。 { x，y，x }、 { x，y }、 { x，x，x，y } (3) 集合的表示不是唯一的。 { x|x2-3x+2=0 }、 {x|x∈I∧1≤x≤2} 和{1, 2}
2.2 集合上的运算
2.2.1 并、 交和差运算 定义 2.2-1 设 A 和 B 是集合， (1) A 和 B 的并 记为 A∪B A B
A∪B={ x | x∈A∨x∈B } (2) A 和 B 的交 记为 A ∩ B A B
A∩B={ x | x∈A∧x∈B } (3) A和B的差， 或B关于A的相对补 记为 A – B = A – A∩B A-B={ x | x∈A∧x B }
能用空集构造不同集合的无限序列：
, {}, {{}}, {{{}}},
, { }, { , { }}, { , { }, { , { }}},
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鲍永平
第二章 集 合
例1
(1) 集合 { p，q } 有4个不同子集： { p，q }、{ p }、{ q }、
证 A = B x（x A x B ) x（x B x A)
AB BA
推论 2.1-2 对任何集合A，恒有A A。 集合、元素之间的关系符 、与 命题联结词∧、∨等的运算优先次序问题
2013-2014-2
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鲍永平
第二章 集 合 定理 2.1-3 设A、B、C是集合，若 A B 且 B C， 则 A C。
元素
图 2.1-1
数学与统计科学学院 鲍永平
鲁东大学
第二章 集 合 如果 a 是集合 A 的一个元素 ， 则记为 a∈A 如果 a 不是集合A的一个元素 ，则记为 读做“a不属于A” 或 “a不在A中” 读做“a属于A” 或 “a在A中”
a A
注意：任一元素， 对某一集合而言， 或属于该集合，
或不属于该集合， 二者必居其一， 不可兼得。
定理 2.1-1 对任意集合A，有 A U
论述域
证 对任意元素 x， x∈U 永真，所以
x A x U 是真
后件真（平凡证明法）
x ( x A x U )
所以
A U
用定义 证包含
2013-2014-2
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第二章 集 合 定理 2.1-2 设 A 和 B 是集合，A=B 当且仅当 A B和 B A。
这样, S是不以自身为元素的全体集合的集合 , 我们现在 假设S不是它自己的元素, 那么S不满足谓词A A, 而该谓词定 义了集合S, 所以S∈S。 另一方面, 如果S∈S, 那么S必须满足 定义S的谓词, 所以SS。
2013-2014-2
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鲍永平
第二章 集 合
罗素悖论起因于不受限制的定义集合的方 法 , 特别 , 集合可以是自己的元素的概念值得 怀疑。康脱以后创立的许多公理化集合论都直 接地或间接地限制集合成为它自己的元素 , 因 而避免了罗素悖论。
(3) A∪ =A (4) A∩ =
x 为假
xA 即：A∪ = A
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第二章 集 合
(5) A- =A
A- ＝{ x |x A ∧ x }
x 为永真 ＝ { x| x A }＝ A
即：A- = A (6) A-B A
单元素集合：仅含有一个元素的集合。 A与{A}不同 有限集合：含有有限个元素的集合。 无限集合或无穷集：不是有限集合的集合。 集合的基数或势：有限集合的元素个数。 记为| A|
无限集 Ch5
读作
A={a, b}， 则 | A |＝ |{A}|＝
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即
A
用定义 证包含
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鲍永平
第二章 集 合 定理 2.1-5 空集是唯一的。 证 设 和 ' 都是空集， 注意： 与 { }不同
由定理 2.1-4 得
'
'
根据定理 2.1-2 得
'
以序列 中在它 之前的 所有集 合为元 素
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2013-2014-2
第二章 集 合 例 1 设 A ={ a ， b ， c，d }和 B ={b ，c ，e} A∪B={ a ，b ，c ，d ， e } A∩B={ b ，c } A-B={ a ，d } B-A={ e } 定义 2.2-2 如果 A 和 B 是集合， A∩B= ，那么称
A B 有时也记作B A
称 B 是 A 的Leabharlann Baidu集
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数学与统计科学学院
鲍永平
第二章 集 合 定义2.1-2 如果 A B 且 A ≠ B，那么称 A 是 B的真子集 记作 A B 用逻辑符表示为： 读作“A真包含于B”
A B ( A B) ( A B) x( x A x B) x( x B x A)
集合相等第二种证法
直接左 边推到 右边
x A-B x A ∧ x B
用定义 证包含
xA 即：A- B A
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2013-2014-2
第二章 集 合 *(7) 如果 AB 和 CD，那么，(A∪C)(B∪D)
*(8) 如果 AB 和 CD，那么，(A∩C)(B∩D)
包含的传递性
2013-2014-2
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鲍永平
第二章 集 合 定义 2.1-3 没有元素的集合叫空集， 记为 定理 2.1-4 对任意集合 A ，有 A 证 设 x 是论述域中任意元素， 则
x
所以
永假 真（无义证明法）
x x A
x( x x A)
E-mail：ldbyp@163.com Tel：186 60012613
第二章 集 合
第二章 集 合
2.1 集合论的基本概念 2.2 集合上的运算 2.3* 归纳法和自然数 2.4* 语言上的运算 2.5 集合的笛卡儿乘积
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(9) A A∪B (10) A∩B A
(11) 如果A B，那么，A∪B=B
证 (1) 设 x 是任意元素， 那么 x A∪(B∩C) x A∨x ( B∩C ) x A∨ ( x B ∧ x C ) ( x A∨ x B ) ∧ ( x A ∨ x C ) (x A∪ B )∧ ( x A∪ C) x ( A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) 即 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
∪与∨对应 x是任意的，得出
∩与∧对应
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即 A B B ∪ A x(x∈A ∩( B∩ C∪ ) x= ∈ (A ∩B ) ∩C)
即 A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
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第二章 集 合 定理 2.2-2 对任意集合 A、B 和 C 有（分配律） (1) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) (2) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 用定义 证相等
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第二章 集 合 定理 2.2-3 设A、B、C和 D 是论述域U 的任意子集合， 那么下列断言是真： (1) A∪A=A x A∪A x A∨x A
(2) A∩A=A
xA
即：A∪A＝A
x A∪ x A∨x
A={ a | a∈I∧0＜a∧a＜5 }, { a | a∈I∧1≤a≤50 }
S={ a | P(a) } 表示 a ∈ S 当且仅当 P(a) 是真 3）归纳定义法
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见2.3（自看）
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第二章 集 合 注意：集合的元素可以是一个集合 A={a,b,c,D}， D={0,1}
A B x( x A x B) x( x B x A) A B x( x A x B) x( x B x A)
注意：从属关系“∈”及包含关系“
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”之间的区别
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第二章 集 合
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第二章 集 合 集合的三种表示方法 1) 列举法 把集合中的元素一一列举出来
例如“所有小于5的正整数” 集合命名为A， 记为A={1, 2, 3, 4} 从1 到50 的整数集合可记为{1, 2, 3, …, 50} 2）描述法 用谓词描述出集合元素的公共特征
A
B
A 和 B 是不相交的。
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第二章 集 合 定理 2.2-1 集合的并和交运算是可交换和可结合的。 对任意A，B和C： (1) A∪B=B∪A (4) 证 设 x 是任意元素，那么 用定义 证相等
xA∩( B∩C ) 右 (1) 设 x 是论述域U的任意元素， 那么 xA ∧ x ( B ∩ C ) (2) A∩B=B∩A xx A ∪ x B A∧ x AB ∧ (x x B C) x B x A (3) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ( xA ∧ x B ) ∧ x C x B∪A x ( A ∩ B ) ∧ x C (4) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) x 是任意的, 得 x ( A ∩B)∩C 左 左 右 且 右 左 x ( x A B x B A)
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第二章 集 合
2.1 集合论的基本概念
2.1.1 集合的概念 又称为类、族等
集合是能作为整体论述的事物的集体。
硬币的两面——正面和反面 全体正整数 坐标满足方程x2+y2≤R2的全部点 通常用大写字母 A, B, C, …代表集合 用小写字母 a, b, c, …代表元素
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朴素集合论
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第二章 集 合 2.1.3 集合间的包含关系 定义2.1-1 设 A 和 B 是集合，如果 A 的每一元素是 B 的一个 元素， 那么 A 是 B 的子集合。 记为 A B 读做“A包含于B” 或“B包含A”
用逻辑符表示为：
A B x ( x A x B )
(2) 集合{{q}}是单元素集合， 它的子集是
{{q}}、 幂集
一般地， n 个元素的集合有 2n 个不同的子集。
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第二章 集 合
P60 作业 9, 12, 14(1)真; (3)假
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第二章 集 合
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第二章 集 合 *2.1.2 罗素悖论
食人岛 故事
1901 年罗素 (Bertrand Russell) 提出以 下悖论: 设论述域是所有集合的集合 , 并
定义S为下述集合
S { A | A A}
问“S是不是它自己的元素?” ;
理发师 悖论
鲍永平
第二章 集 合 外延公理（集合相等的定义） 两个集合 A 和 B 相等， 即 A = B， 当且仅当它们有相同的成员 (即：A的每一元素是B
的一个元素，而 B的每一元素也是 A 的一个元素)。
用逻辑符号表达：
A B x ( x A x B )
或
A B x( x A x B) x( x B x A)
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第二章 集 合 如果两个集合有相同的元素，那么不管集合 是如何表示的， 它们都相等。 (1) 列举法中, 元素的次序是无关紧要的。 { x，y，z } 与 { z，x，y } (2) 元素的可重复出现。 { x，y，x }、 { x，y }、 { x，x，x，y } (3) 集合的表示不是唯一的。 { x|x2-3x+2=0 }、 {x|x∈I∧1≤x≤2} 和{1, 2}
2.2 集合上的运算
2.2.1 并、 交和差运算 定义 2.2-1 设 A 和 B 是集合， (1) A 和 B 的并 记为 A∪B A B
A∪B={ x | x∈A∨x∈B } (2) A 和 B 的交 记为 A ∩ B A B
A∩B={ x | x∈A∧x∈B } (3) A和B的差， 或B关于A的相对补 记为 A – B = A – A∩B A-B={ x | x∈A∧x B }
能用空集构造不同集合的无限序列：
, {}, {{}}, {{{}}},
, { }, { , { }}, { , { }, { , { }}},
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第二章 集 合
例1
(1) 集合 { p，q } 有4个不同子集： { p，q }、{ p }、{ q }、
证 A = B x（x A x B ) x（x B x A)
AB BA
推论 2.1-2 对任何集合A，恒有A A。 集合、元素之间的关系符 、与 命题联结词∧、∨等的运算优先次序问题
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第二章 集 合 定理 2.1-3 设A、B、C是集合，若 A B 且 B C， 则 A C。
元素
图 2.1-1
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第二章 集 合 如果 a 是集合 A 的一个元素 ， 则记为 a∈A 如果 a 不是集合A的一个元素 ，则记为 读做“a不属于A” 或 “a不在A中” 读做“a属于A” 或 “a在A中”
a A
注意：任一元素， 对某一集合而言， 或属于该集合，
或不属于该集合， 二者必居其一， 不可兼得。
定理 2.1-1 对任意集合A，有 A U
论述域
证 对任意元素 x， x∈U 永真，所以
x A x U 是真
后件真（平凡证明法）
x ( x A x U )
所以
A U
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第二章 集 合 定理 2.1-2 设 A 和 B 是集合，A=B 当且仅当 A B和 B A。
这样, S是不以自身为元素的全体集合的集合 , 我们现在 假设S不是它自己的元素, 那么S不满足谓词A A, 而该谓词定 义了集合S, 所以S∈S。 另一方面, 如果S∈S, 那么S必须满足 定义S的谓词, 所以SS。
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第二章 集 合
罗素悖论起因于不受限制的定义集合的方 法 , 特别 , 集合可以是自己的元素的概念值得 怀疑。康脱以后创立的许多公理化集合论都直 接地或间接地限制集合成为它自己的元素 , 因 而避免了罗素悖论。
(3) A∪ =A (4) A∩ =
x 为假
xA 即：A∪ = A
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第二章 集 合
(5) A- =A
A- ＝{ x |x A ∧ x }
x 为永真 ＝ { x| x A }＝ A
即：A- = A (6) A-B A
单元素集合：仅含有一个元素的集合。 A与{A}不同 有限集合：含有有限个元素的集合。 无限集合或无穷集：不是有限集合的集合。 集合的基数或势：有限集合的元素个数。 记为| A|
无限集 Ch5
读作
A={a, b}， 则 | A |＝ |{A}|＝
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即
A
用定义 证包含
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第二章 集 合 定理 2.1-5 空集是唯一的。 证 设 和 ' 都是空集， 注意： 与 { }不同
由定理 2.1-4 得
'
'
根据定理 2.1-2 得
'
以序列 中在它 之前的 所有集 合为元 素
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第二章 集 合 例 1 设 A ={ a ， b ， c，d }和 B ={b ，c ，e} A∪B={ a ，b ，c ，d ， e } A∩B={ b ，c } A-B={ a ，d } B-A={ e } 定义 2.2-2 如果 A 和 B 是集合， A∩B= ，那么称
A B 有时也记作B A
称 B 是 A 的Leabharlann Baidu集
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第二章 集 合 定义2.1-2 如果 A B 且 A ≠ B，那么称 A 是 B的真子集 记作 A B 用逻辑符表示为： 读作“A真包含于B”
A B ( A B) ( A B) x( x A x B) x( x B x A)
集合相等第二种证法
直接左 边推到 右边
x A-B x A ∧ x B
用定义 证包含
xA 即：A- B A
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第二章 集 合 *(7) 如果 AB 和 CD，那么，(A∪C)(B∪D)
*(8) 如果 AB 和 CD，那么，(A∩C)(B∩D)
包含的传递性
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第二章 集 合 定义 2.1-3 没有元素的集合叫空集， 记为 定理 2.1-4 对任意集合 A ，有 A 证 设 x 是论述域中任意元素， 则
x
所以
永假 真（无义证明法）
x x A
x( x x A)