高考数学异构异模复习第六章数列6.4.2数列的综合应用课件文
高三数学课件：第六章 数列 6-2
项和，若 a3＋a6＋a9＝60，则 S11＝( )
A．220
B．110
C．55
D．50
[思路引导] (1) 由公差为2，S5＝25求a1 →
由a2m＝15列方程 → 解方程得m值
(2) 由a3＋a6＋a9＝60求a6 → 利用性质求S11
[解析] (1)S5＝5a1＋5×52－1×2＝25，解得 a1＝1. 所以 a2m＝a1＋(2m－1)×2＝1＋4m－2＝15，解得 m＝4，故 选 A. (2) 因 为 a3 ＋ a6 ＋ a9 ＝ 3a6 ＝ 60 ， 所 以 a6 ＝ 20 ， 则 S11 ＝ 11×a21＋a11＝11×22a6＝11×2 40＝220.故选 A.
[答案] 2
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 等差数列的基本运算——热考点 (1)(2017·山东聊城期末)已知{an}是公差为 2 的等差
数列，前 5 项和 S5＝25，若 a2m＝15，则 m＝( )
A．4
B．6
C．7
D．8
(2)(2017·吉林长春外国语学校期末)Sn 是等差数列{an}的前 n
[答案] (1)A (2)A
等差数列运算的求解技巧 (1)在等差数列中，已知五个基本量 a1，d，n，an，Sn 中，知 三即可求二，数列的基本运算实质是基本量的运算．主要使用的 是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运 算的准确性，在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思 想的运用．
(2)等差中项 若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，
a＋b 且有 A＝ 2 .
[温馨提示] 常用此定义和等差中项来判断或证明一个数列 是等差数列．如：(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，则该数 列的通项公式为 an＝ 3n－2 .
数列高考专题突破数列的综合应用课件pptx
2. 在解决一些与长度相 关的几何问题时，可以 通过数列的递推关系式 得出结论，例如利用等 差数列的通项公式求出 某条线段的长度。
3. 数列还可以用于解决 一些与图形数量关系相 关的问题，例如利用等 差数列和等比数列的求 和公式可以求出某个图 形中线条的数量。
数列在经济中的应用
01
02
总结词：数列在经济中 的应用主要表现在利用 数列模型描述经济现象 的变化规律，以及求解 与经济决策相关的问题 。
04
数列的综合应用
数列在几何中的应用
01
02
总结词：数列在几何中 的应用涉及利用数列的 性质解决与几何图形相 关的问题，如求面积、 周长等。
详细描述
03
04
05
1. 利用等差数列和等比 数列的性质，可以求出 一些几何图形的面积或 周长，例如等差数列的 前n项和公式可以用于 求平行四边形的面积， 等比数列的前n项和公 式可以用于求圆的面积 。
前n项和公式
03
$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$。
数列的极限与收敛性
极限的定义
如果当$n$趋于无穷大时，数列$a_n$的项无限接近于某个确定的数$A$，则称$A$为数 列$a_n$的极限。
收敛性的定义
如果数列$a_n$有极限，则称该数列收敛；否则称该数列发散。
极限的存在性定理
数列的应用
实际生活中的应用
如定期存款的复利计算，贷款的月还款额 计算，物价的指数上涨等都涉及到数列的 知识。
VS
数学领域中的应用
如在微积分、统计学、计算机科学等领域 中，数列的知识都起到了重要的作用。
02
等差数列与等比数列的基 本性质
等差数列的基本性质
高考数学异构异模复习第六章数列6.1.1数列的概念及表示方法课件文
2 数列的表示方法
列表法 图象法
列表格表达 n 与 an 的对应关系 把点 (n，an) 画在平面直角坐标系中
通项公式
把数列的通项用 公式 表达的方法
公式法
递推公式 使用初始值 a1 和 an＋1＝f(an)或 a1，a2 和 an＋1＝f(an，an－1)等表达数列的方法
3 数列的分类
分类原则 按项数分类
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
(2)①各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1. ②将数列改写为1×2 2，2×2 3，3×2 4，4×2 5，5×2 6，…因而有 an＝nn＋2 1，也可逐差法 a2－a1＝2，a3 －a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式累加得 an＝nn＋ 2 1. ③奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，…； 而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3， 即奇数项为 2－1，偶数项为 2＋1， 所以 an＝(－1)n·2＋n－1n.
②作商比较法：当 an>0 时，则aan＋n 1>1⇔数列{an}是单调递增数列；aan＋n1<1⇔数列{an}是单调递减数列； aan＋n 1＝1⇔数列{an}是常数列．
当 an<0 时，则aan＋n 1>1⇔数列{an}是单调递减数列；aan＋n1<1⇔数列{an}是单调递增数列；aan＋n 1＝1⇔数列{an} 是常数列．
高考数学异构异模复习第六章数列6.4.1数列求和课件文
③2n－112n＋1＝ 122n1－1－2n1＋1 ；
④
1 n＋
n＋1＝
n＋1－ n .
(4)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个 等差 数列和一个 等比 数列的对应项之 积 构成的，那么这个数列的
前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
(5)分组求和法
2．数列{1＋2n2n
C．n＋2n－1
D．n＋2＋2n
解析 由题意得 an＝1＋2n－1， 所以 Sn＝n＋11－－22n＝n＋2n－1，故选 C.
3．在 10 到 2000 之间，形如 2n(n∈N*)的各数之和为( ) A．1008 B．2040 C．2032 D．2016
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
解析 S＝24＋25＋…＋210＝2411－－227＝(27－1)·24＝2032.
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 高考中主要考查等差等比数列的前 n 项和公式及非等差等比数列的求和方法．一般综 合性较强，对分析能力、运算能力要求高．
命题法 给出数列求和 典例 (1)已知等差数列{an}，公差 d>0，前 n 项和为 Sn，且满足 a2a3＝45，a1＋a4＝14. ①求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn； ②设 bn＝n＋Sn c，若{bn}也是等差数列，试确定非零常数 c，并求数列bn·b1n＋1的前 n 项和 Tn. (2)数列{an}的前 n 项的和为 Sn，对于任意的自然数 an>0,4Sn＝(an＋1)2. ①求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式； ②设 bn＝a3nn，求和 Tn＝b1＋b2＋…＋bn.
新人教A版版高考数学一轮复习第六章数列数列的综合应用教案文
等差数列与等比数列的综合问题（师生共研）（２0１8·高考北京卷）设{a n}是等差数列，且a１＝ln ２，a２＋a３＝５ln ２．（１）求{a n}的通项公式；（２）求e a１＋e a２＋…＋e a n.【解】（１）设{a n}的公差为d.因为a２＋a３＝５ln ２，所以２a１＋３d＝５ln ２．又a１＝ln ２，所以d＝ln ２．所以a n＝a１＋（n—１）d＝n ln ２．（２）因为e a１＝e ln ２＝２，错误!＝e a n—a n—１＝e ln ２＝２，所以{e a n}是首项为２，公比为２的等比数列．所以e a１＋e a２＋…＋e a n＝２×错误!＝２（２n—１）＝２n＋１—２．错误!等差数列、等比数列综合问题的解题策略（１）分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差（公比）等，确定解题的顺序．（２）注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于１的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．[提醒] 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要注意结论的整合．（２0２0·吉林第一次调研测试）设S n为数列{a n}的前n项和，已知a２＝３，a n＋１＝２a n＋１．（１）证明：{a n＋１}为等比数列；（２）求{a n}的通项公式，并判断n，a n，S n是否成等差数列？说明理由．解：（１）证明：因为a２＝３，a２＝２a１＋１，所以a１＝１，因为a n＋１＝２a n＋１，所以a n＋１＋１＝２（a n＋１），所以{a n＋１}是首项为２，公比为２的等比数列．（２）由（１）知，a n＋１＝２n，所以a n＝２n—１，所以S n＝错误!—n＝２n＋１—n—２，所以n＋S n—２a n＝n＋２n＋１—n—２—２（２n—１）＝0，所以n＋S n＝２a n，即n，a n，S n成等差数列．数列的实际应用与数学文化（师生共研）（２0２0·重庆八中４月模拟）某地区人口总数为４５万．实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从开始到２0２8年，每年人口总数比上一年增加0．５万人，从２0２9年开始到２0３8年，每年人口总数为上一年的99%.（１）求实施“二孩”政策后第n年的人口总数a n（单位：万人）的表达式（注：为第一年）；（２）若“二孩”政策实施后的到２0３8年人口平均值超过４9万，则需调整政策，否则继续实施，问到２0３8年结束后是否需要调整政策？（参考数据：0．99１0≈0．9）【解】（１）由题意知，当１≤n≤１0时，数列{a n}是首项为４５．５，公差为0．５的等差数列，可得a n＝４５．５＋0．５×（n—１）＝0．５n＋４５，则a１0＝５0；当１１≤n≤２0时，数列{a n}是公比为0．99的等比数列，则a n＝５0×0．99n—１0.故实施“二孩”政策后第n年的人口总数a n（单位：万人）的表达式为a n＝错误!（２）设S n为数列{a n}的前n项和．从到２0３8年共２0年，由等差数列及等比数列的求和公式得S＝S１0＋（a１１＋a１２＋…＋a２0）＝４77．５＋４9５0×（１—0．99１0）≈97２．５．２0所以“二孩”政策实施后的到２0３8年人口平均值为错误!≈４8．6３，则错误!＜４9，故到２0３8年结束后不需要调整政策．错误!数列实际应用中的常见模型（１）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差．（２）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．（３）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项a n与第n＋１项a n＋１的递推关系还是前n项和S n与前n＋１项和S n＋１之间的递推关系．１．（２0２0·广东潮州二模）我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长５尺，头部１尺，重４斤，尾部１尺，重２斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为（）Ａ．6斤Ｂ．7斤Ｃ．9斤Ｄ．１５斤解析：选Ｄ．设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{a n}，则有a１＝４，a５＝２，所以a１＋a５＝6，数列{a n}的前５项和为S５＝５×错误!＝５×３＝１５，即该金箠共重１５斤．故选Ｄ．２．１979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：５只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成５等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里１只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成５等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第２只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成５等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的３只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？解：假如我们设最初有a１个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为a２，a３，a４，a５，a6，得到一个数列{a n}，依题意，可知数列的递推公式：a n＋１＝a n—错误!（a n—１）—１，即a n＋１＝错误!（a n—１），整理变形，得a n＋１＋４＝错误!（a n＋４）．故{a n＋４}是以错误!为公比的等比数列，所以a6＋４＝（a１＋４）错误!错误!，欲使（a6＋４）∈N*，应有a１＋４＝５５m（m∈N*），故最初至少有桃子a１＝５５—４＝３１２１个，从而最后至少剩下a6＝４５—４＝１0２0个．数列与函数、不等式的综合问题（师生共研）设函数f（x）＝错误!＋错误!，正项数列{a n}满足a１＝１，a n＝f错误!，n∈N*，且n≥２．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）对n∈N*，求证：错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!<２．【解】（１）由a n＝f错误!，所以a n＝错误!＋a n—１，n∈N*，且n≥２，所以数列{a n}是以１为首项，以错误!为公差的等差数列，所以a n＝a１＋（n—１）d＝１＋错误!（n—１）＝错误!.（２）证明：由（１）可知错误!＝错误!＝４错误!，S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝４[错误!＋错误!＋错误!…＋（错误!—错误!）]＝４错误!＝２—错误!<２，得证．错误!数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略（１）数列与函数的交汇问题１已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；２已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法．（２）数列与不等式的交汇问题１函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；２放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；３比较方法：作差或者作商比较．１．（２0２0·湖南岳阳一模）曲线y＝错误!x＋ln x（n∈N*）在x＝错误!处的切线斜率为a n，则数列错误!的前n项的和为．解析：对y＝错误!x＋ln x（n∈N*）求导，可得y′＝错误!＋错误!，由曲线y＝错误!x＋ln x（n∈N*）在x＝错误!处的切线斜率为a n，可得a n＝错误!＋错误!＝n.所以错误!＝错误!＝错误!—错误!，则数列错误!的前n项的和为１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0２0·浙江杭州４月模拟）已知数列{a n}，{b n}满足a１＝１，且a n，a n＋１是函数f（x）＝x２—b n x＋２n的两个零点，则a５＝，b１0＝．解析：因为a n，a n＋１是函数f（x）＝x２—b n x＋２n的两个零点，所以a n，a n＋１是方程x２—b n x＋２n＝0的两个根，根据根与系数的关系，可得a n·a n＋１＝２n，a n＋a n＋１＝b n，由a n·a n＋１＝２n，可得a n＋１·a n＋２＝２n＋１，两式相除可得错误!＝２，所以a１，a３，a５，…成公比为２的等比数列，a２，a４，a6，…成公比为２的等比数列，又由a１＝１，得a２＝２，所以a５＝１×２２＝４，a１0＝２×２４＝３２，a１１＝１×２５＝３２，所以b１0＝a１0＋a１１＝３２＋３２＝6４．答案：４6４[基础题组练]１．（２0２0·开封市定位考试）等比数列{a n}的前n项和为S n，若a３＋４S２＝0，则公比q＝（）Ａ．—１Ｂ．１Ｃ．—２Ｄ．２解析：选Ｃ．法一：因为a３＋４S２＝0，所以a１q２＋４a１＋４a１q＝0，因为a１≠0，所以q２＋４q＋４＝0，所以q＝—２，故选Ｃ．法二：因为a３＋４S２＝0，所以a２q＋错误!＋４a２＝0，因为a２≠0，所以q＋错误!＋４＝0，即（q＋２）２＝0，所以q＝—２，故选Ｃ．２．（２0２0·宁夏银川一中一模）已知等比数列{a n}中，有a３a１１＝４a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S１３＝（）Ａ．２6 Ｂ．５２Ｃ．78 Ｄ．１0４解析：选Ｂ．设等比数列{a n}的公比为q，因为a３a１１＝４a7，所以a错误!＝４a7≠0，解得a7＝４，因为数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，所以S１３＝错误!＝１３b7＝１３a7＝５２．故选Ｂ．３．（２0２0·吉林长春５月联考）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d＞0，a6和a8是函数f （x）＝错误!ln x＋错误!x２—8x的极值点，则S8＝（）Ａ．—３8 Ｂ．３8Ｃ．—１7 Ｄ．１7解析：选Ａ．因为f（x）＝错误!ln x＋错误!x２—8x，所以f′（x）＝错误!＋x—8＝错误!＝错误!，令f′（x）＝0，解得x＝错误!或x＝错误!.又a6和a8是函数f（x）的极值点，且公差d＞0，所以a6＝错误!，a8＝错误!，所以错误!解得错误!所以S8＝8a１＋错误!×d＝—３8，故选Ａ．４．设y＝f（x）是一次函数，若f（0）＝１，且f（１），f（４），f（１３）成等比数列，则f（２）＋f（４）＋…＋f（２n）等于（）A．n（２n＋３）Ｂ．n（n＋４）Ｃ．２n（２n＋３）Ｄ．２n（n＋４）解析：选Ａ．由题意可设f（x）＝kx＋１（k≠0），则（４k＋１）２＝（k＋１）×（１３k＋１），解得k＝２，f（２）＋f（４）＋…＋f（２n）＝（２×２＋１）＋（２×４＋１）＋…＋（２×２n＋１）＝n（２n＋３）．５．（２0２0·山东临沂三模）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：１，１，２，３，５，8，１３，２１，３４，５５，…即F（１）＝F（２）＝１，F（n）＝F（n—１）＋F（n—２）（n≥３，n∈N*）．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被２除后的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前２0１9项的和为（）Ａ．67２Ｂ．67３Ｃ．１３４6 Ｄ．２0１9解析：选Ｃ．由于{a n}是数列１，１，２，３，５，8，１３，２１，３４，５５，…各项除以２的余数，故{a n}为１，１，0，１，１，0，１，１，0，１，…，所以{a n}是周期为３的周期数列，且一个周期中的三项之和为１＋１＋0＝２．因为２0１9＝67３×３，所以数列{a n}的前２0１9项的和为67３×２＝１３４6．故选Ｃ．6．（２0１9·高考北京卷）设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a２＝—３，S５＝—１0，则a５＝，S n的最小值为．解析：设等差数列{a n}的公差为d，因为错误!即错误!所以可得错误!所以a５＝a１＋４d＝0，因为S n ＝na１＋错误!d＝错误!（n２—9n），所以当n＝４或n＝５时，S n取得最小值，最小值为—１0．答案：0 —１07．若数列{a n}满足错误!—错误!＝0，则称{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{错误!}为“梦想数列”，且b１＋b２＋b３＝１，则b6＋b7＋b8＝．解析：由错误!—错误!＝0可得a n＋１＝错误!a n，故{a n}是公比为错误!的等比数列，故{错误!}是公比为错误!的等比数列，则{b n}是公比为２的等比数列，b6＋b7＋b8＝（b１＋b２＋b３）２５＝３２．答案：３２8．（２0２0·河北石家庄４月模拟）数列{a n}的前n项和为S n，定义{a n}的“优值”为H n＝错误!，现已知{a n}的“优值”H n＝２n，则S n＝．解析：由H n＝错误!＝２n，得a１＋２a２＋…＋２n—１a n＝n·２n，１当n≥２时，a１＋２a２＋…＋２n—２a n—１＝（n—１）２n—１，２由１—２得２n—１a n＝n·２n—（n—１）２n—１＝（n＋１）２n—１，即a n＝n＋１（n≥２），当n＝１时，a１＝２也满足式子a n＝n＋１，所以数列{a n}的通项公式为a n＝n＋１，所以S n＝错误!＝错误!.答案：错误!9．（２0２0·武汉市部分学校调研）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a１＝—１，b１＝１，a２＋b２＝３．（１）若a３＋b３＝7，求{b n}的通项公式；（２）若T３＝１３，求S n.解：（１）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则a n＝—１＋（n—１）d，b n＝q n—１.由a２＋b２＝３，得d＋q＝４，１由a３＋b３＝7，得２d＋q２＝8，２联立１２，解得q＝２或q＝0（舍去），因此{b n}的通项公式为b n＝２n—１.（２）因为T３＝b１（１＋q＋q２），所以１＋q＋q２＝１３，解得q＝３或q＝—４，由a２＋b２＝３得d＝４—q，所以d＝１或d＝8．由S n＝na１＋错误!n（n—１）d，得S n＝错误!n２—错误!n或S n＝４n２—５n.１0．（２0２0·湖南省湘东六校联考）已知数列{a n}的前n项和S n满足错误!＝错误!＋１（n≥２，n ∈N），且a１＝１．（１）求数列{a n}的通项公式a n；（２）记b n＝错误!，T n为{b n}的前n项和，求使T n≥错误!成立的n的最小值．解：（１）由已知有错误!—错误!＝１（n≥２，n∈N），所以数列{错误!}为等差数列，又错误!＝错误!＝１，所以错误!＝n，即S n＝n２.当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝n２—（n—１）２＝２n—１．又a１＝１也满足上式，所以a n＝２n—１．（２）由（１）知，b n＝错误!＝错误!错误!，所以T n＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!.由T n≥错误!得n２≥４n＋２，即（n—２）２≥6，所以n≥５，所以n的最小值为５．[综合题组练]１．（２0２0·北京市石景山区３月模拟）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{a n}满足a１＝１，且a n＝错误!则解下４个环所需的最少移动次数a４为（）Ａ．7 Ｂ．１0Ｃ．１２Ｄ．２２解析：选Ａ．因为数列{a n}满足a１＝１，且a n＝错误!所以a２＝２a１—１＝２—１＝１，所以a３＝２a２＋２＝２×１＋２＝４，所以a４＝２a３—１＝２×４—１＝7．故选Ａ．２．已知a n＝３n（n∈N*），记数列{a n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，错误!k≥３n—6恒成立，则实数k的取值范围是．解析：T n＝错误!＝—错误!＋错误!，所以T n＋错误!＝错误!，则原不等式可以转化为k≥错误!＝错误!恒成立，令f（n）＝错误!，当n＝１时，f（n）＝—错误!，当n＝２时，f（n）＝0，当n＝３时，f（n）＝错误!，当n＝４时，f（n）＝错误!，即f（n）是先增后减，当n＝３时，取得最大值错误!，所以k≥错误!.答案：k≥错误!３．（２0１9·高考江苏卷节选）定义首项为１且公比为正数的等比数列为“M—数列”．（１）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a２a４＝a５，a３—４a２＋４a１＝0，求证：数列{a n}为“M—数列”；（２）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b１＝１，错误!＝错误!—错误!，其中S n为数列{b n}的前n项和．求数列{b n}的通项公式．解：（１）证明：设等比数列{a n}的公比为q，所以a１≠0，q≠0．由错误!得错误!解得错误!因此数列{a n}为“M—数列”．（２）因为错误!＝错误!—错误!，所以b n≠0．由b１＝１，S１＝b１，得错误!＝错误!—错误!，则b２＝２．由错误!＝错误!—错误!，得S n＝错误!，当n≥２时，由b n＝S n—S n—１，得b n＝错误!—错误!，整理得b n＋１＋b n—１＝２b n.所以数列{b n}是首项和公差均为１的等差数列．因此，数列{b n}的通项公式为b n＝n（n∈N*）．４．（２0２0·湖北襄阳二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足：a１＝１，S n＋１—１＝S n＋a n，数列{b n}为等比数列，满足b１＝４b３，b２＝错误!＜b１，n∈N*.（１）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（２）若数列错误!的前n项和为W n，数列{b n}的前n项和为T n，试比较W n与错误!的大小．解：（１）由S n＋１—１＝S n＋a n，可得a n＋１＝a n＋１，又a１＝１，所以数列{a n}是首项和公差均为１的等差数列，可得a n＝n.因为数列{b n}为等比数列，满足b１＝４b３，b２＝错误!＜b１，n∈N*，所以设公比为q，可得b１＝４b１q２，所以q＝±错误!，当q＝错误!时，错误!b１＝错误!，可得b１＝错误!＞错误!.当q＝—错误!时，—错误!b１＝错误!，得b１＝—错误!，不满足b２＜b１，舍去，所以b n＝错误!错误!.（２）错误!＝错误!＝错误!—错误!，W n＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝１—错误!＝错误!＜１．T n＝错误!＝１—错误!∈错误!，则１＜错误!≤２，故W n＜错误!.规范答题示范（三）数列类型一判断等差数列和等比数列（１２分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，已知错误!１（１）求{a n}的通项公式；（２）求S n，并错误!２[建桥寻突破]１看到S２＝２，S３＝—6，想到S２＝a１＋a２，S３＝a １＋a２＋a３，利用等比数列的通项公式求解．２看到判断S n＋１，S n，S n＋２是否成等差数列，想到等差数列的等差中项，利用２S n＝S n＋１＋S n＋２进行证明.[规范解答]（１）设{a n}的首项为a１，公比为q，由题设可得错误!２分错误!解得q＝—２，a１＝—２．４分错误!故{a n}的通项公式为a n＝（—２）n.6分错误!（２）由（１）可得S n＝错误!＝—错误!＋（—１）n错误!，8分错误!由于S n＋２＋S n＋１＝—错误!＋（—１）n错误!＝２错误!＝２S n，１１分错误!故S n＋１，S n，S n＋２成等差数列.１２分错误![评分标准]１列出关于首项为a１，公比为q的方程组得２分；２能够正确求出a１和q得２分，只求对一个得１分，都不正确不得分；３正确写出数列的通项公式得２分；４正确计算出数列的前n项和得２分；５能够正确计算出S n＋１＋S n＋２的值得２分，得出结论２S n＝S n＋１＋S n＋２再得１分；⑥写出结论得１分.[解题点津]（１）等差（或等比）数列的通项公式，前n项和公式中有五个元素a１、d（或q）、n、a n、S n，“知三求二”是等差（等比）的基本题型，通过解方程组的方法达到解题的目的．（２）等差、等比数列的判定可采用定义法、中项法等．如本题采用中项法得出２S n＝S n＋１＋S n＋２.[核心素养]数列问题是高考的必考题，求数列的通项公式及判断数列是否为等差或等比数列是高考的常见题型．本类题型重点考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养.类型二求数列的前n项和（１２分）已知{a n}为等差数列，前n[建桥寻突破]。
2019-2020年高考数学异构异模复习第六章数列6.4.2数列的综合应用撬题文
2019-2020年高考数学异构异模复习第六章数列6.4.2数列的综合应用撬题文1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D解析 由题可知a ，b 是x 2－px ＋q ＝0的两根， ∴a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，故a ，b 均为正数． ∵a ，b ，－2适当排序后成等比数列， ∴－2是a ，b 的等比中项，得ab ＝4， ∴q ＝4.又a ，b ，－2适当排序后成等差数列， 所以－2是第一项或第三项，不防设a <b ， 则－2，a ，b 成递增的等差数列，∴2a ＝b －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4，消去b 得a 2＋a －2＝0， 得a ＝1或a ＝－2，又a >0， ∴a ＝1，此时b ＝4， ∴p ＝a ＋b ＝5， ∴p ＋q ＝9，选D.2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 3n －1解析 由3S 1,2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，则3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1qn －1＝3n －1.3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案 －1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.4.设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n.解 (1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)． 令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. (2)证明：由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝2n －122n 2>2n －12－12n 2＝2n －22n ＝n －1n.所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得对任意的n ∈N *，都有T n ≥14n.5．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)． (1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n . 解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n n －12d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n.所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n2n ＝2n ＋1－n －22n.所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. 6．已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)bn (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8，又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n(n ∈N *)．所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n n ＋12＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)． ②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0， 当n ≥5时，c n ＝1nn ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤nn ＋12n－1，而n n ＋12n－n ＋1n ＋22n ＋1＝n ＋1n －22n ＋1>0，得n n ＋12n ≤5·5＋125<1. 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．解 (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n＝a m .所以{a n }是“H 数列”．(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1，从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n 3－n2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n 3－n2，使得S n ＝2－m ＝a m .所以{a n }是“H 数列”．因此d 的值为－1.(3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)．下证{b n }是“H 数列”． 设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n n ＋12a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n n ＋12，使得T n ＝b m .所以{b n }是“H 数列”．同理可证{c n }也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．。
§6.4 数列的综合应用(讲解部分) 高考数学(课标版,文科)复习课件
常见的裂项方法:
数列(n为正整数)
1 n(n
k)
(k为非零常数)
1
4n
2
-1
1
n n 1
loga
1
1 n
(a>0,且a≠1)
裂项方法
1=
n(n k)
1 k
1 n
n
1
k
(k≠0)
1=
4n2 -1
1 2
12n-1
1 2n 1
1 = n 1- n
n n 1
loga
1
1 n
=loga(n+1)-
an+1=3Sn+1. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2
an1
,求数列
bn an
的前n项和Tn.
解析 (1)由an+1=3Sn+1,得an=3Sn-1+1(n≥2), 两式相减得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an(n≥2), 故an+1=4an(n≥2), 因为a1=1,a2=3S1+1=3a1+1=4,
(2)由已知及(1)得bn=
n2
2n 1 (2n 2)2
=
1 4
1 n2
-
(n
1 1)2
,
所以Tn=
1 4
1-
1 22
1 22
-
1 32
?
1 n2Biblioteka (n1 1)2=1 4
1
(n
1 1)2
=
1 4
-1
4(n 1)2
.
例2 (2018山西太原五中模拟,19)已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,
高考数学异构异模复习第六章数列6.2.1等差数列的概念及运算课件文
1．思维辨析 (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2.( √ ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( √ ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数．( × ) (5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．( × )
命题法 2 等差数列的判定与证明 典例 2 数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)设 bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋2＝2an＋1－an＋2， ∴bn＋1－bn＝an＋2－an＋1－(an＋1－an) ＝2an＋1－an＋2－2an＋1＋an＝2. ∴{bn}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列． (2)由(1)得 bn＝1＋2(n－1)，即 an＋1－an＝2n－1， ∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5， …，an－an－1＝2n－3，累加法可得 an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝(n－1)2， ∴an＝n2－2n＋2.
解析 ∵S3＝3a1＋ 2 a3＝3a2＝12，∴a2＝4. ∵a1＝2，∴d＝a2－a1＝4－2＝2. ∴a6＝a1＋5d＝12.故选 C.
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前 n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等 差数列，由 n，an，Sn，a1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力．
高考数学异构异模复习第六章数列6.2.2等差数列的性质及应用课件文
[错解]
[错因分析] 等差数列的前 n 项和最值问题，可以通过找对称轴来确定，本题只关注到 n∈N*，并未关 注到 n＝1 与 n＝2 时，S1＝S2，导致错误．
[心得体会]
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
－k＋1＝….
(2)等差数列{an}中，当 m＋n＝p＋q 时， 特别地，若 m＋n＝2p，则 2ap＝am＋an
am＋an＝ap＋aq (m，n，p，q∈N*)． (m，n，p∈N*)．
(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为 md (k，m∈ N*)．
命题法 1 等差数列性质的应用 典例 1 等差数列{an}中，如果 a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前 9 项的和为( ) A．297 B．144 C．99 D．66
[解析] 由 a1＋a4＋a7＝39，得 3a4＝39，a4＝13. 由 a3＋a6＋a9＝27，得 3a6＝27，a6＝9. 所以 S9＝9a1＋ 2 a9＝9a4＋ 2 a6＝9×123＋9＝9×11＝99，故选 C.
高考数学异构异模复习第六章数列6.3.1等比数列的概念及运算课件文
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
5 等比数列的单调性 当 q>1，a1>0 或 0<q<1，a1<0 时，{an}是递增数列； 当 q>1，a1<0 或 0<q<1，a1>0 时，{an}是递减数列； 当 q＝1 时，{an}是常数列．
注意点 等差中项与等比中项的区别 两个数的等差中项只有一个，两个同号且不为 0 的数的等比中项有两个.
1．思维辨析 (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列. ( × ) (2)满足 an＋1＝qan(n∈N*，q 为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (3)G 为 a，b 的等比中项⇔G2＝ab.( × ) (4)数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n 项和为 Sn＝a11－－aan.( × )
a111－－qq3＝7， (1)易得 q≠1，由题意得a111－－qq6＝63，
两式相除得 1＋q3＝9，所以 q＝2.
(2)由 a8＝a6＋2a4，两边都除以 a4，得 q4＝q2＋2，即 q4－q2－2＝0⇔(q2－2)(q2＋1)＝0，∴q2＝2. ∵a2＝1，∴a6＝a2q4＝1×22＝4.
2．设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5＝16，则数列{an}前 7 项的和为( )
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⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
【解题法】 1.等差、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通 项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序． (2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等 于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也 是巨大的． 2．数列综合应用题的解题步骤 (1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题． (2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、 函数问题、解析几何问题、不等式问题等．
设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*. (1)求 a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前 n 项和．
[正解] (1)同上 (2)由(1)知，nan＝n·2n－1. 记数列{n·2n－1}的前 n 项和为 Bn，于是 Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，③ 2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.④ ③－④得 －Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n. 从而 Bn＝1＋(n－1)·2n.
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
第六章 数列
第4讲 数列求和、数列的综合应用
考点二 数列的综合应用
撬点·基础点 重难点
1 等差数列与等比数列比较表 等差数列
通项
(1)an＝ a1＋(n－1)d
公式
(2)an＝ am＋(n－m)d
等比数列 (1)an＝ a1qn－1 (2)an＝ am·qn－m
前n 项和 公式
na1＋an
Sn＝
2
或 Sn＝ na1＋nn－2 1d
na1，q＝1， Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq，
q≠1
常用 若 m，n，p，q∈N*，m＋n＝p 若 m，n，p，q∈N*，m＋n＝p＋q，
性质 ＋q，则 am＋an＝ap＋aq
则 aman ＝ apaq
2 数列实际应用中的常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个 固定 量，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就
命题法 1 等差等比的综合应用 典例 1 (1)在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. ①求数列{an}的通项公式； ②令 bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列； ③求数列{nbn}的前 n 项和 Tn. (2)某国采用养老储备金制度，要求公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳 的数目均比上一年增加 d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目 a1，a2，…是一个公差为 d 的等差数列．与 此同时，国家给予优惠的计息政策：不仅采用固定利率，而且复利计算．这就是说，如果固定年利率为 r(r>0)， 那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为 a2(1＋r)n－2，…. 以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额． ①写出 Tn 与 Tn－1(n≥2)的递推关系式； ②求证：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列．
即921－2n1＋1<m－22004对一切 n∈N*成立， 又921－2n1＋1随 n 递增，且921－2n1＋1<29， ∴92≤m－22004，∴m≥2013，∴mmin＝2013.
【解题法】 1.解决数列与函数问题的注意点 (1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一 群孤立的点． (2)转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的 问题． (3)利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化． 2．数列中的不等式问题处理方法 (1)函数法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的 不等式特殊赋值得出数列中的不等式． (2)放缩法：数列中不等式可以通过对中间过程或最后的结果放缩得到． (3)比较法：作差或者作商比较法．
(2)①Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)． ②证明：T1＝a1，对 n≥2 反复使用(1)中关系式，得 Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an＝…＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋an－1(1＋r)＋an ①. 在①式两端同乘以(1＋r)，得 (1＋r)Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n－1＋…＋an－1(1＋r)2＋an(1＋r) ②. ②－①，得 rTn＝a1(1＋r)n＋d[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)]－an＝dr[(1＋r)n－1－r]＋a1(1＋r)n－an， 即 Tn＝a1rr＋2 d(1＋r)n－drn－a1rr＋2 d. 如果记 An＝a1rr＋2 d(1＋r)n，Bn＝－a1rr＋2 d－drn， 则 Tn＝An＋Bn， 其中{An}是以a1rr＋2 d(1＋r)为首项，1＋r(r>0)为公比的等比数列，{Bn}是以－a1rr＋2 d－dr为首项，－dr为 公差的等差数列．
m.
[解] (1)∵an＋1＝fa1n＝2＋33an＝an＋32， ∴{an}是以23为公差，首项 a1＝1 的等差数列， ∴an＝32n＋13.
(2)当 n≥2 时， bn＝an－11an＝23n－13123n＋31 ＝922n1－1－2n1＋1， 当 n＝1 时，上式同样成立． ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝921－31＋13－51＋…＋2n1－1－2n1＋1 ＝921－2n1＋1， ∵Sn<m－22004，
是 公差 ． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个
就是 公比 ．
固定的数
，该模型是等比模型，这个固定的数
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑是 an 与 an＋1 的递推关系，还是前 n 项和 Sn 与前 n＋1 项和 Sn＋1 法求{nan}的前 n 项和时，易出现以下三个错误：一是出现某些项的遗漏； 二是项数的计算错误；三是两式相减时，等比数列前面的系数出错．
[心得体会]
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
[解] (1)①设数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d，由 a10＝30，a20＝50，得方程组aa11＋ ＋91d9＝ d＝3050 ，
解得ad＝1＝212 . 所以 an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10. ②证明：由①，得 bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n， 所以bbn＋n 1＝44n＋n 1＝4. 所以{bn}是首项为 4，公比为 4 的等比数列． ③由 nbn＝n×4n，得 Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n ①， 4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1 ②， ①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1＝41－－34n－n×4n＋1. 所以 Tn＝3n－1×9 4n＋1＋4.
注意点 等差与等比模型的区别 一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题是可以通 过转化得到等差或等比数列.
1．思维辨析 (1)若{ln an}是等差数列，则{an}是等比数列．( √ ) (2)1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5＝11－－bb5.( × ) (3)利用函数的方法研究数列问题时应注意题目中的限制条件，尤其是定义域．( √ )
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
2．一个球从 100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第 10 次着地时，
经过的路程是( )
A．100＋200×(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)
C．200(1－2－9)
D．100(1－2－9)
解析 当第 10 次着地时，经过的路程为：100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋200×(2－1＋2－2＋… ＋2－9)＝100＋200(1－2－9)．
3 数列与函数、不等式的综合问题
(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子