选修二 1.3.1 二项式定理1
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高中数学选修2-3优质课件：1.3.1 二项式定理
是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具
体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非
负整数，求解方式与求有理项一致.
跟踪训练 3 (1)若x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84，则 a＝__1____. 解析 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9， k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数，根据题意得C39 (－a)3＝－84， 解得a＝1.
题型探究
类型一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式.
解答
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋ …＋(－1)nCnn. 解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn (x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式(3 x－32x)10. (1)求展开式第4项的二项式系数； 解 (3 x－32x)10 的展开式的通项是
Tk＋1＝Ck10(3 x)10－k(－32x)k＝Ck10310－k(－23)k·x10－23k (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究
将例1(1)改为求(2x－
1 x2
)5的展开式.
解 方法一 (2x－x12)5＝C05(2x)5－C15(2x)4·x12＋C25(2x)3·(x12)2－C35(2x)2·(x12)3＋
1.3.1 二项式定理 课件(人教A选修2-3)
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)x2＋2
1
10
x
的展开式的第
5
项为
T5＝C410·(x2)6·21 x4＝C410·124·x12· 1x4＝1805x10.
(2)设第 k＋1 项为常数项，
则
Tk
＋
1
＝
C
k 10
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n}) 叫做二项式系数． (3)展开式中的 Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1 ， 它表示展开式的第 k＋1 项．
(4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式 (1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn.
()
A．10
B．－10
C．40
D．－40
解析：二项式(2x2－1x)5 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x2)5
－r(－1x)r＝Cr5·25－r×(－1)rx10－3r，当 r＝3 时，含有 x，其系数
为 C35·22×(－1)3＝－40. 答案：D
4．已知二项式x2＋21 x10. (1)求展开式中的第 5 项；
＋C44·( 1x)4 ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
法二：(3 x＋ 1x)4＝3x＋ x2 14 ＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
1.3.1二项式定理1-人教A版高中数学选修2-3课件
a4
C
1 4
a
3b
C
2 4
a
2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
猜想 (a b)n ?
探究3：请分析(a+b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab )(ab)
n
①项： a n a n1b … ankbk … bn
②系数：
C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析a nk b k
k个(a b)中选b n个(a b)相乘 n k个(a b)中选a
b
C
k n
a
nk
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
①项数： 共有n＋1项
②次数：各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
③二项式系数:
C
k n
(k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项:
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
概念理解
(a
b)n
C
0 n
a
作业：P37 4
Cnk
③展开式：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n1
b
C
k n
a
n
k
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
定理的证明
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。
高中数学选修2(新课标)课件1.3.1二项式定理
答案：D
4．设二项式（ x－ 1 ）5 的展开式中常数项为 A，则 A＝ 3 x
________.
解析：Tr＋1＝Cr5x
5 r 2
(－1)r·x
r 3
，
令5－2 r－3r＝0 得 r＝3，
所以 A＝C35(－1)3＝－10.
答案：－10
类型一 二项式定理的正用与逆用
例 1 (1)设 S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，它等
跟踪训练 1 (1)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2 ＋5(x－1)；
(2)Cn04n－1＋C1n4n－2＋C2n4n－3＋…＋Cnn－140＋Cnn4－1(n∈N*)．
解析：(1)原式＝C50(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C53(x－1)2＋ C45(x－1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
(2)设二项式(x－ a )6(a＞0)的展开式中 x3 的系数为 A，常数项 x
为 B.若 B＝4A，则 a 的值是________．
【解析】
(2)解法一：(x－
a )6 x
的展开式的通项为
Tr＋1＝Cr6x6
－r·(－
ax)r＝Cr6(－a)rx
6-
3 2
r
.
分别令 6－32r＝0,6－32r＝3，解得 r＝4，r＝2，则 B＝C46(－a)4，
∈Z，即 4＋3－6 k∈Z，所以 k＝3 或 k＝9.
当 k＝3 时，276－k＝4，T4＝(－1)3×C39x4＝－84x4；
当 k＝9 时，276－k＝3，T10＝(－1)9×C99x3＝－x3，
即( x－3 x)9 的展开式中含 x 的有理项共有 2 项． 答案：(3)2
4．设二项式（ x－ 1 ）5 的展开式中常数项为 A，则 A＝ 3 x
________.
解析：Tr＋1＝Cr5x
5 r 2
(－1)r·x
r 3
，
令5－2 r－3r＝0 得 r＝3，
所以 A＝C35(－1)3＝－10.
答案：－10
类型一 二项式定理的正用与逆用
例 1 (1)设 S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，它等
跟踪训练 1 (1)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2 ＋5(x－1)；
(2)Cn04n－1＋C1n4n－2＋C2n4n－3＋…＋Cnn－140＋Cnn4－1(n∈N*)．
解析：(1)原式＝C50(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C53(x－1)2＋ C45(x－1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
(2)设二项式(x－ a )6(a＞0)的展开式中 x3 的系数为 A，常数项 x
为 B.若 B＝4A，则 a 的值是________．
【解析】
(2)解法一：(x－
a )6 x
的展开式的通项为
Tr＋1＝Cr6x6
－r·(－
ax)r＝Cr6(－a)rx
6-
3 2
r
.
分别令 6－32r＝0,6－32r＝3，解得 r＝4，r＝2，则 B＝C46(－a)4，
∈Z，即 4＋3－6 k∈Z，所以 k＝3 或 k＝9.
当 k＝3 时，276－k＝4，T4＝(－1)3×C39x4＝－84x4；
当 k＝9 时，276－k＝3，T10＝(－1)9×C99x3＝－x3，
即( x－3 x)9 的展开式中含 x 的有理项共有 2 项． 答案：(3)2
高中数学 1.3.1二项式定理课件 新人教A版选修23[1]
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二项式定理(dìnglǐ) 思维导航 1．我们已知(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，展开式中有3项；运 用多项式乘法可以求得(a＋b)3、(a＋b)4的展开式，并且它们分 别(fēnbié)有4项、5项，你能用类比归纳的方法得出(a＋b)n(n≥2) 的展开式吗？
第八页，共38页。
新知导学 1．二项展开式的推导：(a＋b)n(n∈N*)是 n 个因式(a＋b) 的积，按多项式乘以多项式的法则，可知确定乘积展开式中的 每一项，需要看有多少个因式(a＋b)中取 a，多少个因式(a＋b) 中取 b，如果从 k 个因式中选取 b，则就有__n_－__k____个因式中 选 a.∴积式为 an－kbk(k＝0、1、2、…、n)的形式的项共有__C_nk___ 个．合并同类项后为 _____C_nk_a_n－_k_b_k__________.因此(a ＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C__1na_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rb_r_＋__…__＋__C_nn_－_1a_b_n_－_1_＋__C_nn_b_n__这个公式 叫做二项式定理．
D．－40
[解析] Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(－x23)r＝Cr5x10－2r·(－2)r·x－3r ＝C5r (－2)r·x10－5r. 令 10－5r＝0，∴r＝2，常数项为 C25×4＝40.
第二十页，共38页。
若
x＋ 1 4
2
n x
展开式中前三项系数依次成等差
数列．求：
(1)展开式中含 x 的一次幂的项；
第三十一页，共38页。
[方法规律总结] 二项式系数与项的系数是两个不同的概 念，前者仅与二项式的指数及项数有关(yǒuguān)，与二项式的 构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数及项数均有关 (yǒuguān)．
1.3.1二项式定理课件-高二数学人教A版选修2-3
2 x
6
的展开式的常数项是
240
2.
1
1 x
10的展开式中含
1 x3 项的系数是
120
五、课堂小结
思想共鸣 经验共享
你
1.二项式定理
学
到
了
a b n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn n N *
什
么
2.二项展开式的通项
Tk1 Cnk ankbk，k 0,1, 2,…, n
C
0 3
a
3
C
1a
3
2b
C 32ab 2
C
3 3
b
3
思想共鸣 经验共享
请同学们类比 (a+b)2 ，(a+b)3的展开式的特
征及方法，你能直接写出 (a+b)4 的展开式
吗？
第 二
（ （ a a+ b ) b4 ） = 2( a + Cb ) 20( a a+ 2 b ) ( Ca + 21ab （ b) a + Cb 2) 2b2
恰有1个括号取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个括号取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2
对(a+b)3展开式的分析：
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
项的形式： a 3 a 2b ab2 b3
探
（a b）3= C 4 0 Ca 4 30+ aC 3 4 1 a 3 Cb + 31aC 24 2 ba 2 b 2 C+ 3C 2a4 3 a bb 23 + C C4 4 3b 3b4 3
高中数学人教A版选修2-3课件1.3.1 二项式定理ppt版本
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于 形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行 必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式 (a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提.
2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从 高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是 正负相间,那么是(a-b)n的形式.
⋯+(-1)������C������������ ·(x+1)n-r+…+(-1)������C������������ = [(������ + 1) − 1]������ = ������������.
(3)可设 Sn= C���1��� + 3C���2��� + 9C���3��� + ⋯+3n-1C������������ ,
1 2
8-������ C8������ ������8-43������ (0 ≤k≤8,k∈N).
令
8−
4 3
������
=
0,
得k=6,T7=(-1)6
1 2
8-6 C86
= 7.
(2)展开式的通项为 Tk+1= C9������ ������9 − ������(−������)������
(3)( x − 3 ������)9 展开式中含������的有理项共有_______项.
解析:(1)展开式的通项为 Tk+1= C8������
������ 2
8-������
选修2-3第一章1-3-1二项式定理
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1 4 x＋ 解 (1)法一 x 1 2 1 4 3 2 0 1 2 ＝ C43 x ＋ C43 x · ＋ C43 x · ＋ x x 1 3 1 4 3 4 ＋ C4· C43 x · x x 12 1 2 ＝ 81x ＋ 108x＋ 54＋ ＋ 2. x x 1 4 （ 3x＋ 1） 4 法二 3 x＋ ＝ x2 x 1 ＝ 2(81x4＋ 108x3＋ 54x2＋ 12x＋ 1) x 12 1 2 ＝ 81x ＋ 108x＋ 54＋ ＋ 2. x x 5 1 4 2 3 3 2 4 (2)原式＝ C0 5(x－ 1) ＋ C5(x－ 1) ＋ C5(x－ 1) ＋ C5(x－1) ＋ C5(x 5 5 － 1)＋ C5 － 1 ＝ [( x － 1) ＋ 1] － 1 ＝ x － 1. 5
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3
规律方法
运用二项式定理展开二项式，要记准展开式公
式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要 搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的
区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的
求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及 各项的系数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．对通项公式的理解 n－ r r n (1)通项 Tr＋1＝ Cr a b 是 ( a ＋ b ) 的展开式的第 r＋ 1 项，这里 r n ＝ 0， 1，…， n. n－ r r n (2)二项式(a＋ b)n 的第 r＋ 1 项 Cr a b 和 ( b ＋ a ) 的展开式的第 r n n－ r r ＋ 1 项 Cr b a 是有区别的，应用二项式定理时，其中的 a 和 b n 是不能随便交换的． (3)注意二项式系数 Cr 二 n与展开式中对应项的系数不一定相等， 项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． (4)通项公式是在 (a＋ b)n 这个标准形式下而言的， 如 (a－ b)n 的二 n－ r r 项展开式的通项公式是 Tr＋1＝ (－ 1)rCr b (只需把－ b 看成 b na n－ r r 代入二项式定理 )，这与 Tr＋ 1＝ Cr a b 是不同的，在这里对应 n 项的二项式系数是相等的都是 Cr 但项的系数一个是 (－ 1)rCr n， n， 一个是 Cr n，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念．
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
人教版高中数学选修2-3教案：1.3.1二项式定理
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
数学选修2-3 1.3.1二项式定理
填一填
(x+2)8 的展开式中的第 6 项为 ,其二项式系数为 . 5 3 5 5 解析:展开式的第 6 项是 T6=C8 x· 2 =1 792x3,其二项式系数为C8 . 答案:1 792x3 56
-5-
1.3.1 二项式定理
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X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一二项式定理
1.简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开;对于形式较复杂 的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再 展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二 项式定理有关的问题的前提. 2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点.a 的指数是从高到 低,b 的指数是从低到高,a,b 的指数和都相等;如果项的系数是正负相间,则 是(a-b)n 的形式.
3
2x)
20-k
·-
∵系数为有理数,∴40-5k 是 6 的倍数,0≤k≤20,k∈Z,∴k=2,8,14,20.
答案:(1)C (2)A
-13-
1 ������ 2
= -
2 2
������
· ( 2)
3
20-k ������
C20 · x
20-k
=(-1)
k
40-5������ · 2 6 C������
0 C4 · (2
4
解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简:
1 4 ������
+
(2)原式 0 5 1 2 3 4 =C5 (x-1)5+C5 (x-1)4+C5 (x-1)3+C5 (x-1)2+C5 (x-1)+C5 -1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.
【原创】人教A版选修2-3：第一章 1.3 1.3.1 二项式定理
答案：C
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题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题
结束
3．若(x2－a)x＋1x10 的展开式中 x6 的系数为 30，则 a 等于(
)
A．13
B．12
C．1
D．2
解析：依题意，注意到x＋1x10 的展开式的通项公式是
Tr＋1＝Cr10·x10－r·1xr＝C1r 0·x10－2r，
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[活学活用]
1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为( )
A．x4
B．(x－1)4
C．(x＋1)4
D．x4－1
解析： (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)4 ＋C14(x＋1)3(－1)1＋C24(x＋1)2(－1)2＋C34(x＋1)(－1)3＋C44(x＋ 1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4.
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[小试身手]
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1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．
(× )
(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同． ( × )
(3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．
(× )
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与展开式中的特定项有关的问题
题点一：求展开式中的特定项
1．x2－21x6 的展开式中，常数项是(
)
A．－54
【数学】1.3.1《二项式定理1》课件(新人教B版选修2-3)
x4.
15
3.(1 +
x) + (1 + x) + (1 + x) + L + (1 + x)
2 3
1820 展开式中含x 项的系数为___________ ___________。 展开式中含 3项的系数为___________。
r 2.二项展开式的通项： 2.二项展开式的通项： Tr+1 = Cn an−r br 二项展开式的通项
0 Cn、 n、 n、 n、 、 n C1 C2 C3 L Cn
3.二项式系数：是指二项展开式中各项的组合数， 3.二项式系数：是指二项展开式中各项的组合数，即： 二项式系数
C 、 、 、 、、 C C C L C
1.在n=1,2,3,4时，研究 在 的展开式. 时 研究(a+b)n的展开式 (a+b)1= a+b , (a+b)2= a2+2ab+b2 , (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 , (a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 . 1 1 2.列出上述各展开式的系数 列出上述各展开式的系数: 2.列出上述各展开式的系数:
问：第四项的系数是多少？二项式系数又是多少？不 第四项的系数是多少？二项式系数又是多少？ 展开你能求出来吗？ 展开你能求出来吗？
x 3 9 求： ( + ) 3 x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项 ③展开式中的有理项
x 9− r 3 r r 2 r −9 Tr +1 = C ( ) ( ) = C9 ⋅ 3 x 3 x
0 1 r n (a + b)n = Cn an + Cnan−1b +L+ Cn an−rbr +L+Cn bn
高中数学选修1.3.1-二项式定理人教版ppt课件
9
r 1 r 9 2 r . 1 C9 x x
r
依题意, 得9 2r 3, r 3.
所以，展开式中含x 3的项为
3 3 T31 1 C9 x 84 x 3 . 3
它是展开式的第4项.
1.若（ 1
C ) 2)5 a b 2(a, b为有理数），则a b (
§1.3.1 二项式定理
■请你观察
( a+ b) 2 与
( a+ b) 3
的展开式并思考：
①展开式中这些类型的项是如何得到的？ 各项有何特征？
②展开式中各项的系数是如何确定的？
1.会用计数原理分析的展开式，并归纳、猜想出二项式定理 . (重点） 2.用计数原理分析二项式的展开过程，并归纳、猜想出二项式定理. （难点）
4
1 2 3
清除
a b a b b)(a b)(a b)(a b) a b a b (a b) (a
4
清除
a 4a b 6a b 4ab b
4 3 2 2 3
4
4个 a， 0个 b， a 4 3个 a， 1个 b， a 3 b 2个 a， 2个 b， a 2 b 2
探究新知
(a b) a 2ab b
2 2 3 3 2 4 4 3
2 2 3 3 4
(a b) a 3a b 3ab b
2 2
(a b) a 4a b 6a b 4ab b
根据所得到的展开式，你能发现它们有何规律？
探究发现
问题:①(a+b)4的展开式中会有哪几种类型的项？ ②(a+b)4的展开式中各项的系数各是多少？
1.3.1二项式定理(学、教案)
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
高中数学(人教选修2-3)配套课件第一章 1.3.1 二项式定理与二项展开式
栏 目 链
接
(2)S＝C40(x－1)4＋C41(x－1)3×21＋C42(x－1)2×22＋C34(x－
1)×23＋C4424＝[(x－1)＋2]4＝(x＋1)4.故选 D.
答案：(1)1＋4x＋x62＋x43＋x14 (2)D
点评：解决这一问题的关键是弄清二项式展开式左右两边的结 构特征，这样我们就能够将一个二项式展开，若一个多项式符合二项 展开式右边的结构特征，我们也能够将它表示成左边的形式．
(1)展开式的第四项的二项式系数为 ＝120.
(2)展开式的第四项的系数为 ·37－323＝－77 760. 点评：根据二项展开式的通项公式，即可求展开式中的特定项．
变式 训练
2．(2013·揭阳一模)若二项式x＋21xn 的展开式中，第 4 项与第
7 项的二项式系数相等，则展开式中 x6 的系数为________(用数字作
基础 梳理
(3)其中各项的系数_____C__rn_(r＝0,1,2，…，n)叫做
_________二__项_式__系__数____．
(4)式中的______________叫做二项展开式的通项，用Tr＋1
表示．
Crnan－rbr
栏
(5)通项是展开式的第________项．
目
链
2．二项式定理的应用．
10－(2)2 40 .
答案： C
栏 目 链 接
题型一 二项式定理的正用、逆用
例 1 (1)用二项式定理展开1＋1x4＝________；
(2)设 S＝(x－1)4＋4×2(x－1)3＋6×4(x－1)2＋4×8(x－1)＋16，
根据二项式定理得 S＝( )
接
r＋1 例如：(1)(x＋1)4的展开式中常数项是________．
选修2-3.1.3.1二项式定理
4
4 6 4 1 1 2 3 4 x x x x
4 3
(a b)
( a b) ?
n
2019/4/10 v:pzyandong 4
… …
100
?
3 ( a b ) 探究1 推导 的展开式.
(a b) (a b)(a b)(a b)
3
① 项： ② 系数：
a
C
3
a b
C
1 3
2
ab
C
2 3
2
b
C
3
3 3
a 3 k b k
字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
k ③二项式系数: Cn (k {0,1,2,, n})
k n k k ④二项展开式的通项: Tk 1 Cn a b
2019/4/10
v:pzyandong
8
二项式定理
0 n 1 n1 k n k k n n (a b)n Cn a Cn a b Cn a b Cn b (n N * )
2
2019/4/10 v:pzyandong
3 3 3
5
探究2 仿照上述过程,推导(a b) 的展开式.
4
2 ab C b ( a b) C a C
2 0 2
2
1 2
2 2
2
2
(a b) C a C a b C ab C b
3
0 3
3
1 3
2
2 3
3 3
3
3 2 2 2 3 4 4 a b C C 4 a b C 4 ab C 4 b ( a b) C a
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(n N)
1.项数规律：
展开式共有n+1个项
2.二项式系数规律：
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
2.指数规律：
（1）a的次数由n逐次降到0， b的次数由0逐次升到n.
（2）ab的次数和均为n；
二项式定理:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2
从函数角度看,
C
r n
可看成
是以r为自变量的函数f(r),
其定义域是:0,1,2,, n
当n=6时,其图象是右图中
的7个孤立点．
1.对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相 等．
图象的对称轴：r n 2
2.增减性与最大值
当n为偶数时,中间一项的二项式系数 n
C 2 取得最大值; n
Cnk a nk bk 叫做二项展开式的通项，用 Tk+1
表该示项，是即指：展开T式k 的1 第 Cnkk +a1n项k，bk展开式共有__n_+_1_个项.
五、释疑解惑
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
发现规律：
a b4 a b5
a b 100 呢
解决问题的关键：
(1)次数;(2)项数;(3)系数.
尝试二项式定理的发现:
(a b)2 C20a2 C21ab C22b2
a b 3 C30a3 C31a2b C32a b2 C33b3
特别地：
1.在二项式定理中,令a=1,b=x,则有:
(1 x)n 1 Cn1x Cn2x2 Cnr xr Cnnxn;
2.在上式中,令x=1,则有:
2n Cn0 Cn1 Cn2 Cnr Cnn.
(a b)n 展开式中的二项式系数:
(a b)1 (a b)2 (a b)3
80
10
解 ： 1 2x5 的展开式的第四项是
T31 C53 153 2x 3
C53 23 x3
108x3 80x3
练 习 ：求
x
1 x
5
的展开式中
x
3
的系数是？
归纳小结：
本节课你学到了什么？
课后作业：
一、必做题： 第36页习题1.3第1、2题
方法一
（ 1 2x)5 C50(2x)0 C15(2x)1 C52(2x)2
C35(2 x)3 C54(2 x)4 C55(2 x)5
110x 40x2 80x3 80x4 32x5
方法二： 1 2x5 的展开式的第四项是？
第四项的系数是？第四项8的0二x项3 式系数是？
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2
C ak nkbk n
C nbn (n N*) n
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
，
其中 Cnk（k=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
当n为奇数时,中间两项的二项式系数
n1
n1
Cn 2 、Cn 2 相等,且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和
C0n
C1n
C
2 n
C
n n
2n
释疑解惑
今天是星期二，那么 8100 天后
的这一天是星期几？
8100 （7 1）100
C10007100 C1100799 C1r007100r
a b 4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43a b3 C44b4
猜想提示：1、项数；2；系数；3；a 的次数变化规
律，b 的次数变化规律；4、 ab 的次数和。
独立探究
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。--牛顿
归纳猜想： (a b)n _______？
二、选做题： 第36页习题1.3第3、4题
Cnr anrbr Cnnbn
1.上式右边称为二项展开式;
2.二项展开式的项数为n+1项；
3.各项字母a按降幂排列,次数由n减到0, 字母b按升幂排列,次数由0增到n; 各项次数等于二项式的次数n;
4下. C标为nr称二为项二式项的式次系数数,上,它标是由组0合增数到,n其;
C1909071
C1 00 100
（7 C1000799 C19090） 1
余数是1，所以这一天是星期三
尝试二项式定理的应用：
例 题 ：（1）写出（1 2x)5 的展开式的形式；
80x3
（2）展开式的第四项是；
（3）第四项的系数是；
80
10 （4）第四项的二项式系数是。
解：
二项式定理:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2
Cnr anrbr Cnnbn
5.展开式中的第r+1项，
即通项Tr+1= Cnr anrbr;
6.展开式中的“二项式系数”和“系数” 的区别:
二项式系数为 Cnr；
项的系数为二项式系数与数字系数的积.
(a b)4
(a b)5 (a b)6
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
《
详 解
杨辉三角
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
《
九
章
杨
算
辉
术
》
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式系
数依次是:C0n
,
C1n
,
C
2 n
,
,
Cnn
问题:
(1)今天是星期二，那么7天后
的这一天是星期几呢? （星期二） (2)那么15天后的这一天呢？ （星期三）
(3)那么8100 天后的这一天呢？
8100天后的这一天是星期几?
8100除以7的余数是多少？
8100 (7 1)100
（a b)n (n N )的展开式是什么？
学习目标
（1）会证明二项式定理 （2）掌握二项式定理，并能简单应用 （3）能够区分二项式系数与二项展开式中项的 系数
学习重点
归纳二项式定理及二项式定理的应用
学习难点
二项式定理的证明
知识回顾：
( ) a +b 2 = a2 +2ab +b2
a b3 a3 3a 2b 3ab2 b3