高二数学余弦定理
余弦定理公式大全
余弦定理公式大全余弦定理是解决三角形问题时经常使用的重要公式，可以通过它计算三角形的边长或角度。
它的表达式是：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中，a、b、c分别代表三角形的边长，C代表夹在边a和边b之间的角度。
1.角度公式：根据余弦定理公式，我们可以解出夹在边a和边b之间的角度C的值：cos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab通过这个公式，如果我们已知三角形的三个边长a、b、c，就可以计算出夹在边a和边b之间的角度C的大小。
2.边长公式：根据余弦定理公式，我们可以解出边c的值：c = √(a² + b² - 2ab*cos(C))通过这个公式，如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C，就可以计算出边c的长度。
3.面积公式：根据余弦定理公式，我们可以推导出三角形的面积公式：S = 1/2 * a * b * sin(C)其中，S代表三角形的面积。
通过这个公式，如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C，就可以计算出三角形的面积。
4.费马定理公式：根据余弦定理公式，我们可以推导出费马点定理公式：AF² + BF² + CF² = 4S² / sqrt(3)其中，AF、BF、CF分别代表三角形的三个顶点到费马点的距离，S代表三角形的面积。
通过这个公式，如果我们已知三角形的面积S，就可以计算出费马点到三个顶点的距离。
总结：余弦定理提供了一种解决三角形问题的强大工具。
通过余弦定理公式，我们可以计算三角形的边长、角度和面积等相关参数。
这些公式的应用范围非常广泛，是解决三角形问题时的基础知识之一、掌握了余弦定理公式，我们就可以快速准确地解决三角形相关的数学问题。
余弦定理公式
余弦定理公式一、引言余弦定理是解决三角形中的边长或角度关系问题的重要工具。
在数学和物理领域广泛应用，特别是在解决三角形的非直角问题以及相关定理的证明过程中。
本文将对余弦定理的定义、推导过程以及实际应用进行详细介绍。
二、余弦定理的定义余弦定理是三角学中的一个定理，用于计算三角形的边长、角度或判断三角形的形状。
余弦定理的表达式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，a、b为三角形中的两边，c为斜边，C为斜边对应的角。
三、余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程并不复杂。
首先，我们需要设想一个任意的三角形ABC，其中a、b为两条边，C是它们的夹角。
假设c是它们的斜边，我们需要找到c的表达式。
根据正余弦的定义，我们可以得到以下等式：cosA = Adjacent / HypotenusecosB = Opposite / Hypotenuse将这两个等式改写为：Hypotenuse = Adjacent / cosA （1）Hypotenuse = Opposite / cosB （2）我们可以将(1)和(2)两个等式相等：Adjacent / cosA = Opposite / cosB进一步改写为：cosB / cosA = Adjacent / Opposite根据三角公式sinA = 1 / cscA 和 sinB = 1 / cscB，可以将cosB / cosA转换为sinB / sinA：sinB / sinA = Adjacent / Opposite将A和B两个角度的角替换为C， sinA和sinB替换为a和b，可以得到余弦定理的表达式：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC这就是余弦定理的最终表达式。
四、余弦定理的实际应用1. 计算三角形的边长：通过已知两边和它们夹角的大小，可以利用余弦定理计算第三边的长度。
这对于求解航海、测量不可达距离等问题非常有用。
高中数学余弦定理
在等腰三角形中，两边长度相等，对应的角度相等或互补，也可以利用余弦定理进行计算。
等腰三角形的余弦定理证明
03
CHAPTER
余弦定理的推论
总结词
利用余弦定理可以证明三角形的内角和等于180度。
详细描述
根据余弦定理，在任意三角形ABC中，有cosA=(b²+c²-a²)/2bc，同理可以得到其他角的余弦值。将三个角的余弦值相加，得到cosA+cosB+cosC=0，由此可以证明三角形ABC的内角和为180度。
题目
解析
根据余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。将已知数值代入公式，即可求出墙角C的大小。
运用余弦定理解决实际问题的能力
THANKS
感谢您的观看。
VS
利用余弦定理可以解决与三角形相关的各种问题，如求边长、角度等。
详细描述
通过已知条件（如两边及夹角、三边）利用余弦定理可以求解三角形的各种问题。例如，已知三角形的两边及夹角，可以通过余弦定理求出第三边；已知三角形的三边，可以通过余弦定理求出三角形的角度等。
总结词
04
CHAPTER
余弦定理的实例应用
余弦定理在解三角形问题中应用广泛，能够解决已知两边及夹角或三边求角的问题。
当已知三角形的两边及夹角时，可以通过余弦定理求出第三边。同样地，当已知三角形的三边时，也可以利用余弦定理求出三角形的角度。
详细描述
总结词
余弦定理在求三角形的角度问题中同样具有应用价值，能够通过已知的两边及夹角或三边求出三角形的角度。
掌握余弦定理在复杂问题中的应用
总结词
在三角形ABC中，已知a=3, b=4, B=45°，求边c的大小。
高二数学正余弦定理
3 a c
sin A sin C
ab c
abc
sin A sin B sin C sin A sin B sin C
正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边和角，如
a b sin A sin B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以求其他角 的正弦值，如
回头看错例2 回头看错例1
1
6
2 D
3 边长为 3R、外接圆半径为R
4 31
2
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cosA
c2 a2 b2 2ab cosC
b2 a2 c2 2ac cosB
余弦定理两种形式
cos
2 120
3 a 3.696; B 392/ ;C 8228/
A
b2
c2 2bc
a2
cosC
b2
a2 c2 2ba
cos
B
a2
c2 b2 2ac
余弦定理及其推论的基本作用 ①已知三角形的任意两边及 它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
余弦定理是勾股定理的推广
勾股定理是余弦定理的特例
例4 图
例5 图
1 3
已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边和角如的正弦值如已知三角形的任意两边与其中一边的对角正弦定理的基本作用为
正弦定理 和 余弦定理
正弦定理内容
a b c 2R sin A sin B sin C
1 a b
sin A sin B
abc sin A sin B sin C
高中数学余弦定理
高中数学余弦定理余弦定理是高中数学的一个核心内容，也是三角函数的一个重要应用。
余弦定理描述了三角形中一边的平方与另外两边及其夹角的余弦值之间的关系。
对于任何一个三角形，余弦定理都可以给出以下公式：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，a、b和c分别代表三角形的三边长度，C是a和b之间的夹角。
余弦定理的应用范围非常广泛，无论是解三角形、解决实际问题，还是在数学竞赛中，它都是一个重要的工具。
一、解三角形余弦定理可以用来确定三角形的形状和大小。
例如，如果我们知道三角形的三边长a、b和c，以及角A、B和C的度数，我们可以用余弦定理来计算角C的度数。
公式如下：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)二、解决实际问题余弦定理也被广泛应用于解决实际问题。
例如，在物理学中，余弦定理可以用来解决与力的合成和分解相关的问题；在地理学中，余弦定理可以用来计算地球上两点之间的距离；在经济学中，余弦定理可以用来计算投资组合的风险和回报。
三、数学竞赛在数学竞赛中，余弦定理也是一个重要的考点。
例如，一些几何问题可能需要使用余弦定理来解决；在一些代数问题中，余弦定理也可能是一个关键的工具。
余弦定理是高中数学的一个重要内容，它不仅在数学中有广泛的应用，也在其他领域中有重要的应用价值。
通过学习和理解余弦定理，我们可以更好地理解和解决各种问题。
一、引言在中国的教育体系中，数学一直是核心学科，特别是在高中阶段，数学的学习对学生的学习生涯和未来的学术成就具有重大影响。
因此，如何设计有效且吸引人的数学课程，帮助学生理解和掌握数学知识，是所有教育工作者都应的问题。
在本文中，我们将探讨如何利用APOS 理论来设计高中数学定理的教学，并以余弦定理为例进行具体阐述。
二、APOS理论概述APOS理论是由美国学者杜宾斯基提出的一种学习理论，它强调学习过程中学生的主动性和实践性。
高考余弦定理知识点
高考余弦定理知识点在高考数学考试中，余弦定理是一个重要的知识点。
它是三角函数中的重要内容，被广泛应用于解决与三角形相关的问题。
掌握了余弦定理，我们就可以更好地理解和分析三角形的性质以及与之相关的几何问题。
一、什么是余弦定理余弦定理是描述任意一个三角形的边长与角度之间的关系的定理。
它可以帮助我们计算三角形的边长，以及求解其他与三角形边长和角度关系有关的问题。
余弦定理的数学表达式是：c² = a² + b² - 2ab·cos(C)，其中a、b、c 表示三角形的边长，C表示夹在边a和边b之间的角。
二、余弦定理的推导为了更好地理解余弦定理，我们可以对其进行简单的推导。
首先，我们可以将任意一个三角形分解为两个直角三角形。
假设我们有一个三角形ABC，如下图所示：A/|/ |c/ |b/ |B____Ca我们可以在三角形ABC中引入一个高AD，使其垂直于边BC。
这样，我们可以将三角形ABC分为两个直角三角形ABD和ACD。
由于三角形ABD是直角三角形，我们可以利用三角函数中的正弦定理求出边BD的长度：BD = a · sin(C)同理，我们可以求出三角形ACD中高AD的长度：AD = b · sin(C)由于高AD是边c的延长线，所以AD的长度等于两个直角三角形的和，即BD + CD。
而BC的长度就是两个直角三角形的斜边AB和AC之和，即a + b。
因此，我们可以得到：c = a + b · sin(C)进一步移项，我们可以得到：c - a = b · sin(C)根据三角函数中的定义，我们可以将sin(C)转换成cos(C)的形式：sin(C) = √(1 - cos²(C))将其代入前式，再进行平方运算，即可得到余弦定理的数学表达式：c² - 2ac·cos(C) + a² = b² - 2ab·cos(C) + a² - 2ab·cos(C)·√(1 - cos²(C))通过简单的推导，我们可以得到余弦定理的具体数学表达式。
余弦定理公式的含义及其证明
余弦定理公式的含义及其证明余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要公式。
它描述了三角形的一个边的平方和另外两边平方的差，与这两边之间的夹角余弦函数的乘积的关系。
余弦定理的数学表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形的三边，C表示夹角C的大小。
证明余弦定理可以使用向量法和三角法两种方法。
1.向量法证明：假设三角形ABC中，向量AB的模为a，向量AC的模为b，向量BC的模为c。
向量AB与向量AC之间的夹角为夹角C，设其大小为θ。
根据向量的加法和平方模长定义，可以得到：a² = AB² = AA² + BB² - 2(AA)(BB)cosθb² = AC² = AA² + CC² - 2(AA)(CC)cosθc² = BC² = BB² + CC² - 2(BB)(CC)cosθ将以上三个等式相加，得到：a² + b² + c² = 2(AA² + BB² + CC²) - 2(AA)(BB)cosθ -2(AA)(CC)cosθ - 2(BB)(CC)cosθ化简可得：2(AA² + BB² + CC²) = a² + b² + c² + 2(AA)(BB)cosθ +2(AA)(CC)cosθ + 2(BB)(CC)cosθ设向量AA、BB、CC的模长分别为x、y、z，则上式变成：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2xycosθ + 2xzcosθ +2yzcosθ由于AA=BB=CC=x+y+z（向量AA、BB、CC的模长相等），进一步化简得到：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2(xy + xz + yz)cosθ所以，余弦定理成立。
余弦定理公式大全
余弦定理公式大全余弦定理是数学中的一种定理，用来计算三角形中的角度或边长。
它是三角形中的重要定理之一，有助于培养学生的空间想象力和解决实际问题的能力。
以下是余弦定理的公式及相关参考内容：余弦定理的公式：在三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab cosCb² = a² + c² - 2ac cosBa² = b² + c² - 2bc cosA在这些公式中，cosA、cosB和cosC是三角形的三个内角的余弦值，可以使用三角函数表或计算器来计算。
应用例子之一：假设一个三角形的两边分别为7cm和9cm，夹角为60°，我们可以使用余弦定理来计算第三边的长度。
根据公式c² = a² + b²- 2ab cosC，代入a=7、b=9和C=60°，可以得到：c² = 7² + 9² - 2×7×9×cos60°c² = 49 + 81 - 126cos60°c² = 130 - 126cos60°c² = 130 - 126×0.5c² = 130 - 63c² = 67所以，第三边的长度c≈√67≈8.185cm。
余弦定理的相关参考内容：1. 角度三角函数表：这是一个常见的参考资料，其中包含了各种角度的正弦、余弦和正切值。
通过查找这个表格，我们可以轻松地找到对应角度的余弦值，从而应用余弦定理计算三角形的边长。
2. 三角函数计算器：现代科技提供了各种电子设备和手机应用程序，可以在数秒内计算出任意角度的三角函数值。
只需输入角度，它们将立即返回角度的正弦、余弦和正切值。
高中余弦定理公式大全
高中余弦定理公式大全高中余弦定理公式是三角学中的重要定理之一，用于求解三角形的边长或角度。
它是基于三角形的三条边之间的关系而得出的。
余弦定理公式可以表示为：c = a + b - 2ab cos(C)其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边的长度，C 表示夹在 a 和 b 之间的角的大小。
在使用余弦定理时，需要注意以下几点：1. 余弦定理适用于任意三角形，不仅仅是直角三角形。
2. 当 C 是直角时，余弦定理可以简化为勾股定理：c = a + b。
3. 当 C 是锐角时，cos(C) 大于 0；当 C 是钝角时，cos(C) 小于 0；当 C 是180度时，cos(C) 等于 -1。
这个性质可以用来判断三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形。
4. 余弦定理也可以用来求解三角形的角度，当已知三边长度 a、b、c 时，可以通过余弦定理反解出角度 C 的大小。
除了上述提到的余弦定理公式，高中三角学中还有一些类似的公式，如正弦定理和正切定理。
这些公式在解决不同类型的三角形问题时都有其特定的应用。
正弦定理公式可以表示为：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C 分别表示与对应边相对的角的大小。
正切定理公式可以表示为：tan(A) = a/b, tan(B) = b/a其中，a、b 分别表示三角形的两条边的长度，A、B 分别表示与对应边相对的角的大小。
这些定理的掌握和运用可以帮助我们更好地理解和解决三角形相关的数学问题，例如求解三角形的边长、角度或者判断三角形的形状。
高中数学必修余弦定理
在已知三边的情况下，可以利用海伦公式 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]（其中p为半周长） 求得三角形的面积。
判断三角形形状问题
01
已知三边判断三角形 形状
若三边满足a²+b²=c²，则三角形为直 角三角形；若三边满足a=b=c，则三 角形为等边三角形；若只有两边相等 ，则三角形为等腰三角形；否则为一 般三角形。
到多边形的面积。
判断平面图形形状问题
在三角形中，通过余弦定理可以判断三角形的形状。若已知 三边长度满足勾股定理，则三角形为直角三角形；若不满足 勾股定理，则可以通过比较三边长度和角度大小来判断三角 形的形状。
在四边形中，通过余弦定理可以判断四边形的形状。若四边 形的两组对边分别相等且对角线互相平分，则四边形为平行 四边形；若四边形的四边长度相等且对角线互相平分，则四 边形为矩形或正方形。
任意三角形边长关系探讨
证明过程
假设在三角形ABC中，有a + b > c, a + c > b, b + c > a。根据三角形内角和定 理和余弦定理的表达式，我们可以推导出上述不等式。这些不等式表明了在任意 三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
应用
这些性质在解决三角形相关问题时非常有用，例如判断三条线段是否能构成三角 形、求三角形的面积等。
判断立体图形形状问题
判断四面体形状
通过余弦定理可以判断四面体的形状 ，如是否为正四面体、等腰四面体等 。具体方法是利用余弦定理求解四面 体的各个面的形状和大小，进而判断 其整体形状。
判断平行六面体形状
平行六面体的形状也可以通过余弦定 理来判断。通过计算平行六面体的各 个面的形状和大小，以及相邻两个面 的夹角，可以判断其是否为长方体、 正方体等特殊形状。
余弦定理简介
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
余弦定理是解决三角形中的边长和角度之间关系问题的一个重要定理。它是由三角函数中的余弦函数得到的，因此得名余弦定理。余弦定理在三角学中有着非常重要的应用，尤其是在解决无法用正弦定理或者其他方法解决的三角形问题时，余弦定理往往发挥着重要作用。
余弦定理的表述很简单：在一个三角形ABC中，已知边长a、b、c和夹角A、B、C之间的关系可用余弦定理表示如下：
第二篇示例：
余弦定理，又称余弦定律，是平面三角形中的一种重要定理，用于解决三角形中的角和边之间的关系。余弦定理广泛应用于数学、物理、工程等领域，在解决实际问题中起着重要作用。本文将简要介绍余弦定理的概念、推导过程以及应用范围。
余弦定理描述了三角形的边和角之间的关系。在一个三角形ABC中，假设三边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，余弦定理可以表达为：
余弦定理是一个十分有用和实用的数学定理，它可以帮助我们更好地理解和解决三角形中的问题。通过掌握余弦定理的概念、推导过程和应用范围，我们可以更好地应用数学知识和技术解决实际生活中的问题，提高我们的数学应用能力和解决问题的能力。希望本文对您对余弦定理有所帮助，也希望您能够进一步深入学习和探索相关数学知识，拓展您的数学视野和思维能力。【2000字】
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosA
a、b、c为三角形的三条边长，A、B、C为对应的夹角，cosA、cosB、cosC为各角的余弦值。
这个定理可以被用来计算三角形中的未知长度或角度，通过已知的边长和夹角可以求解出其他未知量。这种定理的重要性在于它提供了一种方法来解决不完全信息下的三角形问题，可以灵活地运用在各种场景中。
无论是在数学理论中还是在实际生活中，余弦定理都是一个非常实用的工具。通过掌握余弦定理，我们可以更准确地解决各种三角形相关的问题，提高数学和解决问题的能力。余弦定理也可以启发我们对数学规律和自然现象的进一步探索，是数学学习中的一大亮点。希望大家能够认真学习余弦定理，并运用它解决实际问题，从而提升自己的数学水平和解决问题的能力。
余弦定理的十种证明方法
余弦定理的十种证明方法余弦定理是解决任意三角形的重要定理之一，可以用来求解三角形的边长、角度等问题。
下面将介绍十种证明余弦定理的方法。
1.平面向量法：设三角形的三边向量分别为a、b、c，则有a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC。
将这些公式转化为三角形的边长形式即为余弦定理。
2.向量的模长法：设向量a、b、c的模长分别为A、B、C，夹角分别为α、β、γ，则有A²=B²+C²-2BC*cosα，B²=A²+C²-2AC*cosβ，C²=A²+B²-2AB*cosγ。
令边长等于向量的模长，将这些公式转化为三角形的边长形式即为余弦定理。
3.正弦定理扩展法：在一个三角形的条边上延长一边，并在延长边上取一点，使得三角形分为两个相似三角形。
利用相似三角形的关系可以推导出余弦定理。
4.科学结算法：这种方法将余弦定理看作三角形面积公式的一种特殊情况。
通过证明三角形的面积公式和余弦定理是等价的，就证明了余弦定理的正确性。
5.高中数学综合证明法：利用高中教材中的已知定理和公式，如三角形内角和定理、三角形的面积公式等，可以通过一系列的推导和变形，最终得到余弦定理。
6.解析几何法：将三角形的顶点与坐标系关联，根据顶点的坐标，可以得到三角形的边长、角度等信息。
通过求解三角形的边长和角度，可以得到余弦定理。
7.直角三角形法：将三角形分解为两个直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理，可以推导出余弦定理。
8.球面三角形法：在球面上考虑三角形的问题，利用球面三角形的性质和球面上的几何关系，可以推导出余弦定理。
9.微积分法：将三角形分解为一组小三角形，并使用微积分的方法求解这些小三角形的边长和角度。
余弦定理
余弦定理编辑
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形情形下的推广模式。
余玄定理
表达式
cos A=(b²+c²-a²)/2bc[1]
欧几里得
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：
当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
当已知三角形的三边，能够由余弦定理得到三角形的三个内角。
求边
余弦定理公式可变换为以下形式所以，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
求角
余弦定理公式可变换为以下形式所以，如果已知三角形的三条边，能够由余弦定理得到三角形的三个内角。
证明编辑
三角函数证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：
将等式同乘以c得到：
使用同样的方式能够得到：
将两式相加：
向量证明
中，
，
，
：。
高二数学必修教学课件余弦定理
02
余弦定理证明方法探讨
向量法证明余弦定理
向量数量积
利用向量的数量积公式，将三角形的 两边表示为向量，通过计算这两向量 的数量积来证明余弦定理。
向量投影
通过向量在另一向量上的投影长度， 结合向量的模长和夹角余弦值，推导 出余弦定理的表达式。
几何法证明余弦定理
勾股定理推广
在直角三角形中，余弦定理可以看作是勾股定理的推广。通过构造辅助线，将非 直角三角形转化为直角三角形，利用勾股定理进行证明。
拓展延伸：其他相关数学定理介绍
正弦定理
对于任意三角形ABC，有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R 为三角形外接圆半径），正弦定 理在解三角形中也有广泛应用。
勾股定理
对于直角三角形ABC，其中C为 直角，有a²+b²=c²，勾股定理 是余弦定理在直角三角形中的特
例。
射影定理
对于直角三角形ABC，其中C为 直角，有a=b×cosA和
通过向量的数量积和几何意义，可以推导出余弦定理的表 达式。
余弦定理的应用场景
余弦定理在解三角形、判断三角形形状、求最大角和最小 角等问题中有广泛应用。
易错难点剖析与纠正
易错点1
在应用余弦定理时，没有正确区分三角形的边和角，导致计算错误。纠正方法：在应用余 弦定理时，要明确三角形的边和角，正确代入公式进行计算。
机器人技术
在机器人技术领域，余弦定理被用于机器人的路径规划、 姿态控制和定位等方面，提高了机器人的运动精度和自主 性。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
余弦定理的基本形式
对于任意三角形ABC，有c²=a²+b²-2ab×cosC，其中a、 b、c分别为三角形ABC的三边，C为其中的一角。
高中新教材数学人课件必修时余弦定理
汇报人：XX 20XX-01-23
目录
• 余弦定理基本概念与性质 • 余弦定理证明方法探讨 • 余弦定理在解三角形中应用举例 • 余弦定理在平面几何中拓展应用 • 误差分析与实际应用案例分享 • 总结回顾与拓展延伸
01 余弦定理基本概 念与性质
余弦定理定义及表达式
03 余弦定理在解三 角形中应用举例
已知两边及夹角求解三角形问题
已知两边a、b和夹角C，求第 三边c及角A、B。
应用余弦定理公式：c² = a² + b² - 2ab*cosC，求出第三边c 。
利用三角形内角和为180°，求 出角A、B。
已知三边求解三角形问题
已知三边a、b、c，求角A、B、C。 应用余弦定理公式：cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，求出角A。
同理，可求出角B、C。
判断三角形形状问题
01
02
03
04
已知三边a、b、c，判断三角 形形状。
若a² + b² = c²，则为直角三 角形；
若a² + b² > c² 且 a、b、c 三边满足勾股定理的逆定理，
则为锐角三角形；
若a² + b² < c²，则为钝角三 角形。
复杂图形中余弦定理应用策略
直角三角形中，勾股定理成立
利用余弦定理证明平面几何命题
01
02
03
04
利用余弦定理证明三角 形内角和定理
利用余弦定理证明勾股 定理
利用余弦定理证明三角 形面积公式
利用余弦定理证明三角 形相似性质
余弦定理在平面几何计算中作用
01
02
《余弦定理》 知识清单
《余弦定理》知识清单一、余弦定理的定义余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
对于任意三角形，若三边为 a、b、c，对应的角为 A、B、C，则有：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\）＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C\）二、余弦定理的推导我们可以通过向量的方法来推导余弦定理。
假设在三角形 ABC 中，向量\（＼overrightarrow{AB}＼）、＼（＼overrightarrow{AC}＼）分别对应边 c、b。
则\（＼overrightarrow{AB}＼cdot\overrightarrow{AC} ＝｜＼overrightarrow{AB}｜＼times|＼overrightarrow{AC}｜＼times\cos A\）＼＼begin{align}＼overrightarrow{AB}＼cdot\overrightarrow{AC}＆＝（＼overrightarrow{AC} ＼overrightarrow{AB} ）＼cdot\overrightarrow{AC}＼＼＆＝｜＼overrightarrow{AC}｜＾2 ＼overrightarrow{AB}＼cdot\overrightarrow{AC}＼＼＆＝b^2 bc\cos A＼end{align}＼又因为\（＼overrightarrow{AB}＼cdot\overrightarrow{AC} ＝｜＼overrightarrow{AB}｜＼times|＼overrightarrow{AC}｜＼times\cos A ＝bc\cos A\）所以\（b^2 bc\cos A ＝ bc\cos A\）即\（b^2 ＝ c^2 ＋ a^2 2ac\cos B\）同理可证其他两个式子。
三、余弦定理的应用1、已知两边及其夹角，求第三边例如，在三角形 ABC 中，已知 a ＝ 5，b ＝ 7，＼（＼angle C ＝60^＼circ\），求 c。
《余弦定理》高二年级上册PPT课件(第1.1.2课时)
提示：设△A B C 的外接圆半径为 R .
由正弦定理的变形，将 a＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c＝2R sin C ，代入 a2＝b 2＋c2 可得 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C .
a
b
c
反之将 sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝ 代入 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 可得 a2＝b 2＋c2.因此，这两种说法均正确．
b 2＋c2－a 2
c2＋a 2－b 2
a 2＋b 2－c2
b 2＋c2－a 2
c2＋a 2－b 2
[解] 由余弦定理知 co s A ＝ 2b c ，co s B ＝ 2ca ，co s C ＝ 2ab ，代入已知条件得 a· 2b c ＋b · 2ca ＋
c2－a 2－b 2
c·
＝0，通分得 a2(b 2＋c2－a2)＋b 2(a2＋c2－b 2)＋c2(c2－a2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c4.∴a2－b 2＝±c2，即 a 2＝b 2
即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c2)＝0 ，
∴a 2＋b 2－c2＝0 或 a 2＝b 2.
∴a2＋b 2＝c2 或 a＝b .
故△A B C 为直角三角形或等腰三角形．
法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为： (sin A －sin C co s B )sin B ＝(sin B －sin C co s A )sin A ， 即 sin C co s B sin B ＝sin C co s A sin A . ∵sin C ≠0 ， ∴sin B co s B ＝sin A co s A . ∴sin 2B ＝sin 2A . ∴2B ＝2A 或 2B ＋2A ＝π，
高中数学余弦定理
可知B的坐标为（bcosA,bsinA）
要求a=？
B
a
c
x
A（0,0）
由两点间距离公式可得：
=(bcosA-c)^2+(bsinA-0)^2°
= b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA
b
C（c,0）
例题
1、在ΔABC中 已知a=9，b=2√3，C=150°，则c等
于( )
A 39
=(9*25-49)/2*3*5=1/2
即A=120°为最大角
cosC=(a^2+b^2c^2)/2ab=(7^2+3^25^2)/2*7*3=33/42
故sinC=5 /
B 8 3 C 10 2
D7 3
答案：D
2、在AABC中 a=7,b=4 3 ,c= 13 ,ABC的最小角为
()
A π/3 Bπ/6 Cπ/4 Dπ/12
已知三角形的三边解三角形
3、在三角形ABC中，已知a=7,b=3,c=5,
求最大角和sinC。
解：COSA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
=a*a-a*c-a*c+c*c
=|a|^2-2a*c+|c|^2
=|a|^2+|c|^2-2|a|*|c|cosB
即b^2=a^2+c^2-2accosB
A
b
c
B
a
C
同理可得：
a^2=b^2+c^2-2bccosA
这样我们就得到了一个著名的定理：余弦定
理
即对于任意三角形，任何一边的平方等于其
他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余
弦的两倍积，
(完整版)余弦定理的证明方法大全(共十法)
余弦定理的证明方法大全（共十法）一、余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦 的积的两倍,即在 ABC 中,已知AB c, BC a, CA b,则有2 2 2a b c 2bccos A ,b 2c 2 a 2 2ca cos B , c 2 a 2 b 2 2abcosC .、定理证明为了叙述的方便与统一，我们证明以下问题即可在 ABC 中，已知 AB c, AC b,及角 A,求证：a b c 2bc cos A . uuu uuu uur 证法一：如图1,在ABC 中，由CB AB AC 可得：证法二:本方法要注意对 A 进行讨论.在 Rt ACD 中，AD bcosA , CD bsi nA. 从而，BD AB AD c bcosA. 在Rt BCD 中,由勾股定理可得：2 2 2BC BD CD2 2(c bcosA) (bsi nA)(1)当 A 是直角时，由 b 2 c 2 2bccos A b 2 c 22bccos90 b 2 c 2 a 2知结论成立.⑵ 当 A 是锐角时，如图2-1,过点C 作CDAB,交AB 于点D ,则uu uuu uuu uiur uuu uuu CB CB(AB AC) (AB AC)uuu 2 uuur 2 uuu uiurAB AC 2AB ACb c22bc cos A即，2ab 2c 2 2bc cos A .图1点D 就与点B 重合；若 B 是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.⑶当 A 是钝角时，如图2-2,过点C 作CD AB,交BA 延长线于点D ,则在 Rt ACD 中，AD bcos( A) bcosA , CD bsin( A) bsin A .从而，BD AB AD c bcosA. 在Rt BCD 中,由勾股定理可得：可知,均有a 2 b 2 c 2 2bccos A 成立.从而有 bsi n A as in B ,csi nA a si n(A B) asi nAcosB a cos Asi nB .将①带入②，整理可得acosB c bcosA.将①,③平方相加可得 a 2 (c bcosA)2 (bsi nA)2 b 2 c 2 2bccos A .BC 2BD 2 CD 2(c bcosA)2 (bsi nA)222cb cos A b即,a 2b 2c 2 2bccos A .证法三:过点A 作ADBC,交BC 于点D,则在Rt ABD 中, sin 在Rt ACD 中, sin BD ,cos c CD,cosAD c AD b由 cos A cos(cos cos sin sin 可得: cos AAD ADbBD CD c bAD 2bcBD CD 2AD 2 2BD CD2bc c 2 BD 2 b 2 CD 2 2BD2bcCD2 2 2b c (BD CD)2bc,2 2 2b c a2bc整理可得a 22 2b c 2bc cos A .证法四：在 ABC 中,由正弦定理可得一a—sin A sin B csi nCsin(A B)图32 2b c 2bc cos A即,结论成立.证法七:在 ABC 中，由正弦定理可得a 2Rsi nA,b 2Rs in B, c 2Rsi nC. 于是,a 1 b 2 c 2 2bccos A2 2 2 2 2 2 24R sin A 4R sin B 4R sin C 8R sin Bsin C cos A 2 2 22s in A 2si n B 2si n C 4si n Bsi n Ceos A212 2cos A 2 2cos( B C )cos( B C) 4si n Bsin C cos A由于 cos(B C) cos( A) cos A ,因此cos A cos(B C )cos( B C) 2si n Bsin C cos A cos A cos(B C) 2s in Bsi nC cos A cosBcosC si n Bsi nCcos(B C).这，显然成立.即，a 2 b 2 c 2 2bccosA .证法五：建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得 点A(0,0) , B(c,O) , C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式 可得a 2 (cb cos A)2 (bs in A)2c 2 2cb cos A b 2.即，a 2 b 2 c 2 2bc cos A .证法六:在 ABC 中,由正弦定理可得a 2Rsi nA,b 2Rsin B , c 2RsinC .于是，a 2 4R 2s in 2A 4R 2si n 2(B C)2 2 24R (sin Bcos C 2 2cos Bsin C 2sin BsinCcosBcosC) 4R 2(s in 2B sin 2C 2 22sin Bsin C 2sin BsinCcosBcosC) 4R 2(s in 2B sin 2C 2sin Bsin C cos(B C)) 2 2 2 4R (sin B sin C2si n Bsin C cos A)2 2(2Rsi nB) (2Rsi nC)2(2 Rs in B)(2 Rsi n B)cos A2si n A 2 cos2B cos2C 4si n Bsin C cos A即,结论成立•证法八：如图5,以点C 为圆心,以CA b 为半径作eC,直线BC 与eC 交于点D,E ,延长AB 交eC 于F ,延长AC 交eC 于G .则由作图过程知AF 2bcosA , 故 BF 2b cos A c.由相交弦定理可得：BA BF BD BE, 即，c (2 b cos A c) (b a)(b a), 整理可得：a 2 b 2 c 2 2bc cos A .证法九：如图6,过C 作CD // AB,交 ABC 的外接圆于D,则AD BC a, BD AC b.分别过C,D 作AB 的垂线，垂足分别为E,F ,则AE BF bcosA,故CD c 2bcosA.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD , 即，a a c (c 2b cos A) b b . 整理可得：a 2 b 2 c 2 2bc cos A .证法十：由图7-1和图7-2可得a 2 (c bcosA)2 (bsi nA)2, 整理可得：a 2 b 2 c 2 2bc cos A .余弦定理的证明方法还有很多，比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可 以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询 .图7-2AC — D图6。
第02讲 余弦定理
余弦定理【知识梳理】1．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即若a 、b 、c 分别是△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边长，则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表达形式是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，cos B ＝ a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．∠A 为钝角⇔ a 2>b 2＋c 2，∠A 为直角⇔a 2＝b 2＋c 2，∠A 为锐角⇔a 2<b 2＋c 22．余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来．3.利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角余弦定理【典例剖析】（一）已知两边及夹角，解三角形例1 △ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a .（二）已知三边，解三角形例2 在△ABC 中，已知(b ＋c )：(c ＋a )：(a ＋b )＝4：5：6，求△ABC 的最大内角的正弦值.（三）判断三角形形状例3 在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断三角形的形状．【课堂回顾】1．余弦定理的正确理解三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .余弦定理的推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角．请注意：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．(4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是惟一的．2．余弦定理的应用利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角．。
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