2019年北京市海淀区一模数学理科

海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（理科） 2019.04
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）已知集合{|04}P x x =<<，且M P ⊆，则M 可以是 （A ）{1,2}（B ）{2,4}（C ）{1,2}-（D ）{0,5}
（2）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是
（A ）π
sin()2
α+（B ）πcos()2α+ （C ）sin(π)α+（D ）cos(π)α+
（3）已知等差数列{}n a 满足3243a a =，则{}n a 中一定为零的项是 （A ）6a （B ）8a （C ）10a （D ）12a （4）已知x y >，则下列各式中一定成立的是 （A ）
11x y <（B ）1
2x y
+> （C ）11
()()22
x y >（D ）2+22x y ->
（5）执行如图所示的程序框图，输出的m 值为
（A ）1
8
（B ）16
（C ）516（D ）1
3
（6）已知复数i z a =+（其中a ∈R ），则下面结论正确的是 （A ）i z a =-+（B ）||1z ≥
（C ）z 一定不是纯虚数 （D ）在复平面上，z 对应的点可能在第三象限
(7) 已知椭圆22
114 x C y +=：和双曲线22221(0)x y m
C m -=>：的离心率之积为1，则双曲线
2C 的两条渐近线的倾斜角分别为
（A ）ππ,66-（B ）ππ,33-（C ）π5π,
66（D ）2π2π
,33
(8) 某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有
（A ）8种（B ）10种（C ）12种（D ）14种
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
(9)已知,4,a c 成等比数列，且0a >，则22log log ____.a c += (10)在ABC ∆中，4,5,a b ==1
cos 8
C =
，则___,___.ABC c S ∆== (11)已知向量(1,2)=-a ，同时满足条件①a b P ，②|||+<a b |a 的一个向量b 的坐标为___. (12)在极坐标系中，若圆2cos a ρθ=关于直线cos sin 10ρθθ+=对称，则___.a =
(13)设关于,x y 的不等式组0,
0,1x y y kx ≥⎧⎪
≥⎨⎪≥+⎩
表示的平面区域为Ω.记区域Ω上的点与点(0,1)
A -距离的最小值记为()d k .则 (I)当1k =时，(1)___;d =
（II ）若()d k ≥时，k 的取值范围是___.
(14)已知函数()f x x =,2(),g x ax x =-其中0a >.若1[1,2]x ∀∈，2[1,2]x ∃∈，使得
1212()()()()f x f x g x g x =成立，则_.__a =
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. (15)（本小题满分13分）
已知函数π
())cos 4
f x x x a =-+. (Ⅰ)求a 的值；
(Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间. (16)（本小题满分13分）
据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA ）发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林.下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据.（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）
单位：公顷
(Ⅰ)请根据上述数据,分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大与最小的地区；
(Ⅱ)在这十个地区中,任选一个地区，求该地区人工造林面积占总面积的比值超过50%的概率是多少？
（Ⅲ）在这十个地区中,从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X 为
这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望.
(17)（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，
12AC BC CC ===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中
点.
(Ⅰ)求证：1AC P 平面DEF ； (Ⅱ)求证：平面1ACB ⊥平面DEF ；
（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为30o ？如果存在，
求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由.
(18)（本小题满分14分）
已知函数2()ln(1).f x x x ax =+-
(Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ) 当0a <时，求证: 函数()f x 存在极小值； （Ⅲ）请直接写出函数()f x 的零点个数. (19)（本小题满分13分）
已知抛物线2:2G y px =，其中0p >.点(2,0)M 在G 的焦点F 的右侧，且M 到G 的准线的距离是M 与F 距离的3倍.经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的,A B 两点，直线
OA 与直线2x =-交于点P ，经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q .
(Ⅰ) 求抛物线的方程和F 的坐标；
(Ⅱ)试判断直线PQ 与直线AB 的位置关系，并说明理由. (20)（本小题满分13分）
首项为0的无穷数列{}n a 同时满足下面两个条件： ① 1||n n a a n +-=；②1
2
n n a -≤
. （Ⅰ）请写出4a 的所有可能值；
F
C 1
B 1
B
C
D
A 1
E
A
（Ⅱ）记2n n b a =，若1n n b b +<对任意n *∈N 成立，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）对于给定的正整数k ，求12k a a a +++L 的最大值.
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数 学 （理科） 2019.04
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.A
2.D
3.A
4.D
5.B
6.B
7.C
8.B
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.410. 6,
11.(1,2)-（答案不唯一） 12.1-13.2,[1,)-+∞14.3
2
三、解答题: 本大题共6小题，共80分.
15.（共13分）
解：（Ⅰ）因为()cos()cos 4
f x x x a π=-+
(2sin 2cos )cos x x x a =++---------1分 22sin cos 2cos x x x a =++
sin2cos21x x a =+++---------4分
π
)14
x a =+++---------6分
所以函数()f x 1a ++
1a +=---------7分 所以1a =----------8分
（Ⅱ）因为sin y x =的单调递增区间为ππ
(2π,2π)22
k k -
+，k ∈Z 令πππ
2π22π242k x k -
<+<+---------10分 所以31
ππππ88
k x k -<<+---------12分
函数()f x 的单调递增区间为31(ππ,ππ)88
k k -+，k ∈Z ---------13分
16.（共13分）
解：(Ⅰ) 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省
人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省 ---------4分
(Ⅱ) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件A
---------5分
在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）
人工造林
面积占总面积比超过50%，则7
()10
P A =
---------7分
（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有7个地区：内蒙、河北、重庆、陕西、甘肃、
新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，
所以X 的取值为012,,---------8分
所以2
42712
(0)42C P X C ===， 11342
724(1)42
C C P X C === 2
3276
(2)42
C P X C ===
---------10分 随机变量X 的分布列为
---------11分
12246366012424242427
EX =⨯
+⨯+⨯==---------13分。