安徽大学微波技术

微波技术第一节：微波技术简介微波：微波是指频率从300MHz到3000GHz范围内的电磁波，对应的波长从1m到0.1mm，如下图为微波在电磁波频谱中的位置微波的特点:1.似光性：微波的波长很短，比我们关心的一些物体的尺寸相对要小很多，使微波的特点与几何光学相似。

2.似声性：当微波的波长与物体的尺寸具有相同量级时，微波的特点与声波相似3.穿透性：微波能穿透云雾、雨、植被、积雪和地表，具有全天侯和全天时的工作能力，成为遥感技术应用的重要波段；微波能穿透生物体,成为医学诊断和治疗的重要手段。

4.非电离性：微波的量子能量还不足够大，不足以改变物质分子的内部结构，且分子、原子、原子核的谐振都发生在微波频段，这就为探索物质的内部结构和基本特性提供了有效的研究手段。

5.信息性：微波频率很高，所以在不太大的相对带宽下，其可用的频带很宽，信息的容量就很大；微波还能提供相位、极化、多普勒频率等信息，这些信息在目标探测、遥感、目标特性分析等的应用中十分重要。

如图为一般的微波数字射频系统的方框图微波技术的研究方法：常规的电路理论是在较低的频率下，电磁波长足够大，以至于在贯穿一个电路元件的线度范围内相位没有明显的变化，电磁场为准静态场，可定义明确的电压和电流的概念，进而发展出各种电路理论。

微波器件的尺寸与微波波长为同一量级，是分布元件，常规的电路理论在微波波段是不成立的。

微波工程常以麦克斯韦方程组及其解来开始研究，由于数学上的复杂性，场理论常简化为更简单的电路理论来表达，场理论和电路理论的结合才能全面的理解微波技术，而其中麦克斯韦电磁场理论是根本的。

第二节：矢量分析广义正交坐标系中的线元 i i i i i i i du h udu u ll d ∑∑===∂∂=3131ˆ 直角坐标系：dz z dy y dx xl d ˆˆˆ++=圆柱坐标系：dz z d d l d ˆˆˆ++=φρφρρ球坐标系：φθφθθd r rd dr rl d sin ˆˆˆ++=梯度、散度和旋度 标量函数),,(321u u u f由全微分可知：l d u u f h du u fdf i i i i i i i ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂=∑∑==3131ˆ1 定义梯度：∑=∂∂=∇31ˆ1i i ii u u fh f 描述了函数),,(321u u u f 全空间的变化率，且有标量场),,(321u u u f 在点),,(321u u u 沿线元l d 的增量为l d f df⋅∇=散度：vS d A A v ∆⋅=⋅∇⎰⎰→∆lim 其中v ∆为闭合曲面所围的体积()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇2133312232113211h h A u h h A u h h A u h h h A 旋度：nA Sl d A S ˆlim⋅⨯∇=∆⋅⎰→∆，其中n ˆ为面元S ∆的法向单位矢量 梯度：332211321332211321ˆˆˆ1A h A h A h u u u u h u h uh h h h A ∂∂∂∂∂∂=⨯∇ 以圆柱坐标系为例进行矢量分析圆柱坐标系空间一点P 可用圆柱坐标),,(z P φρ表示，其中ρ为OP 在xOy 平面上的投影，φ为投影与x 轴的夹角，z 为OP 在z 轴上的投影。

P 点的位置矢径可表示为：z z OP l ˆˆ+==→ρρ其中ρˆ为沿ρ方向的单位矢量，z ˆ为沿正z 轴的单位矢量。

在圆柱坐标系中还定义了单位矢量ρφˆˆˆ⨯=z ，且ρˆ，φˆ，z ˆ有右手关系。

单位矢量ρˆ，φˆ，z ˆ与直角坐标系单位矢量x ˆ，y ˆ，z ˆ的关系为： φφρsin ˆcos ˆˆy x += φφφc o s ˆs i n ˆˆy x +-= z z ˆˆ= 由上式可得：φφφφρˆcos ˆsin ˆˆ=+-=y xd d ，ρφφφφˆsin ˆcos ˆˆ-=--=y x d d 矢径微元：dz z d d dz z d d d d dz z d d l d ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ++=++=++=φρφρρφφρρρρρρρρ 拉普拉斯算符：zz ∂∂+∂∂+∂∂=∇ˆ1ˆˆφρφρρ标量函数),,(z f φρ的梯度：zf z f f f ∂∂+∂∂+∂∂=∇ˆ1ˆˆφρφρρ矢量函数z E z E E E ˆˆˆ++=φρφρ的散度：)ˆˆˆ()ˆ1ˆˆ(z E z E E zz E ++⋅∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φρφρφρφρρ )ˆˆˆ(ˆ)ˆˆˆ(1ˆ)ˆˆˆ(ˆz z z E z E E z z E z E E E z E E E ++∂∂⋅+++∂∂⋅+++∂∂⋅=⋅∇φρφρφρφρφρφρφφρρρ zE E E E E z∂∂+∂∂++∂∂=⋅∇φρρρφρρ11矢量函数z E z E E E ˆˆˆ++=φρφρ的旋度： )ˆˆˆ()ˆ1ˆˆ(z E z E E zz E ++⨯∂∂+∂∂+∂∂=⨯∇φρφρφρφρρ )ˆˆˆ(ˆ)ˆˆˆ(1ˆ)ˆˆˆ(ˆz z z E z E E z z E z E E E z E E E ++∂∂⨯+++∂∂⨯+++∂∂⨯=⨯∇φρφρφρφρφρφρφφρρρ )11(ˆ)(ˆ)1(ˆ)ˆˆ()1ˆ1ˆ1ˆ()ˆˆ(φρρρρφφρρρφφρρρφρρφρρφφρφφρφρφ∂∂-+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=∂∂-∂∂+∂∂++∂∂-+∂∂-∂∂=⨯∇E E E z E z E z E E zE z E E E z E z E E z E z z zz第三节：导行波微波电路是由各种导行系统构成的导行电磁波的电路 导行系统：约束或引导微波能量定向传输的结构 导行波：沿着导行系统定向传输的电磁波平行双线，同轴线，带状线和微带线传输的导行波是横电磁波（TEM)或准TEM 波。

矩形波导、圆形波导、脊形波导和椭圆波导传输的是横电波(TE)和横磁波(TM),电磁能量完全限制在金属管内沿轴向传播。

介质波导、镜像线和单根表面传输线等开波导把电磁能量约束在波导结构的周围沿轴向传播，其导行波为表面波设导行系统中媒质为无耗、均匀、各向同性，且媒质中无源，则导行系统中的时谐电磁场满足如下麦克斯韦方程组E j Hωε=⨯∇ （1a ）H j Eωμ-=⨯∇ （1b ）0=⋅∇H（1c ） 0=⋅∇E（1d ）其中ε，μ为媒质的介电常数和磁导率，ω为角频率。

麦克斯韦方程组的四个方程中只有两个旋度方程是独立的，两个散度方程可由它们推导出来。

在规则导行系统中，采用广义柱坐标系),,(z v u ，设导波沿z 轴传播，可把微分矢量算符∇和电磁场E ，H表示为：zzt ∂∂+∇≡∇ˆ （2a ） ),,(ˆ),,(),,(z v u E z z v u E z v u E z t +=（2b ） ),,(ˆ),,(),,(z v u H z z v u H z v u H z t +=（2c ）下标t 表示横向分量，z 为纵向分量。

把(2)代入(1a)可得：]ˆ[ˆ)ˆ(]ˆ[]ˆ[)ˆ(z t tz t t t z t z t t E zE j zH z H z H E z E j H z H zz +=∂∂⨯+⨯∇+⨯∇⇒+=+⨯∂∂+∇ ωεωε (3)令方程(3)两边的横向和纵向分量分别相等可得：zE j H z t t ˆωε=⨯∇(4a) t tz t E j zH z H zωε=∂∂⨯+⨯∇ˆ)ˆ( (4b)同理把(2)代入(1b)可得：zH j E z t t ˆωμ-=⨯∇(5a) t tz t H j zE z E zωμ-=∂∂⨯+⨯∇ˆ)ˆ( (5b)导行系统中，导波场的横向分量可由纵向分量确定： 在(4b)两边同乘ωμj 可得：ttz t tt z t E zH z j z H j E zH z j H z jεμωωμωμεμωωμωμ22ˆˆˆ)ˆ(-=∂∂⨯+⨯∇⇒-=∂∂⨯+⨯∇ (6a) 在(5b)两边同时作用zz∂∂⨯ˆ可得： t t z t t t z t t t z t H z z j zE E z H z z j zE z z z E z z H zz j z E z z z E z z z∂∂⨯-=∂∂-∇∂∂⇒∂∂⨯-=∂∂⨯⨯+⨯∇∂∂⨯⇒∂∂⨯-=∂∂⨯∂∂⨯+⨯∇∂∂⨯ˆˆ]ˆ[ˆ]ˆ[ˆˆ]ˆ[ˆ)]ˆ([ˆ2222ωμωμωμ (6b) 联立(6a)和(6b)，消去t H得：zH j E z E zk z t z t t ˆ)(222⨯∇-∇∂∂=∂∂+ωμ (7a) 同理可得: zE j H z H zk z t z t t ˆ)(222⨯∇+∇∂∂=∂∂+ωε (7b)其中εμω22=k 。

由于麦克斯韦方程组(1)的对偶性(做替换H E →，E H-→，εμ→，με→，麦克斯韦方程组形式不变)，所以利用上述替换，可由(4)推导出(5)，(7a)推导出(7b)。

导行系统中导波场满足的微分方程： 1. 横向电磁场满足的方程： 在方程（5a ）两边作用运算⨯∇tzH j E E zH j E z t t t t t t z t t t t ˆ)()ˆ(2⨯∇-=∇-⋅∇∇⇒⨯∇-=⨯∇⨯∇ωμωμ(8) 考虑(1d)和(4b),(8)可化简为：]ˆ[)(2zH z E j j E z Et t t t z t ∂∂⨯--=∇-∂∂∇-ωεωμ (9)再考虑(5b)两边同时作用zz∂∂⨯ˆ，即(6b)，可得： 00)(]ˆ[)(22222222222=+∇⇒=+∂∂+∇⇒∂∂+∇∂∂-=∂∂⨯+=∇-∂∂∇-t t t t t t t z t t t t t t z t E k E E k z E E z E E z E z H z j E E z E εμωωμεμω (10) 同理可得： 022=+∇t t H k H2. 纵向电磁场满足的方程：在(4b)两边同乘ωμi 可得(6a)，在(5b)两边同时作用zz∂∂⨯ˆ可得(6b)，联立(6a)和(6b)，消去t H 得(7a)，(7a)两边作用运算⨯∇t 可得zH j E zk zH j E z E zk z t t t z t t z t t t t ˆ)(]ˆ[)(2222222∇=⨯∇∂∂+⇒⨯∇⨯∇-∂∂∇⨯∇=⨯∇∂∂+ωμωμ (11) 考虑(5a)，(11)可化简为：0ˆˆ)(222222=+∇⇒=+∂∂+∇z z z z tH k H z H k zH z(12) 同理可得： 022=+∇z z E k E 用分离变量法求解纵向电磁场：令：)()(0z Z t E E z z =，代入 0)(222222=+∂∂+∇=+∇z z tz z E k E zE k E整理后可得：222002)()()()(k z Z z Z dz d t E t E z z t -=+∇由分立变量法可得：0)()(222=+z Z dzz Z d β （13） 0)()(0202=+∇t E k t E z c z t （14）其中有 222β+=c k k（13）式的通解为z j z j e A e A z Z ββ21)(+=-（14）加上导行系统的边界条件构成本征值问题规则导行系统中，沿正z 轴方向传播的导波的纵向场为：z j z z e v u E z v u E β-=),(),,(0 z j z z e v u H z v u H β-=),(),,(0纵-横场的关系：考虑到: 222,ββ-=∂∂-=∂∂zj z 则纵横场的关系式(7a),(7b)可具体表示为：)ˆ(12zH j E j k E z t z t c t ⨯∇-∇-=ωμβ (15a))ˆ(12zE j H j k H z t z t ct ⨯∇+∇-=ωεβ (15b) 在广义柱坐标系中，考虑到v u z u z v z v uvh v u h ut ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ,1ˆ1ˆ21=⨯=⨯=⨯∂∂+∂∂=∇ 纵横场的关系可具体表示为)(212v H h uE h k j E zz c u ∂∂+∂∂-=ωμβ )(122μωμβ∂∂-∂∂-=zz c v H h vE h k j E)(212v E h uH h k j H zz c u ∂∂-∂∂-=ωεβ )(122μωεβ∂∂+∂∂-=zz c v E h vH h k j H表示成矩阵形式为：(16)导行波的种类及特点：横电磁波(TEM):无z E 和z H 分量的导波),(00t t H E ，电场和磁场均分布在与导波传播方向垂直的横截面内。