湖北省天门经济开发区中考数学二模试卷(含解析)

2017年湖北省天门经济开发区中学、竟陵中学中考数学二模试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．4的算术平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．某种微粒子，测得它的质量为0.00006746克，这个质量用科学记数法表示（保留三个有效数字）应为（）A．6.75×10﹣5克 B．6.74×10﹣5克 C．6.74×10﹣6克 D．6.75×10﹣6克3．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．a5+a5=a10B．a3•a3=a9C．（3a3）3=9a9D．a12÷a3=a95．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）A．B．C．D．6．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（）A．B．C．D．17．一组数据2、3、6、8、x的众数是x，其中x又是不等式组的整数解，则这组数据的中位数可能是（）A．3 B．4 C．6 D．3或68．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（）A．1元B．2元C．3元D．4元9．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P、Q 两点，点P在点Q的右边，若P点的坐标为（﹣1，2），则Q点的坐标是（）A．（﹣4，2）B．（﹣4.5，2）C．（﹣5，2）D．（﹣5.5，2 ）10．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2﹣4ac＞0；②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解；③x1＜x0＜x2④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；⑤x0＜x1或x0＞x2，其中正确的有（）A．①② B．①②④C．①②⑤D．①②④⑤二、填空题（共6小题，每题3分，满分18分）11．分解因式：（x+2）（x+4）+x2﹣4= ．12．设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a= ．13．如图，将一副直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于．14．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为．（结果保留π）15．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是．16．在矩形ABCO中，O为坐标原点，A在y轴上，C在x轴上，B的坐标为（8，6），P是线段BC上动点，点D是直线y=2x﹣6上第一象限的点，若△APD是等腰Rt△，则点D的坐标为．三、解答题（共9小题，满分72分）17．已知：y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0，先化简，再求值：（1﹣）÷．18．如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．19．吸烟有害健康，为配合“戒烟”运动，某校组织同学们在社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的随机问卷调查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图：据统计图解答下列问题：（1）同学们一共调查了多少人？（2）将条形统计图补充完整．（3）若该社区有1万人，请你估计大约有多少人支持“警示戒烟”这种方式？（4）为了让更多的市民增强“戒烟”意识，同学们在社区做了两期“警示戒烟”的宣传．若每期宣传后，市民支持“警示戒烟”的平均增长率为20%，则两期宣传后支持“警示戒烟”的市民约有多少人？20．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）21．如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=2，求FG的长．24．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处．连接BA′，设AD=x，△ADE的边DE上的高为y．（1）求出y与x的函数关系式；（2）若以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似，求x的值；（3）当x取何值时，△A′DB是直角三角形．25．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．2017年湖北省天门经济开发区中学、竟陵中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．4的算术平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】22：算术平方根．【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选：A．2．某种微粒子，测得它的质量为0.00006746克，这个质量用科学记数法表示（保留三个有效数字）应为（）A．6.75×10﹣5克 B．6.74×10﹣5克 C．6.74×10﹣6克 D．6.75×10﹣6克【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，首先把0.00006746用科学记数法表示，再保留有效数字即可．【解答】解：0.00006746=6.746×10﹣5≈6.75×10﹣5，故选：A．3．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）A．B．C．D．【考点】U3：由三视图判断几何体；U2：简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图可得从正面看可看到每列正方体的最多个数分别为4，3，2，再表示为平面图形即可．【解答】解：根据俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数，得出主视图有3列，从左到右的列数分别是4，3，2．故选C．4．下列运算正确的是（）A．a5+a5=a10B．a3•a3=a9C．（3a3）3=9a9D．a12÷a3=a9【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的除法的性质求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、a5+a5=2a5，故本选项错误；B、a3•a3=a6，故本选项错误；C、（3a3）3=27a9，故本选项错误；D、a12÷a3=a9，故本选项正确．故选D．5．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）A．B．C．D．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．【解答】解：∵AB被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴，∴S△AFG：S△ABC=4：9S△AEH：S△ABC=1：9∴S△AFG=S△ABCS△AEH=S△ABC∴S阴影部分的面积=S△AFG﹣S△AEH=S△ABC﹣S△ABC=S△ABC故选：C．6．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（）A．B．C．D．1【考点】X4：概率公式；R5：中心对称图形．【分析】先判断出圆、矩形、等边三角形、等腰梯形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可．【解答】解：圆、矩形、等边三角形、等腰梯形中，中心对称图形有圆，矩形2个；则P（中心对称图形）==．故选B．7．一组数据2、3、6、8、x的众数是x，其中x又是不等式组的整数解，则这组数据的中位数可能是（）A．3 B．4 C．6 D．3或6【考点】W4：中位数；CC：一元一次不等式组的整数解；W5：众数．【分析】先求出不等式组的整数解，再根据众数的定义可求x的值，再根据中位数是排序后位于中间位置或中间两数的平均数求解．【解答】解：，解不等式①得x＞2，解不等式②得x＜7，不等式组的解为2＜x＜7，故不等式组的整数解为3，4，5，6．∵一组数据2、3、6、8、x的众数是x，∴x=3或6．如果x=3，排序后该组数据为2，3，3，6，8，则中位数为3；如果x=6，排序后该组数据为2，3，6，6，8，则中位数为6．故选D．8．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（）A．1元B．2元C．3元D．4元【考点】FH：一次函数的应用．【分析】根据函数图象，分别求出线段OA和射线AB的函数解析式，即可解答．【解答】解：由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y=10x，1千克苹果的价钱为：y=10，当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3=30（元），设射线AB的解析式为y=kx+b（x≥2），把（2，20），（4，36）代入得：，解得：，∴y=8x+4，当x=3时，y=8×3+4=28．则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元，故选：B．9．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P、Q 两点，点P在点Q的右边，若P点的坐标为（﹣1，2），则Q点的坐标是（）A．（﹣4，2）B．（﹣4.5，2）C．（﹣5，2）D．（﹣5.5，2 ）【考点】MC：切线的性质；D5：坐标与图形性质．【分析】作MN⊥PQ于N，连接MP，根据勾股定理列出方程，解方程求出⊙M的半径，根据坐标与图形的关系解答．【解答】解：作MN⊥PQ于N，连接MP，由垂径定理得，QN=NP，设⊙M的半径为r，∵P点的坐标为（﹣1，2），∴NP=r﹣1，由勾股定理得，r2=（r﹣1）2+4，解得，r=2.5，则PN=QN=1.5，∵PQ平行于x轴，∴Q点的坐标是（﹣4，2），故选：A．10．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2﹣4ac＞0；②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解；③x1＜x0＜x2④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；⑤x0＜x1或x0＞x2，其中正确的有（）A．①② B．①②④C．①②⑤D．①②④⑤【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】①根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b2﹣4ac＞0，①正确；②由点M（x0，y0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③分a＞0和a＜0考虑，当a＞0时得出x1＜x0＜x2；当a＜0时得出x0＜x1或x0＞x2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M（x0，y0）在x轴下方即可得出y0=a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，④正确；⑤根据③可得出⑤错误．综上即可得出结论．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac＞0，①正确；②∵图象上有一点M（x0，y0），∴a+bx0+c=y0，∴x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③当a＞0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x1＜x0＜x2；当a＜0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x0＜x1或x0＞x2，③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），∴y=ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），∵图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，∴y0=a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，④正确；⑤根据③即可得出⑤错误．综上可知正确的结论有①②④．故选B．二、填空题（共6小题，每题3分，满分18分）11．分解因式：（x+2）（x+4）+x2﹣4= 2（x+2）（x+1）．【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算，然后再利用十字相乘法分解因式．【解答】解：（x十2）（x+4）十x2﹣4，=x2十6x+8十x2﹣4，=2x2+6x+4，=2（x2+3x+2），=2（x+2）（x+1）．12．设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a= 8 ．【考点】AB：根与系数的关系．【分析】先根据根与系数的关系，求出x1+x2，x1•x2的值，然后化简所求代数式，把x1+x2，x1•x2的值整体代入求值即可．【解答】解：根据题意可得x1+x2=﹣=﹣4，x1•x2==﹣3，又∵2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，∴2x1x22+10x1x2﹣6x1+a=2，﹣6x2+10x1x2﹣6x1+a=2，﹣6（x1+x2）+10x1x2+a=2，﹣6×（﹣4）+10×（﹣3）+a=2，∴a=8．故答案为：8．13．如图，将一副直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于1：3 ．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．【分析】结合图形可推出△AOB∽△COD，只要求出AB与CD的比就可知道它们的面积比，我们可以设BC为a，则AB=a，根据直角三角函数，可知DC=a，即可得△AOB与△COD的面积之比【解答】解：∵直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放∴∠D=30°，∠A=45°，AB∥CD∴∠A=∠OCD，∠D=∠OBA∴△AOB∽△COD设BC=a∴CD= a∴S△AOB：S△COD=1：3故答案为1：314．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为9﹣3π．（结果保留π）【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】连结AD．根据图中阴影部分的面积=三角形ABC的面积﹣三角形ACD的面积﹣扇形ADE的面积，列出算式即可求解．【解答】解：连结AD．∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，∴∠C=60°，AB=6，∵AD=AC，∴三角形ACD是等边三角形，∴∠CA D=60°，∴∠DAE=30°，∴图中阴影部分的面积=﹣×﹣=9﹣3π，故答案为：9﹣3π．15．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是﹣2＜k＜．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．【解答】解：由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x，联立消掉y得，x2﹣2x+2k=0，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，即k=时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（，），∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k=0，解得k=﹣2，∴要使抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜．故答案为：﹣2＜k＜．16．在矩形ABCO中，O为坐标原点，A在y轴上，C在x轴上，B的坐标为（8，6），P是线段BC上动点，点D是直线y=2x﹣6上第一象限的点，若△APD是等腰Rt△，则点D的坐标为（4，2）或（，）或（，）．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KW：等腰直角三角形．【分析】可分为当∠ADP=90°，D在AB上方和下方，当∠APD=90°时三种情况，设点D的坐标，列出方程解决问题．【解答】解：①如图1中，当∠ADP=90°，D在AB下方，设点D坐标（a，2a﹣6），过点D作EF∥OC交OA于E，交BC于F，则OE=2a﹣6，AE=AO﹣OE=12﹣2a，在△ADE和△DPF中，∴△ADE≌△DPF，∴AE=DF=12﹣2a，∵EF=OC=8，∴a+12﹣2a=8，∴a=4．此时点D坐标（4，2）．②如图2中，当∠ADP=90°，D在AB上方，设点D坐标（a，2a﹣6），过点D作EF∥OC交OA于E，交CB的延长线于F，则OE=2a﹣6，AE=OE﹣OA=2a﹣12，由△ADE≌△DPF，得到DF=AE=2a﹣12，∵EF=8，∴a+2a﹣12=8，∴a=，此时点D坐标（，）．③如图3中，当∠APD=90°时，设点D坐标（a，2a﹣6），作DE⊥CB的延长线于E．同理可知△ABP≌△EPD，∴AB=EP=8，PB=DE=a﹣8，∴EB=2a﹣6﹣6=8﹣（a﹣8），∴a=，此时点D坐标（，）．当∠DAP=90°时，此时P在BC的延长线上，∴点D坐标为（4，2）或（，）或（，）．故答案为（4，2）或（，）或（，）．三、解答题（共9小题，满分72分）17．已知：y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0，先化简，再求值：（1﹣）÷．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由当x=1时，y=0求出a的值，选取合适的a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=[1﹣]÷=•=，∵y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0，∴2﹣a﹣a2=0，解得a1=1，a2=﹣2，当a=1时，原式=3；当a=﹣2时，a+2=0，原式无意义．故原式=3．18．如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．【考点】R2：旋转的性质．【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵△ABCD为等腰直角三角形，∴∠BAD=∠BCD=45°．由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°．（2）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴AC==4．∵CD=3AD，∴AD=，DC=3．由旋转的性质可知：AD=EC=．∴DE==2．19．吸烟有害健康，为配合“戒烟”运动，某校组织同学们在社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的随机问卷调查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图：据统计图解答下列问题：（1）同学们一共调查了多少人？（2）将条形统计图补充完整．（3）若该社区有1万人，请你估计大约有多少人支持“警示戒烟”这种方式？（4）为了让更多的市民增强“戒烟”意识，同学们在社区做了两期“警示戒烟”的宣传．若每期宣传后，市民支持“警示戒烟”的平均增长率为20%，则两期宣传后支持“警示戒烟”的市民约有多少人？【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【分析】（1）用替代品戒烟的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；（2）先计算出药物戒烟的人数和警示戒烟的人数，然后补全图象统计图；（3）用10000乘以样本中警示戒烟所占的百分比可估计社区中支持“警示戒烟”的人数；（4）利用增长率的意义，计算3500（1+20%）2即可．【解答】解：（1）同学们一共调查的总人数为：50÷10%=500（人）；（2）药物戒烟的人数为15%×500=75（人），所以警示戒烟的人数为500﹣200﹣50﹣75=175（人），条形统计图补充为：（3）10000×=3500，所以估计大约有3500人支持“警示戒烟”这种方式；（4）3500（1+20%）2=5040，所以两期宣传后支持“警示戒烟”的市民约有5040人．20．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．【解答】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：楼房AB的高为（35+10）米．21．如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标．从而可求K的值；（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于x轴的对称点N1，连接MN1与x轴的交点就是满足条件的P点位置．【解答】解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．∵tan∠AHO=2，∴OH=1．∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1．∵点M在直线y=2x+2上，∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）．∵点M在y=上，∴k=1×4=4．（2）存在．过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P（如图所示）．此时PM+PN最小．∵点N（a，1）在反比例函数（x＞0）上，∴a=4．即点N的坐标为（4，1）．∵N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），∴N1的坐标为（4，﹣1）．设直线MN1的解析式为y=kx+b．由解得k=﹣，b=．∴直线MN1的解析式为．令y=0，得x=．∴P点坐标为（，0）．22．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．【解答】解：（1）y=（x﹣50）[50+5]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=2，求FG的长．【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；（3）如答图3所示，连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．【解答】解：（1）如答图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为：连接GD，如答图2所示．∵KG2=KD•GE，即=，∴=，又∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如答图3所示．sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（2）2，解得t=，设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，∴FG===．24．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处．连接BA′，设AD=x，△ADE的边DE上的高为y．（1）求出y与x的函数关系式；（2）若以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似，求x的值；（3）当x取何值时，△A′DB是直角三角形．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KH：等腰三角形的性质；KN：直角三角形的性质；KQ：勾股定理；LA：菱形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先过A点作AM⊥BC，得出BM=BC=3，再根据DE∥BC，得出AN⊥DE，即y=AN，再在Rt△ABM中，求出AM的值，再根据DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，即可求出y与x的函数关系式；（2）根据△A'DE由△ADE折叠得到，得出AD=A'D，AE=A'E，再由（1）可得△ADE是等腰三角形，得出AD=A'D，AE=A'E，即可证出四边形ADA'E是菱形，得出∠BDA'=∠BAC，再根据∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，得出∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，从而证出△BDA'∽△BAC，即可求出x的值；（3）先分三种情况进行讨论；第一种情况当∠BDA′=90°，得出∠BDA'≠90°；第二种情况当∠BA'D=90°，根据∠BAM＜90°，∠BA'D＜∠BAM，可得∠BA'D≠90°；第三种情况当∠A'BD=90°，根据∠A'BD=90°，∠AMB=90°，得出△BA'M∽△ABM，即可求出BA′的值，再在Rt△D BA'中，根据DB2+A'B2=A'D2，求出x的值，即可证出△A′DB是直角三角形；【解答】解：（1）如图1，过A点作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，则BM=BC=3，∵DE∥BC，∴AN⊥DE，即y=AN．在Rt△ABM中，AM==4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴=，∴y=（0＜x＜5）．（2）∵△A'DE由△ADE折叠得到，∴AD=A'D，AE=A'E，∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，∴AD=AE，∴A'D=A'E，∴四边形ADA'E是菱形，∴AC∥D A'，∴∠BDA'=∠BAC，又∵∠BAC≠∠ABC，∴∠BDA'≠∠ABC，∵∠BAC≠∠C，∴∠BDA'≠∠C，∴有且只有当BD=A'D时，△BDA'∽△BAC，∴当BD=A'D，即5﹣x=x时，x=．（3）第一种情况：∠BDA'=90°，∵∠BDA'=∠BAC，而∠BAC≠90°，∴∠BDA'≠90°．第二种情况：∠BA'D=90°，∵在Rt△BA'D中，DB2﹣A'D2=A'B2，在Rt△BA'M中，A'M2+BM2=A'B2，∴DB2﹣A'D2=A'M2+BM2，∴（5﹣x）2﹣x2=（4﹣x）2+（3）2，解得x=；第三种情况：∠A'BD=90°，∵∠A'BD=90°，∠AMB=90°，∴△BA'M∽△ABM，即=，∴BA'=，在Rt△D BA'中，DB2+A'B2=A'D2，（5﹣x）2+=x2，解得：x=．综上可知当x=或时，△A'DB是直角三角形．25．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）通过解方程ax2﹣5ax+4a=0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面积公式求出OC得到C点坐标，再把C点坐标代入y=ax2﹣5ax+4a中求出a即可得到抛物线的解析式；（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD=﹣ax2+5ax，通过证明Rt△PCD∽Rt△CBO，利用相似比可得到（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，然后解方程求出x即可得到点P的横坐标；（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，先证明∠HAP=∠KPA得到HA=HP，由于P（6，10a），则可得到﹣10a=6﹣1，解得a=﹣，再判断Rt△PFG单位等腰直角三角形得到FG=PG=PF=2，接着证明△AKH≌△KFG，得到KH=FG=2，则K（6，2），然后利用待定系数法求出直线KB的解析式为y=x﹣4，再通过解方程组得到Q（﹣1，﹣5），利用P、Q 点的坐标可判断PQ∥x 轴，于是可得到QP=7．【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0），∴AB=3，∵△ABC的面积为3，∴•4•OC=3，解得OC=2，则C（0，﹣2），把C（0，﹣2）代入y=ax2﹣5ax+4a得4a=﹣2，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD=4a ﹣（ax2﹣5ax+4a）=﹣ax2+5ax，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，∵∠BCP=2∠ABC，∴∠PCD=∠ABC，∴Rt△PCD∽Rt△CBO，∴PD：OC=CD：OB，即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，解得x1=0，x2=6，∴点P的横坐标为6；（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，∵AK=FK，∴∠KAF=∠KFA，而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，∵∠KAH=∠FKP，∴∠HAP=∠KPA，∴HA=HP，∴△AHP为等腰直角三角形，∵P（6，10a），∴﹣10a=6﹣1，解得a=﹣，在Rt△PFG中，∵PF=﹣4a=2，∠FPG=45°，∴FG=PG=PF=2，在△AKH和△KFG中，∴△AKH≌△KFG，∴KH=FG=2，∴K（6，2），设直线KB的解析式为y=mx+n，把K（6，2），B（4，0）代入得，解得，∴直线KB的解析式为y=x﹣4，当a=﹣时，抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2，解方程组，解得或，∴Q（﹣1，﹣5），而P（6，﹣5），∴PQ∥x 轴，∴QP=7．。