2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练55坐标系文北师大版

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2021届高考数学一轮复习人教B版坐标系课时作业Word版含答案

2021届高考数学一轮复习人教B版坐标系课时作业Word版含答案【课时训练】坐标系解答题1.(10分)(2021・南京模拟)在极坐标系中，已知圆C经过点P圆心C为直线ρsin 程.【解析】方法一：在直线ρsin=-中，=-，与极轴的交点，求圆C的极坐标方令θ=0得ρ=2.所以圆C的圆心坐标为C(2，0). 因为圆C经过点P所以圆C的半径|PC|==2，，所以圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.方法二：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y=x-2，P的直角坐标为(1，)，令y=0得x=2，所=2，以C(2，0)，所以圆C的半径|PC|=所以圆C的方程为(x-2)2+(y-0)2=4，即x2+y2-4x=0，所以圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.2.(2021・扬州模拟)在极坐标系中，直线ρcos=与极轴交于点C，求以点C为圆心且半径为1的圆的极坐标方程. 【解析】因为ρ所以ρcos θ-ρsin θ==，得x-y=2.，令y=0，则x=2，可得C(2，0)，所以以点C为圆心且半径为1的圆的方程为 (x-2)2+y2=1，即x2+y2-4x+3=0，所以所求圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+3=0. 3.(10分)(2021・遂宁模拟)点P是曲线ρ=20)，AP的中点为Q.(1)求点Q的轨迹C的直角坐标方程. (2)若C上点M处的切线斜率的取值范围是标的取值范围.【解析】(1)因为曲线ρ=2所以x2+y2=4(y≥0)，设P(x1，y1)，Q(x，y)，则x=即x1=2x-2，y1=2y，代入+=4(y≥0)，，y=，，，求点M的横坐上的动点，A(2，得(2x-2)2+(2y)2=4，所以点Q的轨迹C的直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1(y≥0).(2)轨迹C是一个以(1，0)为圆心，1为半径的半圆，如图，设M(1+cos γ，sin γ)，设点M处切线l的倾斜角为α，因为l的斜率范围为所以≤α≤，而γ=α-，所以≤γ≤，所以≤1+cos γ≤M的横坐标的取值范围是.，，所以点4．(2021安徽芜湖质检)在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．【解】ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x－y＝2，即y＝3x－2.ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，把y＝3x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－83x＋12＝0，即x2－23x＋3＝0，所以x＝3，y＝1.π???所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为2，6?. ??5．(2021山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝?32，点R?2 ?1＋2sin θπ?2，4?.?(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，点R的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．222【解】(1)曲线C：ρ＝，即ρ＋2ρsin θ＝3， 21＋2sin θ23ρ2cos2 θ22从而 3＋ρsin θ＝1. ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x22∴曲线C的直角坐标方程为3＋y＝1，点R的直角坐标为R(2,2)． (2)设P(3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ|＝2－3cos θ，|QR|＝2－sin θ，π??∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin ?θ＋3?，??π当θ＝6时，|PQ|＋|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，?31?此时点P的直角坐标为?2，2?.??π????θ－6．(2021南京模拟)已知直线l：ρsin 4?＝4和圆C：ρ＝2kcos ?π???θ＋?(k≠0)．若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实4??数k的值并求圆心C的直角坐标．【解】圆C的极坐标方程可化为ρ＝2kcos θ－2ksin θ，即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2kx＋2ky＝0，?2?2?2?22即?x－k?＋?y＋k?＝k，2??2???22?所以圆心C的直角坐标为?k，－k?.2??222直线l的极坐标方程可化为ρsin θ・2－ρcos θ・2＝4，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋42＝0，?2?2?k＋k＋42?2?2?所以2－|k|＝2.即|k＋4|＝2＋|k|，两边平方，得|k|＝2k＋3，?k>0，所以??k＝2k＋3?k<0，或??－k＝2k＋3，?22??解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为－，?.22??7．(2021河南开封模拟)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|・|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．【解】(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|・|OP|2＝|OR|2，得ρρ1＝ρ2.又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4，cos θ＋sin θcos θ＋sin θ故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．22ρ感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练34归纳与类比文北师大版

3x1＋ 3x2＋ 2 3
＝
＝
x1＋ 3
x2＋ 3
3x1＋ x2＋ 3 x1＋3x2 ＋ 3
3x1＋ 3x2 ＋2 3
3x1＋ 3x2＋ 2 3
3
＝ 3
＝ x1＋3x2 ＋2×３ 3
x1＋ 3x2＋ 2 3 ＝ 3 .
12 分
B 组能力提升
( 建议用时： 15 分钟 )
1．(2018 ·郑州模拟 ) 平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，以此类推，
2
2
sin x1＋ sin x2
B，线段 AB总是位于 A，B 两点之间函数图像的下方，类比可知应有
2
＜sin
x1 ＋ x 2 2 .]
7．观察下列不等式： 13
1＋ 2< ， 22
1 15 1＋ 22＋ 32<3，
1 1 17 1＋ 22＋ 32＋ 42<4，
…
照此规律，第五个不等式为 __________ ．
故甲的卡片上的数字是 1 和 3. 法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是
2，所以丙的卡片上必有数字 2. 又丙的卡片
上的数字之和不是 5，所以丙的卡片上的数字是 1 和 2. 因为乙与丙的卡片上相同的数字
不是 1，所以乙的卡片上的数字是 2 和 3，所以甲的卡片上的数字是 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
12 分
部编本试题，欢迎下载！
D．全不正确
C [ 因为 f ( x) ＝ sin( x2＋ 1) 不是正弦函数，所以小前提不正确． ]
2．如图 6-4-3 ，根据图中的数构成的规律，得 a 表示的数是 (
)

2020高考数学一轮复习课时分层训练1集合理北师大版-精装版

教学资料范本2020高考数学一轮复习课时分层训练1集合理北师大版-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习课时分层训练1集合理北师大版A组基础达标一、选择题1．(20xx·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0B [集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]2．设集合M＝{x|x2－2x－3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为( )【导学号：79140003】A．8 B．7C．4 D．3B [依题意，M＝{x|(x＋1)·(x－3)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}，因此集合M的真子集个数为23－1＝7，故选B.]3．(20xx·重庆调研(二))已知集合A＝{a，a2}，B＝{1}，若B⊆A，则实数a＝( )A．－1 B．0C．1 D．2A [因为B⊆A，所以a＝1或a2＝1，且a≠a2，解得a＝－1，故选A.]4．(20xx·长春模拟(二))若集合M＝{1,3}，N＝{1,3,5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4D [由M∪X＝N得集合X中必有元素5，则X＝{5}或{1,5}或{3,5}或{1,3,5}，共4个，故选D.]5．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图112中阴影部分表示的集合为( )图112B．{1,2}A．{－1，－2}D．{－1,2}C．{－2,1}A [因为Q＝{1,2}，所以P∩(∁UQ)＝{－1，－2}，故选A.] 6．(20xx·南昌一模)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B ＝{y|y＝＋1}，那么A∩(∁UB)＝( )A．∅B．(0,1]C．(0,1) D．(1，＋∞)C [因为A＝(0，＋∞)，B＝[1，＋∞)，所以A∩(∁UB)＝(0,1)，故选C.]7．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A．1 B．3C．7 D．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.]二、填空题8．(20xx·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B ＝{1}，则实数a的值为________．1 [∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，∴1∈B且2∉B.若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．又a2＋3≥3≠1，故a＝1.]9．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.【导学号：79140004】(－∞，1] [∵1∉{x|x2－2x＋a＞0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.]10．已知A＝{x|x2－3x＋2＜0}，B＝{x|1＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．[2，＋∞)[因为A＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}⊆B，所以a≥2.]B组能力提升11．(20xx·辽宁五校模拟)已知集合P＝{x|x2－2x－8＞0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是( )A. (－2，＋∞)B．( 4，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，4]C [集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]，故选C.]12．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图113中阴影部分表示的区间是( )图113A．[0,1]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[－1,2]D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D [A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cos x，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．] 13．已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )【导学号：79140005】A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B [∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.]14．已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是( )A．0 B．1C．11 D．12C [由x2－2 019x＋2 018＜0，解得1＜x＜2 018，故A＝{x|1＜x＜2 018}．由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}．由A⊆B，可得2m≥2 018，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m的最小值为11.]15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.【导学号：79140006】(－∞，－2] [集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．]。

(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习坐标系文课后训练题含解析

课后限时集训(五十九)(建议用时：60分钟) A 组基础达标1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．[解] 设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，x ′29＋y ′24＝1.∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．[解] 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径|PC |＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φy ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．[解] (1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN |＝|ρ1－ρ2|＝2，∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.4．在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为2.B 组能力提升1．已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3.∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32. 曲线C 2化为x 26＋y 22＝1，(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6.∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)，P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. ∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ，得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.2．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．[解] (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. ∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. ∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。

【2020】高考数学一轮复习课时分层训练55坐标系文北师大版

产后抑郁症的生物心理社会模型产后抑郁症是一种在产后女性中较为常见的心理健康问题，它给新妈妈们带来了极大的痛苦和困扰，也对家庭和社会产生了不可忽视的影响。

为了更全面、深入地理解产后抑郁症，我们可以借助生物心理社会模型来进行分析。

从生物学的角度来看，产后女性体内的激素水平会发生显著变化。

在怀孕期间，女性体内的雌激素和孕激素水平升高，以支持胎儿的生长和发育。

而分娩后，这些激素水平迅速下降，这种急剧的变化可能会影响神经递质的平衡，如血清素、多巴胺等。

神经递质在调节情绪和心理状态方面起着关键作用，其失衡可能增加产后抑郁症的发生风险。

此外，遗传因素也在产后抑郁症的发病中发挥一定作用。

如果家族中有抑郁症的病史，那么产后女性患上抑郁症的可能性相对较高。

产后身体的疲劳、睡眠不足以及分娩过程中的创伤和疼痛等生理因素，同样会对女性的身心健康产生负面影响。

在心理层面，产后女性面临着巨大的心理调适需求。

新生命的诞生带来了角色的转变，从妻子转变为母亲，这意味着责任的增加和生活方式的重大改变。

许多新妈妈可能会感到焦虑和不安，担心自己无法胜任母亲的角色，对育儿的不确定性感到恐惧。

同时，产后女性的自我评价和自尊也可能受到影响。

如果在产后得不到足够的支持和肯定，她们可能会对自己的能力产生怀疑，进而陷入消极的情绪状态。

一些女性在产后可能会经历产后身材走样、容颜变化等，这也可能引发心理上的困扰和自卑感。

社会因素在产后抑郁症的形成中同样不容忽视。

首先，社会对母亲角色的过高期望和刻板印象给新妈妈们带来了无形的压力。

人们往往认为母亲应该天生就懂得如何照顾孩子，并且能够完美地处理一切育儿问题。

这种不切实际的期望使得新妈妈们在面对困难时更容易感到挫败和自责。

家庭环境和支持系统对产后女性的心理健康至关重要。

如果家庭成员之间关系紧张、缺乏沟通和理解，或者丈夫在育儿过程中参与度不足，新妈妈们可能会感到孤独和无助。

婆媳关系不和、家庭成员对育儿观念的分歧等，都可能成为引发产后抑郁症的导火索。

2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练11函数与方程理北师大版

课时分层训练(十一) 函数与方程A 组基础达标一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6则函数y ＝f (x A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．故选B.]3．(2017·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 12的交点横坐标所在区间为( )【导学号：79140063】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜bB [由于f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，且f (x )为R 上的增函数，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)．因为g (x )是R 上的增函数，g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2.因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a ＜c ＜b .]5．(2018·合肥第一次质检)从[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x－a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.23A [函数f (x )有零点，即f (x )＝4x －2a ·2x ＋1＝0有解，则2a ＝2x＋12x ≥2，a ≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立．所求概率为2－12＋2＝14，故选A.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点所构成的集合为________．{－2，e} [由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.]8．若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________.【导学号：79140064】(0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图像，如图所示，则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.10．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0)．(1)作出函数f (x )的图像；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．[解] (1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图像可知，当0＜m ＜1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．B 组能力提升11．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]12．(2018·杭州质检)设方程x ＝ln(ax )(a ≠0，e 为自然对数的底数)，则( )A ．当a ＜0时，方程没有实数根B ．当0＜a ＜e 时，方程有一个实数根C ．当a ＝e 时，方程有三个实数根D ．当a ＞e 时，方程有两个实数根D [由x ＝ln(ax )得e x＝ax ，则函数y ＝e x，y ＝ax 图像的交点个数是原方程根的个数．当a ＜0时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与y ＝e x相切的切点坐标为(x 0，e x 0)，则e x 0＝ex 0x 0，x 0＝1，则切线斜率为e ，所以当0＜a ＜e 时，方程无根；当a ＝e 时，方程有一个实数根；当a ＞e 时，方程有两个实数根，D 正确，故选D.]13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．(0,1) [函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图像，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．]14．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数. 【导学号：79140065】[解] (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝(x －1)(x －3)x2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：所以当又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，且g (3)＜0，g (e 3)＞0，所以g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)上仅有1个零点．。

2020高考数学一轮复习课时分层训练52椭圆理北师大版-精装版

教学资料范本2020高考数学一轮复习课时分层训练52椭圆理北师大版-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习课时分层训练52椭圆理北师大版A组基础达标一、选择题1．(20xx·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )A. B.12C. D.34B[如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.]2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )【导学号：79140286】A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1A [由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A.]3．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )A．9,12 B．8,11C．8,12 D．10,12C [如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12.]4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )A．2 B．3C．6 D．8C [由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]5．(20xx·河北衡水六调)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为( )A.＋＝1B.－＝1C.－＝1D.＋＝1D [由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.]二、填空题6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的标准方程为________．x245＋＝1 [由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a ＞b ＞0)．由离心率e ＝可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为＋＝1，将P(－5,4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.]7．(20xx·太行中学)如图852，∠OFB＝，△ABF 的面积为2－，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图852x28，由题意可知，1(a>b>0)设所求椭圆方程为＋＝[ 1＋＝|OF|＝c ，|OB|＝b ，∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a ＝2b.∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a －c)·b＝(2b －b)b ＝2－，解得b2＝2，则a ＝2b ＝2.∴所求椭圆的方程为＋＝1.]8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足1·2＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.【导学号：79140287】⎝⎛⎭⎪⎫0，22 [满足1·2＝0的点M 的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c ＜b ，即c2＜b2，又b2＝a2－c2，所以c2＜a2－c2，即2c2＜a2，所以e2＜，又因为0＜e ＜1，所以0＜e ＜.]三、解答题9．已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x2＋y2＝1上，求m 的值．[解] (1)由题意，得解得⎩⎨⎧ a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为＋＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB 的中点为M(x0，y0)，由消去y 得，3x2＋4mx ＋2m2－8＝0，Δ＝96－8m2>0，∴－2<m<2.∵x0＝＝－，∴y0＝x0＋m ＝.∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴＋＝1，∴m＝±.10．设椭圆E 的方程为＋＝1(a>b>0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b)，点M 在线段AB 上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM 的斜率为.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b)，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为，求E 的方程．[解] (1)由题设条件知，点M 的坐标为，又kOM ＝，从而＝，进而得a ＝b ，c ＝＝2b ，故e ＝＝.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为＋＝1，点N 的坐标为.设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为，则线段NS 的中点T 的坐标为.又点T 在直线AB 上，且kNS·kAB＝－1，从而有解得b ＝3.所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.B组能力提升11．(20xx·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，]∪[4，＋∞)A [法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝＝.又tan∠AMB＝tan 120°＝－，且由＋＝1可得x2＝3－，则＝＝－.解得|y|＝.又0<|y|≤，即0＜≤，结合0＜m＜3解得0＜m≤1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法二：当0<m<3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得0<m≤1.当m>3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.]12．过椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F2，若<k<，则椭圆的离心率的取值范围是__________.【导学号：79140288】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 [如图所示，|AF2|＝a ＋c ， |BF2|＝，∴k＝tan∠BAF2＝＝a2－c2a a ＋c＝＝1－e.又∵<k<，∴<1－e<，解得<e<.]13．(20xx·云南统测)已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若＝3，求m2的取值范围．[解] (1)根据已知设椭圆E 的方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，由已知得＝，∴c＝a ，b2＝a2－c2＝.∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，∴4＝2a ＝4，∴a＝2，b ＝1.∴椭圆E 的方程为x2＋＝1.(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，由得，(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0.由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)＞0，即k2－m2＋4＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝.由＝3得x1＝－3x2.∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x－12x＝0.∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0.当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，∴k2＝.∵k2－m2＋4＞0，∴－m2＋4＞0，即＞0.∴1＜m2＜4.∴m2的取值范围是(1,4)．。

2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练57绝对值不等式文北师大版

解得－ 3≤ x≤1，
1
所以原不等式的解集为 x － 3≤ x≤１ .
4分
(2) 由 f ( x) ≥ g( x) ，得 | x＋1| ≥2| x| ＋ a，
即| x＋ 1| －2| x| ≥ A．
令 F( x) ＝ | x＋ 1| － 2| x| ，
依题意可得 F( x) ≥ max A．
5分
1－ x，x≥0，
10 又 a＞ 0，因此 0＜ a≤ 3 .
10 分
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【导学号： 00090379】
3
[ 解]
(1) 原不等式等价于 x＞ 2，
或
x＋＋ x－
1
3
－ 2≤ x≤ 2，
x＋－ x－
1 或 x＜－ 2，
－ x＋－ x－
，
1分
3
1
3
1
解得 2＜ x≤２或－ 2≤x≤ 2或－ 1≤ x＜－ 2，
3分
∴不等式 f ( x) ≤６的解集为 { x| －1≤ x≤2}.
6分
∴f ( x) 的最小值为 4，∴ log 2( a2－ 3a) ＋ 2＜ 4，
7分
a2－ 3a＞0，即 a2－ 3a－ 4＜ 0，
解得－ 1＜ a＜ 0 或 3＜ a＜ 4，
9分
∴实数 a 的取值范围为 ( － 1,0) ∪ (3,4). 10 分
5．(2018 ·肇庆模拟 ) 已知函数 f ( x) ＝| x＋ 1| ，g( x) ＝ 2| x| ＋ A．
－ 3x－1＋ 2a， x≤ a，
当 a＜－ 1 时， f ( x) ＝ x－ 1－2a， a＜ x≤－ 1，
3分
3x＋ 1－2a， x＞－ 1，

2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练58算法与算法框图理北师大版

故选 B.]
5．(2017 ·全国卷Ⅲ ) 执行如图 9-1-20 所示的算法框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入
的正整数 N的最小值为 ( )
A． 5
图 9-1-20 B． 4
C． 3 D [ 假设 N＝2，算法执行过程如下： t ＝ 1，M＝ 100，S＝ 0，
D． 2
100 1≤2， S＝ 0＋ 100＝ 100，M＝－ 10 ＝－ 10，t ＝ 2，
的值为 (
)
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A． 4 C． 2
图 9-1-17 B． 3 D．－ 1
a( a－ b) ， a≥ b， A [ 由算法框图可知， S＝
b( a＋ 1) ， a＜ b，
5π
5π
因为 2cos 3 ＝1,2tan 4 ＝ 2,1 ＜2，
5π
5π
所以 2cos 3 ? 2tan 4 ＝2×(1 ＋ 1) ＝ 4.]
10．执行如图 9-1-25 所示的算法框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 n 的值为 ________.
【导学号： 79140321】
图 9-1-25 3 [ 由 x2－ 4x＋3≤0，解得 1≤ x≤3. 当 x＝1 时，满足 1≤ x≤3，所以 x＝ 1＋ 1＝2， n＝ 0＋ 1＝ 1；当 x＝2 时，满足 1≤ x≤3，所以 x＝ 2＋ 1＝3， n＝ 1＋ 1＝ 2；当 x＝3 时，满足 1≤ x≤3，所以 x＝ 3＋ 1＝4， n＝ 2＋ 1＝ 3；当 x＝4 时，不满足 1≤ x≤3，所以输出 n＝ 3.]
5 无解，所以满足条件的实数 x 的个数为 3 个，故选 C.]
7．公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的

2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练39平行关系文北师大版

(2) 由 (1) 可知， PA∥平面 BMQ，所以点 P 到平面 BMQ的距离等于点 A 到平面 BMQ的距离，
V V V 所以＝＝， P- BMQ
A- BMQ
M- ABQ
1 取 CD的中点 K，连结 MK，所以 MK∥ PD， MK＝ 2PD＝ 1，
又 PD⊥底面 ABCD，所以 MK⊥底面 ABCD．
C 正确；
对于 D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故
D 不正确． ]
2．下列四个正方体图形中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N，P 分别为其所在棱的中点，
能得出 AB∥平面 MNP的图形的序号是 ( )
图 7-4-6
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
C [ 对于图形①，平面 MNP与 AB所在的对角面平行，即可得到 AB∥平面 MNP；对于图
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图 7-4-11 [ 解 ] (1) 证明：设 AC∩ BD＝O，取 BE中点 G，连接 FG，OG，
1 所以， OG∥DE，且 OG＝ 2DE.
因为 AF∥ DE， DE＝ 2AF，所以 AF∥ OG，且 OG＝ AF，从而四边形 AFGO是平行四边形， FG∥OA．
] 3．(2018 ·湘潭模拟 ) 如图 7-4- 13，在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD∥ BC，
PD⊥底面 ABCD，∠ ADC＝90°， AD＝2BC， Q为 AD的中点， M为棱 PC的中点． (1) 证明： PA∥平面 BMQ； (2) 已知 PD＝ DC＝ AD＝ 2，求点 P 到平面 BMQ的距离．
9分
1
4

2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练40垂直关系文北师大版

相等，故正确． ] 三、解答题
9. (2015 ·北京高考 ) 在三棱锥 V- ABC中，平面 VAB⊥平面 ABC，△ VAB为等边三角形， AC⊥
BC且 AC＝ BC＝ 2， O， M分别为 AB， VA的中点．
图 7-5-14
(1) 求证： VB∥平面 MOC；
(2) 求证：平面 MOC⊥平面 VAB；
m⊥ n，故正确．对于③，因为 α ∥β ，所以 α ， β 没有公共点．又 m α ，所以 m， β 没有公共点，
由线面平行的定义可知 m∥ β ，故正确．
对于④，因为 m∥ n，所以 m与 α 所成的角和 n 与 α 所成的角相等．因为 α ∥β ，所以 n 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等，所以 m与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角
3．如图 7-5-10 ，在正四面体 P- ABC中， D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，下面四个结论
不．成．立．的是 (
)
图 7-5-10 A． BC∥平面 PDF B． DF⊥平面 PAE C．平面 PDF⊥平面 PAE D．平面 PDE⊥平面 ABC D [ 因为 BC∥ DF， DF 平面 PDF，
1 因为 AD∥ BC， BC＝ 2AD，所以直线 AB与 CD相交，所以 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥ BD． 8 分
1 因为 AD∥ BC， BC＝ 2AD， M为 AD的中点，连接 BM，所以 BC∥ MD，且 BC＝ MD，所以四边形 BCDM是平行四边形，
1 所以 BM＝ CD＝ 2AD，所以 BD⊥AB．又 AB∩ AP＝ A，所以 BD⊥平面 PAB．又 BD 平面 PBD，所以平面 PAB⊥平面 PBD．

2020年高考数学一轮复习课时分层训练55曲线与方程理北师大版_4204.doc

课时分层训练(五十五) 曲线与方程A 组基础达标一、选择题1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分B [x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．] 2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.]3．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．x 2＝2yD ．x 2＝4yB [设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B.]4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )【导学号：79140301】A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.]5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A ．32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)A [设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ＝1，即32x 2＋3y 2＝1.故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是__________．y 2＝8x [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝(x ，y )－⎝⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x .∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .]7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．x 29－y 216＝1(x ＞3) [如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．] 8．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________.【导学号：79140302】16x2a 2－16y 23a 2＝1(x ＞0且y ≠0) [由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支(除去顶点)．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y23a 2＝1(x ＞0且y ≠0)．]三、解答题9．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →，求点P 的轨迹方程．[解] 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，由已知知AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )，得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.即点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.10．如图882，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λNM →.图882(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．[解] (1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )，则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1，∴PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． ∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y . ∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1，∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1，故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1即为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.∴当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．B 组能力提升11．(2017·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →为( ) A ．－12 B ．12 C ．－9D ．9D [由|AP →|－|BP →|＝2，可得点P (x ，y )的轨迹是以两定点A ，B 为焦点的双曲线的上支，且2a ＝2，c ＝2，∴b ＝3.∴点P 的轨迹方程为y 2－x 23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝4，∴AP →·BP →＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9.]12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________.【导学号：79140303】y ＝2x －2 [设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.]13．(2016·全国卷Ⅰ选编)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值；(2)求点E 的轨迹方程，并求它的离心率． [解] (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.(2)由圆A 方程(x ＋1)2＋y 2＝16，知A (－1,0)．又B (1,0)因此|AB |＝2，则|EA |＋|EB |＝4>|AB |.由椭圆定义，知点E 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x 轴的交点)，所以a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3. 所以点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．故曲线方程的离心率e ＝c a ＝12.。

近年高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1节坐标系课时分层训练文北师大版(2021年整理)

2018高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1节坐标系课时分层训练文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1节坐标系课时分层训练文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时分层训练（五十五) 坐标系1．在极坐标系中，求点错误!到直线ρsin错误!＝1的距离．[解］点错误!化为直角坐标为(错误!,1)，3分直线ρsin错误!＝1化为ρ错误!＝1，得错误!y－错误!x＝1,即直线的方程为x－错误!y＋2＝0，6分故点（错误!,1）到直线x－错误!y＋2＝0的距离d＝错误!＝1。

10分2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin错误!＝错误!。

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当θ∈（0，π）时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[解]（1）圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ,2分圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，4分直线l:ρsin错误!＝错误!，即ρsinθ－ρcosθ＝1,则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0. 6分（2)由错误!得错误!8分故直线l与圆O公共点的一个极坐标为错误!。

10分3．(2017·邯郸调研）在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin错误!＝1，圆C 的圆心的极坐标是C错误!，圆的半径为1.（1）求圆C的极坐标方程；(2）求直线l被圆C所截得的弦长．[解］(1)设O为极点,OD为圆C的直径，A(ρ，θ）为圆C上的一个动点,则∠AOD＝错误!－θ或∠AOD＝θ－错误!，2分OA＝OD cos错误!或OA＝OD cos错误!，∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos错误!. 4分(2)由ρsin错误!＝1，得错误!ρ（sinθ＋cosθ)＝1，6分∴直线l的直角坐标方程为x＋y－错误!＝0，又圆心C的直角坐标为错误!，满足直线l的方程,∴直线l过圆C的圆心，8分故直线被圆所截得的弦长为直径2. 10分4．(2017·南京调研）在极坐标系中，已知圆C的圆心C错误!,半径r＝3.(1）求圆C的极坐标方程；(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上,且错误!＝2错误!，求动点P的轨迹方程.【导学号:66482485】［解](1）设M（ρ，θ）是圆C上任意一点．在△OCM中，∠COM＝错误!，由余弦定理得|CM|2＝|OM|2＋｜OC|2－2｜OM|·｜OC|cos错误!，化简得ρ＝6cos错误!。

近年年高考数学一轮复习课时分层训练54几何概型文北师大版(2021学年)

2019年高考数学一轮复习课时分层训练５4 几何概型文北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（201９年高考数学一轮复习课时分层训练5４几何概型文北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时分层训练(五十四) 几何概型Ａ组基础达标（建议用时:30分钟)一、选择题1．在区间［-2,3］上随机选取一个数Ｘ，则X ≤1的概率为（ )ﻩ A.45B.错误! ﻩC.＼f(２，５） D ．错误!ﻩB [在区间［－2，３]上随机选取一个数X ，则X ≤１,即－2≤Ｘ≤1的概率为P ＝＼f （３,５)。

］2.（201８·广州市五校联考)四边形A ＢCD 为长方形，AB =２,B Ｃ=１，O 为A Ｂ的中点,在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（）【导学号:00090３６3】ﻩ A.错误!ﻩB ．１-错误!C ．错误!D ．1－错误! B [如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比,即所求概率P ＝Ｓ阴影S 长方形AB ＣD＝错误!=１-错误!。

］３．(2018·榆林模拟)若函数f (x )=错误!在区间[0,e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( )Ａ.错误!ﻩ B.1-错误!Ｃ．e １+e D.错误! B ［当0≤x ＜1时,f (x )＜e,当1≤x ≤e 时,e≤f (ｘ)≤1＋e,∵ｆ（x )的值不小于常数e,∴1≤ｘ≤e，∴所求概率为＼f(e-1,e ）=1－＼f(1,e),故选B ．］４．(２0１５·山东高考）在区间[０，２］上随机地取一个数x ，则事件“－1≤ｌｏg 12错误!≤1"发生的概率为( ）A ．＼ｆ(3，4) Ｂ．23ﻩC ．错误!Ｄ．错误! ﻩA ［不等式－1≤ｌog 错误!错误!≤1可化为l ｏg 错误!2≤log 错误!错误!≤log 错误!错误!，即＼f(１，2)≤x +错误!≤２,解得0≤x ≤错误!，故由几何概型的概率公式得P ＝错误!＝错误!.］５．已知正三棱锥Ｓ。

《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版课时作业55 Word版含解析

课时作业55排列与组合一、选择题(每小题5分，共40分)1．假如n是正偶数，则C0n＋C2n＋…＋C n－2n＋C n n＝()A．2n B．2n－1C．2n－2D．(n－1)2n－1解析：(特例法)当n＝2时，代入得C02＋C22＝2，排解答案A、C；当n＝4时，代入得C04＋C24＋C44＝8，排解答案D，故选B.答案：B2．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为平安起见，首尾确定要排两位爸爸，另外，两个小孩确定要排在一起，则这6人的入园挨次排法种数为()A．48种B．36种C．24种D．12种解析：爸爸排法为A22种，两个小孩排在一起故看成一体有A22种排法．妈妈和孩子共有A33种排法，∴排法种数共有A22A22A33＝24种．故选C.答案：C3．(2022·三明调研)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中挨次为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有() A．12种B．20种C．40种D．60种解析：五个元素没有限制全排列数为A55，由于要求A，B，C的次序确定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A33，可得A55A33×2＝40.答案：C4．(2022·郑州一模，10)5位同学站成一排预备照相的时候，有两位老师碰巧路过，同学们猛烈要求与老师合影留念，假如5位同学挨次确定，那么两位老师与同学们站成一排照相的站法总数为()A．6 B．20C．30 D．42解析：由于五位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择，当第一位老师站好后，其次位老师站进去有7种选择，所以两位老师与同学站成一排的站法共有6×7＝42种．答案：D5．(2022·长春一模，7)高三某班6名同学站成一排照相，同学甲、乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同的排法种数共有()A．120 B．240C．360 D．480解析：先将其他4名同学排好有A44种方法，然后将甲、乙两名同学插空，又甲、乙两人挨次确定且不相邻，有C25种方法，所以共有A44·C25＝240种排法．答案：B6．(2022·丽水一模，8)某中学从4名男生和3名女生中推举4人参与某高校自主招生考试，若这4人中必需既有男生又有女生，则不同的选法共有() A．140种B．120种C．35种D．34种解析：从7人中选4人共有C47＝35种方法，又4名全是男生的选法有C44＝1种．故选4人既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.。

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课时分层训练(五十五) 坐标系
1．在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离．
[解] 点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，
3分
直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，得
32y －1
2
x ＝1，即直线的方程为x －3y ＋2＝0，
6分故点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|3－3×1＋2|12＋－3
2
＝1. 10分
2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2
＝ρcos θ＋ρsin θ， 2分
圆O 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝x ＋y ，即x 2
＋y 2
－x －y ＝0，
4分
直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.
6分 (2)由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋y 2
－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝1，
8分
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫1，π2.
10分
3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C
的圆心的极坐标是C ⎝
⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.
(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．
[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝
π
4－θ或∠AOD ＝θ－π
4
，
2分
OA ＝OD cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫θ－π
4
， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4.
4分 (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，
6分
∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2
2
，22，满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，
8分故直线被圆所截得的弦长为直径2.
10分 4．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α
(t 为参数，t ≠0)，
其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，
C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.
【导学号：00090370】
[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－23x ＝0，
2分
联立⎩⎨⎧
x 2＋y 2
－2y ＝0，
x 2
＋y 2－23x ＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
2，y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，32. 4分
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 8分
所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π
6
时，|AB |取得最大值，最大值为4.
10分
5．(2018·太原模拟)在平面直角坐标系xOy
中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2的普通方程为x 216＋y 2
4＝1，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系．
(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的极坐标方程；
(2)若A ，B 是曲线C 2上的两点，且OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1
|OB |
2的值．
[解] (1)依题意，曲线C 1的普通方程为(x －1)2
＋y 2
＝1，即x 2
－2x ＋y 2
＝0，
2分
曲线C 2的极坐标方程为ρ2
cos 2
θ＋4ρ2
sin 2
θ＝16(只要写出ρ，θ的关系式均可).
4分
(2)曲线C 2的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2
θ4＝1，设A (ρ1，θ)，B ⎝
⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，代入C 2的极坐标方程得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2
θ
4＝1， 6分
故1ρ21＋1ρ22＝cos 2
θ16＋sin 2
θ4＋sin 2
θ16＋cos 2
θ4＝5
16， 9分 ∴
1
|OA |2
＋1|OB |2＝5
16
.
10分
6．(2018·大同模拟)在直角坐标系xOy
中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋cos α
y ＝2＋sin α(α为
参数)，直线C 2的方程为y ＝3x ，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1
|OB |
. 【导学号：00090371】
[解] (1)曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋cos α
y ＝2＋sin α(α为参数)，直角坐标方程为(x －2)
2
＋(y －2)2
＝1，即x 2
＋y 2
－4x －4y ＋7＝0，极坐标方程为ρ2
－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.
2分直线C 2的方程为y ＝3x ，极坐标方程为tan θ＝3； 4分 (2)直线C 2与曲线C 1联立，可得ρ2
－(2＋23)ρ＋7＝0，
6分
设A ，B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋23，ρ1ρ2＝7，8分 ∴
1
|OA |＋1|OB |＝|ρ1＋ρ2||ρ1ρ2|＝2＋23
7.
10分。