第二章 平面向量单元能力测控题测试
高中数学人教版必修第二章平面向量单元测试卷
如图，设对角线AC与BD交于点O，∴ ＝ ＋ . · ＝ ·( ＋ )＝－2＋0＝－2，故选B.]
12．A[根据正六边形的几何性质．
〈 ， 〉＝ ，〈 ， 〉＝ ，
〈 ， 〉＝ ，〈 ， 〉＝ .
∴ · <0， · ＝0，
· ＝| |· | |cos ＝ | |2，
· ＝| |·2| |·cos ＝| |2.比较可知A正确．]
解析 由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.
16．－
解析 因为点O是A，B的中点，所以 ＋ ＝2 ，设| |＝x，则| |＝1－x(0≤x≤1)．
∴ · ＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C＝90°，且| |＝ ，| |＝2 ，| |≠| |.
∴△ABC是直角非等腰三角形．]
9．B[∵ ＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量 后得 ， ＝ ＝(2,3)．]
10．A[a·b＝－3λ＋10<0，∴λ> .当a与b共线时， ＝ ，∴λ＝ .此时，a与b同向，∴λ> .]
A．6B．5C．4D．3
8．向量 ＝(4，－3)，向量 ＝(2，－4)，则△ABC的形状为()
A．等腰非直角三角形B．等边三角形
C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形
9．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量 按向量a＝(－1，－1)平移后得到 为()
A．(1,2)B．(2,3)
C．(3,4)D．(4,7)
10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是()
A． B．
C． D．
11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则 · 等于()
A．2B．－2
2020学年高中数学第二章平面向量单元质量测评(含解析)新人教A版必修4(2021-2022学年)
第二章单元质量测评对应学生用书P79 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分１50分,考试时间1２０分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共1２小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列等式恒成立的是()A.错误!+错误!未定义书签。
＝０B．错误!－错误!=错误!C.(a·ｂ）·c＝a·(b·c)D.(a＋b)·ｃ＝a·c+b·c答案 D解析由数量积满足分配律可知D正确．２．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题：①给定向量ｂ，总存在向量c,使a＝b+c;②给定不共线的向量ｂ和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μｃ;③给定单位向量ｂ和正数μ,总存在单位向量ｃ和实数λ，使ａ=λb+μc;④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c,使a＝λb+μc.上述命题中的向量ｂ，c和ａ在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )Ａ.1 B.2 C．３ D．4答案Ｂﻬ解析显然①②正确;对于③，当μ〈|ａ｜sｉｎ<a，b>时,不存在符合题意的单位向量c和实数λ,③错误；对于④,当λ=μ=１,｜a｜＞2时,易知④错误．3．在五边形ＡBCDE中(如图),错误!+错误!-错误!未定义书签。
=()A.错误!未定义书签。
B.错误!C．错误! D．错误!答案 B解析错误!未定义书签。
＋错误!-错误!未定义书签。
＝错误!+错误!未定义书签。
=错误!未定义书签。
.4．设D为△ABＣ所在平面内一点,错误!=３错误!，则（ )Ａ.错误!＝－错误!未定义书签。
错误!＋错误!未定义书签。
错误! B．错误!未定义书签。
＼s＼ｕp6（→)-错误!错误!＝错误!未定义书签。
ＡBＣ．错误!=错误!未定义书签。
错误!+错误!未定义书签。
错误! D.错误!=错误!未定义书签。
人教版高二第二章平面向量单元测试精选(含答案)1
人教版高二第二章平面向量单元测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】A2．已知向量a,b r r 满足||1=r a ，1⋅=-r ra b ，则(2)⋅-=r r r a a bA ．4B ．3C ．2D ．0【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II) 【答案】B3．已知两个单位向量a r 和b r 夹角为60︒，则向量a b -r r在向量a r 方向上的投影为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【来源】安徽省江淮六校2019届高三上学期开学联考理科数学试题 【答案】D4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷) 【答案】A5．在ABC ∆中，已知向量AB u u u r 与AC u u u r 满足()||||AB AC BC AB AC +⊥u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 且•12||||AB AC AB AC =u u u r u u u ru u u r u u u r ，则ABC ∆是( ) A ．三边均不相同的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形【来源】第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用 【答案】D6．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =u u u r u u u rg A ．232a -B ．234a -C ．234a D ．232a 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析) 【答案】D7．若1,,(23)(4)a b a b a b ka b ==⊥+⊥-v v v vv v v v ，则实数k 的值为（ ） A ．-6B ．6C ．-3D ．3【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题 【答案】B8．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为（ ）A B C ．D ． 【来源】河北省武邑中学2018届高三上学期期末考试数学（理)试题 【答案】A9．已知向量(2,0)OB u u u r =，向量(2,2)OC u u u r =，向量)CA u u u ra a =，则向量OA u u u r 与向量OB uuu r的夹角的取值范围是（ ）． A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【来源】天津市耀华中学2018届高三12月月考数学（文)试 【答案】D10．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+u u u r u u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．2【来源】2017届河北衡水中学高三上学期第二次调研数学（理)试卷（带解析) 【答案】B11．已知O 是ABC V 所在平面内的一点，A B C ∠∠∠，，所对的边分别为a b c ，，.若0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r，则O 是ABC V 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【来源】第二章全章训练 【答案】A12．设正方形ABCD 的边长为1，则AB BC AC -+u u u r u u u r u u u r等于（ ）A ．0BC ．2D ．【来源】第二章全章训练 【答案】C13．如图，在ABC V 中，BA BC =u u u r u u u r ，延长CB 到D ，使AC AD ⊥u u u r u u u r.若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ-的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【来源】第二章全章训练 【答案】C14．设单位向量1e u r 、2e u u r 的夹角为23π，122a e e =+u r r u u r ，1223b e e =-r u r u r ，则b r 在a r 方向上的投影为（ ）A B C D 【来源】智能测评与辅导[文]-平面向量及复数 【答案】A15．若O 为平面内任意一点，且()()20OB OC OA AB AC +-⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则△ABC 是( )A ．直角三角形或等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形【来源】2018年高考数学理科训练试题：专题(20) 平面向量的数量积及其应用 【答案】C16．给出下面四个命题：①0AB BA u u u v u u u v u v+=； ②C AC AB B u u u v u u u v u u u v +=；③AC BC AB =u u u v u u u v u u u v －；④00AB u u u v⋅=.其中正确的个数为 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【来源】20102011学年山东省威海市高一下学期期末模块考试数学 【答案】B17．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C >+，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【来源】2016-2017陕西西藏民族学院附中高二文12月考数学试卷（带解析) 【答案】C18．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（ ） A ．AO OD =u u u r u u u rB ．2AO OD =u u u r u u u rC ．3AO OD =u u u r u u u rD ．2AO OD =u u u r u u u r【来源】2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京) 【答案】A19．在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心B ．内心C ．重心D ． 外心【来源】黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D20．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a ba b=成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|【来源】福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习 平面向量、复数 形成性测试卷（文科)数学试卷 【答案】C21．已知四点()4,2A -，()6,4B -，()12,6C ，()2,12D ，给出下面四个结论：①AB CD ∥；②AB CD ⊥；③AC BD P ；④AC BD ⊥．其中正确结论的序号为（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【来源】高二人教版必修2 第二章 1.3 两条直线的位置关系 【答案】B22．已知△ABC 是正三角形,若a=AC uuu r -λAB u u u r 与向量AC uuu r的夹角大于90°,则实数λ的取值范围是( ) A ．λ<12B ．λ<2C ．λ>12D ．λ>2【来源】2018-2019学年高中数学人教A 版必修四第二章平面向量单元测试 【答案】D23．如图，过点0(1)M ，的直线与函数()sin π02y x x =≤≤的图象交于A ，B 两点，则()OM OA OB ⋅+u u u u r u u u r u u u r等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【来源】2014-2015学年福建省南安第一中学高一下学期期中考试数学试卷（带解析) 【答案】B24．设a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x 1,x 2,x 3,x 4和y 1,y 2,y 3,y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1+x 2·y 2+x 3·y 3+x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a 与b 的夹角为( ) A ．2π3B ．π3C ．π6D ．0【来源】2018-2019学年高中数学人教A 版必修四第二章平面向量单元测试 【答案】B25．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD=DC=2AB ，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λ+μ的值为（ ）A ．65B ．85C ．2D ．83【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题 【答案】B26．已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则()OA tOB t R +∈u u u v u u u v的最小值为（ ）A ．B ．5C ．3D 【来源】四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理科数学试题 【答案】D二、填空题27．已知向量AB u u u r与AC u u u r 的夹角为120︒，且32AB AC ==u u u r u u u r ，，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r则实数λ的值为__________．【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析) 【答案】71228．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC u u u r |＝2，求OC u u u r的坐标为_____________________．【来源】内蒙古平煤高级中学2017-2018学年高一下学期第二章单元检测数学试题【答案】(55-29．已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【来源】北京四中2018-2019学年第一学期高三期中考试数学（文科)试卷 【答案】30.o30．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a b r r ，满足22AB a AC a b ==+u u u r r u u u r r r，，则下列结论中正确的是____.（写出所有正确结论的序号）①a r 为单位向量；②b r 为单位向量；③a b ⊥r r；④b BC r u u u r ∥；⑤()4a b BC +⊥r r u u u r .【来源】第二章全章训练 【答案】①④⑤31．正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB BD ⋅=u u u r u u u r____________．【来源】上海市华师附天山中学2018-2019学年高二上学期学期向量单元测验卷 【答案】32-32．已知()()124,7,1,0P P --，点P 在线段12PP 的延长线上，且123PP PP =u u u r u u u r ，则点P 坐标为____________．【来源】上海市华师附天山中学2018-2019学年高二上学期学期向量单元测验卷【答案】17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭33．在ABC V 中，()2,4,8AB AC AB AC AB ==+⋅=u u u r u u u r u u u r，则ABC V 面积等于____________．【来源】上海市华师附天山中学2018-2019学年高二上学期学期向量单元测验卷【答案】34．设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=u u u r u u u r u u u r，则FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r=______．【来源】2012届河南省郑州盛同学校高三上学期第一次月考文科数学 【答案】635．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，△ACD 是等边三角形，则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为_______________．【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题 【答案】14.36．在矩形ABCD 中,AB =2，BC =1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为__________． 【来源】2012届安徽省舒城中学高三第一学期期中考试理科数学 【答案】9237．在△ABC 中，CA=2CB=2，1CA CB u u u v u u u v⋅=-，O 是△ABC 的外心， 若CO uuu r =x CA u u u r +yu u rCB ，则x+y=_______________________．【来源】湖南省澧县一中2018届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题 【答案】136.38．已知向量若向量a,b 的夹角为π3,则实数m 的值为_____. 【来源】2018-2019学年高中数学人教A 版必修四第二章平面向量单元测试【答案】39．在四边形ABCD 中,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1),且BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√3BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,则四边形ABCD 的面积为 ．【来源】2015高考数学（理)一轮配套特训：4-3平面向量的数量积及应用（带解析) 【答案】√3三、解答题40．在平面直角坐标系xoy 中，点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ----。
高一上数学第二章平面向量单元测试卷含答案
高一上数学第二章平面向量单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）1. 下列说法正确的是（ ） A.长度相等的向量叫相等向量 B.零向量的长度为零C.共线向量是在一条直线上的向量D.平行向量就是向量所在的直线平行的向量2. 已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB →=a →、AC →=b →，则AM →等于（ ） A.12(a →−b →)B.−12(a →−b →)C.12(a →+b →)D.−12(a →+b →)3. 若D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( ) A.−BC →+12BA →B.−BC →−12BA →C.BC →−12BA →D.BC →+12BA →4. 已知向量OA →=(3, −2)，OB →=(−5, −1)则向量12AB →的坐标是（ ）A.(−4, 12)B.(4, −12)C.(−8, 1)D.(8, 1)5. 已知a →b →均为单位向量，它们的夹角为60∘，那么|a →+3b →|=( ) A.√7 B.√10 C.√13 D.46.在△ABC 中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD →=λDC →，CE →=13AB →+μAC →，则λ+μ=( ) A.13B.−13C.76D.−767. 给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若a →，b →都是单位向量，则a →=b →． ③向量AB →与向量BA →相等．④若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．以上命题中，正确命题序号是（ ） A.① B.② C.①和③ D.①和④8. 设a →，b →是两个非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A.|a →+b →|>|a →−b →| B.若a →=b →，则|a →|=|b →|C.若存在一个实数k 满足a →=kb →，则a →与b →共线 D.若a →与b →为同方向的向量，则|a →+b →|=|a →|+|b →|9. 下列命题正确的是( ) A.向量 AB →与 BA →是相等向量 B.共线的单位向量是相等向量 C.零向量与任一向量共线 D.两平行向量所在直线平行10. 已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为( )A. B. C. D.11. 已知平面向量a →与b →的夹角为2π3，若a →=(√3,−1)，|a →−2b →|=2√13，则|b →|=( ) A.4 B.3 C.2 D.√312. 已知O 为△ABC 内一点，且有OA →+OC →=23BC →，则△OBC 和△ABC 的面积之比为（ ） A.16B.13C.12D.23二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）13. 已知向量a →=(−1,√3)，b →=(√3,y)，且(a →−2√33b →)⊥a →，则b →在a →上的投影是________．14. 已知A(2, 3)，B(4, 5)，则与AB →共线的单位向量是________．15. 已知e 1→，e 2→是两个单位向量，且它们的夹角为θ，则下列命题正确的是________．（填序号）①∀θ∈[0,π]，都有(e 1→+e 2→)⊥(e 1→−e 2→)； ②|e 1→|cos θ=|e 2→|sin (π2−θ)； ③∃θ∈[0,π]，使得e 1→⋅e 2→=√3；④若e 1→，e 2→不共线，e 1→+2e 2→与ke 1→−e 2→共线，则k =−12.16. 给出下列命题： ①若|a →|=|b →|，则a →=b →；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →=DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a →=b →，b →=c →，则a →=c →；④a →=b →的充要条件是|a →|=|b →|，则a → // b →； ⑤若a → // b →，b → // c →，则a → // c →； 其中正确的序号是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）17. （10分） 平行四边形ABCD 中，BM →=23BBD →，CN →=14CA →，AB →=a →，AD →=b →，若MN →=ma →+nb →，求m −n 的值．18.(12分) 已知向量a →，b →满足：|a →|=4，|b →|=3，(2a →−3b →)•(2a →+b →)=61 （1）求a →与b →的夹角θ；（2）求向量a →+b →在向量b →方向上的投影．19. （12分） 在四边形ABCD 中，AB →=a →，AD →=b →，AM →=4MC →，P 为AD 的中点，求MP →．20.(12分) 如图，平面四边形ABCD 中，AB =13，AC =10，AD =5，cos ∠DAC =35，AB →⋅AC →=120．（1）求cos ∠BAD ；（2）设AC →=x ⋅AB →+y ⋅AD →，求x 、y 的值．21. （12分） 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且 AO =a →,AD →=b →，用a →,b →分别表示向量 CB →,CO →,OD →,OB →．22.(12分) 已知：向量e 1→=(1, 2)，e 2→=(−3, 2)，向量x →=ke 1→+e 2→，y →=e 1→−3e 2→． （1）当k 为何值时，向量x → // y →？（2）若向量x →与y →的夹角为钝角，求实数k 的取值范围的集合．参考答案与试题解析高一上数学第二章平面向量单元测试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 B【考点】 零向量向量的物理背景与概念【解析】根据零向量、共线向量、相等向量、以及平行向量的概念，对题目中的命题进行分析、判断即可． 【解答】解：大小相等、方向相同的向量叫相等向量，∴ A 错误； 零向量的长度为0，∴ B 正确；方向相同或相反的向量叫共线向量，它们不一定在同一条直线上，∴ C 错误；平行向量就是向量所在的直线平行的向量，也可以共线，∴ D 错误； 故选B ． 2. 【答案】 C【考点】向量的三角形法则向量数乘的运算及其几何意义 【解析】先利用因为AM 是△ABC 的BC 边上的中线得到BM →=MC →，再结合向量的三角形法则，即可求出结论． 【解答】解：因为AM 是△ABC 的BC 边上的中线，∴ BM →=MC →又∵ AM →=AB →+BM →① AM →=AC →+CM →② ①+②：2AM →=AB →+AC →∴ AM →=12(a →+b →)． 故选：C ． 3. 【答案】 A【考点】向量在几何中的应用 向量的三角形法则 【解析】根据向量加法的三角形法则知，DC →=DB →+BC →，由D 是中点和相反向量的定义，对向量进行转化． 【解答】解：由D 是△ABC 的边AB 上的中点得，BD →=12BA →， ∴ 根据三角形法则，CD →=CB →+BD →=−BC →+12BA →． 故选A . 4.【答案】 A【考点】平面向量的坐标运算 平行向量的性质【解析】利用向量的运算法则即可得出． 【解答】解：12AB →=12(OB →−OA →)=12[(−5,−1)−(3,−2)]=12(−8,1)=(−4,12)． 故选：A ． 5.【答案】 C【考点】向量的概念与向量的模数量积表示两个向量的夹角【解析】本题已知两个向量的模及它们的夹角，求其线性组合的模，宜采取平方法求模，本题中采取了恒等变形的方法间接达到平方的目的． 【解答】∵ a →，b →均为单位向量，它们的夹角为60∘，∴ |a →+3b →|=√(a →+3b →)2=√a →2+6a →⋅b →+9b →2=√1+9+6×12=√13．6.【答案】 B【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】此题暂无解析 【解答】解：CE →=13(CB →−CA →)+μAC →=13CB →+(−13−μ)CA → =λ+13CD →+(−13−μ)CA →，因为E 是AD 的中点， 所以λ+13=12，−13−μ=12， 解得λ=12，μ=−56，即λ+μ=−13. 故选B . 7. 【答案】 A【考点】向量的物理背景与概念 【解析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误 【解答】解：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；AB →与向量BA →互为相反向量，故③错误；方向相同或相反的向量为共线向量，由于AB →与CD →无公共点，故A ，B ，C ，D 四点不共线，故④错误 故选A 8.【答案】 A【考点】向量加减混合运算及其几何意义 平行向量的性质【解析】利用向量共线定理即可判断出． 【解答】解：A ．∵ a →，b →是两个非零向量，当a →，b →异向时，有|a →+b →|<|a →−b →|，A 不成立；B ．∵ a →=b →，∴ |a →|=|b →|成立．C ．存在一个实数k 满足a →=kb →，由向量关系定理可得：a →与b →共线． D ．∵ a →与b →为同方向的向量，∴ |a →+b →|=|a →|+|b →|正确． 综上可知：只有A 不成立． 故选A ． 9.【答案】 C【考点】相等向量与相反向量 零向量向量的物理背景与概念 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：对于A ，向量AB →与向量BA →互为相反向量； 对于B ，共线的单位向量是平行向量； 对于C ，零向量是任意方向上的向量；对于D ，两平行向量所在的直线平行或相等. 故选C . 10.【答案】 B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】设线段BC 的中点为M ，则OB →+OC →=2OM →，因为2OA →=OB →+OC →，所以AO →=OM →，则 AO →=12AM →=14(AB →+AC →)=14(AB →+1t AD →)=14AB →+14t ⋅AD →，由B ．0．D 三点共线，得14+14i =1，解得t =13；故选B ． 【解答】 此题暂无解答 11.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算 向量的模【解析】由题可得|a →|=√10，根据| a →−2b → | =√(a →−2b → )2=√|a →|2−4|a →|⋅|b →|⋅cos 2π3+4|b →|2，即可求解|b →|=3.【解答】解：因为a →=(√3,−1), 所以|a →|=2.因为平面向量a →与b →的夹角为2π3，| a →−2b → | =2√13，所以| a →−2b → | =√(a →−2b → )2=√|a →|2−4|a →|⋅|b →|⋅cos 2π3+4|b →|2=√4−8⋅|b →|⋅cos 2π3+4|b →|2=2√13,解得|b →|=3或|b →|=−4（舍去）. 故选B . 12.【答案】 C【考点】平面向量的基本定理 【解析】设D 是AC 边的中点，则OA →+OC →=2OD →．由于OA →+OC →=23BC →，可得BC →=3OD →，OD // BC ．利用S △OBC S △ABC=S △DBC S △ABC=DCAC 即可得出．【解答】设D 是AC 边的中点，则OA →+OC →=2OD →． ∵ OA →+OC →=23BC →， ∴ 2OD →=23BC →， ∴ BC →=3OD →， ∴ OD // BC ．∴ S △OBC S △ABC=S △DBC S △ABC=DC AC =12．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13. 【答案】√3【考点】平面向量数量积的含义与物理背景 平面向量数量积的性质及其运算 【解析】利用向量的垂直，求出y ，然后利用向量的数量积求解b →在a →上的投影． 【解答】向量a →=(−1,√3)，b →=(√3,y)，且(a →−2√33b →)⊥a →，a →−2√33b →=(−3, √3−2√33y)，可得：(−3, √3−2√33y)(−1, √3)＝0，解得：y ＝3． b →在a →上的投影是：a →⋅b →|a →|=−√3+3√32=√3．14. 【答案】 ±(√22，√22) 【考点】平行向量的性质 【解析】 利用与AB →共线的单位向量=±AB→|AB →|即可得出．【解答】解：AB →=(2, 2)，∴ 与AB →共线的单位向量=±AB →|AB →|=8=±(√22，√22)． 故答案为：±(√22，√22)． 15.【答案】①②④ 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 平行向量（共线向量）向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】利用平面向量的数量积及共线向量，逐个判断. 【解答】解：∵ (e 1→+e 2→)⋅(e 1→−e 2→)=e 1→2−e 2→2=1−1=0，∴ (e 1→+e 2→)⊥(e 1→−e 2→)，故①正确；∵ |e 1→|cos θ=cos θ，|e 2→|sin (π2−θ)=sin (π2−θ)=cos θ，∴ |e 1→|cos θ=|e 2→|sin (π2−θ)，故②正确； ∵ e 1→⋅e 2→=|e 1→|⋅|e 1→|cos θ=cos θ≤1<√3， ∴ 不存在θ，满足e 1→⋅e 2→=√3，故③错误； 若e 1→+2e 2→与ke 1→−e 2→共线，1k =2−1， 解得k =−12，故④正确. 故答案为：①②④. 16.【答案】 ②③ 【考点】平行向量的性质 相等向量与相反向量【解析】利用相等向量的定义：模相等方向相同；相等向量可以传递共线向量不传递判断出各个命题的真假． 【解答】解：相等向量要求模相等且方向相同故①错 AB →=DC →⇔AB =DC 且AB // DC ，故②对a →=b →，b →=c →⇒a →=c →故③对a →=b →的必要不充分条件是|a →|=|b →|，a → // b →，故④错 当b →=0→满足a → // b →，b → // c →但推不出a → // c →，故⑤错 故答案为②③三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） 17.【答案】解：如图，NO →=CN →=14CA →=14(CB →+BA →) =14(−AD →−AB →)=14(−a →−b →)；OM →=BM →−BO →=23BD →−12BD →=16BD →=16(AD →−AB →)=16(b →−a →)；故MN →=MO →+ON →=−(OM →+NO →)=−[16(b →−a →)+14(−a →−b →)]=512a →+112b →=ma →+nb →；故m =512，n =112；故m −n =13．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 向量的减法及其几何意义 向量的加法及其几何意义 【解析】如图，可化出NO →=14(−a →−b →)；OM →=16(b →−a →)；从而求MN →=512a →+112b →，从而求得m ，n ． 【解答】解：如图，NO →=CN →=14CA →=14(CB →+BA →) =14(−AD →−AB →)=14(−a →−b →)； OM →=BM →−BO →=23BD →−12BD →=16BD →=16(AD →−AB →)=16(b →−a →)； 故MN →=MO →+ON →=−(OM →+NO →)=−[16(b →−a →)+14(−a →−b →)]=512a →+112b →=ma →+nb →； 故m =512，n =112；故m −n =13．18. 【答案】解：（1）因为：|a →|=4，|b →|=3，(2a →−3b →)•(2a →+b →)=61，所以4a →2−3b →2−4a →⋅b →=61，即64−27−4a →⋅b →=61，所以a →⋅b →=−6， 所以cos θ=|a →||b →|˙=−64×3=−12，所以a →与b →的夹角θ为120∘；（2）向量a →+b →在向量b →方向上的投影(a →+b →)⋅b →|b →|=|b →|˙=−6+93=1．【考点】数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积 【解析】（1）利用已知求a →与b →的数量积，再利用数量积公式得到向量的夹角； （2）根据向量投影的定义解答． 【解答】解：（1）因为：|a →|=4，|b →|=3，(2a →−3b →)•(2a →+b →)=61，所以4a →2−3b →2−4a →⋅b →=61，即64−27−4a →⋅b →=61，所以a →⋅b →=−6， 所以cos θ=|a →||b →|˙=−64×3=−12， 所以a →与b →的夹角θ为120∘；（2）向量a →+b →在向量b →方向上的投影(a →+b →)⋅b →|b →|=|b →|˙=−6+93=1．19. 【答案】解：∵ MP →=AP →−AM →，AP →=12AD →=12b →，AM →=45AC →，AC →=a →+b →．∴ MP →=12b →−45(a →+b →) =−45a →−310b →．【考点】向量的加法及其几何意义 向量的减法及其几何意义【解析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出． 【解答】解：∵ MP →=AP →−AM →，AP →=12AD →=12b →，AM →=45AC →，AC →=a →+b →．∴ MP →=12b →−45(a →+b →)=−45a →−310b →． 20.【答案】 解：（1）设∠CAB =α，∠CAD =β， cos α=|AB →|⋅|AC →|˙=120130=1213，cos β=35， ∴ sin α=513，sin β=45，…．∴ cos ∠BAD =cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β=1213⋅35−513⋅45=1665…..（2）由AC →=x ⋅AB →+y ⋅AD →得：{AC →⋅AB →=xAB →2+yAD →⋅AB →AC →⋅AD →=xAB →⋅AD →+yAD →2…．∴ {120=169x +16y 30=16x +25y …..解得：x =4063，y =5063． … 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】（1）设∠CAB =α，∠CAD =β，由AB =13，AC =10，AB →⋅AC →=120．可得α的余弦值，又由cos ∠DAC =35，分别求出两个角的正弦值，代入两角和的余弦公式，可得答案．（2）若AC →=x ⋅AB →+y ⋅AD →，则{AC →⋅AB →=xAB →2+yAD →⋅AB →AC →⋅AD →=xAB →⋅AD →+yAD →2，结合AD =5，及（1）中结论，可得x 、y 值．【解答】 解：（1）设∠CAB =α，∠CAD =β，cos α=|AB →|⋅|AC →|˙=120130=1213，cos β=35， ∴ sin α=513，sin β=45，…．∴ cos ∠BAD =cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β=1213⋅35−513⋅45=1665…..（2）由AC →=x ⋅AB →+y ⋅AD →得：{AC →⋅AB →=xAB →2+yAD →⋅AB→AC →⋅AD →=xAB →⋅AD →+yAD →2…．∴ {120=169x +16y 30=16x +25y …..解得：x =4063，y =5063． … 21. 【答案】解：依题意， CB →=DA →=−AD →=−b →， CO →=OA →=−AO →=−a →， OD →=AD →−AO →=b →−a →， OB →=−OD →=a →−b →.【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：依题意， CB →=DA →=−AD →=−b →， CO →=OA →=−AO →=−a →， OD →=AD →−AO →=b →−a →， OB →=−OD →=a →−b →. 22. 【答案】解：（1）∵ 向量e 1→=(1, 2)，e 2→=(−3, 2)，∴ 向量x →=ke 1→+e 2→=k(1, 2)+(−3, 2)=(k −3, 2k +2)y →=e 1→−3e 2→=(1, 2)−3(−3, 2)=(10, −4)．∵ 向量x → // y →，∴ −4(k −3)−10(2k +2)=0，解得k =−13．∴ 当k =−13时，向量x → // y →． （2）若向量x →与y →的夹角为钝角，则x →⋅y →=10(k −3)−4(2k +2)<0，且向量x →与y →不能反向共线， 解得x <19且x ≠−13．∴ 实数k 的取值范围的集合为{x|x <19且x ≠−13}． 【考点】数量积表示两个向量的夹角 平行向量的性质【解析】（1）利用向量共线定理即可得出．（2）若向量x →与y →的夹角为钝角，则x →⋅y →)<0，且向量x →与y →不能反向共线，解出即可． 【解答】解：（1）∵ 向量e 1→=(1, 2)，e 2→=(−3, 2)，∴ 向量x →=ke 1→+e 2→=k(1, 2)+(−3, 2)=(k −3, 2k +2)y →=e 1→−3e 2→=(1, 2)−3(−3, 2)=(10, −4)．∵ 向量x → // y →，∴ −4(k −3)−10(2k +2)=0，解得k =−13． ∴ 当k =−13时，向量x → // y →． （2）若向量x →与y →的夹角为钝角，则x →⋅y →=10(k −3)−4(2k +2)<0，且向量x →与y →不能反向共线， 解得x <19且x ≠−13．∴ 实数k 的取值范围的集合为{x|x <19且x ≠−13}．。
必修4第二章《平面向量》单元检测题.doc
必修4第二章《平面向量》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是( ) A ．－6 B ．6 C ．9 D ．12 2．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1.3．设向量a ＝(m －2，m ＋3)，b ＝(2m ＋1，m －2)，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－43，2)B ．(－∞，－43)∪(2，＋∞)C ．(－2，43)D ．(－∞，2)∪(43，＋∞)4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →·BD →等于( ) A ．8 B ．6 C ．－8 D ．－65．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π26．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( ) A ．－4 B ．4 C ．－125 D.1258．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM →＝λOB →＋(1－λ)·OA →，且λ∈(1,2)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线9．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )A.32B ．2C ．3D ．6 10．在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n 等于( ) A.23 B.79 C.89D ．1 11．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于( ) A ．－45 B ．－35 C ．0 D.3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 14．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.15．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．16．已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA →·MB →的最小值为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →、ON →、MN →.18．(本小题满分12分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求：(1)(a －2b )·(a ＋b )； (2)|a ＋b |； (3)|3a －4b |.19．(本小题满分12分)已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x⊥y，试求k ＋t 2t的最小值．20．(本小题满分12分)设OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)．在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知线段PQ 过△OAB 的重心G ，且P 、Q 分别在OA 、OB 上，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝ma ，OQ →＝nb .求证：1m ＋1n＝3.必修4第二章《平面向量》单元检测题参考答案【第2题解析】∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b |a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b |a ＋b |＝|a －b |.∴a ·b ＝0.故选C .【第3题解析】∵a 与b 的夹角大于90°，∴a ·b <0，∴(m －2)(2m ＋1)＋(m ＋3)(m －2)<0，即3m 2－2m －8<0，∴－43<m <2. 故选A .【第7题解析】向量a 在向量b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝|a |·a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝－123＝－4.故选A .【第8题解析】∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →＝OA →＋λ(OB →－OA →)∴AM →＝λAB →，λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上，故选B.【第9题解析】设△ABC 边BC 的中点为D ，则S △ABC S △ABP ＝2S △ABD S △ABP ＝2AD AP .∵AP →＝13(AB →＋AC →)＝23AD →，∴AD →＝32AP →，∴|AD →|＝32|AP →|.∴S △ABC S △ABP＝3.故选C . 【第10题解析】AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋23CR →＝AC →＋23(23AB →－AC →)＝49AB →＋13AC →故有m ＋n ＝49＋13＝79.故选B .【第11题解析】由已知得4b ＝－3a －5c ，将等式两边平方得(4b )2＝(－3a －5c )2，化简得a ·c ＝－35.同理由5c ＝－3a －4b 两边平方得a ·b ＝0，∴a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝－35.故选B.【第12题解析】若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确．对于C ，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．对于D ，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．故选B .∵向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0. ∴λ＝2. 故填2 .【第16题解析】设OM →＝tOP →＝(2t ，t )，故有MA →·MB →＝(1－2t,7－t )·(5－2t,1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8，故当t ＝2时，MA →·MB →取得最小值－8. 故填－8. 【第17题答案】OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b.【第17题解析】BA →＝OA →－OB →＝a －b .∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b .ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b.【第18题答案】（1）12；（2）23；（3）419.【第18题解析】a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(1)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－2a ·b ＋a ·b －2b 2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12. (2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a ＋b |＝2 3.(3)|3a －4b |2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19， ∴|3a －4b |＝419. 【第19题答案】－74.【第19题解析】由题意有|a |＝ 3 2＋ －1 2＝2，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1.∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a⊥b .∵x·y ＝0，∴[a ＋(t 2－3)b ](－ka ＋tb )＝0.化简得k ＝t 3－3t4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.即t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值为－74.【第20题答案】存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115.【第21题解析】由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角， 得2te 1＋7e 2 · e 1＋te 2|2te 1＋7e 2|·|e 1＋te 2|<0，即(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0.整理得：2te 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7te 22<0.(*) ∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0.解得：－7<t <－12.当向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2夹角为180°时，设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2) (λ<0)． 对比系数得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ7＝λtλ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 【第22题答案】1m ＋1n＝3.【第22题解析】证明 如右图所示，∵OD →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，∴OG →＝23OD →＝13(a ＋b )．。
(完整版)平面向量单元测试题及答案
平面向量单元测试题2一，选择题：1，下列说法中错误的是 （ ）A ．零向量没有方向B ．零向量与任何向量平行C ．零向量的长度为零D ．零向量的方向是任意的2，下列命题正确的是（ ）A. 若→a 、→b 都是单位向量，则 →a ＝→bB . 若AB =DC , 则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 C. 若两向量→a 、→b 相等，则它们是始点、终点都相同的向量 D. AB 与BA 是两平行向量3，下列命题正确的是 （ ）A 、若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c 。
B 、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C 、向量的长度与向量的长度相等 ,D 、若非零向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。
4，已知向量(),1m =a ，若，a=2，则 m = （ ）A ．1 B.3 C. 1± D.35，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ∥→b ，则有 （ ）A ，1x 2y +2x 1y =0，B ， 1x 2y ―2x 1y =0，C ，1x 2x +1y 2y =0， D ， 1x 2x ―1y 2y =0，6，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ⊥→b ，则有 （ ） A ，1x 2y +2x 1y =0， B ， 1x 2y ―2x 1y =0，C ，1x 2x +1y 2y =0， D ， 1x 2x ―1y 2y =0，7，在ABC ∆中，若ACBC BA =+，则ABC ∆一定是 （ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定8，已知向量,,a b c r r r 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥u u r r r r r r r，则a b r r 与的夹角等于 （ ）A ．0120B 060C 030D 90o二，填空题：（5分×4=20分）9。
人教A版必修 第二章 平面向量检测题
人教A版必修4 第二章平面向量检测题一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．以下说法错误的是（）A．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．3．已知向量a，b满足a•b=0，|a|=1，|b|=2，，则|2a﹣b|=（）A．0 B．C．4 D．84．）已知，为两个单位向量，那么（）A．||=B．若∥，则C．=1 D．=5．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直6．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（）A．6 B．2 C．2D．27．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b，=c，则下列命题中正确命题的个数为（）①=c b；②=a b；③=b a；④=0．A．1 B．2 C．3 D．48．如图，△ABC为等腰三角形，∠A=∠B=30°，设，，AC边上的高为BD．若用表示，则表达式为（）A．B．C．D．9．已知向量，，则向量与的关系为（）A．相等B．共线C．模相等D．垂直10．已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（）A．（，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（﹣，﹣）11．已知点M（6，2）和M2（1，7）．直线y=mx﹣7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3：2，则m的值为（）A．B．C．D．412．如下图所示，两射线OA与OB交于点O，下列5个向量中，①2②③④⑤若以O为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若向量a=（2，﹣3），b=（1，﹣2），向量c满足c⊥a，b•c=1，则c的坐标为_________．14．平面向量与的夹角为60°，，，则=_________．15．在平面斜坐标系xoy中，∠xoy=135°，斜坐标定义：如果（其中分别是x轴，y轴的单位向量），则（x，y）叫做P的斜坐标．已知P的斜坐标是（1，），则=_________．16．）如图，△ABC中，AB=4，AC=8，∠BAC=60°，延长CB到D，使BA=BD，当E点在线段AB上移动时，若，当λ取最大值时，λ﹣μ的值是_________．三．解答题（共8小题，满分70分）17．（8分）某人从A点出发向西走了10m，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15m 到达C点，最后又向东走了10米到达D点．（1）作出向量，，（用1cm长的线段代表10m长）（2）求．18．（6分）如图所示，△ABC中，=，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N．设=a，=b，用a，b分别表示向量，，，，，．19．（9分）已知|，．（1）若∥，求；（2）若、的夹角为60°，求；（3）若与垂直，求当k为何值时？20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．21．（8分）O是平行四边形ABCD外一点，求证：．22．（10分）如图，在△ABC中，点M为BC的中点，A、B、C三点坐标分别为（2，﹣2）、（5，2）、（﹣3，0），点N在AC上，且，AM与BN的交点为P，求：（1）点P分向量所成的比λ的值；（2）P点坐标．23．（9分）（1）如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知、，试用、表示和．（2）在△ABC中，若若P，Q，S为线段BC的四等分点，试证：；24．（12分）如图，在平行四边形ABCD，，，M为AB的中点，点N在DB上，且．（1）当t=2时，证明：M、N、C三点共线；（2）若M、N、C三点共线，求实数t的值．参考答案一．1. C 2. A 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.D 9.B 10.D 11.D 12.B二．13. （﹣3，﹣2）14．215．116．．三．17．解：（1）如图，（2）因为，故四边形ABCD为平行四边形，所以18．解：如图所示，由可得==，=﹣=﹣．由△ADE∽△ABC，得==（﹣）．由AM是△ABC的中线，DE∥BC，得==（﹣）．而且=+=+=+（﹣）=（+）．可得==（+）．19．解：（Ⅰ）（5分）（Ⅱ），∴（10分）（Ⅲ）若与垂直∴=0∴使得，只要（12分）即（14分）∴k=3（15分）20．解：（1）（方法一）由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，从而5t=﹣11，所以．或者：，，21．（8分）．解：因为ABCD是平行四边形，所以所以22．解：（1）∵A、B、C三点坐标分别为（2，﹣2）、（5，2）、（﹣3，0），由于M为BC中点，可得M点的坐标为（1，1）．…（2分）由可得N点的坐标为（﹣，﹣）．…（4分）又由可得P点的坐标为（，），从而得=（，），=（，）．∵与共线，故有×﹣×=0，解之得λ=4．…（8分）∴点P的坐标为（，）．…（12分）23．解：（1）由=，=∴，即解得：=﹣=﹣（7分）（2）证明：∴，∴（14分）24．证明：（1）当t=2时，，有，又，∴；，则，与有公共点N，于是M、N、C三点共线；解：（2）由，得，，，，由M、N、C三点共线，得，∴，得，且，解得t=2或t=﹣1（舍去）；∴t=2．。
第二章 平面向量单元测试卷(一)(含解析)
第二章 平面向量单元测试卷（一）【人教A 版】考试时间：100分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）下列命题正确的是( )A ．若向量AB 与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上 B ．若a 与b 平行，则a ，b 的方向相同或相反C ．若果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同D ．在ABC ∆中，必有0AB BC CA ++=2．（5分）（2019•南充模拟）已知向量a 、b 不共线，若12,AB a b AC a b λλ=+=+，且A 、B 、C 三点共线，则关于实数1λ、2λ一定成立的关系式为( ) A ．121λλ==B ．121λλ==-C ．121λλ=D ．121λλ+=3．（5分）（2019春•吉林期末）若向量(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c 等于( ) A ．1322a b -+B ．1322a b -C ．3122a b -D ．3122a b -+4．（5分）（2019春•寻甸县校级期中）设点(1,2)A -，(2,3)B ，(3,1)C -，且23AD AB BC =-则点D 的坐标为( ) A ．.(2,16)B ．.(2,16)--C ．.(4,16)D ．(2,0)5．（5分）（2019秋•濠江区校级期末）如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA a =，OB b =，则(OP = )用a 、b 表示．A ．2133a b -+B ．1233b a +C ．1123a b +D ．1233a b -6．（5分）（2019秋•五华区校级月考）已知向量a 、b 的模都是2，其夹角为60︒，又知32OP a b =+，3OQ a b =+，则P 、Q 两点间的距离为( )A ．BC ．D7．（5分）在ABC ∆中，2()||BC BA AC AC +=，3BA BC =，||2BC =，则ABC ∆的面积是( )A B C ．12D ．18．（5分）（2019•贵州模拟）在ABC ∆中，4AB =，30ABC ∠=︒，D 是边BC 上的一点，且AD AB AD AC =，则AD AB 的值等于( ) A ．4-B ．0C ．4D ．89．（5分）（2019春•七里河区校级期末）设向量,a b 满足||1,||2,()a b a a b ==⊥+，则a 与b 的夹角为() A ．2πB ．23π C ．34π D ．56π 10．（5分）（2019春•绍兴校级期中）已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma nb +与2a b -共线，则m n等于( ) A ．12-B ．12C ．2-D ．211．（5分）（2019秋•丰台区期末）平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)A ，(0,1)B ，点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且||2OC =，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是( )A 1B ．1C ．1-D ．112．（5分）（2019秋•桥东区校级期末）已知ABC ∆和点M 满足20MA MB MC ++=．若存在实数m 使得CA CB mCM +=成立，则(m = )A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2019秋•宣城期末）在ABC ∆中，6BC =，BC 边上的高为2，则AB AC 的最小值为 ． 14．（5分）（2019秋•泰州期末）已知O 为坐标原点，(1,2)A ，(2,1)B -，若BC 与OA 共线，且(2)OC OA OB ⊥+，则点C 的坐标为 ．15．（5分）（2019春•东湖区校级月考）如图平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，||||1OA OB ==，||43OC =(,)OC OA OB λμλμ=+，则λμ+的值为 ．16．（5分）（2018春•道里区校级月考）在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，13DF DC =，则AE AF 的值为 ．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019春•平阴县校级月考）如图，平行四边形OADB 的对角线OD 、AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足3BC BM =，线段CD 上有一点N 满足3CD CN =，设OA a =，OB b =，试用a ，b表示OM ，ON ，MN ．18．（12分）（2019春•周口校级月考）已知||4a =，||3b =，(23)(2)61a b a b -+=． （1）求a 与b 的夹角θ； （2）求||a b +与||a b -．19．（12分）已知(4,0)OA =，0(2B =，，2(1)()OC OA OB λλλλ=-+≠ （1）证明A ，B ，C 三点共线，并在AB BC =时，λ的值； （2）求||OC 的最小值．20．（12分）（2019秋•潮阳区校级期中）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(3,1)c =-，t R ∈． （1）求||a tb +的最小值及相应的t 值； （2）若a tb -与c 共线，求实数t ．21．（12分）（2019•海淀区校级模拟）四边形ABCD 中，(6,1),(,),(2,3)AB BC x y CD ===-- （1）若//BC DA ，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有AC BD ⊥，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．22．（12分）（2019春•阳高县校级期中）在边长为1的菱形ABCD中，60∠=︒，E是线段CD上一点，A满足||2|||CE DE=，如图所示，设AB a=．=，AD b（1）用a，b表示BE；（2）在线段BC上是否存在一点F满足AF BEAF；若不存在，请⊥？若存在，确定F点的位置，并求||说明理由．第二章 平面向量单元测试卷（一）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）下列命题正确的是( )A ．若向量AB 与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上 B ．若a 与b 平行，则a ，b 的方向相同或相反C ．若果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同D ．在ABC ∆中，必有0AB BC CA ++= 【分析】A ，利用向量关系的概念可判断A ；B ，若0b =，其方向任意，当0a ≠时，满足前者，却不满足后者，可判断B ；C ，令(0,0)a b b λλ=≠≠，则(1)a b b λ+=+，分1λ>-、1λ=-、1λ<-三类讨论后可判断C ；D ，在ABC ∆中，必有00AB BC CA ++=≠，可判断D ．【答案】解：A ，若向量AB 与CD 是共线向量，则//AB CD ，或点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，故A 错误；B ，若a 与b 平行，则a ，b 的方向相同或相反，错误，原因是：若0b =，其方向任意，当0a ≠时，a 与0b =平行，但a 的方向不是任意的；C ，如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，即(0,0)a b b λλ=≠≠，则(1)a b b λ+=+，当1λ>-时，a b +的方向与b 的方向相同； 当1λ<-时，a b +的方向与a 的方向相同；当1λ=-时，0a b +=，其方向任意，可与a ，b 之一的方向相同， 故a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同，故C 正确．D ，在ABC ∆中，必有0AB BC CA ++=，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的共线的概念的理解与应用，特别是0，其方向任意，是易错点．2．（5分）（2019•南充模拟）已知向量a 、b 不共线，若12,AB a b AC a b λλ=+=+，且A 、B 、C 三点共线，则关于实数1λ、2λ一定成立的关系式为( ) A ．121λλ==B ．121λλ==-C ．121λλ=D ．121λλ+=【分析】先求A 、B 、C 三点共线的充要条件，我们要先根据已知条件a 、b 是不共线的向量12,AB a b AC a b λλ=+=+，判断λ与μ满足的关系；并以此关系为已知条件，看能不能反推回来得到A 、B 、C 三点共线．如果两个过程都是可以的，该关系式即为所求．【答案】解：由于AB ，AC 有公共点A ，∴若A 、B 、C 三点共线则AB 与AC 共线即存在一个实数t ，使AB t =AC 即121at t λλ=⎧⎨=⎩消去参数t 得：121λλ=； 反之，当121λλ=时 1AB a b λ=+此时存在实数11λ使11AB AC λ=故AB 与AC 共线又由AB ，AC 有公共点A ，A ∴、B 、C 三点共线故A 、B 、C 三点共线的充要条件是121λλ=． 故选：C ．【点睛】判断充要条件的方法是：①若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．3．（5分）（2019春•吉林期末）若向量(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c 等于( )A ．1322a b -+B ．1322a b -C ．3122a b -D ．3122a b -+【分析】利用向量相等、线性运算即可得出． 【答案】解：设c ma nb =+，则(1-，2)(1m =，1)(1n +，1)(m n -=+，)m n -， ∴12m n m n +=-⎧⎨-=⎩，解得12m =，32n =-．∴1322n a b =-． 故选：B ．【点睛】本题考查了向量相等、线性运算，属于基础题．4．（5分）（2019春•寻甸县校级期中）设点(1,2)A -，(2,3)B ，(3,1)C -，且23AD AB BC =-则点D 的坐标为( ) A ．.(2,16)B ．.(2,16)--C ．.(4,16)D ．(2,0)【分析】23AD AB BC =-，可得23OD OA AB BC =+-，即可得出． 【答案】解：23AD AB BC =-，∴23(1OD OA AB BC =+-=-，2)2(3+，1)3(1-，4)(2-=，16)，则点D 的坐标为(2,16)． 故选：A ．【点睛】本题考查了向量坐标运算性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）（2019秋•濠江区校级期末）如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA a =，OB b =，则(OP = )用a 、b 表示．A ．2133a b -+B ．1233b a +C ．1123a b +D ．1233a b -【分析】由已知OA a =，OB b =，及向量加法的三角形法可得1112()3333OP OA AP OA AB OA OB OA OB OA =+=+=+-=+，把已知代入可求．【答案】解：OA a =，OB b =，由向量加法的三角形法则可得 13OP OA AP OA AB =+=+1()3OA OB OA =+-1233OB OA =+ 1233b a =+ 故选：B ．【点睛】本题主要注意灵活应用向量加法，减法的三角形法则及向量共线定理，灵活利用向量的知识是解决本题的关键．6．（5分）（2019秋•五华区校级月考）已知向量a 、b 的模都是2，其夹角为60︒，又知32OP a b =+，3OQ a b =+，则P 、Q 两点间的距离为( )A ．BC ．D【分析】利用数量积的运算法则和性质、模的计算公式即可得出． 【答案】解：向量a 、b 的模都是2，其夹角为60︒，∴1||||cos602222a b a b =︒=⨯⨯=． P ∴、Q 两点间的距离|||||3(32)|d PQ OQ OP a b a b ==-=+-+2222|2|44242b a b a a b =-=+-=+⨯故选：A ．【点睛】本题考查了数量积的运算法则和性质、模的计算公式，属于基础题．7．（5分）在ABC ∆中，2()||BC BA AC AC +=，3BA BC =，||2BC =，则ABC ∆的面积是( )A B C ．12D ．1【分析】由2()||BC BA AC AC +=可得()0BC BA AC AC +-=，整理可得0BA AC =，从而有90A ∠=︒，根据三角函数可得||2cos ,||2sin AC B AB B ==结合3BA BC =，可求cos B ，sin B ，代入三角形的面积公式可求【答案】解：2()||BC BA AC AC +=∴()0BC BA AC AC +-=则有0BA AC =BA AC ∴⊥ 即90A ∠=︒||2BC =，则||2cos ,||2sin AC B AB B ==3BA BC =，24cos 3B ∴=∴cos B =1sin 2B =∴112ABC S ∆=⨯=故选：A ．【点睛】本题以向量的加减运算为载体，结合三角形中的三角形函数的知识考查了三角形的面积公式及向量的数量积的运算，具备一定的综合性．8．（5分）（2019•贵州模拟）在ABC ∆中，4AB =，30ABC ∠=︒，D 是边BC 上的一点，且AD AB AD AC =，则AD AB 的值等于( )A ．4-B ．0C ．4D ．8【分析】由已知中AD AB AD AC =，根据向量垂直的充要条件，可判断出AD 为ABC ∆中BC 边上的高，结合ABC ∆中，4AB =，30ABC ∠=︒，可求出向量,AD AB 的模及夹角，代入向量数量积公式，可得答案． 【答案】解：AD AB AD AC =，∴()0AD AB AC AD CB -==即AD CB ⊥故AD 为ABC ∆中BC 边上的高又ABC ∆中，4AB =，30ABC ∠=︒，2AD ∴=，60BAD ∠=︒ ∴1cos 2442AD AB AD AB BAD =∠== 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中根据已知分析出AD 为ABC ∆中BC 边上的高，进而结合已知求出向量,AD AB 的模及夹角是解答的关键．9．（5分）（2019春•七里河区校级期末）设向量,a b 满足||1,||2,()a b a a b ==⊥+，则a 与b 的夹角为( )A ．2πB ．23πC ．34πD ．56π 【分析】由()a a b ⊥+，得数量积为0，列出方程求出向量a 与b 的夹角． 【答案】解：向量||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，设a 与b 的夹角为θ，则有()0a a b +=，即2211cos 0a a b θ+=+=，cos 2θ=-， 又0θπ剟，34πθ∴=， ∴a 与b 的夹角为34π． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义与两个向量垂直性质的应用问题，是基础题目．10．（5分）（2019春•绍兴校级期中）已知向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma nb +与2a b -共线，则m n 等于( )A ．12-B ．12C ．2-D ．2【分析】根据向量的坐标运算以及两向量平行的坐标表示，列出方程组，求m n 的值． 【答案】解：向量(2,3)a =，(1,2)b =-，(2,32)ma nb m n m n ∴+=-+， 2(5,4)a b -=；又ma nb +与2a b -共线，4(2)5(32)0m n m n ∴--+=；∴2m n=-．故选：C ．【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示，是基础题目．11．（5分）（2019秋•丰台区期末）平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)A ，(0,1)B ，点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且||2OC =，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是( )A 1B ．1C ．1-D ．1【分析】由题意可得点C 的坐标，进而可得向量OC 的坐标，由向量相等可得10101λμλμ⎧=⨯+⨯⎪⎨=⨯+⨯⎪⎩，解之即可． 【答案】解：点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且||2OC =，∴点C 的横坐标为52cos 6C x π==52sin 16C y π==，故(OC =，1)，而(1,0)OA =，(0,1)OB =，由OC OA OB λμ=+可得10101λμλμ⎧⨯+⨯⎪⎨=⨯+⨯⎪⎩，解得1λμ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，以及相等向量，属基础题．12．（5分）（2019秋•桥东区校级期末）已知ABC ∆和点M 满足20MA MB MC ++=．若存在实数m 使得CA CB mCM +=成立，则(m = )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据20MA MB MC ++=，利用向量的减法运算，即可得出结论． 【答案】解：20MA MB MC ++=，∴20CA CM CB CM CM -+--=，∴4CA CB CM +=，存在实数m 使得CA CB mCM +=成立，4m ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查向量的减法运算，考查学生的计算能力，属于基础题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2014秋•宣城期末）在ABC ∆中，6BC =，BC 边上的高为2，则A B A C 的最小值为 5- ．【分析】如图所示，根据()AB AC AB AD DC =+，利用两个向量的数量积的定义化为2||||||AD BD DC -．令||DC x =，则||6BD x =-，222(6)64AB AC x x x x =--=-+，再利用二次函数的性质求得它的最小值．【答案】解：如图所示，设BC 边上的高为2AD =，AC AD DC =+，∴()AB AC AB AD DC AB AD AB DC =+=+ ||||cos ||||cos()AB AD AB DC B απ=+-2||||cos ||||cos ||(||||)AB AD AB DC B AD BD DC α==-=+-2||||||AD BD DC =-．令||DC x =，06x <<，则||6BD x =-，∴则222(6)64AB AC x x x x =--=-+，故当3x =时，则AB AC 取得最小值为91845-+=-，故答案为：5-．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，两个向量的数量积的定义，二次函数的性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．14．（5分）（2019秋•泰州期末）已知O 为坐标原点，(1,2)A ，(2,1)B -，若BC 与OA 共线，且(2)OC OA OB ⊥+，则点C 的坐标为 (4,3)-- ．【分析】设C 的坐标为(,)x y ，向量的坐标运算和向量共线垂直的条件得到关于x ，y 的方程组，解得即可．【答案】解：设C 的坐标为(,)x y ，O 为坐标原点，(1,2)A ，(2,1)B -，∴(2,1)BC x y =+-，(,)OC x y =，(1,2)OA =，(2,1)OB =-，2(3,4)OA OB +=-，BC 与OA 共线，且(2)OC OA OB ⊥+，2(2)1x y ∴+=-，340x y -+=，解得4x =-，3y =-，∴点C 的坐标为(4,3)--，故答案为：(4,3)--【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量共线垂直的条件，属于基础题．15．（5分）（2019春•东湖区校级月考）如图平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，||||1OA OB ==，||43OC =(,)OC OA OB λμλμ=+，则λμ+的值为 12 ．【分析】如图所示，由OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，||||1OA OB ==，||43OC =得(1,0)A，1(2B -，C ．代入OC OA OB λμ=+，利用共面向量基本定理即可得出． 【答案】解：如图所示， OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，||||1OA OB ==，||43OC = (1,0)A ∴，1(2B -，C ． OC OA OB λμ=+，∴1(1,0)(2λμ=+-．∴162λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得84λμ=⎧⎨=⎩． 12λμ∴+=．故答案为：12．【点睛】本题考查了向量的坐标运算、共面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．16．（5分）（2018春•道里区校级月考）在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，13DF DC =，则AE AF 的值为 179 ． 【分析】可以画出图形，根据所给条件可求出13CF BA =，从而得出22,33AE BC BA AF BC BA =-=-，根据2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒进行数量积的运算即可求出AE AF 的值．【答案】解：如图，根据题意，1CD =，2133CF CD BA ==， ∴23AE BE BA BC BA =-=-，1233AF BA BC BA BC BA =-++=-，且2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒， ∴22()()33AE AF BC BA BC BA =-- 222213339BC BA BC BA =+- 28131123392=+-⨯⨯⨯ 179=． 故答案为：179．【点睛】本题考查了向量数乘的几何意义，向量加法和减法的几何意义，向量的数量积运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019春•平阴县校级月考）如图，平行四边形OADB 的对角线OD 、AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足3BC BM =，线段CD 上有一点N 满足3CD CN =，设OA a =，OB b =，试用a ，b 表示OM ，ON ，MN ．【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则以及向量的数乘运算即可求出 【答案】解：5515()6666OM OA AM OA AB OA OB OA a b =+=+=+-=+， 2222()3333ON OD OA OB a b ==+=+， ∴1126MN ON OM a b =-=- 【点睛】本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则以及向量的数乘运算，属于基础题．18．（12分）（2019春•周口校级月考）已知||4a =，||3b =，(23)(2)61a b a b -+=．（1）求a 与b 的夹角θ；（2）求||a b +与||a b -．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式求得1cos 2θ=-，从而求得θ的值． （2）根据222||()2a b a b a b a b +=+=++，222||()2a b a b a b a b -=-=+-，运算求得结果．【答案】解：（1）由(23)(2)61a b a b -+=，得2243461a b a b --=，即6427443cos 61θ--⨯⨯=，求得1cos 2θ=-， 再由[0θ∈，]π，可得23θπ=．（2）222||()21692a b a b a b a b +=+=++=+-=；222||()21692a b a b a b a b -=-=+-=++ 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，求向量的模的方法，属于中档题．19．（12分）已知(4,0)OA =，0(2B =，，2(1)()OC OA OB λλλλ=-+≠（1）证明A ，B ，C 三点共线，并在AB BC =时，λ的值；（2）求||OC 的最小值．【分析】（1）由向量的加减运算化简(1)OC OA OB λλ=-+得AC AB λ=，即可证明A ，B ，C 三点共线，再由向量相等、向量的坐标运算求出λ的值；（2）先由坐标运算求出OC 的坐标，代入向量模的公式配方后，利用二次函数的性质求出||OC 的最小值．【答案】证明：（1）因为(1)OC OA OB OA OA OB λλλλ=-+=-+，所以()OC OA OB OA λ-=-，则AC AB λ=，所以A ，B ，C 三点共线，由(4,0)OA =，0(2B =，，(1)OC OA OB λλ=-+得，(AB =-，0(22BC OC B λ=-=--，因为AB BC =，所以222λ-=-⎧⎪⎨=-⎪⎩2λ=；解：（2）因为(1)(1)(4OC OA OB λλλ=-+=-，0)(2λ+，(42λ=-，)，所以||(4OC =故||OC 的最小值是【点睛】本题考查利用向量共线的条件证明三点共线，由向量相等、向量的坐标运算、加减运算，以及向量模的最值问题，考查函数思想、方程思想，化简计算能力．20．（12分）（2019秋•潮阳区校级期中）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(3,1)c =-，t R ∈．（1）求||a tb +的最小值及相应的t 值；（2）若a tb -与c 共线，求实数t ．【分析】（1）利用求模公式表示出||a tb +，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t 值；（2）利用向量共线定理可得关于t 的方程，解出即得t 值；【答案】解：（1）(3,2)a =-，(2,1)b =，(3,1)c =-，∴(3a tb +=-，2)(2t +，1)(32t =-+，2)t +，||(3a tb ∴+=-+==45t =时等号成立）． （2）(3a tb -=-，2)(2t -，1)(32t =--，2)t -，又a tb -与c 共线，(32)(1)3(2)t t ∴--⨯-=⨯-，解得35t =． 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属基础题．21．（12分）（2019•海淀区校级模拟）四边形ABCD 中，(6,1),(,),(2,3)AB BC x y CD ===--（1）若//BC DA ，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有AC BD ⊥，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．【分析】（1）根据所给的三个向量的坐标，写出要用的DA 的坐标，根据两个向量平行的充要条件写出关系式，整理成最简形式．（2）写出AC 向量的坐标，根据两个向量垂直的充要条件写出关系式，结合上一问的结果，联立解方程，针对于解答的两种情况，得到四边形的面积．【答案】解：(,)()(4,2)(4,2)BC x y DA AD AB BC CD x y x y ==-=-++=-+-=---+（1）//BC DA(2)(4)0x y y x ∴-+---=，化简得：20x y +=；（2）(6,1)AC AB BC x y =+=++，(2,3)BD BC CD x y =+=--AC BD ⊥(6)(2)(1)(3)0x x y y ∴+-++-=化简有：2242150x y x y ++--=，联立222042150x y x y x y +=⎧⎨++--=⎩解得63x y =-⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩ //BC DAAC BD ⊥则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形当6(0,4)(8,0)3x AC BD y =-⎧==-⎨=⎩此时1||||162ABCD S AC BD == 当2(8,0)(0,4)1x AC BD y =⎧==-⎨=-⎩， 此时1||||162ABCD S AC BD ==． 【点睛】本题考查向量垂直和平行的充要条件，结合向量的加减运算，利用方程思想，是一个综合问题，运算量比较大，注意运算过程不要出错，可以培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用．22．（12分）（2019春•阳高县校级期中）在边长为1的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 是线段CD 上一点，满足||2|||CE DE =，如图所示，设AB a =，AD b =．（1）用a ，b 表示BE ；（2）在线段BC 上是否存在一点F 满足AF BE ⊥？若存在，确定F 点的位置，并求||AF ；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据向量加、减法运算法则计算即可；（2）设BF tBC tb ==，则(1)FC t b =-，(01)t 剟，AF a tb =+，利用||||1a b ==、12a b =及0AF BE =，计算即可．【答案】解：（1）根据题意得：BC AD b ==，22223333CE CD BA AB a ===-=-， ∴23BE BC CE b a =+=-；（2）结论：在线段BC 上存在使得4||||BF BC =的一点F 满足AF BE ⊥，此时21||AF =理由如下： 设BF tBC tb ==，则(1)FC t b =-，(01)t 剟，∴AF AB BF a tb =+=+， 在边长为1的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，∴||||1a b ==，1||||cos602a b a b =︒=， AF BE ⊥，∴2()()3AF BE a tb b a =+- 2222(1)33t a b a tb =--+ 212(1)323t t =-⨯-+ 0=，解得14t =，从而14AF a b =+， ∴2111121||1162216AF AF a a b b ==+=++=．【点睛】本题考查向量的加、减法运算法则，数量积运算，将线段垂直转化为向量垂直是解决本题的关键，属于中档题．。
高中数学 第二章 平面向量单元测评(含解析) 新人教B版必修4
单元测评 平面向量(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．下列等式恒成立的是( ) A.AB →＋BA →＝0 B.AB →－AC →＝BC →C ．(a·b )·c ＝a (b·c )D ．(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c解析：由数量积满足分配律可知D 正确． 答案：D2．已知|a |＝23，|b |＝6，a·b ＝－18，则a 与b 的夹角θ是( ) A ．120° B ．150° C ．60°D ．30°解析：∵cos θ＝a·b |a ||b |＝－1823×6＝－32，∴θ＝150°.答案：B3．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则与2i ＋3j 垂直的向量是( ) A ．3i ＋2j B ．－2i ＋3j C ．－3i ＋2jD ．2i －3j解析：2i ＋3j ＝(2,3)，C 中－3i ＋2j ＝(－3,2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．答案：C4．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为120°，那么|a ＋3b |的值为( ) A.7 B.10 C.13D ．4解析：|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋9＋6·|a |·|b |·cos120°＝10＋6·cos120°＝7.所以|a ＋3b |＝7.答案：A5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(－3，－4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2解析：因为c ＝λ1a ＋λ2b ，则有(－3，－4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝－3，2λ1＋3λ2＝－4，解得λ1＝1，λ2＝－2.答案：B6．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)解析：令b ＝(x ，y )(y ≠0)，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1， ①3x ＋y ＝3， ②将②代入①得x 2＋(3－3x )2＝1，即2x 2－3x ＋1＝0， ∴x ＝1(舍去，此时y ＝0)或x ＝12⇒y ＝32.答案：B7．向量a 与b 不共线，AB →＝a ＋k b ，AC →＝l a ＋b (k ，l ∈R )，且AB →与AC →共线，则k ，l 应满足( )A ．k ＋l ＝0B ．k －l ＝0C ．kl ＋1＝0D ．kl －1＝0解析：因为AB →与AC →共线，所以设AC →＝λAB →(λ∈R )，即l a ＋b ＝λ(a ＋k b )＝λa ＋λk b ，所以(l －λ)a ＋(1－λk )b ＝0.因为a 与b 不共线，所以l －λ＝0且1－λk ＝0.消去λ得1－lk ＝0，所以kl －1＝0.答案：D8．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π解析：设a 与b 的夹角为θ，∵Δ＝|a |2－4a·b ≥0，∴a·b ≤|a |24，∴cos θ＝a·b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 答案：B9．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→解析：由于P 1P 2→⊥P 1P 5→，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→与P 1P 6→的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·|P 1P 3→|·cos30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·|P 1P 4→|·cos60°＝a 2.答案：A10．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由已知得BC ＝2，∠BCD ＝135°，所以MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →) ＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD →＝22×22×cos180°＋22×1×cos135°＋2×22×cos45°＋2×1×cos0°＝2. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝__________.解析：∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴△ABC 是以A 为直角顶点的三角形，又M 是BC 的中点，则|AM →|＝12|BC →|＝12×4＝2.答案：212．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝__________. 解析：由题知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案： 213．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝__________.解析：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则由A (0,0)、B (2,0)、E (2，3)、D (1，3)、可得AE →·BD →＝1. 答案：114．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为__________．解析：AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n2AN →，NO →＝AO →－AN →＝m2AM →＋n －22AN →，NM →＝AM →－AN →.∵M 、O 、N 三点共线，∴m 2＝－n －22，∴m ＋n ＝2.答案：2三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．解：|c |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．(6分) ∵0°＜θ＜120°.∴－12＜cos θ＜1，∴13＜|c |＜5，(10分)∴|c |的取值范围为(13，5)．(12分)16．(12分)如图所示，D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝BD 2－DC 2，求证AD ⊥BC .证明：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d .(2分) ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e·c －2e·d －d 2.(4分) 由已知得a 2－b 2＝c 2－d 2， ∴c 2＋2e·c －2e·d －d 2＝c 2－d 2， 即e ·(c －d )＝0.(6分) ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ， ∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0，(10分) ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .(12分)17．(13分)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数m 满足的条件； (2)若ABC 为直角三角形，求实数m 的值．解：(1)∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )， 若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则这三点共线，(3分) ∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )． ∴3(1－m )＝2－m ，∴m ＝12.(6分)(2)∵△ABC 为直角三角形，①若∠A ＝90°，则AB →⊥AC →，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，∴m ＝74.(8分)②若∠B ＝90°，则AB →⊥BC →， ∴BC →＝(－1－m ，－m )， ∴3(－1－m )＋(－m )＝0， ∴m ＝34.(10分)③若∠C ＝90°，则BC →⊥AC →，∴(2－m )(－1－m )＋(1－m )(－m )＝0， ∴m ＝1±52.(12分)综上可得m ＝74或－34或1±52.(13分)18．(13分)如图，在四边形ABCD 中，BC →＝λAD →(λ∈R )，|AB →|＝|AD →|＝2，|CB →－CD →|＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值；(2)求CB →·BA →的值．解：(1)因为BC →＝λAD →，所以BC ∥AD ，且|BC →|＝λ|AD →|.因为|AB →|＝|AD →|＝2，所以|BC →|＝2λ. 又|CB →－CD →|＝23，所以|BD →|＝2 3.(4分)作AH ⊥BD 交BD 于H ，则H 为BD 的中点． 在Rt △AHB 中，有cos ∠ABH ＝BH AB ＝32， 于是∠ABH ＝30°， 所以∠ADB ＝∠DBC ＝30°. 而∠BDC ＝90°，所以BD ＝BC ·cos30°，即23＝2λ·32， 解得λ＝2.(8分) (2)由(1)知，∠ABC ＝60°，|CB →|＝4，所以CB →与BA →的夹角为120°，故CB →·BA →＝|CB →|·|BA →|cos120°＝－4.(13分)。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．设平面向量()a=1,2，()b=2,y -，若a b ，则2a b -等于（ ） A ．4B ．5C．D．2．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ）A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B．0,(1,)3⎛⋃+∞ ⎝⎭C．⎫⎪⎪⎝⎭ D ．(1,)+∞3．已知向量()1,2a =，()2,3b =-，若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ） A ．7793⎛⎫⎪⎝⎭，B ．7739⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．7739⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．7793⎛⎫-- ⎪⎝⎭，4．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒5．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A1BC1D2+6．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） AB ．1C ．2D ．227．已知非零向量,OA a OB b == ，且BC OA ⊥，C 为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则λ等于( )A ．a b a b⋅ B ．2a b a⋅ C ．2a b b⋅ D ．a b a b⋅8．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2]C ．22,222]-+D ．[222,2]-9．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且对任意的实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则tan θ的值为（ ）A ．5 B ．52-C ．5-D ．510．ABC 是边长为23的正三角形，O 是ABC 的中心，则()()OA OB OA OC +⋅+=（ ）A ．2B ．﹣2C ．634-+D ．634--11．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ）A ．6B ．83C ．127D ．412．已知正项等比数列{}n a ，若向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b ，则212229log log log (a a a ++⋯+= )A ．12B ．28log 5+C ．5D ．18二、填空题13．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力； ②θ的范围为[]0,π； ③当2πθ=时，1F G =；④当23πθ=时，1F G =. 其中正确结论的序号是______.14．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 15．如图，边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在线段BD 上运动，若1AB AO ⋅=，则AP PD ⋅的最大值为______.16．如图，在ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=___________.17．已知平面非零向量,,a b c ，满足a b ⊥且||1c =，已知22150,||||a a c a c b c -⋅-=-=-，则||a b +的取值范围是________18．已知P 为圆22(4)2x y +-=上一动点，点()1,1Q ，O 为坐标原点，那么OP OQ ⋅的取值范围为________．19．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.20．已知a →，b →为单位向量，2c a b →→→=-，且,3a b π→→<>=，则,a c →→〈〉=________．三、解答题21．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=-，且m n ⊥.（1）求角C 的大小； （2）若3c =2a b +的取值范围.22．已知在直角坐标系中（O 为坐标原点），()2,5OA =，()3,1OB =，(),3OC x =． （1）若A ，B ，C 共线，求x 的值；（2）当6x =时，直线OC 上存在点M 使MA MB ⊥，求点M 的坐标． 23．已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2a =. （1）若35c =，且//a c ，求c ； （2）若2b =，且()()2a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角的余弦值.24．如图一，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()11,A x y ，()22,B x y ，请根据以下信息，处理问题（1）和（2）.信息一：O 为坐标原点，()22,OB x y =，若将OB 顺时针旋转90︒得到向量'OB ，则()22',OB y x =-，且'OB OB =；信息二：()22,OB x y =与()11,OA x y =的夹角记为θ，()22',OB y x =-与()11,OA x y =的夹角记为α，则sin cos θα=；信息三：1sin 2OAB S OA OB θ=⋅⋅△；信息四：11122122x y x y x y x y =-，叫二阶行列式.（1）求证：112212OAB x y S x y =△，（外层“”表示取绝对值）；（2）如图二，已知三点()2,1M ，()3,4N ，()1,6Q ，试用（1）中的结论求MNQ △的面积.25．如图，在OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP xOA yOB =+.()1若AP PB =，求x ，y 的值；()2若3AP PB =，4OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒，求OP AB ⋅的值.26．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos sin sin 2b A C a B C b -=．（1）求B 的大小；（2）设1BA BC ⋅=-，D 为边AC 上的点，满足2AD DC =，求BD 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用向量共线定理即可得出y ，从而计算出2a b -的坐标，利用向量模的公式即可得结果. 【详解】//,220a b y ∴-⨯-=，解得4y =-，()()()221,22,44,8a b ∴-=---=，2248a b ∴-=+= D.【点睛】本题主要考查平面向量平行的性质以及向量模的坐标表示，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.2．B解析：B 【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，找出a 所满足的条件，最后求得结果. 【详解】 由题意得24,(0,0),(,1),(3,1)2T a O A a B a aππ==-，因为OAB 为钝角三角形，所以0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，即2310a -<，或2220a -+<，从而0a <或1a >． 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.3．D解析：D 【分析】设出(,)c x y =，根据向量的共线与垂直的坐标运算，列出方程组，即可求解. 【详解】设(,)c x y =，向量()1,2a =，()2,3b =-，可得(1,2),(3,1)c a x y a b +=+++=-， 由()//c a b +，可得3(1)2(2)x y -⨯+=+，即3270x y ++=， 由()c a b ⊥+，可得30x y -=， 联立方程组327030x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得77,93x y =-=-，即77(,)93c =--.故选：D. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的共线与垂直的坐标运算及应用，其中解答中熟记向量的共线和垂直的坐标运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +，|122e e -+, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则31cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则2221cos x y x θ=+⋅.5．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=，即（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=++=+．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．6．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.7．B解析：B 【解析】试题分析：BC OA ⊥,即()200BC OC OC OB OC OC OB OC ⊥⇒-⋅=⇒-⋅=，即220a a b λλ-⋅=，20,a b aλλ⋅≠∴=．考点：平面向量的数量积的应用.8．D解析：D 【解析】如图所示：OA a =，OB b =，OC c =，OD a b =+ ∵()()0a c b c -⋅-≤，∴点C 在劣弧AB 上运动，a b c +-表示C 、D 两点间的距离CD ．CD 的最大值是BD ＝２，CD 最小值为OD 2222-=.故选D9．B解析：B 【分析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，所以242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立，则0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，结合已知可得cos θ的值，进而可求出sin θ的值，从而可求出答案. 【详解】由题意，a xb a b +≥⇔+22a xb a b +≥⇔+222220x b a bx a b b +⋅-⋅-≥，对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，且||3,||2a b ==，∴242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立， ∴0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，又cos 6cos a b a b θθ⋅==，∴2144cos 16(12cos 4)0θθ++≤，即29cos 12cos 40θθ++≤，∴2(3cos 2)0θ+≤，则2(3cos 2)0θ+=，解得2cos 3θ=-， 又0πθ≤≤，∴sin 3θ==， ∴sin 3tan 2cos 3θθθ===-.故选：B . 【点睛】本题主要考查了求三角函数值，考查向量数量积的运算，考查一元二次不等式的解与判别式的关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据ABC 是边长为23的正三角形，O 是ABC 的中心，得到2,,,,120OA OB OC OA OB OA OC OB OC ======︒，然后利用平面向量的数量积运算求解. 【详解】因为ABC 是边长为23的正三角形，O 是ABC 的中心， 所以2,,,,120OA OB OC OA OB OA OC OB OC ======︒，所以()()()24322OA OB OA OC OA OA OB OA OC OB OC +⋅+=+⋅+⋅+⋅=+⨯-=- 故选：B . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及三角形的知识，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．A解析：A 【分析】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，由已知可得O 是'''A B C 的重心，由重心性质可得所求面积比． 【详解】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，如图，∵2730OA OB OC ++=，∴O 是'''A B C 的重心，则''''''OA B OB C OC A S S S ==△△△，设''''''OA B OB C OC A S S S t ===△△△，设,,OAB OAC y OBC S x S S z ===△△△， ∵2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，∴''1''sin ''2141sin 2OAB OABOA OB A OB S S OA OB AOB ⋅∠==⋅∠△△，即114x t =，同理16y t =，121z t =，11161462121ABC S x y z t t t t =++=++=△， ∴6216121ABC OBCtS S t ==△△． 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性．12．D解析：D 【分析】本题先根据平行向量的坐标运算可得2816a a =，再根据等比中项的知识，可计算出54a =，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．【详解】解：由题意，向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b 则28820a a ⨯-⨯=，即2816a a =，根据等比中项的知识，可得228516a a a ==， 50a >，54a ∴=，212229log log log a a a ∴++⋯+ 2129log ()a a a =⋯2192837465log [()()()()]a a a a a a a a a =925log a =29log 4=18=．故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题.考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.二、填空题13．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当解析：①④. 【分析】根据12G F F =+为定值，求出(22121cos GF θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】解：对于①，由12G F F =+为定值， 所以()2222121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得()22121cos GF θ=+；由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以21F 单调递增， 即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2πθ=时，2212GF =，所以122F G =，③错误. 对于④，当23πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确. 综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题14．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】 方法一：3cos OA OC AOC OA OC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①得：2233m n=+，所以229m n =，点C 在AOB ∠内， 所以3mn=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,0A B ，, 设()1cos30,sin 30=,22OC λλλ⎛⎫=︒︒ ⎪ ⎪⎝⎭，又()(()1,0OC mOA nOB m n m =+=+=，得()1,=22m λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即=212m λλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得3mn=. 故答案为：3.15．【分析】以为原点和分别为和轴建立的平面直角坐标系求得设得到即可求解【详解】以为原点和分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系设则因为可得联立方程组解答所以设则当时取得最大值最大值为故答案为：【点睛】本解析：34【分析】以O 为原点，OC 和OD 分别为x 和y轴建立的平面直角坐标系，求得(1,0),A D -，设(0,),[P t t ∈，得到23(24AP PD t ⋅=--+，即可求解. 【详解】以O 为原点，OC 和OD 分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设(,0),(0,),0,0A a B b a b -->>，则224a b +=， 因为1AB AO ⋅=，可得2(,)(,0)1a b a a -⋅==，联立方程组，解答1,a b ==(1,0),A D -，设(0,),[P t t ∈，则2233(1,))(44AP PD t t t t ⋅=⋅=-+=--+≤，当t =AP PD ⋅取得最大值，最大值为34.故答案为：34.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，此类问题通常采取建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解，着重考查转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.16．【分析】利用表示向量再由可求得实数的值【详解】所以则为线段的中点则因此故答案为：【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数考查计算能力属于中等题解析：14-【分析】利用AB 、AC 表示向量AD ，再由12AE AD =可求得实数λ的值. 【详解】()22BC CD BD BC ==-，所以，32BD BC =， 则()33132222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+， E 为线段AD 的中点，则11332444AE AD AB AC AB AC λ==-+=+，因此，14λ=-.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设设则由得到再利用得到再设得到根据可解得结果【详解】因为所以可设设则由得所以由得化简得所以所以由得所以设则所以所以由得解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算考查了 解析：31311]【分析】设00(,0)(0)a x x =≠，00(0,)(0)b y y =≠，设(,)c x y =，则221x y +=，由22150,||||a a c a c b c -⋅-=-=-，得到00152x x x =-，00152y y y =-，再利用221x y +=，得到222200002200225()604x y x y x y +++-=，再设2200x y t +=，得到2220225()2464t t t x t -=--，根据22250464t tt -≥-，可解得结果.【详解】因为a b ⊥，所以可设00(,0)(0)a x x =≠，00(0,)(0)b y y =≠，设(,)c x y =，则221x y +=，由22150a a c -⋅-=，得200215x x x -=，所以00152x x x =-，由||||a c b c -=-=200215y y y -=，所以00152y y y =-， 所以由221x y +=，得2200001515()()4x y x y -+-=， 所以22220002200225()604x y x y x y +++-=， 设2200x y t +=(0)t >，则220022564()t t x t x +=-，所以4200225064t x tx t-+=-， 所以2220225()2464t t tx t-=--，由22250464t t t-≥-，得2649000t t -+≤，解得3232t -≤≤+所以221)1)t ≤≤，11t ≤≤，所以00|||(,)|1a b x y ⎤+===⎦，故答案为：1]. 【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算，考查了向量的模长公式，属于中档题.18．【分析】先将圆的方程化为参数方程设利用数量积运算结合三角函数的性质求解【详解】因为圆的方程所以其参数方程为：设所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函 解析：[2,6]【分析】先将圆的方程化为参数方程,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，设,4)P θθ+，利用数量积运算结合三角函数的性质求解. 【详解】因为圆的方程22(4)2x y +-=，所以其参数方程为：,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩，设,4)P θθ，所以2cos (4)2sin()44πθθθ⋅=++=++OP OQ ，因为[]sin()1,14πθ+∈-，所以[2,6]⋅∈OP OQ . 故答案为：[2,6] 【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值 解析：cossin22θθ+【分析】建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值. 【详解】由已知建立平面直角坐标系，设()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=，所以()22+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=，所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上，所以c的最大值为+cos +sin 222OP R θθθ==， 所以c 的最大值为cos sin22θθ+，故答案为：cos sin22θθ+.【点睛】本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题.20．【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解【详解】因为又所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义运算法则性质向量的夹角公式属于中档题 解析：6π【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解. 【详解】因为22cos (cos ,2|||||2)2|a a ca a c ab a bc π→→→→→→→→→→→→→→-⋅〈〉==--===⋅， 又,0a c π→→〈≤〉≤， 所以,6a c π→→〈〉=，故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，运算法则，性质，向量的夹角公式，属于中档题.三、解答题21．（1）2C 3π=；（2）.【分析】（1）根据向量m n ⊥得到22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围． 【详解】（1）∵m n ⊥ ∴0m n ⋅=∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++= ∴222c a b ab =++ ∴1cos 2C =- 又()0,C π∈ . ∴23C π=.（2）∵23C π=，c =∴△ABC 外接圆直径2R=2 ∴24sin 2sin a b A B +=+ 4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin sin A A A =+-3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b + 的取值范围是 .【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题． 22．（1）52x =；（2）()2,1或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭． 【分析】（1）利用//AB BC ，结合向量共线的坐标表示列方程，解方程求得x 的值.（2）设M 点的坐标为()6,3λλ，利用MA MB ⊥，结合向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值，进而求得M 点的坐标. 【详解】（1）()1,4AB OB OA =-=-；()3,2BC OC OB x =-=- ∵A 、B 、C 共线，∴//AB BC∴()2430x +-= ∴52x =． （2）∵M 在直线OC 上，∴设()6,3OM OC λλλ== ∴()26,53MA OA OM λλ=-=--()36,13MB OB OM λλ=-=--∵MA MB ⊥∴()()()()263653130λλλλ--+--= 即：24548110λλ-+= 解得：13λ=或1115λ=. ∴()2,1OM =或2211,55OM ⎛⎫=⎪⎝⎭． ∴点M 的坐标为()2,1或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本小题主要考查向量共线、垂直的坐标表示，属于中档题. 23．（1）()3,6c =或()3,6c =--；（2）. 【分析】（1）设(),c x y =，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x=⎧=即可得解；（2）由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-=，再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=-，最后由cos ,a ba b a b⋅=⋅即可得解. 【详解】（1）设(),c x y =，因为()1,2a =，//a c ，35c =，所以235y x x y =⎧+=⎪⎩36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩， 所以()3,6c =或()3,6c =--；（2）因为()1,2a =，所以14a =+又()()2a b a b +⊥-，2b =，所以()()22225220a b a b aa b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=，所以1a b ⋅=-， 所以cos ,5a b a b a b⋅===⨯⋅【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题.24．（1）证明见解析；（2）4. 【分析】 （1）由1sin 2OAB S OA OB θ=⋅⋅△，再根据'OB OB =，sin cos θα=，转化OAB S =△1'2OA OB =⋅，利用平面向量的数量积运算结合行列式证明. （2）由（1）的结论，由MNQ OMN ONQ OMQ S S S S =+-△△△△求解. 【详解】 （1）如图所示. ∵1sin 2OAB S OA OB θ=⋅⋅△， 又因为'OB OB =，sin cos θα=， ∴1'cos 2OAB S OA OB α=⋅⋅△ 1'2OA OB =⋅ ()()11221,,2x y y x =⋅- ()121212x y y x =+- 122112x y x y =-， 又∵11122122x y x y x y x y =-， ∴112212OAB x y S x y =△.（2）∵MNQ OMN ONQ OMQ S S S S =+-△△△△∴213421111341616222MNQ S =+-△ 111(2431)(3614)(2611)222=⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯ 511722=+- 4=【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，行列式以及面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．()112x y ==；()23-. 【分析】 ()1用OA ，OB 表示出OP ，根据平面向量的基本定理得出x ，y 的值；()2用OA ，OB 表示出OP ，AB ，代入数量积公式计算即可.【详解】解：()1若AP PB =，则OP OA OB OP -=-， 即1122OP OA OB =+，故12x y ==. ()2若3AP PB =，则33OP OA OB OP -=-， 即1344OP OA OB =+， 所以()221311344424OA OB OB OA O OP A OA O B B OB A ⎛⎫+⋅-=--⋅=⋅+ ⎪⎝⎭ 22221131113cos60442234244224OA OA OB OB -⋅⋅︒+=-⨯-⨯⨯⨯=-+⨯=-. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查向量的数量积运算，属于中档题.26．（1）23B π=；（2）23. 【分析】 （1）由正弦定理化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得1cos cos sin sin 2A C A C -=，利用两角差的余弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可求1cos 2B =-，结合范围由()0,B π∈，可得B 的值；（2）利用平面向量数量积的运算可求2ac =，由题意利用平面向量的运算可得2133BD BA BC =+，两边平方利用基本不等式可求BD 的最小值. 【详解】 （1）由sin sin sin a b c A B C ==，得1sin cos cos sin sin sin sin 2B AC A B C B -=， 又∵在ABC ∆中，sin 0B ≠， ∴1cos cos sin sin 2A C A C -=，即1cos()2A C +=，而A B C π++= ∴1cos 2B =-， 故23B π=. （2）cos 1BA BC ac B ⋅=⋅=-，∴2ac =， ∴1121()3333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+， ∴222414999BD BA BC BA BC =++⋅22414444999999c a ac =+-≥-=， ∴23BD ≥，当且仅当2a c =时取到． 故BD 的最小值为23. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，两角差的余弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，平面向量的运算以及基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．。
人教版数学高二第二章平面向量单元测试精选(含答案)3
求 m 的值和 ABC 的面积 S .
【来源】2012 届新人教版高三上学期单元测试（6)数学试卷
【答案】（Ⅰ） 2 k 1；
（Ⅱ） m 4 , S 3 .
19．（文）如图，三定点
A2,1
、B 0, 1
、C 2,1 ，三动点
D
、E
、M
满足
uuur AD
uuur t AB
，
uur BE
t
uuur BC
Q 是边 CD 上的点，且 CQ＝3DQ，求 MQ • NP 的值．
试卷第 5页，总 6页
【来源】[名校联盟]江苏省南京六中 20102011 学年高二下学期期末考试数学（理)试题
【答案】3
22．已知向量
a
（cos
3 2
x，sin
3 2
x），
b
（cos
x 2
，﹣sin
x 2
），且
x∈[0，
2
人教版高二第二章平面向量单元测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．对任意向量 a, b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A． a b a b
B． a b a b
C． a b2 a b 2
（文科)数学试卷
【答案】 (12 , 5 ) 13 13
11．如图，OM∥AB，点 P 在由射线 OM，线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域内（不
含边界）运动，且
uuur OP
uur xOA
uuur yOB
，则
x
的取值范围是__；当
高二数学 第二章平面向量单元测试题 苏教版必修4
第二章平面向量单元测试题选择(5分×7=35分)：1、下列命题正确的个数是 （ ）①0AB BA +=； ②00AB ⋅=； ③AB AC BC -=； ④00AB ⋅=A 、1B 、2C 、3D 、42、若向量(1,1)a =,(1,1)b =-,(1,2)c =-,则c 等于 （ ）A 、1322a b -+B 、1322a b -C 、3122a b -D 、3122a b -+ 3、已知(1,2)a =,(2,3)b x =-且a ∥b ,则x = （ ）A 、－3B 、34- C 、0 D 、34 4、下列命题中： ①若0a b ⋅=,则0a =或0b =; ②若不平行的两个非零向量a ,b 满足a b =,则()()0a b a b +⋅-=; ③若a 与b 平行,则a b a b ⋅=⋅ ； ④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;其中真命题的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45、已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是 （ ）A 、150︒B 、120︒C 、60︒D 、30︒6、若)()(),1,2(),4,3(b a b x a b a -⊥+-==且,则实数x= （ ）A 、23B 、223C 、323D 、4237、在ΔABC 中,060,43=∠==BAC ,则=⋅ （ ）A 、6B 、4C 、-6D 、-4二、填充（5分×4=20分）：8、已知===x x 则,13),,5(9、已知(2,4),(2,6)MA MB =-=，则12AB = 10、若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A 、B 、C 三点共线,则x ＝11、已知向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角,则k 的取值范围是三、解答（共45分）：12、已知A （1，0），B （4，3），C （2，4），D （0，2），试证明四边形ABCD 是梯形。
人教版数学高二第二章平面向量单元测试精选(含答案)2
C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)
【来源】内蒙古平煤高级中学 2017-2018 学年高一下学期第二章单元检测数学试题
【答案】B
8．若取两个互相垂直的单位向量 i, j 为基底,
且已知 a
3i 2 j,b
i 3j
则
5a
•
3b
等于 （ ）
A．–45
B．45
C．–1
D．1
【来源】内蒙古平煤高级中学 2017-2018 学年高一下学期第二章单元检测数学试题
的形状为_____________________
【来源】内蒙古平煤高级中学 2017-2018 学年高一下学期第二章单元检测数学试题
【答案】直角三角形
32．已知
a
1,
b
2
，a
与b
的夹角为
3
，那么
a
b
a
b
=___________
.
【来源】广东华南师范大学附属中学 2017-2018 学年度高一第二学期模块测试数学（必
6
【来源】福建省 2018 届数学基地校高三毕业班总复习 平面向量、复数 形成性测试卷
（文科)数学试卷
【答案】B
26．已知复数 z1 1 2i ， z2 1 i ， z3 3 4i ，它们在复平面 xOy 上所对应
的点分别为 A，B，C．若 OC OA OB（ , R ），其中 O 为原点，则
量 a ，b 在基底 s 与 t 下的坐标分别为（﹣1，1），（3，2）．则向量 a 与 b 夹角的余弦值
是（ ）
A． 26 26
B． 13 13
C．﹣ 26 26
D．﹣ 13 13
【来源】湖南省澧县一中 2018 届高三一轮复习理科数学《平面向量》单元检测试题
第二章平面向量测试卷
2．平面向量 的夹角为 （）
A．3B． C．7D．
3.设平面向量 ，若 ，则实数 的值为
A. B. C. D.
4.已知 ，则 与 （）
A、垂直B、不垂直也不平行C、平行且同向D、平行且反向
5．已知向量 的值是（）
A． B． C． D．1
6．在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线与 交于点 ．若 ， ，则 （）
20设两向量12ee?????满足121221eeee??????????的夹角为60若向量121227teeete??????????与的夹角为钝角求实数t的取值范围
第二章平面向量测试卷A
一、选择题
1．若两个非零向量 ， 满足 ，则向量 与 的夹角是（）
A． B． C． D．
2.如图，向量 等于
A． B． C． D．
A． B． C． D．
7．已知 和点M满足 ．若存在实 使得 成立，则 =（）
A．2B．3C．4D．5
．如图，在 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为（）
9．已知向量 =(－2,1)， =(－3，0)，则 在 方向上的投影为( )
Байду номын сангаасA．－2 B． C．2 D．－
10．已知 ，则 与 夹角的取值范围是（）
7．已知向量 ∥ ，则 等于（）
A．3B．－3C． D．－
8.已知 ，则A、B、C三点共线的充要条件为( )
A． B C． D．
9.已知向量 的夹角为（）
A．0°B．45°C．90°D．180°
10．设向量 的（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
高一数学第二章 平面向量单元测试题1 试题
卜人入州八九几市潮王学校文博高一数学
班级座号成绩
一、选择题：
1、化简得〔〕A.B.C.D.
2、以下各组向量中，可以作为基底的是〔〕
A.B.
C.D.
3、，，假设，那么等于〔〕
A.B.C.2D.
4、A(2,1),B(3,2),C(-1,5),那么的形状是〔〕
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
5、假设向量，满足，且，那么和的夹角大小为〔〕
A.B.C.D.
6、，，,且//,那么的值是〔〕
A.0B.2 C.D.–2
〔〕
A.对于任意向量，，有
B.假设，那么=或者=
C.对于任意向量，，有
D.假设，一共线，那么
8、平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F，
假设，，那么〔〕
A.B.C.D.
二、填空题：
9、，和的夹角为，那么=
10、在三角形ABC中，，且满足,那么
11、关于平面向量，，，那么〔2〕假设，，//，那么〔3〕非零向量，满足，那么与的夹角为
三、解答题：
12、，求的值
13、设，是不一共线的两个向量，，,
假设A,B,C三点一共线，求的值
14、，〔1〕当为何值时，与垂直
〔2〕当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是方向？。
高中数学 第二章 平面向量检测题A必修4 试题
卜人入州八九几市潮王学校内蒙古元宝山区平煤高级高中数学第二章平面向量检测题教A 必修4一、选择题1.A ．0 B ．1 C ．2 D ．3()〔1〕假设e 为单位向量，且e a //，那么a=；〔2〕假设b a //且c b //，那么c a //；〔3〕a a a =••；〔4〕假设平面内有四点A 、B 、C 、D ，那么必有＋＝＋.2.向量OM =〔3，-2〕，ON =〔-5，-1〕，那么MN 21等于〔〕 A ．〔8，1〕B ．〔-8，1〕C ．〔4，-21〕D ．〔-4，21〕 3.假设取两个互相垂直的单位向量j i ,为基底,且j i b j i a 3,23-=+=那么b a 35•等于〔〕A ．–45B ．45C ．–1D ．14.假设)4()32(,,1||||b a k b a b a b a -⊥+⊥==，那么实数k 的值是〔〕A ．-6B ．6C ．-3D ．35.假设向量a =〔1，1〕，b =〔1，-1〕，c =〔-1，2〕，那么c 等于〔〕A ．b a 2321+-B ．b a 2321-C ．b a 2123-D ．b a 2123+- 6.12,5||,3||=⋅==b a b a 且，那么向量a 在向量b 上的投影为〔〕A ．512 B ．3 C ．4 D ．5 7.3||,22||==q p ，q p ,的夹角为4π，那么以q p b q p a 3,25-=+=为邻边的平行四边形的一条对角线长为〔〕A ．15B ．15C ．14D ．168.向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向一样，那么b a •的取值范围是()A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C．(1，＋∞) D ．(－∞，1)9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，假设＝a ，＝b ，那么＝()A.a ＋bB.a ＋bC.a ＋bD.a ＋b 10.向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使·有最小值，那么点P 的坐标为() A ．(－3,0) B ．(2,0)C ．(3,0) D ．(4,0) 11.在△ABC 中，AB =〔2，3〕，AC =〔1，k 〕,假设△ABC 为直角三角形，那么k 的值是〔〕 A.－32 B.311C.－32或者311 D.－32、311或者2133± 12.假设OA =a ，OB =b ，a 与b 不一共线，那么∠AOB 平分线上的向量OM 为〔〕A.a ba b + B.a b a b ++ C.b a a b a b -+ D.()aba b λ+,λ由OM 确定二、填空题13.假设AB ·BC +2AB =0，那么ΔABC 的形状为。
高中数学必修四第二章,平面向量单元能力测试卷
第二章平面向量单元能力测试卷一、选择题(每题5分，共60分)1.设F E D C B A ,,,,,是平面上任意五点，则下列等式①AB CE AE CB +=+ ②AC BE BC EA +=- ③ED AB EA AD +=+④0AB BC CD DE EA ++++= ⑤0AB BC AC +-=其中错误等式的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.已知正方形ABCD 的边长为1，设===,,=++ ( )A.0B.3C.22+D.223.设1e 、2e 是两个不共线向量，若向量 =2153e e +与向量213e e m -=共线，则m 的值等于 （ ） A.35- B.－59 C.53- D.95- 4.已知)3,1(),1,2(=-=b a 则b a 32+-等于 ( )A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(5.设P )6,3(-,Q )2,5(-,R 的纵坐标为9-，且R Q P ,,三点共线，则R 点的横坐标为A.9-B.6-C.9D.6 （ ）6.在ΔABC 中,若0)()(=-⋅+，则ΔABC 为 ( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定7.已知向量，，40-=⋅则向量与的夹角为 （ ）A. 60B. 60-C. 120D.120- 8.已知)0,3(=,)5,5(-=，则与的夹角为 ( ) A.4π B.43π C.3π D.32π 9.若b a b a ⊥==,1||||且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则k 的值为 ( ) A.6- B.6 C.3 D.3-10.已知a =(2,3),b =(4-,7),则a 在b 上的投影值为 ( ) A.13 B.513 C.565 D.65N A B D M C 11.若035=+CD AB ,且BC AD =，则四边形ABCD 是 ( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形12.己知)1,2(1-P ,)5,0(2P 且点P 在线段21P P 的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为( )A.)11,2(-B.)3,34( C.(3,32) D.)7,2(- 二、填空题(每题5分，共 20分)13.已知|a |=1,|b |=2,且(a －b )和a 垂直,则a 与b 的夹角为__________.14.若向量),2(x a -=,)2,(x b -=,且a 与b 同向，则-a b 2=__________.15.已知向量a )2,3(-=,b )1,2(-,c )4,7(-=,且b a c μλ+=，则λ=__________，μ=__________.16.已知|a |=3,｜b ｜=2，a 与b 的夹角为 60，则｜a －b ｜=__________.三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17.如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD BN 31=，求证：C N M ,,三点共线．18.已知C B A ,,三点坐标分别为),2,1(),1,3(),0,1(--=31，BF =31， 1）求点E 、F 及向量EF 的坐标；2）求证：∥．19.24==夹角为 120,求：(1)⋅；(2))()2(+⋅-；(3)3+．20.已知)2,3(),2,1(-==b a ，当k 为何值时：（1）b a k +与b a 3-垂直；（2）b a k +与b a 3-平行，平行时它们是同向还是反向？20.())sin 3cos ),3(sin(,sin ,cos 2x x x x x -+==π,x f ⋅=)(，求：(1)函数()x f 的最小正周期；(2))(x f 的值域；(3))(x f 的单调递增区间.22.已知点)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ，（1）若1-=⋅，求α2sin 的值；（213=+，且),0(πα∈，求与的夹角.参考答案一、选择题1-6CDBBDC 7-12CDBCCA二、填空题13.4π14.()2,2- 15.2,1- 16.7三、解答题17.略 18.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3231y x , ⎪⎩⎪⎨⎧==037y x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32,38 19.74,12,4-20.31,19- 21.[]2,2,-=πT 22.95-,6π。
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张喜林制
第二章 平面向量单元能力测控题测试
时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题（5分×12= 60分）
1．化简-+-得( )．
AB A . DA B . BC C . 0.D
2．设00,b a 分别是a ，b 同向的单位向量，则下列结论中正确的是( )．
00.b a A = 1.00=⋅b a B 2||||.00=+b a C 2||.00=+b a D
3．已知下列命题中：
(1)若,R k ∈且,0=kb 则0=k 或;0=b
(2)若.a ,0=b 则0=a 或;0=b
(3)若不平行的两个非零向量a ，b ，满足|,|||b a =则;0)()(=-⋅+b a b a
(4)若a 与b 平行，则.||||b a b a ⋅=⋅其中真命题的个数是( )．
0.A 1.B 2.C 3.D
4．下列命题中正确的是( )．
A ．若,0=⋅b a 则0=a 或0=b
B ．若,0=⋅b a 则b a //
C ．若,//b a 则a 在b 上的投影为||a
D ．若,b a ⊥则2)(b a b a ⋅=⋅
5．已知平面向量),3,(),1,3(-==x b a 且,b a ⊥则=x ( ).
3.-A 1.-B 1.C 3.D
6．已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量),1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是( )．
0,24.A 24,4.B 0,16.C 0,4.D
7．若a ，b 是非零向量且满足,)2(,)2(b a b a b a ⊥-⊥-则a 与b 的夹角是( )．
6π⋅
A 3π⋅
B 32.π
C 6
5.πD 8．设),31,(cos ),sin ,23(αα==b a 且,//b a 则锐角a 为( )．
o A 30. o B 60. 75.C 45.D
9．如图2 -1，点M 是△ABC 的重心，则-+为( )．
0.A ME 4.B MD C 4. MF D 4.
10.已知△ABC 的顶点A(2，3)和重心G(2，-1)，则BC 边上的中点坐标是( )．
)3,2.(-A )9,2.(-B )5,2.(-C )0,2.(D
11．在△ABC 中，若,60,4||,3|| =∠==BAC 则=.( )．
6.A 4.B 6.-C 4.-D
12．设b a 、,,==不共线，点B 关于所在直线的对称点为,1B 则1OB 可以用a 、b 表示为
( )．
a b a b a A +⋅⋅2||2. a b a b a B -⋅⋅2||2. b a a b a C -⋅⋅2||2. b a a b a D +⋅⋅2
||2. 二、填空题（4分×4 =16分） 13.（2011年江苏）已知21,e e 是夹角为
π32的两个单位向量，,,22121e ke b e e a +=-=若,0=⋅b a 则k 的值为__ __．
14.（2011年重庆理）已知单位向量21,e e 的夹角为,60o 则=-|2|21e e
15.如图2-2，在△ABC 中，点0是BC 的中点，过点0的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，
若,,n m ==则n m +的值为
16.给出下列命题：
①若向量a 、b 的夹角为p ，则;|
|]|cos b a b a ⋅=θ ②
;)a c b c a C b ⋅+⋅=⋅+（ ③若向量AB 的起点为,2(-A ),4终点为),1,2(B 则BA 与x 轴正方向所夹角的余弦值是;45
④若向量),4,(m a =且,23||=
a 则.7=m 其中不正确命题的序号有
三、解答题（共74分）
17.（16分）已知⋅==)1,(),2,1(x b a
(1)若),2//()2(b a b a -+求x 的值；
(2)若),2()2(b a b a -⊥+求x 的值．
18.（18分）已知向量=-=-=OC j i OB j i OA ,36,43,)4()5(j m i m +--其中i 、j 分别是直角坐标
系内x 轴与y 轴正方向上的单位向量．
(1)若A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；
(2)若△ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值，
19．（20分）（2006年江苏省部分重点中学联考题）如图2-3，已知),1,5(),7,1(),1,2(===OB OA OP
设Z 是直线OP 上的一动点．
(1)求使ZB ZA .取最小值时的;OZ
(2)由(1)中求出的点Z ，求.cos AZB ∠
20. (20分)如图2-4，点0为△ABC 的外心，以OB ,为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC 、 OD 为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H
(1)若,,,,h c b a ====用a 、b 、c 表示h ；
(2)证明：;⊥
(3)若在△ABC 中，,45,60 =∠=∠CBA BAC 外接圆的半径为R ，用R 表示｜h ｜。