高三数学下学期第一次月考试题 理 (2)

揭东一中2017届高三级第二学期第一次月考理科数学试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）命题“,x R x x ∀∈=”的否定是（ ）A.“,x R x x ∃∈=”B.“,x R x x ∀∈≠”C.“,x R x x ∃∈≠”D.“,x R x x ∃∈=-” （2）⎰=ππ2cos xdx （ ）A ．1B ．0C ．-1D ．2（3）设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C AB 等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ （4）函数22x xye(30<≤x ) 的值域是（ ）A. (0,1]B. 3(,]e eC. 3[,1]e D. [1,]e（5）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a（6）已知2sin 3α=，则sin(2)2πα-=（ ）A.5-B.19-C.195（7）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t 的函数，其图象可能是 （ ）（8）已知函数()x x x f ωωcos sin 3+=（其中0>ω）的图像与直线2-=y 的2个相邻公 共点之间的距离等于π，则()x f 的单调递减区间是（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππk k Z k ∈, B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k Z k ∈, C. 42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈, D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1252,122ππππk k Z k ∈, （9）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3C π=，326,a c ==则b 的值为（ ） A.3B.2C.16-D.16+（10）已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A.[0,4π)B.[,)42ππC. 3(,]24ππD. 3[,)4ππ（11）已知函数2ln (0,2]()(2)(2,)x x x f x f x x -∈⎧=⎨-∈+∞⎩ ，32lg10000log 162,log 3a b ==， 则以下结论正确的是（ ）A.()()0f a f b <<B.f(b)<f(a)<0C.0()()f a f b <<D. 0()()f b f a <<（12）设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围为（ ）A ． [3,3]-B ． [3,)+∞C ． [2,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、（本题共4小题，每小题5分,共20分，把答案写在题中横线上）13、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 若 A c A b B a sin cos cos =+，则△ABC 的形状为________。

14、在等比数列{}n a 中，若4,2141==a a ，则=+++n a a a 21 . 15 已知双曲线116922=-y x 的左右焦点分别为21,F F ，若双曲线上一点P 满足02190=∠PF F ，求21PF F S ∆=________。

16、如图三棱锥A-BCD ，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则异面直线AN 、CM 所成角的余弦值是 ；三、解答题（本题共6道题，共70分）17．(本题共10分)已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是c b a 、、，向量)cos ,(cos C B m =，),2(b c a n += ，且n m ⊥。

（1）求角B 的大小；（2）3=b ，求c a +的范围。

18、(12分) 已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值．19、（本题共12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 与点F 。

（1）求证：PA//平面EDB ； （2）求证：PB ⊥平面EFD ； （3）求二面角C-PB-D 的大小。

20．（本题12分）已知函数f(x)=3)3cos()2sin(tan 4---⋅ππx x x .(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上的单调性.21（本题共12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S =3n 2+10n ， {}n b 是等差数列，且（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+求数列{}n c 的前n 项和n T 。

22（本题12分）已知函数)(x f =xe xx 211+-。

（1） 求函数)(x f 的单调区间；（2） 证明：当)()(21x f x f =（21x x ≠）时，021<+x x 。

揭东一中2017届高三级第二学期第一次月考理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

二、填空题【答案】13、直角三角形； 14、2121-=-n n S ； 15、21PF F S ∆=16； 16、(2015浙江理13题）解法1（传统方法）：连接DN ，取DN 中点E ，连接ME 、CE ，则ME//AN ，所以异面直线AN 、CM 所成角的余弦值即为|cos EMC ∠|，又CE 2=CN 2+NE 2=3，3=CE ，显然CM=22，ME=2，在MEC ∆中由余弦定理 可得|cos EMC ∠|=87。

解法2（向量回路法）：相关线段的长度和夹角已知的情况下，无论能否建系都可采用空间向量来解——向量回路法。

取一组向量CD CB CA ,,做基底，则)(21CD CA CM +=，CB CA CN CA AN 21-=-=，所以异面直线CM 和AN 所成角的余弦||||||cos AN CM AN CM ⋅⋅=θ，又因为31cos ,97cos =∠=∠ACB ACD ，31cos =∠BCD 。

所以可求)21)(2121(CB CA CD CA AN CM -+=⋅=7||||||cos AN CM AN CM ⋅⋅=θ=87。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBBCBAADDBB解法3（补锥成体法）：相对棱长相等的三棱锥是由长方体切去四个角得到的，所以此类三棱锥总可以还原成长方体去解决，这也是本题和12题的共同之处。

补成长方体，如图建系，则长方体的面对角线的长度分别为3、3、2，设OC=a ，OD=b ，OB=c ，则2,7,2,9,4,9222222===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c b a b c c a b a ， 所以)22,0,22(),2,7,2(N A ， )22,7,22(M ，所以)22,7,22(---=AN ， )22,7,22(-=CM ，异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为||||cos AN CM ⋅=θ=87。

三、解答题 17、解：0cos cos )2(0=++⇒=⋅⇒⊥C b B c a n m n m21cos 0)cos cos (cos 2-=⇒=++⇒b C b B c B a 32π=⇒B 。

（2）由余弦定理⇒++=-+=ac c a B ac c a b 22222cos 2⇒=++322ac c a 22)(4133)(c a ac c a ++≤+=+204)(2≤+<⇒≤+c a c a ，又因为3=b⇒23≤+<c a另解：))32sin((sin 2))sin((sin sin )sin (sin 2π++=++=+=+A A B A A B b C A R c a )3sin(2)cos 23sin 21(2π+=+=A A A 1)3sin(23323330≤+<⇒<+<⇒<<πππππA A A 所以(]2,3)3sin(2∈+πA ，即(]2,3∈+c a18、（2013福建卷17题）解：函数的定义域为，．（Ⅰ）当时，，，，在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）由可知：①当时，，函数为上增函数，函数无极值；②当时，由，解得；时，，时，在处取得极小值，且极小值为，无极大值．综上：当时，函数无极值当时，函数在处取得极小值，无极大值．19、（课本2-1第109页例题）解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设1DC=（1）证明：连接AC，AC交BD于点G，连接EG依题意得()111,0,0,(0,0,1),(0,,).22A P E因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为11 (,,0)22，且11(1,0,1),(,0,).22PA EG →=-=-→所以2,PA EG →=→即//.PA EG 而,EG EDB ⊂平面且,PA EDB ⊄平面因此//.PA EDB 平面（2） 证明：依题意得(1,1,0),B (1,1,1).PB =-→又11(0,,),22DE =→故1100.22PB DE →•=+-=→所以.PB DE ⊥由已知,EF PB ⊥且,EFDE E =所以PB ⊥平面.EFD（3）解：已知,EF PB ⊥由（2）可知,PB DF ⊥故EFD ∠是二面角C PB D --的平面角.设点F的坐标为(,,),x y z 则(,,1).PF x y z =-→因为,PF k PB →=→所以(,,1)(1,1,1)(,,),x y z k k k k -=-=-即,,1.x k y k z k ===- 因为0.PB DF →•=→所以(1,1,1)(,,1)1310.k k k k k k k -•-=+-+=-= 所以1,3k =点F 的坐标为112,,.333⎛⎫ ⎪⎝⎭ 又点E 的坐标为110,,.22⎛⎫ ⎪⎝⎭所以111(,,).366FE =--→因为1111121(,,)(,,)16cos ,123FE FD EFD FE FD --•---•∠====→→→→ 所以60,EFD ∠=即二面角C PB D --的大小为60. 20、解：令函数的单调递增区间是由,得设，易知=⋂B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,12ππ. 所以, 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,4ππx 时, )(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,12ππ上单调递增, 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12,4ππ上单调递减. 21、（2016山东高考变式）解：（1）由{}n a 的前n 项和n S =3n 2+10n 76+=⇒n a n ，又{}n b 是等差数列，且，所以23+=n b n 。