2015年最新专题复习圆折叠专题
中考数学复习：专题7-2 中考折叠问题的归类解析
专题02 中考折叠问题的归类解析【专题综述】折叠问题在近年来各地的中考试卷中频频出现，解决这一类问题主要抓住两点：折叠前后重合的角相等，重合的边也相等．【方法解读】一、折叠与平行例1：如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝___．【来源】2013-2014学年江苏省宜兴市和桥学区七年级下学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】95°在△BMN中，∠B=180°-（∠BMN+∠BNM）=180°-（50°+35°）=180°-85°=95°．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理；3．翻折变换（折叠问题）．【解读】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【举一反三】如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．（1）求证：EDB EBD∠=∠；（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．【来源】2015中考真题分项汇编第1期专题4 图形的变换【答案】【解析】试题解析：（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB∴∠CDB =∠EBD∴∠EDB=∠EBD(2) ∵∠EDB=∠EBD∴DE=BE由折叠可知：DC=DF∵四边形ABCD是平行四边形∴DC=AB∴AE=EF∴∠EAF=∠EFA△BED中, ∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°即2∠EDB+∠DEB=180°同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°∵∠DEB=∠AEF∴∠EDB= ∠EFA∴AF∥BD考点：折叠变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和二、折叠与全等例2：如图，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G。
中考数学八大题型集训：专题复习(5)图形的折叠问题含解析
专题复习(五) 图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题(·宜宾)如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(32，32)，则该一次函数的解析式为________．【思路点拨】 利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO ，AO 的长，进而得出A 、B 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式．【解答】 连接OC ，过点C 作CD⊥x 轴于点D ，∵将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB，C(32，32)，∴AO ＝AC ，OD ＝32，DC ＝32，BO ＝BC ，则tan ∠COD ＝CD OD ＝33，故∠COD＝30°，∠BOC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，且∠CAD＝60°. 则sin60°＝CD AC ，则AC ＝DCsin60°＝1，故A(1，0)，sin30°＝CD CO ＝32CO ＝12.则CO ＝3，故BO ＝3，B 点坐标为(0，3)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋3，把A(1，0)代入解析式可得k ＝－ 3. ∴直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋ 3.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．1．(·绵阳)如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（ ）A.34B.45C.56D.672．(·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC ＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．3．(·宜宾)如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________．4．(·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________．类型2 四边形及其他图形中的折叠问题(·南充)如图，在矩形纸片ABCD 中，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP ＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．【思路点拨】 (1)由矩形的性质得∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ ＝∠AMP ＝∠DQC ，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD ；(2)设AP ＝x ，由折叠关系可得：BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x ，AM ＝1，根据△AMP∽△BPQ 得：AMBP＝AP BQ ，即BQ ＝x 2，根据△AMP∽△CQD 得：AP CD ＝AM CQ ，即CQ ＝2，从而得出AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1，根据Rt △FDM 中∠DMF 的正弦值得出x 的值，从而求出AB 的值．【解答】 (1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD. 理由如下：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠B＝∠C＝90°.根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ ＝∠BPQ，∴∠APM ＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°. ∵∠APM ＋∠AMP＝90°，∴∠BPQ ＝∠AMP，∴△AMP ∽△BPQ ， 同理：△BPQ∽△CQD. ∴△AMP ∽△BPQ ∽△CQD. (2)设AP ＝x ，∴由折叠关系，BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x.由△AMP∽△BPQ 得，AM BP ＝AP BQ ，即1x ＝xBQ ，得BQ ＝x 2.由△AMP∽△CQD 得，AP CD ＝AM CQ ，即x 2x ＝1CQ ，得CQ ＝2.∴AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2.∴MD ＝AD －1＝x 2＋1.∵在Rt△FDM 中，sin ∠DMF ＝35，∴2x x 2＋1＝35.解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)． 即AB ＝6.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．1．(·南充)如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，若AE ＝2，DE ＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．12B ．24C ．12 3D ．16 32．(·泸州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝24，tanC ＝2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为（ ）A．13 B.152C.272D．123．(·德阳)将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x＋b与此新图象的交点个数的情况有（）A．6种 B．5种 C．4种 D．3种4．(·成都)如图，在□ABCD中，AB＝13，AD＝4，将ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．5．(·内江)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为________．6．(·南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA′＝x，则x的取值范围是________．7．(·绵阳)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.(1)求证：△DEC≌△EDA；(2)求DF的值；(3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．参考答案类型1 三角形中的折叠问题1．B 提示：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠B＝∠C＝60°.又∵折叠△ABC，使得点C 恰好与边AB 上的点D 重合，折痕为EF ，∴∠EDF ＝∠C＝60°，CE ＝DE ，CF ＝DF.∴∠ADE＋∠FDB＝120°.∴∠AED ＝∠FDB.∴△AED∽△BDF.∴AE BD ＝AD BF ＝DEFD .设等边△ABC 边长为6个单位，CE ＝x ，CF ＝y ，AE ＝6－x ，BC ＝6－y ，∴6－x 4＝26－y ＝x y ，解得x ＝145，y ＝72.∴x ∶y ＝4∶5，故选择B.2.65°3.1.54.(10，3)类型2 四边形及其他图形中的折叠问题1．D 2.A3.B 提示：由题意，易知y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)，顶点坐标为(1，4)，顶点关于x 轴对称点的坐标为(1，－4)．当直线y ＝x ＋b 过(－1，0)时，b ＝1，此时直线与新的函数图象只有一个交点；当b>1时，此时直线与新的函数图象无交点；当直线y ＝x ＋b 过(3，0)时，b ＝－3，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－3<b<1时，此时直线与新的函数图象有三个交点；当直线y ＝x ＋b 过(1，－4)时，b ＝－5，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－5≤b<－3时，此时直线与新的函数图象有四个交点；观察图象，易知：当b<－5时，此时直线与新的函数图象有二个交点；综上，直线y ＝x ＋b 与此新图象的交点的个数的情况有5种，故选B.4.35. 6 提示：作AH⊥BC 于H.∵分别以AE ，BE 为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处，∴DE ＝EF ，CE ＝EF ，AF ＝AD ＝2，BF ＝CB ＝3.∴DC＝2EF ，AB ＝5.∵AD∥BC，∠C ＝90°， ∴四边形ADCH 为矩形，∴AH ＝DC ＝2EF ，HB ＝BC －CH ＝BC －AD ＝1.在Rt△ABH 中，AH ＝AB 2－BH 2＝26，∴EF ＝ 6. 6.2≤x≤87.(1)证明：由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD ＝CE ，DC ＝EA ，∠ACD ＝∠CAE. 在△CED 与△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝AD ，DE ＝ED ，DC ＝EA ，∴△DEC ≌△EDA.(2)∵∠ACD＝∠CAE，∴AF ＝CF.设DF ＝x ，则AF ＝CF ＝4－x ，在Rt△ADF 中，AD 2＋DF 2＝AF 2，即32＋x 2＝(4－x)2，解得x ＝78，即DF ＝78.(3)由矩形PQMN 的性质得PQ∥CA， ∴PE CE ＝PQCA. 又∵CE＝3，AC ＝AB 2＋BC 2＝5.设PE ＝x(0＜x ＜3)，则x 3＝PQ 5，即PQ ＝53x.过E 作EG⊥AC 于G ，则PN∥EG，∴CP CE ＝PN EG. 又∵在Rt△AEC 中，EG ·AC ＝AE·CE，解得EG ＝125.∴3－x 3＝PN 125，即PN ＝45(3－x)．设矩形PQMN 的面积为S ，则S ＝PQ·PN＝－43x 2＋4x ＝－43(x －32)2＋3(0＜x ＜3)．∴当x ＝32，即PE ＝32时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为3.。
2015中考数学复习——专题十四圆
专题14 圆 一.选择题1.（2012年，鸡西） 如图，在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是⊙A 上的一点,且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为 （ ）A A.4-π B.4-2π C.8+π D.8-2π2. （2012年，黄石）如图（4）所示，直线CD 与线段AB 为直径的圆相切于点D ，并交BA 的延长线于点C ，且2AB =，1AD =，P 点在切线CD 上移动.当APB ∠的度数最大时，则ABP ∠的度数为（ ）A. 15°B. 30°C. 60°D. 90° 3．（2012娄底）如图，正方形MNEF 的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是（ ）A ． 4πB ． 3πC ． 2πD ．π4．（2012年，苏州）如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，=，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（ ）P图（4）· OACDBD A CPFE B5．（2012•德州）如果两圆的半径分别为4和6，圆心距为10，那么这两圆的位置关系是（ ） A ． 内含 B ． 外离 C ． 相交 D ． 外切 6．（2012泰安）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．5π 7．（2012成都）已知两圆外切，圆心距为5cm ，若其中一个圆的半径是3cm ，则另一个圆的半径是（ ）A ． 8cmB ．5cmC ．3cmD ．2cm8．（2012年，漳州）如图，一枚直径为4cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是BA ．2πcmB ．4πcmC ．8πcmD ．16πcm 9．（2012年，北海）已知两圆的半径分别是3和4，圆心距的长为1，则两圆的位置关系为： （ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切 10．（2012年，桂林）已知两圆半径为5cm 和3cm ，圆心距为3cm ，则两圆的位置关系是【 】 A ．相交 B ．内含 C ．内切 D ．外切 11．（2012年，河北）如图2，CD 是O ⊙的直径，AB 是弦（不是直径），AB CD ⊥于点E ，则下列结论正确的是（ ）A ．AE BE > Ｂ．AD BC = Ｃ．12D AEC =∠∠ Ｄ．ADE CBE △∽△ 12、（2012年，河南）如图，已知AB 为O 的直径，AD 切O 于点A, EC CB =则下列结论不一定正确的是A ．BA DA ⊥B ．OC AE ∥C ．2COE CAE ∠=∠D ．OD AC ⊥二.填空题的外接圆，∠BOC=100°，则∠A=cm．3．（2012年，漳州）如图，⊙O的半径为3cm，当圆心0到直线AB的距离为_______cm时，直线AB与⊙0相切．4．（2012年，苏州）已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径为．5．（2012年，潜江）平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x 轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为．6．(2012•兰州)如图，两个同心圆，大圆半径为5c m ，小圆的半径为3c m ，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦AB 的取值范围是 8＜AB ≤10 ．7．(2012•兰州)如图，已知⊙O 是以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆，∠AOB ＝45°，点P 在x 轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设P (x ，0)，则x 的取值范围是 ．8．（2012年，佛山）如图，把一个斜边长为2且含有030角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转090到11A B C ∆，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（）A ．πB ．3 C．342π+ D．11124π+ 9．（2012年，岳阳）圆锥底面半径为，母线长为2，它的侧面展开图的圆心角是 ．10．（2012张家界）已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm ，则圆锥的侧面积为． 11．（2012年，南通）如图，在⊙O 中，∠AOB ＝46º，则∠ACB ＝ º． 12．（2012成都）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为________ (结果保留π )OBAC13．（2012年，莆田）若扇形的圆心角为60°，弧长为２π，则扇形的半径为 ． 14．（2012年，肇庆）扇形的半径是9 cm ，弧长是3πcm ，则此扇形的圆心角为 ▲ 度．三.解答题1．（2012年，肇庆）（本小题满分10分）如图7，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE 、AD 交于点P . 求证：（1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB ⋅ CE=2DP ⋅AD ．2.（2012年，泉州）（12分）已知：A 、B 、C 不在同一直线上. （1）.若点A 、B 、C 均在半径为R 的⊙O 上，A 、B 、C 如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC 的度数和BC 的长度； Ⅱ.如图二，当∠A 为锐角时，求证sin ∠A=RBC2； （2）.若定长线段．．．．BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边AM 、AN （B 、C 均与点A 不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP ⊥AM ，CP ⊥AN ，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P 、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由. N QC B B p A B M 图① 图② 图③ (第二十五题图)图73．（2012年，苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC 的长为x（2＜x＜4）．（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？4.（2012年，佛山）如图，直尺、三角尺都和圆O 相切，AB=8cm ．求圆O的直径．C5．（2012武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．6．（2012张家界）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．7．（2012南昌）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证：PC是⊙O的切线．.9．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．（1）求证：AE•FD=AF•EC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．（2012宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过10．点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．（1）求证：；（2）若PQ=2，试求∠E度数．11．（2012•资阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．12．（2012年，北京）已知：如图，AB是O⊙的直径，C是O⊙上一点，OD BC⊥于点D，过点C作O⊙的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与O⊙相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若9OB=，2sin3ABC∠=，求BF的长．13.（2012年，南平）（9分）如右图，已知△ABC中，AB=AC，DE⊥ACDE与半⊙O相切于点D．求证：△ABC是等边三角形．14．（2012年，桂林）(10分)如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B12心，顺次连接A、O1、B、O2．(1)求证：四边形AO1BO2是菱形；(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE＝2O2D；(3)在(2)的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．答案三1.（本小题满分10分）证明：（1）∵AB 是直径 ∴∠ADB = 90°即AD ⊥BC （1分） 又∵AB=AC ∴D 是BC 的中点 （3分） （2）在△BEC 与 △ADC 中，∵∠C=∠C ∠CAD=∠CBE （5分） ∴△BEC ∽△ADC （6分） （3）∵△BEC ∽△ADC ∴CEBCCD AC = 又∵D 是BC 的中点 ∴2BD=2CD=BC ∴CEBD BD AC 2= 则 CE AC BD ⋅=22 ① （7分） 在△BPD 与 △ABD 中， 有 ∠BDP=∠BDA又∵AB=AC AD ⊥BC ∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAD=∠CBE ∴∠DBP=∠DAB∴△BPD ∽△ABD （8分） ∴BDAD PD BD = 则 AD PD BD ⋅=2② （9分） ∴由①，②得：AD PD BD CE AC ⋅==⋅222∴AD DP CE AB ⋅=⋅2 （10分） 2解：（1）. ①∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）；由勾股定理可知BC=11+=2（提示：也可延长BO 或过点O 作BC 边的垂线段）②证明：可连接BO 并延长，交圆于点E ，连接EC. 可知EC ⊥BC （直径所对的圆周角为90°） 且∠E=∠BAC （同弧所对的圆周角相等） 故sin ∠A=RBC2. （2）.保持不变.可知△CQP ∽△BQA ，且∠AQP=∠BQC ，所以△BCQ ∽△APQ; 即PQ CQ AP BC =; AP=︒30cos BC =334（为定值）.故保持不变。
3.6中考专题——折叠
.
分析：先根据折叠得出 BE=B′E，且∠AB′E=∠B=90°，可知△EB′C
是直角三角形，由已知的 BC=3BE 得 EC=2B′E，得出∠ACB=30°，从而得出
AC 与 AB 的关系，求出 AB 的长．
2. （2017 广东中考）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片 ABCD 沿
（1）求证：△A1DE∽△B1EH； （2）如图 2，直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴，若点 A1 恰好落在直线 MN 上，试判断△DEF 的形状，并 说明理由； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 G 为△DEF 内一点，且∠DGF＝150°，试探究 DG，EG，FG 的数 量关系．
4
使得点 A 落在 EF 上（如图（2）），折痕交 AE 于点 G，那么∠ADG 等于多少度？你能证明你的结论吗？
B
C
B
C
E
F
A
E
F
G
A
D
A’
D
（1）
（2）
分析：①由折叠可知，AD=BC=CD，∠ADG= 1 ∠ADA’。②由 F 为 CD 中点可知，FD= 1 CD。→③FD= 1 AD，
2
2
2
得到∠FAD= 300。④根据 EF//A’ D，得到∠ADA’ =∠FAD = 300，从而得到∠ADG = 1 ∠ADA’ = 150。 2
．
第4题
第5题
5. （2019 深圳中考）如图在正方形 ABCD 中，BE=1，将 BC 沿 CE 翻折，使点 B 对应点刚好落在对角线
AC 上，将 AD 沿 AF 翻折，使点 D 对应点落在对角线 AC 上，求 EF=
.
2015连线中考数学一轮复习系列专题19_圆的基本性质
（3）有3对弧相等： ， ， ．
（4）添加辅助线的方法：连接半径或作垂直于弦的直径，是两种重要的添线方法．
知识点五．圆周角定理
1.定义：
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角．
基础知识
知识点一、圆的有关概念
1.圆的定义①（动态定义）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记做“⊙O”.
②（静态定义）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．即：圆上各点到圆心的距离都等于定长（半径），反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上；
11（邵阳）如图（八）所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3m，弓形的高EF＝1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出 所在圆O的半径r．
12. (武汉)如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．
(1)如图(1)，若点P是的中点，求PA的长；
(2)如图(2)，若点P是的中点，求PA的长；
例7.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．
巩固练习
1.（湖州）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）
④等弧：能够完全重合的弧叫等弧.
知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系
1.圆的旋转不变性
把圆绕着圆心旋转任意一个角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
中考专题——圆中折叠问题(新)
2020中考数学必刷— 圆中折叠问题【知识与方法】折叠问题是中考的热点题型，在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性质、全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等，培养学生识图能力，灵活运用数学知识是解决此类问题的关键。
圆中的折叠问题又具备了一个特殊的背景——圆，我们必须综合利用的圆的各种性质和直线型中的相关定理加以解决。
【例】如图，半圆的直径AB=10cm，弦AC=6cm，把AC沿直线AD对折,恰好与AB重合，点C落到C’,求AD的长。
【解析】设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD 的长．【解答】设圆的圆心是O，连接OD，AD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．则∠OFA=∠OED=90O根据题意知，∠CAD=∠BAD，∴CD BD=，∴点D是BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，又OA=OD∴△AOF≌△OED(AAS)，∴OE=AF=3cm，4==(cm)，)cm==故选A．【针对练习】1．将半径为3的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．BC．D．32【解答】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，所以∠B=30°，所以∠AOB=180°﹣∠A ﹣∠B=120°,所以AB 的长为12032180ππ⨯=，设围成的圆锥的底面半径为r ，则22r ππ= ，所以r=1．所以圆锥的高=223122-=．故选：A ．【点评】：本题考查折叠的性质、直角三角形的性质、弧长计算、圆锥的侧面展开图．2、如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ） A ．32B ．23C ．235D ．265【解法一】连AC 、DC 、OD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，过O 作OF ⊥CE 于F ， ∵BC 沿BC 折叠，∴∠CDB=∠H ，∵∠H+∠A=180°，∴∠CDA+∠CDB=180°，∴∠A=∠CDA ，∴CA=CD ，∵CE ⊥AD ，∴AE=ED=1，∵5OA =，AD=2，∴OD=1，∵OD ⊥AB ，∴OFED 为正方形，∴OF=1，5OC =，∴CF=2，CE=3，∴32CB =.解法一图 解法二图 【解法二】 作D 关于BC 的对称点E ，连AC 、CE ， ∵AB=4，AE=2AO=2∴BE=2，由对称性知，∠ABC=∠CBE=45°，∴AC=CE ，延长BA 至F ，使FA=BE ，连FC ，易证△FCA ≌△BCE ，∴∠FCB=90°，∴)22BC FB AB BE ==+=. 3、如图，点C 在以AB 为直径的半圆弧上，∠ABC=30°，沿直线CB 将半圆折叠，直径AB 和BC 交于点D ，已知AB=6，则图中阴影部分的面积和周长分别等于_____________．OHFEDCBAOFEDCBA【解析】 连CD ，AC ，由直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，得到∠A=60°，即△ACD 为等边三角形，于是有弓形BD 的面积=弓形CD 的面积，阴影部分的面积=扇形DAC 的面积，阴影部分的周长=半圆弧长加直径，然后根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可．【解答】连CD ， AC ，如图， ∵AB 为直径，∠ABC=30°， ∴∠ACB=90°，∠A=60°， ∴△ACD 为等边三角形， ∴∠DCB=30°，∴弓形BD 的面积=弓形CD 的面积，∴阴影部分的面积=扇形DAC 的面积=260333602ππ⋅= ； 阴影部分的周长=12•2π•3+6=3π+6．故答案为32π，3π+6．4．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O 6π-._【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=，然后根据S弓形ABM =S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=，在RT△AOC中，∵OA=1，OC=，∴cos∠AOC==，AC==∴∠AOC=60°，AB=2AC=，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S弓形ABM =S扇形OAB﹣S△AOB=﹣××=﹣，S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM=π×12﹣2（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．5、如图，AB 是半圆O 的直径，且AB=8，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）。
中考专题——圆中折叠问题(新)
2020 中考数学必刷—圆中折叠问题知识与方法】折叠问题是中考的热点题型，在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性质、全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等，培养学生识图能力，灵活运用数学知识是解决此类问题的关键。
圆中的折叠问题又具备了一个特殊的背景——圆，我们必须综合利用的圆的各种性质和直线型中的相关定理加以解决。
【例】如图，半圆的直径AB=10cm，弦AC=6cm，把AC 沿直线AD 对折,恰好与AB 重合，点C 落到C'求, AD 的长。
解析】设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB 于E，OF⊥AC 于F，运用圆周角定理，可证得∠ DOB= ∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE 中，根据勾股定理，可求AD解答】设圆的圆心是O，连接OD，AD，作DE⊥AB 于E，OF⊥AC 于F．则∠OFA=∠OED=90O22根据题意知，∠ CAD= ∠BAD ， ∴C ?D B ?D ，∴点 D 是 ?BC 的中点． ∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD ，又 OA=OD ∴△AOF ≌△OED(AAS) ，∴OE=AF=3cm ， ∴DE= OD 2OE 252324 (cm)， ∴AD= AE 2DE 25 3 2424 5 cm 故选 A ． 【针对练习】1．将半径为 3的圆形纸片沿 AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心 O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ( )A ． 2 2B ． 2C ．D ． 32【解答】过 O 点作 OC ⊥ AB ，垂足为 D ，交⊙ O 于点C ，11由折叠可得，OD=CD= OC = O A ，所以在 Rt △AOD 中，∠A=30°，又OA=OB,所以 ∠ B=30°， 所以 ∠ AOB=18°0 ﹣ ∠ A ﹣ ∠ B=120°,所 以 ?AB 的 长为锥的高 = 32122 2 ．故选： A ．【点评】：本题考查折叠的性质、直角三角形的性质、弧长计算、圆锥的侧面 展开图．2、如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧A ⌒B 上，将弧B ⌒C 沿 BC 折叠后刚好经过 AB的中点 D ．若⊙ O 的半径为 5，AB ＝4，则 BC 的长是（ ）OD ，过 C 作CE ⊥AB 于E ，过 O 作 OF ⊥CE 于F ， ∵B ?C 沿 BC 折叠，∴∠CDB=∠H ，∵∠H+∠A=180°，∴∠CDA+∠CDB=180°， ∴∠ A= ∠CDA ，∴ CA=CD ，∵ CE ⊥ AD ，∴ AE=ED=1 ，∵ OA 5 ，AD=2 ， ∴OD=1，∵OD ⊥AB ，∴OFED 为正方形，∴ OF=1，OC 5 ，∴CF=2，CE=3， ∴CB 3 2 .120 3 1802 ，设围成的圆锥的底面半径为 r ，则 2 r，所以 r=1．所以圆A ．2 3B ．C ．53 2D ．3265 2解法一 】连 AC 、DC 、【解法二】 作D 关于 BC 的对称点 E ，连 AC 、CE ， ∵AB=4，AE=2AO=2 5 ∴BE=2，由对称性知，∠ ABC= ∠CBE=4°5 ，∴AC=CE ，延长 BA 至 F ，使 FA=BE ，连 FC ，易证 △FCA ≌△ BCE ，3、如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆弧上，∠ ABC=30°，沿直线 CB 将半圆折叠，直径 AB 和 ?BC 交于点 D ，已知 AB=6 ，则图中阴影部分的面积和周长分别 等于 ________________ ．A∴∠FCB=90°， ∴ BC 2FB 2 AB BE22CHABEDF O解法一图F解法二图C解析】连CD，AC ，由直径所对的圆周角为直角得到∠ ACB=9°0 ，得到∠A=60°，即△ACD 为等边三角形，于是有弓形BD 的面积=弓形CD 的面积，阴影部分的面积=扇形DAC 的面积，阴影部分的周长=半圆弧长加直径，然后根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可．【解答】连CD，AC ，如图，∵AB 为直径，∠ ABC=3°0 ，∴∠ACB=9°0 ，∠ A=60°，∴△ ACD 为等边三角形，∴∠ DCB=3°0 ，∴弓形BD 的面积=弓形CD 的面积，∴阴影部分的面积=扇形DAC 的面积=1阴影部分的周长=1?2π?3+6=3π．+62故答案为3，3π+6．24．如图，半径为1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是3.26S 阴影 =S 半圆 ﹣ 2S 弓形 ABM【分析】连接 OM 交 AB 于点 C ，连接 OA 、OB ，根据题意 OM ⊥AB 且OC=MC= ，继而求出∠ AOC=6°0 、AB=2AC= ， 然后根据 S 弓形 ABM =S 扇形 OAB ﹣ S △AOB 、S 阴影 =S 半圆 ﹣ 2S 弓形 ABM 计算可得答案．解答】解：如图，连接 OM 交 AB 于点 C ，连接 OA 、 OB ，由题意知， OM ⊥AB ，且 OC=MC= 在 RT △AOC 中，∵ OA=1 ，OC= ，∴∠ AOC=6°0 ， AB=2AC= ， ∴∠AOB=2 ∠AOC=12°0 ， cos ∠AOC=AC= =则S 弓形 ABM =S 扇形 OAB ﹣S×21﹣2(点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运 用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的 性质求解是关键．5、如图， AB 是半圆 O 的直径，且 AB=8 ，点 C 为半圆上的一点．将此半圆沿 BC 所在的直线折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心 O ，求图中阴影部分的面积（结果保留 π）。
中考数学复习指导：中考数学圆中折叠问题三例
中考数学 圆中折叠问题三例近几年的数学中考题，以折叠为背景的几何问题不断推陈出新，题型灵活多样.千变万化的图形折叠体现的是轴对称变换的思想.解决这类问题时涉及的知识点多、综合性强，是培养学生识图能力和实践操作能力的一条有效途径.其中，有关圆的折叠问题更是多了新背景，对学生图形识别、空间想象、综合解题等方面的能力提出了更高的要求.本文通过三则典型例子的解决，归纳解决圆中折叠问题的经验，以期会三例，通一类.例1 如图1, ⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，将劣弧AB 沿直线AB 折叠，若OC 与折叠后的劣弧AB 所在圆相切于点C ，则OC = .解析 题目的问题是求“点O 到折叠后的劣弧所在圆的切线OC 的长”，它暗示我们要作出折叠后的劣弧所在圆.由于切线与过切点的半径有关，因此我们必须找出折叠后的劣弧所在圆的圆心O '.由折叠的性质可知折叠后的弧AB 所在的圆与⊙O 全等，其两个圆的圆心,O O '关于直线AB 成轴对称，如图2.作点O 关于直线AB 的对称点O '，则OO '与弦AB 互相垂直平分，所以4,5BD OB ==.根据勾股定理，有3,26OD OO OD OC '==⋅=⋅与折叠后的劣弧AB 所在圆相切于点C ，则5,90OCOCO ''=∠=︒.在Rt OCO '∆中，根据勾股定理，OC =.例2 如图3，已知扇形AOB 所在圆的半径为6，圆心角为90°, E 是半径OA 上一点，F 是弧AB 上一点.将扇形AOB 沿EF 折叠，使得折叠后的圆弧A F '恰好与半径OB 相切于点G ，若4OE =，则O 点到折痕EF 的距离为 .解析 根据例1的解题经验，我们首先要找出折叠后的圆弧A F '所在圆的圆心O '.由折叠的性质可知:两个圆的圆心,O O '关于折痕EF 成轴对称，如图3，作点O 关于直线EF 的对称点O '，则折痕EF 垂直平分OO '，线段OH 的长度即为O 点到折痕EF 的距离.有了折叠后的圆弧A F '所在圆的圆心O '后，根据题目条件“折叠后的圆弧A F '洽好与半径OB 相切于点G ”，连O G '、连O A '，则,6O G OB O G OA ''⊥==.由此可得四边形O GOA '为矩形，从而可证OEH OO A '∆∆:，所以OE OH OO OA ='，即426OH OH =⋅，所以OH =即O 点到折痕EF 的距离为故答案填例3 如图4，扇形AOB 的半径为圆心角为120°, C 是半径OA 上一点，将扇形AOB 沿BC 折叠使点A 落在点A '处.若A C OA '⊥,则图中阴影部分的面积为 .解析 根据上面的解题经验，我们首先要找出折叠后的圆弧A B '所在圆的圆心O '.由折叠的性质可知:两个圆的圆心,O O '关于折痕BC 成轴对称，如图4.作点O 关于直线BC 的对称点O '，则由对称的性质，有120A O B AOB ''∠=∠=︒，点C 在半径O A ''上.因此，图中阴影部分的面积为扇形A O B ''的面积与2倍的OCB ∆面积之差.扇形A O B ''的圆心角和半径有了，根据扇形的面积公式有4A O B S π''∆==，因此问题转化为求OCB ∆的面积.由于A C O A '⊥，点C 在半径O A ''上，所以90OCO '∠=︒，所以45BCO BCO '∠=∠=︒.又120AOB ∠=︒，所以过点B 作BE OA ⊥交AO 的延长线于点E ，则在Rt OEB ∆中，60EOB ∠=︒, OB =所以3OE BE =.在Rt CEB ∆中，45BCO ∠=︒，所以193,33222OCB CE BE CO S ∆=====-×(?3.从而图中阴影部分的面积为249A O B OCB S S S π''∆∆=-=-+故答案填49π-+解题心得折叠问题的本质是轴对称.在解折叠问题时要紧紧抓住对称的特征:折叠前后的图形全等，对应部分相等，以及对应点的连线段被对称轴垂直平分.对于圆中的折叠问题，除用好轴对称的性质，还要注意圆的特殊性，找准其解题关键突破口，作出折叠后的弧所在圆的圆心.突破难点后，问题便转化成我们熟悉的显性圆的常规问题，然后，综合利用圆的各种性质、相关定理、公式，使问题得以解决.。
中考复习专题折叠压轴题(无答案)
中考专题：折叠问题折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点：1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。
折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。
折叠问题主要有以下题型：题型1：动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2：证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3：探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。
典型例题一．折叠后求度数例1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600B．750C．900D．950练习1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=_______°，∠2=_______°A3. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝度。
中考数学中的折叠问题专题复习
中考数学中的折叠问题专题复习1 / 6 中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。
和证明。
2、能力训练目标：、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。
学知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观要求：、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。
鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。
二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。
机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。
四、教学程序及设想 1、巧设情景，设疑引入、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC（AB>AC ）沿过A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD,展开纸片；展开纸片；再次折叠该三角形纸片，再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF （如图1）。
小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。
引出课题。
说明理由。
引出课题。
2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
归类一：折叠后求角的度数归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD 折叠，使得D 点与B重合，点C 落在点C '处， 折痕为EF ，如果∠ABE ＝20°，则∠EFC'＝（ ）A. 125°A. 125°B. 80°C. 75°C. 75°D. 无法确定无法确定 评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。
中考数学中的折叠问题专题复习总结
中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。
2、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。
二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。
四、教学程序及设想1、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC（AB>AC）沿过A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展开纸片；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF（如图1）。
小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。
引出课题。
2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD折叠，使得D点与B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，如果∠ABE＝20°，则∠EFC'＝（）A. 125°B. 80°C. 75°D. 无法确定评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。
体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。
1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=20°，那么，∠BAF为多少度时，才能使AB'∥BD？（∠BAF＝55°）利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角的关系，从而求的未知角的度数。
(完整版)中考数学专题复习圆压轴八大模型题(学生用)(最新整理)
2.（2018·云南昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，∠AC 平分∠BAD，连接 BF． （1）求证：AD⊥ED； （2）若 CD＝4，AF＝2，求⊙O 的半径．
圆压轴题八大模型题（二）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化 与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用 技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
直线 CM 是⊙O 的切线．
【变式运用】
1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE⊥AB 于点 E 且 DE 交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G，若 ＝ ，则
＝ ．
（图 1-2）
2.（2018·泸州）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别 平分∠BAD 和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F，连接 DF
求 PA 和 AD.
求 AD、PD、PA 的长.
【典例】 （2018·四川乐山）如图，P 是⊙O 外的一点，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，PO 交 AB 于点 F，延长 BO 交⊙O 于点 C，交 PA 的延长交于点 Q，连结 AC． （1）求证：AC∥PO；
（2）设 D 为 PB 的中点，QD 交 AB 于点 E，若⊙O 的半径为 3，CQ＝2，求 的值．
圆的折叠问题技巧
圆的折叠问题技巧
1. 嘿，你知道不，圆的折叠问题中，咱得注意对称轴呀！就像折个纸飞机，对称轴找对了，那飞机才能飞得稳。
比如折圆成半圆，对称轴不就很关键嘛，要是弄错了，可不就变形啦！
2. 哎呀呀，折叠圆的时候要小心重叠部分哟！这就好比搭积木，重叠不好可就歪啦。
像把圆纸折成四分之一圆，重叠部分处理得好，整个形状才完美呀！
3. 嘿哟，别忘了观察圆的半径在折叠时的变化呀！这就如同跑步时关注自己的脚步，半径变了折叠效果也会大不同。
比如说把一个大圆盘折叠，半径的改变会很明显呢！
4. 哇塞，要留意折叠角度呀！就好像调电视音量，角度合适才行。
比如把圆沿着特定角度折叠，角度对了才能得到想要的形状呢，可不是随便折折就行的哟！
5. 嘿，注意折叠的顺序也很重要呢！如同穿衣先穿内衣再穿外套一样。
在处理复杂的圆折叠问题时，顺序错了可就一团糟啦。
6. 哎呀，折圆时得有耐心呀！不能心急火燎的，这不是和绣花一样嘛，得慢慢来。
像精细地折叠一个小圆片，没耐心可不行哦！
7. 哇哦，折叠圆的技巧可多了去啦！就像游戏里的关卡，每一个都得认真对待。
只有掌握了这些技巧，才能在圆的折叠世界里游刃有余呀！
我的观点结论就是：掌握圆的折叠问题技巧真的太重要啦，能让我们更好地处理和圆相关的各种情况，大家一定要多练习多尝试呀！。
初中数学专题：圆中的重要模型-圆中的翻折模型
圆中的重要模型-圆中的翻折模型知识储备：1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°九年级校联考阶段练习）如图，ABC是O的内接三角形，将劣弧，则O的半径长为（1224是O的直径，且是O上一点，将弧，则（1）AC）劣弧BC的长是是O的直径，是O的弦，15=︒，将CE CE翻折，交为O的两条弦，，则O的半径为（统考二模）如图，O的直径是O上一点，将，则图中阴影部分的面积为（4π4π2π将O沿弦AB）85422355是O上5个点，若，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型的O折叠，弧已知ABC是⊙九年级专题练习）如图，在O中，AB为O的直径，弦OA上的点E处（点E不与点交O于点M，连结，若AM=为弦的O与AB相切于点是O的切线；）将O中BC以下部分沿直线，若翻折后的弧过AB，并交AC23，且翻折后的弧恰好过点A，则O的半径为17．（2023·江苏无锡·九年级校联考期中）如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ．（1）当∠POQ＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ的长；（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．18．（2023·江西萍乡·校考模拟预测）如图（1）AB是O的直径，且2AB=，点C是半圆AB的中点，点P 是BC上一动点，将AP沿直线AP折叠交AB于点D，连接PD，PB．(1)求证：PD PB=；(2)当点D与点O重合时，如图（2），求BP的长．专题04 圆中的重要模型-圆中的翻折模型知识储备：1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
专题42 圆中折叠问题的巧妙应用(解析版)
专题42 圆中折叠问题的巧妙应用【专题说明】初中数学中的圆,从静止的角度来看就是一个单纯的几何图形,从运动的角度来看,往往会跟旋转联系在一起.而折叠问题自然属于轴对称变换的范畴,这两者怎么就联手了呢?圆如何来帮助我们解决与折叠相关的问题呢【精典例题】1、如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.2【分析】作OE⊙AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ，根据折叠的性质得到OE=12OF ，求出⊙ACB 的度数即可解决问题．【解答】解：作OE⊙AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ．连接OB ，BC ．由折叠的性质可知，EF=OE=12OF ， ⊙OE=12OA ，在Rt⊙AOE 中，OE=12OA ， ⊙⊙CAB=30°，⊙AB 是直径，⊙⊙ACB=90°，⊙BOC=2⊙BAC=60°，⊙AB=4，⊙BC=12AB=2，AC=3BC=23， ⊙线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积为S=12•AC•BC+S 扇形OBC -S ⊙OBC =12×23×2+60π•22360-43×22=3+23π≈3.8，故选：C ． 【点评】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2、如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=6，DB=7，则BC 的长是（ ）A ．91B ．37C ．134D ．130【分析】连接CA 、CD ，根据翻折的性质可得弧CD 所对的圆周角是⊙CBD ，再根据AC 弧所得的圆周角也是⊙CBA ，然后求出AC=CD ，过点C 作CE⊙AB 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=12AD ，根据直径所对的圆周角是直角可得⊙ACB=90°，然后求出⊙ACE 和⊙CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE 2，再求出BE ，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC ．【解答】解：如图，连接CA 、CD ， 根据折叠的性质，弧CD 所对的圆周角是⊙CBD ， ⊙弧AC 所对的圆周角是⊙CBA ，⊙CBA=⊙CBD ，⊙AC=CD （相等的圆周角所对的弦相等），过点C 作CE⊙AB 于E ， 则AE=ED=12AD=12×6=3， ⊙BE=BD+DE=7+3=10， ⊙AB 是直径，⊙⊙ACB=90°， ⊙CE⊙AB ，⊙⊙ACB=⊙AEC=90°，⊙⊙A+⊙ACE=⊙ACE+⊙BCE=90°，⊙⊙A=⊙BCE ，⊙⊙ACE⊙⊙CBE ，⊙AE CE = CE BE， 即CE 2=AE•BE=3×10=30， 在Rt⊙BCE 中，BC=22CE BE + =30102+= 130，故选：D ．【点评】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD 是解题的关键．3、如图，在⊙O 中，点C 在优弧 AB ︵ 上，将弧︵ BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=CDB ．︵ AC +︵ BD =︵ BCC ．OD⊙ABD ．CD 平分⊙ACB【分析】A 、作辅助线，构建折叠的性质可得AD=CD ；B 、相等两弧相加可作判断；C 、根据垂径定理可作判断；D 、延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，根据垂径定理可作判断．【解答】解：A 、过D 作DD'⊙BC ，交⊙O 于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD=CD'，⊙ABC=⊙CBD'，⊙AC=CD'=CD ，故⊙正确；B 、⊙AC=CD'，⊙︵ AC ＝︵ CD′ ，由折叠得：︵ BD ＝︵ BD ′，⊙︵ AC +︵ BD =︵ BC ，故⊙正确；C 、⊙D 为AB 的中点，⊙OD⊙AB ，故⊙正确；D 、延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，⊙OD⊙AB ，⊙⊙ACE=⊙BCE ，⊙CD 不平分⊙ACB ，故⊙错误；故选：D ．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．4、如图，⊙ABC 内接于⊙O ，BC=22，⊙BAC=45°，将劣弧︵ AB 和︵ AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于点M ，点S 、T 是弦AB 、AC 上的动点，则⊙MST 的周长的最小值为（ ）A ．22B ．4C ．24D ．8【分析】作点M 关于AB 的对称点M′，关于AC 的对称点M″，根据折叠的性质得到点M′，M″在圆周上，连接M′M″，交AB 于S ，交AC 于T ，则⊙MST 的周长最小，连接AM′，AM″，OB ，OC ，根据圆周角定理得到M′M″是⊙O 的直径，即可得到结论．【解答】解：作点M关于AB的对称点M′，关于AC的对称点M″，⊙将劣弧AB和AC分别沿直线AB、AC折叠后交于点M，⊙点M′，M″在圆周上，连接M′M″，交AB于S，交AC于T，则⊙MST的周长最小，连接AM′，AM″，OB，OC，则⊙M′AM″=2⊙BAC，⊙⊙BAC=45°，⊙⊙M′AM″=⊙BOC=90°，⊙BC=22，⊙OB=2，⊙M′M″=2OB=4，⊙⊙MST的周长的最小值为4，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．5、如图，在⊙O中，点C在优弧⊙ACB上，将弧沿⊙BC折叠后刚好经过AB的中点D，若⊙O的半径为5，AB=4，则BC的长是．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE⊙AB 于E ，OF⊙CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD⊙AB ，则AD=BD=12AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到︵ AC =︵ CD ，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=32．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE⊙AB 于E ，OF⊙CE 于F ，如图，⊙D 为AB 的中点，⊙OD⊙AB ，⊙AD=BD=12AB=2，在Rt⊙OBD 中，OD=22BD OB -=222)5(-=1，⊙将弧︵BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．⊙︵ AC 和︵CD 所在的圆为等圆，⊙︵ AC =︵CD ，⊙AC=DC ，⊙AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形，⊙OF=EF=1，在Rt⊙OCF 中，CF=22OF CO -=221)5(-=2，⊙CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，⊙BC=32．故答案为32．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．6、如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的︵ AB 上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论：⊙⊙ACB=120°，⊙⊙ACD 是等边三角形，⊙EO 的最小值为1，其中正确的是 ．（请将正确答案的序号填在横线上）【分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断⊙⊙是否正确，EO 的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E 在什么轨迹上运动，便可解决问题．【解答】解：如图1，连接OA 和OB ，作OF⊙AB ．由题知：︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O⊙OF=OA=12OB ⊙⊙AOF=⊙BOF=60°⊙⊙AOB=120°⊙⊙ACB=120°（同弧所对圆周角相等）⊙D=12⊙AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半） ⊙⊙ACD=180°-⊙ACB=60°⊙⊙ACD 是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）故，⊙⊙正确下面研究问题EO 的最小值是否是1如图2，连接AE 和EF⊙⊙ACD 是等边三角形，E 是CD 中点⊙AE⊙BD （三线合一）又⊙OF⊙AB⊙F 是AB 中点即，EF 是⊙ABE 斜边中线⊙AF=EF=BF 即，E 点在以AB 为直径的圆上运动．所以，如图3，当E 、O 、F 在同一直线时，OE 长度最小此时，AE=EF ，AE⊙EF⊙⊙O 的半径是2，即OA=2，OF=1⊙AF=3（勾股定理）⊙OE=EF -OF=AF -OF=3-1所以，⊙不正确综上所述：⊙⊙正确，⊙不正确．故答案为⊙⊙．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．7、如图，将︵ AB 沿着弦AB 翻折，C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆于D ，连接BC ．（1）求证：BC=BD ；（2）若AC=1，CD=4，︵ AB =120°，求弦AB 的长和圆的半径．【分析】（1）作点C 关于AB 的对称点C′，连接AC′，BC′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；（2）连接OA ，OB ，作OM⊙AB 于M ，AH⊙BC 交BC 的延长线于H ．解直角三角形求出AB ，OA 即可；【解答】（1）证明：作点C 关于AB 的对称点C′，连接AC′，BC′．由翻折不变性可知：BC=BC′，⊙CAB=⊙BAC′，⊙︵ BD =︵ BC ′，⊙BD=BC′，⊙BC=BD ．（2）解：连接OA ，OB ，作OM⊙AB 于M ，AH⊙BC 交BC 的延长线于H ．⊙︵ AB =120°，⊙⊙D=12×120°=60°， ⊙⊙AOB=⊙ACB=2⊙D=120°，⊙BC=BD ，⊙⊙BCD 是等边三角形，⊙BC=DC=4，在Rt⊙ACH 中，⊙⊙H=90°，⊙ACH=60°，AC=1，⊙CH=12，AH=23， ⊙AB=22BH AH +=22)29()23(+=21， ⊙OM⊙AB ， ⊙AM=BM=221，在Rt⊙AOM 中， ⊙⊙OAM=30°，⊙AMO=90°， ⊙OA=AMcos30°=7【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8、如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与CD 交于点M ，将︵ CD 沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，延长OA 至P ，使AP=OA ，连接PC（1）求CD 的长；（2）求证：PC 是⊙O 的切线；（3）点G 为︵ADB 的中点，在PC 延长线上有一动点Q ，连接QG 交AB 于点E ．交︵ BC 于点F （F 与B 、C 不重合）．问GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）连接OC ，根据翻折的性质求出OM ，CD⊙OA ，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC ，然后利用勾股定理逆定理求出⊙PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接GA 、AF 、GB ，根据等弧所对的圆周角相等可得⊙BAG=⊙AFG ，然后根据两组角对应相等两三角相似求出⊙AGE 和⊙FGA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得AG GE =FG AG，从而得到GE•GF=AG 2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】（1）解：如图，连接OC ，⊙︵ CD 沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，⊙OM=12OA=12×2=1，CD⊙OA ， ⊙OC=2，⊙CD=2CM=222OM OC -=22212-=23；（2）证明：⊙PA=OA=2，AM=OM=1，CM=12CD=3，⊙CMP=⊙OMC=90°， ⊙PC=22PM MC +=223)3(+=23，⊙OC=2，PO=2+2=4，⊙PC 2+OC 2=（23）2+22=16=PO 2，⊙⊙PCO=90°，⊙PC 是⊙O 的切线；（3）解：GE•GF 是定值，证明如下，连接GO 并延长，交⊙O 于点H ，连接HF⊙点G 为︵ADB 的中点⊙⊙GOE=90°，⊙⊙HFG=90°，且⊙OGE=⊙FGH⊙⊙OGE⊙⊙FGH⊙OG GF = GE GH⊙GE•GF=OG•GH=2×4=8．【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．9、如图，将半径为12的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为（ ）A ．42B ．82C ．6D ．62【分析】延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB 的长【解答】解：延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，⊙CE⊙AB ，⊙E 为AB 的中点，⊙OC=6，CD=2OD ，⊙CD=4，OD=2，OB=6，⊙DE=12（2OC -CD ）=12（6×2-4）=12×8=4， ⊙OE=DE -OD=4-2=2，在Rt⊙OEB 中，⊙OE 2+BE 2=OB 2，⊙BE=22OE OB -=2246-42⊙AB=2BE=82．故选：B ．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．10、已知如图：⊙O 的半径为8cm ，把弧AmB 沿AB 折叠使弧AmB 经过圆心O ，再把弧AOB 沿CD 折叠，使弧COD 经过AB 的中点E ，则折线CD 的长为（ ）A ．8cmB ．38cmC ．72cmD ．47cm【分析】连接OE并延长交CD于点F，交C′D′于点F′，交弧AmB于点G，根据翻折的性质得出OF′=6，再由勾股定理得出．【解答】解：连接OE并延长交CD于点F，交C′D′于点F′，交弧AmB于点G，⊙OC′=8cm，⊙OF′=6cm，⊙C′F′=CF=2268 =27cm，F⊙CD=2CD=47cm．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质，是基础知识要熟练掌握．11、如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ 将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为．【分析】作O关于PQ的对称点O′，O′恰好落在⊙O上，于是得到OP=12Rcos⊙POE，推出⊙OO′Q为等边三角形，根据等边三角形的性质得到OQ=O′Q=OO′=R，当cos⊙POE最小时，⊙POE最大，当⊙QOB=0°时，⊙POE=30°于是得到结论．【解答】解：作O关于PQ的对称点O′，O′恰好落在⊙O上，⊙OP=12Rcos⊙POE，⊙⊙OO′Q为等边三角形，⊙OQ=O′Q=OO′=R，⊙POE+⊙QOB=30°，当cos⊙POE最小时，⊙POE最大，当⊙QOB=0°时，⊙POE=30°，⊙OP=1cos30°=332．故答案为：332．【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的判定和性质，正确的在才辅助线是解题的关键．12、如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2【分析】作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，可得M、A、M′三点共线，MA=M′A，MB=M′B′=4，M′N=MN=10．连接AB'，⊙四边形AMNB'是圆内接四边形，⊙⊙M'AB'=⊙M'NM ，⊙⊙M'=⊙M'，⊙⊙M'AB'⊙⊙M'NM ，⊙M′A M′N ＝M′B′M′M⊙M′A•M′M=M′B′•M′N ，即M′A•2M′A=4×10=40．则M′A 2=20，又⊙M′A 2=M′N 2-AN 2，⊙20=100-AN 2，⊙AN=45．故选：B ．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．。
《圆》章节知识点复习专题
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①A B 是直径 ②AB C D ⊥ ③C E D E = ④ 弧B C =弧B D ⑤ 弧A C =弧A D 中任意2个条件推出其他3个结论。
中考圆的折叠
中考专题复习---圆中的折叠1.如图，AB 是半圆O 的直径，且AB=8，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是____________．(结果保留π)??2.如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，使弧AB 经过圆心O ，则∠OAB=3.将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为4.以半圆中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若32 DB AD ，且AB =10，则BC 的长为 5.有一张矩形纸片ABCD ，已知AB=2cm ，AD=4cm ，上面有一个以AD 为直径的半圆，如图甲，将它沿DE 折叠，使A 点落在BC 上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是6.如图，AB?为半圆?O?的直径，BC?为半圆?O?的一条弦，将半圆?O?沿?BC?折叠，折叠后的? 圆弧交直径?AB?于点?D ，若?AD=2，BD=4，则弦?BC?的长为?7.如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，将弧沿直线折叠后的图形如图，则点O 到弧AmB 所在圆的切线长OC 为8.将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为9.已知如图：⊙O 的半径为8cm ，把弧AmB 沿AB 折叠使弧AmB 经过圆心O ，再把弧AOB 沿CD 折叠，使弧COD 经过AB 的中点E ，则折线CD 的长为10.如图，以半圆的一条弦AN 为对称轴将弧AN 折叠过来和直径MN 交于B 点，如果MB ：BN=2：3，且MN=10，则弦AN 的长为11.如图，点C 在以AB 为直径的半圆弧上，∠ABC=30°，沿直线CB 将半圆折叠，直径AB 和弧BC 交于点D ，已知AB=6，则图中阴影部分的面积和周长分别等于12.如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦BC 折叠后，劣弧BC 与AB 交于点D ，得到弧BDC ． （1）若＝，求证：弧BDC 必经过圆心O ；（2）若AB ＝8，＝2，求BC 的长．1题图 2题图 3题图 4题图5题图 A D O B C6题图 7题图 8题图 OD C A B OD CA B 9题图10题图 11题图。
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圆的折叠专题复习
25．（11分）（2014•河北）图1和图2中，优弧所在⊙O的半径为2，AB=2．点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．（1）点O到弦AB的距离是1，当BP经过点O时，∠ABA′=60°；
（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：
（3）若线段BA′与优弧只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．
1、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为
2、将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）
3、如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）
4、如图，⊙O的半径为6cm，将圆折叠，使点C与圆心O重合，折痕为AB，E、F是AB上两点（E、F不与A、B重合且E在F右边），且AF=BE.
（1）判定四边形OECF的形状；
（2）AF为多少时，△CFB为直角三角形。
5、（1）①折叠后的所在圆的圆心为O'时，求O'A的长度；②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．①如图4，当AB∥CD，折叠后的与
所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB 与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．。