2016_2017学年高中数学第1章三角函数1.3.2.2正弦余弦的图象与性质学案

第2课时正弦、余弦的图象与性质1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点))3．会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易错点[基础²初探]教材整理正弦函数、余弦函数的图象与性质阅读教材P28～P29的全部内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2是奇函数．( )(2)y ＝cos x 是周期为π的偶函数．( )(3)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递减．( ) (4)y ＝cos x 的值域为(－1,1)．( )【解析】 (1)³.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴是偶函数．(2)³.y ＝cos x 的周期为2π.(3)³.y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增．(4)³.y ＝cos x 的值域为[－1,1]． 【答案】 (1)³ (2)³ (3)³ (4)³[质疑²手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)y ＝cos 2x ； (2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x . 【导学号：06460024】【精彩点拨】 (1)借助y ＝cos x 的单调性求解；(2)解答本题要先用诱导公式将x 的系数化为正数，再确定所求的单调区间后求解． 【自主解答】 (1)令z ＝2x ，由y ＝cos z 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 可知－π＋2k π≤2x ≤2k π，k ∈Z ， ∴－π2＋k π≤x ≤k π，k ∈Z ，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z . (2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要取y ＝－2sin z 的递增区间，即取sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．求函数y ＝A sin ωx ＋φ A >0，ω≠0 的单调区间的一般步骤：1 当ω>0时，把“ωx ＋φ”看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2k∈Z 解出x 的范围，即为函数递增区间；由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2k ∈Z 解出x 的范围，即为函数递减区间.2 当ω<0时，可先用诱导公式转化为y ＝－sin －ωx －φ ，则y ＝sin －ωx －φ 的递增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 余弦函数y ＝A cos ωx ＋φ A >0，ω≠0 的单调性讨论同上.[再练一题]1.求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈[－π，0]的单调减区间．【解】 当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2时，函数单调递减，解得：k π＋π6≤x ≤k π＋2π3.∵x ∈[－π，0]，∴取k ＝－1，此时－π＋π6≤x ≤－π＋2π3，即－5π6≤x ≤－π3.故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈[－π，0]的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3.(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 【精彩点拨】 先把异名函数同名化，再把异单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．【自主解答】 (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2，又∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin 16°＜sin 66°； 从而－sin 16°＞－sin 66°， 即sin 196°＞cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π＜cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较.注意，有些时候，可以先用式子的符号进行分类比较大小.[再练一题]2．比较下列各组数值的大小：(1)sin 2与cos 1；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8.【解】 (1)因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1， sin 2＝sin(π－2)，又0<π2－1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递增的，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1<sin(π－2)，即cos 1<sin 2.(2)∵cos 3π8＝sin π8，0<sin π8<sin 3π8<1，即0<cos 3π8<sin 3π8<1<π2，又∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8.[探究共研型]探究1 如何求函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，6上的值域？【提示】 借助函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上的单调性求解． 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，y ＝sin x 是单调递增函数， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤sin x ≤sin π6，即－32≤sin x ≤12，∴其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12. 探究2 如何求形如y ＝a sin x ＋b (a ，b ≠0)的值域？【提示】 令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，从而转化为y ＝at ＋b ，t ∈[－1,1]型的值域问题．探究3 如何求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的值域？【提示】 令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，从而y ＝at 2＋bt ＋c ，t ∈[－1,1]，即转化为给定区间的二次函数值域问题．(1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值和最小值；(2)求函数y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．【精彩点拨】 (1)由x 的范围⇒2x ＋π3的范围⇒借助单调性求y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最值；(2)由x 的范围⇒sin x 的范围⇒函数的值域． 【自主解答】 (1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，取得最大值2；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，取得最小值0. (2)y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3 ＝2sin 2x ＋2sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋12. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，取得最大值5； 当sin x ＝12时，取得最小值52.∴函数y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.1．求形如y ＝A sin x ＋B 或y ＝A cos x ＋B 型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．2．求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．[再练一题]3．(2016²南通高一检测)已知函数f (x )＝2a sin2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．【解】 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1. 若a ＞0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.综上知⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋123或⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.[构建²体系]1．函数y ＝2sin 2x 的奇偶性为________． 【解析】 ∵2sin(－2x )＝－2sin 2x ， ∴函数y ＝2sin 2x 为奇函数． 【答案】 奇函数2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是________(任写一条)．【解析】 令x －π4＝k π＋π2，∴x ＝k π＋3π4(k ∈Z )．【答案】 x ＝－π4⎝⎛⎭⎪⎫或x ＝3π4等3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为______.【导学号：06460025】【解析】 cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.【答案】 cos 150°＜cos 760°＜sin 470°4．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是________． 【解析】 ∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4≤1，∴f (x )取最小值－22.【答案】 －225．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调区间． 【解】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. 因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝sin2x －π4为增函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )；同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，求得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(九) 正弦、余弦的图象与性质 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数y ＝2cos x －1的最大值是________，最小值是________． 【解析】 ∵cos x ∈[－1,1]， ∴y ＝2cos x －1∈[－3,1]． ∴最大值为1，最小值为－3. 【答案】 1 －32．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 【解析】 y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]．【答案】 (－π，0]3．函数f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是________(填“奇函数”或“偶函数”)． 【解析】 f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋3π2＝－7cos 23x ，∴f (x )是偶函数． 【答案】 偶函数4．y ＝sin x 的定义域为________，单调递增区间为________．【解析】 ∵sin x ≥0，∴2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .当x ∈[0，π]时，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增， ∴其递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈Z . 【答案】 [2k π，π＋2k π]，k ∈Z ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈Z 5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ＝________. 【解析】 由题意，当x ＝π8时， f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π8＋φ＝±1， 故π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )． 【答案】 k π＋π4(k ∈Z ) 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是________．(只填序号) 【导学号：06460026】①函数f (x )的最小正周期为2π；②函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称；④函数f (x )是奇函数．【解析】 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，即①正确．y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，则y ＝－cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，即②正确．由图象知y ＝－cos x 的图象关于x ＝0对称，即③正确．y ＝－cos x 为偶函数，即④不正确．【答案】 ④7．(2016²南京高一检测)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 【解析】 因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数， 当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数， 即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数， 所以π2ω＝π3，所以ω＝32. 【答案】 328．(2016²连云港高一检测)函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为________．【解析】 令t ＝cos x ，由于x ∈R ，故－1≤t ≤1. y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，当t ＝－1时，即cos x ＝－1时函数有最大值10；当t ＝1，即cos x ＝1时函数有最小值2.所以该函数的值域是[2,10]．【答案】 [2,10]二、解答题9．比较下列各组三角函数值的大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9； (3)sin 11°，cos 10°，sin 168°.【解】 (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°＜250°＜260°＜270°，∴sin 250°＞sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0＜π8＜4π9＜π，∴cos π8＞cos 4π9， ∴cos 15π8＞cos 14π9. (3)sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.又因为y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数， 所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.10．(2016²苏州高一检测)已知函数f (x )＝2cos3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值．【解】 (1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )， 解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2. 即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2. [能力提升]1．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 【解析】 由题意知0≤x ≤π3时，0≤ωx ≤ωπ3＜π3， f (x )取最大值2sinωπ3＝2时，sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，ω＝34. 【答案】 34 2．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )． 又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2. 【答案】 3π23．(2016²南通高一检测)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为________．【解析】 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) 4．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．【解】 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω， ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4， ω＞0，解得0＜ω≤32. 故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.。