2013年7月离散数学
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)
以上运算律的证明思路：欲证P=Q，即证 x P x Q。
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Байду номын сангаас
三、集合算律
证明分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 对x， x A∪(B ∩C) (x A ) (x B∩C )
(x A) (x B x C )
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合 C: 复数集合
: 空集(不含任何元素) E: 全集 （在某一问题中，含有所涉及的全部集合的集合。）
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三、集合的表示方法
列出集合的所有元素，元素之间用逗号 1、列举法： 隔开。如A = { a, b, c } ， B = { 1,2,4,6,7,9 } 用谓词概括该集合中元素的属性。 2、描述法： 如：A = { x | xZ 3 < x 6 } A = { x | P (x) }，其中P (x)表示x满足的性质。 即A是由所有使P (x)为真的全体x构成。
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§3.1 集合的基本概念
内容：集合，元素，子集，幂集等。 重点：(1) 掌握集合的概念及两种表示法， (2) 常见的集合N , Z, Q, R, C 和特殊集合 ,E， (3) 掌握子集及两集合相等的概念， (4) 掌握幂集的概念及求法。
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四、集合之间的关系
3、真子集： B A。
B A B A B A
BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A} n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学讲义
A
(1)
B
A
(2) A’ ) A’ )
B
A (3)
B
因此不能说(1.2)式与(3)式总是相等的.
AB = (A
(3)
AB = (A B’ )
(B B’ ) (B
(A
B)
(1.2)
§1.6集合成员表
前面定义的集合运算的交.并.补.显然对全集U运算 是封闭的.下面对这些概念以新的形式定义,使之数量 化.能够更新,更清晰,更具理论价值.先讨论基本成员表. a.集合A的补集可如下定义: A′的成员表
元素附加一个标号,以使描述这个元素在该集合中的
相应位置.如A={a,b,c}分别是一、二、三元素，在A 的子集中，常有一些元素出现，另一些元素不出现。
我们根据这一情况来指定集合中元素的次序,用
如下方式表示.如A的各子集表为: B000=φ, B 001={c}, B010={b}, B011={b,c}, B100={a},
全集因所讨论的问题不同可相异.例如:
讨论正整数范围内U可取作N;实数讨论问题U可取
作R. 定义2: 设A.B为二集合.属于A或B的所有元素构 成的集合称为A与B的并.记为A∪B.即 A∪B={u | u∈Aoru∈B}
既属于A又属于B的所有元素构成的集合称为A与
B的交. 记为A∩B.即 A∩B={u | u∈A且u∈B} 例 ( 略)
解: 如A={a,c }
B={b,c}
有A-B={a} , 2 A-B={φ,{a}}
2A={φ,{a},{c},{a,c}}
2B= {φ,{b},{c},{b,c}}
2A-2B= {{a},{a,c}} 与2A-B互不包含. 进一步可看到:
离散数学序言
What’s “chordless 4-cycle”?
Interval Graphs
• The intersection graphs of intervals on a line: • - create a vertex for each interval • - connect vertices when their intervals intersect
课程内容
• 数理逻辑 • 集合论 • 代数系统与图论简介 • 补充：计数原理
为什么要学习离散数学？
• 为学习计算机后继课程，提供必要的数学基 础；为阅读计算机文章作充分的数学准备。 • 培养和提高自己的抽象思维和逻辑推理能力 • Solve interesting problems
– 至少要几个人在一起才能保证一定有三个人互 相认识或三个人互相不认识？ – The Berge Mystery Story
注意理论的实际应用理论的实际应用培养学生解决实学生方面要充分发挥主观能动性课前尽可能尽可能预习以争取课堂上最好的听课效果课后尽可预习尽可能多做习题从中理解和掌握有关的概念
离散数学(Discrete Mathematics)
教学要点
• 教学目的旨在通过学习本课培养和提高学生的 抽象思维能力和逻辑推理能力 逻辑推理能力。 抽象思维能力 逻辑推理能力 • 力求讲透概念的来龙去脉和论证推理的逻辑严 逻辑严 谨性；注意理论的实际应用 理论的实际应用，培养学生解决实 谨性 理论的实际应用 际问题的能力。 • 学生方面要充分发挥主观能动性，课前尽可能 尽可能 预习以争取课堂上最好的听课效果，课后尽可 预习 尽可 能多做习题，从中理解和掌握有关的概念。 能多做习题
离散数学简介
• 离散数学是计算机科学与技术的理论基础 理论基础，如 理论基础 果说“高科技本质上是数学技术”的话，计算 机科学与技术基本上是离散数学技术。 • 自从计算机产生到以后的每一步发展都离不开 数学，1936 年 A.M. Turing发表了著名论文： ‘理想计算机’，从而给出了计算机设计的理 论模型，1946 年在 J.von. Neumann 领导下制造 了世界第一台计算机ENIAC.
【全国自考历年真题10套】02324离散数学2013年4月至2019年10月试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或 钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
一、单项选择题（本大题共 15 小题，每小题 1 分，共 15 分）
A. (∃x)( A(x) ∧ B(x)) ⇔ (∃x) A(x) ∧ (∃x)B(x)
B. A →（∃x）B(x) ⇔ (∃x)( A → B(x))
C.（∃x）A(x) → B ⇔ (∀x)( A(x) → B)
D. ¬（∃x）A(x) ⇔ (∀x)¬A(x)
4.设 A（x）： x 是鸟， B（x）： x 会飞，命题“没有不会飞的鸟”符号化为
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”
的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均不得分。
1．设 p：天下雨；q：我走路上学。命题“只要不下雨，我就走路上学”可符号化为
A．p → q
B．q →p
C．┐p → q D．q → ┐p
2．设简单无向图 G 有 16 条边，有 3 个 4 度结点，有 4 个 3 度结点，其余结点的度数均小 3，则 G 中的结点个数至．少．为
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绝密★考试结束前
全国 2014 年 4 月高等教育自学考试
离散数学试题
课程代码：02324
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或
离散数学(第二版)第7章格和布尔代数和
离散数学(第二版)第7章格和布尔代 数和
第七章 格和布尔代数
7.1 格 与 子 格
本章将讨论另外两种代数系统——格与布尔代数， 它 们与群、 环、 域的基本不同之处是： 格与布尔代数的基集 都是一个偏序集。 这一序关系的建立及其与代数运算之间 的关系是介绍的要点。 格是具有两个二元运算的代数系统， 它是一个特殊的偏序集， 而布尔代数则是一个 特殊的格。
于是， 我们有下列对偶原理。
第七章 格和布尔代数
定理7.1.2 如果命题P在任意格〈L， 〉上成立， 则
将L中符号∨， ∧，
∧， ∨，
P*在任意格〈L， 〉上也成立， 这里P*称为P的对偶式。
在上述对偶原理中， “如果命题P在任意格〈L， 〉
上成立”的含义是指当命题P中的变量取值于L中， 且上确
界运算为∨， 下确界运算为∧， 则P对于它们也成立。
第七章 格和布尔代数
再设a=a∧b， 则a∨b=(a∧b)∨b=b(由吸收律)， 即
a∨b=b。
最后， 设b＝a∨b， 则由a a∨b可得a b。
因此， (1)中3个命题的等价性得证。
(2) 因为 a a∨b， a a∨c, 故a (a∨b)∧(a∨c)。 又
因为
b∧c b a∨b b∧c c a∨c
条件是b a, 则〈L, 也是偏序集。 我们把偏序集〈L, 和〈L, 称为是相互对偶的。 并且它们所对应的哈
斯图是互为颠倒的。 关于格我们有同样的性质。 定理7.1.1 若〈L, 是一个格， 则〈L, 也是一
个格, 且它的并、 交运算∨r, ∧r对任意a, b∈L满足 a∨rb=a∧b，a∧rb=a∨b
证明 先证幂等性成立。 由吸收律知 a∧a＝a∧(a∨(a∧b))＝a a∨a＝a∨(a∧(a∨b))＝a
离散数学课件第十三章格与布尔代数-PPT
定理13、5(2)得证明
(2)若就是双射,则就是格同构映射当且仅当x,y∈L1,有 x≤y (x)≤(y)
必要性。由(1)得结论必有 x≤y (x)≤(y)
反之,若(x)≤(y),由于就是同构映射,则 (x∨y)＝(x)∨(y)＝(y)
又由于就是双射,必有x∨y＝y。 从而证明了 x≤y。
例13、7
格得实例
例13、1 设n就是正整数,Sn就是n得正因子得集合。D为整除关 系,则偏序集<Sn,D>构成格。x,y∈Sn, x∨y就是lcm(x,y),即x与y得最小公倍数。 x∧y就是gcd(x,y),即x与y得最大公约数。 下图给出了格<S8,D>,<S6,D>和<S30,D>。
例13、2
例13、2 判断下列偏序集就是否构成格,并说明理由。 (1) <P(B),>,其中P(B)就是集合B得幂集。 (2) <Z,≤>,其中Z就是整数集,≤为小于或等于关系。 (3) 偏序集得哈斯图分别在下图给出。
格得性质
定理11、4 设L就是格,a,b,c,d∈L,若a≤b且c≤d,则 a∧c≤b∧d, a∨c≤b∨d
证明 a∧c≤a≤b a∧c≤c≤d
因此, a∧c≤b∧d。 同理可证 a∨c≤b∨d。
例13、4
例13、4 设L就是格,证明 a,b,c∈L 有 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
证明 由 a≤a,b∧c≤b 得 a∨(b∧c)≤a∨b
定理13、2
a,b,c∈S 有 aRb且bRc ab＝b 且 bc＝c ac＝a(bc) ac＝(ab)c ac＝bc＝c aRc 这就证明了R在S上就是传递得。 综上所述,R为S上得偏序。 以下把R记作≤。
湖北省2013年7月份高等教育自学考试全日制助学班本科科目及时间安排表
湖北省2013年7月份高等教育自学考试全日制助学班本科科目及时间安排表
独
课程 代号 7月12日（星期五） 上午(9：00~11： 课程 下午(2：30~5：00) 30) 代号
立
本
科
段
7月14日（星期日） 课程 课程 上午(9：00~11：30) 代号 代号 03709 马克思主义基本原理概 03708 00015 论 00023 高等数学（工本） 04183 02197 概率论与数理统计 04729 （二）
00053 00183 07847
082218 电子政务 030108 律师 082208 080806 100805 100802 050437 050307 计算机信息管 理 建筑工程 02087 分子生物学 药学 03050 药理学（三） 中药学 04472 版式设计 艺术设计 00559 中国古代文学 网络传播 06392 网络信息编辑
模具设计与制 04016 模具数控加工技术 造 030402 刑事侦察 020108 保险 080313 050105 汉语言文学 秘书学（文秘 990139 与办公自动化 方向） 020177 投资理财 080105 石油工程 040302 体育教育 视觉传达设计 企业形象设计 050433 （装璜设计方 07072 （CIS） 向） 珠宝及材料工 080110 08657 中国玉器 艺学 020210 旅游管理 040102 学前教育 020202 工商企业管理 汉语言文学教 050113 育 100705 社区护理学 汽车维修与检 081726 04912 汽车电子控制技术 测
中国特色社会主义理 00479 当代资本主义 论与实践 数学课件的制作和使 19290 00465 心理卫生与心理辅导 用 00465 心理卫生与心理辅导 00087 英语翻译 00831 英语语法 02439 结构力学（二） 08459 钢筋混凝土结构设计 06001 高层建筑结构设计
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
《离散数学》试卷A及答案
《离散数学》试卷(A)适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1、下述哪一个不是命题？（ ） A 、离散数学是计算机系的一门必修课 B 、不存在最大偶数。
C 、若我有空，我就看书。
D 、请勿随地叶痰！2、设A={a,b,c}，B={1,2,3}，以下哪一个关系是从A 到B 的双射函数？（ ） A 、f={<a,2>,<b,2>,<c,1>} B 、f={<a,3>,<b,1>,<c,2>} C 、f={<a,1>,<b,2>,<c,3>,<a,3>} D 、f={<a,1>,<b,2>,<a,3>}3.设<G, 。
>是群，且|G|>1,则下列命题不成立的是（ ）A.G 中有幺元B. G 中有零元C.G 中任一元素有逆元D. G 中除幺元外无其它幂等元 4、设A={}c b a ,,,则下列是集合A 的划分的是（ ） A.{}{}{}c c b ,, B. {}{}{}c a b a ,,, C.{}{}c b a ,, D.{}{}{}c b a ,, 5.设集合A={a,{b}}，下面四个命题为真的是A.a 包含于AB.φ∈AC.{b}包含于AD.φ包含于A 6、下列是命题公式p ∧(q ∨⌝r)的成真指派的是（ ） A.110,111,100 B.110,101,011 C 所有指派 D.无 7、与一阶公式P(x)→VxQ(x)等值的公式是A.P(y)→VyQ(y)B.P(y)→VxQ(y)C.P(x)→VyQ(y)D.P(z)→VyQ(y)8、设A 和B 都是命题，则A →B 的真值为假当且仅当（ ） A 、A 为0 ，B 为1 B 、A 为0 ，B 为0 C 、A 为1 ，B 为1 D 、A 为1 ，B 为0二、填空题（本大题共7小题，每空3分，共21分）１．.设A={a,b,c}，F 是A 上的二元关系，F={<a,c>,<b,a>,<c,b>}，则其自反闭包为r(F)= 。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学知识点总结同时要善于总结，在学习《离散数学》的过程，对概念的理解是学习的重中之重。
本文就来分享一篇离散数学知识点总结，希望对大家能有所帮助！一、认知离散数学离散数学是计算机科学基础理论的核心课程之一，是计算机及应用、通信等专业的一门重要的基础课。
它以研究量的结构和相互关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，充分体现了计算机科学离散性的特点。
学习离散数学的目的是为学习计算机、通信等专业各后续课程做好必要的知识准备，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力，为计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
1．定义和定理多离散数学是建立在大量定义、定理之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是学习这门课程的核心。
在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
在考试中有一部分内容是考查学生对定义和定理的识记、理解和运用，因此要真正理解离散数学中所给出的每个基本概念的真正的含义。
比如，命题的定义、五个基本联结词、公式的主析取范式和主合取范式、三个推理规则以及反证法；集合的五种运算的定义；关系的定义和关系的四个性质；函数（映射）和几种特殊函数（映射）的定义；图、完全图、简单图、子图、补图的定义；图中简单路、基本路的定义以及两个图同构的定义；树与最小生成树的定义。
掌握和理解这些概念对于学好离散数学是至关重要的。
2. 方法性强在离散数学的学习过程中，一定要注重和掌握离散数学处理问题的方法，在做题时，找到一个合适的解题思路和方法是极为重要的`。
如果知道了一道题用怎样的方法去做或证明，就能很容易地做或证出来。
反之，则事倍功半。
在离散数学中，虽然各种各样的题种类繁多，但每类题的解法均有规律可循。
所以在听课和平时的复习中，要善于总结和归纳具有规律性的内容。
在平时的讲课和复习中，老师会总结各类解题思路和方法。
作为学生，首先应该熟悉并且会用这些方法，同时，还要勤于思考，对于一道题，进可能地多探讨几种解法。
《离散数学》第二章一阶逻辑
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
2013-7-29
离散数学
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例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。 对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原 句是矛盾的。
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离散数学
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个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为： （1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。 解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。 （1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。 解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。 （1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章 一阶逻辑
浙江工业大学计算机学院 浙江工业大学软件学院
2013-7-29
离散数学
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所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
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离散数学
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命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。
2010年7月自考离散数学试题及答案
全国2010年7月自学考试离散数学试题课程代码：02324一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列句子不是．．命题的是（ D ） A ．中华人民共和国的首都是北京 B ．张三是学生 C ．雪是黑色的D ．太好了！2．下列式子不是．．谓词合式公式的是（ B ） A ．（∀x ）P (x )→R (y )B ．(∀x ) ┐P （x ）⇒(∀x )(P (x )→Q (x ))C ．(∀x )(∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x )D ．(∀x )(P (x ,y )→Q (x ,z ))∨(∃z )R (x ,z ) 3．下列式子为重言式的是（ ） A ．(┐P ∧R )→Q B ．P ∨Q ∧R →┐R C ．P ∨(P ∧Q )D ．(┐P ∨Q )⇔(P →Q )4．在指定的解释下，下列公式为真的是（ ） A ．(∀x )(P (x )∨Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域:{1,2} B ．(∃x )(P (x )∧Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域: {1,2} C ．(∃x )(P (x ) →Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} D ．(∀x )(P (x )→Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4}5．对于公式(∀x ) (∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y )，下列说法正确的是（ ） A ．y 是自由变元 B ．y 是约束变元C ．(∃x )的辖域是R(x , y )D ．(∀x )的辖域是(∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y )6．设论域为{1,2}，与公式(∀x )A (x )等价的是（ ） A ．A (1)∨A (2) B ．A (1)→A (2) C ．A (1)∧A (2)D ．A (2)→A (1)7．设Z +是正整数集，R 是实数集，f :Z +→R , f (n )=log 2n ,则f （ ） A ．仅是入射 B ．仅是满射 C ．是双射D ．不是函数8．下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ） A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001110101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101110001C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0010101019．设R 1和R 2是集合A 上的相容关系，下列关于复合关系R 1︒R 2的说法正确的是（ ） A ．一定是等价关系 B ．一定是相容关系C ．一定不是相容关系D ．可能是也可能不是相容关系10．下列运算不满足．．．交换律的是（ ） A ．a *b =a+2b B ．a *b =min(a ,b ) C ．a *b =|a -b |D ．a *b =2ab 11．设A 是偶数集合，下列说法正确的是（ ） A ．<A ,+>是群 B ．<A ,×>是群C ．<A ,÷>是群D ．<A ,+>, <A ,×>,<A ,÷>都不是群12．设*是集合A 上的二元运算，下列说法正确的是（ ） A ．在A 中有关于运算*的左幺元一定有右幺元 B ．在A 中有关于运算*的左右幺元一定有幺元 C ．在A 中有关于运算*的左右幺元，它们不一定相同 D ．在A 中有关于运算*的幺元不一定有左右幺元 13．题13图的最大出度是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．314．下列图是欧拉图的是（ ）15．一棵树的3个4度点，4个2度点，其它的都是1度，那么这棵树的边数是（ ） A ．13 B ．14 C ．15D ．16二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
离散数学概述
数理逻辑简介
前提
推理（规则）
结论
集合论(set theroy)概述
20世纪数学中最为深刻的活动, 是关于数学基础的探讨。这 不仅涉及到数学的本性, 也涉及到演绎数学的正确性。数学 中若干悖论的发现, 引发了数学史上的第三次危机, 这种悖论 在集合论中尤为突出。
集合论最初是一门研究数学基础的学科, 它从一个比“数” 更简单的概念----集合出发, 定义数及其运算, 进而发展到整 个数学领域, 在这方面它取得了极大的成功。
达） 软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划
分） (各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学
的各分支）
目的和任务
由于离散数学的重要地位, 因此通过本课程的教学, 使计算机及应用专业的学生能够掌握数理逻辑、 集合论、近世代数与图论的基本概念、基本定理、 基本方法, 并且培养学生具有一定的抽象思维能力 和逻辑推理能力。同时为计算机及应用专业的其 它重要后续课程（如数据结构、操作系统、编译 原理等课程）奠定比较坚实的基础。
用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。这里所指的数 学方法, 就是引进一套符号体系的方法, 在其中表达和研究推 理的规律。
数理逻辑简介
通常认为数理逻辑是由莱布尼兹(Leibniz)创立的。 数理逻辑的内容包括:
证明论、模型论、递归论、公理化集合论。 数理逻辑的应用 在形式语义学、程序设计方法学和软件工程领域。 在逻辑程序设计方面。 在数据库理论方面。 在程序自动生成、自动转换等的理论和技术研究中。 在形式语言理论、自动机理论、可计算理论、计算
图论
图论是离散数学的重要组成部分, 是近代应用数学的重要分支。
1736年是图论历史元年, 因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》, 所以 人们普遍认为欧拉是图论的创始人。
图论 (2)
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例9.2.12
求右图中所有结点的度数、出度 和入度，指出悬挂结点和为悬挂 边。 解 deg(v1) = 1，deg+(v
1)
v1 v4 v2
1)
v5
=
0，deg-(v
= 1
v3
deg(v2) = 4，deg+(v2) = 3，deg-(v2) = 1
2013-7-10
143-22
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例9.3.1
判 断 下 图 G1 中 的 回 路 v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3 、 v3e3v2e2v2e1v1e4v3 、v3e3v2e1v1e4v3 是否是简单回路、 基本回路？图G2 中的通路v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6 v5e8v4 、 v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4 、 v1e1v2e6v5e7v3e3v4 是否是简单通路、基本通路？并求其长度。
对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪 动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件 下，一个图可以变形为另一个图，那么这两个图是 同构的。
2013-7-10 143-15
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两个图同构的必要条件
（1）结点数目相同；
（2）边数相同；
（3）度数相同的结点数相同。
9.3.1 通路与回路
通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本 小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向 图，否则，将加以说明或分开定义。
2013-7-10
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全国2011-7-2014-4自学考试离散数学试题
全国2011年7月自学考试离散数学试题课程代码：02324一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
三、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）五、综合应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）全国2012年4月自学考试离散数学试题课程代码：02324全国2012年7月自学考试离散数学试题课程代码：02324一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设P :他看电影，Q :他学习，将命题“他在学习或在看电影”符号化正确的是（ ） A.P →Q B.P ∧Q C.P ∨QD.Q →⌝P2.下列命题公式不是．．永真式的是( ) A.()P Q P →→ B.()P Q →∨P C.P ⌝∨()Q P →D.()P Q P →→ 3.下列等价式正确的是（ ） A.()()()()x A x x A x ⌝∀⇔∀⌝ B.()()()(())A x B x x A B x →∃⇔∃→ C.()(())()()x A x B x A x B ∀→⇔∀→D.()(())()()x A x B x A x B ∃→⇔∃→ 4.设A(x):x 是鸟，B(x):x 会飞，命题“有的鸟不会飞”符号化为（ ） A.()(()x A x ⌝∃∧())B x B.()(()x A x ⌝∀∧())B x C.()(()())x A x B x ⌝∃→D.()(()())x A x B x ⌝∀→5.设X ={,{},{,}}a a ∅∅，则下列陈述正确的是（ ） A.a X ∈ B.{,}a X ∅⊆ C.{{,}}a X ∅⊆D.{}X ∅∈6.设A B B =,则有（ ） A.A B A = B.A B -=∅ C.A B B =D.A B ⊆ 7.设A =｛a ,{b , c }｝,则其幂集P （A ）的元素总个数为（ ） A.3 B.4 C.6D.88.在整数集Z 上，下列定义的运算满足结合律的是（ ） A.1a b b *=+ B.1a b a *=- C.1a b ab *=-D.1a b a b *=++9.设<G ，*>是群，则下列陈述不正确．．．的是（ ） A.11()a a --= B.111()ab a b ---= C.n m n m a a a +=D.11()n n a ba a b a --=10.设:,:f X Y g Y Z →→是函数，则下列陈述正确的是（ ） A.若f 不是入射的，则g f 不是入射的B.若g 是入射的，则g f 也是入射的C.若f 是入射的，则g f 也是入射的D.若g f 不是入射的，则f 也不是入射的11.设简单图G 所有结点的度数之和为36，由G 的边数为（ ） A.6 B.9 C.12D.1812.下列无向图不一定．．．是树的是（ ） A.结点数比边数多1的连通图 B.每对结点之间都有通路的图 C.无回路但添加一条边则有回路的图D.无回路的连通图 13.设R 1,R 2是A 上的两个关系，s 为对称闭包，t 为传递闭包，则下列描述正确的是（ ） A.1212()()()s R R s R s R = B.1212()()()t R R t R t R = C.1212()()()s R R s R s R =D.1212()()()t R R t R t R =14.下列必为欧拉图的是（ ） A.有回路的连通图B.不可以一笔画的图C.有1个奇数度结点的连通图D.无奇数度结点的连通图 15.设X =｛0｝，下列关于代数系统<P (X )，>的陈述正确的是（ ） A.0是幺元 B.∅是幺元 C.｛0｝是幺元D.没有幺元二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
离散数学(命题逻辑的基本概念)
pq
(2)吴颖不仅用功而且聪明.
pq
(3)吴颖虽然聪明，但不用功. pq
(4)张辉与王丽都是三好生.
设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生 pq
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合取联结词的实例
p ：今天下雨 q：明天下雨 p q：今天下雨并且明天下雨 今天与明天都下雨 这两天都下雨
p ：我们唱歌 q：我们跳舞 p q：我们一边唱歌一边跳舞
等价联结词实例
如果两个三角形全等,则它们的三组对应边 相等；反之亦然.
当王晓红心情愉快时，她就唱歌；反之，当 她唱歌时，一定心情愉快.
•表示 p q 的常用词： •p当且仅当q. •p是q的充要条件. •如果p则q;反之亦然.
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小结
本小节中p, q, r, … 均表示命题. 联结词集为{, , , , }，p, pq, pq,
p: 你努力 q: 你成功➢q是p的必要条件
p → q 或 q → p ➢如果（若）p，则q
p q p ➢➢只因q 要为ppq，所就以p qqpq
0 0 1 ➢1p仅当q1
1
0 1 1 ➢0只有q 才0 p 0
1 0 0 ➢1除非q,1才p 1
1 1 0 ➢0除非q，1 否则非p1
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命题概念
例1 下列句子中那些是命题？ (1) 是有理数. (2) 2 + 5 = 7.
假命题 真命题
(3) x + 5 > 3.
不是命题
(4) 你去教室吗？
不是命题
(5) 这个苹果真大呀！
不是命题
(6) 请不要讲话！
不是命题
(7) 2050年元旦下大雪. 命题(真值现在未知）
自考离散数学课件
第一章 命题演算
等值公式表和蕴含公式表整理归纳如表 1.表 2
第一章 命题演算
（3） 构造论证法
常用的推理规则有：
（1）前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可以引入前提，简称 P 规则。
（2）结论引入规则：在证明的任何步骤上，所证明的结论都可作为后续 证明的前提，称为 T 规则。
（3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子命题公式都 可以用与之等值的命题公式置换。亦记为 T 规则。
3．公式分类
设 A 为一命题公式，若 A 在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称 公式 A 为重言式或永真式。
设 A 为一命题公式，若 A 在它的各种指派情况下，其取值均为假，则 称公式 A 为矛盾式或永假式。
设 A 为一命题公式，若 A 在各种真值指派下至少存在一组成真指派，称 A 是可满足式。
推理理论。
第二章 谓词演算
一、谓词的概念与表示 客体（个体）和谓词 例如，王强是个大学生；其中“是个大学生”是谓词；而“王强”是客
第一章 命题演算
例 证明：(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)├S∨R。 证明： （1）P∨Q P （步骤 1，引用 P 规则得 P∨Q） （2）￢P→Q T.（1）E （步骤 2，由（1），根据等价公式表 E，引用 T 规则得￢P→Q） （3） Q→S P （4）￢P→S T.（2）（3）I （步骤 4，由（2）（3），根据蕴含公式表 I，引用 T 规则得￢P→S）
将命题公式 P 在所有指派下取值情况，列成表，称为 P 的真值表。
第一章 命题演算
真值表方法：
（1）如果公式 A 中有 n 个命题符，则 A 的真值表共有 2n+1 行。第 一行称为表头，在表头的第一列写出所有的命题符，从表头第二列开始， 依次写上公式 A 的生成过程中生成的子串（这些子串也是公式）。
离散数学
2013年7月9日
22
Chapter 1
命题逻辑(1)
对命题标识符的解释虽然是抽象化的反过程，但解释却可以 是任意的。 对命题标识符P可以解释为： A) 今天下雨
B) 今天下雪 C) 上海不是一个城市
D) 雪是黑色的
E) 张三是学生
2013年7月9日
23
Chapter 1
命题逻辑(1)
命题的分类
2013年7月9日
3
Chapter 1
命题逻辑(1)
离散数学的特点
2)能行性: 计算机算题是老老实实的，一个问题能在计算机上解决， 即能将此问题解决的每个步骤，一步一步地清楚的表达出 来，而且要在有限步内完成这个问题。反映在离散数学上, 即离散数学所研究的问题均是能行的。（一个问题要是有 解,就要给出此解的具体解法） 离散数学的这个特征，使它与一般的数学区别开来。如 传统的数学分析以及以数学分析为基础的各数学分支，如 微分方程，实变函数，复变函数等均是研究连续变量的问 题。又如，一般数学重非常重视解的存在性问题以及解的 表示方式，对解的算法根本不予考虑或考虑很少。
定义1-1.1 具有确切真值的陈述句称为命题,该命题可以取一 个‚值‛，称为真值。 真值只有‚真‛和‚假‛两种，分别用‚Ｔ‛(或‚１‛)和 ‚Ｆ‛(或‚０‛)表示。
如何判断一个语句是否为命题？？ (1):是否为陈述句 (2):是否有确切真值
2013年7月9日 16
Chapter 1
命题逻辑(1)
命题与真值
离散数学的构成
数理逻辑 命题逻辑 谓词逻辑 集合论 集合 关系 函数 图论 图的基本概念 图的连通性 几个特殊图 代数系统 代数系统的基本概念 代数系统的同态与同构 几个特殊 代数系统
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绝密★考试结束前
全国2013年7月高等教育自学考试
离散数学试题
课程代码：02324
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均不得分。
1．设p ：天下雨；q ：我走路上学。
命题“只要不下雨，我就走路上学”可符号化为
A ．p → q
B ．q →p
C ．┐p → q
D ．q → ┐p 2．设简单无向图G 有16条边，有3个4度结点，有4个3度结点，其余结点的度数均小
3，则G 中的结点个数至少．．
为 A ．4 B ．8 C ．9 D ．1l 3．设Z （x ）：x 是整数;f （x ）：x 的绝对值；L （x ，y ）：x 大于等于y ；命题“整数的绝对值大于等于O”可符号化为
A.(()((),0))x Z x L f x ∀∧
B ．(()((),0))x Z x L f x ∀→ C.()((),0)xZ x L f x ∀∧ D ．()((),0)xZ x L f x ∀→
4．设,αβ是集合A 上的等价关系，则下列关系一定是等价关系的是
A ．αβ⋂
B ．αβ-
C ．αβ
D ．αβ⊕
5．设论域为实数集，下列公式中真值为假的是
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