专题01 解三角形导学案-2017-2018学年下学期期中复习备考高一数学黄金讲练必修5 含解析 精品

2017-2018学年度下学期期中复习高一数学（必修五）备考黄金讲练系列专题1 解三角形思维导图知识点1：利用正、余弦定理求解三角形的基本问题【要点回顾】解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程．三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．【典例分析】例1已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－2a sin C＝b sin B.(1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.【分析】(1)用正弦定理将已知关系式变形为边之间的关系，然后利用余弦定理求解．(2)先求角C，然后利用正弦定理求边a，c.【解析】(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ³sin Asin B＝1＋ 3.由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°，c ＝b ³sin Csin B＝ 6. 【迁移训练】1．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．1【答案】 B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值.【解析】 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因此A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B .由已知条件，应用正弦定理12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin 120°－B sin B ＝sin 120°cos B －cos 120°sin B sin B ＝32tan B ＋12， 从而tan B ＝12.知识点2：正、余弦定理的综合应用 【要点回顾】正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解． 【典例分析】例2在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →²BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．【分析】 (1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a ，c 的方程组即可求解． (2)由(1)结合正弦定理分别求出B ，C 的正、余弦值，利用差角余弦公理求解．(2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23³223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C＝13³79＋223³429＝2327. 【迁移训练】3．如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437³12－17³32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ²sin∠BADsin ∠ADB ＝8³3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC ²cos B ＝82＋52－2³8³5³12＝49.所以AC ＝7.4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 【解析】 (1)由已知及正弦定理得 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7. 知识点3：正、余弦定理的实际应用 【要点回顾】正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求． 【典例分析】例3如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C .景区管委会开发了风景优美的景点D .经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向上8 km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上．已知AB ＝5 km.(1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长； (2)求景点C 与景点D 之间的距离．(结果精确到0.1 km)(参考数据：3＝1.73，sin 75°＝0.97，cos 75°＝0.26，tan 75°＝3.73，sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60，tan 53°＝1.33，sin 38°＝0.62，cos 38°＝0.79，tan 38°＝0.78)【分析】 (1)以BD 为边的三角形为△ABD 和△BCD ，在△ABD 中，一角和另外两边易得，所以可在△ABD 中利用余弦定理求解DB .(2)以CD 为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解． 【解析】 (1)设BD ＝x km ，则在△ABD 中，由余弦定理得52＝82＋x 2－2³8x cos 30°，即x 2－83x ＋39＝0，解得x ＝43±3.因为43＋3>8，应舍去，所以x ＝43－3≈3.9，即这条公路的长约为3.9 km.(2)在△ABD 中，由正弦定理得AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ADB ，所以sin ∠ABD ＝sin ∠CBD ＝AD AB ²sin∠ADB ＝45＝0.8，所以cos ∠CBD ＝0.6.在△CBD 中，sin ∠DCB ＝sin(∠CBD ＋∠BDC )＝sin(∠CBD ＋75°)＝0.8³0.26＋0.6³0.97＝0.79，由正弦定理得CD ＝sin ∠DBC ³BDsin ∠DCB ≈3. 9.故景点C 与景点D 之间的距离约为3.9 km.【迁移训练】5．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．【解析】 法一：设该扇形的半径为r 米，由题意，得CD ＝500米，DA ＝300米，∠CDO ＝60°. 在△CDO 中，CD 2＋OD 2－2²CD ²OD ²cos 60°＝OC 2， 即5002＋(r －300)2－2³500³(r －300)³12＝r 2，解得r ＝4 90011≈445(米)．6.已知某渔船在渔港O 的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B 处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A 接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C 处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B 的俯角为68.20°，测得渔政船C 的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上． （Ⅰ）计算渔政船C 与渔港O 的距离；（Ⅱ）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？（参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，shin63.43°≈0.90，tan63.43°≈2.00，≈3.62，【解析】（1）依题意：BO=160海里，AO BOC ⊥面,68.20,63.43O O ABO ACO ∠=∠= tan 400AO BO ABO ∴=⋅∠=海里tan 200AO CO ACO CO =⋅∠⇒=由海里在BOC ∆中， 120OOBC ∠= ，由全余弦定理得2221602160200BC BC cos OBC +-⋅⋅⋅∠=2160144000BC BC ⇒+-=8064.40BC ⇒=-+≈(2)64.402.57325≈< ∴可在3小时内赶到出事地点知识点4：三角形形状的判断 【考向解读】三角形形状的判断是近几年高考的热点题型，难点中等偏上，在试题设计上灵活多变，选择题、填空题、解答题都有涉及，常常会跟其他知识进行综合考查. 【典例分析】例4下列是有关ABC ∆的几个命题，①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形；②若cos cos a A b B =，则ABC ∆是等腰三角形；③若cos cos a B b A b +=，则ABC ∆是等腰三角形；④若 cos sin A B =，则ABC ∆是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③ 【答案】A【解析】对于①, tan tan tan A B C ++()()()tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan 0A B A B C C A B C A B C =+-+=-+=>,tan 0,tan 0,tan 0,A B C ∴>>> ABC ∆是锐角三角形正确;对于②,由正弦定理, sin cos sin cos A A B B =,即sin2sin2A B =,则22A B =或22A B π+=,则ABC ∆是等腰三角形或直角三角形,命题错误;对于③, 由正弦定理, ()sin cos cos sin sin sin sin A B A B A B C B +=+==,则ABC ∆是等腰三角形正确;对于④,cos sin sin 2A A B π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 2A B π∴-=或2A B ππ-+=,即2A B π+=或2B A π-=,则ABC ∆不一定是直角三角形,命题错误;综上可得, 正确命题的序号是①③,故选A. 【技能点拨】一般来说，判断三角形的形状问题常用的方法有两种：(1)通过边之间的关系判断形状；(2)通过角之间的关系判断形状.正弦定理、余弦定理在解题中起到将已知条件中的边、角互化，把条件化为边之间的关系或化为角之间的关系的作用. 【迁移训练】7．在ABC ∆中，已知2cos b a C =⋅，则ABC ∆的形状是（ ）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形 【答案】C【解析】由余弦定理知， 2222cos 22a b c b a C a ab+-=⋅=⋅，所以2222a b c b +-=，即a c =，故三角形是等腰三角形，故选C.8．若ABC ∆ 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C = ，则ABC ∆是 ( ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 【答案】B【解析】由正弦定理可得，△ABC 的三边之比 a ：b ：c=5：11：13，设a=5k ，则 b=11k ，c=13k ，由余弦定理可得22223cos 02110a b c C ab +-==-<故角C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形，故选B 9．对于ABC ∆，有如下四个命题:①若sin2sin2A B = ，则∆ ABC 为等腰三角形， ②若sin cos B A =，则∆ ABC 是直角三角形③若222sin sin sin A B C +<，则∆ ABC 是钝角三角形④若coscoscos222a b c ==，则∆ ABC 是等边三角形.其中正确的命题个数是 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B知识点5：解三角形中的转化与化归思想 【考向解读】转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式． 【典例分析】例5在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足()2cos cos b c A a C -=． (1)求角A 的大小(2)若3a =，求ABC 的周长最大值．【分析】（1）由()2cos cos b c A a C -=，根据正弦定理，得2sin cos sin B A B =，可得1cos 2A =，进而可得A 的值；（2）由（1）及正弦定理，得;b B c C ==，可得ABC ∆的周长，33636l B B sin B ππ⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合范围20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求ABC ∆的最大值.【解析】（1）由()2cos cos b c A a C -=及正弦定理，得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+()2sin cos sin sin B A C A B ∴=+= ()0,B π∈ sin 0B ∴≠ ()0,A π∈1cos 2A = 3A π∴=(2)解：由（I ）得3A π∴=，由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====所以;b B c C ==ABC ∆的周长33l B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭3sinBcos sin 33cosB ππ⎫=+++⎪⎭33cosB =++36sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当3B π=时， ABC ∆的周长取得最大值为9．【技能点拨】本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题，在判断三角形的形状的问题中，利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路．【迁移训练】10．在ABC ∆中, 60,4A a b == ，那么满足条件的ABC ∆ ( )A. 有一个B. 有两个C. 不存在D. 不能确定【答案】C【解析】由正弦定理可得： sin ,sin 1sin sin a b b A B A B a===>， ∴满足条件的B 不存在， ∴满足条件的ABC ∆不存在，故选C.11.若ABC ∆为钝角三角形,三边长分别为2,3,x ，则的取值范围是( )A. (B. )C. D. ()⋃ 【答案】D12．已知ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，满足tan A =. （1）若0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角A ；（2）若cos sin a c b C C +=+，试判断ABC ∆的形状.【解析】试题分析：根据三角函数的余弦定理公式得到2222cos b c a bc A +-=，结合题干中的 公式可得tan sin A A =⇒=，根据特殊角的三角函数值得到3A π=.(2)由正弦定理得到sin sin sin cos sin A C B C B C +=，化简后得到3B π=，结合第一问得到ABC ∆为正三角形.（1）由余弦定理知： 2222cos b c a bc A +-=，∴tan sin A A =⇒=，∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3A π=.。