天津市红桥区2020届高三数学上学期期中试题 文(无答案)新人教A版
2020-2021学年天津市红桥区高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U ＝{1, 2, 3, 4}，集合A ＝{1, 2}，集合B ＝{2, 3}，则∁U (A ∪B)＝（ ） A.{4} B.{3} C.{1, 3, 4} D.{3, 4}【答案】 A【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】根据集合的并集和补集的定义进行计算即可． 【解答】∵ 集合A ＝{1, 2}，B ＝{2, 3}， ∴ A ∪B ＝{1, 2, 3}， ∵ 全集U ＝{1, 2, 3, 4}， ∴ ∁U (A ∪B)＝{4}，2. 命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定为（ ）A.∀x ∉R ，x 2≥0B.∀x ∈R ，x 2<0C.∃x ∈R ，x 2≥0D.∃x ∈R ，x 2<0 【答案】 D【考点】 命题的否定 【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题∀∈R ，x 2≥0的否定是∃x ∈R ，x 2<0． 故选D .3. 已知A 是三角形ABC 的内角，则“cos A =12”是“sin A =√32”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据三角函数的公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】∵ A 是三角形ABC 的内角，∴ 若cos A =12，则A =π3，此时sin A =√32成立，即充分性成立． 若sin A =√32，则A =π3或2π3，当A =2π3，cos A =−12，即必要性不成立，故“cos A =12”是“sin A =√32”充分不必要条件，4. 已知α∈(0,π2)，cos α=√33，则cos (α+π6)等于（ ）A.12−√66B.1−√66C.−12+√66D.−1+√66【答案】A【考点】两角和与差的余弦公式 【解析】根据α∈(0,π2)，cos α=√33，利用同角三角函数的平方关系算出sin α=√1−cos 2α=√63，再利用两角和的余弦公式加以计算，即可得到cos (α+π6)的值． 【解答】解：∵ α∈(0, π2)，cos α=√33， ∴ sin α=√1−cos 2α=√1−13=√63， 因此，cos (α+π6)=cos αcos π6−sin αsin π6=√33×√32−√63×12=12−√66． 故选：A5. 为了得到函数y ＝sin (2x −π6)的图象，可以将函数y ＝sin 2x 的图象（ ） A.向右平移π6个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π6个单位D.向左平移π12个单位【答案】B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 【解答】y ＝sin (2x −π6)＝sin 2(x −π12)，故将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位，可得y ＝sin (2x −π6)的图象，6. 设0<θ<π2，a →=(sin 2θ, cos θ)，b →=(cos θ, 1)，若a → // b →，则tan θ=( )A.12B.2C.1D.0【答案】 A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】直接由向量共线的条件列式得到2sin θcos θ=cos 2θ，由三角恒等变形得答案． 【解答】解：∵ a →=(sin 2θ,cos θ)，b →=(cos θ,1)，a → // b →， ∴ sin 2θ=cos 2θ， 即2sin θcos θ=cos 2θ，又∵ 0<θ<π2，∴ 2sin θ=cos θ，则tan θ=sin θcos θ=12． 故选：A ．7. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【答案】 A【考点】相互独立事件的概率乘法公式 【解析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p ，则由题意可得0.75×p ＝0.6，由此解得p 的值． 【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p ， 则由题意可得0.75×p =0.6， 解得p =0.8. 故选A .8. 设随机变量X ∼N(0, 1)，则P(X ≤0)＝（ ）A.0B.1C.D.【答案】C【考点】正态分布的密度曲线【解析】由已知可得正态分布曲线的对称轴，再由正态分布曲线的对称性得答案．【解答】∵随机变量X∼N(0, 1)，∴正态分布曲线的对称轴方程为x＝3，则P(X≤0)＝，9. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16 πB.20πC.24πD.32π【答案】C【考点】球的表面积和体积球内接多面体柱体、锥体、台体的面积求解【解析】设正四菱形的底面边长为a，则a2×4=16，求出a=2，从而这个球的半径r=1√22+22+42=√6，由此能求出这个球的表面积．2【解答】∵各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，∴设正四菱形的底面边长为a，则a2×4=16，解得a=2，∴这个球的半径r=1√22+22+42=√6，2∴这个球的表面积S=4π×(√6)2=24π．10. 已知m、n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若n // α，m⊂α，则m // n；②若m // α，m // β，则α // β；③若m⊥β，α⊥β，则m // α；④若m⊥α，m⊥β，则α // β；⑤若α⊥β，m⊂β，则m⊥α；⑥若α // β，m⊥β，则m⊥α；⑦若α∩β＝n，m // n，则m // α．其中真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】线直接利用线面平行和面面平行，线面垂直和面面垂直的判定和性质的应用，法向量的应用判定所有的结论．【解答】已知m、n是不重合的直线，α，有下列命题：对于①：若n // α，m⊂α，故①错误；②若m // α，m // β，故②错误；③若m⊥β，α⊥β，故③错误；④若m⊥α，m⊥β，则α // β；⑤若α⊥β，m⊂β，故⑤错误；⑥若α // β，m⊥β，故⑥正确；⑦若α∩β＝n，m // n，故⑦错误．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.设z=10i3+i，则z的共轭复数是________．【答案】1−3i【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的分母实数化后，求解共轭复数即可．【解答】解：z=10i3+i =10i(3−i)(3+i)(3−i)=1+3i．z=10i3+i，则z的共轭复数是1−3i．故答案为：1−3i．(x√x)5的展开式中，x2的系数是________【答案】40【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】根据题意，求出(x−√x)5的展开式的通项，进而分析可得答案．解：根据题意，(x −√x )5的展开式的通项为： T r+1=C 5r×x 5−r ×√x)r =(−2)r C 5rx10−3r2，令10−3r 2=2，解可得r =2，则有T r+1=(−2)2C 52x 2=40x 2， 即x 2的系数是40. 故答案为：40.平面向量a →，b →中，若a →=(4, −3)，|b →|=1，且a →⋅b →=5，则向量b →=________. 【答案】(45, −35) 【考点】平面向量数量积的运算 平面向量的坐标运算 【解析】由a →⋅b →=5，a →=(4, −3)，|b →|=1，得到cos <a →，b →>=1，所以a →，b →同向，所以b →=15a →，即可获得答案【解答】解：由题意，得|a →|=5， ∴ cos <a →,b →>=51×5=1，∴ a →，b →同向，∴ b →=15a →=15(4,−3)=(45,−35).故答案为：(45,−35).某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有________种排法．【答案】 14【考点】计数原理的应用 【解析】分两类，若第一节排数学，若第一节不排数学，根据分类计数原理即可得到答案．解：若第一节排数学，有A 33=6种方法，若第一节不排数学，第一节有2种排法，最后一节有2种排法，中间两节任意排，2×2×2=8种方法，根据分类计数原理，共有6+8=14种， 故答案为：14．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，则这名射手在3次射击中恰好有1次击中目标的概率是________．【答案】 0.096 【考点】n 次独立重复试验的结果 【解析】由于射手每次射击击中目标的概率是0.8，则此人每次射击不能击中目标的概率是0.2，故所求的概率等于C 31⋅0.81⋅0.22，运算求得结果． 【解答】解：由于射手每次射击击中目标的概率是0.8，则此人每次射击不能击中目标的概率是0.2，故射手在3次射击中恰好有1次击中目标的概率是C 31⋅0.81⋅0.22=0.096， 故答案为0.096．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →⋅BC →的值为________． 【答案】18【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】可作出图形，并连接AE ，得到AE ⊥BC ，根据条件可得出EF →=14AC →，从而AF →=AE →+14AC →，这样带入AF →⋅BC →进行数量积的运算即可求出该数量积的值． 【解答】如图，连接AE ，则AE ⊥BC ； 根据条件，DE =12AC ，且DE ＝2EF ； ∴ EF →=12DE →=14AC →；∴ AF →=AE →+EF →=AE →+14AC →； ∴ AF →⋅BC →=(AE →+14AC →)⋅BC →=AE →⋅BC →+14AC →⋅BC →=0+14×1×1×12=18．三、解答题：本大题共5个题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．规定：每位顾客从袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． (Ⅰ)求顾客所获的奖励额为60元的概率；(Ⅱ)求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望． 【答案】（I ）设顾客所获取的奖励额为X ，依题意，得P(X ＝60)＝＝，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，(II)依题意得X 得所有可能取值为20，60，P(X ＝60)＝，P(X ＝20)＝＝，即X 的分布列为 20 60所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×+60×．【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列【解析】（I ）设顾客所获取的奖励额为X ，通过古典概型概率求解即可；(II)X 所有可能取值为20，60，求出概率得到分布列，然后求解期望． 【解答】（I ）设顾客所获取的奖励额为X ，依题意，得P(X＝60)＝＝，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，(II)依题意得X得所有可能取值为20，60，P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，即X的分布列为2060所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×+60×．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a＝3，c＝5，．(Ⅰ)求b的值；(Ⅱ)求cos2A的值．【答案】（1）由余弦定理b2＝a2+c3−2ac cos B，a＝3，，可得，所以b＝7．（2）由正弦定理，可得sin A＝，所以，所以．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理，即可求解b的值．(Ⅱ)由已知利用正弦定理可得sin A的值，然后根据二倍角公式，即可求解cos2A的值．【解答】（1）由余弦定理b2＝a2+c3−2ac cos B，a＝3，，可得，所以b＝7．（2）由正弦定理，可得sin A＝，所以，所以．已知函数f(x)＝sin2x+sin x cos x+2cos2x，x∈R．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间和最小值．【答案】（1）函数f(x)＝sin2x+sin x cos x+6cos2x＝＝sin8x+cos7x+＝sin(3x+）+，∴函数f(x)的最小正周期；（2）令，解得：，分别令k＝0]，x∈[]，又因为x∈[7, π]，所以函数f(x)在[0, π]上的单调增区间为，，又函数f(x)在[5, π]上，f（，∴f(x)min＝．【考点】正弦函数的单调性三角函数的周期性两角和与差的三角函数【解析】先对函数化简，然后根据周期定义即可求出周期，然后根据正弦函数的单调递增区间利用整体代换思想求出x的范围，再给k取值和定义域取交集即可求出单调递增区间，再根据单调递增区间即可求出最小值．【解答】（1）函数f(x)＝sin2x+sin x cos x+6cos2x＝＝sin8x+cos7x+＝sin(3x+）+，∴函数f(x)的最小正周期；（2）令，解得：，分别令k＝0]，x∈[]，又因为x∈[7, π]，所以函数f(x)在[0, π]上的单调增区间为，，又函数f(x)在[5, π]上，f（，∴f(x)min＝．如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π3，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN // 平面OCD；（2）求异面直线AB与MD所成角的余弦值．【答案】（1）证明：取OB中点E，连结ME，NE，∵ME // AB，AB // CD，∴ME // CD，又∵NE // OC，∴平面MNE // 平面OCD，∴MN // 平面OCD．（2）∵AB // CD，∴AB与直线MD所成的角为CD与MD所成的角∠MDC，∵AD=AB=BC=1，∠ABC=π3，∴AC=1，∵M为OA的中点，∴AM=1，∵OA⊥AD∴MD=MC=√2，cos∠MDC=2×1×√2=√24，∴异面直线AB与MD所成角的余弦值为√24．【考点】异面直线及其所成的角直线与平面平行的判定【解析】（1）取OB中点E，连结ME，NE，由已知条件推导出平面MNE // 平面OCD，由此能证明MN // 平面OCD．（2）由AB // CD，得AB与直线MD所成的角为∠MDC，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与MD所成角的余弦值．【解答】（1）证明：取OB中点E，连结ME，NE，∵ME // AB，AB // CD，∴ME // CD，又∵NE // OC，∴平面MNE // 平面OCD，∴MN // 平面OCD．（2）∵AB // CD，∴AB与直线MD所成的角为CD与MD所成的角∠MDC，∵AD=AB=BC=1，∠ABC=π3，∴AC=1，∵M为OA的中点，∴AM=1，∵OA⊥AD∴MD=MC=√2，cos∠MDC=2×1×√2=√24，∴异面直线AB与MD所成角的余弦值为√24．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD // BC // FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD．（1）证明：平面AMD⊥平面CDE；（2）求二面角A−CD−E的余弦值．【答案】如图所示，以A为原点，AD为y轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，依题意得B(1，6，C(1，1，D(7，2，E(0，4，F(0，0，．，，，，．故CE⊥AM，CE⊥AD．又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE设平面CDE的法向量为＝(x，y，则，于是，可得，1，1)又由题设，平面ACD的一个法向量为，8，1)，所以cos<>＝＝因为二面角A−CD−E为锐角，所以其余弦值为【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面AMD⊥平面CDE．（2）求出平面CDE的法向量和平面ACD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A−CD−E的余弦值．【解答】如图所示，以A为原点，AD为y轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，依题意得B(1，6，C(1，1，D(7，2，E(0，4，F(0，0，．，，，，．故CE⊥AM，CE⊥AD．又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE设平面CDE的法向量为＝(x，y，则，于是，可得，1，1)又由题设，平面ACD的一个法向量为，8，1)，所以cos<>＝＝因为二面角A−CD−E为锐角，所以其余弦值为。
天津市红桥区2020届高三数学上学期期中试题 理(无答案)新人教A版
高三数学（理）一、 选择题本大题共1O 小题，每小题5分，共50分，每小题有且仅有一个答案是正确的，请将正确结论的代号涂在答题卡上．1．复数21i i =+ ( ) A. 1i + B. 1i - C. 2i + D. 2i -2．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ì++?ïï-?íï£ïî，则24z x y =+的最小值为( ) A ． -14 B ．-15 C ．-16 D ．-173．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n s ，若336,12a s ==,则12s 等于( )A ． 288B ． 90C ．156.D ．1 264．已知2sin 3a =，cos(2)p a -= ( ) A ．53- B ．19- C ．19D ．53 5．某流程图如图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是( )A ．()x f x x= B ．2()lg(1)f x x x =+- C ．()x xx x e e f x e e--+=- D ．221()1x f x x -=+ 6 . 在正项等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +<?+=，则57a a =（ ） A ．56 B ．65 C . 23 D ．327．己知函数()sin()(0,0,)2f x A x A p w j w j =+>><的部分图像如图所示，则3()2f 等于（ ）A. 3-B. 3C. -lD. 18．已知函数()sin cos f x x x =-，且'()2()f x f x =，则tan 2x 的值是（ ）．A ．43-B ．43C ．34-D ．349．函数3sin(2)3y x p =-的图像为C ，如下结论中错误的是( ) A ．图像C 关于直线1112x p =对称 B ．图像C 关于点2(,0)3p 对称 C ．函数()f x 在区间5(,)1212p p -内是增函数 D ．由3sin 2y x =的图像向右平移3p 单位长度可以得到图像C ． 1 0．二次函数222y x x =-+与2(0,0)y x ax b a b =-++>>在它们的一个交点处 的切线互相垂直，则11a b+的最小值是( ) A ．165 B ．185 C ．4 D ．245二、填空题 本大题共8小题，每小题5分，共40分，请将答案直接填在题中的横线上．11. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，264,1s s a ==，则5a =______________．1 2．直线14y x b =-+是函数1()f x x=的切线，则实数b=_____________． 1 3．已知ABC D 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC D 的 最大边的边长是_____________．14. 2()()f x x x c =-在x=2处有极大值，则常数c 的值为___________． 1 5．已知变量x,y 满足约束条件1101x y x x y ì+?ïï+?íï-?ïî，则2x y e +的最大值是___________. 16．根据如图所示的程序框图，可知输出的结果i 为_____________．1 7．函数3()3f x x ax a =--在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围不为___________．18．定义“*”是一种运算，对于任意的x,y ，都满足()x y axy b x y *=++，其中a ，b 为正实数，已知124*=，则ab 取最大值时a 的值为__________．三、解答题 本大题共6小题，共60分．解答应写出必要的过程．1 9．（本小题8分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A =. (I)求cos()cos 2BC A ++的值：（Ⅱ）若4a b c =+=，求△ABC 的面积。
天津市红桥区2022届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2021-2022学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，4，5，6}，B={1，3，5}，则集合A∩B=( )A．{1，3，5} B．{1，5} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5.6}2．i 是虚数单位，复数=( )A ．B ．C ．D ．3．命题“对∀∈R，x2﹣3x+5≤0”的否定是( )A．∃x0∈R，x02﹣3x0+5≤0 B．∃x0∈R，x02﹣3x0+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0 D．∀x0∈R，x02﹣3x0+5＞04．某程序框图如图所示，则输出的结果S等于( )A．26 B．57 C．60 D．615．设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是( )A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，则k=( )A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣87．将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=8．如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=θ，点D为BC 的三等分点．则的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，3}，则A∩（∁U B）=__________．10．计算的值为__________．11．计算：log525+lg=__________．12．在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则△ABC的面积等于__________．13．设函数f（x）=，则f（f（﹣4））的值是__________．14．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=3，BD=4则线段AF的长为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，B={x|2a＜x＜a2+1}．（Ⅰ）当a=﹣2时，求A∪B；（Ⅱ）求使B⊆A的实数a的取值范围．16．（13分）在等差数列{a n}中，已知a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{a n}的前9项和S9；（Ⅲ）若，求数列{c n}的前n项和T n．17．（13分）已知cosθ=，（Ⅰ）求sin2θ的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．18．（13分）已知函数f（x）=sin2ωx+cos2ωx．（ω＞0）的最小正周期为4π，（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在上的最大值和最小值．19．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．20．（14分）已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．2021-2022学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，4，5，6}，B={1，3，5}，则集合A∩B=( )A．{1，3，5} B．{1，5} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5.6}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，4，5，6}，B={1，3，5}，∴A∩B={1，5}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．2．i 是虚数单位，复数=( )A ．B ．C ．D ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理力量与计算力量，属于基础题．3．命题“对∀∈R，x2﹣3x+5≤0”的否定是( )A．∃x0∈R，x02﹣3x0+5≤0 B．∃x0∈R，x02﹣3x0+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0 D．∀x0∈R，x02﹣3x0+5＞0【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易规律．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：由于全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对∀∈R，x2﹣3x+5≤0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣3x0+5＞0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4．某程序框图如图所示，则输出的结果S等于( ) A．26 B．57 C．60 D．61【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类争辩；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：k S 是否连续循环循环前1 1/第一圈2 4 是其次圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故最终的输出结果为：57故选：B．【点评】依据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．5．设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是( )A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log0.32＜0，0＜b=log32＜1，c=20.3＞1，∴c＞b＞a．故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．6．已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，则k=( )A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【考点】数量积推断两个平面对量的垂直关系．【专题】平面对量及应用．【分析】由向量的坐标运算易得的坐标，进而由可得它们的数量积为0，可得关于k的方程，解之可得答案．【解答】解：∵=（1，2），=（0，1），∴=（1，4），又由于，所以=k﹣8=0，解得k=8，故选C【点评】本题考查平面对量数量积和向量的垂直关系，属基础题．7．将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】依据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位，那么所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x ﹣）+]=sin（2x ﹣）=﹣cos2x，故最终所得函数的图象的一条对称轴方程为2x=kπ，即x=，k∈z，结合所给的选项可得只有B满足条件，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．8．如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=θ，点D为BC 的三等分点．则的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．【考点】平面对量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面对量及应用．【分析】直接利用向量的运算法则和数量积运算把化为2cos，然后由﹣1＜cosθ＜1求得答案．【解答】解：∵====，∴=（）•（）=﹣==2cos．∵﹣1＜cosθ＜1，∴﹣＜2cosθ+＜．∴∈（﹣）．故选：D．【点评】本题考查平面对量的数量积运算，娴熟把握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键，是中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，3}，则A∩（∁U B）={1，5}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】进行集合的补集、交集运算即可．【解答】解：∁U B={1，4，5，6}；∴A∩（∁U B）={1，5}．故答案为：{1，5}．【点评】考查列举法表示集合，全集的概念，以及补集、交集的运算．10．计算的值为﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，娴熟把握诱导公式是解本题的关键．11．计算：log525+lg =．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log525+lg=2﹣2++1=故答案为：．【点评】本题考查导数的运算法则的应用，考查计算力量．12．在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则△ABC 的面积等于．【考点】余弦定理；三角形的面积公式．【专题】计算题；解三角形．【分析】通过余弦定理求出AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：设AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即7=c2+4﹣2×2×c×cos60°，c2﹣2c﹣3=0，又c＞0，∴c=3．S△ABC =AB•BCsinB=BC•h可知S△ABC ==．故答案为：【点评】本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算力量．13．设函数f（x）=，则f（f（﹣4））的值是4．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（﹣4））=f（16）=log216=4．故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算力量．14．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=3，BD=4则线段AF的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】综合题；选作题；转化思想；综合法．【分析】由切割线定理得到AE2=EB•ED=EB（EB+BD），求出EB=5，由已知条件推导出四边形AEBC 是平行四边形，从而得到AC=AB=BE=5，BC=AE=3，由△AFC∽△DFB，能求出CF的长．【解答】解：∵AB=AC，AE=3，BD=4，梯形ABCD中，AC∥BD，BD=4，由切割线定理可知：AE2=EB•ED=EB（EB+BD），即45=BE（BE+4），解得EB=5，∵AC∥BD，∴AC∥BE，∵过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，∴∠BAE=∠C，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，∴四边形AEBC 是平行四边形，∴EB=AC ，∴AC=AB=BE=5，∴BC=AE=3，∵△AFC∽△DFB，∴=，即=，解得CF=．故答案为：．【点评】本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意切割线定理的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，B={x|2a＜x＜a2+1}．（Ⅰ）当a=﹣2时，求A∪B；（Ⅱ）求使B⊆A的实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系推断及应用；并集及其运算．【专题】分类争辩；分类法；集合．【分析】由已知中集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，集合B={x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，我们先对a 进行分类争辩后，求出集合A，B，再由B⊆A，我们易构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到实数a的取值范围【解答】（Ⅰ）解：当a=﹣2时，A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣4＜x＜5}，∴A∪B={x|﹣5＜x＜5}．（Ⅱ）∵B={x|2a＜x＜a2+1}当时，2＞3a+1，A={x|3a+1＜x＜2}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣要使B⊆A必需此时a=﹣1，当时，A=ϕ，使B⊆A的a不存在；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，2＜3a+1，A={x|2＜x＜3a+1}要使B⊆A必需，故1≤a≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上可知，使的实数a的取值范围为[1，3]∪{﹣1}．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题考查集合的基本运算，集合关系中的参数取值问题，考查计算力量，分类争辩思想的应用16．（13分）在等差数列{a n}中，已知a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{a n}的前9项和S9；（Ⅲ）若，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出；（II）利用等差数列的前n项和公式即可得出；（III）利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，得，解得a1=﹣3，d=2，∴a n=2n﹣5．（Ⅱ）S9=9a1+36d=9×（﹣3）+36×2=45．（Ⅲ）由（Ⅰ），∴{c n}是首项c1=1，公比q=4的等比数列，∴．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．17．（13分）已知cosθ=，（Ⅰ）求sin2θ的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数关系式可求sinθ的值，依据二倍角的正弦函数公式即可求值．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论及两角和的余弦函数公式即可求值得解．（Ⅲ）利用同角三角函数关系式可求tanθ的值，依据两角和的正切函数公式即可求值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式，结论1分）﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式，结论1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∴=cosθcos﹣sin ==．﹣﹣﹣﹣（公式，函数值，结论1分）﹣﹣（Ⅲ）∵，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式1分）∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式，结论1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的正弦函数公式、余弦函数公式、正切函数公式的应用，考查了计算力量，属于基础题．18．（13分）已知函数f（x）=sin2ωx+cos2ωx．（ω＞0）的最小正周期为4π，（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数y=f（x ）的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x ）在上的最大值和最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式化简可得解析式：f（x）=sin（2ωx+），由周期公式可求ω，解得函数解析式，由，k∈Z*，即可解得f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得解析式，由正弦函数的图象和性质，即可求得函数g（x ）在上的最大值和最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由于，（公式2分）又由于，所以；（公式，结论1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得：．当，k∈Z*，函数f（x）单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数f（x ）的单调递减区间为k∈Z*．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）将函数y=f（x ）的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣g（x ）在上单调递增，在上单调递减，，，所以g（x ）在上最大值为，最小值为．（单调性，结论各1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，周期公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．19．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；转化思想；解题方法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式．（Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值．（Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，又f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1得2ax+a+b=2x﹣1，故解得：a=1，b=﹣2，所以f（x）=x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（a，b，c各，解析式1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，对称轴为x=1∈[﹣1，2]，故f min（x）=f（1）=1，又f（﹣1）=5，f（2）=2，所以f max（x）=f（﹣1）=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，则满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算力量．20．（14分）已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【考点】利用导数争辩曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的导数值等于切线的斜率为﹣6，即可求实数a；（Ⅱ）通过a=1，利用导函数为0，推断导数符号，即可求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，利用导函数的单调性，通过f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，即可求出a，然后求f（x）在该区间上的最大值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由于f′（x）=﹣x2+x+2a，曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率k=f′（2）=2a﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣依题意：2a﹣2=﹣6，a=﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a=1时，，f′（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2）﹣﹣﹣﹣x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，2） 2 （2，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调减单调增单调减所以，f（x）的极大值为，f（x）的微小值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）令f′（x）=0，得，，f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2），f（4）＜f（1），所以f（x）在[1，4]上的最小值为，解得：a=1，x2=2．故f（x）在[1，4]上的最大值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查导数的综合应用，切线方程以及极值的求法，函数的单调性与函数的最值的关系，考查转化思想以及计算力量．。
天津市部分区高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届天津市部分区高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U A B ⋂=ð（ ） A ．{}2,5 B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8【答案】A【解析】{}2,5,8U B =ð,所以{}2,5U A B ⋂=ð，故选A. 【考点】集合的运算.2．i 是虚数单位，复数734ii+=+ A ．1i - B ．1i -+C ．17312525i + D ．172577i -+ 【答案】A【解析】试题分析：()()()()()()7342142837134343425i i i ii i i i +-++-++===-++-，故选A ． 【考点】复数的运算． 3．2532()x x-展开式中的常数项是 （ ） A ．80- B ．40C ．80D ．40-【答案】B【解析】分析：求出二项展开式的通项，令x 的次数等于零可求得常数项．详解：二项式5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为2510515532()()(2),0,1,2,,5r r rr r r r T C x C x r x--+=-=-=L ． 令2r =，可得2335(2)40T C =-=，即展开式中的常数项是40． 故选B ．点睛：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1k n k kk n T C a b =－＋的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0，1，2，…，n )．求常数项时，即这项中不含“变元”，可令通项中“变元”的幂指数为0建立方程，求得k 后可得所求．4．设x ∈R ，则“|x －1|<1”是“x 2－x －2<0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】解出不等式，通过充分条件与必要的概念即可判断出关系． 【详解】由11x -<，解得：01x <<， 由220x x --<，解得：12x -<<，而集合{}01x x <<是{}12x x -<<的真子集， ∴“11x -<”是“220x x --<”的充分不必要条件， 故选：B ． 【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．16【答案】B【解析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案． 【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ， 即仅第一个实习生加工一等品为事件1A ， 仅第二个实习生加工一等品为事件2A 两种情况，则()()()125113164643P A P A P A =+=⨯+⨯=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系，属于基础题.6．函数212()log (9)f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(3,)+∞D ．(,3)-∞- 【答案】D【解析】试题分析：因为290x ->，所以3x >或3x <-，由于函数29y x =-在(),3-∞-上递减，函数12log y x =在定义域内递减，根据复合函数单调性得性质可知函数212()log (9)f x x =-的单调递增区间为(,3)-∞-，故选D.【考点】1、函数的定义域；2、函数的单调性. 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝23π-对称的是( ) A ．y ＝sin (2x ＋6π) B ．y ＝sin (2x ＋3π) C ．y ＝sin (2x －3π) D ．y ＝sin (2x －6π) 【答案】D【解析】结合正弦函数的周期公式及正弦函数在对称轴处取得函数的最值即可进行判断即可. 【详解】对于A ：sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当23x π=-时，12y =，不是最值，不满足题意；对于B ：1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当23x π=-时，0y =，不是最值，不满足题意； 对于C ：1sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当23x π=-时，12y =不是最值，不满足题意；对于D ：sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当23x π=-时，1y =-，且最小正周期T π=，符合题意， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的周期性和图象的对称性，属于基础题． 8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N )，且a 1＝2，则a 10＝( ) A ．54 B ．55C ．56D ．57【答案】C【解析】根据数列递推式的特征，利用累加法转化求解即可． 【详解】数列{}n a 满足()*11n n a a n n N +=++∈，且12a=，可得2111a a =++，3221a a =++，…10991a a =++，累加可得：()101123456789956a a =++++++++++=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．9．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，12BE BC =u u u r u u u r，13DF DC =u u u r u u u r .则BF DE ⋅u u u r u u u r＝( )A ．223-B ．23C ．56D ．223 【答案】A【解析】根据题意，AC BD ⊥，从而可分别以直线AC ，BD 为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，并根据条件可求出B ，C ，D 三点的坐标，进而根据12BE BC =u u u r u u u r ，13DF DC =u u u r u u u r可求出E ，F 点的坐标，从而得出向量BF u u u r ，DE u u u r的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可． 【详解】根据题意，分别以直线AC ，BD 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，根据菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒可求出以下几点的坐标：(03B ，()10C ，，(03D ，， ∵1 2BE BC =u u u r u u u r ，13DF DC =u u u r u u u r ，∴12DF FC =，∴13,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3133F ⎛ ⎝⎭，， ∴1533BF ⎛= ⎝⎭u u u r ，133 ,2DE ⎛= ⎝⎭u u u r ，∴22311562BF DE ⋅==--u u u r u u u r ，故选：A ． 【点睛】本题考查了通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，中点坐标和定比分点坐标公式，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于中档题．二、填空题10．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的导函数为__________. 【答案】()ln xf x a a '=【解析】直接根据指数函数的导数公式即可得结果. 【详解】由指数函数求导得()ln xf x a a '=⋅，故答案为：()ln xf x a a '=⋅．【点睛】本题考查了指数函数的导数公式，属于基础题11．在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AC BC ＝3，则sin ∠BAC ＝__________.【解析】直接利用正弦定理，计算即可求解. 【详解】∵45ABC ∠=︒，AC =3BC =，由正弦定理可得，sin sin 453BAC =∠︒，则310sin BAC ∠==，. 【点睛】本题主要考查三角形的正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．12．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则从四年级本科生中抽取的人数比一年级本科生中抽取的人数多__________名学生. 【答案】30【解析】根据样本容量及各年级人数比，求出四年级本科生中抽取的人数和一年级本科生中抽取的人数即可． 【详解】依题意，四年级本科生中抽取的人数为：6300904556⨯=+++，一年级本科生中抽取的人数为：4300604556⨯=+++，故四年级本科生中抽取的人数和一年级本科生中抽取的人数多906030-=人， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，是解题的关键，属于基础题．13．某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答) 【答案】30【解析】试题分析：由题意可知，这位同学可以从A 类选修课中选1门，从B 类选修课中选2门，也可以从A 类选修课中选2门，从B 类选修课中选1门，所以不同的选法共有12213434181230.C C C C ⨯+⨯=+=【考点】本小题主要考查组合的应用.点评：其实排列组合的应用的基础还是分类加法计数原理和分步乘法计数原理.14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱柱)高为4，体积为16，则这个球的表面积是__________.(参考公式：球的表面积S ＝4πR 2) 【答案】24π【解析】先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积． 【详解】各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，它的底面边长是：2，所以它的体对角线的长是：球的直径是：所以这个球的表面积是：2424ππ=，故答案为：24π. 【点睛】本题主要考查正四棱柱的外接球的表面积，考查了学生的计算能力，属于基础题．15．己知x >0，y >0，且211x y+=，若x ＋2y ≥m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围________. 【答案】[4,2]-【解析】由211x y +=，可得()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开，利用基本不等式可求2x y +得最小值，不等式等价于()2min 22m m x y +≤+，据此求出m 的取值范围即可.【详解】由211x y +=，可得()142244824x y x y x y y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 而222x y m m +≥+恒成立()2min 22m m x y ⇔+≤+，所以228m m +≤恒成立，即2280m m +-≤恒成立， 解得42m -≤≤， 故答案为：[4,2]-. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质，以及一元二次不等式的解法的运用，属于中档题.三、解答题16．已知函数1()ln f x x x=-. (I)求f (x )的单调区间；(II)若f (a ＋2)<f (a 2)(a ∈R )，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递减区间为()0,∞+，无增区间；（Ⅱ）10a -<<或02a <<. 【解析】（I ）求导，判断()f x '与0的关系，即可得出函数的单调性；（II ）根据函数的单调性，得出满足条件的不等式组，解出即可． 【详解】解：（Ⅰ）()f x 定义域为()0,∞+ ∵()221111f x x x xx ⎛⎫=--=-+ ⎝'⎪⎭，且0x > ∴ ()0f x '<在()0,∞+上恒成立. 即()f x 单调递减区间为()0,∞+.（Ⅱ）()()22f a f a +<等价于222002a a a a +>⎧⎪>⎨⎪+>⎩，解不等式组得10a -<<或02a <<. 即a 的取值范围为10a -<<或02a <<. 【点睛】本题主要考查了函数的导数与单调性的关系，利用单调性解不等式，属于中档题． 17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .8csinA ＝atanC .(I)求cosC ；(II)若52CA CB ⋅=u u u r u u u r ，且a ＋b ＝9，求c .【答案】（Ⅰ）1cos 8C =（Ⅱ）6【解析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理得sin 8sin sin sin cos CC A AC=，化简可求cos C 的值；（Ⅱ）由已知利用平面向量数量积的运算可求20ab =，又9a b +=，可得2241a b +=，进而根据余弦定理可求c 的值．【详解】解：（Ⅰ）由正弦定理得sin 8sin sin sin cos CC A AC=， 化简得1cos 8C = （Ⅱ）∵52CB CA ⋅=u u u r u u u r ，∴5cos 2ab C =，∴20ab =又∵9a b +=，∴22281a ab b ++=． ∴2241a b +=．∴2222cos 36c a b ab C =+-=． ∴6c =. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，平面向量数量积的运算，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．己知甲盒内有大小相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球. (I)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(II)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）25（Ⅱ）分布列见解析，数学期望2215【解析】（Ⅰ）利用互斥事件的概率和计算所求概率值；（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出ξ的分布列，求出数学期望值． 【详解】解：（Ⅰ）设“取出的4个球中恰有1个红球”为事件A ，11221112322322352()5C C C C C C P A C C +== （Ⅱ）ξ可能的取值为0123，，，．222322351(0)10C C P C C ξ===由（Ⅰ）2(1)5P ξ==， 111122122322223513(2)30C C C C C C P C C ξ+===，11212222351(3)15C C C P C C ξ===.ξ的分布列为 ξ123P110 25 1330 115ξ的数学期望12131220123105301515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，属于中档题． 19．如图，已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝60°，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.(I)证明：AE ⊥PD ； (II)设AB ＝PA ＝2，①求异面直线PB 与AD 所成角的正弦值； ②求二面角E －AF －C 的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）①4②5 【解析】（Ⅰ）通过AE BC ⊥得到AE AD ⊥，再证明PA AE ⊥，AE ⊥平面P AD ，然后证明AE PD ⊥；（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，①求出()BP =u u u r ，()020AD =u u u r ，，，得到异面直线PB 与AD 所成角的正弦函数值；②求出平面AEF 的一法向量，平面AFC 的一法向量，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值．【详解】（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，可得ABC ∆为正三角形.因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥.而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD .所以AE PD ⊥（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,AE AD AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，又,E F 分别为,BC PC 的中点，所以(0,0,0)A，1,0)B -，C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P，E，1,,1)22F ，①(2),(0,2,0)BP AD ==u u u v u u u v ,.∴cos ,||BP AD BP AD BP AD ⋅===⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v , 设异面直线PB 与AD 所成角为α，∴sin 4α=②1,1).2AE AF ==u u u r u u u r 设平面AEF 的一法向量为111(,,),m x y z =u r则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，因此11110,10.2x y z =++= 取11,(0,2,1),z m =-=-v 则因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A =I ，所以 BD AFC ⊥平面，故BD u u u r 为平面AFC 的一法向量.又BD u u u r=()， 所以 cos ,m BD u u u v v=5m BD m BD⋅==u u u v v u u u v v . 因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5 【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量夹角求空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()1141n n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）2,2122,21n n n n T n n n ⎧⎪⎪+=⎨+⎪⎪+⎩为偶数为奇数 【解析】（1）根据等差数列的性质得出()()2111122412,1a a a a +=+=运用通项公式求解即可．（2）由（1）可得()11112121n n b n n -⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭.对n 分类讨论“裂项相消求和”即可得出.【详解】（1）∵等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1、S 2、S 4成等比数列． ∴S n ＝na 1+n （n ﹣1）（2a 1+2）2＝a 1（4a 1+12），a 1＝1，∴a n ＝2n ﹣1；（2）∵由（1）可得()()111411112121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-+ ⎪-+⎝⎭， 当n 为偶数时，T n ＝11111111113355723212121n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1212121n n n =-=++． 当n 为奇数时，11111111113355723212121n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-⋯-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 12212121n n n +=+=++ ． 2,2122,21n n n n T n n n ⎧⎪⎪+∴=⎨+⎪⎪+⎩为偶数为奇数． 【点睛】本题考查了等差数列等比数列的定义，性质，公式，分类讨论思想，裂项相消求和，属于中档题．。
2023-2024学年天津市红桥区高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{|0}1xA x x =<−，{|03}B x x =<<，那么“m A ∈”是“m B ∈”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设集合2{|40}A x x =−，{|20}B x x a =+，且{|21}A B x x =−，则(a = )A ．4−B ．2−C ．2D ．43．已知(sin ,cos )a αα=，(2,1)b =−，若a b ⊥，则tan α的值为( ) A ．2−B ．2C ．12D ．12−4．将函数sin()3y x π=−的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是( ) A ．1sin 2y x =B ．1sin()22y x π=−C ．1sin()26y x π=−D ．sin(2)6y x π=−5．设13log 2a =，121log 3b =，0.31()2c =，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<6．已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为( ) A ．92πB ．6πC ．9πD ．18π7．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a −=，等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，则5(b = ) A ．32B ．64C ．128D ．2568．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x xf x ='的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有两个极小值C ．(0)f 为函数的极小值D ．(1)f −为()f x 的极小值9．设函数22,0(),0ax x x f x ax x x ⎧+=⎨−+<⎩当1[2x ∈−，1]2时，恒有()()f x a f x +<，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．(−C ．，0)D ．，1]2−二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．已知函数32()1f x ax x =−+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是 ．11．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =、若1a 、2a 、5a 成等比数列，则n a =（5分） 12．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，且3AC BC ==，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅= ．13．已知函数()sin(2)4f x x π=−，则()f x 的最小正周期为 ；()f x 在区间3[,]88ππ上的取值范围是 ．14．已知向量(2,1)a =−，(1,)b m =−，(1,2)c =−，若()//a b c +，则m = ；若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围为 ． 15．若正实数x ，y 满足141x y+=，且不等式234yx m m +>−恒成立，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B ． （1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin 2sin C A =，求a ，c 的值．17．（15分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C −中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点．14AA AB ==，6BC =． （Ⅰ）证明：1//AB 平面1BC D ． （Ⅱ）求二面角1C BD C −−的余弦值．18．（15分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，*3(1)()n n S na n n n N =−−∈，且212a =． （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求证：1113ni i S =<∑． 19．（15分）已知函数2()(1)f x x a x a =−++， （1）当2a =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集； （2）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（3）若()20f x x +在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 20．（16分）已知函数2()1f x x alnx =−−．（1）若()f x 的单调递增区间为[2，)+∞，求a 的值． （2）求()f x 在[1，)+∞上的最小值．2023-2024学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{|0}1xA x x =<−，{|03}B x x =<<，那么“m A ∈”是“m B ∈”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由01xx <−得01x <<，即{|01}A x x =<<， 分析可得A B ，即可知“m A ∈”是“m B ∈”的充分而不必要条件，故选：A ．2．设集合2{|40}A x x =−，{|20}B x x a =+，且{|21}A B x x =−，则(a = )A ．4−B ．2−C ．2D ．4解：集合2{|40}{|22}A x x x x =−=−，1{|20}{|}2B x x a x x a =+=−，由{|21}AB x x =−，可得112a −=，则2a =−．故选：B ．3．已知(sin ,cos )a αα=，(2,1)b =−，若a b ⊥，则tan α的值为( ) A ．2− B ．2C ．12D ．12−解：(sin ,cos )a αα=，(2,1)b =−，a b ⊥，∴2sin cos 0a b αα=−+=，cos 2sin αα∴=， sin 1tan cos 2ααα∴==． 故选：C ．4．将函数sin()3y x π=−的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是( ) A ．1sin 2y x =B ．1sin()22y x π=−C ．1sin()26y x π=−D ．sin(2)6y x π=−解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数1sin()23y x π=−，再将所得的图象向左平移3π个单位，得函数1sin[()]233y x ππ=+−，即1sin()26y x π=−，故选：C ．5．设13log 2a =，121log 3b =，0.31()2c =，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<解：1133log 210a log =<=， 112211log 132b log =>=， 0.30110()()122c <=<=，a cb ∴<<． 故选：D ．6．已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为( ) A ．92π B ．6π C ．9π D ．18π解：设正方体的棱长为a ，其外接球的半径为R ， 因为正方体的表面积为18， 所以2618a =，所以23,a a = 所以22(2)39R a ==，得32R =， 所以正方体外接球的体积为334439()3322R πππ==，故选：A ．7．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a −=，等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，则5(b = ) A ．32B ．64C ．128D ．256解：等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a −=，∴12102a d d +=⎧⎨=⎩，则14a =，2d =， 则34228a =+⨯=，742616a =+⨯=，则238b a ==，3716b a ==，则公比321628b q b ===， 则25316464b b q ==⨯=， 故选：B ．8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x xf x ='的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有两个极小值C ．(0)f 为函数的极小值D ．(1)f −为()f x 的极小值解：由函数()()g x xf x '=的图象， 可得当(,2)x ∈−∞−时，()0xf x '>， 所以()0f x '<，()f x 单调递减； 当(2,0)x ∈−时，()0xf x '<， 所以()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,1)x ∈时，()0xf x '<， 所以()0f x '<，()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0xf x '>， 所以()0f x '>，()f x 单调递增，综上，当2x =−时，函数()f x 取得极小值； 当0x =时，函数()f x 取得极大值； 当1x =时，函数()f x 取得极小值， 故选项ABC 错误，选项B 正确． 故选：B ．9．设函数22,0(),0ax x x f x ax x x ⎧+=⎨−+<⎩当1[2x ∈−，1]2时，恒有()()f x a f x +<，则实数a 的取值范围是( ) A．B．(− C．，0)D．，1]2−解：0a =时，显然不符题意；当1[2x ∈−，1]2时，恒有()()f x a f x +<，即为()f x 的图象恒在()f x a +的图象之上， 则0a <，即()f x 的图象右移． 故A ，B 错；画出函数22,0()(0),0ax x x f x a ax x x ⎧+=<⎨−+<⎩的图象， 当12x =−时，111()242f a −=−−；而22(),()(),a x a x a x af x a a x a x a x a ⎧+++−+=⎨−+++<−⎩， 则12x =−时，由21111()2242a a a a −−++−=−−，解得a =， 随着()f x a +的图象左移至()f x 的过程中，均有()f x 的图象恒在()f x a +的图象上，则a 的范围是，0)，故选：C ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．已知函数32()1f x ax x =−+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是 2(,)3+∞ ．解：函数32()1f x ax x =−+． 可得2()32f x ax x '=−．函数32()1f x ax x =−+在(0,1)上有增区间，可知导函数在(0,1)上有极值点，导函数在(0,1)上有解，或0a =时，2320ax x −恒成立（显然不成立）． 可得2(0,1)3a ∈，解得：23a >， 故答案为：2(,)3+∞．11．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =、若1a 、2a 、5a 成等比数列，则n a = 21n − 解：设公差为d ，则21a d =+，514a d =+， 则21(14)(1)d d ⨯+=+，2d ∴=， 21n a n ∴=−， 故答案为：21n −．12．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，且3AC BC ==，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅= 3 ．解法一：因为点M 满足2BM MA =，90C ∠=︒，且3AC BC ==， 所以1112()3333CM CA AM CA AB CA CB CA CB CA =+=+=+−=+，所以2212121()3333333CM CB CB CA CB CB CA CB ⋅=+⋅=+⋅=⨯=．解法二：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则(3,0)A ，(0,3)B ，设(,)M x y ，则由2BM MA =，得2(3)32x x y y =−⎧⎨−=−⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即M 点的坐标为(2,1)，所以(2,1),(0,3)CM CB ==， 所以20133CM CB ⋅=⨯+⨯=． 故答案为：3．13．已知函数()sin(2)4f x x π=−，则()f x 的最小正周期为 π ；()f x 在区间3[,]88ππ上的取值范围是 ．解：由函数()f x 的解析式，可得最小正周期22T ππ==； 3[,]88x ππ∈，可得2[04x π−∈，]2π，所以()[()8f x f π∈，3()][08f π=，1]．所以()f x 在区间3[,]88ππ上的取值范围是[0，1]．故答案为：π；[0，1]．14．已知向量(2,1)a =−，(1,)b m =−，(1,2)c =−，若()//a b c +，则m = 1− ；若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围为 ．解：根据题意，向量(2,1)a =−，(1,)b m =−，(1,2)c =−，则(1,1)a b m +=−， 若()//a b c +，则有2(1)m =−−，解可得1m =−；若a 与b 的夹角为钝角，则2021a b m m ⎧⋅=−−<⎪⎨≠⎪⎩，解可得2m >−且12m ≠，即m 的取值范围为{|2m m >−且1}2m ≠；故答案为：1−，{|2m m >−且1}2m ≠．15．若正实数x ，y 满足141x y+=，且不等式234yx m m +>−恒成立，则实数m 的取值范围是 (1,4)− ．解：因为正实数x ，y 满足141x y+=， 所以144()()22244444y y y x y x x x y x y x +=++=+++=， 当且仅当44y x x y =且141x y+=，即2x =，8y =时取等号，则4yx +的最小值4， 因为234yx m m +>−恒成立， 所以234m m −<，解得14m −<<． 故m 的范围为(1,4)−． 故答案为：(1,4)−．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B ． （1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin 2sin C A =，求a ，c 的值．解：（1）sin cos b A B ，由正弦定理可得sin sin cos B A A B ，即得tan B ， 由于：0B π<<， ∴3B π=．（2）sin 2sin C A =， 由正弦定理得2c a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+−， 229422cos3a a a a π=+−⋅，解得a =∴2c a ==．故a =c =17．（15分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C −中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点．14AA AB ==，6BC =． （Ⅰ）证明：1//AB 平面1BC D ． （Ⅱ）求二面角1C BD C −−的余弦值．（Ⅰ）证明：如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD ，因为四边形11BCC B 是平行四边形，所以点O 为1B C 的中点，因为D 为AC 的中点，所以OD 为△1AB C 的中位线， 所以1//OD AB ，因为OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊂/平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ；（Ⅱ）解：因为三棱柱111ABC A B C −中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥， 所以11B C ，1B B ，11B A 两两互相垂直，以1B 为原点，11B C ，1B B ，11B A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(6C ，0，0)，(0B ，4，0)，(6C ，4，0)，(3D ，4，2)，所以(3,0,2)BD =，1(6,4,0)BC =−，设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1320640n BD x z n BC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩，解得3232z x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 取2x =，得3y =，3z =−，所以(2,3,3)n =−， 由题知平面BCD 得一个法向量为(0,1,0)m =，所以cos ,||||14m n m n m n ⋅<>==⨯由图可知，二面角1C BD C −−为锐二面角，所以二面角1C BD C −−． 18．（15分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，*3(1)()n n S na n n n N =−−∈，且212a =． （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）求证：1113n i i S =<∑． （Ⅰ）解：由3(1)n n S na n n =−−，得122232(21)a a a +=−⨯⨯−， 即126a a =−，212a =，11266a ∴=−=；（Ⅱ）解：由3(1)n n S na n n =−−，得11(1)3(1)(2)(2)n n S n a n n n −−=−−−−，两式作差得：1(1)66n n n a na n a n −=−−−+，即16(2)n n a a n −−=． ∴数列{}n a 是以6为首项，以6为公差的等差数列， 66(1)6n a n n ∴=+−=；（Ⅲ）证明：6(1)63(1)2n n n S n n n −=+=+， 则11111()3(1)31n S n n n n ==−++， ∴1121111111111111(1)(1)32231313n i i n S S S S n n n ==++⋯+=−+−+⋯+−=−<++∑． 19．（15分）已知函数2()(1)f x x a x a =−++，（1）当2a =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（3）若()20f x x +在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）当2a =时，则2()32f x x x =−+，由()0f x >，得2320x x −+>， 令2320x x −+=，解得1x =，或2x =∴原不等式的解集为(−∞，1)(2⋃，)+∞（2）由()0f x <得()(1)0x a x −−<，令()(1)0x a x −−=，得1x a =，21x =，5⋯ 分， 当1a >时，原不等式的解集为(1,)a ；6⋯ 分， 当1a =时，原不等式的解集为∅；⋯（7分）， 当1a <时，原不等式的解集为(,1)a ．⋯（8分）．（2）由()20f x x +即20x ax x a −++在(1,)+∞上恒成立， 得2..91x x a x +⋯− 分， 令1(0)t x t =−>，则22(1)1232231x x t t t x t t++++==+++−，13⋯ 分∴223a +．故实数a 的取值范围是(3]14−∞⋯ 分20．（16分）已知函数2()1f x x alnx =−−．（1）若()f x 的单调递增区间为[2，)+∞，求a 的值．（2）求()f x 在[1，)+∞上的最小值．解：（1）已知2()1f x x alnx =−−，函数定义域为(0,)+∞可得22()2a x a f x x x x−'=−=， 若函数()f x 的单调增区间为[2，)+∞，此时0a >；当)x ∈+∞时，()0f x '，所以函数的单调递增区间为)+∞．2=， 解得8a =；（2）易知22()x a f x x−'=，[1x ∈，)+∞ 当0a 时，()0f x '，函数()f x 在[1，)+∞上单调递增， 所以()f x f （1）0=；②当0a >，当x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 12a ，即02a <时， 函数()f x 在[1，)+∞单调递增，此时()f x f （1）0=，1>，即2a >时，函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增； 此时()()12222a a a a f x f ln =−−． 综上所述：当2a 时，最小值为0；当2a >时，最小值为1222a a a ln −−．。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷上学期期中考试数学试卷带解析
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷上学期期中考试数学试卷带解析创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重 创作单位： 博恒中英学校一、填空题1．若集合2{|lg(2)}A x y x x ==-，|2,0x B y y x ，则集合A B =．【答案】(1,2) 【解析】试题分析：22{|lg(2)}{|20}(0,2)A x y x x x x x ==-=->=，|2,0(1,)x B y y x ，则A B =(1,2)考点：集合运算2．cos 2cos 0,sin 2sin ________.θθθθ+=+若则的值等于 【答案】【解析】略3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 1.a ≤ 【解析】试题分析：由题意得：440 1.a a ∆=-≥⇒≤考点：命题真假4．直线kx -y +1-3k =0,当k 变化时,所有直线恒过定点_____________. 【答案】 (3,1)【解析】直线可以为y -1=k (x -3),∴过定点(3,1).5．已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+,当直线被椭圆截得的弦最长时的直线方程为____________.【答案】y x = 【解析】略6．函数()sin 3(0)f x x x x π=--≤≤的单调增区间是________．【答案】[,0]6π-【解析】试题分析：因为()sin 2sin()3f x x x x π==-，所以由22()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得522()66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又0x π-≤≤，因此单调增区间是[,0]6π-．考点：三角函数单调区间 7．已知函数2()ay x a R x=+∈在1=x 处的切线与直线210x y -+=平行，则a 的值为________． 【答案】0.a = 【解析】试题分析：因为22ay x x '=-，所以22,0.a a -==考点：导数几何意义8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，则满足不等式1(lg)10xf f <（）的x 取值范围是________． 【答案】10001x x ><<或 【解析】 试题分析：由题意得：1(|lg|)1|lg |lg 1lg 11000110101010x x x xf f x x <⇒<⇒><-⇒><<（））或或考点：函数奇偶性及单调性9．在ABC ∆中，若22()||5CA CB AB AB +⋅=，则tan tan AB= . 【答案】73【解析】试题分析：22()||5CA CB AB AB +⋅=⇒22||5CA AB CB AB AB ⋅+⋅=⇒22cos cos 5bc A ac B c -+=5cos 5cos 2a B b A c⇒-=5sin cos 5sin cos 2sin A B B A C⇒-=5sin cos 5sin cos 2sin()A B B A A B ⇒-=+5sin cos 5sin cos 2sin cos 2cos sin A B B A A B A B ⇒-=+⇒3sin cos 7sin cos A B B A =sin cos 7sin cos 3A B B A ⇒=tan 7tan 3A B ⇒=.考点：平面向量的数量积、正弦定理.10．在ABC ∆中，若5,12,||||AB AC AB AC BC ==+=，则||BA BCBC ⋅的值为________．【答案】25.13【解析】试题分析：由题意得：AB AC ⊥，因此225.13||||BA BC BA BC BC ⋅== 考点：向量数量积11．已知a 为正实数，函数2()2f x x x a =-+，且对任意的[0,]x a ∈，都有()[,]f x a a ∈-，则实数a 的取值范围为________． 【答案】0 2.a <≤ 【解析】试题分析：当01a <<时，(0),()f a f a a ≤≥-，即22,a a a a -+≥-因此01a <<；当1a ≥时，(0),(1),()f a f a f a a ≤≥-≤，即212,2,a a a a a a -+≥--+≤因此12a ≤≤；综上实数a 的取值范围为0 2.a <≤ 考点：二次函数最值 12．椭圆M ：的左，右焦点分别为，P 为椭圆M 上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________． 【答案】【解析】∵的最大值为，∴由题意知，∴，∴，∴椭圆离心率e 的取值范围是．13．已知函数21,0,(),2,0x xe x f x e x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是________．【答案】1(1,1)e + 【解析】试题分析：10,(),()0, 1.x x x x f x xe f x e xe x e '≤=+=+==-因此：当1x ≤-时，1()0,()[0,)f x f x e'≤∈；当10x -<≤时，()[1,)f x ∈-+∞1()0,()(0,]f x f x e '>∈；当01x <<时，()(1,0)f x ∈-；当1x ≥时，；(())0()1()2f f x a f x a f x a -=⇒-=--=或，因为函数(())y f f x a =-有四个零点，因此11(0,)a e -∈，实数a 的所有可能取值构成的集合是1(1,1)e + 考点：函数零点14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点，点M 为AB 中点，若直线:5l y kx k =-上存在点P ，使得30OPM ∠=，则实数k 的取值范围为________． 【答案】22k -≤≤ 【解析】试题分析：因为点M 为AB 中点，所以112OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM 为单位圆切线时，OPM ∠取最大值，即30OPM ∠≥，从而12sin OP OPM =≤∠，因此原点到直线:l y kx =-距离不大于2，即222k ≤⇒-≤≤考点：直线与圆位置关系 【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系． 3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题． 二、推断题 三、解答题15．（本小题满分为14分）已知函数()2cos()(05)63f x x x ππ=+≤≤，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．（1）求点B A ,的坐标以及⋅的值；（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求)22sin(βα-的值．【答案】（1）)2,4(),1,0(-B A ，2-=⋅→→OB OA ；（2）1027. 【解析】试题分析：（1）首先由50≤≤x 可知21)36cos(1≤+≤-ππx ，即函数)(x f y =的最高点和最低点的纵坐标分别为1,21-，于是可分别求出其对应的自变量x 的取值范围，进而求出点B A ,的坐标，最后运用向量数量积的坐标运算即可求出⋅的值；（2）直接根据三角函数的定义可得55sin ,2-==βπα，然后运用倍角公式分别求出β2sin 和β2cos ，最后由两角和差的正弦公式即可求出所求的结果. 试题解析：（1）因为50≤≤x ，所以67363ππππ≤+≤x ，所以21)36cos(1≤+≤-ππx ，当336πππ=+x ，即0=x 时，)(x f 取得最大值1；当πππ=+36x ，即4=x 时，)(x f 取得最大值-2，因此，所求的坐标为)2,4(),1,0(-B A ，则)2,4(),1,0(-==→→OB OA ，所以2-=⋅→→OB OA ;因为点)2,4(),1,0(-B A 分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，则55sin ,2-==βπα， 552cos =β，则54552)552(2cos sin 22sin -=⨯-⨯==βββ，531)552(21cos 22cos 22=--⨯=-=ββ，所以)22sin(βα-1027)5453(22)24sin(=+⨯=-=βπ. 考点：1.余弦函数的图像及其性质；2.向量数量积的坐标运算；3.倍角公式；4.两角和差的正弦公式；16．在ABC ∆中，45B ∠=,D 是边BC 上一点，5,3,7AD CD AC === （1）求ADC ∠的值； （2）求BA DA ⋅的值【答案】（1）32π=∠ADC （2）【解析】试题分析：（1）在ADC △中，已知三边求一角，故应用余弦定理：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+，解得21cos -=∠ADC ，32π=∠ADC （2）因为||||cos BA DA BA DA BAD ⋅=⋅∠,而 7560451805=--=∠=BAD AD ，,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：ADBABABD AD ∠=∠sinsin sin sin AD AB ADB ABD ⇒=⨯∠=∠ 试题解析：在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+．把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC ．因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC ．在ADC △中，由正弦定理得：ADB ABABD AD ∠=∠sin sin ． 故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB ．所以5625(35cos7524BA DA ⋅=⨯=． 考点：正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．17．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M （1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程;（2）若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程．【答案】（1）3<a ，1+=x y （2）0242:22=+-++y x y x C 【解析】试题分析：（1）由点与圆位置关系得：弦中点必须在圆内部，即0412<+-a ，所以3<a ．再由圆心与弦中点连线垂直于直线得所求直线斜率，再由点斜式得直线方程：因为1-=CM k ，所以1=l k ．直线l 的方程为1+=x y ． （2）以AB 为直径的圆的圆心为弦AB 的中点(0,1)M ，半径为OM ，因此圆O 方程标准式为2220x y y +-=，两圆公共弦方程为220x y a -+=，与1+=x y 重合，因此2=a ，即圆C 的方程为222420x y x y ++-+= 试题解析：解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a ． 因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a ．综上知3<a ．因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥．因为1-=CM k ，所以1=l k ．所以直线l 的方程为1+=x y ．由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232a x --=． 不妨设)123,23(+--a a A ，)123,23(+----aa B ．则3312022a aOA OB a --⋅=-+-=-=，故2=a ． 故圆0242:22=+-++y x y x C ． 考点：直线与圆位置关系，圆方程 【名师点睛】（1）若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式． （2）解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b )0,2(-F ． （Ⅰ）求出椭圆C 的方程； （Ⅱ） 若直线y x m 与曲线C 交于不同的A 、B 两点，且线段AB 的中点M 在圆221x y 上，求m 的值．【答案】（1）14822=+y x（2）222()()133m m m ∴-+==，即【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，c a =，2c = , 解得：⎩⎨⎧==222b a 所以椭圆C 的方程为：14822=+y x （Ⅱ）设点A,B 的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，线段AB 的中点为M ),(00y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 14822，消去y 得0824322=-++m mx x 点 M ),(00y x 在圆122=+y x 上，考点：直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，以及椭圆性质的综合运用，属于中档题。
2021-2022学年天津市红桥区高三(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共27.0分）1.设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1,2,3,5,8}，B={1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B=()A. {6,9}B. {6,7,9}C. {7,9}D. {7,9,10}2.设x∈R，则“2−x≤0”是“|x−1|≥1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x2−2，则f(f(1))=()A. −1B. −2C. 1D. 24.下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的为()A. f(x)=x−1xB. f(x)=e|x|C. f(x)=√xD. f(x)=lnx5.△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若acosC+ccosA=bsinB，则此三角形为()A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形6.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx的图象，只要将y=f(x)的图象()A. 向左平移π8个单位长度 B. 向右平移π8个单位长度C. 向左平移π4个单位长度 D. 向右平移π4个单位长度7.某射手每次射击击中目标的概率是23，则这名射手在3次射击中，至少有2次击中目标的概率为()A. 49B. 827C. 1927D. 20278.以下关于f(x)=sin2x−cos2x的命题，正确的是()A. 函数f(x)在区间(0,2π3)上单调递增B. 直线x=3π8是函数y=f(x)图象的一条对称轴C. 点(π4,0)是函数y =f(x)图象的一个对称中心D. 将函数y =f(x)图象向右平移π8个单位，可得到y =√2sin2x 的图象9. 已知函数f(x)=|lnx|，g(x)={0,0<x ≤1|x 2−4|,x >1，若关于x 的方程f(x)+m =g(x)恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是( )A. (−ln2,0]B. [0,ln2]C. (−2−ln2,0]D. [0,2+ln2)二、单空题（本大题共5小题，共15.0分） 10. 若i 是虚数单位，则1−2i2+i 的虚部为______．11. 已知函数f(x)=e x −x 2−1，x ∈R ，则曲线y =f(x)在(0,f(0))处的切线方程为______．12. 在(2x 2−1x )5的二项展开式中，x 的系数为_________.(用数字作答) 13. 已知a >0，b >0，且1a +2b =4，则a +2b 的最小值为______．14. 在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）15. 函数f(x)=(x −3)e x 的单调递增区间是______．16. 在△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，已知sinA ：sinB ：sinC =2：1：√2，b =√2． (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求cosC 的值； (Ⅲ)求sin(2C +π6)的值．17.等比数列{a n}中，首项a1=13，公比q>0，q≠1，且a1，5a3，9a5成等差数列．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=log31a n ，求数列{1b n b n+1}的前n项和为T n．18.已知函数f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x+1(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC中，若f(A2)=2，b=1，c=2，求a的值．19.已知数列{a n}是等差数列，设S n(n∈N∗)为数列{a n}的前n项和，数列{b n}是等比数列，b n>0，若a1=3，b1=1，b3+S2=12，a5−2b2=a3．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n⋅b n}的前n项和．20.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−3．(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)对一切x∈(0,+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>1e x −2ex成立．答案和解析1.【答案】C【解析】解：U={n∈N|1≤n≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，则∁U A={4,6,7,9,10}，则(∁U A)∩B={7,9}，故选：C．求出全集的元素，结合交集，补集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集，交集的定义是解决本题的关键．2.【答案】A【解析】解：由2−x≤0得x≥2，由|x−1|≥1得2≤x或x≤0，则“2−x≤0”是“|x−1|≥1”的充分不必要条件，故选：A．求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=x2−2，则f(1)=1−2=−1，又由f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=1，则f(f(1))=f(−1)=−f(1)=1；故选：C．根据题意，由函数的解析式可得f(1)=−1，由函数的奇偶性可得f(−1)的值，据此可得f(f(1))=f(−1)=−f(1)，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：对于A，f(x)=x−1x的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=−f(x)，则f(x)为奇函数，不符合题意；对于B，f(x)=e|x|的定义域为R，f(−x)=f(x)，则f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意；对于C，f(x)=√x的定义为[0,+∞)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数，不符合题意；对于D，f(x)=lnx的定义为(0,+∞)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数，不符合题意．故选：B．由常见函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由acosC+ccosA=bsinB以及正弦定理可知，sinAcosC+sinCcosA=sin2B，即sin(A+C)=sinB=sin2B.∵0<B<π，sinB≠0，∴sinB=1，B=π2．所以三角形为直角三角形．故选：C．由已知以及正弦定理可知sinAcosC+sinCcosA=sin2B，化简可得sinB=sin2B，结合B的范围可求B=π2，从而得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由题知ω=2，所以f(x)=sin(2x+π4)=cos[π2−(2x+π4)]=cos(2x−π4)=cos2(x−π8)，故选：A．由周期函数的周期计算公式：T =2πω，算得ω=2.接下来将f(x)的表达式转化成与g(x)同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题．7.【答案】D【解析】解：∵射手每次射击击中目标的概率是23，∴这名射手在3次射击中，至少有2次击中目标的概率P =(23)3+C 32(23)2(13)=2027． 故选：D ．根据已知条件，结合n 次独立重复试验的概率公式，即可求解．本题主要考查n 次独立重复试验的概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin2x −cos2x =√2sin(2x −π4)； 对于A ：由于x ∈(0,2π3)，所以2x −π4∈(−π4,13π12)，故函数在该区间上有增有减，故A错误； 对于B ：当x =3π8时，f(3π8)=√2sin(3π4−π4)=√2，故B 正确； 对于C ：当x =π4时，f(π4)=√2sin π4=1，故C 错误；对于D ：函数y =f(x)图象向右平移π8个单位，可得到y =√2sin(2x −π2)=−√2cos2x 的图象，故D 错误． 故选：B ．直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：设ℎ(x)=f(x)+m ， 作出函数f(x)和g(x)的图象如图，则ℎ(x)是f(x)的图象沿着x =1上下平移得到，由图象知要使方程f(x)+m =g(x)恰有三个不相等的实数解， 则等价为ℎ(x)与g(x)的图象有三个不同的交点， 则满足{ℎ(1)≤g(1)ℎ(2)>g(2)，即{m ≤0ln2+m >0， 即−ln2<m ≤0，即实数m 的取值范围是(−ln2,0]， 故选：A ．设ℎ(x)=f(x)+m ，则ℎ(x)是f(x)的图象沿着x =1上下平移得到，作出函数ℎ(x)与g(x)的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．10.【答案】−1【解析】解：∵1−2i 2+i=(1−2i)(2−i)(2+i)(2−i)=−i ，∴1−2i 2+i的虚部为−1．故答案为：−1．根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解． 本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．11.【答案】y=x【解析】解：由f(x)=e x−x2−1，得f′(x)=e x−2x，∴f′(0)=1，又f(0)=e0−1=0，∴曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=x．故答案为：y=x．求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，再求出f(0)，利用直线方程的斜截式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．12.【答案】−40【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．)5的展开式通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得x的系数．在(2x2−1x【解答】)5的二项展开式的通项公式为T r+1=C5r·25−r·x10−2r·(−1)r·x−r解：(2x2−1x=(−1)r·25−r·C5r·x10−3r，令10−3r=1，解得r=3，故x的系数为−22·C53=−40，故答案为：−40．13.【答案】94【解析】解：由a >0，b >0，1a +2b =4，得14a +12b =1， 则a +2b =(a +2b)(14a +12b )=54+b2a +a2b ≥54+2√b2a ⋅a2b =94．当且仅当b2a =a2b ，即a =b =34时等号成立， 所以a +2b 的最小值为94． 故答案为：94．由a >0，b >0，1a +2b =4可得14a +12b =1，从而a +2b =(a +2b)(14a +12b )=54+b2a +a2b ，进一步即可利用基本不等式进行求解．本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．14.【答案】[1,4]【解析】解：以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线为x 轴，以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线为y 轴，建立坐标系如图，∵AB =2，AD =1，∴A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)， 设M(2,b)，N(x,1)， ∵|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴b =2−x2∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2−x2)， ∴AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x +1,(0≤x ≤2)， ∴1≤32x +1≤4， 即1≤AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤4 故答案为：[1,4]先以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线为x 轴，以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线为y 轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围．本题主要考查平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数量积的范围，本题是一个中档题目．15.【答案】(2,+∞)【解析】解：∵f′(x)=(x−2)e x，令f′(x)>0，解得：x>2，∴f(x)在(2,+∞)递增，故答案为：(2,+∞)．先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可．本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．16.【答案】解：(1)∵△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：1：√2，∴a：b：c=2：1：√2，∵b=√2，∴a=2b=2√2,c=√2b=2，(2)△ABC中，由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =2×2√2×√2=34，(3)由(2)可得sinC=√1−cos2C=√74，∴sin2C=2sinCcosC=3√78，cos2C=2cos2C−1=18，∴sin(2C+π6)=sin2Ccosπ6+cos2Csinπ6=3√21+116．【解析】(1)由题意利用正弦定理，求得a的值，(2)由题意利用余弦定理计算求得结果，(3)先来用二倍角公式求得2C的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2C+π6)的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(I)在等比数列{a n}中，∵a1=13,a1,5a3,9a5成等差数列，∴2×5a3=a1+9a5，即10a1⋅q2=a1+9a1⋅q4，∴9q4−10q2+1=0，解得：q2=19,q2=1，∵q>0 ,，∴q=13，∴a n=(13)n，(II)∵b n=log31a n，∴b n=n，则T n=1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯+1b n b n+1=11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1,∴T n=nn+1．【解析】(I)根据等比数列和等差数列的性质建立方程组，即可求出数列{an}的通项．(II)求出{b n}的通项公式，利用裂项法即可求和本题主要考查数列的通项公式的求解，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)√3sin2x−cos2x=2(√32sin2x−12cos2x)=2sin(2x−π6)，∵ω=2，∴最小正周期T=2π|ω|=π；由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z得，kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)；(Ⅱ)∵f(A 2)=2，∴2sin(A −π6)=2，即sin(A −π6)=1，∴A −π6=π2+2kπ，k ∈Z ，即A =2π3+2kπ，k ∈Z ， 又0<A <π，∴A =2π3，由余弦定理及b =1，c =2，cosA =−12得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =7，即a 2=1+4+2=7，解得：a =√7．【解析】(Ⅰ)函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f(x)的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)由f(A 2)=2，得到sin(A −π6)=1，确定出A 的度数，求出cosA 的值，再由b ，c 的值，利用余弦定理即可求出a 的值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.【答案】解：(I)由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n } 的公比为q ， 则{b 3+S 2=q 2+d +6=12a 5−2b 2=3+4d −2q =3+2d， 化简，得{q 2+d =6d −q =0， 整理，得q 2+q −6=0，解得q =−3(舍去)或q =2，∴d =q =2，∴a n =3+2(n −1)=2n +1,n ∈N ⋆，b n =1⋅2n−1=2n−1,n ∈N ∗，( II )由( I )得a n ⋅b n =(2n +1)⋅2n−1，令数列{a n ⋅b n }的前n 项和为T n ，则T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n ⋅b n=3⋅1+5⋅21+7⋅22+⋅⋅⋅+(2n +1)⋅2n−1，2T n =3⋅21+5⋅22+⋯+(2n −1)⋅2n−1+(2n +1)⋅2n ，两式相减，可得−T n =3+2⋅21+2⋅22+⋯+2⋅2n−1−(2n +1)⋅2n=3+2⋅(21+22+⋯+2n−1)−(2n +1)⋅2n=3+2⋅2−2n 1−2−(2n +1)⋅2n=−(2n −1)⋅2n −1，∴T n =(2n −1)⋅2n +1，n ∈N ∗．【解析】(I)先根据题意设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，然后根据已知条件列出关于d 和q 的方程组，并进一步计算出d 和q 的值，即可得到数列{a n }和(b n }的通项公式；(II)根据第(I)题先计算出数列{a n ⋅b n }的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出数列{a n ⋅b n }的前n 项和；本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题．考查了错位相减法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)的导数f′(x)=1+lnx ． 令f′(x)>0，解得x >1e ；令f′(x)<0，解得0<x <1e ．从而f(x)在(0,1e )单调递减，在(1e ,+∞)单调递增．所以，当x =1e 时，f(x)取得最小值−1e ．(II)若2f(x)≥g(x)，则a ≤2lnx +x +3x ，设ℎ(x)=2lnx +x +3x ，则ℎ′(x)=2x +1−3x 2=x 2+2x−3x 2=(x+3)(x−1)x 2∵x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)min =ℎ(1)=4故a ≤4即实数a 的取值范围为(−∞,4]证明：(III)若lnx >1e x −2ex则lnx ⋅x >x e x −2e ，由(I)得：lnx ⋅x ≥−1e ，当且仅当x =1e 时，取最小值；设m(x)=xe x −2e，则m′(x)=1−xe x，∵x∈(0,1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，x∈(1,+∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，故当x=1时，m(x)取最大值−1e故对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>1e x −2ex成立．【解析】(I)先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．(II)若2f(x)≥g(x)，则a≤2lnx+x+3x ，构造函数ℎ(x)=2lnx+x+3x，则a≤ℎmin(x)，进而得到实数a的取值范围；(Ⅲ)对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>1e x −2ex成立，即lnx⋅x>xe x−2e，结合(1)中结论可知lnx⋅x≥−1e ，构造新函数m(x)=xe x−2e，分析其最大值，可得答案．本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，熟练掌握导数法求函数最值的方法步骤是解答的关键．。
2020-2021学年天津市部分区高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市部分区高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，6，9}，B＝{x|2＜x＜10}（）A．2B．3C．4D．52．（5分）对于实数x，“|x|＜1”是“x＜1”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）设cos x＝﹣，则cos2x＝（）A．B．C．D．﹣5．（5分）将一个棱长为1cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（）A．B．πcm2C．D．3πcm26．（5分）已知单位向量的夹角为60°，与垂直（）A．1B．﹣1C．2D．﹣27．（5分）设2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c8．（5分）已知两条平行直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：x+ay＝0（a∈R），则l1与l2间的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）（2﹣x）恰有2个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．1＜a＜4B．2＜a＜4C．4＜a＜8D．2＜a＜8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
10．（5分）函数f（x）＝x sin x的导函数为．11．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n＝n2﹣2n（n∈N*），则a9＝，通项公式a n＝．12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB＝AA′．13．（5分）若向量＝（3，﹣4），则与平行的单位向量是．14．（5分）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为．15．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2，则+．三、解答题：本大题共5小题，共75分。
2021-2022学年天津市红桥区高三(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共27.0分）1.设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1,2,3,5,8}，B={1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B=()A. {6,9}B. {6,7,9}C. {7,9}D. {7,9,10}2.设x∈R，则“2−x≤0”是“|x−1|≥1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x2−2，则f(f(1))=()A. −1B. −2C. 1D. 24.下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的为()A. f(x)=x−1xB. f(x)=e|x|C. f(x)=√xD. f(x)=lnx5.△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若acosC+ccosA=bsinB，则此三角形为()A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形6.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx的图象，只要将y=f(x)的图象()A. 向左平移π8个单位长度 B. 向右平移π8个单位长度C. 向左平移π4个单位长度 D. 向右平移π4个单位长度7.某射手每次射击击中目标的概率是23，则这名射手在3次射击中，至少有2次击中目标的概率为()A. 49B. 827C. 1927D. 20278.以下关于f(x)=sin2x−cos2x的命题，正确的是()A. 函数f(x)在区间(0,2π3)上单调递增B. 直线x=3π8是函数y=f(x)图象的一条对称轴C. 点(π4,0)是函数y =f(x)图象的一个对称中心D. 将函数y =f(x)图象向右平移π8个单位，可得到y =√2sin2x 的图象9. 已知函数f(x)=|lnx|，g(x)={0,0<x ≤1|x 2−4|,x >1，若关于x 的方程f(x)+m =g(x)恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是( )A. (−ln2,0]B. [0,ln2]C. (−2−ln2,0]D. [0,2+ln2)二、单空题（本大题共5小题，共15.0分） 10. 若i 是虚数单位，则1−2i2+i 的虚部为______．11. 已知函数f(x)=e x −x 2−1，x ∈R ，则曲线y =f(x)在(0,f(0))处的切线方程为______．12. 在(2x 2−1x )5的二项展开式中，x 的系数为_________.(用数字作答) 13. 已知a >0，b >0，且1a +2b =4，则a +2b 的最小值为______．14. 在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）15. 函数f(x)=(x −3)e x 的单调递增区间是______．16. 在△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，已知sinA ：sinB ：sinC =2：1：√2，b =√2． (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求cosC 的值； (Ⅲ)求sin(2C +π6)的值．17.等比数列{a n}中，首项a1=13，公比q>0，q≠1，且a1，5a3，9a5成等差数列．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=log31a n ，求数列{1b n b n+1}的前n项和为T n．18.已知函数f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x+1(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC中，若f(A2)=2，b=1，c=2，求a的值．19.已知数列{a n}是等差数列，设S n(n∈N∗)为数列{a n}的前n项和，数列{b n}是等比数列，b n>0，若a1=3，b1=1，b3+S2=12，a5−2b2=a3．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n⋅b n}的前n项和．20.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−3．(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)对一切x∈(0,+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>1e x −2ex成立．答案和解析1.【答案】C【解析】解：U={n∈N|1≤n≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，则∁U A={4,6,7,9,10}，则(∁U A)∩B={7,9}，故选：C．求出全集的元素，结合交集，补集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集，交集的定义是解决本题的关键．2.【答案】A【解析】解：由2−x≤0得x≥2，由|x−1|≥1得2≤x或x≤0，则“2−x≤0”是“|x−1|≥1”的充分不必要条件，故选：A．求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=x2−2，则f(1)=1−2=−1，又由f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=1，则f(f(1))=f(−1)=−f(1)=1；故选：C．根据题意，由函数的解析式可得f(1)=−1，由函数的奇偶性可得f(−1)的值，据此可得f(f(1))=f(−1)=−f(1)，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：对于A，f(x)=x−1x的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=−f(x)，则f(x)为奇函数，不符合题意；对于B，f(x)=e|x|的定义域为R，f(−x)=f(x)，则f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意；对于C，f(x)=√x的定义为[0,+∞)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数，不符合题意；对于D，f(x)=lnx的定义为(0,+∞)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数，不符合题意．故选：B．由常见函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由acosC+ccosA=bsinB以及正弦定理可知，sinAcosC+sinCcosA=sin2B，即sin(A+C)=sinB=sin2B.∵0<B<π，sinB≠0，∴sinB=1，B=π2．所以三角形为直角三角形．故选：C．由已知以及正弦定理可知sinAcosC+sinCcosA=sin2B，化简可得sinB=sin2B，结合B的范围可求B=π2，从而得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由题知ω=2，所以f(x)=sin(2x+π4)=cos[π2−(2x+π4)]=cos(2x−π4)=cos2(x−π8)，故选：A．由周期函数的周期计算公式：T =2πω，算得ω=2.接下来将f(x)的表达式转化成与g(x)同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题．7.【答案】D【解析】解：∵射手每次射击击中目标的概率是23，∴这名射手在3次射击中，至少有2次击中目标的概率P =(23)3+C 32(23)2(13)=2027． 故选：D ．根据已知条件，结合n 次独立重复试验的概率公式，即可求解．本题主要考查n 次独立重复试验的概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin2x −cos2x =√2sin(2x −π4)； 对于A ：由于x ∈(0,2π3)，所以2x −π4∈(−π4,13π12)，故函数在该区间上有增有减，故A错误； 对于B ：当x =3π8时，f(3π8)=√2sin(3π4−π4)=√2，故B 正确； 对于C ：当x =π4时，f(π4)=√2sin π4=1，故C 错误；对于D ：函数y =f(x)图象向右平移π8个单位，可得到y =√2sin(2x −π2)=−√2cos2x 的图象，故D 错误． 故选：B ．直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：设ℎ(x)=f(x)+m ， 作出函数f(x)和g(x)的图象如图，则ℎ(x)是f(x)的图象沿着x =1上下平移得到，由图象知要使方程f(x)+m =g(x)恰有三个不相等的实数解， 则等价为ℎ(x)与g(x)的图象有三个不同的交点， 则满足{ℎ(1)≤g(1)ℎ(2)>g(2)，即{m ≤0ln2+m >0， 即−ln2<m ≤0，即实数m 的取值范围是(−ln2,0]， 故选：A ．设ℎ(x)=f(x)+m ，则ℎ(x)是f(x)的图象沿着x =1上下平移得到，作出函数ℎ(x)与g(x)的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．10.【答案】−1【解析】解：∵1−2i 2+i=(1−2i)(2−i)(2+i)(2−i)=−i ，∴1−2i 2+i的虚部为−1．故答案为：−1．根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解． 本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．11.【答案】y=x【解析】解：由f(x)=e x−x2−1，得f′(x)=e x−2x，∴f′(0)=1，又f(0)=e0−1=0，∴曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=x．故答案为：y=x．求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，再求出f(0)，利用直线方程的斜截式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．12.【答案】−40【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．)5的展开式通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得x的系数．在(2x2−1x【解答】)5的二项展开式的通项公式为T r+1=C5r·25−r·x10−2r·(−1)r·x−r解：(2x2−1x=(−1)r·25−r·C5r·x10−3r，令10−3r=1，解得r=3，故x的系数为−22·C53=−40，故答案为：−40．13.【答案】94【解析】解：由a >0，b >0，1a +2b =4，得14a +12b =1， 则a +2b =(a +2b)(14a +12b )=54+b2a +a2b ≥54+2√b2a ⋅a2b =94．当且仅当b2a =a2b ，即a =b =34时等号成立， 所以a +2b 的最小值为94． 故答案为：94．由a >0，b >0，1a +2b =4可得14a +12b =1，从而a +2b =(a +2b)(14a +12b )=54+b2a +a2b ，进一步即可利用基本不等式进行求解．本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．14.【答案】[1,4]【解析】解：以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线为x 轴，以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线为y 轴，建立坐标系如图，∵AB =2，AD =1，∴A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)， 设M(2,b)，N(x,1)， ∵|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴b =2−x2∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2−x2)， ∴AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x +1,(0≤x ≤2)， ∴1≤32x +1≤4， 即1≤AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤4 故答案为：[1,4]先以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线为x 轴，以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线为y 轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围．本题主要考查平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数量积的范围，本题是一个中档题目．15.【答案】(2,+∞)【解析】解：∵f′(x)=(x−2)e x，令f′(x)>0，解得：x>2，∴f(x)在(2,+∞)递增，故答案为：(2,+∞)．先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可．本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．16.【答案】解：(1)∵△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：1：√2，∴a：b：c=2：1：√2，∵b=√2，∴a=2b=2√2,c=√2b=2，(2)△ABC中，由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =2×2√2×√2=34，(3)由(2)可得sinC=√1−cos2C=√74，∴sin2C=2sinCcosC=3√78，cos2C=2cos2C−1=18，∴sin(2C+π6)=sin2Ccosπ6+cos2Csinπ6=3√21+116．【解析】(1)由题意利用正弦定理，求得a的值，(2)由题意利用余弦定理计算求得结果，(3)先来用二倍角公式求得2C的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2C+π6)的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(I)在等比数列{a n}中，∵a1=13,a1,5a3,9a5成等差数列，∴2×5a3=a1+9a5，即10a1⋅q2=a1+9a1⋅q4，∴9q4−10q2+1=0，解得：q2=19,q2=1，∵q>0 ,，∴q=13，∴a n=(13)n，(II)∵b n=log31a n，∴b n=n，则T n=1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯+1b n b n+1=11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1,∴T n=nn+1．【解析】(I)根据等比数列和等差数列的性质建立方程组，即可求出数列{an}的通项．(II)求出{b n}的通项公式，利用裂项法即可求和本题主要考查数列的通项公式的求解，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)√3sin2x−cos2x=2(√32sin2x−12cos2x)=2sin(2x−π6)，∵ω=2，∴最小正周期T=2π|ω|=π；由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z得，kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)；(Ⅱ)∵f(A 2)=2，∴2sin(A −π6)=2，即sin(A −π6)=1，∴A −π6=π2+2kπ，k ∈Z ，即A =2π3+2kπ，k ∈Z ， 又0<A <π，∴A =2π3，由余弦定理及b =1，c =2，cosA =−12得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =7，即a 2=1+4+2=7，解得：a =√7．【解析】(Ⅰ)函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f(x)的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)由f(A 2)=2，得到sin(A −π6)=1，确定出A 的度数，求出cosA 的值，再由b ，c 的值，利用余弦定理即可求出a 的值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.【答案】解：(I)由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n } 的公比为q ， 则{b 3+S 2=q 2+d +6=12a 5−2b 2=3+4d −2q =3+2d， 化简，得{q 2+d =6d −q =0， 整理，得q 2+q −6=0，解得q =−3(舍去)或q =2，∴d =q =2，∴a n =3+2(n −1)=2n +1,n ∈N ⋆，b n =1⋅2n−1=2n−1,n ∈N ∗，( II )由( I )得a n ⋅b n =(2n +1)⋅2n−1，令数列{a n ⋅b n }的前n 项和为T n ，则T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n ⋅b n=3⋅1+5⋅21+7⋅22+⋅⋅⋅+(2n +1)⋅2n−1，2T n =3⋅21+5⋅22+⋯+(2n −1)⋅2n−1+(2n +1)⋅2n ，两式相减，可得−T n =3+2⋅21+2⋅22+⋯+2⋅2n−1−(2n +1)⋅2n=3+2⋅(21+22+⋯+2n−1)−(2n +1)⋅2n=3+2⋅2−2n 1−2−(2n +1)⋅2n=−(2n −1)⋅2n −1，∴T n =(2n −1)⋅2n +1，n ∈N ∗．【解析】(I)先根据题意设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，然后根据已知条件列出关于d 和q 的方程组，并进一步计算出d 和q 的值，即可得到数列{a n }和(b n }的通项公式；(II)根据第(I)题先计算出数列{a n ⋅b n }的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出数列{a n ⋅b n }的前n 项和；本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题．考查了错位相减法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)的导数f′(x)=1+lnx ． 令f′(x)>0，解得x >1e ；令f′(x)<0，解得0<x <1e ．从而f(x)在(0,1e )单调递减，在(1e ,+∞)单调递增．所以，当x =1e 时，f(x)取得最小值−1e ．(II)若2f(x)≥g(x)，则a ≤2lnx +x +3x ，设ℎ(x)=2lnx +x +3x ，则ℎ′(x)=2x +1−3x 2=x 2+2x−3x 2=(x+3)(x−1)x 2∵x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)min =ℎ(1)=4故a ≤4即实数a 的取值范围为(−∞,4]证明：(III)若lnx >1e x −2ex则lnx ⋅x >x e x −2e ，由(I)得：lnx ⋅x ≥−1e ，当且仅当x =1e 时，取最小值；设m(x)=xe x −2e，则m′(x)=1−xe x，∵x∈(0,1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，x∈(1,+∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，故当x=1时，m(x)取最大值−1e故对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>1e x −2ex成立．【解析】(I)先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．(II)若2f(x)≥g(x)，则a≤2lnx+x+3x ，构造函数ℎ(x)=2lnx+x+3x，则a≤ℎmin(x)，进而得到实数a的取值范围；(Ⅲ)对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>1e x −2ex成立，即lnx⋅x>xe x−2e，结合(1)中结论可知lnx⋅x≥−1e ，构造新函数m(x)=xe x−2e，分析其最大值，可得答案．本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，熟练掌握导数法求函数最值的方法步骤是解答的关键．。
2020届高三数学上学期期中试题文(含解析)_6
2020届高三数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则集合的子集个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】试题分析：，则的子集个数为个.考点：子集．2.已知a＞b，c＞d，c≠0，d≠0则下列命题正确的是（）A. a﹣c＞b﹣dB.C. ac＞bdD. c﹣b＞d﹣a【答案】D【解析】试题分析：,又，故A正确.考点：不等关系与不等式.3.若点在角的终边上，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由任意角的三角函数的定义可知，，故选A.考点：任意角三角函数定义.4.向量，，若，则（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：，，得得，故选C.考点：向量的垂直运算，向量的坐标运算.5.已知直线，平面，则是的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为直线时不一定平行,而时平面内任意直线都平行平面,即,因此是的必要但不充分条件,选B.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得,则．故本题答案选C．考点：两角和的余弦公式．7.函数的零点所在的大致区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，所以零点所在的大致区间为，选C.考点：零点存在定理8.函数y＝的图象大致为()A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】先分析函数的定义域，可排除A,再根据函数的奇偶性为奇函数排除C，利用特值法区分答案B,D.【详解】函数y＝的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，A错；因为f(－x)＝＝－f(x)，f(x)是奇函数，排除C项；当x＝2时，y＝>0，排除D项，只有B项适合．【点睛】本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，特值法，利用上述性质区分函数图象，属于中档题.9.设a＝,b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )A. c＜b＜aB. c＜a＜bC. b＜a＜cD. a＜c＜b 【答案】A【解析】分析：由a=60.7＞60=1，0＜b=0.76＜0.7，c=log0.76＜log0.71=0，知c＜b＜a．详解：∵a=60.7＞60=1，0＜b=0.76＜0.7，c=log0.76＜log0.71=0，∴c＜b＜a．故选：A．点睛：本题考查对数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.10.若函数，则函数与函数的图象交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】试题分析：作图可得函数与的图象有个交点，故选项为D.考点：函数图象的交点.11.如图，在正方形网格纸上，粗实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸.若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】多面体为两个正四棱锥的组合体（底面重合）.两顶点之间距离为，底面为边长为的正方形,所以选C.点睛:空间几何体与球接、切问题求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．12.已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据可知，令为增函数，所以恒成立，分离参数得，而当时，最大值为，故.考点：函数导数与不等式，恒成立问题．二、填空题（本大题共4小题，把答案填在答题卷的相应位置）13.设满足约束条件：，则的最小值为 ____________．【答案】-3【解析】试题分析：可行域为一个开放区域，两条平行射线，一条线段AB及其内部，其中，所以直线过点B时取最小值-3.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.在中，，，，则__________．【答案】【解析】试题分析：考点：正余弦定理解三角形15.已知，，，则的最小值为．【答案】2【解析】试题分析：.考点：基本不等式.【方法点晴】熟练掌握变形利用基本不等式的性质的方法是解题的关键，和为定值时，可以巧用定值凑基本不等式的结构. 本题中将化为，把要求的式子变成，展开后得，由于为和的结构且为定值，利用均值不等式即可. 16.已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中的最大值为__________．【答案】6【解析】设等差数列的公差为.∵∴∴∵∴，即.∴或（舍去）∴等差数列的首项为，公差为，则.∴联立，即，解得.∴∴数列项中的最大值为故答案为.点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；（2）可以用或；（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合，．（1）分别求，；（2）已知集合，若，求实数a的取值集合．【答案】（1），或；（2）【解析】【分析】(1)直接根据条件求交集与补集并集等.(2)分情况当为空集和不为空集时讨论即可.详解】（1）或或（2）①当时，，此时；②当时，，则；综合①②，可得的取值范围是【点睛】本题主要考查集合的交并补运算,属于基础题型. 18.已知函数．（1）求的最小值；（2）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，求的周长．【答案】（1）;（2）.试题分析:（1）将函数的解析式进行化简，先展开，再进行降幂，应用辅角公式转化为的形式.（2）由于只需求出的值，应用面积公式求出，再由余弦定理计算出的值，故试题解析:（1）．当时，取最小值为．………………（6分）（2），，，，．，，由余弦定理得，即，，所以的周长为．………………（12分）考点：1、三角恒等变换；2、解三角形.19.已知为等比数列的前项和，，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式及；（2）若，，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．试题分析：（1）设数列的公比为，根据题意数列的公比，利用等比数列的通项公式，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）得出，，利用等差数列求和公式和裂项求和即可求解数列的和．试题解析：（1）设数列的公比为，由题意知，∴，∴.∴．（2）由（1）可得，，∴，．考点：数列的通项公式；数列的求和．20.直三棱柱中，，，，点是线段上的动点.（1）当点是中点时，求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【试题分析】（1）连接，交于点，连接，则点是的中点，利用三角形的中位线有,，由此证得线面平行.（2）当时平面平面.利用，可证得平面，由此证得两个平面垂直.利用等面积法求得的长.【试题解析】（1）如图，连接，交于点，连接，则点是的中点，又点是的中点，由中位线定理得，因为平面，平面，所以平面.（2）当时平面平面.证明：因为平面，平面，所以．又，，所以平面，因为平面，所以平面平面，故点满足.因为，，，所以，故是以角为直角的三角形，又，所以.21.已知函数（）．（1）求的单调区间和极值；（2）求在上的最小值．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值；（2）见解析.【解析】【分析】(1)求导后令,再根据导函数的正负确定的单调区间和极值即可.(2)根据(1)中的极小值,分析,,三种情况讨论在上的最小值即可.【详解】（1）由，得；当时，；当时，；∴的单调递增区间为，单调递减区间为，无极大值．（2）当，即时，在上递增，∴；当，即时，在上递减，∴；当，即时，在上递减，在上递增，∴【点睛】本题主要考查利用导函数求原函数的单调性与极值的问题,同时也考查了含参数的最值讨论问题,属于中等题型.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中参数，为常数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线的方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）已知直线与曲线相交于，两点，且，求常数的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用平方关系消去参数可得圆的方程, 由直线的极坐标方程,可得直角极坐标方程；（2）利用直线参数的几何意义、韦达定理将用表示，解方程即可求得常数的值．试题解析：解：（1），，所以曲线的普通方程为：．（2）将曲线的方程变形为与直线的参数方程联立得：．首先，由韦达定理，．由参数的含义知：，即，满足，故，综上常数的值为．考点：1、简单曲线的极坐标方程；2、圆的参数方程及直线参数方程的应用．23.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）时，∴当时，不合题意；当时，，解得；当时，符合题意．综上，的解集为．（2）设，的图象和的图象如图，易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而．2020届高三数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则集合的子集个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】试题分析：，则的子集个数为个.考点：子集．2.已知a＞b，c＞d，c≠0，d≠0则下列命题正确的是（）A. a﹣c＞b﹣dB.C. ac＞bdD. c﹣b＞d﹣a【答案】D【解析】试题分析：,又，故A正确.考点：不等关系与不等式.3.若点在角的终边上，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由任意角的三角函数的定义可知，，故选A.考点：任意角三角函数定义.4.向量，，若，则（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：，，得得，故选C.考点：向量的垂直运算，向量的坐标运算.5.已知直线，平面，则是的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为直线时不一定平行,而时平面内任意直线都平行平面,即,因此是的必要但不充分条件,选B.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C试题分析：由得,则．故本题答案选C．考点：两角和的余弦公式．7.函数的零点所在的大致区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，所以零点所在的大致区间为，选C.考点：零点存在定理8.函数y＝的图象大致为()A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】先分析函数的定义域，可排除A,再根据函数的奇偶性为奇函数排除C，利用特值法区分答案B,D.【详解】函数y＝的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，A错；因为f(－x)＝＝－f(x)，f(x)是奇函数，排除C项；当x＝2时，y＝>0，排除D项，只有B项适合．【点睛】本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，特值法，利用上述性质区分函数图象，属于9.设a＝,b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )A. c＜b＜aB. c＜a＜bC. b＜a＜cD. a＜c＜b【答案】A【解析】分析：由a=60.7＞60=1，0＜b=0.76＜0.7，c=log0.76＜log0.71=0，知c＜b＜a．详解：∵a=60.7＞60=1，0＜b=0.76＜0.7，c=log0.76＜log0.71=0，∴c＜b＜a．故选：A．点睛：本题考查对数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.10.若函数，则函数与函数的图象交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】试题分析：作图可得函数与的图象有个交点，故选项为D.考点：函数图象的交点.11.如图，在正方形网格纸上，粗实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸.若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】多面体为两个正四棱锥的组合体（底面重合）.两顶点之间距离为，底面为边长为的正方形,所以选C.点睛:空间几何体与球接、切问题求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．12.已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据可知，令为增函数，所以恒成立，分离参数得，而当时，最大值为，故.考点：函数导数与不等式，恒成立问题．二、填空题（本大题共4小题，把答案填在答题卷的相应位置）13.设满足约束条件：，则的最小值为 ____________．【答案】-3【解析】试题分析：可行域为一个开放区域，两条平行射线，一条线段AB及其内部，其中，所以直线过点B时取最小值-3.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.在中，，，，则__________．【答案】【解析】试题分析：考点：正余弦定理解三角形15.已知，，，则的最小值为．【答案】2【解析】试题分析：.考点：基本不等式.【方法点晴】熟练掌握变形利用基本不等式的性质的方法是解题的关键，和为定值时，可以巧用定值凑基本不等式的结构. 本题中将化为，把要求的式子变成，展开后得，由于为和的结构且为定值，利用均值不等式即可.16.已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中的最大值为__________．【答案】6【解析】设等差数列的公差为.∵∴∴∵∴，即.∴或（舍去）∴等差数列的首项为，公差为，则.∴联立，即，解得.∴∴数列项中的最大值为故答案为.点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；（2）可以用或；（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合，．（1）分别求，；（2）已知集合，若，求实数a的取值集合．【答案】（1），或；（2）【解析】【分析】(1)直接根据条件求交集与补集并集等.(2)分情况当为空集和不为空集时讨论即可.详解】（1）或或（2）①当时，，此时；②当时，，则；综合①②，可得的取值范围是【点睛】本题主要考查集合的交并补运算,属于基础题型.18.已知函数．（1）求的最小值；（2）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，求的周长．【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析:（1）将函数的解析式进行化简，先展开，再进行降幂，应用辅角公式转化为的形式.（2）由于只需求出的值，应用面积公式求出，再由余弦定理计算出的值，故试题解析:（1）．当时，取最小值为．………………（6分）（2），，，，．，，由余弦定理得，即，，所以的周长为．………………（12分）考点：1、三角恒等变换；2、解三角形.19.已知为等比数列的前项和，，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式及；（2）若，，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）设数列的公比为，根据题意数列的公比，利用等比数列的通项公式，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）得出，，利用等差数列求和公式和裂项求和即可求解数列的和．试题解析：（1）设数列的公比为，由题意知，∴，∴.∴．（2）由（1）可得，，∴，．考点：数列的通项公式；数列的求和．20.直三棱柱中，，，，点是线段上的动点.（1）当点是中点时，求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【试题分析】（1）连接，交于点，连接，则点是的中点，利用三角形的中位线有,，由此证得线面平行.（2）当时平面平面.利用，可证得平面，由此证得两个平面垂直.利用等面积法求得的长.【试题解析】（1）如图，连接，交于点，连接，则点是的中点，又点是的中点，由中位线定理得，因为平面，平面，所以平面.（2）当时平面平面.证明：因为平面，平面，所以．又，，所以平面，因为平面，所以平面平面，故点满足.因为，，，所以，故是以角为直角的三角形，又，所以.21.已知函数（）．（1）求的单调区间和极值；（2）求在上的最小值．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值；（2）见解析.【解析】【分析】(1)求导后令,再根据导函数的正负确定的单调区间和极值即可.(2)根据(1)中的极小值,分析,,三种情况讨论在上的最小值即可.【详解】（1）由，得；当时，；当时，；∴的单调递增区间为，单调递减区间为，无极大值．（2）当，即时，在上递增，∴；当，即时，在上递减，∴；当，即时，在上递减，在上递增，∴【点睛】本题主要考查利用导函数求原函数的单调性与极值的问题,同时也考查了含参数的最值讨论问题,属于中等题型.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中参数，为常数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线的方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）已知直线与曲线相交于，两点，且，求常数的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用平方关系消去参数可得圆的方程, 由直线的极坐标方程,可得直角极坐标方程；（2）利用直线参数的几何意义、韦达定理将用表示，解方程即可求得常数的值．试题解析：解：（1），，所以曲线的普通方程为：．（2）将曲线的方程变形为与直线的参数方程联立得：．首先，由韦达定理，．由参数的含义知：，即，满足，故，综上常数的值为．考点：1、简单曲线的极坐标方程；2、圆的参数方程及直线参数方程的应用．23.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）时，∴当时，不合题意；当时，，解得；当时，符合题意．综上，的解集为．（2）设，的图象和的图象如图，易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而．。
天津市红桥区2020-2021学年高三上学期期中数学试题
天津市红桥区2020-2021学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若全集{}1234U =，，，，集合{}12A =，，集合{}23B =，，则()UA B ⋃= （ ）A ．{} 123，， B ．{} 2C ．{} 134，， D ．{} 42．命题“20x R x ∀∈≥，”的否定为（ ） A ．2 0x R x ∀∈<， B ．2 0x R x ∃∈≤， C ．2 0x R x ∃∈<，D ．20x R x ∃∈≥，3．已知A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“sin A =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 3α=，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．126-B ．16-C ．1 2-+D ． 1-+5．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数sin2y x =的图像（ ） A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向右平移3π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度6．设02πθ<<，向量()()sin2,cos ,cos 1a b θθθ==，，若a //b ，则tan θ= （ ）A ．1B ． 13C ．2D ． 127．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.458．设随机变量()~01X N ，，则()0P X ≤=（ ）A ．0B ．1C ． 12D ．1 49．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．10B ．20πC ．24πD ．32π10．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若//n α，m α⊂，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若m β⊥，αβ⊥，则//m α； ④若m α⊥，m β⊥，则//αβ； ⑤若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥； ⑥若//αβ，m β⊥，则m α⊥； ⑦若n αβ=，//m n ，则//m α.其中真命题的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题11．设i 为虚数单位，则复数103iz i=+的共轭复数z =_________. 12．5x⎛ ⎝的二项展开式中，2x 的系数是_________.(用数字作答)13．平面向量a ，b 中，已知()43a =-，，1=b ，且5a b ⋅=，则向量b =_________. 14．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有排法_________种. (用数字作答)15．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，则这名射手在3次射击恰好有1次击中目标的概率是_________.16．如图，已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为________三、解答题17．某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元. 规定：每位顾客从袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (I )求顾客所获的奖励额为60元的概率； (II )求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.18．在ABC 中，a b c ，，分别为内角A B C ，，的对边，已知3a =，5c =，23B π=. （I ）求b 的值； （II ）求cos2A 的值.19．已知函数()22sin cos 2cos ,f x x x x x x R =+∈. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间和最小值.20．如图，在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝3π，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点.（I ）证明：直线MN //平面OCD ； （II ）求异面直线AB 与MD 所成角的余弦值.21．如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD //BC //FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .（I）证明：平面AMD⊥平面CDE；（II）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值.参考答案1．D 【分析】 先求出A B ，再根据补集定义即可求出.【详解】{}12A =，，{}23B =，，{}=123A B ∴⋃，，， (){}4UA B ∴⋃=.故选：D. 2．C 【分析】根据全称命题的否定“改量词，否结论”即可得出 【详解】全称命题的否定是“改量词，否结论”，故“20x R x ∀∈≥，”的否定为“2 0x R x ∃∈<，”. 故选：C. 3．A 【分析】由A 是ABC ∆的内角，1cos 2A =，得出02A π<<，再利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】解：A 是ABC ∆的内角，1cos 2A =，所以02A π<<，sin A ==若sin A =，则1cos 2A ==±，所以“1cos 2A =”是“sin A =”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充要条件，涉及到三角函数公式，属于基础题. 4．A 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再利用两角和的余弦公式可求得cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos α=，所以，sin α==因此，11cos cos cos sin sin 66622πππααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭. 故选：A. 5．B 【分析】先化简函数ππsin 2sin[2()2(]1)6y x x =-=-，再根据三角函数的图象变换，即可求解． 【详解】由题意，函数ππsin 2sin[2()2(]1)6y x x =-=-， 所以为了得到函数πsin(2)6y x =-的图象，可以将函数sin2y x =的图象向右平移π12个单位长度. 故选：B ． 6．D 【分析】由//a b 可得2sin 2cos θθ=，即得2sin cos θθ=，即可求出1tan 2θ=. 【详解】//a b ，2sin 2cos θθ∴=，即22sin cos cos θθθ=， 02πθ<<，cos 0θ∴≠，2sin cos θθ∴=，1tan 2θ∴=.7．A 【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB ==,所以()()()4|5P AB P B A P A ==，故选A. 考点：条件概率． 8．C 【分析】根据正态分布曲线的对称性得结论． 【详解】因为随机变量()~01X N ，，所以正态曲线关于X 0=对称，所以()0P X ≤=12． 9．C 【分析】各顶点都在一个球面上的正四棱柱，棱柱的体对角线即为球的直径，再由球表面积公式即可求解. 【详解】因为正四棱柱高为4，体积为16，所以正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为即2R =2424R S R ππ===球, 故选：C 10．A 【分析】利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定和性质判断①②③④⑤⑥⑦中线线、线面、面面位置关系，由此可得出结论.对于①，若//n α，m α⊂，则m 、n 平行或异面，①错误； 对于②，若//m α，//m β，则α、β平行或相交，②错误； 对于③，若m β⊥，αβ⊥，则//m α或m α⊂，③错误；对于④，若m α⊥，m β⊥，由线面垂直的性质可得//αβ，④正确； 对于⑤，若αβ⊥，m β⊂，则m 与α平行、相交或m α⊂，⑤错误； 对于⑥，若//αβ，m β⊥，由面面平行的性质可得m α⊥，⑥正确； 对于⑦，若n αβ=，//m n ，则//m α或m α⊂，⑦错误.故选：A. 【点睛】对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳． 11．13i - 【分析】将复数z 的分子分母同乘以分母的共轭复数，再根据复数的乘法运算计算出结果. 【详解】 因为()()()()1031013101333310i i i iz i i i i -+====+++-， 所以13z i =-， 故答案为：13i -. 12．40 【分析】根据二项展开式通项公式求2x 的系数. 【详解】根据二项式定理,5x⎛ ⎝的通项为510321(2)r r r r T C x -+=⋅-⋅，当10322r-=时,即r =2时,可得2340T x =. 即2x 项的系数为40 故答案为：40 【点睛】方法点晴：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 13．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】设(,)b x y =，由数量积的坐标表示列出关于,x y 的一个方程，再由模得一方程，联立后可解得,x y ，得结论． 【详解】设(,)b x y =，则24351a b x y b x y ⎧⋅=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得：4535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即43,55b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 故答案为：43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 14．14 【分析】分析体育课在不在最后一节，采用分类加法计数原理以及排列思想计算出对应的排法数. 【详解】当体育课在最后一节时，此时另外3节课可在其余位置任意排列，故有33A 种排法； 当体育课不在最后一节时，此时体育课只能在第2节或第3节，故有112222A A A 种排法， 所以一共有：31123222+=14A A A A 种排法，故答案为：14. 【点睛】方法点睛：本题考查分类加法计数原理与排列的综合应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 15．0.096 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式直接求解出结果即可. 【详解】根据独立重复试验的概率计算公式可知：()311130.20.80.096P C -==，故答案为：0.096. 16．18【分析】先由题意，得到3324DF DE AC ==，推出1324=+=+AF AD DF AB AC ，再由BC AC AB =-，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】因为2DE EF =，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，所以3324DF DE AC ==， 因此1324=+=+AF AD DF AB AC ，又BC AC AB =-，ABC ∆是边长为1的等边三角形，所以()221313124244⎛⎫⋅=+⋅-=-+-⋅ ⎪⎝⎭AF BC AB AC AC AB AB AC AC AB1311311cos602442488︒=-+-⋅=-+-=AC AB .故答案为：18【点睛】 本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.17．(I )12；(II )分布列见解析，40 . 【分析】(I ) 设顾客所获取的奖励额为X ，60X =即摸出一张面值50元的和从3张面值10元摸出一张，由排列组合的知识可得概率；(II ) X 得所有可能取值为20，60，由(I )知两个概率均为12，从而可得分布列，再由期望公式计算期望．【详解】(I )设顾客所获取的奖励额为X ，依题意，得()1113241602C C P X C ⋅===， 即顾客所获得奖励额为60元的概率为12； (II )依题意得X 得所有可能取值为20，60，()()23241160,2022C P X P X C =====， 即X 的分布列为所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E （X ）＝20×12+60×12＝40． 18．(I ) 7；(II )7198. 【分析】(I ) 由余弦定理求b ； (II )由正弦定理求得sin A ，再由余弦的二倍角公式求得cos2A ．【详解】（Ⅰ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-22259253cos49.3b π=+-⨯⨯⨯= 所以7b =；（Ⅱ）由正弦定理.sin sin a b A B =所以3sin 7A ==所以2271cos 212sin 121498A A ⎛=-=-⨯= ⎝⎭．【点睛】方法点睛：本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，正弦定理主要解决两类问题：一是已知两角用一角对边解三角形，二是已知两边及一边对角解三角形（这一类型可能出现两解，需要进行判断），余弦定理主要解决两类问题：一是已知两边及夹角解三角形，二是已知三边解三角形．实质上已知两边及一角都可用余弦定理求解三角形．19．(I ) π；(II ) 为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12. 【分析】（I ）根据降幂公式以及辅助角公式将()f x 化简，然后根据周期计算公式求解出最小正周期；（II ）采用整体替换的方法求解出()f x 在[]0,π上的单调递增区间，再结合()f x 的单调性求解出()min f x .【详解】（Ⅰ）1cos 2()2(1cos 2)2x f x x x -=+++1332cos 2sin(2).2262x x x π=++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== （Ⅱ）令222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈所以,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 当0k =时，单调递增区间为,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1k =时，单调递增区间为2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在[]0,π上的单调增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 又在[]0,π上，()02f =，2π132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()min 12f x ∴=. 【点睛】思路点睛：本题考查三角恒等变换与三角函数性质的综合应用，属于中档题.利用三角恒等变换的公式化简的思路：对于二次的正余弦形式，先采用降幂公式变形，再利用辅助角公式进行整合；已知区间求解三角函数最值的思路：先分析单调性，必要时需要结合端点值进行分析.20．(I ) 证明见解析；(II )4. 【分析】（I ）取OD 的中点E ，通过证明四边形MNCE 是平行四边形可得MN //EC ，即可证明； （II ）可得MDC ∠为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角），连接,AC MC ,求出三角形各边长，即可根据余弦定理求出.【详解】（Ⅰ）证明：取OD 的中点E ，∵M 为OA 的中点 12ME AD ∴，∵N 为BC 的中点，12NCAD ∴， 12ME NC ∴， ∴四边形MNCE 是平行四边形，∴MN //EC ，∵MN ⊄平面OCD ，EC ⊂平面OCD ，∴MN //平面OC D.（Ⅱ）解：//CD ABMDC ∴∠为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）， 连接,AC MC ,1,3AD AB BC ABC π===∠=, 1AC ∴=,M 是OA 的中点，1AM ∴=,OA ⊥平面ABCD ，∴OA ⊥AD ，MD MC ∴==cosMDC ∴∠==【点睛】 方法点睛：证明线面平行的方法是在平面内找一条直线与已知直线平行，常用的证明线线平行的方法是构造平行四边形或者利用三角形的中位线定理.21．(I )证明见解析；(II . 【分析】（I ）取AD 的中点P ，连结EP PC ，，MP ，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直，从而可证明EC 与,MP MD 垂直，然后可得线面垂直，面面垂直； （II ）取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角，在Rt EPQ △中求得其余弦值．【详解】（Ⅰ）证明：取AD 的中点P ，连结EP PC ，．则EFAP =，∵//FE AP =，∴四边形F APE 是平行四边形，∴//FA EP =，同理，//AB PC =.又∵FA ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥平面ABCD ，而PC AD ，都在平面ABCD 内，∴.EP PC EP AD ⊥⊥，由AB AD ⊥，可得PC AD ⊥，设FA a =，则.EP PC PD a CD DE EC ======，所以△ECD 为正三角形.∵DC DE =且M 为CE 的中点，∴DM CE ⊥.连结MP ，则.MP CE ⊥PM ∩MD =M ，而PM ，MD 在平面AMD 内 ，∴CE ⊥平面AMD而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥CDE .（Ⅱ）解：取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，∵CE DE =，∴.EQ CD ⊥∵PC PD =，∴PQ CD ⊥∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角.由(Ⅰ)可得， 22EP PQ EQ a PQ a ==⊥，，．于是在Rt EPQ △中，cos PQ EQP EQ ∠==∴二面角A CD E --【点睛】 方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算， 一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作的角是二面角的平面角；三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）．。
2020届高三数学上学期期中试题(含解析)_8
2020届高三数学上学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别由集合求出对应范围，先求，再求即可【详解】或，，则故选：C【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题2.若点在角的终边上，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将点化简，得，结合同角三角函数先求出，再结合二倍角公式求出即可【详解】由故选：B【点睛】本题考查三角函数值的化简，同角三角函数的基本求法，二倍角公式的应用，属于基础题3.已知平面向量，，若，则（）A. B. 20 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据两个向量平行的坐标表示列式求得,再根据求得向量的坐标,然后求得模长.【详解】因为平面向量，，且,所以,解得,所以,所以所以.故选:A【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,考查了求向量的模长,属于基础题.4.已知函数，则（）A. 144B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断括号内，需代入第二段表达式，得，由继续代入第一段表达式即可求解【详解】故选：C【点睛】本题考查分段函数中具体函数值的求解，对数的基本运算，对数恒等式的使用，属于基础题5.若先将函数的图象向左平移个单位，再保持图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合函数图像平移法则求出表达式，再代值运算即可【详解】由题可知，的图象向左平移个单位后的表达式为：，再将所有横坐标伸长为原来的2倍，表达式变为：，则，故选：C【点睛】本题考查由函数图像的平移法则求平移之后的解析式及具体的函数值，属于基础题6.函数的图象可能是下面的图象( )A. B. C.D.【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B．当时，，所以，排除D．选C．7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可观察两个式子整体特征，一个为单倍角，一个为二倍角，则考虑先对整体求二倍角，再根据诱导公式进行合理转化即可【详解】，即，，而，则，故故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换及诱导公式的使用，熟悉单倍角与二倍角公式转化，熟练运用诱导公式是解题的关键，属于中档题8.设，为两个平面，则的充要条件是（）A. 内有一条直线与垂直B. 内有一条直线与内两条直线垂直C. 与均与同一平面垂直D. 与均与同一直线垂直【答案】A【解析】【分析】结合面面垂直的判定定理即可求解【详解】对A，符合面面垂直的判定定理描述，正确；对B，两平面斜交时，若内的直线垂直于两平面交线，而内两条直线与交线平行时，符合描述，但两平面不垂直，故错误；对C，垂直于同一平面的两平面也可能平行，故错误；对D，垂直于同一直线的两平面平行，故错误；故选：A【点睛】本题考查面面垂直的性质与判定，属于基础题9.若函数的一个极大值点为，则（）A. 0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先将表达式结合二倍角公式和两角差的余弦公式化简，再采用待定系数法即可求解【详解】，因为的一个极大值点为，所以，解得，又，故，故选：D【点睛】本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式和两角差的余弦公式的使用，属于基础题10.英国数学家泰勒发现了如下公式：.则下列数值更接近的是（）A. 0.91B. 0.92C. 0.93D. 0.94【答案】B【解析】【分析】根据表达式特点可写出通式，再分为奇数和偶数分类讨论即可【详解】由题知题设要求精确到0.01即可，当为奇数时，由于，，所以；当为偶数时，由于，，综上所述，故选：B【点睛】本题考查新定义的理解与使用，找出规律，学会分类讨论是解题的关键，属于中档题二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11.下列结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，，则【答案】BCD【解析】【分析】根据不等式的性质举反例可判断A；利用基本不等式可判断B；由对数函数的单调性可判断C；由基本不等式可判断D.【详解】对于A，若，则，当，时，不成立，故A错；对于B，由，则，当且仅当取等号，故B 正确；对于C，由为单调递增函数，由，则，故C 正确；对于D，由，，则，当且仅当时取等号，故D正确；故选：BCD【点睛】本题考查了基本不等式的性质、基本不等式以及对数函数的单调性，属于基础题.12.在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（）A. 直线B. 直线C. 平面D. 平面【答案】AD【解析】分析】作出正方体，由线面平行的判定定理可判断A、B；由面面平行的判定定理可判断C、D.【详解】如图由，且平面，平面，故直线与平面平行，故A正确；直线，与平面相交，故直线与平面相交，故B错误；由图，显然平面与平面相交，故C错误；由，，且，，故平面与平面平行，故D正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.13.若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为（）A. 2B. 0C. 1D.【答案】BCD【解析】【分析】作出的图像，利用数形结合可判断满足恰有一个公共点；当时，需直线与曲线相切即可.【详解】由与恒过，如图，当时，两函数图象恰有一个公共点，当时，函数与的图象恰有一个公共点，则为的切线，且切点为，由，所以，综上所述，或.故选：BCD【点睛】本题考查了指数函数图像、导数的几何意义，考查了数形结合在解题中的应用，属于基础题.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.14.声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.（1）平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为______；（2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，则正常人听觉的声强级范围为______.【答案】 (1). 60 (2).【解析】【分析】根据定义，代入数值，结合对数运算性质即可求解；【详解】（1）当时，；（2）当时，，当时，，则正常人听觉的声强级范围为故答案为：60；【点睛】本题考查指数与对数的基本运算，属于基础题15.已知等差数列满足：，，则数列的前2019项和等于______.【答案】0【解析】【分析】由计算出数列的通项公式，再根据新数列的周期性特点即可求解【详解】由可得，则，当时，，当时，，当时，，当时，，，通过列举发现新数列是一个周期为4的循环数列，记，为前项和，则故数列的前2019项和等于0故答案为：0【点睛】本题考查等差数列通项公式求解，周期数列前项和的求解，三角函数的周期性，属于基础题16.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，的面积，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】结合正弦定理角化边及余弦定理，可得，再由正弦定理面积公式求得，再结合余弦定理放缩即可求解【详解】由题，求得，又因为，由余弦定理及不等式性质可得：，即，化简得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理角化边，正弦的面积公式，余弦定理解三角形，不等式的基本性质，属于中档题17.已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，则三棱锥的外接球与内切球的半径比为______．【答案】【解析】【分析】将三棱锥放在长方体中，外接球半径即为长方体对角线的一半，内切球的半径利用等体法进行求解.【详解】以，，为过同一顶点的三条棱，作长方体，由，可知此长方体即为正方体.设外接圆半径为，则，设内切圆半径为，则内切圆的圆心到四个面的距离均为，由，解得所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体的内切球外接球问题、等体法求距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.在中，，分别为线段，上的点，，，，，.（1）求；（2）求的长度.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先画出大致图像，在三角形中由正弦定理可得，进而求出，结合三角形内角特点即可求解；（2）由（1）的结论可得，为等腰三角形，求出，再由相似三角形可求，对采用余弦定理即可求解；【详解】（1）在中：，所以，在中由正弦定理知：，又因为为钝角，所以.（2）因为，，所以，，又因为，，，所以，即，在中由余弦定理知：，∴.【点睛】本题考查等腰三角形性质，正弦定理，余弦定理解三角形，属于基础题19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，面面，为的中点.（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点，使得面？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，证明见解析【解析】【分析】（1）可作中点，连接，通过底面梯形的性质可证四边形为正方形，求出边，，通过勾股定理可证，再结合面面，面面，可证面，得到，即可得证；（2）可将问题转化，在底面找一点使得，即可求证；【详解】（1）取中点，连接，∵且，∴且，所以四边形为平行四边形，又∵，，所以四边形为正方形.在中，因为，所以，在中，因为，所以，因为，所以，，因为面，面面，面面，所以面，因为面，所以.（2）线段上存在一点，满足，即为中点时，面，证明如下：连结，∵为的中点，为中点，，又∵，所以，∵面，面，∴面.【点睛】本题考查线面垂直的性质，线线垂直的证明，由线面平行需找满足条件的点，属于中档题20.已知数列满足：，，，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）证明：数列为等差数列；（3）若数列的前项和为，数列的前项和为，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用，由代换即可求证；（2）由（1）得，则，通过定义即可求证；（3）由题可求，由等比数列前项和公式可求，由等差数列前项和公式可求，则，结合裂项公式可求，通过放缩即可求证；【详解】（1）因为，又因为，所以是首项为1，公比2的等比数列.（2）由（1）得：，所以，所以，所以是公差为1的等差数列.（3）由（2）知：，，因为，所以，所以，所以.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的证明，等差数列，等比数列通项公式，前项和公式，裂项相消法，放缩法等的应用，综合性强，但难度不大，属于中档题21.图1是由菱形，平行四边形和矩形组成的一个平面图形，其中，，，，将其沿，折起使得与重合，如图2．（1）证明：图2中的平面平面；（2）求图2中点到平面距离；（3）求图2中二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)【解析】【分析】（1）证出、，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证出.（2）证出，由（1）可得平面，求出即可求出点到平面的距离.（3）以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用向量的夹角即可求出.【详解】（1）由题知，在中，，所以．又在矩形中，，且，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（2）由（1）知：平面，所以．因为菱形中的，所以为等边三角形，，所以在中，，．所以在中，，．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．又因为平面，所以点到平面距离为．（3）以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，所以，，，．由（1）知平面的法向量为，设平面的法向量，因为，，由，得，取得，．所以，即二面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理、点到面的距离以及用空间向量求二面角，考查了学生的推理能力和计算能力，属于中档题.22.已知函数.（1）求函数的极值；（2）若，求的值.【答案】（1）时，无极值；当时，极大值，无极小值；（2）1【解析】【分析】（1）先求导，得，再分为和两种情况具体讨论，进一步确定函数的极值；（2）由（1）可判断当时，不满足所求条件，当时，，则所求问题转化为：，可构造函数，得，令得，可判断在处取到最小值，且，故求得；【详解】（1）由题知：，当时，，在上单调递减，所以无极值，当时，得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以在时取得极大值，综上：时，无极值；当时，有极大值，无极小值.（2）若恒成立，由（1）知当时，，在上单调递减，又因为，∴时，时，所以时，不存在符合题意的值，若时，由（1）知：若恒成立，只需，令，则，得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；且，因此.【点睛】本题考查利用含参导数分类讨论求极值，恒成立问题的等价转化，构造函数法求解参数取值，属于中档题23.已知自变量为的函数的极大值点为，，为自然对数的底数.（1）若，证明：有且仅有2个零点；（2）若，，，…，为任意正实数，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当时，，求导得，令，再次求导，可判断在单调递减，又，故在上单调递增；在上单调递减；求得，再判断，，结合零点存在定理判断，有且仅有2个零点；（2）对求导可得，又，故可判断，；，，在上单调递增；在上单调递减；故且，所求问题转化为，记为，观察知为等差乘以等比数列的形式，结合错位相减法化简即可求证；【详解】解：（1）由题知：，∴，令，，∴在单调递减，又∵，∴，，，，故在上单调递增；在上单调递减；所以；又因为，，所以在，上各恰有零点，即有且仅有2个零点.（2）由题知，因此，，；，，故在上单调递增；在上单调递减；因此且，∵，所以，记为，所以，，所以，所以，所以，因此，即.【点睛】本题考查利用导数证明函数零点个数，利用导数研究函数极值点，放缩法证明不等式的应用，错位相减法求数列前项和，转化与化归能力，计算能力，属于难题2020届高三数学上学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别由集合求出对应范围，先求，再求即可【详解】或，，则故选：C【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题2.若点在角的终边上，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将点化简，得，结合同角三角函数先求出，再结合二倍角公式求出即可【详解】由故选：B【点睛】本题考查三角函数值的化简，同角三角函数的基本求法，二倍角公式的应用，属于基础题3.已知平面向量，，若，则（）A. B. 20 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据两个向量平行的坐标表示列式求得,再根据求得向量的坐标,然后求得模长.【详解】因为平面向量，，且,所以,解得,所以,所以所以.故选:A【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,考查了求向量的模长,属于基础题.4.已知函数，则（）A. 144B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断括号内，需代入第二段表达式，得，由继续代入第一段表达式即可求解【详解】故选：C【点睛】本题考查分段函数中具体函数值的求解，对数的基本运算，对数恒等式的使用，属于基础题5.若先将函数的图象向左平移个单位，再保持图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合函数图像平移法则求出表达式，再代值运算即可【详解】由题可知，的图象向左平移个单位后的表达式为：，再将所有横坐标伸长为原来的2倍，表达式变为：，则，故选：C【点睛】本题考查由函数图像的平移法则求平移之后的解析式及具体的函数值，属于基础题6.函数的图象可能是下面的图象( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B．当时，，所以，排除D．选C．7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可观察两个式子整体特征，一个为单倍角，一个为二倍角，则考虑先对整体求二倍角，再根据诱导公式进行合理转化即可【详解】，即，，而，则，故故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换及诱导公式的使用，熟悉单倍角与二倍角公式转化，熟练运用诱导公式是解题的关键，属于中档题8.设，为两个平面，则的充要条件是（）A. 内有一条直线与垂直B. 内有一条直线与内两条直线垂直C. 与均与同一平面垂直D. 与均与同一直线垂直【答案】A【解析】【分析】结合面面垂直的判定定理即可求解【详解】对A，符合面面垂直的判定定理描述，正确；对B，两平面斜交时，若内的直线垂直于两平面交线，而内两条直线与交线平行时，符合描述，但两平面不垂直，故错误；对C，垂直于同一平面的两平面也可能平行，故错误；对D，垂直于同一直线的两平面平行，故错误；故选：A【点睛】本题考查面面垂直的性质与判定，属于基础题9.若函数的一个极大值点为，则（）A. 0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先将表达式结合二倍角公式和两角差的余弦公式化简，再采用待定系数法即可求解【详解】，因为的一个极大值点为，所以，解得，又，故，故选：D【点睛】本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式和两角差的余弦公式的使用，属于基础题10.英国数学家泰勒发现了如下公式：.则下列数值更接近的是（）A. 0.91B. 0.92C. 0.93D. 0.94【答案】B【解析】【分析】根据表达式特点可写出通式，再分为奇数和偶数分类讨论即可【详解】由题知题设要求精确到0.01即可，当为奇数时，由于，，所以；当为偶数时，由于，，综上所述，故选：B【点睛】本题考查新定义的理解与使用，找出规律，学会分类讨论是解题的关键，属于中档题二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11.下列结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，，则【答案】BCD【解析】【分析】根据不等式的性质举反例可判断A；利用基本不等式可判断B；由对数函数的单调性可判断C；由基本不等式可判断D.【详解】对于A，若，则，当，时，不成立，故A错；对于B，由，则，当且仅当取等号，故B正确；对于C，由为单调递增函数，由，则，故C正确；对于D，由，，则，当且仅当时取等号，故D正确；故选：BCD【点睛】本题考查了基本不等式的性质、基本不等式以及对数函数的单调性，属于基础题.12.在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（）A. 直线B. 直线C. 平面D. 平面【答案】AD【解析】分析】作出正方体，由线面平行的判定定理可判断A、B；由面面平行的判定定理可判断C、D.【详解】如图由，且平面，平面，故直线与平面平行，故A正确；直线，与平面相交，故直线与平面相交，故B错误；由图，显然平面与平面相交，故C错误；由，，且，，故平面与平面平行，故D正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.13.若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为（）A. 2B. 0C. 1D.【答案】BCD【解析】【分析】作出的图像，利用数形结合可判断满足恰有一个公共点；当时，需直线与曲线相切即可.【详解】由与恒过，如图，当时，两函数图象恰有一个公共点，当时，函数与的图象恰有一个公共点，则为的切线，且切点为，由，所以，综上所述，或.故选：BCD【点睛】本题考查了指数函数图像、导数的几何意义，考查了数形结合在解题中的应用，属于基础题.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.14.声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.（1）平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为______；（2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，则正常人听觉的声强级范围为______.【答案】 (1). 60 (2).【解析】【分析】根据定义，代入数值，结合对数运算性质即可求解；【详解】（1）当时，；（2）当时，，当时，，则正常人听觉的声强级范围为故答案为：60；【点睛】本题考查指数与对数的基本运算，属于基础题15.已知等差数列满足：，，则数列的前2019项和等于______.【答案】0【解析】【分析】由计算出数列的通项公式，再根据新数列的周期性特点即可求解【详解】由可得，则，当时，，当时，，当时，，当时，，，通过列举发现新数列是一个周期为4的循环数列，记，为前项和，则故数列的前2019项和等于0故答案为：0【点睛】本题考查等差数列通项公式求解，周期数列前项和的求解，三角函数的周期性，属于基础题16.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，的面积，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】结合正弦定理角化边及余弦定理，可得，再由正弦定理面积公式求得，再结合余弦定理放缩即可求解【详解】由题，求得，又因为，由余弦定理及不等式性质可得：，即，化简得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理角化边，正弦的面积公式，余弦定理解三角形，不等式的基本性质，属于中档题17.已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，则三棱锥的外接球与内切球的半径比为______．【答案】【解析】【分析】将三棱锥放在长方体中，外接球半径即为长方体对角线的一半，内切球的半径利用等体法进行求解.【详解】以，，为过同一顶点的三条棱，作长方体，由，可知此长方体即为正方体.设外接圆半径为，则，设内切圆半径为，则内切圆的圆心到四个面的距离均为，由，解得所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体的内切球外接球问题、等体法求距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.在中，，分别为线段，上的点，，，，，.（1）求；（2）求的长度.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先画出大致图像，在三角形中由正弦定理可得，进而求出，结合三角形内角特点即可求解；（2）由（1）的结论可得，为等腰三角形，求出，再由相似三角形可求，对采用余弦定理即可求解；【详解】（1）在中：，所以，在中由正弦定理知：，又因为为钝角，所以.（2）因为，，所以，，又因为，，，所以，即，在中由余弦定理知：，∴.【点睛】本题考查等腰三角形性质，正弦定理，余弦定理解三角形，属于基础题19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，面面，为的中点.（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点，使得面？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，证明见解析【解析】【分析】（1）可作中点，连接，通过底面梯形的性质可证四边形为正方形，求出边，，通过勾股定理可证，再结合面面，面面，可证面，得到，即可得证；（2）可将问题转化，在底面找一点使得，即可求证；【详解】（1）取中点，连接，∵且，∴且，所以四边形为平行四边形，又∵，，所以四边形为正方形.在中，因为，所以，在中，因为，所以，因为，所以，，因为面，面面，面面，所以面，因为面，所以.（2）线段上存在一点，满足，即为中点时，面，证明如下：连结，∵为的中点，为中点，，又∵，所以，∵面，面，∴面.【点睛】本题考查线面垂直的性质，线线垂直的证明，由线面平行需找满足条件的点，属于中档题20.已知数列满足：，，，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）证明：数列为等差数列；（3）若数列的前项和为，数列的前项和为，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用，由代换即可求证；（2）由（1）得，则，通过定义即可求证；（3）由题可求，由等比数列前项和公式可求，由等差数列前项和公式可求，则，结合裂项公式可求，通过放缩即可求证；【详解】（1）因为，又因为，所以是首项为1，公比2的等比数列.（2）由（1）得：，所以，所以，所以是公差为1的等差数列.（3）由（2）知：，，因为，所以，所以，所以.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的证明，等差数列，等比数列通项公式，前项和公式，裂项相消法，放缩法等的应用，综合性强，但难度不大，属于中档题21.图1是由菱形，平行四边形和矩形组成的一个平面图形，其中，，，，将其沿，折起使得与重合，如图2．（1）证明：图2中的平面平面；（2）求图2中点到平面距离；（3）求图2中二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)【解析】【分析】（1）证出、，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证出.（2）证出，由（1）可得平面，求出即可求出点到平面的距离.（3）以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用向量的夹角即可求出.【详解】（1）由题知，在中，，所以．又在矩形中，，且，。
天津市红桥区高三数学上学期期中试题 文(无答案)新人教A版
一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题有且仅有一个答案是正确的，请将正确结论的代号涂在答题卡上．1．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )A ．32B ．2C ．3D ．4 2．5cos 4的值为( ) A ．22 B ．22 C ．12 D ．12 3．若2,2ab ，且()a b a ，则a 与b 的夹角是．( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．24．已知两个不同的平面,和两条不重合的直线m ，n ，则下列命题不正确的是( ) A ．//,,m n mn 若则 B ．,,//m m 若则 C ．,//,,m m n n 若则 D ．//,,//m n m n 若则 5．在长方体1111,ABCD A B C D 中，12,1AB BC AA ，则1BC 与平面11BDD B 所 成角的正弦值为( )A ．55B ．105C ．3510D ．3106．已知直线0ax by c与圆22:1O x y 相交于A ，B 两点，且3AB ,则OA OB 的值是( )A ．0B ．12 C ．34 D ．12 7．已知曲线421y x ax 在点(1,2)a 处切线的斜率为8，a=( )A 9 B. 6 C. -9 D -68．如右上图，在ABC 中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD ( )A ．2133AB AC B ．1233AB AC C ．2133AB ACD ．1233AB AC9．已知函数()sin cos f x x x ，且'()2f x ，则tan 2x 的值是( ) A ．34 B ．34 C ．43 D ．4310．将函数22sin ()3yx )图像所有点横坐标缩短为原来一半，再向右平移3，得到函 数()f x 的图像，那么关于()f x 的论断正确的是( )．A ．周期为2，一个对称中心为(,0)2 B ．周期为2，一个对称中心为(,1)2C ．最大值为2，一个对称轴为2xD ．最大值为l ，一个对称轴为2x二、填空题本大题共8小题，每小题5分，共40分．请将答案直接填在题中的横线上． 1 1．在ABC 中，,23A AB ，且ABC 的面积为32，则边BC 的长为_______. 1 2．已知高为3的直棱柱'''ABC A B C 的底面是边长为1的正三角形（如右图所示）， 则三棱锥'B ABC 的体积为__________ ．13.已知向量(3,1),(0,1),(,3)ab c k ,若2a b 与c 垂直,则k __________.14．已知函数322()f x x ax bx a 在x=1处取极值10，则(2)f _________. 15．设当x时，函数()3sin 4cos f x x x 取得最大值，则cos __________.16．已知正方体1111ABCD A B C D 中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成 角的余弦值为___________．1 7．函数3()3f x x ax a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为__________．18．已知等腰ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b,c ，设向量 (,),(,)p a c b q b a c a ，若//p q ，则角A 的大小为_________．三、解答题 本大题共5小题，共60分．解答应写出必要的过程．1 9．（本小题8分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A .(I)求cos()cos 2B C A 的值：（Ⅱ）若22,4a b c ，求△ABC 的面积。
红桥区高三文科数学期中考试试题.doc
201X 届红桥区高三文科数学期中考试试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．3．本卷共10小题，第小题5分，共50分． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+； 如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅；如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()C (1)k k n kn n P k P P -=-．一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 某中学初一年级540人，初二年级440人，初三年级420人，用分层抽样的方法，抽取容量为70的样本，则初一、初二、初三三个年级分别抽取（ ）.A. 28人，24人，18人B. 25人，24人，21人C. 27人，22人，21人D. 26人，24人，20人2．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．不等式2320x x -+<的解集是( ).A ．{}21x x x <->-或 B ．{}12x x x <>或 C ．{}21x x -<<- D ．{}12x x<<4. 设的大小关系是、、，则，，c b a c b a 35505033-===.log log .（ ）.A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．b <a <c 5．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员 的中位数分别为( ).A ．19、13B ．13、19C ．20、18D ．18、206. 设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 ( ).A. 0x π≤≤B.744x ππ≤≤C. 544x ππ≤≤D. 322x ππ≤≤ 7．直线l ：01)(2=+++a y x 与圆C ：)0(22>=+a a y x 的位置关系为（ ）.A ．恒相切B ．恒相交C ．恒相离D ．相切或相离8．以下四个命题中的假命题是（ ）.A. “直线a 、b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线a 、b 不相交”B. “直线b a ⊥”的充分不必要条件是“a 垂直于b 所在的平面”C. “两直线a//b ”的充要条件是“直线a 、b 与同一平面α所成角相等”D. “直线a//平面α”的必要不充分条件是“直线a 平行于平面α内的一条直线” 9.设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所走的路程y 和其所用的时间x 的函数的图象为 （ ）.A ．B ．C ．D ．10. 如图2，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）. A. 1B.12 C. 13D.16图2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．左视图主视图11．若复数()()2563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ． 12．在空间直角坐标系中O xyz -，点()1,2,3-关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为 __________ ．13.已知数列}{n a 的等差数列，若3,244113==+a a a ，则数列}{n a 的公差等于________14．如果双曲线的两个焦点分别为()130F -，，()230F ，，一条渐近线方程为y =，那么此双曲线的方程为:______________________15．按如图3所示的程序框图运算． 若输入8x =，则输出k = ；若输出2k =，则输入x 的取值范围是 ． （注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”，均表示赋值 语句）16. 已知2π-≤x ≤π，向量),(cos ),sin ,(13x x ==，则a b ⋅的取值范围是_______三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在⊿ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且10103cos ,21tan ==B A (I )求tanC 的值; （II ）若⊿ABC 最长的边为1，求b 。
2024-2025学年天津市红桥区高三(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|0≤x ≤3}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x ≤3}B. {x|0≤x <2}C. {x|0≤x ≤3}D. {x|−1<x <2}2.若a =40.5，b =log 40.5，c =0.54，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a3.设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A. 若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB. 若l//α，α//β，则l ⊂βC. 若l ⊥α，α//β，则l ⊥βD. 若l//α，α⊥β，则l ⊥β4.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )A. 12B. 1C. 2D. 45.“lga >lgb ”是“(a−2)3>(b−2)3”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.已知函数f(x)=sin (2x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于x =π3对称，则φ=( )A. −π6B. π6C. −π3D. π37.已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC =BC =1，则三棱锥O−ABC 的体积为 ( )A. 212 B. 312 C. 24 D. 348.已知a >b >0，则4a +42a +b +12a−b 的最小值为( )A. 2 B. 2 2 C. 6 D. 4 29.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y−4=0相切，则圆C 面积的最小值为( )A. 45πB. 34πC. (6−2 5)πD. 54π二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市红桥区2023-2024学年高三上学期期中 数学试题(含解析)
高三数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体底面积，h 表示柱体的高.锥体体积公式：13V Sh=，其中S 表示锥体底面积，h 表示锥体的高.球体表面积公式：24R S π=，其中R 表示球体的半径.球体体积公式：343V R π=，其中R 表示球体的半径.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|0},{|03},1xA xB x x x =<=<<-那么“x A ∈”是“x B ∈”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】由01xx <-得01x <<，可知“m A ∈”是“m B ∈”的充分而不必要条件．2.设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（）A.–4B.–2C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知(sin ,cos ),2,1a b αα==- （），若a b ⊥ ，则tan α的值为A.2- B.2C.12D.12-【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为a b ⊥，所以2sin cos 0αα-+=，因为cos 0α≠，所以2tan 10α-+=，解得1tan 2α=，故选C ．考点：1、向量垂直的坐标运算；2、同角三角函数的基本关系．4.将函数πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（）A.1sin 2y x = B.1πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.1πsin 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.πsin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数图像变换规则解题即可.【详解】将函数πsin 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到图象对应的函数解析式为1πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将1πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位得到的图象对应的解析式为1ππ1πsin sin 23326y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.5.设13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）．A.a b c << B.b<c<aC.a c b<< D.b a c<<【答案】C 【解析】【分析】利用对数指数函数的单调性求出a,b,c 的范围即得解.【详解】由题得1133log 2log 10a =<=，112211log log 132b =>=，0.3110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<.故选：C【点睛】本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（）A.9π2B.12πC.9πD.【答案】A 【解析】【分析】先求得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.【详解】依题意，设正方体的边长为,0a a >，则2618,a a ==3=，所以正方体外接球球的直径23R =，半径32R =，所以球的体积为34π39π×=322⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.7.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=，等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，则5b =A.32 B.64C.128D.256【答案】B 【解析】【详解】由1210a a +=，432a a -=可知数列14,2,22===+n a d a n ,所以238,16==b b ,故2532,16464==⋅=⨯=q b b q .故选B.8.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x xf x '=的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有两个极小值C.()0f 为函数的极小值D.()1f -为()f x 的极小值【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由函数()()g x xf x '=的图形，对x 分类讨论，得出函数()f x 的单调区间，结合极值点的定义，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()()g x xf x '=的图象，可得：当(,2)x ∈-∞-时，可得()0xf x '>，所以()0f x '<，()f x 单调递减；当(2,0)x ∈-时，可得()0xf x '<，所以()0f x ¢>，()f x 单调递增；当(0,1)x ∈时，可得()0xf x '<，所以()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，可得()0xf x '>，所以()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以，当2x =-时，函数()f x 极小值；当0x =时，函数()f x 极大值；当1x =时，，函数()f x 极小值，所以A 错误，B 正确，C 错误，D 错误.故选：B.9.已知函数()22,0,0ax x x f x ax x x ⎧+=⎨-+<⎩ ，当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，恒有()()f x a f x +<成立，则实数a 的取值范围是（）A.1515,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.151,2⎛+- ⎝⎭C.15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D.151,22⎛⎤- ⎥ ⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】判断()f x 奇偶性，分段进行分类讨论，结合二次函数单调性，即可求得结果.【详解】易证函数f (x )为奇函数，∵11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，恒有()()f x a f x +<成立∴x =0时，f (a )<f (0)=0;当a =0时，f (a )=0舍去；当a >0时，()30f a a a =+<不成立，舍去当a <0时，-30a a +<，解得-1<a <0(i )1 ,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 0x a +<，∴()22a x a a x ax x -+++<-+，即232a x a a --+<0恒成立令h (x )=23 2a x a a --+，则h (x )单调递减，∴()2310,2max h x h a a a ⎛⎫=-=-+< ⎪⎝⎭解得1502a -<<(ii )下面证明1502a -<<时，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()()f x a f x +<，恒成立10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，x +a ()211,,22f x ax x ∈=+对称轴x =12a ->12若1502x a +∈（），则()()0f x a f x +<<，成立；若10,2x a ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2f x ax x =+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则()()f x a f x +<恒成立综上1502a -<<故选：C【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，以及分段不等式求参数范围，属综合中档题；注意分类讨论.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.已知函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是_______.【答案】2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】等价于存在(0,1)x ∈使得()0f x '>成立，即2()3min a x>成立，即得解.【详解】由题得2()32f x ax x '=-，因为函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，所以存在(0,1)x ∈使得()0f x '>成立，即23a x>成立，因为01x <<时，2233x >，所以23a >.故答案为：2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】易错点点睛：本题是一个存在性的问题，存在(0,1)x ∈使得()0f x '>成立，不是一个恒成立的问题，所以23a x>成立时，即2()3min a x >，不是2()3max a x >.遇到这样的题目，要注意区分存在性问题和恒成立问题.11.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11251.,,a a a a =若成等比数列，则n a =___【答案】21n -【解析】【详解】设数列公差为非零常数d ，由题意2152=a a a ，即()2=1+41d d +，解得2d =.所以21n a n =-.故答案为：21n -12.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，且3AC BC ==，点M 满足2BM MA = ，则CM CB ⋅=__________.【答案】3【解析】【分析】先利用基底法求出1233CM CB CA =+，再利用数量积的运算法则即可得解.【详解】因为90C ∠=︒，所以0C C A B ⋅=，因为2BM MA =，3AC BC ==，所以()11123333CM CA AM CA AB CA CB CA CB CA =+=+=+-=+ ，则21321333CM CB CB CA C CB B ⎛⎫⋅=⋅== ⎪⎝⎭+ .故答案为：3.13.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为__________；()f x 在区间π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是__________.【答案】①.π②.[]0,1【解析】【分析】根据题意，利用正弦型函数的最小正周期的公式，求得函数的最小正周期，在由正弦函数的性质，求得()f x 的取值范围，得到答案.【详解】由函数()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，又由π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以，当π204x -=，即π8x =时，函数()f x 取得最小值π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当ππ242x -=，即3π8x =时，函数()f x 取得最大值3π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 在π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围为[]0,1.故答案为：π；[]0,1.14.已知向量()2,1a =-，(1,)b m =-，(1,2)c =-，若()//a b c +，则m =________；若a与b的夹角为钝角，则m 的取值范围为_________.【答案】①.1-②.112,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】先求得a b +的坐标，再由共线向量的性质求解；由夹角为钝角可得0a b ⋅< 且满足cos ,1a b ≠- ，求解即可.【详解】由题，()1,1a b m +=-+ ，若()//a b c +，所以()12m --+=，则1m =-；若a 与b 的夹角为钝角，则20a b m ⋅=--< 且cos ,1a b ≠- ，所以2m >-且12m ≠，即112,,22m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1-；112,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭15.若两个正实数x ，y 满足141x y +=且任意的x ，y 使不等式234y x m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】(4,1)-【解析】【分析】由基本不等式求得4yx +的最小值,，然后解相应不等式得参数范围．【详解】因为140,0,1x y x y >>+=，所以144()(224444y y y x x x x y x y +=++=++≥+=，当且仅当44y x x y =，即2,8x y ==时等号成立，所以4yx +的最小值是4，由234m m +<得41m -<<．故答案为：(4,1)-．三､解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值【答案】（1）B =60°（2）a c ==【解析】【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面,,ABC AB BC D ⊥为AC 的中点.14,6AA AB BC ===.（1）证明：1AB 平面1BC D ；（2）求二面角1C BD C --的余弦值.【答案】（1）见解析.（2）22【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面1C BD 与平面BDC 的法向量，利用二面角向量求法进行求解即可.【小问1详解】连接1B C 交1BC 于E ，连接DE ,在1AB C V 中，E 为1B C 中点，D 为AC 中点,所以1DE AB ∥，又因为1AB ⊂/平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D 所以1AB 平面1BC D .【小问2详解】由题意侧棱1AA ⊥底面ABC 所以1BB ⊥底面ABC ，即11,BB AB BB BC ⊥⊥，又AB BC ⊥，所以11BB ABAB BCAB BB BC B ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩平面11BB C C ,所以可建立空间直角坐标系如图：以B 为原点，以1BB ，BC ，BA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，则(0,0,0)B ，(0,0,4)A ，1(4,0,4)A ，1(4,6,0)C ，(0,6,0)C ，(0,3,2)D ，所以(0,3,2)BD = ，1(4,6,0)BC = ，1(4,0,0)AA = 设平面1C BD 的法向量为(,,)n x y z =，则103204600BD n y z x y BC n ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ ，取=2y -则3,3x z ==所以平面1C BD 的一个法向量为(3,2,3)n =- ，因为1AA ⊥底面ABC ，所以平面BDC 的一个法向量为1(4,0,0)AA = ,设二面角1C BD C --大小为θ，则1122cos 2222AA n AA nθ⋅==⋅ ，所以二面角1C BD C --的余弦值为3222218.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*N n ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求证：1211113n S S S +++< ．【答案】（1）6；（2）6n a n =；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）令2n =代入方程，即可求出1a 的值；（2）解法1：根据1n n n a S S -=-（2n ≥）化简整理，结合等差数列的定义，可得{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，代入公式，即可得答案.解法2：由题意得由()()()13131n n n n S na n n n S S n n -=--=---，整理可得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项161S =，公差为3的等差数列，代入公式，可得n S 表达式，进而可得答案.（3）由（2）可得n S ，进而可得1nS ，根据裂项相消求和法，即可得证【详解】（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯⨯-和212a =，可得16a =，（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=----+--，整理得1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-，所以*16(2,N )n n a a n n --=≥∈所以数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，所以16(1)6n a a n n =+-=；解法2：当2n ≥时，由()()()13131n n n n S na n n n S S n n -=--=---，可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=-所以131n n S S n n --=-，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项161S =，公差为3的等差数列所以63(1)33n S n n n=+-=+，即233n S n n =+所以2333(1)6n n n n n a n n++-==；（3）证明：由（2）知()()1312n n n a a S n n +==+，所以111113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12111111111132231n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111313n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，得证19.已知函数()()21f x x a x a =-++.（1）当2a =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（3）若()20f x x +≥在区间()1,+∞上恒成立，求实数a 的范围.【答案】（1）()()12,∪,-∞+∞；（2）答案见解析；（3）(3⎤-∞⎦.【解析】【分析】（1）把2a =代入可构造不等式2320x x -+>，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.（2）根据函数()()()()21010fx x a x a x a x =-++<⇒--<，分类讨论可得不等式的解集.（3）若()20f x x +≥在区间()1,+∞上恒成立，即21x x a x +≤-在区间()1,+∞上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a 的范围.【小问1详解】当2a =时，则()232f x x x =-+，由()0f x >，得()()2320210x x x x -+>⇒-->，原不等式的解集为()()12,∪,-∞+∞；【小问2详解】由()()()010f x x a x <⇒--<，当1a >时，原不等式的解集为()1,a ；当1a =时，原不等式的解集为∅；当1a <时，原不等式的解集为(),1a .【小问3详解】由()20f x x +≥即()210x x x a +--≥在()1,+∞上恒成立，得21x x a x +≤-.令1t x =-()0t >，则()22112331t t x x t x t t++++==++≥+-当且仅当t =，即1x =时取等号.则3a ≤+，.故实数a 的范围是(3⎤-∞⎦20.已知函数()2ln 1f x x a x =--．（1）若()f x 的单调递增区间为[)2,+∞，求a 的值．（2）求()f x 在[)1,+∞上的最小值．【答案】（1）8a =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数()f x 求导，利用导函数判断出其单调区间，再根据单调区间即可解得8a =；（2）对参数a 进行分类讨论，得出其单调性即可求出函数()f x 在[)1,+∞上的最小值．【小问1详解】函数()f x 定义域为()0,∞+由于函数()f x 的单调增区间为[)2,+∞，且()222a x a f x x x x='-=-，故0a >；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '≥，故函数的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭．2=，则8a =．【小问2详解】()22x a f x x-'=，[)1,x ∞∈+①当0a ≤时，()0f x '≥，则()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 10==f x f ；②当0a >，x ⎛∈ ⎝，()0f x '<，则()f x 在⎛ ⎝上单调递减，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x ¢>，则()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增；（i 1≤，即02a <≤时，()f x 在[)1,+∞单调递增，此时()()min 10==f x f ，（ii 1>，即2a >时，()f x 在⎡⎢⎣上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增；此时()min ln 1222a a a f x f ==--．综上所述：当2a ≤时，()min 0f x =；当2a >时，()min ln 1222a a a f x =--．。
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高三数学（文）
一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题有且仅有一个答案是正确的，请将正确结论的代号涂在答题卡上．
1．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )
A ．32p
B ．2p
C ．3p
D ．4p 2．5cos 4p 的值为( ) A ．
22 B ．22- C ．12 D ．12
- 3．若2,2a b ==v v ，且()a b a -^v v v ，则a v 与b v 的夹角是．( ) A ．6p B ．4p C ．3p D ．2
p 4．已知两个不同的平面,a b 和两条不重合的直线m ，n ，则下列命题不正确的是( )
A ．//,,m n m n a a ^^若则
B ．,,//m m a b a b ^^若则
C ．,//,,m m n n a b a b ^蘜若则
D ．//,,//m n m n a a b ?若则
5．在长方体1111,ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BDD B 所 成角的正弦值为( )
A ．5
B ．10
C ．35
D ．310
6．已知直线0ax by c ++=与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，且3AB =,则OA OB ×u u u r u u u r 的
值是( )
A ．0
B ．
12 C ．34- D ．12- 7．已知曲线421y x ax =++在点(1,2)a -+处切线的斜率为8，a=( )
A 9 B. 6 C. -9 D -6
8．如右上图，在ABC D 中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD =u u u r ( )
A ．2133A
B A
C -u u u r u u u r B ．1233AB AC +u u u r u u u r
C ．2133AB AC +u
u u r u
u u r D ．1233AB AC -u
u u r u u u r
9．已知函数()sin cos f x x x =-，且'()2f x =，则tan 2x 的值是( )
A ．3
4- B ．34 C ．43- D ．4
3
10．将函数22sin ()3y x p =-)图像所有点横坐标缩短为原来一半，再向右平移3p
，得到函
数()f x 的图像，那么关于()f x 的论断正确的是( )．
A ．周期为2p
，一个对称中心为(,0)2p
B ．周期为2p
，一个对称中心为(,1)2p
C ．最大值为2，一个对称轴为2x p
=
D ．最大值为l ，一个对称轴为2x p
=
二、填空题本大题共8小题，每小题5分，共40分．请将答案直接填在题中的横线上． 1 1．在ABC D 中，,23A AB p ?=，且ABC D 的面积为3
，则边BC 的长为_______.
1 2．已知高为3的直棱柱'''ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形（如右图所示）， 则三棱锥'B ABC -的体积为__________ ．
13.已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ===v v v ,若2a b
+v v 与c v 垂直,则k =__________.
14．已知函数322()f x x ax bx a =+++在x=1处取极值10，则(2)f =_________.
15．设当x q =时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最大值，则cos q =__________.
16．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成 角的余弦值为___________．
1 7．函数3
()3f x x ax a =--在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为__________．
18．已知等腰ABC D 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b,c ，设向量 (,),(,)p a c b q b a c a =+=+-u v v ，若//p q u v v ，则角A 的大小为_________．
三、解答题 本大题共5小题，共60分．解答应写出必要的过程．
1 9．（本小题8分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A =. (I)求cos()cos 2B C A ++的值：（Ⅱ）若22,4a b c =+=，求△ABC 的面积。
2 1．（本小题8分）
已知函数22
()(sin cos )2cos f x x x x =+-． (I)求()f x 的最小正周期和单调递增区间：(II)求函数()f x 在3,44p p 轾犏犏臌
上的值域． 21．（本小题12分）
如图，BC ^平面ABC ，//,22EB BC AC BC EC DC ====，
120ACB ?o ，P ，Q 分别为AE,AB 的中点．
(I)证明://PQ 平面ACD ；
(II)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．
22．（本小题1 4分）
设函数329()62
f x x x x a =-+-． (I)对于任意实数x ，'()f x m ³恒成立，求m 的最大值；
(Ⅱ)若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
23．（本小题14分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为l 的菱形，
60BCD ?o ，E 是CD 的中点，PA ^平面ABCD, 3PA =．
(I)证明．：平面PBE ^平面PAB ；
( II)求二面角A BE P --的大小。