第2课时 整式与因式分解课件

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第2课时┃ 整式与因式分解
例 3 [2013· 安徽] 下列运算正确的是 A．2x＋3y＝5xy C．(a－b)2＝a2－b2 B．5m2·m3＝5m5 D．m2·m3＝m6
( B )
解 析
选项 A 中 2x 与 3y 不是同类项，不能合并，选项 A
错误；选项 C 中运用完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，选项 C 错误；选项 D 中运用同底数幂相乘的法则可知 m2·m3＝m5， 故选项 D 错误；只有选项 B 正确，故选 B.
3
考点三
整式的运算
1．整式的加减 (1)同类项与合并同类项 多项式中，所含的字母相同，并且相同字母的指 数也分别相同的项叫做同类项．把多项式中的同类项 合并成一项叫做合并同类项， 合并的法则是系数相加， 所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不 变．
第2课时┃ 整式与因式分解
整式运算四注意： (1)进行整式的运算时，要注意结果的符号； (2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如 a3· a3 ＝a6 和 a3＋a3＝2a3，(am)n 和 an·am 混淆； (3) 单项式的除法注意区别 “ 系数相除 ” 与 “ 同底数幂相 除”的含义，如 6a5÷3a2＝(6÷ 3)a5－2＝2a3，一定不能把同底数幂 的指数相除； (4)在运用完全平方公式进行运算时， 容易漏掉两个数乘积的 2 倍，也容易与平方差公式混淆．
2．代数式的值 (1)一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代 数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． (2)注意：①先弄清运算符号及运算顺序；②将代 数式化简后再求值；③代入求值，有时需要整体代入； ④代入的数是负数或分数时应加括号．
3．单项式和多项式统称为整式． 温馨提示 1.数字与字母相乘时， 通常把乘号省略且把数字写 在前面. 2.当单项式的系数是带分数时，一般写成假分数. 单项式的系数包含前面的符号，当系数是 1 时往往省 略不写；当系数为－1 时，只需要写性质符号“－”. 3.π 是一个无理数且是一个常数， 而不是代表任意 数的字母，在确定单项式的系数和次数时，要注意不 要把 π 错当作字母.
2．幂的运算 (1)a · a ＝a
n m n m＋n
(m，n 都是整数)．
(2)(am)n＝amn(m，n 都是整数)． (3)(ab) ＝a b (n 为整数)． (4)a ÷ a ＝a
m n m－n n n
(a≠0，m，n 都为整数)．
3．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相 乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式与多项式相乘，即 m(a＋b＋c)＝ma＋mb ＋mc. 多项式与多项式相乘，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb ＋na＋nb.
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第2课时┃ 整式与因式分解
变式题
[2012· 北海] 下列运算正确的是 B．(2x2)3＝8x6 D．(x－1)2＝x2－12
( B )A．x3·x5＝x15 Cx9÷x3＝x3皖考解读
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第2课时┃ 整式与因式分解
例 4 [2013· 娄底] 先化简，再求值：(x＋y)· (x－y)－(4x3y－ 3 3 8xy )÷ 2xy，其中 x＝－1，y＝ . 3
探究五 利用拼图验证乘法公式
命题角度： 1．利用因式分解进行计算与化简； 2．利用几何图形验证因式分解公式．
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第2课时┃ 整式与因式分解
例 6 [2013· 义乌] 如图 2－1①， 从边长为 a 的正方形纸片中 剪去一个边长为 b 的小正方形，再沿着线段 AB 剪开，把剪成的 两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形． (1)设图①中阴影部分面积为 S1， 图②中阴影部分面积为 S2， 请直接用含 a，b 的代数式表示 S1，S2； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
解 析
先提公因式 y 得 y(x2－1)，再运用公式法因式分
解，得 x2y－y＝y(x2－1)＝y(x＋1)(x－1)．
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第2课时┃ 整式与因式分解
(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否 应用公式法或其他方法继续分解； (2)因式分解要分解到每一个多项式不能分解为止．
4．乘法公式 (1)平方差公式，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)完全平方公式，即(a± b)2＝a2± 2ab＋b2. 温馨提示 平方差公式还有如下变式： a－ba＋b＝a2－b2， b＋aa－b＝a －b ，b＋a－b＋a＝a －b 等.
2 2 2 2
第2课时┃ 整式与因式分解
解 析
因为 3 月份产值为 a 万元，4 月份比 3 月份减少了
10%，所以 4 月份的产值为 a(1－10%)万元，又 5 月份比 4 月 份增加了 15%，所以 5 月份的产值为 a(1－10%)(1＋15%)万 元．故选 B.
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第2课时┃ 整式与因式分解
把 3 月份产值 a 万元作为“基准”，把“基准”看作单 位“1”，在此基础上增加还是减少，就可以用这个基准量表示 出来．
2
6． (2013· 南昌 )下列因式分解正确的是( A． x2－xy＋x＝x(x－ y) B．a － 2a b＋ ab ＝ a(a－ b) C． x2－2x＋ 4＝ (x－1)2＋ 3 D． ax － 9＝ a(x＋3)(x－ 3)
2 3 2 2 2
B
)
7． 把 x ＋3x＋ c 因式分解得： x ＋ 3x＋ c＝ (x＋1)(x ＋ 2)，则 c 的值为( A． 2 B． 3 A ) C．－ 2 D．－ 3
2 2
3．因式分解的一般步骤 (1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提 公因式； (2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运 用公式来分解；
(3)三查：因式分解必须进行到每一个多项式因 式都不能再分解为止.
第2课时┃ 整式与因式分解
y(x＋1)(x－1) ． 例 5 [2013· 安徽] 分解因式：x2y－y＝________________
图 2－1
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第2课时┃ 整式与因式分解
解
(1)S1＝a2－b2， 1 S2＝ (2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)． 2 (2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
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解
(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷ 2xy ＝x2－y2－2x2＋4y2 ＝－x2＋3y2， 3 当 x＝－1，y＝ 时， 3 3 2 2 2 2 －x ＋3y ＝－(－1) ＋3× 3 ＝－1＋1＝0.
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分值 5分 4分 4分 5分 4分 8分 4分 5分 4分 5分
预测热度 ★★★★ ★
★★★★★
2011 掌握 2012 2013
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探究一 列代数式
命题角度： 1．根据数量关系列代数式； 2．用代入法求代数式的值．
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变式题 [2012· 沈阳] 分解因式：m2－6m＋9＝________ (m－3)2 ．
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5．(2013· 河北 )下列等式从左到右的变形，属于因 式分解的是 ( D ) A． a(x－ y)＝ ax－ay B．x2＋ 2x＋1＝x(x＋2)＋ 1 C． (x＋1)(x＋3)＝ x ＋4x＋ 3 D． x3－x＝x(x＋ 1)(x－1)
2．因式分解的常用方法 (1)提公因式法 用式子可表示为 ma＋mb＋mc＝m (a＋ b＋ c)， 提公因式法常用的变形： a－ b＝－ (b－ a)，
b－ a (n为偶数 )， (a－ b) ＝ n － b－ a ( n为奇数 ).
n n
(2)运用公式法 将乘法公式反过来对某些多项式因式分解，这种 方法叫做公式法，即 a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2± 2ab＋ b ＝(a± b) . 温馨提示 在运用公式法因式分解时，公式中的字母，可以 是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项 式.
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第2课时┃ 整式与因式分解
(1)同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同；第二， 相同字母的指数相同，两者缺一不可． (2)根据同类项概念“相同字母的指数相同”列方程(组)是解 此类题的一般方法．
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(2)去括号与添括号 ①a＋(b＋c)＝a＋b＋c，a－(b＋c)＝a－b－c； ②a＋b－c＝a＋(b－c)，a－b＋c＝a－(b－c)． (3)整式加减的实质是合并同类项． 温馨提示 在进行整式加减运算时，如果遇到括号，应根据 去括号法则，先去括号，再合并同类项.若括号前是负 号，去括号时，括号内每一项都要变号.
第2课时┃ 整式与因式分解
例 1 某企业今年 3 月份产值为 a 万元， 4 月份比 3 月份减少 了 10%，5 月份比 4 月份增加了 15%，则 5 月份的产值是( B ) A．(a－10%)(a＋15%)万元 B．a(1－10%)(1＋15%)万元 C．(a－10%＋15%)万元 D．a(1－10%＋15%)万元