作业9【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

题组层级快练(九)1．给出下列结论：①当a<0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a|(n>1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f(x)＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是{x|x ≥2且x ≠73}；④若5a ＝0.3，0.7b ＝0.8，则ab>0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④答案 B解析(a 2)32>0，a 3<0，故①错，∵0<5a <1，0<0.7b <1，∴a<0，b>0，∴ab<0.故④错．2．当x>0时，函数f(x)＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a|<2 B ．|a|<1 C ．|a|> 2 D ．|a|< 2答案 C3．若函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫a ＋1e x －1cosx 是奇函数，则常数a 的值等于( )A ．－1B ．1C ．－12D.12答案 D4．(2020·衡水中学调研)下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x－1D ．y ＝3|x|答案 B5．(2017·北京)已知函数f(x)＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f(x)( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数答案 A 解析∵f(－x)＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－[3x －⎝⎛⎭⎫13x]＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又函数y 1＝3x在R 上为增函数，y 2＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上为减函数，∴y ＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上为增函数．故选A. 6．函数y ＝a x －a(a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )答案 C解析 由于当x ＝1时，y ＝0，即函数y ＝a x －a 的图象过点(1，0)，故排除A 、B 、D. 7．(2016·课标全国)若函数y ＝a x (x ∈[－1，1])的最大值与最小值之和为3，则a 2＋a －2＝( ) A ．9 B ．7 C ．6 D ．5答案 B解析 ∵函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[－1，1]上单调，∴当x ＝－1时，y ＝a －1；当x ＝1时，y ＝a.则a －1＋a ＝3，两边同时平方得a －2＋2＋a 2＝9，∴a －2＋a 2＝7. 8．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．c>a>b D ．b>c>a 答案 A解析 由0.2<0.6，0＜0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2＜1，所以a>b.综上，a>b>c.9．(2020·山东师大附中月考)函数f(x)＝1－e |x|的图象大致是( )答案 A解析 因为函数f(x)＝1－e |x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．10．(2020·东北四校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x<0，则函数f(x)是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减答案 C解析 易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x ，－f(x)＝2－x －1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x －1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x －1，－f(x)＝1－2x ，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x ＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增．故选C.11．若关于x 的方程|a x －1|＝2a(a>0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1)∪(1，＋∞) B ．(0，1) C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析 方程|a x －1|＝2a(a>0且a ≠1)有两个不等实数根⇔函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 的图象有两个交点．①当0<a<1时，如图①，所以0<2a<1，即0<a<12.②当a>1时，如图②，而y ＝2a>1不符合要求．综上，0<a<12.故选D.12．已知函数f(x)＝a x ＋b(a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________． 答案 －32解析 ①当0<a<1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝0，f （0）＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32. ②当a>1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－1，f （0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－32.13．(2019·福州质检)已知实数a ≠1，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x<0，若f(1－a)＝f(a －1)，则a 的值为________． 答案 12解析 当a<1时，41－a ＝21，a ＝12；当a>1时，代入不成立．14．(2019·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝|2x －1|，a<b<c ，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a<0，b<0，c<0；②a<0，b ≥0，c>0；③2－a <2c ；④2a ＋2c <2. 答案 ④解析 作出函数图象，由图象可知a<0时，b 的符号不确定，1>c>0，故①②错；因为f(a)＝|2a －1|，f(c)＝|2c －1|，所以|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1，故2a ＋2c <2，④成立；又2a ＋2c >22a ＋c ，所以2a ＋c <1，所以a ＋c<0，所以－a>c ，所以2－a >2c ，③不成立．15．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x－⎝⎛⎭⎫12x＋1在[－3，2]上的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤34，57 解析 y ＝⎝⎛⎭⎫14x－⎝⎛⎭⎫12x＋1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2－⎝⎛⎭⎫12x＋1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x－122＋34， 因为x ∈[－3，2]，所以14≤⎝⎛⎭⎫12x≤8.当⎝⎛⎭⎫12x＝12时，y min ＝34，当⎝⎛⎭⎫12x＝8时，y max ＝57. 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57. 16．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a>0且a ≠1)在[－1，1]上的最大值是14? 答案 a ＝3或a ＝13解析 令t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1.(1)当a>1时，∵x ∈[－1，1]，∴a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，即t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a .∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数⎝⎛⎭⎫对称轴t ＝－1<1a . ∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14. ∴a ＝3或a ＝－5.∵a>1，∴a ＝3. (2)当0<a<1时，t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a . ∵y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上是增函数，∴y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14. ∴a ＝13或a ＝－15.∵0<a<1，∴a ＝13.综上，a ＝3或a ＝13.17．已知函数f(x)＝4x ＋m2x 是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)设g(x)＝2x ＋1－a ，若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围． 答案 (1)m ＝－1 (2)[2，＋∞)解析 (1)由函数f(x)是奇函数可知f(0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.此时f(x)＝2x －2－x ，显然是奇函数．(2)函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．方法二：令h(t)＝t 2－at ＋1，由于h(0)＝1>0，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a 2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．。