高中数学必修二课件--第3章 3.3 3.3.2 两点间的距离
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高中数学人教A版必修二 课件：两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
[答案] (1)C (2)C
[ 解析] 1 点为(3，1)． 12 (2)分别令 x＝0，求得两直线与 y 轴的交点分别为：－ m 和－ 12 m m 6. 3 ，由题意得－ m ＝－ 3 ，解得 m＝±
3x＋4y－5＝0 (1)联立方程组 3x＋5y－6＝0
1 x＝ ，解得 3 ，故交 y＝1
求平面上两点间距离
已知 A(a,3)和 B(3,3a＋3)的距离为 5，求 a 的值.
[ 思路分析]
[ 解析]
2
利用两点间距离公式列方程解得 a 的值．
∵|AB|＝ a－32＋3－3a－32＝5，
8 即 5a －3a－8＝0，∴a＝－1 或 a＝5.
[ 规律总结]
两点间的距离公式与两点的先后顺序无关， 也就
是说公式既可以写成 |P1P2| ＝ x2－x12＋y2－y12 ，也可以写成 |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将有关的几何问题 转化为代数问题进行研究． 在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间的 距离公式．
已知点 A(3,6)，在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 10，则点 P 的坐标为________．
A1x＋B1y＋C1＝0 l2 平行时，方程组 A2x＋B2y＋C2＝0
解的个数是 (
)
A．0 C．2
B．1 D．无数个
[答案] A [解析] 当l1∥l2时，直线l1与l2无公共点，故方程组无解．
3．已知 M(2,1)、N(－1,5)，则|MN|＝_______.
[ 答案]
[ 解析]
1.两条直线 l1：2x－y－1＝0 与 l2：x＋3y－11＝0 的交点坐标 为 ( ) A．(3,2) C．(－2，－3) B．(2,3) D．(－3，－2)
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》310PPT课件
③当P点在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0， d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|＝0，适合公式．
两条平行直线间的距离
已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C1－C2| ＋C2＝0(C1≠C2)，则 l1 与 l2 之间的距离为 d A2＋B2
＝
.
3．l1与l2之间的距离公式是如何推导的？ 提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－ C1.点P到直线l2的距离为d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C2|＝ |CA1－2＋CB2|2.
6－－3
故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－ 3(x＋3)，即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法， 根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我 们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而 求出两条平行直线间的距离的范围．
4
2 .
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d ＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d ＝|x0－a|.
【解】 方法1：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)， 点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 d＝|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－3 6|. 由题意，得|C1－3 6|＝2. ∴C＝32或C＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
两条平行直线间的距离
已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C1－C2| ＋C2＝0(C1≠C2)，则 l1 与 l2 之间的距离为 d A2＋B2
＝
.
3．l1与l2之间的距离公式是如何推导的？ 提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－ C1.点P到直线l2的距离为d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C2|＝ |CA1－2＋CB2|2.
6－－3
故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－ 3(x＋3)，即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法， 根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我 们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而 求出两条平行直线间的距离的范围．
4
2 .
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d ＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d ＝|x0－a|.
【解】 方法1：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)， 点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 d＝|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－3 6|. 由题意，得|C1－3 6|＝2. ∴C＝32或C＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式课件(7)
|P1P2| x2y2.
精品PPT
【微思考】 当A,B两点在坐标轴上时,利用两点间的距离公式求|AB|距离还 适用吗? 提示:适用,因为两点间的距离公式适用于平面内任意两点.
精品PPT
【即时练】 求下列两点间的距离. (1)A(-2,5),B(-2,-5). (2)A(3,4),B(2,-1). (3)A(0,0),B(3,4).
1 实数k的取值范围是 ( ) 2
A.－6k－2 C.－5k1
22
B.－1k0 6
D. k1 2
精品PPT
(2)过l1:3x-5y-10=0和l2:x+y+1=0的交点,且平行于l3:x+2y-5=0
的直线方程为
.
(3)求经过点(2,3)且经过l1:x+3y-4=0与l2:5x+2y+6=0的交点的 直线方程.
精品PPT
【解析】(1)正确.若点A(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则一定 有Aa+Bb+C=0. (2)正确.交点在两条直线上,所以交点坐标同时满足两条直线的 方程,故一定是这两条直线方程组成的二元一次方程组的解,这 种说法正确. (3)错误.两点间距离公式对求任意两点间的距离都适用. 答案:(1)√ (2)√ (3)×
(2)结论:|P1P2|=__P _1_P 2 __ ___x _2 _ __x1 __2_ __y _2_ _y _1_2 ____.
(3)特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=__________.
x2 y2
精品PPT
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若点A(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则点A的坐标一定适合直 线l的方程. ( ) (2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元 一次方程组的解. ( ) (3)当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公 式不适用. ( )
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【微思考】 当A,B两点在坐标轴上时,利用两点间的距离公式求|AB|距离还 适用吗? 提示:适用,因为两点间的距离公式适用于平面内任意两点.
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【即时练】 求下列两点间的距离. (1)A(-2,5),B(-2,-5). (2)A(3,4),B(2,-1). (3)A(0,0),B(3,4).
1 实数k的取值范围是 ( ) 2
A.－6k－2 C.－5k1
22
B.－1k0 6
D. k1 2
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(2)过l1:3x-5y-10=0和l2:x+y+1=0的交点,且平行于l3:x+2y-5=0
的直线方程为
.
(3)求经过点(2,3)且经过l1:x+3y-4=0与l2:5x+2y+6=0的交点的 直线方程.
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【解析】(1)正确.若点A(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则一定 有Aa+Bb+C=0. (2)正确.交点在两条直线上,所以交点坐标同时满足两条直线的 方程,故一定是这两条直线方程组成的二元一次方程组的解,这 种说法正确. (3)错误.两点间距离公式对求任意两点间的距离都适用. 答案:(1)√ (2)√ (3)×
(2)结论:|P1P2|=__P _1_P 2 __ ___x _2 _ __x1 __2_ __y _2_ _y _1_2 ____.
(3)特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=__________.
x2 y2
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1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若点A(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则点A的坐标一定适合直 线l的方程. ( ) (2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元 一次方程组的解. ( ) (3)当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公 式不适用. ( )
高中数学必修二课件：3.3.2 两点间的距离(共30张PPT)
新课引入
国际油价不断上涨，为了节约成本，很多航空公司都在调 整航线，如果把城市看成坐标系上的点，那么如何计算出两点 间的距离呢？本节，我们共同研究——两点间的距离．
3.3.2 两点间的距离
设疑自探
学习目标：
学习目标：
两点间距离公式
两点间距离公式的应用 用坐标法证明简单的平面几何问题.
建立如图所示直角坐标系，以下底AB中点O为坐 标原点，以线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建 系，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB. 可设A(-a，0)，B(a，0)，D(-b，c)，C(b，c)，
用坐标法证明：三角形的中位线平行于第三边且等于第 三边的一半．
用坐标法证明：三角形的中位线平行于第三边且等于第 三边的一半． [分析] 以第三边所在直线为 x 轴，并以其中点为原点 建立坐标系，利用斜率相等证明平行，利用两点间距离公式 证明长度关系．
小结
学科班长总结本节课内容及同学们的表现, 评出优秀的个人和小组。
练习
一条线段的长是 5 个单位，它的一个端点是 A(2,1)，另一 个端点 B 的横坐标是－1，则点 B 的纵坐标是( A．－3
[答案] D
)
B．5
C．－1 或－3 D．－3 或 5
ห้องสมุดไป่ตู้
练习
求证：等腰梯形的对角线相等．
求证：等腰梯形的对角线相等．
已知△ABC 的顶点坐标为 A(7,8)、B(10,4)、C(2，－4)，则 BC 边上的中线 AM 的长为________．
[答案] 65
练习
若A(2， 3), B (1， 1), 点P (a,2)是AB 的垂直平分线 上一点，则 a －9 2
练习
已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证:△ABC是等腰 三角形.
国际油价不断上涨，为了节约成本，很多航空公司都在调 整航线，如果把城市看成坐标系上的点，那么如何计算出两点 间的距离呢？本节，我们共同研究——两点间的距离．
3.3.2 两点间的距离
设疑自探
学习目标：
学习目标：
两点间距离公式
两点间距离公式的应用 用坐标法证明简单的平面几何问题.
建立如图所示直角坐标系，以下底AB中点O为坐 标原点，以线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建 系，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB. 可设A(-a，0)，B(a，0)，D(-b，c)，C(b，c)，
用坐标法证明：三角形的中位线平行于第三边且等于第 三边的一半．
用坐标法证明：三角形的中位线平行于第三边且等于第 三边的一半． [分析] 以第三边所在直线为 x 轴，并以其中点为原点 建立坐标系，利用斜率相等证明平行，利用两点间距离公式 证明长度关系．
小结
学科班长总结本节课内容及同学们的表现, 评出优秀的个人和小组。
练习
一条线段的长是 5 个单位，它的一个端点是 A(2,1)，另一 个端点 B 的横坐标是－1，则点 B 的纵坐标是( A．－3
[答案] D
)
B．5
C．－1 或－3 D．－3 或 5
ห้องสมุดไป่ตู้
练习
求证：等腰梯形的对角线相等．
求证：等腰梯形的对角线相等．
已知△ABC 的顶点坐标为 A(7,8)、B(10,4)、C(2，－4)，则 BC 边上的中线 AM 的长为________．
[答案] 65
练习
若A(2， 3), B (1， 1), 点P (a,2)是AB 的垂直平分线 上一点，则 a －9 2
练习
已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证:△ABC是等腰 三角形.
高中数学必修二课件--第3章 3.2 3.2.2 直线的两点式方程
B )
高中数学人教版必修2课件
难点
直线的两点式方程
1．直线的两点式方程由点斜式方程导出．从两点式方程
y－y1 x－x1 ＝ 中，可以看出 x1≠x2，y1≠y2，即直线斜率不存在 y2－y1 x2－x1
(直线方程为 x＝x1)或斜率为 0 时(直线方程为 y＝y1)，不能用两 点式． 2．若把两点式化为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，就可以 利用它求平面内过任意两点的直线方程．
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3．2.2 直线的两点式方程
1．过 P1(－1，－3)，P2(2,4)两点的直线的方程是(
B )
y－3 x－1 A. ＝ 4－3 2－1 y－4 x－2 C. ＝ 3－4 1－2
y＋3 x＋1 B. ＝ 4＋3 2＋1 y＋1 x＋3 D. ＝ 2＋1 4＋3
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法较为简便．
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2－1.直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截
距与纵截距之和为 6，求直线 l 的方程．
解：设直线 l 的横截距为 a，由题意可得纵截距为 6－a， x y ∴直线 l 的方程为a＋ ＝1. 6－a ∵点(1,2)在直线 l 上， 1 2 ∴a＋ ＝1， 6－a
故所求的直线 l 为 y＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0.
高中数学人教版必修2课件
解法二：设 l1 上的点 A 的坐标为(x1，y1)， ∵P(3,0)是线段 AB 的中点， 则 l2 上的点 B 的坐标为(6－x1，－y1)，
x ＝11 1 3 2x1－y1－2＝0 ∴ ，解得 6－x1＋－y1＋3＝0 y1＝16 3
4x0＋y0＋6＝0 所以 －3x0＋5y0－6＝0
高中数学 第三章 3.3.33.3.4两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2
第一页，共25页。
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
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探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
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例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修
A.x+3y=0
2
3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
S 随堂练习
UITANG LIANXI
首 页
1
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
2
2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
首 页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
2
3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
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1
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
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2
2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
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探究一
探究二
探究三
探究四
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探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
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探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
人教A版高中数学必修2课件3.3.2两点间的距离公式课件
知识点—— 两点间的距离公式
两点间的距离公式
【两点间的距离公式】
P1 P2
x2 x2 y2 y1
2
2
两点间的距离公式
【公式推导】 已知平面上的两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ， 如何求 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的距离P1P2 . 由图易知 P1Q N 1 N 2 x2 x1 P2Q M 1 M 2 y2 y1 ∴ P P 2 PQ 2 P Q 2 P P x x 2 y y 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
两点间的距离公式
【变式训练】 根据两点的距离公式 |PM|2 =(a-5)2+(2a-8)2=52, 即 5a2-42a+64=0， 32 解得 a=2或 a . 32 645 P , P(2,4)或 5 5 . y8 x5 所以直线PM的方程为 4 8 2 5 或 即4x-3y+4=0或 24x-7y-64=0.
两点间的距离公式
【典型例题】
以知点A（-1，2），B（2， 7 ），在x轴上求 一点，使 |PA|=|PB| ,并求|PA|的值. 解法一：设所求点P（x，0），于是有 由|PA|=|PB|得 x 2 2 x 5 x 2 4 x 11 解得 x=1. 所以，所求点P（1，0）且
所以所求点P的坐标为（1，0）.因此
PA
1 2 0 2
2
2
2 2
两点间的距离公式
【变式训练】 在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点 M(5，8) 的距离为5，并求直线PM 的方程.
思路点拨： 求点的坐标，需要把点的坐标设出来，利用 两点间的距离公式进行计算.
两点间的距离公式
【两点间的距离公式】
P1 P2
x2 x2 y2 y1
2
2
两点间的距离公式
【公式推导】 已知平面上的两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ， 如何求 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的距离P1P2 . 由图易知 P1Q N 1 N 2 x2 x1 P2Q M 1 M 2 y2 y1 ∴ P P 2 PQ 2 P Q 2 P P x x 2 y y 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
两点间的距离公式
【变式训练】 根据两点的距离公式 |PM|2 =(a-5)2+(2a-8)2=52, 即 5a2-42a+64=0， 32 解得 a=2或 a . 32 645 P , P(2,4)或 5 5 . y8 x5 所以直线PM的方程为 4 8 2 5 或 即4x-3y+4=0或 24x-7y-64=0.
两点间的距离公式
【典型例题】
以知点A（-1，2），B（2， 7 ），在x轴上求 一点，使 |PA|=|PB| ,并求|PA|的值. 解法一：设所求点P（x，0），于是有 由|PA|=|PB|得 x 2 2 x 5 x 2 4 x 11 解得 x=1. 所以，所求点P（1，0）且
所以所求点P的坐标为（1，0）.因此
PA
1 2 0 2
2
2
2 2
两点间的距离公式
【变式训练】 在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点 M(5，8) 的距离为5，并求直线PM 的方程.
思路点拨： 求点的坐标，需要把点的坐标设出来，利用 两点间的距离公式进行计算.
2014-2015学年高中数学(人教版必修二)配套课件第三章 3.3 3.3.1 两条直线的交点坐标及两点间的距离
栏 目 链 接
解析：易求直线 2x＋3y＋8＝0 与 x－y－1＝0 的 1 交点为(－1，－2)，代入 x＋ky＝0 得 k＝－ . 2 答案：B
自 测 自 评
3．当 a 取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0 恒 过一个定点，这个定点是( A．(2,3)
1 C.1，－2
栏 目 链 接
栏 目 链 接
答案：(1)3 (2) 5 (3) x2＋y2
思 考 应 用
如何利用方程判断两直线的位置关系？
解析：只要将两条直线 l1 和 l2 的方程联立，得方程
A1x＋B1y＋C1＝0， 组 A2x＋B2y＋C2＝0.
栏 目 链 接
(1)若方程组无解，则 l1∥l2； (2)若方程组有且只有一个解，则 l1 与 l2 相交； (3)若方程组有无数解，则 l1 与 l2 重合．
栏 目 链 接
答案：D
自 测 自 评
5． 以 A(5,5)， B(1,4)， C(4,1)为顶点的三角形是( A．直角三角形 C．等边三角形 B．等腰三角形 D．等腰直角三角形
)
栏 目 链 接
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为 等腰三角形． 答案：B
) B．(－2,3) D．(－2,0)
栏 目 链 接
解析：将直线化为 a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，故直线 过定点(－2,3)． 答案：B
自 测 自 评
4．已知点 A(a,0)，B(b,0)，则 A，B 两点间的距离 为( ) A．a－b C. a2＋b2 B．b－a D．|a－b|
3．掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，能
灵活运用此公式解决一些简单问题．
解析：易求直线 2x＋3y＋8＝0 与 x－y－1＝0 的 1 交点为(－1，－2)，代入 x＋ky＝0 得 k＝－ . 2 答案：B
自 测 自 评
3．当 a 取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0 恒 过一个定点，这个定点是( A．(2,3)
1 C.1，－2
栏 目 链 接
栏 目 链 接
答案：(1)3 (2) 5 (3) x2＋y2
思 考 应 用
如何利用方程判断两直线的位置关系？
解析：只要将两条直线 l1 和 l2 的方程联立，得方程
A1x＋B1y＋C1＝0， 组 A2x＋B2y＋C2＝0.
栏 目 链 接
(1)若方程组无解，则 l1∥l2； (2)若方程组有且只有一个解，则 l1 与 l2 相交； (3)若方程组有无数解，则 l1 与 l2 重合．
栏 目 链 接
答案：D
自 测 自 评
5． 以 A(5,5)， B(1,4)， C(4,1)为顶点的三角形是( A．直角三角形 C．等边三角形 B．等腰三角形 D．等腰直角三角形
)
栏 目 链 接
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为 等腰三角形． 答案：B
) B．(－2,3) D．(－2,0)
栏 目 链 接
解析：将直线化为 a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，故直线 过定点(－2,3)． 答案：B
自 测 自 评
4．已知点 A(a,0)，B(b,0)，则 A，B 两点间的距离 为( ) A．a－b C. a2＋b2 B．b－a D．|a－b|
3．掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，能
灵活运用此公式解决一些简单问题．
高中数学人教A版必修2第3章 3.3 3.3.3 点到直线的距离、两条平行直线间的距离
|3×－1＋C2| 6 则 ＝ ，即|C2－3|＝6. 10 10
解得 C2＝9 或 C2＝－3.
所以正方形另两边所在直线的方程为 3x－y＋9＝0 和 3x－y
－3＝0. 综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为 x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.
17
14
高中数学人教版必修2课件
例 4：两平行直线 l1 、l2 分别过 A(1,0)，B(0,5)，若 l1 与 l2 的距离为 5，求这两条直线方程． 错因剖析：易忽略 l1、l2 是特殊直线的情况，导致漏解．
|5＋k| 正解： 设 l1 的方程为 y＝k(x－1)， 则点 B 到 l1 的距离为 2 k ＋1 5 ＝5，所以 k＝0 或 k＝12.
的思想使运算量减少．
13
高中数学人教版必修2课件
3－1.过点 P(－1,2)引一直线，使它与点 A(2,3)，B(－4,5)的 距离相等，求该直线的方程．
1 解：当直线与 AB 平行时，k＝kAB＝－3， 1 ∴直线的方程 y－2＝－3(x＋1)，即 x＋3y－5＝0.
当直线过 AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线的方程为 x＝－1. 故所求直线的方程为 x＋3y－5＝0 或 x＝－1.
由两平行直线间的距离公式，得
|C－6| 2＝ 2 2， 5 ＋－12
解得 C＝32 或 C＝－20.
故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
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高中数学人教版必修2课件
(1)求两条平行线之间的距离，可以在其中的
一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两平行
4
高中数学人教版必修2课件
(2)∵直线 y＝6 平行于 x 轴，
两点间的距离公式 课件
第三章 3.3 3.3.版 ·数学 ·必修2
互动课堂
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
●典例探究
求平面上两点间距离
已知 A(a,3)和 B(3,3a＋3)的距离为 5，求 a 的值． [分析] 利用两点间距离公式列方程解得a的值． [解析] ∵|AB|＝ a－32＋3－3a－32＝5， 即 5a2－3a－8＝0，∴a＝－1 或 a＝85.
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
坐标法的应用
△ABC 中，D 是 BC 边上的任意一点(D 与 B，C 不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC 为等腰三角形．
[分析]
建立适当 的坐标系
→
设出各点 的坐标
→
根据已知中所 给的边与边之 间的关系
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
法二：∵kAB＝3－－1－－11＝－2，kAC＝0－3－－11＝12， ∴kAB·kAC＝－1， ∴AB⊥AC， ∴△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形． (2)∵∠A＝90°， ∴S△ABC＝12|AB|·|AC|＝5.
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
2 ． 已 知 点 A(2k ， － 1) ， B(k,1) ， 且 |AB| ＝ ， 则 实 数 k 等 于
()
A．±3
B．3
C．－3
D．0
[答案] A
[解析] 由题意得 2k－k2＋－1－12＝ 13， 解得 k＝±3.
互动课堂
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
●典例探究
求平面上两点间距离
已知 A(a,3)和 B(3,3a＋3)的距离为 5，求 a 的值． [分析] 利用两点间距离公式列方程解得a的值． [解析] ∵|AB|＝ a－32＋3－3a－32＝5， 即 5a2－3a－8＝0，∴a＝－1 或 a＝85.
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
坐标法的应用
△ABC 中，D 是 BC 边上的任意一点(D 与 B，C 不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC 为等腰三角形．
[分析]
建立适当 的坐标系
→
设出各点 的坐标
→
根据已知中所 给的边与边之 间的关系
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
法二：∵kAB＝3－－1－－11＝－2，kAC＝0－3－－11＝12， ∴kAB·kAC＝－1， ∴AB⊥AC， ∴△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形． (2)∵∠A＝90°， ∴S△ABC＝12|AB|·|AC|＝5.
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
2 ． 已 知 点 A(2k ， － 1) ， B(k,1) ， 且 |AB| ＝ ， 则 实 数 k 等 于
()
A．±3
B．3
C．－3
D．0
[答案] A
[解析] 由题意得 2k－k2＋－1－12＝ 13， 解得 k＝±3.
2014-2015学年高中数学(人教版必修二)配套课件第三章 3.3 3.3.2 点到直线的距离及两条平行直线间的距离
思 考 应 用
2．已知直线 l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋2y＋1＝0，l1 与 l2 是否平行？若平行，求 l1 与 l2 间的距离．
栏 目 链 接
解析：l1 方程可化为 6x＋2y－6＝0，l1∥l2，由两平行线 |－6－1| 7 10 间的距离公式得 d＝ ＝ . 20 36＋4栏 目 链 接 Nhomakorabea
(4)点到特殊直线的距离公式： ①点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； ②点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； ③点 P(x0，y0)在直线上时，d＝0； ④P(x0，y0)到 x＝a 的距离 d＝|a－x0|； ⑤P(x0，y0)到 y＝b 的距离 d＝|b－y0|.
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
3 1 1．在 y 轴上求与直线 y＝ x＋ 的距离等于 3 的点的坐标． 4 4
3 1 解析：设点的坐标为(0，y)，直线 y＝ x＋ 可化为 3x 4 4 －4y＋1＝0， |1－4y| 故 d＝ ＝3. 5 7 即|1－4y|＝15，∴y＝4 或 y＝－ . 2
自 测 自 评
1．原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为( A．1 C．2 B. 3 D. 5
)
栏 目 链 接
|－5| 解析：d＝ 2＝ 5. 1＋2 答案：D
自 测 自 评
2．已知点 F 在 x 轴上，且到直线 x－y＋2 2＝0 的距 离为 3，则点 F 的坐标为________．
答案：3
栏 目 链 接
自 测 自 评
4．两条平行直线 3x＋4y－2＝0,3x＋4y－12＝0 之间的 距离为________．
栏 目 链 接
|－2＋12| 10 解析：d＝ 2 2 ＝ 5 ＝2. 3 ＋4 答案：2
人教版高中数学必修二3.3.2两点间的距离 课件
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
2、坐标法证明简单平面几何问题的步骤： 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系。
小试牛刀
1.求下列两点间的距离： (1)A(6，0),B(-2，0) (2)C(0，-4),D(0，-1）
∴△A BC 为等腰三角形．
题组二 坐标法在平面几何的应用
例3.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和。
D
C
A
B
分析：首先建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关量，然后进行 代数计算，最后把代数计算的结果“翻译”成几何关系。
解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直 线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)。
2.已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间 的距离等于10，求点P的纵坐标。
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条
建立坐标系，用坐 标表示有关的量。
进行有关的 代数运算。
把代数运算结果“翻 译”成几何关系。
注意：要认真体会适当建立坐标系对证明的重要性， 它可以简化计算。
课堂小结
1、平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是：
y
P
o
x
| OP | x2 y2
精典题例
题组一 两点间距离公式的运用
例1. 若ABC的顶点为A（3，1）、B（-1，-2） 和C（-1，1），求其周长。
解：
AB (31)2 (1 2)2 5 BC (11)2 (2 1)2 3
AC (31)2 (11)2 4
∴ 周长=AB+BC+AC=5+3+4=12。
2、坐标法证明简单平面几何问题的步骤： 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系。
小试牛刀
1.求下列两点间的距离： (1)A(6，0),B(-2，0) (2)C(0，-4),D(0，-1）
∴△A BC 为等腰三角形．
题组二 坐标法在平面几何的应用
例3.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和。
D
C
A
B
分析：首先建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关量，然后进行 代数计算，最后把代数计算的结果“翻译”成几何关系。
解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直 线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)。
2.已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间 的距离等于10，求点P的纵坐标。
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条
建立坐标系，用坐 标表示有关的量。
进行有关的 代数运算。
把代数运算结果“翻 译”成几何关系。
注意：要认真体会适当建立坐标系对证明的重要性， 它可以简化计算。
课堂小结
1、平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是：
y
P
o
x
| OP | x2 y2
精典题例
题组一 两点间距离公式的运用
例1. 若ABC的顶点为A（3，1）、B（-1，-2） 和C（-1，1），求其周长。
解：
AB (31)2 (1 2)2 5 BC (11)2 (2 1)2 3
AC (31)2 (11)2 4
∴ 周长=AB+BC+AC=5+3+4=12。
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高中数学人教版必修2课件
3．动点 P 到点(1，－2)的距离为 3，则动点 P 的轨迹方程 是( B )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 0或8 4．若点 A(3，m)与点 B(0,4)的距离为 5，则 m＝______.
因为|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
5，
所以△ABC 是以顶点 A 为直角顶点的直角三角形．
高中数学人教版必修2课件
5 1－1.已知点 A(0,4)和点 B(1,2)，则|AB|＝____.
解析：|AB|＝ 1－02＋2－42 ＝ 5.
两点间距离公式的逆用 例 2: 试在直线 x－y＋4＝0 上求一点 P，使它到 M(－2，
－4)，N(4,6)的距离相等．
解：∵点 P 在 x－y＋4＝0 上，∴P(a，a＋4)． ∵|PM|＝|PN|，
∴ [a－－2]2＋[a＋4－－4]2 ＝ a－42＋a＋4－62， 3 5 3 ∴a＝－2，∴P－2，2.
高中数学人教版必修2课件
2－1.已知点 M(x，－4)与 N(2,3)间的距离为 7
高中数学人教版必修2课件
重难点
两点间的距离公式
设点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22. 注意：(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也 可写成|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12＝ x1－x22＋y1－y22. (2)利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行 研究．
又d－b≠0，故－b－d＝c－d，所以－b＝c，即|BO|＝|OC|.
所以△ABC 为等腰三角形．
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例 4：线段 AB∥x 轴，且|AB|＝5，若点 A 的坐标为(2,1)， 求 B 点的坐标．
错因剖析：忽视了距离是绝对值导致漏解． 正解：线段 AB∥x 轴，点 A 的坐标为(2,1)，设点 B(x,1)，
高中数学人教版必修2课件
两点间距离公式的正用 例 1：已知：△ ABC 的三个顶点坐标是 A(1，－1)，B(－1,3)，
C(3,0)．求证：△ABC 是直角三角形．
证明：由已知，
|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝2 |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝5.
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3．3.2 两点间的距离
1．已知 A(1，a)，B(2,3)，且|AB|＝ 10，a＝( D )
A．0 C．3 B．6
D．0 或 6
2．到 A(2，－3)和 B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是
( C )
A．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 x 的
解：由|MN|＝7
2，得 x－22＋－4－32＝7
2，整理
得 x2－4x－45＝0，解得 x1＝9 或 x2＝－5，
故所求 x 值为 9 或－5.
高中数学人教版必修2课件
解析法的应用
例 3：已知 AO 是△ABC 中 BC 边的中线， 证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． 证明：如图1，以O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy. 设点 A(a，b)，B(－c,0)，C(c,0)，由两点间距离公式得：
解：如图33，作AO⊥BC，垂足为O，以 BC 所在直线为 x
轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系．
设 A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．
因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|· |DC|， 所以 b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)． 图 33
|AB|＝ a＋c2＋b2，|AC|＝ a－c2＋b2， |AO|＝ a2＋b2，|OC|＝c.
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)， |AO|2＋|OC|2＝a2＋b2＋c2. ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． 图1
高中数学人教版必修2课件
3－1.△ABC 中，D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合)， 且|AB|2＝|AD|2＋|BD|· |DC|.用解析法证明：△ABC 为等腰三角形．
由|AB|＝5，故|x－2|＝5，∴x＝7 或 x＝－3， 故 B(7,1)或 B(－3,1)为所求．
4－1.若 A(－2，－3)，B(1,1)，点 P(a,2)是 AB 的垂直平分线 9 －2 上一点，则a＝_______.