数学(理)卷·2018届安徽省六安市第一中学高二下学期第一次阶段检测(2017.04)(立体几何、导数)
安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二下学期第二次阶段性考试数学(理)试题
【全国百强校】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二下学期第二次阶段性考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是 （ ） A ．假设a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数 B ．假设a ，b ，c 都是偶数 C ．假设a ，b ，c 至少有两个偶数 D ．假设a ， b ，c 都是奇数2．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a 是实数，所以a 的绝对值大于0”，你认为这个推理（ ） A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的3．记I 为虚数集,设,,,a b R x y I ∈∈,则下列类比所得的结论正确的是（ ） A ．由a b R ⋅∈,类比得x y I ⋅∈B ．由222()2a b a ab b +=++,类比得222()2x y x xy y +=++C ．由20a ≥,类比得20x ≥D ．由0a b a b +>⇒>-,类比得0x y x y +>⇒>- 4．复数201834+34i z i i-=-,则z 共轭复数z 的虚部为( )A ．45i -B ．45-C ．45i D ．455．设sin a xdx π=⎰，则二项式6⎛⎝展开式的常数项是( )A ．160B ．20C ．20-D ．160-6．从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数,则能被3整除的三位数有( )个 A ．8 B ．10 C ．12 D ．247．设()2()2xf x exx =+，令1()'()f x f x =，1'()()n n f x f x +=，若()2()x n n n n f x e A x B x C =++，则数列1n C ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，当112018n S -≤时，n 的最小整数值为（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．20208．在11名工人中,有5人只当钳工, 4人只当车工,另外2人既会钳工又会车工，现从11人中选出4人当钳工, 4人当车工,则共有( )种不同的选法. A ．120B ．125C ．180D ．1859．现有A ，B ，C ，D ，E 五位同学全部保送到清华、北大和武大3所大学，若每所大学至少保送1人，且A 同学必须保送到清华，则不同的保送方案共有（ ） A ．36种B ．50种C ．75种D ．100种10．数学老师给小明布置了10道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为 A ．55B ．90C ．425D ．51211．将一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同染色方法总数为（ ）A ．120B ．125C ．130D ．13512．设2()2||f x x x =-，()2xe g x x =+（其中e 为自然对数的底数),若函数()(())h x f g x k =-有4个零点，则k 的取值范围( )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．221(,1)e e-D ．221(0,)e e-二、填空题13．已知60(1)()x a x a +-=717a x a x +++,若0170a a a +++=,则3a =__________．14．从正方体的8个顶点中任取2个顶点连成一条直线,在所有的直线中能构成异面直线的有__________对.(用数字作答)15．已知函数f (x)及其导数f ′(x)，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是________． ①f(x)＝x 2；②f(x)＝e －x ；③f(x)＝lnx ；④f(x)＝tanx ；⑤()1f x x=.三、双空题16．甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科A B C ，，，已知：①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作； ②在延安工作的教师不教C 学科； ③在咸阳工作的教师教A 学科； ④乙不教B 学科.可以判断乙工作的地方和教的学科分别是______、_____．四、解答题17．（1）求证：11(1)(1)k kn n k C n C +++=+； （2）求122020(2C C ++202020)C +被7除的余数.18．已知函数311()32n f x x =-2*(1)()n x x n N ++∈,数列{}n a 满足1()n n n a f a +'=,13a =.(1)是否存在n ,使得()n f x 在1x =处取得极值,若存在,求n 的值,若不存在,说明理由； (2)求234,,a a a 的值,请猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明. 19．将现有5名男生和2名女生站成一排照相.(用数字作答) (1)两女生相邻,有多少种不同的站法? (2)两名女生不相邻,有多少种不同的站法?(3)女生甲不在左端,女生乙不在右端,有多少种不同的站法? (4)女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)有多少种不同的站法? 20．按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答) (1) 6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (3) 6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (4) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,恰有1个空盒.21．函数9()(a f x x=+（a 为实数且是常数）(1)已知()f x 的展开式中3x 的系数为94,求a 的值； (2)已知0a >,若x 在定义域中取任意值时,都有()27f x ≥恒成立,求出a 的取值范围.22．已知函数()()222f x x ax a =+- 1(0)x e a ->.(1)当14a =时,求函数()f x 的极小值； (2)若函数()f x 在[]1,1-有2个零点,求实数a 的取值范围；(3)在(2)的条件下,若函数()1y f x =-在()1,-+∞的三个零点分别为123,,x x x ,求证:1232x x x ++>.参考答案1．A 【解析】试题分析：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a ，b ，c 中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b ，c 都是奇数”，故选A ． 考点：反证法与放缩法. 2．A 【解析】0的绝对值等于0，不大于0，大前提错误． 3．B 【解析】分析：依次判断每个结论是否正确，注意类比后变量的取值范围.详解：设2,3x i y i ==，则266xy i I ==-∉；A 错误；240x =-<，C 错误；32,22x i y i =+=-，则50x y +=>，但,x y 不能比较大小，即x y >-是错误的，D 错误，只有B 正确. 故选B.点睛：对于选择题中要只有一个命题正确的选项问题，可以用特殊值法进行排除，即举反例说明某些命题是错误，最后只剩下一个命题一定是正确.本题说明实数集的结论有许多在虚数集中不能成立，因此在解题时不能随便引用. 4．B 【解析】分析：利用复数的运算法则计算化简z ，再求出z 即得. 详解：20182345(34)3424134(34)(34)555i i i z ii i ii i -++=+=+=-+=-+--+,2455z i =--，虚部为45-. 故选B.点睛：本题考查复数的运算与复数的概念，复数的概念问题可先利用复数的运算法则把复数z 化为(,)a bi a b R +∈形式，再由复数的概念进行判断求解.5．D 【分析】利用微积分基本定理求出a ，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数等于0，求出常数项． 【详解】00sin cos |cos cos 02a xdx x πππ==-=-+=⎰66(∴=展开式的通项为6316(1)2r r r r r T C x --+=- 令30r -=得3r =故展开式的常数项是368160C -=-本题正确选项：D 【点睛】本题考查微积分基本定理、二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题． 6．B 【解析】分析：只有各数字和能被3整除，此数才能被3整除，因此考虑3个数字和是3的倍数的选法有0,1,2和1,2,3两种，分类计算即可.详解：由题意所求三位数的个数为12322310C A A +=，故选B.点睛：本题考查数字排列问题，此问题中有一个特殊元素0，不能作为多位数的首位，因此要按有无数字0分类，当然本题要求被3整除，因此按数字和为3的倍数分类，在有0的一类中，对首位先安排数字，即特殊元素、特殊位置优先考虑.解题时一定要注意是用分类加法原理还是用分步乘法原理，注意它们的区别. 7．A 【解析】分析：可先计算()n f x （1,2,3,4n =），寻找规律，归纳出()n f x ，求得n C ，再由裂项相消法求得和n S ，然后解不等式可得.详解：221()'()(2)(22)(42)x x x f x f x e x x e x e x x ==+++=++， 同理'221()()(66)x f x f x e x x ==++，23()(812)x f x e x x =++，24()(1020)x f x e x x =++，∴242(1)n C n n n =+++=+，1111223(1)n S n n =+++⨯⨯+1111111122311n n n =-+-++-=-++， 11112018n S n -=≤+，则2017n ≥，∴n 的最小值为2017. 故选A.点睛：本题考查导数的运算法则和归纳推理，考查裂项相消法求和，有一定的难度.首先对{}n C 的通项，可先求出数列的前几项，然后用归纳推理的方法归纳出通项公式，根据n C 的表达式，数列1{}nC 的前n 项要用裂项相消法求和，在数列求和中，裂项相消法、错位相减法是针对特殊类型的数列的求和方法，一定要记住其类型. 8．D 【解析】分析：关键是既会钳工又会车工的2人的选择，这2人可分类：只选1人且当钳工，只选1人且当车工，2人都选，其中1人钳工1人车工，2人都当钳工，2人都当车工，或者2人都不选，用分类加法原理.详解：由题意选法有：134143233244244254254254545454C C C C C C A C C C C C C C C +++++=185，故选D.点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定事件完成的方法，象本题有“全能”选手的问题中，一般是按照“全能”选手进行分类：2名“全能”选手只有1人进行某一项工作；2人都选，一人一项工作或2人做同一项工作；2人都不选，这样完成分类，每一类分别进行计算再相加即得. 9．B 【解析】先将五人分成三组，只有2,2,1或者3,1,1，共有2213115315212522C C C C C C +=种分组方法.有A 的那组去清华，剩下的两组去北大和武大，全排列有2种方法，故共有25×2=50种方法 故选：B 10．D 【解析】利用隔板法，10道题中间有9个空格，若1天做完，有09C 种；若2天做完，从9个空格中插入一个板，分成2天，则有19C 种；若3天做完，则有29C 种；以此类推，若9天做完，则有89C 种；若10天做完，则有99C 种；故总数为012899999992512C C C C C +++⋅⋅⋅+==.故选D. 11．A 【解析】试题分析：将五棱锥的顶点染色有4种方法,可设五棱锥底面的项点分别为,,,D,E A B C .先涂A ,有3 种方法,再涂,B E .,B E 两点颜色可相同也可不同,分成两类.一类,B E 同色,则,C D 有3种涂色方法,可知共有321318⨯⨯⨯=种方法,另一类,B E 同色,则,C D 共有2种涂色方法,可知共有32212⨯⨯=种方法,综上所述可得不同染色方法总数为()41812120⨯+=种.故本题答案选A.考点：排列组合． 12．D 【解析】分析：问题转化为直线y k =与函数()F x =(())f g x 有四个交点，利用导数研究函数()F x 的性质，作出图象（草图），观察分析.详解：当2x >-时，22()(()()22x x e e F x f g x x x ==-++，2(1)'()(22)2(2)x x e e x F x x x +=-⨯++32(2)(1)(2)x xx e x e x +-+=+，由()2x G x x e =+-知'()F x 在(2,1)--有一个零点2x ，在(1,2)上有一个零点3x ，－1也是它的零点，且23,x x 满足20x x e +-=；当2x <-时， 22()(()()22x x e e F x f g x x x ==--++，2(1)'()(22)2(2)x x e e x F x x x +=--⨯++32(2)(1)(2)x x x e x e x -+++=+，由()2xH x x e =++知'()F x 在(,2)-∞-上有一个零点1x ，且111()20x H x x e =++=，123,,x x x 都是极大值点，－1是极小值点，注意到2lim ()xF x →-=-∞，221(1)F e e -=-，1()1F x =，∴当2210k e e<<-时，直线y k =与函数()F x =(())f g x 有四个交点，故选D.点睛：本题考查导数与复合函数，用导数研究函数的性质这个方法大家都会，此时中有一个关键点就是求复合函数的导数，对函数()(())F x f g x =，其导数为'()'(())'()F x F g x g x =，这是复合函数的求导法则. 13．5-. 【解析】分析：利用赋值法求得参数a ，再由二项式定理求得系数3a .详解：令1x =得60172(1)0a a a a -=+++=，∴1a =，∴3322366(1)(1)5a C C =-+-=-，故答案为－5.点睛：在二项式定理中求展开式中的系数和通常用赋值法，例如01()n n n a x a a x a x +=+++，012(1)n f a a a a =++++，02(1)(1)2f f a a +-++=，13(1)(1)2f f a a --++=，0(0)a f =等等，可根据表达式的形式确定所赋值.14．174.【解析】分析：按两点间连线分类：一类是正方体的棱，一类是正方体的面对角线，一类是正方体的体对角线. 详解：121212134121742⨯+⨯+⨯=，故答案为174.点睛：本题考查异面直线的概念，解题关键是正确分类，正方体的8个顶点连线中有棱、面对角线和体对角线三类，因此就按此分类，第一条直线分别为棱、面对角线和体对角线时，第二条直线也分别为棱、面对角线和体对角线，这样利用“算两次”的方法可求出结论. 15．①③⑤ 【解析】分析：求出各函数的导函数'()f x ，解方程()'()f x f x =，有解的则有“巧值点”，无解的则没有“巧值点”.详解：①'()2f x x =，22x x =得0x =或2x =，有“巧值点”；②'()xf x e -=-，x x e e --=-无解，无“巧值点”；③1'()f x x =，方程1ln x x=有解，有“巧值点”；④21'()cos f x x =，方程21tan cos x x=无解，无“巧值点”；⑤21'()f x x =-，方程211x x =-有解，1x =-，有“巧值点”. 故答案为①③⑤.点睛：本题是一种信息迁移题，考查学生的创新意识，解题关键是掌握新概念的实质，本题实际上是考查初等函数的求导，以及解方程（确定方程是否有解），属于中等题型. 16．一中东校区 英语 【分析】综合分析判断每一句话，能推理出正确结果． 【详解】由③得在咸阳工作的教师教A 学科；又由①得乙不在咸阳工作，所以乙不教A 学科； 由④得乙不教B 学科，结合③乙不教A 学科，可得乙必教C 学科， 所以由②得乙不在延安工作，由①得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作， 综上，乙工作地方和教的学科分别是宝鸡和 C 学科．故答案为宝鸡 C ． 【点睛】本题考查简单的合理推理，考查逻辑推理能力，是基础题． 17．（1）见解析（2）见解析 【解析】分析：（1）把组合数化为阶乘表示即可证明；（2）利用（1）的结论把20k kC (2)k ≥化为11920k C -，然后利用二项式系数的性质及二项式定理展开可证．详解： (1)证明: ()()()()()1111!11!1!k n k n k C k n +++⋅++=+-()()()1!1!!kn n n n C k n k +==+-即证 (2)证明:因为(1) 所以1220202C C ++20020192020(C C +=+ 119191919)202C C ++=⋅而又1921202525⋅=⋅= ()()7732=571⋅⋅+所以除7所得余数为5 点睛：组合数!!()!nm m C n m n =⋅-，它有许多性质：（1）111n n n m m m C CC ---=+；（2）n m nm mC C-=；（3）1rrim r m i i CC+++==∑；（4）2mi m mi C==∑；（5）012(1)0m mm m m m C C C C -+-+-=；（6）02413512m m m m m m m C C C C C C -+++=+++=；（7）11nn m m nC mC--=；（8）112ni n n i iC n -==⋅∑． 18．(1)不存在(2) 2n a n =+ 【解析】分析：（1）假设1x =是极值点，即'(1)0n f =，由此得1n =，而此时2'()(1)0n f x x =-≥，1x =不可能是极值点，从而得结论不存在；（2）由2'()(1)1n f x x n x =-++得递推式21(1)1n n n a a n a +=-++，由13a =依次代入可求得234,,a a a ，并猜想2n a n =+，然后用数学归纳法证明即可． 详解：（1）()()21n f x x n '=-+ ()1x n N+∈，若()n f x 在1x =处取得极值,则()'10n f =,得1n =,此时()()2'10n f x x =-≥,所以()n f x 在R 上单调递增,不存在极值.所以不存在n ,使得()n f x 在1x =处取得极值. (2)由()()21n f x x n '=-+ ()1x n N++∈1=3a ∴,又()21=11n n n a a n a +-++,2211=2+1=4a a a ∴-， 2322=3+1=5a a a ∴-， 2433=4+1=6a a a ∴-，猜想2n a n =+. 用数学归纳法证明1n =时显然成立.②假设当()*n k k N =∈时猜想成立,则=+2ka k则当()*1n k k N=+∈时()21=1k k k a a k a +-+ ()()2121k k +=+-+ ()213k k ++=+ ()12k =++∴当1n k =+时,猜想成立由①②可知对一切*n N ∈,=+2n a n 成立点睛：数学中存在性命题可以假设存在，然后想办法计算推理求出参数值之类的，如果能求出说明存在，如果不能求出，说明不存在． 19．（1）1440（2）3600（3）3720（4）2520 【解析】分析：（1）把两女生捆绑作为一个元素与5名男生进行排列； （2）先把5名男生排列后，再把2名女生插入到男生间的空档；（3）先把7人全排列，然后减去女生甲在左端的排列数及女生乙在右端的排列数，同时加上女生甲在左端同时女生乙在右端的排列数；（4）女生甲要么在乙的左端，要么在乙的右端，因此只要用全排列除以2即得．详解： (1) 26261440A A = (2) 56563600A A = (3) 76576523720A A A -+=(4)77125202A = 点睛：对女生甲不在左端,女生乙不在右端排列数，可以先采取特殊元素与特殊位置优先安排的方法：第一类女生甲站在右端，其他5人全排列，第二类女生甲排在中间5个位置中的一个，女生乙除了右端还有5个位置可安排，然后再排列5名男生，即61156555A C C A +=3720.20．（1）4096（2）1560（3）10（4）2160 【解析】试题分析：解 (1)46＝4 096； 3分(2)2211346421642222C C C C C A A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1 560； 6分 (3) 24C ＋4＝10；或25C ＝10； 9分(4) 222321236426315433C C C C C C C A A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝2 160. 12分 考点：排列组合的运用点评：主要是考查了排列组合的运用，属于中档题． 21．(1)14；(2) 49a ≥ 【解析】分析：（1）由二项展开式通项公式求得3x 的系数，让它等于94，可求得a ； （2）由9()(27a f x x =≥得133a x≥，因此可利用导数求得()a g x x =+小值min ()g x ，再解不等式 13min()3g x ≥可得a 的范围．详解： (1) 919rr r a T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭39929r rrrC ax--=,由3932r-=,解得: 8r =, 因为898994C a -=,所以14a =(2)()9a f x x ⎛=+ ⎝,()0,x ∈+∞要使927a x ⎛≥ ⎝，只需133a x +≥ 设()ag x x=()20a g x x '=-=，得()232x a = ()g x 在()230,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()232,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增()()2min 32ag x a ∴=+113323332a =≥49a ∴≥故当49a ≥时()27f x ≥. 点睛：本题考查的一个知识点是二项式定理，()n a b +的展开式的通项第1r +项为1C r n r rr n T ab -+=，一般把此式整理成关于x 的单项式，再由x 的系数求得r ． 22．（1）当12x =-时,函数()f x 有极小值3211()22f e -=-.（2）1(0,]4（3）见解析【解析】分析：（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间，从而可得极小值；（2）首先()f x 的零点即是2()22g x x ax a =+-的零点，由二次函数的性质可得结论；（3）由（1）知1(0,]4a ∈，求得导函数1'()(2)(2)xf x x a x e -=-+-，确定出()f x 的单调性与极值点，再由()1y f x =-有三个零点，得出a 的范围，同时由零点存在定理得三个零点各自的范围，从而得证1232x x x ++>．详解： (1)当14a =时，()211122x f x x x e -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()()()12122xx x f x e -+'-=，则()0f x '>,解得122x -<<,()0f x '<,解得12x <-或2x >, ∴函数()f x 在区间1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增,在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()2,+∞内单调递减,∴当12x =-时,函数()f x 有极小值321122f e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.(2)设()222(0)g x x ax a a =+->10,x e ->∴函数()f x 在[]1,1-上有2个零点等价于函数()g x 在[]1,1-上有2个零点0a >且()110g =>，∴要使函数()g x 在[]1,1-上有2个零点,则()2480114011a a g a a ⎧∆=+>⎪-=-≥⎨⎪-<<⎩，解得104a <≤，即实数a 的取值范围是10,4⎛⎤⎥⎝⎦.(3)由(Ⅱ)得, 10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，12,0,2a ⎡⎫∴-∈-⎪⎢⎣⎭21a ∴->-.()()2f x x a =-+' ()12,0x x e a -->，则()0f x '>，解得()22,0a x f x '-<<<,解得12x a -<<或2x >，()()()122x f x x a x e -=-+'-，0a >，则()0f x '>，解得()22,0a x f x '-<<<，解得12x a -<<或2x >.∴函数()f x 在区间()2,2a -内单调递增,在区间()1,2a --和()2,+∞内单调递减.若函数()1y f x =-在()1,-+∞上的三个零点分别为123x x x 、、,不妨设123x x x <<则()()()120110210210a f f a f -<-<⎧⎪-->⎪⎨--<⎪⎪->⎩，即22121021421421a a e a e ae ae+⎧<<⎪⎪-⎪<⎪⎨⎪-<⎪+⎪>⎪⎩，解得22104e a e -<<. 又当1x =-时, ()11y f =-- ()21410a e =-->；当0x =时，()012y f ae =-=- 10-<；当1x =时, ()11110y f =-=-=； 当2x =时, ()21y f =-= ()14210a e -+->，∴由函数零点存在性定理可得12310,1,2x x x -<=，1232x x x ∴++>.点睛：本题考查导数与极值的关系，由导数确定极值的方法：求出导函数'()f x ，解方程'()0f x =的解0x ，如在0x x <时'()0f x >，有0x x >时'()0f x <，则0x 是极大值点，在0x x <时'()0f x <，有0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点．。
安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含解析
安徽省六安市第一中学2018-2019学年上学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆的半径，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,可得，长轴长等于圆，即的半径，a=2，则b=1，所求椭圆方程为：.故选：B.2. 的内角的对边分别为，已知，，，则（）A. 2B. 3C.D.【答案】B【解析】在中，由余弦定理得：，即，整理得：.解得或（舍）故选B.3. 记为等差数列的前项和.若，，则的公差为（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】由，得，整理得，解得.故选C.4. 已知命题，，则下列叙述正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. 是假命题【答案】D【解析】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题，，的否定，.当是，,而.所以.故命题是真命题，即是假命题.故选D.5. 函数的最小值是（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】，当且仅当时取等号，故选A.点睛：本题考查了分式型函数的最值问题，这类问题的一般解法就是先分离再换元整理，变形成，出现了的结构，很容易利用均值不等式找到此式子的最小值（或者利用对勾函数的性质也可以得到），进而得到原函数的最大值.6. “双曲线渐近线方程为”是“双曲线方程为（为常数且）”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】双曲线渐近线方程为y=±2x，即b=2a，或a=2b，故双曲线方程为(λ为常数且λ≠0)，是充要条件，故选：C.7. 已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】∵，即与，共面，∴与，不能构成空间基底；故选：C.8. 已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（）A. 1B. -1或1C. 2D. -2或2【答案】D【解析】抛物线的焦点为是C上一点,，由抛物线定义可得：，解得=2，可得=±2.故选：D.9. 椭圆上的点到直线的最大距离是（）A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】设椭圆上的点，则点P到直线的距离，最大值为.故选B.10. 在三棱锥中，，，点分别是的中点，平面，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，又∵OP⊥平面ABC∴PA=PB=PC.取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角。
安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次段考数学(理)试题 Word版含解析
安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次段考数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数(1)(2)ai i +-是纯虚数（a 是实数，i 是虚数单位），则a 等于（ ） A. 2 B. -2C.12D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】∵复数（1+ai ）（2﹣i ）＝2+a +（2a ﹣1）i 是纯虚数，∴20210a a +=⎧⎨-≠⎩，解得a ＝﹣2．故选：B ．【点睛】本题考查了复数的乘法运算、纯虚数的定义，属于基础题．2.54886599A A A A +=-（ ） A.527B.2554C.310D.320【答案】A 【解析】 【分析】先将原式用排列数公式展开，再对分子分母同除以公因式8765⨯⨯⨯，即可得到结果．【详解】548865998765487654159876549876594927A A A A +⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+===-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-． 故选：A ．【点睛】本题考查了排列数公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．3.观察下列算式：122=，224=，328=,4216=,5232=,6264=,,72128=,82256=……用你所发现的规律可得20192的末位数字是( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】通过观察可知，末尾数字周期为4，据此确定20192的末位数字即可.【详解】通过观察可知，末尾数字周期为4，201945043=⨯+，故20192的末位数字与32末尾数字相同，都是8．故选D ．【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．4.关于x 的不等式|||2|4x m x -++<的解集不为∅，则实数m 的取值范围是（ ） A. (2,6)-B. (,2)(6,)-∞-⋃+∞C. (,6)(2,)-∞-⋃+∞D. (6,2)-【答案】D 【解析】 【分析】关于x 的不等式|x ﹣m |+|x +2|＜4的解集不为∅⇔（|x ﹣m |+|x +2|）min ＜4，再根据绝对值不等式的性质求出最小值，解不等式可得．【详解】关于x 的不等式|x ﹣m |+|x +2|＜4的解集不为∅⇔（|x ﹣m |+|x +2|）min ＜4， ∵|x ﹣m |+|x +2|≥|（x ﹣m ）﹣（x +2）|＝|m +2|， ∴|m +2|＜4，解得﹣6＜m ＜2， 故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.已知直线1y m=-是曲线xy xe =的一条切线，则实数m 的值为（ ）A. 1e -B. e -C.1eD. e【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设直线与曲线的切点坐标为（n ，1m-），求出y ＝xe x 的导数，由导数的几何意义可得y ′|x =n ＝0，解得n 的值，将n 的值代入曲线的方程，计算可得答案． 【详解】根据题意，直线y 1m =-是曲线y ＝xe x的一条切线，设切点坐标为（n ，1m-）， 对于y ＝xe x ，其导数y ′＝（xe x ）′＝e x +xe x ， 则有y ′|x =n ＝e n +ne n ＝0，解可得n ＝﹣1， 此时有1m -=ne n 1e=-，则m ＝e ． 故选：D ．【点睛】本题考查利用函数的导数计算函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．6.曲线2y x =与2y x =所围图形的面积为（ ）A.16B.24π- C.13D.12π- 【答案】C 【解析】 【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式进行运算即可． 【详解】作出两个曲线的图象，由22y x y x⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩， 则曲线y 2＝x 与y ＝x 2所围图形的面积为S 1=⎰x 2）dx ＝（322133x -x 3）10|=（2133-）﹣013=，故选：C ．【点睛】本题考查了曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．7.()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（ ）A. -160B. -5C. 240D. 80【答案】D 【解析】 【分析】由二项式定理及分类讨论思想得：（x 2x -）6展开式的通项为：T r +16rC =x 6﹣r （2x-）r ＝（﹣2）r6r C x 6﹣2r ，则()2621()x x x+-展开式的常数项为1×（﹣2）336C +1×（﹣2）446C ，得解．【详解】由二项式展开式通项得：（x 2x -）6展开式的通项为：T r +16rC =x 6﹣r （2x-）r ＝（﹣2）r 6r C x 6﹣2r ， 则()2621()x x x+-展开式的常数项为1×（﹣2）336C +1×（﹣2）446C =80，故选：D ．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项展开式的通项公式及分类讨论思想，属于中档题．8.不等式222log |2|log x x x x -<+的解集为（ ） A. {|12}x x << B. {|01}x x << C. {|1}x x > D. {}2x x【答案】C 【解析】 【分析】由题意知x ＞0，不等式等价于：2x•l og 2x ＞0，解出结果． 【详解】根据对数的意义，可得x ＞0，则|2x ﹣log 2x|＜|2x|+|log 2x|等价于2x•log 2x ＞0， 又由x ＞0，可得原不等式等价于log 2x ＞0， 解可得x ＞1，∴不等式的解集为（1，+∞）， 故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式公式等号成立的条件，属于基础题.9.1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A.2123n + B.()2413n- C. 123n -⨯D.()2313n- 【答案】B 【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=1220012222(333)(33331)33n n nn n n n n n n n C C C C C C C =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-22[(13)1](41)33n n =+-=-选B.10.若a ＞b ＞c ，则使11k a b b c a c+≥---恒成立的最大的正整数k 为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 试题分析：,0a b c a b >>∴->，0b c ->，0a c ->，且a c a b b c -=-+-，又a c a b--a c a b b c a b b c b c a b b c --+--+-+=+---2224b c a ba b b c --=++≥+=--，,4a c a c k k a b b c--∴≤+≤--，故k 的最大整数为4，故选C.考点: 1、基本不等式求最值；2、不等式的性质及不等式恒成立问题.11.本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（ ） A. 330种 B. 420种 C. 510种 D. 600种【答案】A 【解析】种类有（1）甲1，乙1，丙1，方法数有35A 60=；（2）甲2，乙1，丙1；或甲1，乙2，丙1；或甲1，乙1，丙2——方法数有2115323C C C 180⨯=；（3）甲2，乙2，丙1；或甲1，乙2，丙2；或甲2，乙1，丙2——方法数有22533C C 90⨯⋅=.故总的方法数有6018090330++=种.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．12.设函数()()ln =-+xf x xe a x x ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范国是（ ）A. []0,eB. []0,1C. (],e -∞D. [),e +∞【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导()()1⎛⎫'=+-⎪⎝⎭xa f x x e x ，对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出结论．【详解】()()()1111⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭xx a f x x e a x e x x ， 0a <时，()f x '在()0,∞+上单调递增，0x +→时，()f x →-∞；x →+∞，()f x →+∞，不合题意0a =时，()0=≥xf x xe 恒成立，因此0a =满足条件．0a >时，令()()10⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭x a f x x e x ，解得00000,ln ln ,0x a e x x a x x =+=>． 则0x 是函数()f x 的极小值点，此时0x x =，函数()f x 取得最小值，()()00000ln ln 0x f x x e a x x a a a =-+=-≥，化为：ln 1a ≤，解得0a e <≤．综上可得：[]0,∈a e ． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若34z i =-时，则5z z+=__________． 【答案】1824+55i 【解析】 【分析】结合2||z z z ⋅=将已知中的5z进行分母实数化，计算可得答案． 【详解】∵z ＝3-4i ，∴34i z =+， ∴z•22||25z z ===．∴55618+24===555z z z i z z z z z z +=++⋅ 故答案为：1824+55i ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念及运算性质，是基础题．14.如图所示的几何体ABCDEF 中，ABCD 是平行四边形且//AE CF ，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是__________．【答案】39 【解析】 【分析】根据三棱锥的结构特征可得：每个三棱锥中有三对异面直线，因为六个点一共形成C 64﹣2＝13个三棱锥（计算三棱锥的个数时应该做到不重不漏），所以得到答案为3（C 64﹣2）＝39． 【详解】解：由题意可得：因题中共有六个点，所以一共形成C 64﹣2＝13个三棱锥，又因为每个三棱锥中有三对异面直线，所以异面直线的对数是3（C 64﹣2）＝39． 故答案为：39．【点睛】本题把排列组合和立体几何挂起钩来，因此解决此类问题的关键是熟练掌握立体几何中一共几何体的结构特征，并且结合排列与组合的有关知识解决问题．15.二项式5(1)(0)ax a ->的展开式的第四项的系数为-40，则21ax dx -⎰的值为__________．【答案】3 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，令r ＝3，求出第四项的系数，列出方程求a 的值，代入积分式，利用微积分基本定理求得结果． 【详解】二项式（ax ﹣1）5的通项公式为：T r +15rC =•（ax ）5﹣r •（﹣1）r ，故第四项为35C -•（ax ）2＝﹣10a 2x 2， 令﹣10a 2＝﹣40， 解得a ＝±2， 又a ＞0， 所以a ＝2．则2232211-1x 81====3333a x dx x dx ----⎰⎰ 故答案为：3．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，是基础题目．16.西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．【答案】420 【解析】 【分析】根据题意，分别分析5个省的涂色方法的数目，进而由分步、分类计数原理，计算可得答案． 【详解】对于新疆有5种涂色的方法， 对于青海有4种涂色方法， 对于西藏有3种涂色方法，对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法； 若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法； 根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法． 故答案为：420.【点睛】本题考查分类、分步计数原理，对于计数原理的应用，解题的关键是分清要完成的事情分成几部分及如何分类，注意做到不重不漏．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设函数()|2||1|f x x a x =++-，其中a R ∈. （1）当3a =时，求不等式()6f x <的解集； （2）若()()5f x f x +-≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）84,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】（1）分段去绝对值解不等式再相并；（2）利用绝对值不等式的性质求出左边的最小值，再解关于a 的不等式可得．【详解】（1）当3a =时，1()2316326x f x x x x ≥⎧=++-<⇔⎨+<⎩或31246x x ⎧-≤<⎪⎨⎪+<⎩或32326x x ⎧<-⎪⎨⎪--<⎩， 解得8433x -<<，综上所述，不等式()6f x <的解集为84,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）()()|2||1||2||1|f x f x x a x x a x +-=++-+-++--(|2||2|)(|1||1|)|2|2x a x a x x a =++-+-++≥+，所以|2|25a +≥解得32a ≤-或32a ≥，即a的取值范围是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的性质的应用，属于中档题．18.（1）当1x >时，求证：22122x x x+>+1x >； （2）若e a <，用反证法证明：函数()2e xf x x ax =-（0x >）无零点.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）利用分析法证221122x x x x +>+，将其变为整式证明；根据221122x x x x+>+，用换元法证明12x x+>；（2）假设结论不成立，可得()0f x =在()0,+∞上有解，即e xa x=在()0,+∞上有解.构造函数()e x g x x =（0x >），求()g x 的最小值，可得矛盾。
安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二9月月考理数试题 含答案 精品
安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二9月月考数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列{}{},n n a b 满足11,12n n a a b =+=，121n n n b b a +=-，则2017b =（ ）A ．20172018 B ．20182017 C ．20152016 D ．201620152．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．113.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为（ ） A ．20 B ．22 C ．24 D ．284. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且()222S a b c =+-，则tan C 等于（ ） A ．34 B ．43 C ．43- D ．34- 5.已知在ABC ∆中45,A AC =︒=若ABC ∆的解有且仅有一个，则BC 满足的条件是（ ） A ．4BC = B．BC ≥．4BC ≤≤．4BC =或BC ≥6.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足643a b c ==，则sin 2sin sin AB C=+（ ）A ．1114-B ．127C ．1124-D ．712- 7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()cos cos 1,2A C B a c -+==，则C =（ ） A ．6π或56π B ．6π C ．3π或23π D ．3π 8. 已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．20419. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，a 上的高为h ，且3a h =，则c bb c +的最大值为（ ）A ．3B ．2 D 10.已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．2017 11. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ）A.,,a b c 依次成等差数列 C.222,,a b c 依次成等差数列D.333,,a b c 依次成等差数列12. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22sin cos sin cos 4sin ,cos c A A a C C B B +==，D 是线段AC 上一点，且23BCD S ∆=，则AD AC=（ ） A ．49 B ．59C ．23D ．109 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在等差数列{}n a 中，2526,15,n n a a b a ===，则数列{}n b 的前5项和5S = ．14. 在ABC ∆中，60,A BC ∠=︒=,D 是AB 边上的一点，CD =CBD ∆的面积为 1，则AC 边的长为 ．15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()94=18,309,336k k S a k S -=>=，则k = ．16.已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则2AC AB BC AB AC AB AC ++⋅的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若575,49a S =-=-（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ； （2）求数列{}n a 的前24项和24T .18.已知,,a b c 分别是ABC ∆角,,A B C 的对边，满足sin 4sin 4sin ac A C c A += （1）求a 的值；（2）ABC ∆的外接圆为圆O (O 在ABC ∆内部)，4OBC S b c ∆=+=，判断ABC ∆的形状，并说明理由.19. 如图，在四边形ABCD中，:2:3,3ABC AB BC AC π∠===，（1）求sin ACB ∠的值； （2）若314BCD CD π∠==，，求ACD ∆的面积. 20. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a B b A c A +=.（1）若ABC ∆的面积S =，求证：a ≥ （2）如图，在（1）的条件下，若,M N 分别为,AC AB的中点，且BM CN =，求,b c . 21. 已知数列{}n a 中，()*1111,22,4n n a a n n N a -==-≥∈，数列{}n b 满足()*11n n b n N a =∈-. （1）求证:数列{}n b 是等差数列，写出{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n a 中的最大项与最小项. 22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*11,22n n a S na n n n N ==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ，使得3212112423n nS S S S n+++++=？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由； （3）设()()*27n n c n N n a =∈+，()*123n n T c c c c n N =++++∈，若不等式()32n mT m Z >∈对*n N ∈恒成立，求m 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: ABCCD 6-10:ABABC 11、12：CB 二、填空题三、解答题17.解：（1）由题得1145767492a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，1132a d =-⎧⎨=⎩ ∴215n a n =-，()14n S n n =-（2）当17n ≤≤时，0n a <，当8n >时，0n a > ()()724=771449,242414240S S ⨯-=-=⨯-=∴()2472472472338T S S S S S =+-=-= 18.解：（1）由正弦定理可知，sin ,sin 22a cA C R R==，则 2sin 4sin 4sin 44ac A C c A a c c ac +=⇔+=，∵0c ≠，∴()222444420a c c ac a a a +=⇔+=⇔-=，可得2a =. （2）记BC 中点为D，12OBC S BC OD OD ∆=⋅⋅==，故120BOC ∠=︒， 圆O的半径为r =，由正弦公式可知sin 2a A r ==60A =︒， 由余弦定理可知，2222cos a b c bc A =+-，由上可得224b c bc =+-，又4b c +=，则2b c ==，故ABC ∆为等边三角形.19.解：（1）由:2:3AB BC =，可设2,3AB x BC x ==.又∵3AC ABC π=∠=，∴由余弦定理，得()()22232232cos 3x x x x π=+-⨯⨯，解得1x =，∴23AB BC ==，，由正弦定理，得2sin sin AB ABCACB AC∠∠===.（2）由（1）得cos ACB ∠= 因为34BCD π∠=，所以34ACD ACB π∠+∠=, 333sin sin sin cos cos sin 444ACD ACB ACB ACBπππ⎛⎫∠=-∠=∠-∠ ⎪⎝⎭(214==又因为1CD =，所以1sin 2S AC CD ACD =⨯⨯∠=20.解：（1）由cos cos 2cos a B b A c A +=，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=， 即()sin 2sin cos A B C A +=，所以1cos 2A =，∴3A π=，由1sin 2S bc A ==2bc =.在ABC ∆中，由余弦定理可得()22222a b c bc b c bc bc =+-=-+≥=，所以a （2）因为,M N 分别为,AC AB 的中点，在ABM ∆中，由余弦定理可得222142b BMc bc =+-，在ACN ∆中，由余弦定理可得222142c CN b bc =+-，由BM CN = 可得2222113142442b c c bc b bc ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，整理得()()820c b c b +-=，所以2c b =，由2bc =，可得1,2b c ==. 21. 解：（1）因为11111111111121n n n n n n b b a a a a -----=-=------111111n n n a a a ---=-=-， 所以{}n b 是等差数列，又143b =-，故()471133n b n n =-+-⋅=-.（2）由（1）得1311373n a n n =+=+--， 要使n a 最大，则需370n ->且37n -最小，所以3n =，故()3max 52n a a ==， 要使n a 最小，则需370n -<且37n -最小，所以2n =，故()2min 2n a a ==-.22．解:（1）由()2*22n n S na n n n N =-+∈，得()()()()211121212n n S n a n n n --=---+-≥ 相减得()()()()111441141n n n n n a na n a n n a n a n --=---+⇒---=-()142n n a a n -⇒-=≥ 故数列{}n a 是以1为首项，以4为公差的等差数列，所以()()*11443n a n n n N =+-⨯=-∈，()()12*22n n n a a S n n n N +==-∈（2）由知()*21nS n n N n=-∈，所以 ()321213521223n nn S SSS n n+++++=++++-+()2121222n n n n n +-⎡⎤⎣⎦=+=+由221124n n +=，得10n =，即存在满足条件的自然数10n = （3）()()2111172121n n c n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，123111111122231n n T c c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1112121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， ∵()()()()11102221221n n n n T T n n n n ++-=-=>++++，∴1n n T T +<，即n T 单调递增故()1min 14n T T ==，要使32n m T >恒成立，只需1324m <成立，即()8m m Z <∈，故max 7m =.。
安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考
六安一中2017～2018年度高二年级第一学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆的半径，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,可得，长轴长等于圆，即的半径，a=2，则b=1，所求椭圆方程为：.故选：B.2. 的内角的对边分别为，已知，，，则（）A. 2B. 3C.D.【答案】B【解析】在中，由余弦定理得：，即，整理得：.解得或（舍）故选B.3. 记为等差数列的前项和.若，，则的公差为（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】由，得，整理得，解得.故选C.4. 已知命题，，则下列叙述正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. 是假命题【答案】D【解析】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题，，的否定，.当是，,而.所以.故命题是真命题，即是假命题.故选D.5. 函数的最小值是（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】，当且仅当时取等号，故选A.点睛：本题考查了分式型函数的最值问题，这类问题的一般解法就是先分离再换元整理，变形成，出现了的结构，很容易利用均值不等式找到此式子的最小值（或者利用对勾函数的性质也可以得到），进而得到原函数的最大值.6. “双曲线渐近线方程为”是“双曲线方程为（为常数且）”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】双曲线渐近线方程为y=±2x，即b=2a，或a=2b，故双曲线方程为(λ为常数且λ≠0)，是充要条件，故选：C.7. 已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】∵，即与，共面，∴与，不能构成空间基底；故选：C.8. 已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（）A. 1B. -1或1C. 2D. -2或2【答案】D【解析】抛物线的焦点为是C上一点,，由抛物线定义可得：，解得=2，可得=±2.故选：D.9. 椭圆上的点到直线的最大距离是（）A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】设椭圆上的点，则点P到直线的距离，最大值为.故选B.10. 在三棱锥中，，，点分别是的中点，平面，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，又∵OP⊥平面ABC∴PA=PB=PC.取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角。
2018-2019学年安徽省六安市第一中学高二下学期期末数学(理)试题 解析版
绝密★启用前安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题一、单选题1．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()2100.1N ，，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.82cm 和10.31cm ，则可认为（ ）A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常【答案】B 【解析】 【分析】根据生产的零件外直径符合正态分布，根据3σ原则，写出零件大多数直径所在的范围，把所得的范围同两个零件的外直径进行比较，得到结论. 【详解】 因为零件外直径210,0.1)XN （，所以根据3σ原则，在1030.19.7()cm -⨯=与1030.110.3()cm +⨯=之外时为异常， 因为上、下午生产的零件中随机取出一个，9.79.8210.3<<，10.3110.3>， 所以下午生产的产品异常，上午的正常， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关正态分布的问题，涉及到的知识点有正态分布的3σ原则，属于简单题目.2．已知三个正态分布密度函数()()2221ei i x i ix μσϕ--=（, 1,2,3i =）的图象如图所示则（ ）A ．123123==μμμσσσ<>，B ．123123==μμμσσσ><，C ．123123μμμσσσ=<<=，D ．123123==μμμσσσ<<， 【答案】D 【解析】 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果． 【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为()()2221ei i x i ix μσϕ--=，则对应的函数的图像的对称轴为：i μ，∵正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等， 只能从A ，D 两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等 故选：D ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．3．已知两个随机变量X Y ，满足24X Y +=，且()2~12X N ，，则()()E Y D Y ，依次（ ） A ．32，2 B ．12，1 C ．32，1 D ．12，2 【答案】C 【解析】 【分析】先由()2~12X N ，，得()1E X =，()4D X =，然后由24X Y +=得122Y X =-，再根据公式求解即可. 【详解】由题意()2~12X N ，，得()1E X =，()4D X =，因为24X Y +=，所以122Y X =-， 所以13()2()22E Y E X =-=，1()()14D Y D X ==， 故选C. 【点睛】该题考查的正态分布的期望与方差，以及两个线性关系的变量的期望与方差之间的关系，属于简单题目.4．已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．10【答案】D 【解析】列举法得出集合()()()()()()()()()(){}2,1314151324252435354B =，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共含10个元素。
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六安一中2016-2017学年第二学期高二年级第一次阶段检测数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数()321722f x x x x =--，则()2f a -与()1f -的大小关系为（ ） A ．()()21f a f -≤- B ．()()21f a f -<-C ．()()21f a f -≥-D ．()2f a -与()1f -的大小关系不确定 2.已知函数()()f x x R ∈的图象上任一点()00,x y 处的切线方程为()()200021y y x x -=--()0x x -，那么函数()f x 的单调区间是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(],2-∞C ．(),1-∞-和()1,2D ．[)2,+∞3.如图所示，正四棱锥P ABCD -的底面积为3，体积为2，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为（ ）A ．6π B ．4πC ．3πD ．2π4.已知函数()3sin 2cos f x x x x =+-的图象在点()()00,A x f x 处的切线斜率为3，则0tan x 的值是（ ）A ．12 B ．12- C. D ． 5.设曲线()1*n y xn N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，则2017120172log log x x +++… 20172016log x 的值为（ ）A ．2017log 2016-B ．1- C. 2017log 20161- D ．1 6.已知函数()ln 1af x x x=+-()0a >在定义域内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．01a <≤ C.1a ≥ D ．1a > 7.在函数cos y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象上有一点(),cos P t t ，若该函数的图象与x 轴、直线,2x x t π=-=，围成图形（如图阴影部分）的面积为S ，则函数()S g t =的图象大致是（ ）A B C D8.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，122AC AA BC ===.若二面角11B DC C --的大小为60︒，则AD 的长为（ ）A B C.2 D ．29.已知函数()f x ，()g x 满足()11f =，()11f '=，()12g =，()11g '=，则函数()()()2f x F xg x =的图象在1x =处的切线方程为（ ） A ．3450x y -+= B ．3450x y --= C. 4350x y --= D ．4350x y -+=10.给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=g ，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数，以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是（ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C. ()321f x x x =-+- D ．()xf x xe -=-11.设函数()sin f x x =的图象与直线()0y kx k =>有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，则α=（ ）A ．cos α-B ． tan α C. sin α- D ．tan α-12.对于函数()f x 、()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使得()()001f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“互相接近点”.现给出两个函数：①()2f x x =，()22g x x =-；②()f x =()2g x x =+；③()1xf x e-=+，()1g x e=-；④()ln f x x =，()g x x =.则在区间()0,+∞上存在唯一“互相接近点”的是（ ） A ．①② B ．③④ C.②③ D ．①④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()221f x x xf '=+，则()1f ' ．14.与直线2610x y -+=垂直，且与曲线()3231f x x x =+-相切的直线方程是 ．15.已知函数()32153f x x x ax =-+-在区间[]1,2-上不单调，则实数a 的取值范围为 ．16.设函数()y f x =在(),-∞+∞内有意义，对于给定的正数K ，函数()()()(),,K f x f x Kf x K f x K≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，取函数()3x f x x e -=--，若对任意的(),x ∈-∞+∞，恒有()()K f x f x =，则K 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数()32f x x bx cx =++()x R ∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数.（1）求b 、c 的值；（2）求()g x 的单调区间与极值.18.已知在四棱柱1111ABCD A B C D -，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，BC AD ∥，且2AB =，4AD =，1BC =，侧棱14AA =.（1）若E 为1AA 上一点，试确定E 点的位置，使EB ∥平面1A CD ； （2）在（1）的条件下，求二面角E BD A --的余弦值.19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm )满足关系()35kC x x =+()010x ≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及()f x 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值。
20.已知函数()()()22ln f x x a x a x a R =-++∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若4a =，关于x 的方程()0f x m -=有三个不同的实根，求m 的取值范围.21.已知函数()2ln f x x ax x =+-，a R ∈.（1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然对数的底数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 22.设函数()()222ln 1f x x x x =+-+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当11,1x e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，是否存在整数m ，使不等式()222m f x m m e <≤-++恒成立？若存在，求整数m 的值；若不存在，则说明理由；（3）关于x 的方程()2f x x x a =++在[]0,2上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围.六安一中2016-2017学年第二学期高二年级第一次阶段检测数学试卷（理科）参考答案一、选择题1-5:ACCBB 6-10:BBABD 11、12：BD二、填空题13. 2- 14. 320x y ++= 15. ()3,1- 16.2三、解答题17.解：（1）3b =，0c = （2）增区间：(,-∞，)+∞减区间：(极大值(g =极小值g =-18.解：（1）当1114A E A A =时，EB ∥平面1A CD . 如图，以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，连接EB ，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,4,0D ，()2,1,0C ，()10,0,4A .设()0,0,z E ，则()2,0,z BE =-uu r ，()12,1,4CA =--uuu r ，()2,3,0CD =-uu u r.EB ∥Q 平面1A CD ，∴不妨设BE xCA yCD =+u u r u u r u u u r， ()()()2,0,2,1,42,3,0z x y ∴-=--+-.222034x y x y z x -=--⎧⎪∴=-+⎨⎪=⎩，解得3z =. 所以当E 点的坐标为()0,0,3，1114A E A A =时， EB ∥平面1A CD .（2）连接ED ，BD ，1AA ⊥平面ABD ，∴向量()0,0,1m =r为平面ABD 的一个法向量.设平面BED 的一个法向量为()00,,1n x y =r，而()2,0,3BE =-uu r ，()2,4,0BD =-uu u r,000230240n BE x n BD x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩uur r uu u rr ，解得33,,124n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r . cos ,m n m n m n ⋅∴=⋅r r rr ==所以二面角E BD A --. 19.解：(1)由题设，每年能源消耗费用为()35kC x x =+，再由()08C =， 得40k =，因此()4035C x x =+. 而隔热层建造费用为()16C x x =.则得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为()()()120f x C x C x =+4020635x x =⨯++800635x x =++()010x ≤≤. (2) ()()22400635f x x '=-+.令()0f x '=，即()22400635x =+，解得5x =，或253x =-（舍去）.当05x <<时，()0f x '<，当510x <<时，()0f x '>， 故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为()800565155f =⨯++70=.当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元.20.解：（1）函数()()22ln f x x a x a x =-++的定义域是()0,+∞.()()22a f x x a x'=-++()222x a x a x -++=()21a x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=. ①当0a ≤时，()0f x '≤在(]0,1上恒成立，()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，0a ∴≤时，()f x 的增区间为[)1,+∞，()f x 的减区间为(]0,1.②当02a <<时，()0f x '≥在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和[)1,+∞上恒成立. ()0f x '≤在,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.02a ∴<<时，()f x 的增区间为0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)1,+∞，()f x 的减区间为,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.③当2a =时，()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，2a ∴=时，()f x 的增区间为()0,+∞.④当2a >时，()0f x '≥在(]0,1和,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，()0f x '≤在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 2a ∴>时，()f x 的增区间为(]0,1和,2a ⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦，()f x 的减区间为1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）若4a =，由（1）可得()f x 在(]0,1上当调递增，在[]1,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增.()()2f x f ∴=最小值4ln 28=-，()()=15f x f =-最大值，()y f x ∴=的图象与直线y m =有三个交点时m 的取值范围是()4ln 28,5--.21.解：（1）由题意知1'()2f x x a x=+-=2210x ax x +-≤在[1,2]上恒成立，令2()21h x x ax =+-，有(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩，得172a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得72a ≤-.（2）假设存在实数a ，使()ln ((0,])g x ax x x e =-∈有最小值3，由题知1'()g x a x =-1()1a x ax a x x--==， 当0a ≤时，'()0g x <，()g x 在(0,]e 上单调递减，min ()()13g x g e ae ==-=，4a e=（舍去）； 当10e a <<时，()g x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,]e a上单调递增. ∴min 1()()1ln 3g x g a a==+=，2a e =满足条件；当1e a≥时，'()0g x ≤，()g x 在(0,]e 上单调递减， min ()()13g x g e ae ==-=，4a e=（舍去）.综上，存在实数2a e =，使得当(0,]x e ∈时，函数()g x 有最小值3. 22.解：（1）由10x +>得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞.2'()221f x x x =+-+2(2)1x x x +=+. 由'()0f x >，得0x >；由'()0f x <，得10x -<<.∴函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，单调递减区间是(1,0)-. （2）由（1）知，()f x 在1[1,0]e-上单调递减，在[0,1]e -上单调递增.∴min ()(0)0f x f ==.又211(1)1f e e -=+，2(1)3f e e -=-,且22131e e->+， ∴1[1,1]x e e∈--时，2max ()3f x e =-.∵不等式22()2m f x m m e <≤-++恒成立，∴22max min2()()m m e f x m f x ⎧-++≥⎨<⎩，即222230m m e e m ⎧-++≥-⎨<⎩22300m m m ⎧--≤⇒⎨<⎩ 13100m m m -≤≤⎧⇒⇒-≤<⎨<⎩. ∵m 是整数，∴1m =-.∴存在整数1m =-，使不等式22()2m f x m m e <≤-++恒成立. （3）由2()f x x x a =++，得2ln(1)0x a x --+=. 令()2ln(1)g x x a x =--+，[0,2]x ∈，则21'()111x g x x x -=-=++，[0,2]x ∈. 由'()0g x >，得12x <≤；由'()0g x <得01x ≤<. ∴()g x 在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增. ∵方程2()f x x x a =++在[0,2]上恰有两个相异实根， ∴函数()g x 在[0,1)和(1,2]上各有一个零点.∴(0)0(1)0(2)0g g g ≥⎧⎪<⇒⎨⎪≥⎩012ln 2022ln 30a a a -≥⎧⎪--<⎨⎪--≥⎩012ln 222ln 3a a a ≤⎧⎪⇒>-⎨⎪≤-⎩12ln 222ln3a ⇒-<≤-.∴实数a 的取值范围是(12ln 2,22ln3]--.。