10.运动型问题
数学动点问题解题策略
在某一位置上，问题的实质就容易显现 出来，从而得到解题的方法。3.画出图形， 这一步很重要。 因为随着点的移动，与之 相关的一些图形肯定随着改变，而且点移 动到不同的位置，我们要研究的图形可能 会改变。所以，一定要画图，不能凭空想 象。4.当一个问题是有关确定图形的变量 之间的关系时，通常建立函数模型求解； 当确定图形之间的特殊位置关系或者一些 特殊值时，通常建立方程模型求解。一般 会涉及到全等和相似。
①当AB运动到如图1所示的位置， BQ=PQ-PB=8-4t， ∵BQ=6，∴8-4t=6， ∴t=0.5（s）．（6分） ②当AB运动到如图2 所示的位置， BQ=PB-PQ=4t-8， ∵BQ=6， ∴4t-8=6， ∴t=3.5（s）． ∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切
例题2、 如图，在矩形ABCD中，AB＝6米， BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发， 沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度 从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点 移动t秒（0<t<5）后，四边形ABQP的面积为 2 S 米 。 （1）求面积S与时间t的关系式；
例题3，如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C ＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D 出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度 运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单 位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时 出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设 运动的时间为t（秒）。 （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系 式； （2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角 形是等腰三角形？ （3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时， 求∠BQP的正切值； （4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求 出t的值；若不存在，请说明理由。
初中数学动点问题
运动型问题题型特征用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显着特点是图形中的某个元素如点、线段、角等或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强.运动型试题主要类型:1点的运动单点运动、双点运动;2线的运动线段或直线的运动;3形的运动三角形运动、四边形运动、圆的运动等.解题策略解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形如线段、三角形等随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何知识.三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性,充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确.类型一点动典例12015·江西如图1,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P 是☉O上半部分的一个动点,连接OP,CP.1求△OPC的最大面积;2求∠OCP的最大度数;3如图2,延长PO交☉O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:CP是☉O的切线.12举一反三1. 2015·黑龙江牡丹江如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.1求线段CD的长.2设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.3当t为何值时,△CPQ为等腰三角形第1题类型二线的运动典例22015·广东如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P 从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD 的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,AC,AD 于点E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒t>0.备用图1当t=2时,连接DE,DF,求证:四边形AEDF为菱形.2在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长.3是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.举一反三2.2015·湖南衡阳如图,直线AB与x轴相交于点A-4,0,与y轴相交于点B0,3,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动.同时,将直线以每秒个单位长度的速度向上平移,交OA于点C,交OB于点D,设运动时间为t0<t<5秒.1证明:在运动过程中,四边形ACDP总是平行四边形;2当t取何值时,四边形ACDP为菱形请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由.第2题类型三面的运动典例32015·甘肃天水如图1,在平面直角坐标系中,点A0,-6,点B6,0.Rt△CDE 中,∠CDE=90°,CD=4,DE=4√3,直角边CD在y轴上,且点C与点A重合.Rt△CDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题: 1如图2,当Rt△CDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求∠BME的度数.2如图3,在Rt△CDE的运动过程中,当CE经过点B时,求BC的长.3在Rt△CDE的运动过程中,设AC=h,△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数表达式,并求出面积S的最大值.123举一反三3. 2015·福建三明如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形纸片DOE 的顶点O与边AB的中点重合,OD交BC于点F,OE经过点C,且∠DOE=∠B.1证明△COF是等腰三角形,并求出CF的长;2将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转,OD,OE与边AC分别交于点M,N如图2,当CM 的长是多少时,△OMN与△BCO相似12备用图小结解决运动型问题时,一是要搞清运动变化的过程中,哪些图形如线段、三角形等不改变、那些图形随之变化,即确定运动变化过程中图形中的变与不变,充分利用不变量来解决问题;二是要运用好相应的几何知识;三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁,结论更加准确.好题精练类型一1. 2015·贵州贵阳如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿A→D方向以√2cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒0<t<8,则t= 秒时,S1=2S2.第1题类型二3.2015·湖南怀化如图1,在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.1求y与x之间的函数表达式;2当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图2,求经过G,O,B三点的抛物线的表达式;3现有一动点P在2中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.124. 2015·江苏连云港在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达雪描实验.如图,表盘是△ABC,其中AB=AC,∠BAC=120°,在点A处有一束红外光线AP,从AB开始,绕点A逆时针匀速旋转,每秒钟旋转15°,到达AC后立即以相同的旋转速度返回A,B,到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现,光线从AB处开始旋转计时,旋转1秒,时光线AP交BC于点M,BM的长为20√3-20cm.1求AB的长.2从AB处旋转开始计时,若旋转6秒,此时AP与BC边交点在什么位置若旋转2015秒,此时AP与BC边交点在什么位置并说明理由.第4题类型三5. 2015·湖南益阳如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为-3,0,将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为.第5题A. 1B. 1或5C. 3D. 56.2015·黑龙江黑河在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A 且MN∥BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°,且点D在直线MN上不与点A重合,如图1,DE与AC交于点P,易证:BD=DP.无需写证明过程1在图2中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.2在图3中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等请直接写出你的结论,无需证明.123第6题补充：如图所示,菱形ABCD边长6厘米,角B=60°;从初始开始,点P,Q同时从A点出发,点P以1厘米/秒的速度A到C到B 的方向运动,点Q以2厘米/秒的速度沿A到B到C到D的方向运动,当点Q运动到D点时,P,Q同时停止运动,设P,Q运动的时间为x秒,△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米这里规定,点和线段是面积为0的三角形解答下列问题：1点P,Q从出发到相遇所用的时间是秒2点P,Q从开始运动到停止的过程,当△APQ是等边三角形时x的值是秒3求y与x之间的函数关系式。
运动的快慢典型习题
1.3 运动的快慢1．做匀速直线运动的物体在10s内通过的路程是40m，则它在前3s内的速度是（）A．4m/s B．3m/s C．5m/s D．无法判断2．一辆摩托车做直线运动，1s内走10m，2s内走20m，3s内走30m…，则此车的运动是（）A．一定是匀速直线运动B．一定是变速直线运动C．可能是匀速直线运动D．以上答案都不正确3．根据图中所给A、B两物体s﹣t图象，判断对应的v﹣t图象哪个是正确的（）A．B．C D．4．陆地上跑得最快的猎豹每秒跑40m，水中游得最快的是旗鱼108km/h，空中飞得最快的是褐海燕5km/min．比较它们速度的大小（）A．猎豹最大B．旗鱼最大C．褐海燕最大D．三者一样大5．水中游动最快的旗鱼，速度可达108km/h；陆地上跑得最快的猎豹，1s可跑40m；空中飞行最快的褐海燕，1min能飞5km．比较它们速度的大小（）A．猎豹速度最大B．旗鱼速度最大C．褐海燕速度最大D．三者速度一样大6．一短跑运动员5s内跑了50m，羚羊的奔跑速度是20m/s，汽车的行驶速度是54km/h，三者速度从小到大的排序是（）A．汽车、羚羊、运动员B．羚羊、汽车、运动员C．运动员、汽车、羚羊D．运动员、羚羊、汽车7．甲、乙两物体从同一地点同时向相同方向做直线运动，其s﹣t图象如图所示，由图象可知（）A．两物体在0～10s内都做匀速运动，且v甲＜v乙B．两物体在15～20s内都做匀速运动，且v甲＜v乙C．两物体在15s末相遇，且0～15s内通过的路程相等D．两物体在20s末相遇，且0～20s内通过的路程相等8．甲、乙两物体的速度之比是2：1，运动时间之比是3：4，则它们通过的路程之比是（）A．1：2B．4：3C．2：3D．3：29．甲、乙两物体从同一位置同时向东运动，两物体运动的图象如图所示。
下列判断正确的是（）A．第4s时两者相距16mB．以乙为参照物，地面是静止的C．甲做速度为4m/s的匀速运动D．以甲为参照物乙向西运动10．某物体做匀速直线运动，由速度公式v＝可知物体的（）A．速度与时间成反比B．速度与路程成正比C．速度大小恒定不变D．以上说法都对11．由匀速直线运动的速度公式v＝可知，以下说法中正确的是（）A．速度与路程成正比B．速度与路程成正比，与时间成反比C．速度与时间成反比D．速度与路程、时间无关13．物体做匀速直线运动时，速度随时间变化的图象如图甲所示。
运动型问题-中考数学综合专题训练试题
第三节 运动型问题近几年来，运动型问题常常被列为中考的压轴问题．动点问题属于运动型问题，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察．问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．,中考重难点突破)动点类【例1】(梅州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以2 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以3cm /s 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t s (0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM ＝BN ，求t 的值；(2)若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；(3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．【解析】(1)由已知条件得出AB ＝10，BC ＝5 3.由题意知：BM ＝2t ，CN ＝3t ，BN ＝53－3t ，由BM ＝BN 得2t ＝53－3t ，解方程即可；(2)分两种情况：当△MBN∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；②当△NBM∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；(3)过M 作MD⊥BC 于点D ，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD ＝t ，四边形ACNM 的面积y ＝△ABC 的面积－△BMN 的面积，得出y 是t 的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【答案】解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°， ∴AB ＝10，BC ＝53，BN ＝53－3t ， 由BM ＝BN 得2t ＝53－3t ， 解得t ＝532＋3＝103－15；(2)①当△MBN∽△ABC 时， ∴MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝53－3t 53，解得t ＝52； ②当△NBM∽△ABC 时，∴NB AB ＝BM BC ，即53－3t 10＝2t 53，解得t ＝157.∴当t ＝52或157 s 时，△MBN 与△ABC 相似；(3)过M 作MD⊥BC 于点D.∵∠MBD ＝∠A BC ，∠BDM ＝∠BCA＝90°， ∴△BMD ∽△BAC ， ∴MD AC ＝BM AB ，∴MD 5＝2t 10， ∴MD ＝t.设四边形ACNM 的面积为y.∴y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ·BC －12BN ·MD＝12×5×53－12(53－3t )·t ＝32t 2－532t ＋2532＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋7583. ∴根据二次函数的性质可知，当t ＝52时，y 的值最小．此时，y 最小＝7583.1．(2016遵义升学三模)如图，P ，Q 分别是等边△ABC 的AB 和AC 边延长线上的两动点，点P 由B 向A 匀速移动，同时点Q 以相同的速度由C 向AC 延长线方向移动，连接PQ 交BC 边于点D ，M 为AC 中点 ，连接PM ，已知AB ＝6.(1)若点P ，Q 的速度均为每秒1个单位，设点P 运动时间为x ，△APM 的面积为y ，试求出y 关于x 的函数关系式；(2)当时间x 为何值时，△APM 为直角三角形？(3)当时间x 为何值时，△PQM 面积最大？并求此时y 的值． 解：(1)∵y＝12×(6－x)×332，∴y ＝－334x ＋932；(2)在Rt △APM 中，当PM⊥AC 时，则x ＝0， 当PM⊥AB 时，∠AMP ＝30°，AP ＝12AM ＝32，∴x ＝6－32＝92；(3)S △PQM ＝12·(3＋x)·32(6－x)，＝－34(x ＋3)(x －6)， 当x ＝－3＋62＝32时，△PQM 的面积最大，此时y ＝2738. 2．(汇川升学一模)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y 轴相交于点C(0，－4)．(1)求该二次函数的解析式；(2)若点P ，Q 同时从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．①当点P 运动到B 点时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由；②当P ，Q 运动到t s 时，△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，请直接写出t 的值及D 点的坐标．,备用图)解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0，c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－83，c ＝－4.∴y ＝43x 2－83x －4；(2)①存在．如答图，过点Q 作QD⊥OA 于D ，此时QD∥OC. ∵A(3，0)，B(－1，0)， C(0，4)，O(0，0)， ∴A B ＝4，OA ＝3，OC ＝4， ∴AC ＝5.∵当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，AB ＝4， ∴AQ ＝4.∵Q D ∥OC ，∴QD OC ＝AD AO ＝AQAC ，∴QD 4＝AD 3＝45， ∴QD ＝165，AD ＝125.ⅰ作AQ 的垂直平分线，交AO 于E ，此时AE ＝EQ ，即△AEQ 为等腰三角形，设AE ＝x ，则EQ ＝x ，DE ＝AD －AE ＝|125－x|，∴在Rt △EDQ 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫125－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝x 2，解得x ＝103.∴OA －AE ＝3－103＝－13，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0；ⅱ以Q 为圆心，AQ 长为半径画圆，交x 轴于E ，此时QE ＝QA ＝4， ∵ED ＝AD ＝125，∴AE ＝245，∴OA －AE ＝3－245＝－95，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0； ⅲ当AE ＝AQ ＝4时，当E 在A 点左边时， ∵OA －AE ＝3－4＝－1，∴E(－1，0)． 当E 点在A 点右边时，∵OA ＋AE ＝3＋4＝7，∴E(7，0)．综上所述，E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0或(－1，0)或(7，0)；②t ＝14564，D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－58，－2916.动线类【例2】(青岛中考)已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝12 cm ，BD ＝16 cm .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，直线EF 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm /s ，EF ⊥BD ，且与AD ，BD ，CD 分别交于点E ，Q ，F ；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动．连接PF ，设运动时间为t(s )(0＜t ＜8)．解答下列问题：(1)当t 为何值时，四边形APFD 是平行四边形？(2)设四边形APFE 的面积为y(cm 2)，求y 与t 之间的函数关系式． 【解析】本题考查相似三角形性质；二次函数的有关性质． 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝6，OB ＝OD ＝12BD ＝8.在Rt △AOB 中，AB ＝62＋82＝10. ∵EF ⊥BD ，∴EF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DCO ， ∴DF DC ＝QD OD ，即DF 10＝t 8，∴DF ＝54t. ∵四边形APFD 是平行四边形， ∴AP ＝DF.即10－t ＝54t ，解得t ＝409，∴当t ＝409 s 时，四边形APFD 是平行四边形；(2)过点C 作CG⊥AB 于点G. ∵S 菱形ABCD ＝AB·CG＝12AC ·BD ，即10·CG＝12×12×16，∴CG ＝485，∴S 梯形APFD ＝12(AP ＋DF)·CG＝12(10－t ＋54t )·485＝65t ＋48. ∵△DFQ ∽△DCO ，∴QD OD ＝QF OC ，即t 8＝QF 6，∴QF ＝34t. 同理，EQ ＝34t ，∴EF ＝QF ＋EQ ＝32t ，∴S △EFD ＝12EF ·QD ＝12×32t ×t ＝34t 2，∴y ＝S 梯形APFD －S △EFD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65t ＋48－34t 2＝－34t 2＋65t ＋48.【规律总结】解决运动问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握运动与变化的全过程，以静制动，抓住其中的特殊位置或特殊图形，通过数形结合、分类讨论、函数等思想方法解决问题．3．(红花岗中考)如图，已知⊙O 的直径AB ＝4，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA ，PB ，且∠APC ＝∠BAP，设PC 的长为x(2＜x ＜4)．(1)若直线l过点A，判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)当x＝2.5时，在线段AP上是否存在一个点M，使得△AOM与△ABP相似．若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由；(3)当x为何值时，PD·CD的值最大？最大值是多少？解：(1)直线l与⊙O相切．理由如下：∵∠APC＝∠BAP∴AB∥CP.∵PC⊥AC，∴BA⊥CA.∵AB为⊙O的直径，∴直线l与⊙O相切；(2)存在．当AM＝102或4105时，△AOM与△ABP相似；(3)过O作OE⊥PD，垂足为E.∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE＝ED.又∵∠CEO＝∠ECA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE＝OA＝2.又∵PC＝x，∴PE＝ED＝PC－CE＝x－2，PD＝2(x－2)，∴CD＝PC－PD＝x－2(x－2)＝4－x，∴PD·CD＝2(x－2)·(4－x)＝－2x2＋12x－16＝－2(x－3)2＋2，∵2＜x＜4，∴当x＝3时，PD·CD的值最大，最大值是2.4．(湖州中考)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位长度，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BC D相似，请直接写出所有点P的坐标．(直接写出结果，不必写解答过程)解：(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y＝－x2＋bx＋c得⎩⎪⎨⎪⎧－32＋3b ＋c ＝1，c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4， ∴二次函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋4，配方得y ＝－(x －1)2＋5，∴点M 坐标为(1，5)；(2)设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b ，把点A(3，1)，点C(0，4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝1，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，c ＝4，∴直线AC 解析式为y ＝－x ＋4.如图所示，对称轴直线x ＝1与△ABC 两边分别交于点E ，点F ， 把x ＝1代入直线AC 解析式y ＝－x ＋4， 解得y ＝3，则点E 坐标为(1，3)，点F 坐标为(1，1)， ∴1＜5－m ＜3，解得2＜m ＜4；(3)所有符合题意的点P 坐标有4个，分别为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，113，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，133，P 3(3，1)，P 4(－3，7)。
点动型试题及答案16个
点动型试题及答案16个1. 点动型试题及答案问题1：点动型运动的特点是？答案：点动型运动的特点是物体在某一时刻的位置和速度都发生变化。
问题2：点动型运动与刚体运动有何区别？答案：点动型运动只考虑物体的质心运动，而刚体运动则考虑物体的旋转和平动。
问题3：点动型运动的方程是什么？答案：点动型运动的方程通常表示为 \( \vec{r}(t) = \vec{r}_0 +\vec{v}_0 t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2 \)。
问题4：如何确定点动型运动的加速度？答案：点动型运动的加速度可以通过速度的变化率来确定，即\( \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \)。
问题5：点动型运动的位移与时间的关系是什么？答案：点动型运动的位移与时间的关系可以表示为 \( \Delta \vec{r} = \vec{v}_0 t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2 \)。
问题6：点动型运动的速度与时间的关系是什么？答案：点动型运动的速度与时间的关系可以表示为 \( \vec{v}(t) =\vec{v}_0 + \vec{a} t \)。
问题7：在点动型运动中，如果加速度为零，物体的运动状态如何？答案：在点动型运动中，如果加速度为零，物体将保持匀速直线运动。
问题8：点动型运动的瞬时速度如何计算？答案：点动型运动的瞬时速度可以通过对位移关于时间的导数来计算，即 \( \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \)。
问题9：点动型运动的瞬时加速度如何计算？答案：点动型运动的瞬时加速度可以通过对速度关于时间的导数来计算，即 \( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} \)。
问题10：点动型运动中，物体的动能与哪些因素有关？答案：点动型运动中，物体的动能与物体的质量以及速度的平方成正比。
问题11：如何确定点动型运动的动量？答案：点动型运动的动量可以通过物体的质量与其速度的乘积来确定，即 \( \vec{p} = m\vec{v} \)。
河北中考数学专题七 运动型问题
题型突破
题型一 动点问题
动点问题常分为单动点问题和双动点问题,一般是探索某个几何图形中一个 或几个点在运动变化过程中形成的等量关系或变量关系、图形的特殊状 态、图形之间的特殊关系等.解题时必须关注动点的运动方向、范围(直线、 射线、线段)和速度,以便确定是否需要分类讨论.
∴ 6 t+t=6,
5
解得t= 30 .
11
故当t= 1310 时,点Q与点D重合.
(2)当☉Q经过A点时,如图,OQ=OA-QA=4.
∴t= 14 =4,
∴PA=4,BP=AB-PA=6. 过点P作PE⊥OB于点E,☉P与OB相交于点F、G,连接PF,
∵OA⊥OB,∴PE∥OA.
∴△PEB∽△AOB,∴ PE = BP ,
名师点拨 本题中的运动情况属于动线问题,求解的关键是将运动问题转化 为静止问题,即(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数的表达式;(2)
①利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+ 72 ;②利用三角形的面积公式找
出S△DPQ=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t.
题型三 动图问题
9 4
代入y=mx+n,
得
7
2
1m 2 m
n
n
7 4 9 4
,
解得
,
m 1,
n
5. 4
∴直线PQ的表达式为y=-x+ 5 .
4
如图,过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E,设点D(x,-x2+2x+3),则点E x,x
运动型问题
图9—16）））7．如图9—16，梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位；点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设从出发起运动了x s ，如果点Q 的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q 在OC 上或在CB 上时的坐标（用含x 的代数式表示，不要写出x 的取值范围）；（2）设从出发起运动了x s ，如果点P 与点Q 所经过的路程之和恰好为梯形OABC 的周长的一半． ①试用含x 的代数式表示这时点Q 所经过的路程和它的速度；②试问：这时直线PQ 是否可能同时把梯形OABC 的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的x 的值和P 、Q 的坐标；如不可能，请说明理由．（2002年江苏省苏州市中考试题）7．解：（1）当点Q 在OC 上时，坐标为（x 58，x 56），当点Q 在CB 上时，坐标为（2 x －1，3）．（2）①点Q 所经过的路程为16－x ，速度为xx16． ②当Q 在OC 上时，作QM ⊥OA ，垂足为M ．则QM ＝53（16－x ）．∴S △OPQ ＝21·53（16－x ）·x 103 x （16－x ）． 令103x （16－x ）＝18． 解得x 1＝10，x 2＝6．∵当x 1＝10时，16－x ＝6，这时点Q 不在OC 上，故舍去．∴当Q 在OC 上时，PQ 不可能同时把梯形OABC 的面积也分成相等的两部分． 点Q 在CB 上时，CQ ＝16－x －5＝11－x ． ∴S 梯形OPQC ＝21·（11－x ＋x ）·3＝233． ∵233≠18， ∴点Q 在CB 上时，PQ 不可能同时把梯形OABC 的面积也分成相等的两部分．24.如图，点A 在Y 轴上，点B 在X 轴上，且OA=OB=1，经过原点O 的直线L 交线段AB 于点C ，过C 作OC 的垂线，与直线X=1相交于点P ，现将直线L 绕O 点旋转，使交点C 从A 向B 运动，但C 点必须在第一象限内，并记AC 的长为t ，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC 和△BCP 全等时，求出t 的值。
戈登11种健康功能型态
戈登11种健康功能型态
1、健康认知——健康管理型态：患者既往史
2、营养——代谢型态：住院前食欲，有无偏食习惯，体型
3、排泄型态：大小便情况
4、睡眠——休息型态：睡眠质量
5、活动——运动型态：工作之外其他活动
6、认知——感知型态：各种感觉是否想了解自己的疾病
7、自我感知——自我概念型态：患者担心疾病的愈后和发展
8、角色——关系型态：患者与他人的沟通，与家人的关系，与病
友的关系
9、性——生殖型态：结婚否，有无子女
10、应付——应激型态：遇到问题能自行解决
11、价值——信仰型态：无宗教信仰，认为金钱最重要。
施国龙 小议中考数学“运动型”问题的解题策略
小议中考数学“运动型”问题的解题策略晋江二中数学组施国龙一、问题由来及背景：用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、角等）或整个几何图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一，体现了数中“变”与“不变”及由简单到复杂，由特殊到一般的辩证思想，对培养同学们的思维品质和数学能力都有很大的促进作用，它集代数与几何的众多知识于一体，渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要数学思想，综合性较强，已成为中考热点试题。
新课程改革倡导培养学生的实践能力和创新精神，运动型试题所考查的知识与能力很好地体现了课改精神，如教材新增内容：图形的三种变换（平移、旋转、翻折）、图形与坐标等知识内容，以网格纸、坐标系等为背景，三角尺、多边形纸张等为工具，以运动为载体来设计试题，具有背景新颖、题材丰富、可操作性强的特点，使之成为新课程中考的压轴题热点之一。
运动型试题主要包含质点运动型试题与图形变换型试题两类，命题的设置往往带有开放性、操作性、探究性和综合性的特点。
二、典型例题：例1.如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝50，AD＝75，BC＝135。
点P从点B出发沿折线段BA－AD－DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD－DA－AB于点E。
点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止。
设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）。
⑴当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；⑵当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？⑶设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t 的函数关系式；（不必写出t的取值范围）⑷△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由。
初中动点问题经典例题
初中动点问题经典例题
初中动点问题是数学中的经典问题之一，涉及到点的运动和位置的变化。
下面是一个典型的初中动点问题例题：
例题，小明从家出发，以每小时5公里的速度向东走，同时小红从离小明家10公里的地方出发，以每小时8公里的速度向西走。
问多少时间后两人相遇？
解析，我们可以设小明出发的时间为t小时。
那么小红出发的时间就是t-10小时，因为小红比小明晚出发了10小时。
设两人相遇的时间为x小时，那么小明走了5x公里，小红走了8(x-10)公里。
由于两人相遇时，他们所走的距离相等，所以可以得到以下方程：
5x = 8(x-10)。
解方程得到：
5x = 8x 80。
3x = 80。
x = 80/3。
所以，两人相遇的时间是80/3小时，约为26.67小时。
回答完毕，以上是关于初中动点问题的经典例题的解析。
动点问题探究方法
----中考模拟试题
（2010年朝阳一模8题）如图，四边形ABCD中， AD∥BC, ∠B=60o,AB=AD=BO=4,OC=8,点P从B点 出发，沿四边形ABCD的边BA→AD→DC以每分钟一 个单位长度的速度匀速运动，若运动的时间为 t,△POD的面积为S，则S与t的函数图象大致为（ D ）
y
C
N B
P O M A
x
----最短距离问题
A
·
P
·
B
A’
----最短距离问题
A
· ·
B P
·
B’
A’
----最短距离问题
【 2009北京中考】如图在边长为2cm的正方形ABCD中， 点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、 PQ,则 △ＰＢＱ 周长的最小值是( )cm (结果不 取近似值）
1 2
8 - t) 2 3 （
----强化练习
1、平面直角坐标系中，矩形ABCD，A(3，0)，B (3， 4)，动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的 速度运动，其中M沿OA向终点A运动，N沿BC向终点C运 动。过点N作NP⊥BC，交AC于P ，连结MP。已知动点运 动了x秒。(1)P的坐标为(用含x的代数式表示)； (2)请你探索：当x为何值时， △MPA是一个等腰三角形？
1、动中觅静：这里的“静”就是问题中的不 变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化 中探索问题中的不变性。 2、动静变化：“静”只是“动”的瞬间，是 运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住 “静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题， 从而找到“动”与“静”的关系。 3、以动制动：就是建立图形中两个变量的函 数关系，通过研究运动函数，用联系发展的 观点来研究变动元素的关系。
动点问题
A
a
H
D G
a
2a
A
H
D G
E
E B
F 图3
B
F
图2
C
C
(2)当n=3时，如图4，求S与x之间的函 数关系式(写出自变量x的取值范围)， 探索S随x增大而变化的规律，猜想四 边形EFGH各顶点运动到何位置，使 1 S= 2 S矩形ABCD？ 3a H A D
a
E B F 图4
G C
(3)、当n=k(k≥1)时，你所得到的规律
C K G D O P F A QE 图5 H B
（4）如图8， t =5/3 ；如图9 t =340/43 ，（注：判 断PG∥AB可分为以下几种情形：当（ 0＜ t ≤20/7） 时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的 时刻，如图8；此后，点G继续上行到点F时， t =4， 而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上 运动时不存在PG∥AB ；当5 ≤ t ≤55/7时，点P，G 均在FC上，也不存在PG∥AB ；由于点P比点G先到 达点C并继续沿CD下行，所以在 55/7 ＜ t ＜ 8中存 在的PG∥AB时刻，如图9；当8≤ t ≤10时，点P，G 均在CD上，不存在PG∥AB ）
和猜想是否成立？请说明理由。
考点六 ： 坐标系中的动态问题
平面直角坐标系中，矩形ABCD， A(3，0)，B (3，4)，动点M、N分别从 O、B同时出发，以每秒1个单位的速度 运动，其中M沿OA向终点A运动，N沿 BC向终点C运动。过点N作NP y⊥BC， 交AC于P ，连结MP。 N B C 已知动点运动了x秒。 (1)P的坐标为(用 含x的代数式表示)；
动点问题
近几年在中考数学试卷中运动类题目 精彩 纷呈：点动、线动、图形动，呈现 方式丰富多彩，成了中考轴题中的常选 内容，具有一定的挑战性。 运动型问题指在图形中，当某一个 元素，如点、线或图形等运动变化时， 问题的结论随之改变的或者保持不变的 几何问题。
牛顿运动定律的10种典型例题
9.传送带有关的问题。
8.面接触物体分离的条件及应用
相互接触的物体间可能存在弹力相互作用。对于面接触的物体，在接触面间弹力变为零时，它们将要分离。抓住相互接触物体分离的这一条件，就可顺利解答相关案例。下面举例说明。0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在0_____0.2s这段时间内P向上运动的距离： x=mg/k=0.4m 因为 ，所以P在这段时间的加速度 当P开始运动时拉力最小，此时对物体P有N-mg+Fmin=ma,又因此时N=mg，所以有Fmin=ma=240N. 当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m(a+g)=360N.
1. 力和运动的关系
加速度与力有直接关系，速度与力没有直接关系。 速度如何变化需分析加速度方向与速度方向之间的关系: 加速度与速度同向时，速度增加；反之减小。在加速度为零时，速度有极值。
1.力和运动的关系
例2. 一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动，探测器通过喷气而获得推动力，以下关于喷气方向的描述中正确的是（ ） 探测器加速运动时，沿直线向后喷气 探测器加速运动时，竖直向下喷气 探测器匀速运动时，竖直向下喷气 探测器匀速运动时，不需要喷气
专题十三 运动型问题
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∵正六边形的边长等于其外接圆半径，正六边形 的边长为 2， ∴ OE＝ OE′＝ 2. ∵点 A 的坐标为 (0,6)， ∴OA＝ 6. ∴ DE′＝ OA－ AD－ OE′＝ 4－ 3.
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(2013· 衢州 )在平面直角坐标系 xOy 中，过原 点 O 及点 A(0,2)， C(6,0)作矩形 OABC，∠ AOC 的平 分线交 AB 于点 D.点 P 从点 O 出发， 以每秒 2个单位 长度的速度沿射线 OD 方向移动；同时点 Q 从点 O 出 发， 以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动． 设 移动时间为 t 秒． (1)当点 P 移动到点 D 时，求出此时 t 的值； (2)当 t 为何值时，△PQB 为直角三角形；
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一、选择题 3 1．如图，直线 y＝ 3 x＋ 3与 x 轴、 y 轴分别相 交于 A， B 两点，圆心 P 的坐标为 (1,0)，圆 P 与 y 轴相切与点 O.若将圆 P 沿 x 轴向左移动，当圆 P 与该 直线相交时，横坐标为整数的点 P′的个数是 ( A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 )
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∵ AO⊥ AB0 ， AN⊥ ABn，∴∠ OAC＝∠ B0 ABn. 又 ∵ AB0＝ AO· tan 30° ， ABn＝ AN· tan 30° ，∴ AB0 ∶ AO ＝ ABn∶ AN＝tan 30° ， ∴△ AB0 Bn∽△ AON，且相似比为 tan 30° ， 3 ∴ B0 Bn＝ ON· tan 30° ＝ 2 6× ＝ 2 2. 3 现在来证明线段 B0 Bn 就是点 B 运动的路径 (或轨 迹 )．
考点32、动点问题
【分析】： （1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），然后把
点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解，再 把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点 M的坐标； （2）根据点P的速度求出OP，即可得到点P的坐标 ，再根据点A的坐标求出∠AOC=45°，然后判断 出△POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角 形的性质求出点Q的坐标即可； （3）根据旋转的性质求出点O、Q的坐标，然后分 别代入抛物线解析式，求解即可； （4）求出点Q与点A重合时的t=1，点P与点C重合时 的t=1.5，t=2时PQ经过点B，然后分①0＜t≤1时， 重叠部分的面积等于△POQ的面积，②1＜t≤1.5时 ，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面 积的差，③1.5＜t＜2时，重叠部分的面积等于梯 形的面积减去一个等腰直角三角形的面积分别列 式整理即可得解．
，
解得
，
∴y=﹣
x+t；
同理求得直线AB的解析式为：y=﹣2x+4． =
S△CDN=S△BDN﹣ S△BCN ．
=
t2﹣2t+
（ 4﹣ t） •
﹣
（4﹣t）×
综上所述，S=
．
②画出函数图象，如答图2﹣3所示： 观察图象，可知当t=1时，S有最大值，最大值为1．
2、已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1， ﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度 的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒 （0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S． （1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标； （2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标； （3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得 △OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请 说明理由； （4）求出S与t的函数关系式．
初中数学动点问题
“运动型问题”练习1．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，将矩形ABCD 在直线l 上按顺时针方向不滑动．．．的每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A 经过的路线长为 ．2．如图，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦AB 上一动点，连结OP ，则线段OP 的最小长度是 . 3．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…，P 2008的位置，则点P 2008的横坐标为 ．4．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在BC 边上运动，连结DP ，过点A 作AE ⊥DP ，垂足为E ，设DP ＝x ，AE ＝y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是 （ ）5．挂钟分针的长为10cm ，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是 （ ）A ．15π2cmB ．15πcmC ．75π2cm D ．75πcm6．如图，在钝角三角形ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝12cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1cm/秒，点E 运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是 （ ） A ．3秒或4.8秒 B ．3秒 C ．4.5秒 D ．4.5秒或4.8秒7．如图，A 是半径为12cm 的⊙O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动.（1）如果∠POA ＝90°，求点P 运动的时间； （2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB ＝OA ，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线BP 与⊙O 的位置关系，并说明理由．8．△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2cm ．长为1cm 的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M 、N 分别作AB 的垂线交直角边于P、A ．B ．C ．D ．32l 1A A A DC B A （第1题）（第6题）NM Q P CBA （第8题）Q两点，线段MN运动的时间为t s．（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？9．如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O Array上运动．（1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；（2）当直线CD与⊙O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；（3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．10．如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上．过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D与y轴交于点E．（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为S，S关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；②当2＜t＜4时，求S关于t的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线．．上是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条．．AB件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．图2（第10题）参考答案：1．12π 2．3 3．2008 4．C 5．B 6．A 7．（1）当∠POA ＝90°时，点P 运动的时间为3s 或9s ． （2）点P 运动的时间为2s 时，直线BP 与⊙O 相切．8．（1）①当点P 在AC 上时，y ＝32t 2（0≤t ≤1）；②当点P 在BC 上时，y ＝－36t 2＋233t（1＜t ≤3）．（2）当t ＝34s 时，四边形MNQP 为矩形．（3）当t ＝12s 或34s 时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC △相似．9．（1）因为A 、D 、O 三点在同一条直线上，∠ADC ＝90° ，所以∠CDO ＝90°，所以CD 是⊙O 的切线．（2）①当切点D 在第四象限时，OD 所在直线的函数关系式为y ＝－34x ；②当切点在第二象限时，OD 所在直线对应的函数关系式为y ＝－43x.（3）正方形的面积S 与x 之间的函数关系式为S ＝13－5x ．又∵D 点在圆上运动，∴－1≤x ≤1．∴ S 的最大值是18，最小值是8． 10．（1）①AB ＝2；直角梯形OABC 的面积为12；②当2＜t ＜4时，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积S ＝－t 2＋8t －4．（2）存在点P ，使△PDE 为等腰直角三角形．满足条件的点P 有P 1（－12，4），P 2（－4，4），P 3（－83，4），P 4（4，4），P 5（8，4）．。
婴儿运动性格测试题目(3篇)
第1篇一、婴儿动作发展测试1. 请观察婴儿在出生后的前三个月内，以下动作出现的时间：（1）抬头：婴儿能否在无人帮助的情况下，将头抬起45度以上？（1分）（2）翻身：婴儿能否在无人帮助的情况下，从仰卧位翻到侧卧位，再翻到俯卧位？（1分）（3）坐立：婴儿能否在支撑物或帮助下，保持坐姿？（1分）（4）爬行：婴儿能否在地面或床上进行爬行？（1分）2. 请观察婴儿在出生后的四至六个月内，以下动作出现的时间：（1）抓握：婴儿能否在触碰物体时，主动抓握？（1分）（2）翻身：婴儿能否在无人帮助的情况下，从俯卧位翻到仰卧位？（1分）（3）坐立：婴儿能否在支撑物或帮助下，保持坐姿？（1分）（4）爬行：婴儿能否在地面或床上进行爬行？（1分）3. 请观察婴儿在出生后的七至九个月内，以下动作出现的时间：（1）站立：婴儿能否在支撑物或帮助下，站立？（1分）（2）爬行：婴儿能否在地面或床上进行爬行？（1分）（3）走路：婴儿能否在无人帮助的情况下，蹒跚学步？（1分）4. 请观察婴儿在出生后的十至十二个月内，以下动作出现的时间：（1）跳跃：婴儿能否在无人帮助的情况下，跳跃？（1分）（2）奔跑：婴儿能否在无人帮助的情况下，奔跑？（1分）（3）攀爬：婴儿能否在无人帮助的情况下，攀爬？（1分）二、婴儿运动偏好测试1. 请观察婴儿在日常生活中，以下运动项目的偏好：（1）婴儿是否喜欢追逐跑跳？（1分）（2）婴儿是否喜欢翻滚？（1分）（3）婴儿是否喜欢攀爬？（1分）（4）婴儿是否喜欢抛接？（1分）2. 请观察婴儿在户外活动时，以下运动项目的偏好：（1）婴儿是否喜欢骑三轮车？（1分）（2）婴儿是否喜欢滑板？（1分）（3）婴儿是否喜欢游泳？（1分）（4）婴儿是否喜欢足球？（1分）3. 请观察婴儿在参与运动游戏时，以下项目的偏好：（1）婴儿是否喜欢捉迷藏？（1分）（2）婴儿是否喜欢接力赛？（1分）（3）婴儿是否喜欢跳绳？（1分）（4）婴儿是否喜欢篮球？（1分）三、婴儿运动能力测试1. 请观察婴儿在完成以下动作时的表现：（1）跑：婴儿是否能保持稳定的跑姿？（1分）（2）跳：婴儿是否能准确跳跃？（1分）（3）投掷：婴儿是否能准确投掷？（1分）（4）接球：婴儿是否能准确接球？（1分）2. 请观察婴儿在参与以下运动项目时的表现：（1）足球：婴儿是否能熟练运球？（1分）（2）篮球：婴儿是否能熟练运球？（1分）（3）乒乓球：婴儿是否能准确击球？（1分）（4）游泳：婴儿是否能独立游泳？（1分）四、婴儿运动心理测试1. 请观察婴儿在参与运动时的情绪表现：（1）婴儿在运动时是否表现出愉悦？（1分）（2）婴儿在遇到困难时是否表现出坚持？（1分）（3）婴儿在胜利时是否表现出自豪？（1分）（4）婴儿在失败时是否表现出坦然？（1分）2. 请观察婴儿在参与运动时的合作与竞争意识：（1）婴儿是否愿意与同伴合作？（1分）（2）婴儿是否愿意在比赛中竞争？（1分）（3）婴儿是否尊重他人？（1分）（4）婴儿是否能够接受失败？（1分）请根据以上测试题目，对婴儿的运动性格进行评估。
图形运动中的值不变问题(强烈推荐)
中考热点11——图形运动中的值不变问题图形运动类问题中的图形以点、直线以及圆为主，而运动则以常见的平移、旋转和翻折为主。
宇宙万物也有平衡，运动中的不变性很好得体现了这一规律。
常见的如：两条线段的长度都在改变而它们的和、差或者积却不变；当几条线段都同时运动时，它们围成的三角形的周长或者面积不变等等；善于观察、分析的同学定能够静中找动，动中找静，动静合一，感受到数学的巨大魅力，体会到学习数学的乐趣。
【例1】已知：在矩形ABCD 中，AB =6cm ，AD =9cm ，点P 从点B 出发，沿射线BC 方向以每秒2cm 的速度移动，同时，点Q 从点D 出发，沿线段DA 以每秒1cm 的速度向点A 方向移动（当点Q 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），PQ 交BD 于点E ．假设点P 移动的时间为x （秒）求证：在点P 、Q 的移动过程中，线段BE 的长度保持不变；【思路分析】在矩形ABCD 中，QD ∥BP ，在“8”字型基本图形中利用平行线之比等于上比下证得线段BE 的长度保持不变。
证明：∵DQ ∥BP∴DQBPDE BE =． ∵BP =2x ，DQ =x ，∴2=DE BE ．∴BD BE 32=． ∵∠A =90°，AB =6，AD =9，∴133=BD ． ∴132=BE ，即在点P 和点Q 的移动过程中，线段BE 的长度保持不变．点评：在平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形中必有“A ”字型“8”字型等基本图形，抓住图形的这一特征是解题的关键。
【例2】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ， E 、F 分别是AB 、DC 边的中点，AB =4，∠B =60． （1）求点E 到BC 边的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，过点M 作MN //AB 交线段AD 于点N ，联结PN ．探究：当点P 在线段EF 上运动时，△PMN 的面积是否发生变化？若不变，请求出△PMN 的面积；若变化，请说明理由．【思路分析】图形运动中点P 是的主动点，M 、N 是从动点，在△PMN 的运动过程中，形状始终不变，所以面积也不会改变。
苏科版八上数学专题 三角形全等的简单应用
三角形全等的简单应用【学习目标】1．感受三角形全等在生活中的应用；2．能够用三角形全等解决一些实际问题及运动型问题．【典型例题】一．生活中的应用例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．小河北BA例题2如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．DB二．运动型问题中的应用例题3 如图，AB ＝6cm ，AC ＝BD ＝4cm ．∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．设点Q 的运动速度为x cm/s ，若使得△ACP 与△BPQ 全等，则x 的值为 ．QPDCBA三．全等应用的几个重要模型 (1)中线型例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E 使DE ＝BD ，连结CE.利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．图1E DCBA图2N M D CBA(2)角平分线型例题5 如图，已知OC 平分∠AOB ，点E 、F 分别在边OA 、OB 上，且EC =FC ．若∠AOB =60°，求∠ECF 的度数；OF E CBA(3)K 型全等例题6王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．变式：如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝3m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝2m ，点A 到地面的距离AE ＝1.8m ；当他从A 处摆动到A ′处时，有A 'B ⊥AB ． （1）求A ′到BD 的距离； （2）求A ′到地面的距离．A '地面ED CB A32HF 1A '地面EDC BA拓展提升：例题7（1）如图1：在四边形ABC 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． （提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE ）（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；图１GDFECBA图2DFE CBAO图3N FEB A（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论）【课后练习】 一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC 由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS2．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．43．如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A．300m B．400m C．500m D．700m二、填空题4．如图所示，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌OA'B'的理由是．5. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．6．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8厘米，如果动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在以1厘米/秒的速度线段BC 上由C 点向B 点运动，当点P 到达B 点时整个运动过程停止．设运动时间为t 秒，当AQ ⊥DP 时，t 的值为 秒．QP DCBA三、解答题7．为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝38°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝52°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝33米，计算楼高AB 是多少米？P D B8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B 点，选对岸正对的一棵树A ； ②沿河岸直走20m 有一树C ，继续前行20m 到达D 处；③从D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达A 树正好被C 树遮挡住的E 处停止行走；④测得DE 的长为5米． 求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．9．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？OFED C BA10．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． （1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由． （2）若固定一根木条AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条CD ＝5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．DCBA【典型例题】一．生活中的应用例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．小河北BA【解答】解：（1）根据题意画出图形，如图所示．ED C（2）由题可知∠BAC＝∠EDC＝90°，60cm＝0.6m，AC＝20×0.6＝12m，DC＝20×0.6＝12m，DE＝100×0.6＝60m，∵点E、C、B在一条直线上，∴∠DCE＝∠ACB．在△ABC 和△DEC 中，＝＝＝BAC EDC AC DCDCE ACB ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△DEC ， ∴AB ＝DE ． ∵DE ＝60m ， ∴AB ＝60m ，答：A 、B 两根电线杆之间的距离大约为60m ．例题2如图，两根长12m 的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．B【解答】解：用卷尺测量出BD 、CD ，看它们是否相等，若BD ＝CD ，则AD ⊥BC ．理由如下：∵在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）， ∴∠ADB ＝∠ADC ，又∵∠ADB +∠ADC ＝180°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°， 即AD ⊥BC ．二．运动型问题中的应用例题3 如图，AB ＝6cm ，AC ＝BD ＝4cm ．∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．设点Q 的运动速度为x cm/s ，若使得△ACP 与△BPQ 全等，则x 的值为 ．QPDCBA【解答】解：当△ACP ≌△BPQ ， ∴AP ＝BQ ， ∵运动时间相同，∴P ，Q 的运动速度也相同， ∴x ＝2（s ）．当△ACP ≌△BQP 时， AC ＝BQ ＝4，P A ＝PB ， ∴t ＝1.5， ∴x ＝41.5＝83（s ） ∴综上所述，x 的值为2或83s ．三．全等应用的几个重要模型 (1)中线型例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E 使DE ＝BD ，连结CE.利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．图1E DCBA图2N M D CB A【解答】（1）解：∵BD 是AC 边上的中线， ∴AD ＝CD ，在△ABD 和△CED 中，＝ADB CD AD CD BD ED E =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABD ≌△CED （SAS ）， ∴CE ＝AB ＝10，在△CBE 中，由三角形的三边关系得：CE －BC ＜BE ＜CE －BC ， ∴10－8＜BE ＜10+8，即2＜BE ＜18， ∴1＜BD ＜9；故答案为：SAS ；1＜BD ＜9；（2）证明：延长ND 至点F ，使FD ＝ND ，连接AF 、MF ， 同（1）得：△AFD ≌△CND （SAS ）， ∴AF ＝CN ，FD ＝ND ， ∵DM ⊥DN ，∴MDN MDF ∠=∠＝90° 在△MDN 和△MDF 中，MD MD MDN MDF DN DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MDN ≌△MDF ∴MF ＝MN ，在△AFM 中，由三角形的三边关系得：AM +AF ＞MF ， ∴AM +CN ＞MNF图2N M DCBA(2)角平分线型例题5 如图，已知OC 平分∠AOB ，点E 、F 分别在边OA 、OB 上，且EC =FC ．若∠AOB =60°，求∠ECF 的度数；OF E CBA解：过点C 作CM ⊥OB ，CN ⊥OA ，∵CM ⊥OB ，CN ⊥OA ， ∴CNO CMO ∠=∠ ∵OC 平分∠AOB ， ∴AOC BOC ∠=∠ 在△NOC 和△MOC 中，CNO CMO NOC MOC OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△NOC ≌△MOC ∴CN =CM ，在Rt △ECN 和Rt △FCM 中CN CMCE CF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ECN ≌Rt △FCM ， ∴∠NCE =∠MCF ，∴∠AOB +∠ECF =∠AOB +∠NCM =180°， ∵∠AOB =60°， ∴∠ECF =120°；N M OF E CBA(3)K 型全等例题6王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【解答】解：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DAC ， 在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；由题意得：AD ＝EC ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ， ∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ）， 答：两堵木墙之间的距离为20cm ．变式：如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝3m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝2m ，点A 到地面的距离AE ＝1.8m ；当他从A 处摆动到A ′处时，有A 'B ⊥AB ． （1）求A ′到BD 的距离； （2）求A ′到地面的距离．A '地面ED CB A32HF 1A '地面EDC BA解：（1）作A 'F ⊥BD ，垂足为F ． ∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠A 'FB ＝90°； 在Rt △A 'FB 中，∠1+∠3＝90°； 又∵A 'B ⊥AB ，∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3；在△ACB 和△BF A '中，23ACB A FB AB A B '∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪'=⎩∴△ACB ≌△BF A '（AAS ）； ∴A 'F ＝BC∵AC ∥DE 且CD ⊥AC ，AE ⊥DE ， ∴CD ＝AE ＝1.8；∴BC ＝BD －CD ＝3－1.8＝1.2， ∴A 'F ＝1.2，即A '到BD 的距离是1.2m ． （2）由（1）知：△ACB ≌△BF A ' ∴BF ＝AC ＝2m ， 作A 'H ⊥DE ，垂足为H ． ∵A 'F ∥DE ， ∴A 'H ＝FD ，∴A 'H ＝BD －BF ＝3－2＝1，即A '到地面的距离是1m ．拓展提升：例题7（1）如图1：在四边形ABC 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． （提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE ） （2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；图１GDFECBA图2DFE CBAO图3N FEB A（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论） 【解答】解：（1）EF ＝BE +DF ； 证明：如图1，延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， 在△ABE 和△ADG 中，＝B ADG DG BE AB AD =⎧∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12 ∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，＝EAF GA AE AG AF AF F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（2）EF ＝BE +DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， ∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG ， 在△ABE 和△ADG 中，＝B ADG DG BE AB AD =⎧∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12 ∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，＝EAF GA AE AG AF AF F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ， ∵∠AOB ＝20°+90°+（90°－60°）＝140°， ∠EOF ＝70°， ∴∠EOF ＝12 ∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°－20°）+（60°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝1×（60+80）＝140（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是140海里．图2GDFECBAO图3N FECB A【课后练习】 一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC 由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中ON OM CO CO NC MC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．2．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为第2块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第2块．故选：B．3．如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A ．300mB ．400mC ．500mD ．700m【解答】解：如图所示，设老街与平安路的交点为C ．∵BC ∥AD ，∴∠DAE ＝∠ACB ，又∵BC ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠ABC ＝∠DEA ＝90°，在△ABC 和△DEA 中ACB DAE CBA AED AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEA （AAS ），∴EA ＝BC ＝300m ，AC ＝AD ＝500m ，∴CE ＝AC －AE ＝200m ，从B 到E 有两种走法：①BA +AE ＝700m ；②BC +CE ＝500m ，∴最近的路程是500m ．故选：C ．二、填空题4．如图所示，将两根钢条AA ′、BB ′的中点O 连在一起，使AA ′、BB ′可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则A 'B '的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌OA 'B '的理由是 SAS ．【解答】解：∵OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．5. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．【解答】解：在△OCF与△ODG中，OCF ODGCOF DOGOF OG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCF≌△ODG（AAS），∴CF＝DG＝40，∴小明离地面的高度是50+40＝90，故答案为：90．6．如图，在正方形ABCD中，AB＝8厘米，如果动点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由A点向B点运动，同时动点Q在以1厘米/秒的速度线段BC上由C点向B点运动，当点P到达B点时整个运动过程停止．设运动时间为t秒，当AQ⊥DP时，t的值为秒．Q PDCB A【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝AB ，∠B ＝∠BAD ＝90°∵AQ ⊥DP∴∠QAD +∠ADP ＝90°，且∠DAQ +∠BAQ ＝90°∴∠BAQ ＝∠ADP ，在△ABQ 和△DAP 中＝＝BAQ ADP AB AD B BAD ⎧∠∠=∠∠⎪⎨⎪⎩∴△ABQ ≌△DAP （ASA ）∴AP ＝CQ∴2t ＝8－t∴t ＝83故答案为：83三、解答题7．为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝38°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝52°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝33米，计算楼高AB 是多少米？PD B【解答】解：∵∠CPD＝38°，∠APB＝52°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝52°，在△CPD和△P AB中∵CDP ABPDC PBDCP APB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CPD≌△P AB（ASA），∴DP＝AB，∵DB＝33，PB＝8，∴AB＝33－8＝25（m），答：楼高AB是25米．8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．【解答】（1）解：河的宽度是5m ；（2）证明：由作法知，BC ＝DC ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，在△ABC 和△EDC 中，ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△EDC （ASA ），∴AB ＝ED ，即他们的做法是正确的．9．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？O F E D CBA解：∵O 是CF 的中点，∴CO ＝FO （中点的定义）在△COB 和△FOE 中＝COB EO CO FO EO BO F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩，∴△COB ≌△FOE （SAS ）∴BC ＝EF （对应边相等）∠BCO ＝∠F （对应角相等）∴AB ∥DF （内错角相等，两直线平行）∴∠ACE 和∠DEC 互补（两直线平行，同旁内角互补），10．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由．（2）若固定一根木条AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条CD ＝5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．D CBA解：（1）相等．理由：连接AC ，在△ACD 和△ACB 中，∵AC AC AD AB CD BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ACB （SSS ），∴∠B ＝∠D ；D CBA（2）设AD ＝x ，BC ＝y ， 由题意点C 在点D 右侧，可得25(2)530x y x y +=+⎧⎨+++=⎩， 解得1310x y =⎧⎨=⎩；∴AD ＝13cm ，BC ＝10cm ．。
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10运动型问题 作业单
1.如图1，在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，P ，Q 分别为边BC ，AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则AQ =__________。
1. 如图2，已知AB =8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP =60°。
M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，当点P 在线段AB 上移动时，点M ，N 之间的距离最短为______（结果保留根号）。
2. 如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(0，8)，点C 的坐标为(25-，4)，点M ，N 分别为四边形OABC 边上的动点，动点M 从点O 开始，以每秒1个单位长度的速度沿O A B →→路线向终点B 匀速运动，动点N 从O 点开始，以每秒2个单位长度的速度沿O C B A →→→路线向终点A 匀速运动，点M ，N 同时从O 点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动。
设动点运动的时间为t 秒（t ＞0），△OMN 的面积为S 。
(1)填空：AB 的长是_________，BC 的长是___________； (2)当t =3时，求S 的值；
(3)当3＜t ＜6时，设点N 的纵坐标为y ，求y 与t 的函数关系式； (4)若S =48
5
，请直接．．写出此时t 的值。
3. 如图4，在直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，点B ，C 在第一象限，∠C =120°，边长OA =8，点M 从原点O 出发沿x 轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N 从A 出发沿边AB —BC —CO 以每秒2个单位长的速度作匀速运动。
过点M 作直线MP 垂直于x 轴并交折线OCB 于P ，交对角线OB 于Q ，点M 和点N 同时出发，分
图1
C
B
A
P Q
M
N C
F
P B
E
A D 图2
x
y
O
C
B
A
图3
别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动。
（1）当t=2时，求线段PQ的长；
（2）求t为何值时，点P与N重合；
（3）设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围。
图4。