透视高考数学试题与三角函数有关的五大热点

透视高考数学试题与三角函数有关的五大热点解答三角高考题的一般策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。

三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次，即二倍角公式降次。

（4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

三、与三角函数有关的五大热点问题1．三角函数的图象问题：这是一类研究三角函数的奇偶性、对称性、单调性与函数图像的交点坐标及图像变换问题，解此类问题一定要注意三角函数的周期在解题中决定作用，千万不可忽视。

例1.(06重庆卷)设函数f (x )=3cos 2cos+sin ωrcos ωx+a(其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值.1()c o s 2s i n 22sin 23 2,6321.2f x x x x ωωαπωαπππωω=+++⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⋅+==解：（I ）依题意得解之得57 ,0,,36361 sin()1,2351 (),3621 2x x x f x παπππππππαα++⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-≤+≤⎡⎤--++⎢⎥⎣⎦-++=（II)由（I ）知,f(x)=sin(x+3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知α=例2.（06山东卷）已知函数f (x )=A 2sin ()x ωϕ+(A >0,ω>0,0<ϕ<2π函数，且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ;（2）计算f (1)+f (2)+… +f (2 008).解：（I ）2sin ()cos(22).22A Ay A x x ωϕωϕ=+=-+ ()y f x = 的最大值为2，0A >.2, 2.22A AA ∴+==又 其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，12()2,.224ππωω∴== 22()cos(2)1cos(2)2222f x x x ππϕϕ∴=-+=-+.()y f x = 过(1,2)点，cos(2) 1.2πϕ∴+=-22,,2k k Z πϕππ∴+=+∈22,,2k k Z πϕπ∴=+∈,,4k k Z πϕπ∴=+∈又 0,2πϕ<<4πϕ∴=.（II ）解法一：4πϕ=，1cos()1sin .222y x x πππ∴=-+=+ (1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.又()y f x = 的周期为4，20084502=⨯，(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=解法二：2()2sin ()4f x x πϕ=+ 223(1)(3)2sin ()2sin ()2,44f f ππϕϕ∴+=+++= 22(2)(4)2sin ()2sin ()2,2f f πϕπϕ+=+++=(1)(2)(3)(4) 4.f f f f ∴+++= 又()y f x =的周期为4，20084502=⨯，(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯= 例3.（06福建卷）已知函数f (x )=sin 2x +3x cos x +2cos 2x ,x ∈R.（I ）求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。

满分12分。

解：（I）1cos 2()2(1cos 2)2x f x x x -=+++132cos 2223sin(2).62x x x π=++=++()f x ∴的最小正周期2.2T ππ==由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（II ）方法一：先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62y x π=++的图象。

方法二：把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=- 平移，就得到3sin(2)62y x π=++的图象。

2．三角函数的性质性质问题近年来，高考解答题加大了对三角函数性质的考查力度，它不仅考查了函数的有关概念，还考查三角变换技能。

例4.（06辽宁卷）已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间. 【解析】(I) 解法一:1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 22)224x x f x x x x x π-+=++=++=++∴当2242x k πππ+=+,即()8x k k Z ππ=+∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+∈.解法二:2222()(sin cos )2sin cos 2cos 2sin cos 12cos sin 2cos 22f x x x x x x x x x x x =+++=++=++2)4x π=+∴当2242x k πππ+=+,即()8x k k Z ππ=+∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+∈.(II)解: ()2)4f x x π=++由题意得: 222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即: 3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-+∈. 【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力. 例5.（06广东卷）已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(I)求()f x 的最小正周期；(II)求()f x 的的最大值和最小值； (III)若3()4f α=，求sin 2α的值. 解：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ; （Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；（Ⅲ）因为43)(=αf ，即167cos sin 2①43cos sin -=⇒⋅⋅⋅=+αααα,即 1672sin -=α 3．关于三角函数求值问题三角函数求值问题，必须明确求值的目标。

一般来说，题设中给出的是一个或几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式。

解题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式。

例6.（06安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

解：(Ⅰ)由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求。

（Ⅱ）225sin 8sin cos 11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==6-。

例7.（06北京卷）已知函数1)4()cos x f x xπ-=， （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值. 解：（1）依题意，有cosx ≠0，解得x ≠k π＋2π， 即()f x 的定义域为｛x|x ∈R ，且x ≠k π＋2π，k ∈Z ｝（2）1)4()cos x f x xπ-=＝－2sinx ＋2cosx ∴()f α＝－2sin α＋2cos α 由α是第四象限的角，且4tan 3α=-可得sin α＝－45，cos α＝35∴()f α＝－2sin α＋2cos α＝145例8.（08湖南卷）已知),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值. 解析： 由已知条件得1cos cos 2cos sin 3=⋅--θθθθ. 即0sin 2sin 32=-θθ. 解得0sin 23sin ==θθ或. 由0＜θ＜π知23sin =θ，从而323πθπθ==或.4．三角形函数的最值问题三角形函数的最值问题，是三角函数基础知识的综合应用，是和三角函数求值问题并重的重要题型，是高考必考内容之一。

例9．(06陕西卷)已知函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π12) (x ∈R)(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合. 解:(Ⅰ) f (x )=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12)= 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1= 2sin(2x －π3) +1∴ T =2π2=π(Ⅱ)当f (x )取最大值时， sin(2x －π3)=1，有 2x －π3 =2k π+π2即x =k π+5π12 (k ∈Z ) ∴所求x 的集合为{x ∈R |x = k π+ 5π12， (k ∈Z )}． 5．三角与平面向量综合问题由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介，必将成为高考命题的热点。