2020-2021上海市西初级中学高三数学上期中试题(及答案)
2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案
2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则 1a ＜1b3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．87．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．48．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．256B ．25C ．253D ．59．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13712．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 15．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．16．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？19．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,33A b c a π=+-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 6．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
2020-2021上海市西初级中学高一数学上期中试题(及答案)
2020-2021上海市西初级中学高一数学上期中试题(及答案)一、选择题1．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．22．已知函数()245fx x x +=++，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥3．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ）A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-5．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-6．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log bab aa b a b >>>B ．1log log abb ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>>D ．1log log a bb aa b a b >>>7．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞8．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12- C ．12 D ．211．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.14．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.15．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 16．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．17．函数的定义域为______________．18．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.19．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．20．关于函数()11f x x =--的性质描述，正确的是__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-U ；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数.三、解答题21．已知函数()()log 1xa f x a =-（0a >，1a ≠）（1）当12a =时，求函数()f x 的定义域； （2）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；（3）当2a =时，若不等式()()2log 12xf x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.23．已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，且当01x <<时，()442xx f x =+，（1）求()f x 在()1,0-上的解析式；（2）求()f x 在()1,0-上的值域；（3）求13520172018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值. 24．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 25．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？ 26．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.2．B解析：B 【解析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.3．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.4．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.5．C解析：Cx ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．6．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 7．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.8．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.9．C解析：C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．12．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo ·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】 【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】 由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 15．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填解析：1【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1,故填1.16．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t ty t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值17．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】 【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】 由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.18．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 19．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x ∈03时f （x ）＝3x+a4x （a ∈R ）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案. 【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1． 故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x . 故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.20．①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f （x ）的定义域可判断①；化简f （x ）讨论0＜x≤1﹣1≤x ＜0分别求得f （x ）的范围求并集可得f （x ）的值域可判断②；由f （﹣1）＝f （解析：①②③ 【解析】 【分析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f （x ）的定义域，可判断①；化简f （x ），讨论0＜x ≤1，﹣1≤x ＜0，分别求得f （x ）的范围，求并集可得f （x ）的值域，可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f （x ）为奇函数，可判断③． 【详解】①，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，可得函数()f x =的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；②，由①可得f （x ，即f （x ，当0＜x ≤1可得f （x 1，0]；当﹣1≤x ＜0可得f （x [0，1）．可得f （x ）的值域为（﹣1，1），故②正确；③，由f （x 的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f （﹣x ＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，即有f （x ）的图象关于原点对称，故③正确．④，由f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）在定义域上不是增函数，故④错误； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题21．（1）(),0-∞；（2）()0,1；（3）21,log 3⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】 【分析】（1）由a x -1＞0，得a x ＞1 下面分类讨论：当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0即可求得f （x ）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈可知()g x 在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可． 【详解】本题考查恒成立问题． （1）当12a =时，()121log 12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故：1102x ->，解得：0x <，故函数()f x 的定义域为(),0-∞；（2）由题意知，()()log 1xa f x a =-（1a >），定义域为()0,x ∈+∞，用定义法易知()f x 为()0,x ∈+∞上的增函数，由()()1f x f <，知：01x x >⎧⎨<⎩，∴()0,1x ∈.（3）设()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈，设21212121x x xt -==-++，[]1,3x ∈， 故[]213,9x+∈，2171,2139x t ⎡⎤=-∈⎢⎥+⎣⎦，故：()min 211log 33g x g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵()()2log 12xf x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，故：()min 21log 3m g x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．22．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】 【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可. 【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数， ∴()()f x f x -=-即：242422x x x x a a a aa a a a ---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+∴函数()f x 的值域为()1,1-. （3）由()220xmf x +->可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+.当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->-令(2113)xt t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t +->=-+， 函数21y t t=-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>，故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.23．（1）()1124x f x -=+⋅（2）2133,⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）10092 【解析】 【分析】（1）令0x <<-1,则01x <-<,代入解析式可求得()f x -.再根据奇函数性质即可求得()f x 在()1,0-上的解析式;（2）利用分析法,先求得当0x <<-1时,4x 的值域,即可逐步得到()f x 在()1,0-上的值域; （3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验()()1f x f x +-的值,即可由函数的性质求解. 【详解】（1）当0x <<-1时,01x <-<,()4142124x x xf x ---==++⋅, 因为()f x 是()1,1-上的奇函数 所以()()1124x f x f x -=--=+⋅, （2）当0x <<-1时,14,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3124,32x ⎛⎫+⋅∈ ⎪⎝⎭,121,12433x-⎛⎫∈-- ⎪+⋅⎝⎭, 所以()f x 在()1,0-上的值域为21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）当01x <<时,()442x x f x =+,()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅, 所以1201732015520131201820182018201820182018f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 故1352017100920182018201820182f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题.24．（Ⅰ）()27530225,02,75030,2 5.1x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得f （x ）＝15w （x ）﹣30x ，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润． 【详解】（Ⅰ）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()2155330,02,501530,251x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎪=⎨⨯-<≤⎪+⎩27530225,02,75030,2 5.1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)得()()22175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==； 当25x <≤时，()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦78030480≤-⨯=当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【点睛】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【解析】 【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润. 【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增， 所以()()105400f x f ≤=（万元）. 综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题. 26．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，.【解析】 【分析】 【详解】 （1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数．当时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<，，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立．121204x x x x -<>Q，，即恒成立． 又，．的取值范围是(16]-∞，．。
2020-2021上海市西初级中学高三数学上期末试题(及答案)
2020-2021上海市西初级中学高三数学上期末试题(及答案)一、选择题1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．3．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A ．223+B 31C ．232D 314．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．45．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．526．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110B ．100C ．55D ．07．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S，且2S =，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 9．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34D ．3210．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ） A ．63B ．61C ．62D ．5711．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S二、填空题13．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．14．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.15．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．16．已知等差数列{}n a 的公差为()d d 0≠，前n 项和为n S，且数列也为公差为d 的等差数列，则d =______．17．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有1141a m n ++≤，则a 的取值范围是______.18．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.19．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式 n a =_______．20．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =，999S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()2n n n a b n N *=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈. 23．已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和.24．设 的内角 的对边分别为 已知．（1）求角 ； （2）若，，求的面积．25．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的值； （2）若不等式()2232y y af x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.26．已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项： 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.3．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．4．B解析：B 【解析】 【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即41a b +=，故()121288444282222b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是()4,1.5．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b+的最小值为32．故选：B.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．6．C解析：C【解析】【分析】由已知条件得a n＝n2sin（2n12+π）＝22,,n nn n⎧-⎨⎩是奇数是偶数，所以a1+a2+a3+…+a10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果．【详解】∵2n12+π=nπ+2π，n∈N*，∴a n＝n2sin（2n12+π）＝22,,n nn n⎧-⎨⎩是奇数是偶数，∴a1+a2+a3+...+a10＝22﹣12+42﹣32+...+102﹣92＝1+2+3+ (10)() 101+10=552故选C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．7．D解析：D【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可.【详解】目标函数()12123112111x yx y yzx x x++++++===+⨯+++，设11ykx+=+，则k的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D--连线的斜率，若目标函数231x yzx++=+的最小值为32，即12z k=+的最小值是32，由3122k+=，得14k=，即k的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时，直线的斜率k 最小，此时011314k a +==+， 得314a +=，得1a =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8．C解析：C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 223tan 2bc c B B +=+，结合正弦定理及三角恒等变换知识3sinA cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】∵2tan 23tan 2bc c B S B +=+∴2tan 1acsinB 223tan 2bc c B B +=+即c tan asinB a 3tan 13sin b B B B cosB+==++()3sinAsin B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ 3sinA cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．9．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．10．D解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.11．C解析：C 【解析】 【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2A B π+=可得到结论不正确；③可由余弦定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0∵87a a -＜1＜0 ∴a 7＜0，a 8＞0 数列的前7项为负， 故数列{S n }中最小值是S 7 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．二、填空题13．【解析】【分析】设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小转化为即可求解【详解】由题意设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小根据二次函数的图象与性质则满足即即解得即实数的取值范围是【点睛 解析：21a -<<【解析】 【分析】设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为()10f <，即可求解. 【详解】由题意，设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足()10f <，即220a a +-<， 即(1)(2)0a a -+<，解得21a -<<，即实数a 的取值范围是21a -<<. 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为(1)0f <是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力.14．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849【解析】 【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1， 所以()()1001001346631184922S +⨯=+⨯+=，故答案为：1849 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.15．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线解析：【解析】 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r共线∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+∴222y x x x x x+==+≥，当且仅当2x x =即x =时取等号∴yx的最小值为 【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.16．【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首项为所以=即：整理得：上式对任意正整数n 成立则解得：【点睛】本题 解析：12【解析】 【分析】表示出n S 【详解】等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，设其首项为1a ， 则n S =()112n n na d -+，又数列也为公差为d=()1n d -()1n d =-=上式对任意正整数n 成立，则)2120122d d d da d d⎧=⎪=⎪-+=⎪⎩，解得：12d =，134a =-【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和及通项公式，考查了方程思想及转化思想、观察能力，属于中档题．17．【解析】【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式求解不等式即可确定实数a 的取值范围【详解】由可得故：当且仅当即时等号成立故只需又则即则的取值范围是【点睛】在 解析：[)1,+∞【解析】 【分析】由题意结合均值不等式首先求得141m n ++的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围. 【详解】由8m n +=可得19m n ++=，故：()1411411411419191n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭11419⎛⨯++= ⎝≥， 当且仅当12141n mn m mn +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩，即3m =，5n =时等号成立，故只需11a≤，又0a >，则1a ≥. 即则a 的取值范围是[)1,+∞. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．18．【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时解析：323【解析】 【分析】 求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++L ，即可计算出所求极限值. 【详解】 由已知3212a q a ==，23112()()22n n n a --=⨯=，3225211111()()()2()2224n n n n n n a a ----+=⋅==⋅，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公比为1'4q =的等比数列， 11223118[(1()]3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--L ，1223132132lim ()lim [1()]343n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=L . 故答案为323. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项 解析：2221n n --【解析】 【分析】 构造数列11n nb a =-，得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-，得到2221n n a n -=-. 【详解】 设11n n b a =-，则12n n b b +-=，11111b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列1222121121n n n b n n a n n a -=⇒=--⇒--= 故答案为2221n n -- 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列11n nb a =-是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用.20．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根解析：11(,)23-- 【解析】 【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-，即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题21． （Ⅰ）21n a n =+，n *∈N （Ⅱ）2552n nn T +=- 【解析】试题分析：（1）先根据条件列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列通项公式即可（2）利用错位相减法求和, 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q -试题解析：（Ⅰ）由题意得：1127989992a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩ , 故{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得：212n nn b +=23435792122222n n n T +=++++⋯+ ① 234113572121222222n n n n n T +-+=+++⋯++ ② ①－②得：23411311112122222222n n n n T ++⎛⎫=++++⋯+- ⎪⎝⎭ 152522n n ++=- 故2552n nn T +=-点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-； 当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤. 【解析】 【分析】将原不等式因式分解化为()()210ax x -+≥，对参数a 分5种情况讨论：0a =，0a >，20a -<<，2a =-，2a <-，分别解不等式． 【详解】解：原不等式可化为()2220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥，①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解得2x a≥或1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭. 当21a >-，即2a <-时，解得21x a-≤≤； 当21a=-，即2a =-时，解得1x =-满足题意； 当21a<-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-.综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-； 当0a >时，不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤. 【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a 分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述. 23．(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，并求的通项公式，⑵利用错位相减法即可求得答案；解析：（1）∵∴∴，∵，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列∴，∴，∴，（2），∴①②①-②得∴.24．（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用（1）的结论，余弦定理及三角形的面积公式求出结果． 【详解】（1）∵b=a （cosC ﹣sinC ），∴由正弦定理得sinB=sinAcosC ﹣sinAsinC ，可得sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC ﹣sinAsinC ， ∴cosAsinC=﹣sinAsinC ， 由sinC≠0，得sinA+cosA=0， ∴tanA=﹣1， 由A 为三角形内角， 可得．（2）因为， 所以由正弦定理可得b=c ，因为a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，，可得c=，所以b=2，所以．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 25．(1) 32m =；(2)4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为][(),22,-∞-⋃+∞，再根据解集相等关系得122m +=，解得32m =．（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即()max212322y yax x --+≤+，根据绝对值三角不等式可得()max21234x x --+=，再利用变量分离转化为对应函数最值问题：()max242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦，根据基本不等式求最值： ()()224224242y yy y ⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦，因此4a ≥，所以实数a 的最小值为4．试题解析：（Ⅰ）由题意知不等式221(0)x m m ≤+>的解集为][(),22,-∞-⋃+∞． 由221x m ≤+，得1122m x m --≤≤+，所以，由122m +=，解得32m =． （Ⅱ）不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322yya x x --+≤+， 由题意知()max212322y yax x --+≤+． 因为()()212321234x x x x --+≤--+=， 所以242y y a +≥，即()242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦对任意y R ∈都成立，则()max 242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦．而()()224224242y yy y⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当242y y =-，即1y =时等号成立， 故4a ≥，所以实数a 的最小值为4．26．（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2【解析】 【分析】（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2pp 轹÷ê÷÷êøë. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 0238a cb B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =. 所以三角形ABC的面积为11sin 532224bc A =⨯⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.。
2020-2021上海延安初级中学高三数学上期中模拟试卷(及答案)
2020-2021上海延安初级中学高三数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S2．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值314．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．215．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720207．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．28．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( )A ．－16B ．－6C ．-83D ．69．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8110．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++11．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.14．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 15．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．16．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．17．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 18．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．19．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________.20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin 1cos a CA=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积ABC S ∆=a 的值.22．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 23．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求12111nS S S ++⋯+． 24．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．25．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列；（2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+，∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.4．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．7．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 11．B 解析：B 【解析】 【分析】()()1122n n n n +-=-的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】(1)(1),(2)22n n n n n n +-=-=≥1=，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项解析：5 【解析】 【分析】设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=， 所以(1)(1)2,125(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨+⋅=+⎩.故答案为：5. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.14．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题 解析：238【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的174417a a ab b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为77S T ，从而得到答案.【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列所以7474141422a a b b a a b b ==++ ()()1771777272a a S b b T +==+37223718⨯+==+ 【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.15．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题解析：3【解析】 【分析】 利用余弦定理得到cos C ，进而得到sin C ，结合正弦定理得到结果. 【详解】925491cos ,sin 302C C +-==-=，由正弦定理得2sin c R R C ===. 【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.16．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22215521d -==+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为25，即255CD = .点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.17．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题解析：5518. 【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】Q 数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，331112731115531123118183182313n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，5531lim 5518218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=. 故答案为：5518. 【点睛】本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题.18．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列， ∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =-19．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a 解析：212【解析】 【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到na n的最小值． 【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞， 则f （n）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162a = 故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10 【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x zy =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x zy =-的截距最大，此时z 最小由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-故答案为10-三、解答题21．（1）3A π=；（2）13【解析】 【分析】 （1）把sin 31cos a C c A =-中的边化为角的正弦的形式，再经过变形可得3sin()32A π+=进而可求得3A π=．（2）由ABC S ∆=16bc =，再由余弦定理可求得a =．【详解】 （1）由正弦定理及sin 1cos a C A =-得sin sin 1cos A CC A=-，∵sin 0C ≠，∴)sin 1cos A A =-，∴sin 2sin 3A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又0A π<<， ∴4333A πππ<+<， ∴233A p p +=， ∴3A π=．（2）∵1sin 2ABC S bc A ∆==， ∴16bc =．由余弦定理得()()222222cos 233a b c bc b c bc bc b c bc π=+-=+--=+-，又10b c +=，∴221031652a =-⨯=，a ∴=【点睛】解三角形经常与三角变换结合在一起考查，解题时注意三角形三个内角的关系．另外，使用余弦定理解三角形时，注意公式的变形及整体思想的运用，如()2222b c b c bc +=+-等，可简化运算提高解题的速度．22．（1）n a n =，2nn b =；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出3434a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1122213n n nB++--=，可得出131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出32n T <. 【详解】（1）1359a a a ++=Q ，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.由题意得()22412311208b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得2152q q +=，整理得22520q q -+=.1q >Q ，解得2q =，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；（2）442n n nn n c b =-=-Q ，()()()1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()()()112121414212444442222214123n n n nnn ++---=+++-+++=-=----L L ()()11112221432233n n n n ++++---⋅+==，()()()()()()111112323222221222121213n n nn n n n n n n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n nn n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭，22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与分组求和法，考查计算能力，属于中等题.23．（1）n a n =，12n n b -=；（2）21nn + 【解析】 【分析】（1）由题意,要求数列{}n a 与{}n b 的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d ，q ,然后根据等差数列的前项和公式,代入226b S =,238b S +=,求出d ，q 即可写出数列{}n a 与{}n b 的通项公式． （2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+,即()121ns n n =+,而要求12111n S S S ++⋯+,故结合1n s 的特征可变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,代入化简即可． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，d ＞0，{}n b 的等比为q则1(1)n a n d =+- ,1n n b q -=,依题意有()26338q d q d ⎧+=⎨++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩或439d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去）故1,2n n n a n b -==,（2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+ ∴11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∴1211111111212231n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭． 【点睛】本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出n S 的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d ＞0．第二问考查了求数列的前n 项和，关键是要分析数列通项的特征,将()121n s n n =+等价变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,然后代入计算，这也是求数列前n 项和的一种常用方法--裂项相消法！ 24．（1）=BC 2【解析】 【分析】（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得AE AC BE BC ==．可求BE =，215AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．即：212cos 4m m ADB +-∠=，①212cos 1m m ADB ++∠=．②由①+②，得：232m =，所以m =BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：,sin sin sin sin AE EC BE ECACE EAC BCE CBE==∠∠∠∠，由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，所以6AE AC BE BC ==．所以BE =，所以215AE =（）．又222222121cos 22214AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以sin BAC ∠=，所以11211225420ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=V （）． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 25．（1）见解析（2）1242n n n S -+=- 【解析】 【分析】（1）根据数列{}n a 的递推公式及21n n b a -=，可表示出1n b +与n b 的等量关系，再将等式变形即可证明数列{}2n b +为等比数列；（2）由（1）可求得数列{}n b 的通项公式，代入后可得3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，结合错位相减法即可求得前n 项和n S ． 【详解】（1）()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===+=+=+，所以()1222n n b b ++=+，即1222n n b b ++=+， 又因为112230b a +=+=≠，所以数列{}2n b +是以3为首项以2为公比的等比数列．（2）由（1）得，1232n n b -+=⋅，11332322n n n n n nb --==+⋅， 所以02111222n n n n n S ---=+++L 0222222n n n S -=+++L 则1021122222n n n n n n S S S --⎛⎫=-=-+++ ⎪⎝⎭L 11111221212n n n --⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-+- 1242n n -+=-． 【点睛】 本题考查了由递推公式证明数列为等比数列，错位相减法的求和应用，属于中档题. 26．（1）72（2）3a >- 【解析】 【分析】（1）由题得()122f x x x=++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】 （1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x af x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-. 【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2021年高三数学上学期期中试题(含解析)沪教版
2021年高三数学上学期期中试题（含解析）沪教版一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分，请在相应的空格内填上正确的答案， 每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，，则 . 解析：，.2. 函数的最小正周期为 .解析：()2sin cos sin 2cos2442f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期.3. 已知的展开式中，的系数为，那么实数 .解析：，令.4. 已知集合，，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 . 解析：分类讨论，不要忘了空集的情况：.5. 在中，角所对的边长分别为.若，则最大角为 .解析：由正弦定理可得，有余弦定理即可得最大角的余弦值，即.6. 已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球. 现从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 .（结果精确到0.001） 解析：7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，若直线的倾斜角为，则的值为 .解析：很明显，所以，即.8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 .解析：在上单调递增，内函数在上递增且函数值大于0，所以.9. 若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 . 解析：轴截面是边长为，则底面半径，母线，所以侧面积为.10. 已知定义在上的函数与的图像相交与点，过点作轴于，直线与的图像交于点，则线段的长度为 . 解析：,.11. 已知函数满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是 . 解析：，所以， 即.12. 设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一的零点，则实数的取值范围是 . 解析：为偶函数，，结合图形可知. 13. 设函数的定义域为，其中. 若函数在区间上的最大值为6，最小值为3，则在区间上的最大值与最小值之和为 .解析：令，定义域为，则有在区间上的最大值为5，最小值为2，当为偶函数时，在区间上的最大值为5，最小值为2，此时在区间上的最大值与最小值之和为9；当为偶奇函数时，在区间上的最大值为-2，最小值为-5，此时在区间上的最大值与最小值之和为-5；综上，应填或14.已知命题“，，则集合”是假命题，则实数的取值范围是 .解析：原命题为假命题，即在上有解.显然.当时，结合函数图像可得，无解；当时，结合函数图像可得，所以，.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，请在括号内填上正确的选项，选对得5分，否则一律得0分.15. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.解析：有各函数的基本性质即可知符合题意，选择.16.在钝角中，“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：能得到，反之不一定成立，还可以为.17. 已知函数，其中，，则下列判断正确的是（）A.当时，的最小值为B.当时，的最小值为C.当时，的最小值为D.当时，的最小值为解析：，令，结合函数图像，可得到当时，取到最小值，所以选择C.18. 给定方程：，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且仅有一个实数解；④若是该方程的实数解，则.其中正确的命题个数是（）A.1个B.2个C. 3个D.4个解析：，的解就等价于函数与的交点个数，作出图像即可判断只有①不对；所以选择C.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图，直三棱锥中，，.⑴求直三棱锥的体积；⑵若是的中点，求异面直线与所成的角. 解析：∵ 且，∴ . ⑴； ⑵如图，取中点，连接、，又是的中点， 所以，所以即为异面直线与所成的角.计算可得，， 在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成的角为. 20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin 2sin 22,33f x x x x m x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且的最大值为1.⑴求的值，并求的单调递增区间；⑵在中，角的对边为，若，且.试判断的形状.解析：⑴∵ ()sin 2sin 22sin 22332sin 23f x x x x m x x mx mπππ⎛⎫⎛⎫=++-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴即；令，得的单调递增区间为； ⑵，∴ ，又，∴21222a cb a bc c c ⇒-=⇒=， 即，故，所以为钝角三角形.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．⑴该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ ⑵要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？C1B A 1CC1B 1C解析：⑴每吨的平均处理成本为22004000040000200400200200y x x x x x x-+==+-≥-= 当且仅当即每月处理量为吨时每吨的平均处理成本最低，最低为200元； ⑵设该单位每月获利为（元），则单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本．()2230030020040000500400000S x y x x x x x =-=--+=-+-≥解之得：由题意可知，所以当时，该单位每月不亏损.小题满分6分.已知函数，其中常数. ⑴时，求的最小值. ⑵讨论函数的奇偶性.⑶若恒成立，求实数的取值范围. 解析： ⑴时，，当且仅当即时取最小值2. ⑵，，所以当时为偶函数，因为此时有恒成立； 当时为奇函数，因为此时有恒成立. 当时为非奇非偶函数. ⑶由得；()()1122122222x x x x f x f x a a +---+<⇒+⋅<+⋅，令，有，即， 所以.小题满分8分.设函数为定义在上的奇函数，. 当时，. ⑴当时，求的解析式；⑵记，为，求及其反函数的解析式；⑶定义其中，探究方程在区间上的解的个数.解析： ⑴当时，，，即；当时，，有. ⑵()()()()()242f x f x f x f x f x +=-⇒+=-+=，则的周期为； 当时，， ∴ ，， 即.⑶由可得的对称轴为，所以的图像如下：接下来求解在上的解析式：①当为偶数时，为其周期，.所以； ②当为奇数时，为其周期，.所以()()()()()()3322222f x f x k x k f x k x k =-=--=--=--综上，，，所以将向右移动个单位，再向上移动个单位即可得到的图像： 显然，是连续的递增函数，∴ 当时，方程在区间上有一解， 当时，方程在区间上无解.% 28337 6EB1 溱36290 8DC2 跂34057 8509 蔉34865 8831 蠱25489 6391 掑a38884 97E4 韤h,32718 7FCE 翎22810 591A 多F。
2023-2024学年上海市市西中学高三上学期期中考试数学试卷含详解
上海市市西中学2023学年度第一学期期中考试高三数学友情提示1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，另有答题纸；2.作答前，在答题纸正面填写班级、姓名、学籍号等信息；3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上相应区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分；4.用2b 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔作答非选择题.一.填空题（本大题满分54分，共有12题，请在答题纸相应编号的空格内直按填写结果，1-6题填对得4分.7-12题填对得5分.否则一律得零分）1.设全集U =R ，若集合{}29A x x =>，则A =______.2.函数()3432y x -=-的定义域为______.3.已知i 为虚数单位，复数32i z =+，则z z ⋅=______.4.一台实验室抽气机，每次能抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.5%，则至少要用该抽气机抽______次.5.无穷等比数列{}n a 中，212a =，33a =，则{}n a 所有项的和为______.6.函数sin y x =的图象在点(),0π处的切线方程为__________________．7.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆．如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为____________米（精确到整数）8.函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－2π3，a ]上的值域为[－14，2]，则a 的取值范围是__.9.函数()3f x x ax=+在区间[]2,3-上是单调函数，则实数a 的取值范围是______.10.已知数列{}n a 中，nn a n a =⋅，n 为正整数，常数0a >，1a ≠，若{}n a 是严格减数列，则实数a 的取值范围是______.11.函数()2ln 3f x k x x x=-+在区间30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则实数k 的取值范围是______.12.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当(]0,1x ∈，()ln f x x=，且()f x 关于直线1x =对称，设方程()()0,f x kx b k b =+>∈R 的正数解从小到大依次为1x 、2x 、L 、n x 、L ，且对无穷多个n ∈N ，总存在实数M ，使得21n n x x M++-<成立，则实数M 的最小值为______.二.选择题（本大题满分18分，共有4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题选对得4分，15-16题选对得5分.否则一律得零分）13.用反证法证明“方程()200ax bx c a ++=≠至多有两个解”的假设中，正确的是A.至少有两个解B.有且只有两个解C.至少有三个解D.至多有一个解14.已知函数()1y f x =+是偶函数，且在区间(],1-∞-上是严格增函数，则不等式()()28xf f ->-的解集为（）A.(),1-∞ B.(),3-∞ C.()3,+∞ D.()1,+∞15.如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ，0A >，0ω>的图像的一部分，要得到该函数图像，只需要将函数2sin 2y x =的图像（）A .向左平移π6个单位 B.向左平移π3个单位 C.向右平移π6个单位 D.向右平移π3个单位16.已知函数()ln 2,0πsin ,π04x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有7个零点，则正数ω的取值范围是（）A.1317,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.1721,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.4965,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.6573,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭三.解答题（本大题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤）17.如图所示，在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA =SC=M ，N 分别为AB ，SB 的中点.（1）求证：AC ⊥SB ；（2）求二面角N －CM －B 的余弦值；18.已知集合03x aA xx a ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，常数0a ≠，{}2560B x x x =-+<.（1）当1a =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的必要非充分条件，求实数a 的取值范围.19.如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地．A 地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B 地在观测站北偏东4arcsin5方向，且距离观测站5公里．观测站派出一辆观测车（记为点M ）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记∠AMB为观测角．（1）当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角∠AMB 的大小；（精确到0.1°）（2）为了确保观测质量，要求观测角∠AMB 不小于45°，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长．（精确到0.1公里）20.等差数列{}n a 中，21a =-，{}n a 的前n 项和为n S ，满足955S S =.（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若121n n n b a a ++=⋅，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，若存在常数s ，t ，使不等式n s T t ≤≤对任何正整数n 都成立，求t s -的最小值.（3）若对于任意N n ∈，3n ≥，不等式2n n S n a n k+≤都成立，求正数k 的最大值.21..已知函数()()21ln 1f x a x ax =+++，其中常数a R ∈.（1）当0a =时，求()f x 的零点；（2）讨论()f x 的单调性；（3）设实数1a <-，如果对任意1x ，()20,x ∈+∞，不等式()()12124f x f x x x -≥-都成立，求实数a 的取值范围.上海市市西中学2023学年度第一学期期中考试高三数学一.填空题（本大题满分54分，共有12题，请在答题纸相应编号的空格内直按填写结果，1-6题填对得4分.7-12题填对得5分.否则一律得零分）1.设全集U =R ，若集合{}29A x x =>，则A =______.【答案】{}33x x -≤≤【分析】求出集合A ，利用补集的定义可求得集合A .【详解】因为全集U =R ，集合{}{293A x x x x =>=<-或}3x >，因此，{}33A x x =-≤≤.故答案为：{}33x x -≤≤.2.函数()3432y x -=-的定义域为______.【答案】2(,)3+∞【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可.【详解】由()3432y x -=-，使得式子有意义，则320x ->，则定义域为2(,)3+∞.故答案为：2(,)3+∞3.已知i 为虚数单位，复数32i z =+，则z z ⋅=______.【答案】13【分析】先求共轭复数，再应用复数乘法即可.【详解】由32i z =+，则32i z =-，则(32i)(32i)z z ⋅=+-=13.故答案为：134.一台实验室抽气机，每次能抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.5%，则至少要用该抽气机抽______次.【答案】6【分析】设至少抽n 次，由()1600.5n-%<%求解.【详解】解：设至少抽n 次，则由题意得：()1600.5n-%<%，即0.40.005n <，则0.4log 0.005n >，而0.45lglg 0.0051000log 0.0054lg 0.4lg 10==，lg 5lg10001lg 232lg 25.75lg 4lg102lg 2112lg 2---+===≈---所以6n ≥，故答案为：65.无穷等比数列{}n a 中，212a =，33a =，则{}n a 所有项的和为______.【答案】64【分析】根据等比数列的求和公式结合数列极限运算求解.【详解】因为等比数列{}n a 中，212a =，33a =，设等比数列{}n a 的首项和公比为1,a q ，所以3231124a q a ===，则2112448aa q==⨯=，所以等比数列{}n a 所有项的和为：()1148114164111414n nnna q S q⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，无穷等比数列{}n a 所有项的和为：1lim lim 641644n n n n S ∞∞→→⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故答案为：64.6.函数sin y x =的图象在点(),0π处的切线方程为__________________．【答案】0x y π+-=【详解】因为sin y x =，所以cos y x '=，则π|cosπ=1x y ='=-，即函数sin y x =的图象在点(),0π处的切线方程为(π)y x =--，即0x y π+-=.7.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆．如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为____________米（精确到整数）【答案】28【分析】根据球体的表面积公式，结合题意，直接求解即可.【详解】设主降落伞展开后所在球体的半径为R ，由题可得221200R π=，解得14R ≈，故完全展开后伞口的直径约为28米.故答案为：28.8.函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－2π3，a ]上的值域为[－14，2]，则a 的取值范围是__.【答案】[0，2π3]【分析】应用同角三角函数基本关系式，函数可以化为关于cos x 的解析式，令t ＝cos x ，则原函数可化为y ＝﹣（t ﹣1）2+2，即转化为二次函数的最值问题，含参数的问题的求解．【详解】解：由已知得y ＝1﹣cos 2x +2cos x ＝﹣（cos x ﹣1）2+2，令t ＝cos x ，得到：y ＝﹣（t ﹣1）2+2，显然当t ＝cos（23π-）12=-时，y 14=-，当t ＝1时，y ＝2，又由x ∈[23π-，a ]可知cos x ∈[12-，1]，可使函数的值域为[14-，2]，所以有a ≥0，且a 23π≤，从而可得a 的取值范围是：0≤a 23π≤．故答案为[0，23π]．【点睛】本题考查三角函数的值域问题，换元法与转化化归的数学思想，含参数的求解策略问题．9.函数()3f x x ax =+在区间[]2,3-上是单调函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,27][0,)-∞-⋃+∞【分析】求导，即()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，分类讨论即可.【详解】因为函数()3f x x ax =+在区间[]2,3-上是单调函数，则()23f x x a '=+在[]2,3-上有()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，当()0f x '≥时，即23a x ≥-，则0a ≥，当()0f x '≤时，即23a x ≤-，则27a ≤-，综上：实数a 的取值范围是(,27][0,)-∞-⋃+∞.故答案为：(,27][0,)-∞-⋃+∞10.已知数列{}n a 中，nn a n a =⋅，n 为正整数，常数0a >，1a ≠，若{}n a 是严格减数列，则实数a 的取值范围是______.【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先根据数列的单调性得到10n n a a +-<，得到1n a n <+，求出11012n <≤+，从而得到102a <<.【详解】由题意得()()1110n n n n n a n n an a a a a a n ++--=⋅+=-⋅<+，因为0a >，1a ≠，所以0n a >，故0na a n +-<，即1na n <+，其中1111111n n n n n +-==-+++，由于1n ≥，所以11012n <≤+，故111,1112n n n ⎡⎫=-∈⎪⎢++⎣⎭，则12a <，又0a >，故102a <<，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11.函数()2ln 3f x k x x x =-+在区间30,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，则实数k 的取值范围是______.【答案】098k -<<【分析】求得()223x x k f x x -++'=，令()223g x x x k =-++，分析函数()g x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调性，利用函数()f x 在区间30,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值可得出关于实数k 的不等式组，解之即可.【详解】因为()2ln 3f x k x x x =-+，则()22323k x x kf x x x x-++=-+='，令()223g x x x k =-++，则函数()g x 在30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，因为()302g g k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，23339234448g k k ⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为函数()f x 在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，则0908k k <⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得098k -<<.故答案为：098k -<<.12.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设方程()()0,f x kx b k b =+>∈R 的正数解从小到大依次为1x 、2x 、L 、n x 、L ，且对无穷多个n ∈N ，总存在实数M ，使得21n n x x M ++-<成立，则实数M 的最小值为______.【答案】2【分析】分析可知，函数()f x 是周期为4的周期函数，作出函数()y f x =和()0,y kx b k b =+>∈R 的图象，结合图象可知，21lim n n n x x ++→+∞-的几何意义为函数()f x 两条渐近线的距离，结合21n n x x M ++-<，可得出M 的最小值.【详解】因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =--，且()00f =，又因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则()()()2+==f x f x f x --，所以，()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()f x 是周期为4的周期函数，作出函数()y f x =和()0,y kx b k b =+>∈R的图象如下图所示：方程()()0,f x kx b k b =+>∈R 的正数解从小到大依次为1x 、2x 、L 、n x 、L ，则21lim n n n x x ++→+∞-的几何意义为函数()f x 两条渐近线的距离，由图可知，21lim 2n n n x x ++→+∞-=，故对任意的n *∈N ，212n n x x ++-<，对无穷多个n ∈N ，总存在实数M ，使得21n n x x M ++-<成立，则2M ≥，即M 的最小值为2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式恒成立，解题的关键在于理解21lim n n n x x ++→+∞-的几何意义为函数()f x 两条渐近线的距离，利用数形结合思想求出21lim n n n x x ++→+∞-的值，进而可得出实数M 的取值范围.二.选择题（本大题满分18分，共有4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题选对得4分，15-16题选对得5分.否则一律得零分）13.用反证法证明“方程()200ax bx c a ++=≠至多有两个解”的假设中，正确的是A.至少有两个解B.有且只有两个解C.至少有三个解D.至多有一个解【答案】C【详解】分析：把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求．详解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题：“方程ax 2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”，故选C ．点睛：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．14.已知函数()1y f x =+是偶函数，且在区间(],1-∞-上是严格增函数，则不等式()()28xf f ->-的解集为（）A.(),1-∞ B.(),3-∞ C.()3,+∞ D.()1,+∞【答案】B【分析】由(1)y f x =+与()y f x =图象的平移关系，可得()f x 的对称性与单调性，利用单调性解抽象不等式即可.【详解】因为函数()1y f x =+是偶函数，且在区间(],1-∞-上是严格增函数，而函数()f x 图象可由函数(1)f x +向右平移1个单位得到，故函数()f x 关于直线1x =对称，且在区间(],0-∞上是严格增函数，由()()28xf f ->-，且2,8(,0]x--∈-∞，得28x ->-，即28x <，解得3x <.不等式()()28xf f ->-的解集为(),3-∞.故选：B.15.如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ，0A >，0ω>的图像的一部分，要得到该函数图像，只需要将函数2sin 2y x =的图像（）A.向左平移π6个单位 B.向左平移π3个单位 C.向右平移π6个单位 D.向右平移π3个单位【答案】A【分析】由题意先求A ，结合图象与已知得周期T ，从而求出ω；再由最小值点坐标代入求解ϕ，求出()f x 的解析式，从而得到与2sin 2y x =的图象平移关系.【详解】由题意，()f x 可由函数2sin 2y x =平移得到，且0A >，则2A =，πT =.（或由图形可知，周期7π4ππ123T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭）又0ω>，故2π2πω==，则()2sin(2)f x x ϕ=+.由图形，函数()f x 图象过点7,212π⎛⎫⎪⎝⎭-则7π7π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即7πsin 16ϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以7π3π2π,62k k ϕ+=+∈Z解得π2π+,3k k ϕ=∈Z ，故ππ()2sin 22π2sin 233f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.验证知()f x 图象过(π3,,03⎛⎫⎪⎝⎭.又π()2sin 26f x x ⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 可由函数2sin 2y x =的图象向左平移π6个单位得到.故选：A.16.已知函数()ln 2,0πsin ,π04x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有7个零点，则正数ω的取值范围是（）A.1317,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1721,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.4965,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.6573,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】数形结合可知，函数()f x 在()0,∞+上只有两个零点，则函数()f x 在[]π,0-上有五个零点，由π0x -≤≤可求出π4x ω+的取值范围，根据题意可得出关于ω的不等式，即可解得正数ω的取值范围.【详解】当0x >时，由()ln 20f x x x =+-=，可得ln 2x x =-，作出直线2y x =-和函数ln y x =的图象如下图所示：由图可知，直线2y x =-和函数ln y x =的图象有两个交点，因为函数()f x 恰有7个零点，所以，函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]π,0-上有5个零点，当π0x -≤≤时，因为0ω>，则πππππ444x ω-+≤+≤，所以，π5ππ4π4ω-<-+≤-，解得172144ω≤<，故选：B.三.解答题（本大题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤）17.如图所示，在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA =SC =M ，N 分别为AB ，SB 的中点.（1）求证：AC ⊥SB ；（2）求二面角N －CM －B 的余弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）13【分析】（1）取A ，C 中点O ，连接OS ，OB ，由题意可得AC OB ⊥，AC OS ⊥，再由线面垂直的判定可得AC ⊥平面SOB ，进一步得到AC SB ⊥；（2）如图以O 为原点，OA ，OB ，OS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出C ，B ，A ，S ，M ，N 的坐标，得到平面CBM 与平面CMN 的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角N CM B --的余弦值．【详解】解：（1）证明：取A ，C 中点O ，连接OS ，OB ，由题意可得AC OB ⊥，AC OS ⊥，又OS OB O = ，OS ⊂平面SOB ，OB ⊂平面SOBAC ∴⊥平面SOB ，又SB ⊂平面SOB 所以AC SB ⊥；（2）解：如图以O 为原点，OA ，OB ，OS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(2C -，0，0)，(0B，0)，(2A ，0，0)，(0S ，0，，(1M0)，(0N，由已知条件易得平面CBM 的法向量为1(0,0,1)n = ，设面CMN 的法向量为2(,,)n x y z =，CM =，CN =．由22·30·20n CM x n CN x ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩ ，取1z =，得2n = ，设θ为所求角，则1212||1cos 3||||n n n n θ==．∴二面角N CM B --的余弦值为13．【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，属于中档题．18.已知集合03x aA xx a ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，常数0a ≠，{}2560B x x x =-+<.（1）当1a =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的必要非充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(1,3)（2）[]1,2【分析】（1）求解不等式化简集合，再由并集运算可得；（2）分类讨论求解集合A ，再由x A ∈是x B ∈的必要非充分条件，得B A ，由包含关系列出参数a 的不等式，求解可得.【小问1详解】由2560x x -+<，解得23x <<，则(2,3)B =，当1a =时，{}{}(1)(3)013A x x x x x =--<=<<，所以(1,3)A =，则(1,3)A B = .【小问2详解】由x A ∈是x B ∈的必要非充分条件，则B A ，由0()(3)0(0)3x ax a x a a x a-<⇔--<≠-，当a<0时，30a a <<，()3,(,0)A a a =⊆-∞，而(2,3)B =，不满足BA ；当0a >时，03a a <<，(),3A a a =，要使BA ，则233a a ≤<≤，且等号不同时成立，解得12a ≤≤，故实数a 的取值范围为[]1,2.19.如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地．A 地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B 地在观测站北偏东4arcsin5方向，且距离观测站5公里．观测站派出一辆观测车（记为点M ）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记∠AMB 为观测角．（1）当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角∠AMB 的大小；（精确到0.1°）（2）为了确保观测质量，要求观测角∠AMB 不小于45°，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长．（精确到0.1公里）【答案】（1）71.6︒（2）5.4公里【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，利用数量积计算夹角的大小；（2）设点M ，利用坐标表示向量和直线的斜率，求出∠AMB 的正切值，从而求出对应的结果．【小问1详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示：则()()()0,2,4,3,1,0A B M ，则(1,2)MA =- ，(3,3)MB =，所以10cos 10||||MA MB AMB MA MB ⋅∠== ，所以观测角10arccos 71.610AMB ︒∠=≈．【小问2详解】设()()00M x x >,，i.4x =时，tan 2OMAMB OA∠==，所以arctan 245AMB ∠=>︒，ii.4x ≠时，直线MA 的斜率为2MA k x =，直线MB 的斜率为34MB k x=-，因为(),2MA x =- ，()4,3MB x =- ，所以()()22-4-6-46-220MA MB x x x x x ⋅=+=+=+> ，所以∠AMB 为锐角，设tan y AMB =∠，则函数223846461(4)x x x y x x x x --+-==-+--，当4x =时，2y =符合上式，又28,046x y x x x +=>-+，且45AMB ∠≥︒，所以1y ≥，整理得2-5-20x x ≤，解得53302x +<≤，且5335 5.75.422++=≈，所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为5.4公里．20.等差数列{}n a 中，21a =-，{}n a 的前n 项和为n S ，满足955S S =.（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若121n n n b a a ++=⋅，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，若存在常数s ，t ，使不等式n s T t ≤≤对任何正整数n 都成立，求t s -的最小值.（3）若对于任意N n ∈，3n ≥，不等式2n n S n a n k+≤都成立，求正数k 的最大值.【答案】（1）815n a n =-+（2）172（3）809【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项和公差为1,a d ，由题意可得()1111989542a d a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解方程求出1,a d ，即可得出答案；（2）由裂项相消法求出n T ，再根据n T 的单调性求出11,98n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即可得出答案；（3）由等差数列的前n 项和公式求出n S ，代入不等式，分离参数可得()24411n n k n -≤-，令()()24,3411nnf n n n -=≥-，换元法求出()f n 的最小值，即可得出答案.【小问1详解】因为等差数列{}n a 中，21a =-，955S S =，设等差数列{}n a 的首项和公差为1,a d ，所以1111985495522a d a d a d +=-⎧⎪⨯⨯⎨⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：178a d =⎧⎨=-⎩，故等差数列{}n a 的通项公式为：()()11781815n a a n d n n =+-=--=-+.【小问2详解】()()()()121111118781878188781n n n b a a n n n n n n ++⎛⎫====- ⎪⋅-+---+-+⎝⎭，123n nT b b b b =++++111111111+8991717258781n n ⎛⎫=-+-+-+- ⎪-+⎝⎭ 111881n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，其中N,1n n ∈≥，因为111881n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在N,1n n ∈≥上单调递增，所以()1min 1111899n T T ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，又因为111111188188818n T n n ⎛⎫=-=-⋅< ⎪++⎝⎭，所以11,98n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，因为存在常数s ，t ，使不等式n s T t ≤≤对任何正整数n 都成立，所以t s -的最小值为1118972-=.【小问3详解】因为815n a n =-+，所以()124112n n n a a S n n +==-+，原不等式2n n S n a n k +≤即22411815n n n n n k -+≤-++，即22411815n n n n n k-≤-+，由3n ≥可得：()()()22411815n nn k n n -+≤-，即()24411n n k n -≤-，令()()24,3411n n f n n n -=≥-，令411,1u n u =-≥，所以114u n +=，所以()21111177444184u u f u u u u ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=++ ⎪⎝⎭，当9,5u n ==时，()f u 取得最小值为809，即809k ≤，正数k 的最大值为809.21..已知函数()()21ln 1f x a x ax =+++，其中常数a R ∈.（1）当0a =时，求()f x 的零点；（2）讨论()f x 的单调性；（3）设实数1a <-，如果对任意1x ，()20,x ∈+∞，不等式()()12124f x f x x x -≥-都成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1ex =（2）见解析（3）2a ≤-【分析】（1）令()0f x =，解方程即可求出()f x 的零点；（2）对()f x 求导，分类讨论0a ≥，1a ≤-和10a -<<，判断()f x '与0的大小即可得出答案；（3）将不等式进行整理可得()()112244f x x f x x +≥+，则不等式可转化为()()4g x f x x =+在()0,∞+上单调递减，再利用分离参数法即可求出答案.【小问1详解】当0a =时，()ln 1f x x =+，令()0f x =，可得：1ex =，所以()f x 的零点为1ex =.【小问2详解】因为()()21ln 1f x a x ax =+++的定义域为()0,∞+，()()22112,0ax a a f x ax x x x++++'==>，当0a ≥时，()0f x ¢>对任意()0,x ∈+∞成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.当1a ≤-时，()0f x '<对任意()0,x ∈+∞成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.当10a -<<时，令()0f x ¢>可得：x ⎛∈ ⎝，令()0f x '<可得：x ⎫∈+∞⎪⎪⎭.所以()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减.综上：0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增.1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递减.10a -<<时，()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减.【小问3详解】由（2）得，当1a <-时，()f x 在()0,∞+上单调递减，不妨设120x x <<，则()()12f x f x >，原不等式转换为()()121244f x f x x x -≥-+，即()()112244f x x f x x +≥+，令()()()241ln 14g x f x x a x ax x =+=++++，则()()12g x g x ≥，则()g x 在()0,∞+上单调递减，所以()0g x '≤在()0,∞+上恒成立，()21241240a ax x a g x ax x x++++=++=≤'在()0,∞+上恒成立，即22410ax x a +++≤，则()()22141a x x +≤-+，则24121x a x +≤-+，令()24121x h x x +=-+，令41,1u x u =+>，则14u x -=，所以()28912214u h u u u u-=-=-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，由双勾函数的性质可得，[)924,+u u ∞+-∈，所以()h u 的最小值为824-=-，所以2a ≤-.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试卷中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
上海2020-2021学年市西中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)测试卷
6.函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为.
7.在 所对的边分别为 ，若 ,则 的面积为.
8.已知函数 .
9.若关于 上恒成立，则正实数 的取值范围为.
10.已知常数 的图像经过点 ，若 ，则 .
11.已知函数，若 ，则 的最大值是.
12.已知函数 如果函数 恰有三个不同的零点，那么实数 的取值范围是.
②当 时， ，所以-3=3，矛盾
③当 时， ，所以 ，所以
因为函数 是减函数，所以
综上所述，实数 的取值范围是
21．
【解析】（1）当 时， 是 上的S函数；当 时， 不是是 上的S函数；
（2）证明略， 最大值为
（3）证明略
上海2020-2021学年市西中学高三上学期期中仿真密卷
数学学科
（满分100分，考试时间100分钟）
一
1.集合 的真子集有个
2.命题“若实数 ” 是命题（填“真”或“假”）
3.某个时钟时针长6cm,则在本考场考试时间120分钟内，该时针扫过的面积是
4.设全集 则右图中阴影部分所表示的集合是
.
U
N M
2.
13.“函 数存在反函数”是“函数 在R上为单调函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要
14.若函数 （ ）
y y y
2 y 2
1 1
1 2 x 1 2 2 x
A B C D
15.在 中，角 所对的边分别为 给出四个命题：
（1）若
（2）若
（3）若 为等腰直角三角形；
（4）若 为正三角形；
2020-2021学年上海中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.若x，y，z为实数，则下列命题正确的是()A. 若x>y，则1x <1yB. 若x>y，则sinx>sinyC. 若x<y，则x2<y2D. 若x−yz2<0，则x<y 2.在等比数列{a n}中，a3=3，a6=6，则a9=()A. 19B. 112C. 9D. 123.已知且，且，那么函数的图象可能是()A. B.C. D.4.命题“存在x∈R，使得x2+2x<1”的否定是()A. 对任意x∈R，都有x2+2x>1B. 对任意x∈R，都有x2+2x≥1C. 存在x∈R，使得x2+2x>1D. 存在x∈R，使得x2+2x≥1二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设集合A={a,2a2}，B={1,a+b}，若A∩B={−1}，则实数b=______．6.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x对称，则g(3)=______．7.已知a=log132，b=(13)12，c=(23)12，则a，b，c大小关系为______．8.已知p：a−4<x<a+4，q：(x−2)(x−3)<0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是_____．9.若动直线与函数与的图像分别交于两点，则的最大值为．10. 某学校有一块面积为的锐角空地，欲修一个面积最大的内接矩形作为小运动场(如图所示)，已知，则小运动场的最大面积为 ． 11. 设全集U =R ，集合A ={x ｜x 2<1}，B ={x ｜x 2−2x >0)则A ∩(C R B )=________．12. 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ∗.若a 3=16，S 20=20，则S 10的值为 ．13. 已知集合A ={x|x ≥4或x <−5}，B ={x|a +1≤x ≤a +3,a ∈R}，若B ⊆A ，则a 的取值范围为______．14. 已知函数f(x)={log 2x,0<x <2(23)x +59,x ≥2.若函数g(x)=f(x)−k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是______．15. 从数列{12n }(n ∈N ∗)中可以找出无限项构成一个新的等比数列{b n }，使得该新数列的各项和为17，则此数列{b n }的通项公式为______．16. 已知函数f(x)=|x 2−1|，g(x)=x 2+ax +2，x ∈R ，若函数ℎ(x)=f(x)+g(x)+2在(0,2)上有两个不同的零点x 1，x 2，则a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 设0<x 1<x 2<π2．(Ⅰ)证明：x 1>sinx 1(Ⅱ)x 1sinx 2cosx 1>x 2sinx 1cosx 2．18. 已知函数f(x)=|x −1|−2|x +a|．(Ⅰ)当a =3时，求不等式f(x)>2的解集；(Ⅱ)若f(x)+x +1≤0的解集为A ，且[−2,−1]⊆A ，求a 的取值范围．19. 若为正实数且满足． (1)求的最大值为；(2)求的最大值．20. 已知f 1(x)=|3x −1|，f 2(x)=|a ⋅3x −9|(a >0)，x ∈R ，且f(x)={f 1(x),f 1(x)≤f 2(x)f 2(x),f 1(x)>f 2(x)． (1)当a =1时，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，若方程f(x)−m =0有4个不等的实根，求实数m 的范围；(3)当2≤a <9时，设f(x)=f 2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间[m,n]的长度定义为n −m)，试求l 的最大值．21. 已知数列g(x)的前n 项和为(t,3)，a 1=12,S n =n 2a n −n(n −1)，n =1，2，…．(Ⅰ)证明：数列{n+1n S n }是等差数列，并求S n ； (Ⅱ)设b n =S n n 3+3n 2，求证：b 1+b 2+⋯+b n <512．【答案与解析】1.答案：D解析：解：对于选项A：x=1，y=0，故1y没意义，故错误．对于选项B：x=2π，y=π2，所以sin2π=0<sinπ2=1，故错误．对于选项C：x=−2，y=−1，则x2>y2，故错误．对于选项D：x−yz2<0，所以x<y，故正确．故选：D．直接利用不等式的性质的应用和三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2.答案：D解析：解：根据题意，在等比数列{a n}中，a3=3，a6=6，则有(a6)2=a3×a9，变形可得a9=(a6)2a3=363=12；故选：D．根据题意，由等比中项的性质可得(a6)2=a3×a9，变形计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比中项的定义，属于基础题．3.答案：A解析：由得到，函数过点(0,1)且单调递减，故选A．4.答案：B解析：解：命题为特称命题，则命题的否定为对任意x∈R，都有x2+2x≥1，故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.答案：0解析：解：∵A∩B={−1}，∴−1∈A，−1∈B，∴{a=−1a+b=−1，解得b=0．故答案为：0．根据A ∩B ={−1}，得到关于a ，b 的方程组，解出即可．本题考查了集合的交集的运算，考查对应思想，是一道基础题．6.答案：2解析：解：∵函数g(x)的图象与函数f(x)=log 2(3x −1)的图象关于直线y =x 对称， ∴对于函数f(x)=log 2(3x −1)，令f(x)=3得：log 2(3x −1)=3，∴3x −1=23=8，∴x =2，∴f(2)=3，即g(3)=2，故答案为：2．利用反函数的定义f(x)=3得x =2，所以f(2)=3，即g(3)=2．本题主要考查了反函数的定义及其性质，是基础题．7.答案：c >b >a解析：解：∵a =log 132<log 131=0， 又∵函数y =x 12在(0,+∞)是增函数，∴(23)12>(13)12>0．所以，c >b >a ．故答案为c >b >a ．由对数式的运算性质得到a <0，由幂函数的单调性得到c >b >0，所以答案可求． 本题考查了对数式的运算性质，考查了幂函数的性质，是基础的不等式大小比较问题． 8.答案：[−1,6]解析：解：p ：a −4<x <a +4，q ：(x −2)(x −3)<0⇔2<x <3．又¬p 是¬q 的充分条件，即¬p ⇒¬q ，它的等价命题是q ⇒p ．所以{a −4≤2a +4≥3，解得−1≤a ≤6， 故答案为[−1,6]．解出p ，q 所对应的x 的范围，根据包含关系得出结论．若A ={x|x 满足条件p}，B ={x|x 满足条件q}：①A ⊊B ，则p 是q 的充分不必要条件；②A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A =B ，则p 是q 的充要条件．。
上海2020-2021学年市西中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)参考答案
第1页，共2页上海精锐2020-2021学年市西中学高三上学期期中仿真密卷数学学科参考答案一、填空题（本大题共有 12 小题，1-6每题4分，7-12每题5分共 54 分）1． 7 2．真 3．６π 4．[]2,0 5． -1 6．(]1-，∞ 7．238．()+∞⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡,2131， 9．()()∞+⋃∞，，31-- 10．4 11.33 12.⎥⎦⎤ ⎝⎛151-171-，二、选择题（本大题共有 4 小题，每题5分，共 20分）13．B 14．A 15．B 16．C三、解答题（本大题共7小题，17-19题每题14分，20题每题16分，21题18分，共76分）17．解：【解析】（1）易得24sin 225α=，7cos 225α=- 从而1sin 2cos 2αα+=-7； （2）56cos cos()65βαβα=+-=-，33sin 65β= 则5633(,)6565B -18.解：(1)【解析】（1）在Rt ABC ∆中，=2AB BC =，30C ∠=︒，在PAB ∆中=1PC BC =，，由余弦定理可得：2222cos30BP BC PC BC PC =+-︒(221212=+-⨯⨯，PB （2）在Rt ABC ∆中，=2AB BC =，4AC ==.设甲出发后的时间为t 小时，则由题意可知04t ≤≤， 设甲在线段CA 上的位置为点M ，则=4-AM t ①当01t ≤<时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，则=2AQ t ，如图所示，在AMQ ∆中，由余弦定理得()()()222242224cos6071679MQ t t t t t t =-+-⨯⨯-︒=-+>，解得t <或t >，所以0t ≤<. ②当14t ≤≤时，乙在值班室B 处，在ABM ∆中，由余弦定理得：()()22244224cos606129MB t t t t t =-+-⨯⨯-︒=-+>，解得3t <或3t >，又14t ≤≤，不合题意舍去.综上所述0t ≤<时，甲乙间的距离大于3小时. 19.解：【解析】（1）22222222()()x y a b a b a b-=--第2页，共2页22222222222()2()b a x y x y a bx y xy x y =+-+≤+-=- 等式成立当且仅当22||||b x a y =.（2）注意到2321112x x ---=，由（1）2211(())122f x =≥-= 故函数值域为[)2+∞20.解：【参考答案】（1）由()()f x f x -=-00()()f x f x -=-,M 类函数”(2)因为()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“M 类函数”，所以存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，即方程2220x x m -++=在[]1,1-上有解令12,22x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,则11()2m t t =-+,因为11()()2g t t t =-+在1[,1]2上递增,在[1,2]上递减所以当12t =或2t =时，m 取最小值54- （3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m <因为若22,2log (2)(),23x x mx f x x ⎧-⎪=⎨<-⎪⎩≥为其定义域上的“M 类函数”所以存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-①当02x ≥时，02x -≤-，所以22003log (2)x mx -=--，所以00142m x x =- 因为函数14(2)2y x x x=-≥是增函数，所以1m ≥- ②当022x -<<时，022x -<-<，所以-3=3，矛盾③当02x ≤-时，02x -≥，所以2200log (2)3x mx +=，所以00142m x x =-+ 因为函数14(2)2y x x x=-+≤-是减函数，所以1m ≥- 综上所述，实数m 的取值范围是[1,1)- 21．【解析】（1）当1a >时，()f x 是(0,)+∞上的S 函数；当01a <<时，()f x 不是是(0,)+∞上的S 函数；（2）证明略，sin sin sin A B C ++最大值为2（3）证明略。
2020-2021上海市南中学高三数学上期中试题及答案
2020-2021上海市南中学高三数学上期中试题及答案一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD． 3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或5 5．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．166．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B．()-+∞C ．[)3,-+∞D．)⎡-+∞⎣7．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．28．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B相距，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km9．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5210．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6612．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，3a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒ D ．60B =︒二、填空题13．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n nn a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________14．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）15．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 16．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．17．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； a b 2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 18．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得1=，则14m n+的最小值为__________． 19．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．20．已知数列{}n a的通项n a =15项的和等于_______.三、解答题21．已知函数()cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 22．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.23．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积； （2）若ABC Va ，c . 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,ab c，已知222,3A b c a π=+=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ）143a a ⨯=33，即4a +13a ≤-433 故1212a x x x x ++的最大值为433-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.3．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+，令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．5．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.6．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)22,⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.7．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.8．D【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)902603904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.9．B【解析】 【分析】设f （x ）1221x x=+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x +-）min ，由此可得实数m 的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．10．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q=++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.12．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin 2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.二、填空题13．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发 解析：20462047-【解析】 【分析】 对于()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...，，发现规律， 利用()()112121n n n n a b ++=--，求出10S .【详解】 由()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律， 利用()()112121n n nn a b ++=--，得b 1=-43，234510224694b =b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，， ，求出1020462047S =-. 故答案为20462047- 【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.14．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题 解析：128【解析】 【分析】由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求 【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴=故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题15．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角解析：14-【解析】在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故222132,3,cos .24a b c a b b c ab +-=∴===-故答案为：14-. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；17．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误解析：①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①：因为，，所以，所以，故①项正确； 对于②：左边平方可得：，所以，故②项错误； 而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；对于③：因为，由①知，所以，故③项正确；对于④：()3322()a b a b a ab b +=+-+22()3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故④项错误； 对于⑤1a +1a =a b ab +=2ab≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.18．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故 解析：116【解析】 【分析】由7652a a a =+求得2q =122m n a a a ⋅=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得14m n+的最小值. 【详解】设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+, 可得到6662a a q a q=+, 由于0n a >,所以21q q=+,解得2q =或1q =-. 因为各项全为正,所以2q =.由于存在两项,m n a a 122m n a a a ⋅=，所以,218m n a a a ⋅=,112211188m n m n a q a q a q --+-⋅=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.当1,4m n ==时,142m n+=; 当2,3m n ==时，14116m n +=； 当3,2m n ==时,1473m n +=;当4,1m n ==时,14174m n +=; 综上可得 14m n +的最小值为116, 故答案为116. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.19．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据解析：712[,]35【解析】 【分析】因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n nn b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】Q 1112222n n n n b b b H n-++++==L ,∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅L ,故2121()(22212)n nn b b n b n --⋅++=-≥+L ,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,则2(1)n b n =+,对1b 也成立,∴2(1)n b n =+,则()22n b kn k n -=-+,∴数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c .故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩,解得,71235k ≤≤,故答案为:712[,]35． 【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还 解析：3【解析】 【分析】将n a =15项的和. 【详解】利用分母有理化得na ===设数列{}n a 的前n项的和为n S ，所以前15项的和为：151215S a a a=+++L1=L1= 413=-= 即：153S =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前n 项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.三、解答题21．（1）[]1,2；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出6x π-的取值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数()y f x =在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）根据题中条件得出4sin sin 3A B +=，可得出4sin sin 3A B =-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，可求出1sin 13B ≤≤，利用正弦定理以及不等式的性质可得出sin 41sin 3sin a A b B B ==-的取值范围. 【详解】（1）()1cos 2cos 2sin cos cos sin 2266f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，5366x πππ∴≤-≤，则1sin 123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴≤≤，因此，函数()y f x =在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2； （2）78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，即()82sin 2sin 3A B π+=-，化简得4sin sin 3A B +=，4sin sin 3A B ∴=-， 由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，即40sin 130sin 1B B ⎧<-≤⎪⎨⎪<≤⎩，得1sin 13B ≤≤. 由正弦定理得4sin sin 4131,3sin sin 3sin 3Ba Ab B B B -⎡⎤===-∈⎢⎥⎣⎦.因此，a b 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题.22．（1）2n a n =；（2）21nn +. 【解析】 【分析】(1)直接根据累加法即可求得数列{}n a 的通项公式； (2)利用裂项相加即可得出数列{}n b 的前n 项和。
2020-2021上海中国中学高三数学上期中试题带答案
2020-2021上海中国中学高三数学上期中试题带答案一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A．10B．5CD6．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1407．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．218．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．510．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5211．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．3512．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4二、填空题13．设0,0,25x y x y >>+=，则xy的最小值为______.14．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．15．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．16．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____． 17．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________.18．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 19．不等式211x x --<的解集是 ． 20．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.23．已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .24．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ． 25．如图，Rt ABC V中，,1,2B AB BC π===点,M N 分别在边AB 和AC 上，将AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积， 26．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC Cπππ=-=-=-，那么，2222A B Cπ++=，矛盾，所以222A B C∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D【解析】【分析】要确定不等式组22yx yx yx y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出22yx yx y⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a值进行分类讨论，找出满足条件的实数a的取值范围．【详解】不等式组22yx yx y⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x yx y=⎧⎨+=⎩得22,33A⎛⎫⎪⎝⎭，由22yx y=⎧⎨+=⎩得()10B,．若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．3．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
2020-2021上海市西中学高一数学上期中模拟试卷带答案
B ． (0,1)C ． 0, ⎪D ． ,1⎪ 3．设 ,若 f (a ) = f (a +1) ,则 f (x ) = ⎨ f ⎪= （ ） ⎣ 2 ⎦B ．[-1,4]A ． ⎢0, ⎥⎦D ．-5,5[C ． ⎢ - , 2⎥ 7．函数 f ( x ) = 的大致图像是（）f (x )是奇函数且满足， f - x ⎪ = f ( x) ，f (-2) = -3 ，数 }满足 a = -1 ，且 S = 2a + n ，(其中 S 为 {a }的前 n 项和).则 f (a )+ f (a ) =2020-2021 上海市西中学高一数学上期中模拟试卷带答案一、选择题1．已知函数 f (x ) = ln (1 + x ) - ln (1 - x )，若实数 a 满足 f (a )+ f (1 - 2a ) > 0 ，则 a 的取值范围是（ ）A ． (-1,1)⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭⎛ 1 ⎫⎝ 2 ⎭2．设 a = 20.1 , b = ln 5 9 , c = log2 3 10，则 a, b , c 的大小关系是A ． a > b > cB ． a > c > bC ． b > a > cD ． b > c > a⎧⎪ x ,0 < x < 1 ⎪⎩ 2 (x - 1), x ≥ 1A ．2B ．4C ．6 4．函数 f (x ) = sin x - lg x 的零点个数为（ ）⎛ 1 ⎫ ⎝ a ⎭D ．8A ．0B ．1C ．2D ．35．三个数 a = 0.42 , b = log 0.4, c = 20.4 之间的大小关系是（ ）2A ． a < c < bB ． b < a < cC ． a < b < cD ． b < c < a6．已知函数 y=f （x ）定义域是[-2，3]，则 y=f （2x -1）的定义域是（）⎡ 5 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎣ 2]2x 2 + 3x2e xA ．B ．C ．D ．8．已知定义在 R 上的函数⎛ 3 ⎫ ⎝ 2 ⎭列 {an1 n n n n 5 6（） A ．3B ． -2C ． -3D ．29．已知 f ( x ) = lg(10 + x) + lg(10 - x) ，则 f ( x ) 是（）A ． f log ⎪ > f 2 2 ⎪ > f 2 3 ⎪3 4 ⎭ B ． f log ⎪ > f 2 3 ⎪ > f 2 2 ⎪ C ． f 2 2 ⎪ > f 2 3 ⎪ > f log 3 4 ⎭D ． f 2 3 ⎪ > f 2 2 ⎪ > f log 3 4⎭A ．偶函数，且在 (0,10) 是增函数 C ．偶函数，且在 (0,10) 是减函数B ．奇函数，且在 (0,10) 是增函数 D ．奇函数，且在 (0,10) 是减函数10．设 f (x )是定义域为 R 的偶函数，且在 (0, +∞ )单调递减，则（）⎛1 ⎫ ⎛ - 3 ⎫ ⎛ -2 ⎫ ⎝ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛⎝ 1 ⎫ ⎛ - 2 ⎫ ⎛ - 3 ⎫ 3 4 ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛-3⎫⎛- 2⎫⎛⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝1 ⎫⎪⎛- 2⎫⎛- 3⎫⎛⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝1 ⎫ ⎪11．函数 f (x ) = x 2 - 4x + 5 在区间 [0, m ]上的最大值为 5 ，最小值为1 ，则实数 m 的取值范围是（ ）A ． [2, +∞)B ． [2,4] C ． [0,4 ]D ． ( 2,4 ]12．设 a = 0.30.6 ， b = 0.60.3 ， c = 0.30.3 ，则 a ，b ，c 的大小关系为（）14．函数 f ( x ) = log x -1 的定义域为________．⎧ x + 1，x ≤ 0， 1⎩2x ，x > 0，⎨A ． b < a < cB ． a < c < bC ． b < c < aD ． c < b < a二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数 f(x)为奇函数，那么 a 的值为________.215．设函数 f ( x ) = ⎨ 则满足 f ( x ) + f ( x - ) > 1 的 x 的取值范围是2____________.16．若函数 f (x ) = ⎧- x + 6, x ≤ 2⎩3 + log a x, x > 2（ a > 0 且 a ≠ 1 ）的值域是 [ 4, +∞) ，则实数 a 的取值范围是__________．17．已知 f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当 x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数 g (x )＝x 2 －2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得 g (x 2)＝f (x 1)，则实数 m 的取值范围是 ______________.18．设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 y = f ( x ) 的图像关于直线 x =12f (1)+ f (2) + f (3) + f (4) + f (5) =．对称，则19．已知 3a 9a ⋅ 3b+ b = 1 ，则2 3a= __________.20．用 min {a, b , c }表示 a, b , c 三个数中最小值，则函数 f ( x ) = min {4x +1, x + 4, - x + 8}(3)若 f (1) = 2 ,且关于 x 的不等式 f (ax - 2)+ f x - x 2 < 3 对任意的 x ∈ [1, +∞) 恒成立,f ( x ) = ⎨ ⎪ 601x +. ⎛ 1 ⎫ ( 26．已知函数 f (x ) = log (x - 1) 的定义域为集合 A ，函数 g ( x) = ⎪ -1 ≤ x ≤ 0) 的值⎝ 2 ⎭的最大值是．三、解答题21．已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ) - f ( x + 1) = -2 x 且 f (0) = 1 .（1）求 f ( x ) 的解析式；（2）当 x ∈[-1,1]时，不等式 f ( x ) > 2x + m 恒成立，求实数 m 的取值范围. 22．已知函数 f (x ) = lg (2 + x )+ lg (2 - x ). （1）求函数 f (x )的定义域；（2）若不等式 f ( x ) > m 有解，求实数 m 的取值范围.23．已知函数 f (x )对任意的实数 m ,n 都有 f (m + n ) = f (m )+ f (n )-1 ,且当 x > 0 时,有f (x ) > 1 .(1)求 f (0);(2)求证: f (x )在 R 上为增函数;( )求实数 a 的取值范围.24．2019 年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分 析，全年需投入固定成本 3000 万元，每生产 x （百辆），需另投入成本 f ( x ) 万元，且⎧10 x 2 + 200 x ,0 < x < 50⎪10000- 9000, x ≥ 50 ⎩ x，由市场调研知，每辆车售价 6 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出 2019 年的利润 L (x )（万元）关于年产量 x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额 - 成本）（2）2019 年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润 25．已知幂函数 f ( x ) = (m 2 - 2m - 2)x m 2-4m +2 在 (0, +∞ ) 上单调递减. （1）求 m 的值并写出 f ( x ) 的解析式；（2）试判断是否存在 a > 0 ，使得函数 g ( x ) = (2a - 1)x -a f ( x )+ 1在 [-1,2] 上的值域为[-4,11]？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由.x 2域为集合 B . （1）求 A I B ；（2）若集合 C = {x a ≤ x ≤ 2a - 1}，且 C U B = B ，求实数 a 的取值范围.f (x ) = ln (1 + x )- ln (1 - x )，有 ⎨ 所以， ⎨-1 < 1 - 2a < 1 ，解得 0 < a < 1 . ⎪a > 2a - 1【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】求出函数 y = f (x )的定义域，分析函数 y = f (x )的单调性与奇偶性，将所求不等式变形 为 f (a ) > f (2a -1)，然后利用函数 y = f (x )的单调性与定义域可得出关于实数 a 的不等式组，即可解得实数 a 的取值范围. 【详解】对于函数 ⎧1 + x > 0⎩1 - x > 0，解得 -1 < x < 1 ，则函数 y = f (x )的定义域为 (-1,1) ，定义域关于原点对称，f (- x ) = ln (1 - x )- ln (1 + x ) = - f (x )，所以，函数 y = f (x )为奇函数，由于函数 y = ln (1 + x )在区间 (-1,1) 上为增函数，函数 y = ln (1 - x )在区间 (-1,1) 上为12减函数，所以，函数 f (x ) = ln (1 + x )- ln (1 - x )在 (-1,1) 上为增函数， 由 f (a )+ f (1 - 2a ) > 0 得 f (a ) > - f (1 - 2a ) = f (2a -1)，⎧-1 < a < 1⎪⎩因此，实数 a 的取值范围是 (0,1) .故选：B.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.2．A解析：A 【解析】试题分析：，，即，f ⎪=f(4)=2(4-1)=6,故选C.,，．考点：函数的比较大小．3．C解析：C【解析】由x≥1时f(x)=2(x-1)是增函数可知,若a≥1,则f(a)≠f(a+1),所以0<a<1,由f(a)=f(a+1)得a=2(a+1-1),解得a=14,则⎛1⎫⎝a⎭【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．D解析：D【解析】【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案.【详解】如图所示：画出函数y=sin x和y=lg x的图像，共有3个交点.当x>10时，lg x>1≥sin x，故不存在交点.故选：D.【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.5．B解析：B【解析】Q0<0.42<1,log0.40,20.41,∴0<a<1,b0,c1,∴b<a<c，故选B.26．C即函数的定义域为 ⎢- , 2⎥ ，f - x ⎪ = f (x )可知该函数是周期为T = 3的奇函数， ( ) 6解析：C【解析】∵函数 y =f(x)定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3，解得− 12⩽x ⩽2，⎡ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎦本题选择 C 选项.7．B解析：B【解析】由 f (x )的解析式知仅有两个零点 x = - 3 与 x = 0 ，而 A 中有三个零点，所以排除 A ，又2f ' (x ) =8．A解析：A【解析】-2 x2 + x +3 ，由 f ' (x ) = 0 知函数有两个极值点，排除 C ，D ，故选 B ．2e x由奇函数满足⎛ 3 ⎫ ⎝ 2 ⎭由递推关系可得： S n = 2a n + n, S n +1 = 2a n -1 + n - 1 , 两式做差有： a n = 2a n - 2an -1 - 1，即 (a n -1) = 2 (a n -1-1)，即数列 {a n -1}构成首项为 a 1 - 1 = -2 ，公比为 q = 2 的等比数列，故： a -1 = (-2)⨯ 2n -1,∴ a = -2n + 1 ，综上有：nnf (a ) = f -25 + 1 = f (-31) = f (2 ) = - f (-2 ) = 3 ，5f (a ) = f (-2+ 1)= f (-63) = f (0 ) = 0 ， 6则： f (a 5 )+ f (a ) = 3 . 6本题选择 A 选项.9．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调 判断其单调性，从而可得结论.【详解】( )由已知函数为偶函数，把 f log ⎪ , f 2 2 ⎪ , f 2 3 ⎪ ，转化为同一个单调区间上，再3 4 ⎭ ⎝ Q f (x ) 是 R 的偶函数，∴ f log ⎪ = f (log 3 4 ) ． 2-> 2 ,∴ l og 4 > 2> 2 ，> 23∴ f (log 4) < f 2 3 ⎪ < f 2-2 ⎪ ， ⎝ ⎭⎝ ⎭ ∴ f 2 2 ⎪ > f 2 3 ⎪ > f log 34 ⎭⎧10 + x > 0 由 ⎨ ，得 x ∈ (-10,10) ，⎩10 - x > 0故函数 f (x )的定义域为 (-10,10) ，关于原点对称，又 f (- x ) = lg (10 - x )+ lg(10+ x) = f ( x ) ，故函数 f (x )为偶函数，而 f (x ) = lg(10 + x) + lg(10 - x) = lg 100 - x 2 ，因为函数 y = 100 - x 2在 (0,10 ) 上单调递减， y = lg x 在 (0, +∞ )上单调递增， 故函数 f (x )在 (0,10 ) 上单调递减，故选 C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法 有：（1）直接法， f (- x ) = ± f (x )(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，f (- x )± f (x ) = 0 （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，f (- x )f (x ) = ±1（1为偶函数， -1 为奇函数） .10．C解析：C 【解析】 【分析】⎛1 ⎫ ⎛ - 3 ⎫ ⎛ -2 ⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭比较大小．【详解】⎛ ⎝1 ⎫ 3 4 ⎭33Q log 4 > log 3 = 1,1 = 20 -2 - 332 3 - 3 2又 f (x )在(0，+∞)单调递减，⎛ - 2⎫ ⎛ 3⎫ 3⎛-3⎫⎛- 2 ⎫⎛⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝1⎫⎪，故选C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．11．B解析：B【解析】【分析】由函数的解析式可得函数f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5，结合题意求得m的范围．【详解】∵函数f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5．且f（x）＝x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，∴实数m的取值范围是[2，4]，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．12．B解析：B【解析】【分析】根据指数函数的单调性得出0.30.6<0.30.3，而根据幂函数的单调性得出0.30.3<0.60.3，从而得出a，b，c的大小关系．【详解】解：Q y=0.3x在定义域上单调递减，且0.3<0.6，∴0.30.6<0.30.3，又∴y=x0.3在定义域上单调递增，且0.3<0.6，∴0.30.3<0.60.3，∴0.30.6<0.30.3<0.60.3，∴a<c<b故选：B．【点睛】考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a＝－5∴a＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】∵f(x)定义域为[3＋a，5]，且为奇函数，∴3＋a＝－5，∴a＝－8.. .时，2x+2x-12>1恒成立，即x>点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域详解：要使函数f(x)有意义，则log2x-1≥0，解得x≥2，即函数f(x)的定义域为[2,+∞).点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题15．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注1解析：(-,+∞)4【解析】由题意得：当x>111；当0<x≤222时，1111 2x+x-+1>1恒成立，即0<x≤；当x≤0时，x+1+x-+1>1⇒x>-，2224即-11<x≤0.综上，x的取值范围是(-,+∞). 44【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.16．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数解析：(1,2]【解析】试题分析：由于函数f (x)={-x+6,x≤2(a>0,a≠1)的值域是[4,+∞)，故当x≤2 3+log x,x>2a时，满足f(x)=6-x≥4，当x>2时，由f(x)=3+log a x≥4，所以log a x≥1，所由题意可得： 9a 3b以 log a 2 ≥ 1 ⇒ 1 < a < 2 ，所以实数 a 的取值范围1 < a ≤ 2 . 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考 查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当 x > 2 时，由 f (x ) ≥ 4 ，得log x ≥ 1 ，即 log 2 ≥ 1 ，即可求解实数 a 的取值范围.aa17．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22 上 f(x)的值域 A 为 g(x)的值域 B 的子集易得 A ＝－33B ＝m －18＋m 从而解得－5≤m≤解析：[－5,－2].【解析】分析：求出函数 f (x )的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论.详解：由题意得：在[－2,2]上 f (x )的值域 A 为 g (x )的值域 B 的子集.易得 A ＝[－3,3]，B ＝[m －1,8＋m ]，从而解得－5≤m ≤－2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.18．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以 所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0【解析】试题分析： y = f ( x ) 的图像关于直线 x = 1 2对称，所以 f ( x ) = f (1- x) ，又 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f (5) = f (1- 5) = f (-4) = - f (4) ，f (3) = f (1- 3) = f (-2) = - f (2) ， f (1) = f (1- 1) = f (0) = 0 ，所以f (1)+ f (2) + f (3) + f (4) + f (5) = 0 .考点：函数图象的中心对称和轴对称.19．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详 解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知 识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3【解析】 【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可. 【详解】1 3 3a = 32a +b - 2a = 32a +b = 31 = 3 .min，min即可.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考 点：分段函数的最值问题解析：6【解析】试题分析：由 4 x + 1 > x + 4,4 x + 1 > - x + 8, x + 4 > - x + 8 分别解得 x > 1, x > 1.4, x > 2 ，- x + 8, x ≥ 2则函数 f (x ) = {x + 4,1 < x < 24x + 1, x ≤ 1则可知当 x = 2 时，函数 f ( x ) = min {4x +1, x + 4, -x + 8}取得最大值为 6考点：分段函数的最值问题三、解答题21．（1） f ( x ) = x 2 - x + 1 （2） m < -1【解析】【分析】（1）设 f ( x ) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ，带入 f ( x ) - f ( x + 1) = -2 x 和 f (0) = 1 ，即可求出a ，b ，c 的值.（2）首先将题意转化为 x ∈[-1,1]时， x 2 - 3x + 1 > m 恒成立，再求出 ( x 2 - 3x + 1)m < ( x 2- 3x + 1)【详解】（1）设 f ( x ) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ，则 f ( x ) - f ( x + 1) = ax 2 + bx - a( x + 1)2 - b ( x + 1) = -2ax - a - b ，所以 -2ax - a - b = -2x ，解得： a = 1 ， b = -1 .又 f (0) = c = 1 ，所以 f ( x ) = x 2 - x + 1 .（2）当 x ∈[-1,1]时， f ( x ) > 2x + m 恒成立， 即当 x ∈[-1,1]时， x 2 - 3x + 1 > m 恒成立.设 g ( x ) = x 2 - 3x + 1 ， x ∈[-1,1].则 g ( x)min = g (1) = -1 ，∴ m < -1 . 【点睛】本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.试题分析：（1）由对数有意义，得 {2 + x > 0 试题解析：（1） x 须满足{ ()(3)化简得到 f ax - 2 + x - x 2 < f (1)，根据函数的单调性得到 x 2 - (a + 1)x + 3 > 0 对任( ) ( )22．（1） (-2,2) ；（2） m < lg 4 ． 【解析】2 - x > 0可求定义域；（2）不等式 f ( x) > m 有解⇔ m < f ( x )max，由 0 < 4 - x 2 ≤ 4 ，可得 f ( x ) 的最大值为 lg 4 ，所以 m < lg 4 ．2 + x > 02 - x > 0，∴ -2 < x < 2 ，∴所求函数的定义域为 (-2,2) .（2）∵不等式 f ( x) > m 有解，∴ m < f ( x)maxf (x ) = lg (2 + x )+ lg (2 - x )= lg(4 - x 2 )令 t = 4 - x 2，由于 -2 < x < 2 ，∴ 0 < t ≤ 4∴ f ( x ) 的最大值为 lg 4. ∴实数 m 的取值范围为 m < lg 4 .考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题．23．(1)1 (2)见解析(3) -∞, 2 3 -1【解析】【分析】(1) 令 m = n = 0 ，代入计算得到答案.(2) 任取 x ， x ∈ R ，且 x < x ，计算得到 f (x12122) = f (x2- x )+ f (x )-1 > f (x ) 得到1 1 1证明.()意的 x ∈[1,+∞]恒成立，讨论 a + 1 a + 1≤ 1 和 > 1 两种情况计算得到答案.2 2【详解】(1)令 m = n = 0 ，则 f (0) = 2 f (0)-1 ∴ f (0) = 1 .(2)任取 x ， x ∈ R ，且 x < x ，则 x - x > 0 ， f (x - x ) > 1 .1 2 1 2 2 1 2 1Q f (m + n ) = f (m )+ f (n )-1，∴ f (x 2) = f ⎡⎣(x 2 - x 1 )+ x 1 ⎤⎦ = f (x 2 - x 1 )+ f (x 1 )- 1 > 1 + f (x 1 )- 1 = f (x 1 ) ，∴ f (x ) > f (x )∴ f (x ) 在 R 上为增函数.21(3)Q f (ax - 2)+ f x - x 2 <3 ，即 f (ax - 2)+ f x - x 2 - 1 < 2 ，∴ f (ax - 2 + x - x 2)< 2 Q f (1) = 2 ∴ f (ax - 2 + x - x 2)< f (1) .又Q f (x ) 在 R 上为增函数∴ ax - 2 + x - x 2 < 1 ，∴ x 2 - (a + 1)x + 3 > 0 对任意的 x ∈[1,+∞]恒成立.当 a + 1> 1 ，即 a > 1 时， g (x )min = g g ⎪> 0 得 2⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ()24．（1） L (x ) = ⎨ - x - + 6000, x ≥ 50 x ⎩当 x ≥ 50 时， L (x ) = 600 x - (601x + 10000 . L (x ) = ⎨ ⎪ - x -令 g (x ) = x 2 - (a + 1)x + 3(x ≥ 1)，只需满足 g (x )min> 0 即可当 a + 1≤ 1 ，即 a ≤ 1 时， g (x )在 [1,+∞) 上递增，因此 g (x ) = g (1)，2min 由 g (1) > 0 得 a < 3 ，此时 a ≤ 1 ；⎛ a + 1 ⎫ ⎛ a + 1 ⎫ ⎪ ，由-2 3 - 1 < a < 2 3 - 1 ，此时1 < a < 2 3 - 1 .综上，实数 a 的取值范围为 -∞, 2 3 - 1 .【点睛】本题考查了抽象函数的函数值，单调性，不等式恒成立问题，意在考查学生的综合应用能 力.⎧-10 x 2 + 400 x - 3000,0 < x < 50⎪10000⎪；（2）2019 年年产量为 100 百辆时，企业所获利润最大，最大利润为 5800 万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当 0 < x < 50 时，当 x ≥ 50 时，求函数解析式即可；（2）当 0 < x < 50 时，利用配方法求二次函数的最大值，当 x ≥ 50 时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可【详解】解：（1）由已知有当 0 < x < 50 时，L (x ) = 600x - (10x 2 + 200x) - 3000 = -10x 2 + 400x - 300010000- 9000) - 3000 = - x - + 6000 ，x x即 ⎧-10 x 2 + 400 x - 3000,0 < x < 50 ⎪ 10000+ 6000, x ≥ 50 ⎩ x，（2）当 0 < x < 50 时， L (x ) = -10x 2 + 400x - 3000 = -10(x - 20)2 + 1000 ， 当 x = 20 时， L (x )取最大值1000 ，当 x ≥ 50 时， L (x ) = - x -10000 10000+ 6000 ≤ -2 x ⨯ + 6000 = 5800 ， x x当且仅当 x =10000 x，即 x = 100 时取等号，又 5800 > 1000故 2019 年年产量为 100 百辆时，企业所获利润最大，最大利润为 5800 万元.. m 2 - 4m + 2 < 0,所以 ⎨⇒⎨ ⇒ a = 6 ； g (2) = 11, 2a - 2 + 1 = 11,所以 ⎨⎧ g (-1) = 11, {2}；（2） ⎛ -∞, 3 ⎤⎥ .（1）要使函数 f (x ) = log (x - 1) 有意义，则 l og【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题 25．（1） f ( x ) = x -1 ；（2）存在， a = 6 . 【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于 m 的方程与不等式；（2）由（1）得 f ( x ) = x -1 ，从而得到 g ( x ) = (a - 1)x + 1 ，再对 a - 1 的取值进行分类讨论. 【详解】（1）因为幂函数 f ( x ) = (m 2 - 2m - 2)x m 2-4m +2 在 (0, +∞ ) 上单调递减，⎧m 2 - 2m - 2 = 1,所以 ⎨⎩ 解得： m = 3 或 m = -1（舍去），所以 f ( x ) = x -1 .（2）由（1）得 f ( x ) = x -1 ，所以 g ( x ) = (a - 1)x + 1 ，假设存在 a > 0 使得命题成立，则当 a -1 > 0 时，即 a > 1 ， g ( x ) 在 [-1,2] 单调递增，⎧ g (-1) = -4, ⎧1 - a + 1 = -4,⎩ ⎩ 当 a -1 = 0 ，即 a = 1 ， g ( x ) = 1 显然不成立；当 a -1 < 0 ，即 a < 1 ， g ( x ) 在 [-1,2] 单调递减，⎧1 - a + 1 = 11,⇒⎨⎩ g (2)= -4, ⎩2a - 2 + 1 = -4,a 无解；综上所述：存在 a = 6 使命题成立.【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查 逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单 调性为分类标准.26．（1）⎝ 2 ⎦【解析】【分析】（1）求出集合 A 、 B ，然后利用交集的定义可求出 A I B ；（2）由 C U B = B ，可得出 C ⊆ B ，然后分 C = ∅ 和 C ≠ ∅ 两种情况讨论，结合 C ⊆ B 得出关于实数 a 的不等式组，解出即可.【详解】22(x -1) ≥ 0 ，得 x -1 ≥ 1 ，解得 x ≥ 2 ，对于函数 g (x ) =琪 桫2，该函数为减函数，Q -1 ≤ x ≤ 0 ，则1 ≤ ⎪ ≤ 2 ，即 1 综上所述，实数 a 的取值范围为 -∞, ⎦ .∴ A = [2, +∞).骣 琪x ⎛ 1 ⎫ x ⎝ 2 ⎭1 ≤ g (x ) ≤2 ，∴ B = [1,2 ]，因此， A ⋂ B = {2}；（2）Q C U B = B ，∴C ⊆ B .当 2a -1 < a 时，即当 a < 1 时， C = ∅ ，满足条件；⎧a ≥ 1 3当 2a -1 ≥ a 时，即 a ≥ 1 时，要使 C ⊆ B ，则 ⎨ ，解得1 ≤ a ≤ .⎩2a -1 ≤ 2 2⎛⎝3 ⎤ 2 ⎥.【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，涉及了对数函数的定义域以及指数函数的值域问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题。
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2020-2021上海市西初级中学高三数学上期中试题(及答案)一、选择题1．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--2．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．15．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．166．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．37．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）8．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +9．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞10．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．511．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．2312．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．2二、填空题13．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．14．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.15．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 16．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．18．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．19．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________． 20．在中，若，则__________．三、解答题21．在ABC V 中，3B π∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．从①21sin A =， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．22．已知函数()3sin cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．()1求C ；()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V24．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.25．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=．（1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积．26．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.2．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，212(2)5(2)5922x x x x -++≥-⋅=--Q ，当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.6．A解析：A【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩.所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.7．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。