2017届湖南师大附中高三上学期第三次月考试题 数学(理)

2017届湖南师大附中高三上学期第三次月考试题 数学（理）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2|log 1,|2,0x A x x B y y x =<==≥，则A B = （ ） A ．∅ B ．{}|1x 2x << C ．{}|1x 2x ≤< D ．{}|1x 2x <≤2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 3. 已知命题():,0,23xxp x ∃∈-∞<；命题:0,,sin 2q x x x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧D ．()p q ∧4. 某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A ．ˆ0.7 2.05yx =+ B ．ˆ0.71y x =+ C ．ˆ0.70.35y x =+ D ．ˆ0.70.45y x =+ 5.已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-的值为（ ） A ．2425 B ．725 C ．725- D ．2425- 6.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．37.已知0a >，则821a a ++的最小值为（ ）A ．B ．4C ．52D ．728.已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c a b --=，则c 的范围为( )A ．1,1⎡+⎣B ．22⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣9.已知两定点()1,0A -和()1,0B ，动点(),P x y 在直线:y x 3l =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A ．B C D 10.已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是( )A 34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D ．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.定义{}()()max ,a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，已知实数,x y 满足2,2x y ≤≤，设{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围是( )A ．[]7,10-B ．[]6,10-C ．[]6,8-D ．[]7,8-12. 将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录()k k n ≤个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序．若某圆的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．“3阶魅力圆” 中最多可有的等分点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分 .13.如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于___________.14.若()5234501234512x a a x a x a x a x a x +=+++++，则135a a a ++=__________. 15.对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”.设2122n n tn nb t --=-，若数列()*567,,,,5,n b b b b n n N ≥∈ 是“减差数列”，则实数t 的取值范围是_________.16. 如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力123,,F F F ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且123F F F ==.要提起这块钢板，123,,F F F 均要大于xkg ，则x 的最小值为__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且02,60c C ==． （1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0.4.1（单位：米）． （1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元，从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a 的值． 19.（本小题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中12,AB AA ==D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上．（1）当1:1:2AE EA =时，求证：1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60°？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由． 20.（本小题满分12分）如图，抛物线21:8C y x =与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．（1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆()22:21N x y -+=．已知点(P ，过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．试探索st是否为定值？请说明理由． 21.（本小题满分12分）设函数()()3211,,,032f x ax bx cx a b c R a =++∈≠的图象在点()(),x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数()()12g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①()10k -=；②对一切实数x ，不等式()21122k x x ≤+恒成立．（1）求函数()k x 的表达式；（2）设函数()()()()212ln 230f x h x x m x x x=-++>的两个极值点()1212,x x x x <恰为()2ln x x sx tx ϕ=--的零点．当m ≥时，求()12122x x y x x ϕ+⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的最小值． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在同一坐标系下，曲线12,C C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设对于任意实数x ， 不等式71x x m ++-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：32212x x m --≤-．参考答案一、选择题二、填空题 13.512 14．122 15．3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．10 三、解答题又a b ab +=，所以()2340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．10分所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯=．．．．．．．．．．．．．．12分 18．解析：（1）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3，3.6和4.5，3.8和4.5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5米”为事件A ，则()26331155P A C ===，所以()()141155P A P A =-=-=，故所求的概率为45．．．．．．．6分 （2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2,10,20a a +．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分其中()()()11224422266611862,10,20151515C C C P a P a P C C C ξξξ====+=====．．．．．．．． 10分所以()186240210201515153a E a a ξ+=⨯++⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．11分 令240183a +=，得7a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）证明：连接1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC ∆为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因为11:1:2,2,AE EA AB AA ===1AE AD ==， 所以在Rt ADE ∆中，030ADE ∠=，在1Rt DCC ∆中，0160C DC ∠=，所以0190EDC ∠=，即1DE DC ⊥． 又1BD DC D = ，所以DE ⊥平面11,BDC BC ⊂面1BDC ，所以1DE BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．6分（2）假设存在点E 满足条件，设AE m =，取11A C 的中点1D ，连接1DD ，则1DD ⊥平面ABC ， 所以11,DD AD DD BD ⊥⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分分别以1DA DB DD 、、所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 则()()()1,0,0,,1,0,A B E m ，所以()()()(),1,0,,,0,0,DB DE m AB AE m ===-=，设平面DBE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1111100,00n DB n DE x mz ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨=+=⎪⎪⎩⎩，令11z =，得()1,0,1n m =-， 同理，平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2222200,00n AB x n AE mz ⎧⎧=-+=⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，取21y =，∴)2n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴011cos ,cos 602n ==，解得m =<，故存在点E，当AE =时，二面角D BE A --等于60°．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解析：（1）∵抛物线21:8C y x =的焦点为()22,0F ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴双曲线2C 的焦点为()()122,02,0F F -、． 设()00,A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =， 由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =．∴2083y =⨯，∴0y =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分7=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2752a =-=，∴1a =．．．．．．．．．．．．5分∴双曲线的方程为：2213y x -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）st为定值，下面给出说明： 设圆M 的方程为：()2222x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：y =，∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M的半径为2r ==．．．．．．．．．．．7分 故圆()22:23M x y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 依题意12l l 、的斜率存在且均不为零，所以设1l 的方程为()1y k x -=-，即0kx y k -+-=， 设2l 的方程为()11y x k=--，即10x ky +--=， ∴点M 到直线1l 的距离为1d N到直线2l 的距离为2d =，．．．．．．．．．．9分∴直线1l 被圆M截得的弦长s ==．．．．．．．．．．．．10分 直线2l 被圆N截得的弦长t ==，．．．．．．．．．．．．．11分∴s t===，故st为定值．．．．．．．．．．．．12分21．解析：（1）由已知可得()()2k x f x ax bx c '==++，∵函数()()12g x k x x =-为偶函数， ∴()()()()1122g x k x x k x x -=---=-，即221122ax bx c x ax bx c x -++=++-恒成立，∴12b =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又()10k -=，∴110,22a c a c -+=+=，又因为对一切实数x ，不等式()21122k x x ≤+恒成立，∴21110222a x x c ⎛⎫-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立， ∴10211140422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，∴14a c ==，∴()2111424k x x x =++．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）得，()321111244f x x x x =++，∴()()()()222122ln 320,22x mx h x x x mx x h x x m x x-+'=++->=+-=．．．．．．．．5分由题意得21212401m x x m x x ⎧∆=->⎪+=⎨⎪=⎩，又m ≥，∴()21221292x x m x x +=≥ ， 解得12102x x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()1212,x x x x <为()2ln x x sx tx ϕ=--的零点，∴()()2211112222ln 0,ln 0x x sx tx x x sx tx ϕϕ=--==--=，两式相减得，()()()11212122ln0x s x x x x t x x x --+--=， 又()12x sx t x ϕ'=--，从而()()()()12121212121212222x x x x y x x x x s x x t x x x x ϕ-⎡⎤+⎛⎫'=-=--+-=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦1211122221ln ln 1x x x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-+．设12102x n n x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则()()1212211lnn 0212n x x y x x n n ϕ-+⎛⎫⎛⎫'=-=-<≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭记为()M n ．．．．10分 ()()()()()()22211112011n n n M n n n n n +----'=-=<++，∴()M n 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 12ln 223M n M ⎛⎫==-⎪⎝⎭， 故()12122x x y x x ϕ+⎛⎫'=-⎪⎝⎭的最小值为2123n -．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）由2x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）得()22210x y ++=，曲线1C 的普通方程为()22210x y ++=，∵2cos 6sin ρθθ=+，∴22cos 6sin ρρθρθ=+，∴有2226x y x y +=+即()()221310x y -+-=为所求曲线2C 的直角坐标方程．．．．．．．．．． 5分（2）∵圆1C 的圆心坐标()2,0-，圆2C 的圆心坐标为()1,3， ∴1C C =<，所以两圆相交，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段12CC ,∴2222d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴d =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）71x x ++-可以看做数轴上的点x 到点-7和点1的距离之和， ∴()min718x x ++-=，∴8m ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）得m 的最大值为8，原不等式等价于：324x x --≤，第页 11 ∴有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩或3324x x x <⎧⎨--≤⎩， 从而3x ≥或133x -≤<，∴原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。