15章3

1 2
dq j d s S dt
③非恒定电路分析 设电容器放电过程的某一时刻， q q 板A内表面： 板B内表面： d q d( S ) d 传导电流： i0 S dt dt dt i0 d 板内传导电流密度： j0
S dt
d D /d t
q
D j0

q
j0
i0
D
S
i0
在放电过程中，σ 随时间变化。 且
D DS S d D d 二者随时间的变化率： d D S d dt dt dt dt d D 板间 在数值上等于板内的传导电流 i0 。
dt
也随时间变化。
dD 且 d t 的方向与 D 的方向相反，与传导电流密度的方向相同。
当 I 发生变化时，在线圈中产生自感电动势
dΨ dI E L dt dt
自感电动势的方向总是要使它阻碍回路原电流的变化。
3、自感系数（自感）
①定义:
描述回路自感强弱的物理量。
Ψ L I
L
E
d I /d t
说明
* L 取决于线圈的形状、大小、匝数及存在的介质， 无铁磁质时与电流无关。 （恒正） * 自感 L 有维持原电路状态的能力，它表征回路电磁 惯性的大小。
板间
dD dt
在数值上等于板内的传导电流密度 j0 。
位移电流的定义
d ΦD D ID dS 位移电流 S dt t D 位移电流密度： jD t
位移电流与传导电流连接起来恰好构成连续的闭合电流。 麦克斯韦提出全电流的概念 全电流：
I0
ID
I I0 I D
D
R
r
a jD 0 cos t t 2) 根据 H d l i0 I D 对a点 I D 0
L
r

dq d i0 ( R 2 ) R 2 0 cos t dt dt
2rH R 2 0 cos t
l
xd x
x
Ψ

d a
d
0 I 0 Il d a ldx ln 2x 2 d
0 l d a Ψ M ln I 2 d
三、互感和自感的关系 Ψ12 Ψ 21 两线圈的互感 M I1 I2 自感 L Ψ11 L Ψ 22 1 2 I1 I2 消去I1、I2可得 Ψ12Ψ 21 N 2Φ12 N 1Φ21 2 M L1 L2 L1 L2 Ψ11Ψ 22 N 1Φ11 N 2Φ22
Ψ12 L1中电流I1在L2中的全磁通
Ψ 21 L2中电流I 2在L1中的全磁通
1 I1 I2
2
由毕 - 萨定律知 ∝ I
12 M12 I1
21 M 21 I 2
Ψ 21
Ψ 12
当I1 发生变化时，在 L2 中产生互感电动势： d Ψ 12 d I1 E2 M 12 dI dt dt E M d Ψ 21 d I2 dt 同理： E1 M 21 dt dt

S
Dd s q
q
上式对时间t 求导
dq d D D d s d s S S dt dt t
根据电荷守恒定律
D S j d s S t d s D D D S ( j t ) d s 0 or S ( j0 t ) d s S ( j0 t ) d s D 即j0 是永远连续的。 t
Φ12Φ21 令k Φ11Φ22
2
Φnn 表示电流的磁场通过自己线圈的每匝线圈的平均磁通量。 Φnm 表示电流的磁场通过其他线圈的每匝线圈的平均磁通量。
无漏磁时，k = 1
M k L1 L2
2 2
M
L1 L2
有漏磁时， 0 K 1 : M K L1 L2
§15. 5
一、磁场的能量
L S2
1
相互矛盾
矛盾产生的原因：由于在非稳恒电路中传导电流不连续。 解决办法： ★在大量实验基础上，提出新概念，建立新理论。 ★在原有定律的基础上，提出合理假设，对原有定律 作必要的修正，用实验检验假设的合理性。
②提出假设
麦克斯韦假设在非恒定条件下高斯定理仍然成立。 对于由S1和S2组成的闭合曲面S
同理：若先合上K2，再合上K1，则有
1 1 2 2 Wm L1 I 1 L2 I 2 MI 1 I 2 2 2
即互感磁能大小为
注意 自感磁能永为正；互感磁能可为正(两线圈的磁场互相加 强)，可能为负(磁场互相减弱)。 故互感线圈磁场中的总磁能为
Wm互 M I1 I 2
1 1 2 2 Wm L1 I 1 L2 I 2 M I1 I 2 2 2
B 0 H
0 R 2
2r
R2 H 0 cos t 2r
0 cos t
B B nI I n
Wm
L n V
2
2 1 1 B 1 B 2 V LI n 2V ( )2 2 2 2 n
Wm 1 B 2 1 1 磁能密度 wm BH B H V 2 2 2
总磁能
Wm
w
V
m
dV

V
1 B H dV 2
B LE d l S t d s
E E 静 E感
问题：变化的电场能否产生磁场呢？ 麦克斯韦从推广安培环路定理出发，通过提出位移电流 假设。回答了这一问题，从而建立了完整的电磁场理论。
2）位移电流假设 ①非稳恒电流的不连续性及安培环路定理遇到的困难 H d l j0 d s j0 d s I0
r 0 I 2 l Wm wm 2 l rdr R 4 r 0 I 2 l R2 ln 4 R1
R2
1
dr R1 r
R2
§15 . 6 位移电流 麦克斯韦电磁理论
一、位移电流 1、麦克斯韦关于电磁场的两条基本假设 1）感应电场假设： 变化的磁场产生的电场 — 感应电场。 B E d l d s L 感 S t 由此式及静电场环路定理得一般电场的环路定理：
例题1 同轴电缆由半径分别为R1 和R2 的两个无限长同轴 长导体圆柱面组成，它们所通过的电流大小相等、方向相反。 试求无限长同轴电缆中长度为l 的一段的磁场能量。 解 根据安培环路定理，磁场只存在于两导体面之间 0 r I I H B ( R1 r R2 ) 2 r 2 r 0 r I 2 1 w m BH 2 8 2 r 2 l 在距中心轴线为r处取宽为 dr的薄柱体为dV。 则长为l 的同轴线内的总磁能为
I d Bdr l ldr 2r
该面积的 总磁通：
l R2 l dr ln 2r 2 R
1
电缆单位长度的自感: L
Ψ R2 ln lI 2 R1
二、互感 1、互感现象：载流回路的电流随时间发生变化时，在别的导体 回路中产生感应电动势的的现象称为互感现象。 2、互感电动势
3、互感系数（互感） 描述回路之间互感强弱的物理量。
①定义
Ψ 12 M12 I1
M 21
Ψ 21 I2
M12，M21 是线圈系统的固有属性，只与线圈本身的性 质几何形状大小，圈数，介质，二线圈相对位臵等）有关， 与磁场，电流等外界因素无关。（恒正）
在无铁磁质的情况下
②单位：亨利 （H ）
M12 M 21 M
③计算： 形状规则的回路：
Ψ 设I Ψ M I Q 类似： 设 Q U C U
例题2 已知长为l ，宽为a 的线圈，放在距长直导线为d 的位 臵，求互感系数 M 。 解 设直导线中通有电流 I 。
a
d
建立坐标系，在距O点为 x 处取微元 d x 0 I I 在 x 处产生的B为 B 2x O I 通过面元 l dx 的磁通量为： d Ψ 0 l d x 2x
t 2 I 0 t 2
电流 由 0 → I 时，电源所作的总功为：
E
0
t
idt i Rdt
0
1 2 Lidi i Rdt LI 0 2
储存在自感线圈内磁场的能量
电阻R上放出的焦耳热
自感为 L 的线圈通有电流 I 时所具有的磁能为： 1 W m LI 2 2 若自感线圈是均匀密绕很长的螺线管，则
D ( j0 )d S S t
(全电流安培 环路定理)
对比
D t
B d s LE d l t S
B t
位移电流假设的实质：变化的电场激发有旋磁场。 小结： ① 变化的磁场激发有旋电场，变化的电场激发有旋磁场。 ② 磁场增加时，激发的电场是左旋场。 电场增加时，激发的磁场是右旋场。
大学物理学
第十五章 电磁感应
§15.4 自感和互感
一、自感 1、自感现象 载流回路的电流发生变化时，在回路自身中产生感应电动 势的现象为自感现象。所产生的感应电动势叫做自感电动势。 2、自感电动势 1）E 与 d I /d t 的关系 当线圈通过电流为 时，由毕 - 萨定律知 ∝ I
Ψ LI
H
E感
例题1 圆形平行板电容器，极板半径为Ｒ，沿极板轴线的长直 导线通有交变电流，设电荷在极板上均匀分布σ=σ0 sinωｔ，且忽略 边缘效应，求：1) 极板间的位移电流密度; 2) a , p 处的磁感应强度 大小 。( r < R ) p 解 1)由位移电流密度公式
D jD t
注意
其中 I 0
S
R