2020版高考数学(文科)大一轮精准复习精练：§2.5对数与对数函数含解析
2020年高考数学一轮复习考点09对数与对数函数必刷题理含解析
【答案】B
【解析】
由题意，令 ，则 ，
所以 时， ，∴ 在 上递减，
又由 ，∴ ，
则 ，
即 ，
故选：B．
18．已知函数 ，若函数 是 的反函数，则 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
由函数 ，得 ，
把x与y互换，可得 ，即 ，
∴ ，则 ．
故选：B
19．设全集 ， ， ，则 （ ）
A．（2，4）B．（1，1）C．（﹣1，4）D．（1，4）
【答案】A
【解析】
A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{x|1＜x＜4}；∴A∩B＝（2，4）．
故选：A．
16．若 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题得
，
，
所以a>b>c.
故选：A
17．以下四个数中，最大的是（ ）
2020年高考数学一轮复习考点09对数与对数函数必刷题理含解析
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考点09 对数与对数函数
1．设函数 ，若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
因为 且 ，故
，又 在 上为增函数，
所以 即 ，故选D.
由对数函数的性质可得 ，
解得 ，
所以 ，
所以 .
故选B.
9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
高三一轮复习精题组对数与对数函数(有详细答案)
§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. ( √)(2)2log510＋log50.25＝5. ( ×)(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. ( √)(4)log2x2＝2log2x. ( ×)(5)当x>1时，log a x>0. ( ×)(6)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b. ( ×) 2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D 解析 2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy )．故选D.4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案 (－12，＋∞)解析 函数f (x )的定义域为(－12，＋∞)，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. ∴f (log 18x )>0⇒log 18x <－13或log 18x >13⇒x >2或0<x <12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x－2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 312)的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))；f (log 312)可利用对数恒等式进行计算．答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x＝3，即2x＝3，2－x ＝33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 312)＝2＋3＝5.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．答案124解析 因为2＋log 23<4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124. 题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 213)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的． 答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log 213＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 213)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 213)<f (log 47)，即c <b <a .思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a(2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三 对数函数的应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．解 (1)由4x－1>0，解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <bA ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.(3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数． 因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2， 所以0<log π3<20.2<log 39， 所以b >a >c ，选A. 答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． 失误与防范1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值A 组 专项基础训练一、选择题 1．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <1或1<x <2}C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}答案 D解析 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x >0lg x ≠0，解得0<x <1或1<x ≤2，∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}． 2．函数y ＝lg|x －1|的图象是( )答案 A解析 ∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1lg (1－x )，x <1.∴A 项符合题意．3．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 21-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1.∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e21-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .4．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C⇒a >1或－1<a <0.5．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞)答案 D解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D. 二、填空题 6．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________________．答案 {x |－1<x ≤0或x >2}解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2.8．若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1. 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.B 组 专项能力提升1．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 () A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.2．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有()A ．f (13)<f (2)<f (12) B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)． 3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.4．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b .(1)求方程f (x )＝1的解；(2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f (a ＋b 2)所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.(1)解 由f (x )＝1得，lg x ＝±1，所以x ＝10或110. (2)证明 结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b 2>21b ·b 2＝1(因1b≠b )． (3)证明 由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b 2＋b 2＋2－4b ＝0， g (b )＝1b 2＋b 2＋2－4b ， 因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.5．已知函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 21t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 21t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减， 故函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，a 2]上单调递增． 又因为函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，2－2a ＋a ≥0，即22≤a ≤2(2＋1)．。
2020版高考数学(文)一轮复习：第9讲~对数与对数函数ppt课件(含答案)
课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第9讲 PART 2
考试说明
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数; 了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点,会画底数为 2,10, 的 对数函数的图像. 3.体会对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数.
3lo g 3 ������ 3lo g ������ 4 = =3log34=6log32,故选 lo g 4 ������ lo g ������ 3 1 (2)lg 32+log416+6lg -lg 5=lg 2
p=
C.
.
25+log442-6lg 2-lg 5=2-lg 2-lg 5=2-lg 10=1.
������ (������ ) ������ (������ ) ������ (������ ) > > .故选 ������ ������ ������
B.
课堂考点探究
探究点三
微点1 比较大小
例 3(1)设
2 a=log54-log52,b=ln +ln 3
解决与对数函数性质有关的问题
3,c=10
x y
������ 2 =-1 ������
或 0.
1 1 得, + =2,即 lo g 2 ������ lo g 5 ������
1 1 x=log2m,y=log5m.由 + =2 ������ ������
logm2+logm5=2,所以 பைடு நூலகம்ogm10=2,所以 m= 10.
2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：2.5二次函数与幂函数、函数与方程含解析
2.5二次函数与幂函数、函数与方程挖命题【考情探究】的难度.函数与方程是江苏必考内容,主要考查运用零点存在性定理求函数在某区间的零点个数、运用函数图象判定函数的零点个数、根据函数的零点个数(或方程根的个数)求参数的范围等.破考点【考点集训】考点一幂函数的图象及性质1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f(4)的值等于.答案2.(2019届江苏宜兴官林中学检测)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·-(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n=.答案 1考点二二次函数的图象和性质1.已知函数f(x)=x2-6x+8,xÎ[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是.答案(1,3]2.(2019届江苏白蒲高级中学检测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是.答案①④考点三函数与方程1.函数f(x)=e x+x-2的零点有个.答案 12.(2018江苏溧阳高级中学检测)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是.答案-∞-炼技法【方法集训】方法一幂函数图象与性质的求解策略1.正整数p使得函数f(x)=x p-2在(0,+∞)上是减函数,则函数的单调递减区间是.答案(-∞,0),(0,+∞)2.已知幂函数f(x)=-,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.答案(3,5)方法二求函数零点个数的解题策略1.(2018江苏板浦高级中学检测)函数f(x)=x·lg(x+2)-1的图象与x轴的交点有个.答案 22.(2019届江苏东台中学检测)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为.答案 2方法三已知函数零点求参数的范围的常用方法1.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.答案2.(2019届江苏南通第三中学检测)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点,则实数m的取值范围是.答案-过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组∈其中集合1.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案82.(2014江苏,13,5分,0.48)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=-.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数3.(2015江苏,13,5分,0.27)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=--为.答案 4B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一二次函数与幂函数1.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-2考点二函数与方程1.(2018课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是.答案[-1,+∞)2.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=--若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.答案(4,8)3.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案 34.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)5.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案6.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=-其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)7.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是. 答案8.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=---①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1②∪[2,+∞)C组教师专用题组1.(2009新课标改编)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.答案 62.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)3.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)4.(2016课标全国Ⅱ改编,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则=.答案m【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=-(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)3.(2019届江苏侯集中学检测)函数f(x)=lg x+的零点是.答案4.(2018江苏启东中学检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.答案x2+2x+15.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案6.(2019届江苏海门中学检测)已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b=.答案 27.(2019届江苏南通中学检测)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为.答案{-3,3}8.(2019届江苏海安中学检测)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.答案-1,-29.(2019届江苏启东汇龙中学检测)若幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=+f(x)在上的值域为.答案10.(2019届江苏南通大学附属中学检测)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.答案x1<x2<x3二、解答题(共30分)11.(2019届江苏启东检测)已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≥1-x2的解集;(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2],所以a=-3,于是f(x)=x2-3x+2.由f(x)≥1-x2得1-x2≤x2-3x+2,解得x≤或x≥1,所以不等式f(x)≥1-x2的解集为或.(2)函数g(x)=2x2+ax+3在区间(1,2)上有两个不同的零点,则--解得-5<a<-2.所以实数a的取值范围是(-5,-2).12.(2019届江苏常州第一中学检测)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.(1)求f(x)的表达式;(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.解析(1)由f(-1+x)=f(-1-x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称.设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0).由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1.根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,所以|x1-x2|=-=-=2,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=-,则-≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].。
2020版高考数学（文科）大一轮精准复习精练：§2.5对数与对数函数含解析
2020版高考数学（文科）大一轮精准复习精练：§2.5对数与对数函数含解析§2.5对数与对数函数挖命题【考情探究】分析解读1.对数函数在高考中的重点是图象、性质及其简单应用,同时考查数形结合的思想方法,以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主.2.以选择题、填空题的形式考查对数函数的图象、性质,也有可能与其他知识结合,在知识的交汇点处命题,以解答题的形式出现.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.破考点【考点集训】考点一对数的概念及运算1.(2018广东深圳高级中学月考,6)设a=log54-log52,b=ln+ln3,c=,则a,b,c的大小关系为()A.b<c<a< p="">B.a<b<c< p="">C.b<a<c< p="">D.c<a<b< p="">答案B2.(2017山西重点协作体一模,8)已知log7[log3(log2x)]=0,那么-等于()A. B. C. D.答案D3.(2018湖北荆州中学月考,13)化简:=.答案4.计算:-+log2(log216)=.考点二对数函数的图象与性质1.(2018湖南张家界三模,6)在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=log a(x+2)(a>0,且a≠1)的图象大致为()答案A2.(2018安徽安庆二模,7)函数f(x)=log a|x|(0<a<1)的图象的大致形状是()< p="">答案C考点三对数函数的综合应用1.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟(三),5)已知a=-,b=log2,c=lo,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b答案D2.(2018河南新乡一模,7)若log2(log3a)=log3(log4b)=log4(log2c)=1,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a答案D3.(2018广东模拟,12)已知函数h(x)的图象与函数g(x)=e x的图象关于直线y=x对称,点A在函数f(x)=ax-x2为自然对数的底数的图象上,A关于x轴对称的点A'在函数h(x)的图象上,则实数a的取值范围是()A. B.-D.-答案A4.(2017辽宁沈阳二中期中,12)若函数f(x)=log2x在[1,4]上满足f(x)≤m2-3am+2恒成立,则当a∈[-1,1]时,实数m的取值范围是()A.-B.--∪∪{0}C.[-3,3]D.(-∞,-3]∪[3,+∞)∪{0}答案D炼技法【方法集训】方法1对数函数的图象及其应用1.(2017山东烟台期中,6)函数y=log a(|x|+1)(a>1)的图象大致是()答案B2.(2017北京海淀期中,5)已知函数y=x a,y=log b x的图象如图所示,则()A.b>1>aB.b>a>1C.a>1>bD.a>b>1答案A3.(2017湖南邵阳一模,7)若函数f(x)=a x-k·a-x(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=log a(x+k)的大致图象是()答案B方法2对数函数的性质及其应用1.(2017安徽蚌埠二中等四校联考,7)已知lo a<="" p="">A.ln(a-b)>0B.>C.<D.3a-b<1答案C2.(2018湖南张家界三模,9)若函数f(x)=log m(m>0且m≠1)在[2,3]上单调递增,则实数m的取值范围为()A.(1,36]B.[36,+∞)C.(1,16]∪[36,+∞)D.(1,16]答案D3.(2018福建龙岩期中,19)已知对数函数f(x)的图象过点(4,1).(1)求f(x)的解析式;(2)若实数m满足f(2m-1)<f(5-m),求实数m的取值范围.< p="">解析(1)依题可设函数f(x)=logx(a>0且a≠1),a∵f(x)的图象过点(4,1),∴f(4)=1?log a4=1?a=4,∴f(x)=log4x.(2)∵函数f(x)=log4x在定义域内单调递增,-∴不等式f(2m-1)<f(5-m)即< p="">--∴?<m<2,< p="">∴m的取值范围是.过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2018课标全国Ⅲ,7,5分)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)答案B2.(2016课标全国Ⅰ,8,5分)若a>b>0,0<c<1,则()< p="">A.log a c<="" p="">B.log c a<="" c="" p="">C.a cD.c a>c b答案B3.(2018课标全国Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=.答案-7B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一对数的概念及运算1.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据:lg3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093答案D2.(2014四川,7,5分)已知b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()B.a=cdC.c=adD.d=a+c答案B考点二对数函数的图象与性质1.(2018天津,5,5分)已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案D2.(2016浙江,5,5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1.若log a b>1,则()A.(a-1)(b-1)<0B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0D.(b-1)(b-a)>0答案D3.(2015四川,4,5分)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A4.(2015陕西,10,5分)设f(x)=ln x,0<a< p="">A.q=r<p< p="">B.q=r>pC.p=r<q< p="">答案C5.(2014山东,6,5分)已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1< p="">C.0<a1</aD.0<a<1,0<c<1< p="">答案D考点三对数函数的综合应用(2014福建,8,5分)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()答案BC组教师专用题组考点一对数的概念及运算1.(2013陕西,3,5分)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是()A.log a b·log c b=log c aB.log a b·log c a=log c bC.log a(bc)=log a b·log a cD.log a(b+c)=log a b+log a c答案B2.(2015浙江,9,6分)计算:log2=,=.答案-;33.(2015四川,12,5分)lg0.01+log216的值是.答案24.(2015安徽,11,5分)lg+2lg2--=.答案-15.(2014陕西,12,5分)已知4a=2,lg x=a,则x=. 答案6.(2013四川,11,5分)lg+lg的值是.答案1考点二对数函数的图象与性质1.(2014安徽,5,5分)设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则()A.b<a<c< p="">B.c<a<b< p="">C.c<b<a< p="">D.a<c<b< p="">答案B2.(2014辽宁,3,5分)已知a=-,b=log2,c=lo,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b答案D3.(2013湖南,6,5分)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为()A.0B.1C.2D.3答案C4.(2013课标Ⅱ,8,5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则()A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案D5.(2014天津,4,5分)设a=log2π,b=loπ,c=π-2,则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a答案C考点三对数函数的综合应用(2013天津,7,5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.(0,2]答案C【三年模拟】时间:45分钟分值:55分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届广东佛山第三中学模拟,8)设a=sin,b=lo,c=,则()A.a<c<b< p="">B.b<a<c< p="">C.c<a<b< p="">D.c<b<a< p="">答案C2.(2019届湖南顶级名校第一次联考,9)设f(x)=--则不等式f(x)>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(,+∞)C.(1,2)∪(,+∞)D.(1,2)答案C3.(2018山东师大附中模拟,4)若a>b>0,c>1,则()A.log a c>log b cB.a cC.c a<="" p="">D.log c a>log c b答案D4.(2017安徽蚌埠二中等四校联考,10)已知函数f(x)=log2(ax2+2x+3),若对于任意实数k,总存在实数x0,使得f(x0)=k成立,则实数a的取值范围是()A.-B.C.[3,+∞)D.(-1,+∞)答案B5.(2017山西临汾三模,10)已知函数f(x)=|ln x|,若f(m)=f(n)(m>n>0),则+=()A. B.1 C.2 D.4答案C,若f+f+…+f=503(a+b),则a2+b2的最小值为()6.(2017江西红色七校二模,11)已知函数f(x)=ln-A.6B.8C.9D.12答案B二、填空题(共5分)7.(2017辽宁沈阳一模,16)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<="">三、解答题(共20分)8.(2019届辽宁顶级名校联考,17)已知函数f(x)=log a(1-x)+log a(x+3)(0<a<1).< p="">(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的最小值为-4,求实数a的值.解析(1)由题意得解得-3<x<1,< p="">∴f(x)的定义域为{x|-3<x<1}.< p="">(2)将函数f(x)化为f(x)=log a[(1-x)(x+3)]=log a(-x2-2x+3)=log a[-(x+1)2+4].∵-3<x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4.< p="">∵0<a<1,< p="">∴log a[-(x+1)2+4]≥log a4,即f(x)min=log a4.由log4=-4,得a-4=4,a∴a=-=.故实数a的值为.9.(2019届辽宁顶级名校联考,21)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)设g(x)=log4·-,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.解析(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(-x),∴log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx.log4=-2kx,即x=-2kx对一切x∈R恒成立,∴k=-.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程log(4x+1)-x=log4·-有且只有一个实根,4即方程2x+=a·2x-a有且只有一个实根.令t=2x,t>0,则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根.①a=1?t=-,不合题意.②Δ=0?a=或-3.若a=?t=-,不合题意;若a=-3?t=.<0?a>1.③一个正根与一个负根,即--以上结果经过验证均满足a·2x-a>0.综上,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).</a<1,<></x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4.<></x<1}.<></x<1,<></a<1).<></m</b<a<></a<b<></a<c<></c<b<></c<b<></b<a<></a<b<></a<c<></a<1,0<c<1<></c<1<></q<></p<></a<></c<1,则()<></m<2,<></f(5-m)即<></f(5-m),求实数m的取值范围.<> </a<1)的图象的大致形状是()<> </a<b<></a<c<></b<c<> </c<a<>。
2020年高考数学一轮复习重点突破必刷题——对数函数【解析版】
直于 x 轴的直线交 y
k （k
0 ）的图象于 C ， D 两点，则直线 CD 的斜率（
）
x
A ．与 m 有关 B．与 a 有关 C．与 k 有关 D．等于 1
【答案】 C
【解析】由题意， log a x
m ，所以 xA
a m ，x B
a
m
，又过点
A ，B 作垂直于
x 轴的直线交
y
k
（
k
0）
x
的图象于 C ，D 两点，所以 yC
log a π
9
2
B． log a π
log a 9
a 2a
D． a2a
2 log a
log a π
9
【答案】 A
【解析】由 a 0 且 a 1可得 a 1 2 a 0 ，∵ log a (a 1) log a (2 a ) ，
∴0
a
1．又由 log a (2 a)
0 ，得 2 a
1
1 ，∴
a 1．
一、选择题
2020 年高考数学一轮复习 重点突破必刷题——对数函数
1.已知函数 f (x) ln x ln( a x) 的图象关于直线 x 1 对称，则函数 f ( x) 的值域为 ( )
A ． (0, 2)
B． [0, )
C． ( 2]
D． ( ,0]
【答案】 D
【解析】∵函数 f ( x) ln x ln( a x) 的图象关于直线 x 1 对称，∴ f (1 x) f (1 x) ，
即 a 3 ,所以 1 a 3．
5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述
.两颗星的星等与亮度满足
m2 –m1
高考数学一轮复习专题训练—对数与对数函数
对数与对数函数考纲要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知识梳理 1.对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a(a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log am b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错误.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错误. (4)若0<b <1<a ，则当x ＞1时，log a x ＞log b x ，故(4)错误.2.log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0 B.2 C.4 D.6答案 D解析 原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25)＝4＋log 525＝4＋2＝6. 3.函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________. 答案 (2，2)解析 当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).4.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116B.19C.18D.16答案 B解析 法一 因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.故选B.法二 因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49 ＝4log 49－1＝9－1＝19.故选B.5.(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b答案 A解析 显然c ＝0.30.2∈(0，1).因为log 33<log 38<log 39，所以1<b <2.因为log 27>log 24＝2，所以a >2.故c <b <a .6.(2021·陕西名校联考)若log 2x ＋log 4y ＝1，则( ) A.x 2y ＝2 B.x 2y ＝4 C.xy 2＝2 D.xy 2＝4答案 B解析 log 2x ＋log 4y ＝log 2x ＋12log 2y ＝log 2x ＋log 2y 12＝log 2(xy 12)＝1，所以xy 12＝2，两边平方得x 2y ＝4.考点一 对数的运算1.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10B.10C.20D.100 答案 A解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 因此m 2＝10，m ＝10.2.(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1C.lg 10.1D.10－10.1答案 A解析 依题意，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得52lg E 1E 2＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lgE 1E 2＝25.25×25＝10.1，即E 1E 2＝1010.1. 3.计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1解析 原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4.已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析 设log b a ＝t ，则t >1， 因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ， 所以b 2b ＝bb 2，即2b ＝b 2， 又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4.感悟升华 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二 对数函数的图象及应用【例1】 (1)在同一直角坐标系中，函数y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 答案 (1)D (2)(1，＋∞)解析 (1)若a >1，则y ＝1a x 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12过定点⎝⎛⎭⎫12，0，C 项不符合， 因此0<a <1.当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12的图象过定点⎝⎛⎭⎫12，0，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递减.因此， 选项D 中的两个图象符合.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点.感悟升华 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【训练1】 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)(2021·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且e －x 1＝ln x 1，e－x 2＝ln(x 2＋1)，e－x 3＝lg x 3，则( )A.x 1<x 2<x 3B.x 1<x 3<x 2C.x 2<x 3<x 1D.x 2<x 1<x 3答案 (1)D (2)D解析 (1)由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1.(2)画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示：由图象直观性，知x 2<x 1<x 3.考点三 解决与对数函数性质有关的问题角度1 比较对数值大小【例2】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b(2)(2021·衡水中学检测)已知a ＝⎝⎛⎭⎫120.2，b ＝log 120.2，c ＝a b，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.c <a <b C.a <c <b D.b <c <a答案 (1)A (2)B解析 (1)∵3log 32＝log 38<2，∴log 32<23，即a <c .∵3log 53＝log 527>2，∴log 53>23，即b >c .∴a <c <b .故选A.(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与y ＝log 12x 的图象关于直线y ＝x 对称，则0<⎝⎛⎭⎫120.2<1<log 120.2，∴a <b . 又c ＝a b ＝⎝⎛⎭⎫120.2log 120.2＝⎝⎛⎭⎫12log 120.20.2＝0.20.2<⎝⎛⎭⎫120.2＝a ，所以b >a >c .角度2 解简单的对数不等式【例3】 已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( ) A.(2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，22∪(2，＋∞) D.(2，＋∞)答案 B解析 因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数. 又f (1)＝2，所以不等式f (log 2x )>2＝f (1)，即|log 2x |>1，解得0<x <12或x >2.角度3 对数型函数性质的综合应用【例4】 (2020·合肥调研)已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫12x ＋a . (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围. 解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0， ∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数. 所以a ＝0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a >0恒成立.即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)，故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞).(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝⎛⎭⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝⎛⎭⎫12＋a ≥2， 则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2).∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥4a ＋2，4a ＋2>0，解得－12<a ≤－13.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，－13. 感悟升华 1.比较对数值的大小与解形如log a f (x )>log a g (x )的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a 的取值不确定，需要分a >1与0<a <1两种情况讨论.2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.【训练2】 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＝b <cB.a ＝b >cC.a <b <cD.a >b >c(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎝⎛⎭⎫1，83 解析 (1)因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.所以a ＝b >c .(2)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立， 则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1， 即8－2a >a ，且8－2a >0， 解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立， 知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴8－a <a 且8－2a >0，此时解集为∅. 综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.A 级 基础巩固一、选择题1.设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A.a ＋b <ab <0B.ab <a ＋b <0C.a ＋b <0<abD.ab <0<a ＋b 答案 B解析 由题设，得1a ＝log 0.30.2>0，1b＝log 0.32<0. ∴0<1a ＋1b ＝log 0.30.4<1，即0<a ＋b ab<1. 又a >0，b <0，故ab <a ＋b <0.2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫3x ＋43x ＋m 的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]答案 D解析 由题意可知3x ＋43x ＋m 能取遍所有正实数. 又3x ＋43x ＋m ≥m ＋4，所以m ＋4≤0，即m ≤－4. ∴实数m 的取值范围为(－∞，－4].3.已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a －x 与函数g (x )＝log b x 的图象可能是( )答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝0，得ab ＝1.∴f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1b －x ＝b x ， 因此f (x )＝b x 与g (x )＝log b x 单调性相同.A ，B ，D 中的函数单调性相反，只有C 的函数单调性相同.4.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝( ) A.2B.4C.6D.8答案 A解析 由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |.又lg 12＝－lg 2，lg 15＝－lg 5. 所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.5.已知a ＝log 3 72，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b 答案 D解析 log 13 15＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， 所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 在R 上为减函数，所以⎝⎛⎭⎫1413<⎝⎛⎭⎫140＝1，故c >a >b . 6.若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A.(0，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，恒有f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因为M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).二、填空题7.若log 43＝m log 23，则log2m ＝________.答案 －2解析 ∵log 43＝12log 23，∴m ＝12，∴log 2m ＝－2. 8.(2021·济南一中检测)已知函数y ＝log a (2x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则b ＝________.答案 －7解析 令2x －3＝1，得x ＝2，∴定点为A (2，2)，将定点A 的坐标代入函数f (x )中，得2＝32＋b ，解得b ＝－7.9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________. 答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1. 综上可知，x ≥0.三、解答题10.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围.解 (1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0. (2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a<log a 2<log a a . ①当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a <2，a >2，解得a >2； ②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a >2，a <2，解得0<a <12. 综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞). 11.已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1(a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)因为函数f (x )＝log 21＋ax x －1是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以log 21－ax －x －1＝－log 21＋ax x －1， 即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax， 所以a ＝1，f (x )＝log 21＋x x －1， 令1＋x x －1>0，解得x <－1或x >1， 所以函数的定义域为{x |x <－1或x >1}.(2)f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )，当x >1时，x ＋1>2，所以log 2(1＋x )>log 22＝1.因为x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，所以m ≤1，所以m 的取值范围是(－∞，1].B 级 能力提升12.(2021·西安调研)设函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调增函数；②存在[m ，n ]⊆D (n >m )，使得f (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，那么就称y ＝f (x )是定义域为D 的“成功函数”.若函数g (x )＝log a (a 2x ＋t )(a >0且a ≠1)是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－∞，14 D.⎝⎛⎭⎫14，＋∞答案 A解析 因为g (x )＝log a (a 2x ＋t )是定义在R 上的“成功函数”，所以g (x )为增函数，且g (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，故g (m )＝m ，g (n )＝n ， 即g (x )＝x 有两个不相同的实数根.又log a (a 2x ＋t )＝x ，即a 2x －a x ＋t ＝0.令s ＝a x ，s >0，即s 2－s ＋t ＝0有两个不同的正数根，可得⎩⎪⎨⎪⎧t >0，Δ＝1－4t >0. 解得0<t <14. 13.已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________.答案 2解析 易知函数f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上单调，所以f (x )在[1，2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝log a 2＋6.因此a 2＋log a 2＋a ＋log a 1＝6＋log a 2，∴a 2＋a －6＝0，解之得a ＝2或a ＝－3(舍).14.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围. 解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )log 2x ＝2－2(log 2x －1)2.因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]，故函数h (x )的值域为[0，2].(2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立，①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0，2]时，k <（3－4t ）（3－t ）t恒成立， 即k <4t ＋9t－15， 因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号， 所以4t ＋9t－15的最小值为－3. 所以k <－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3).。
2020年高考数学一轮复习《对数与对数函数》
2020年高考数学一轮复习《对数与对数函数》考纲解读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念和单调性，掌握对数函数的图像经过的特殊点.3.认识到对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(01)a a >≠且.命题趋势研究对数与对数函数是高中数学重要的内容之一，也是高考必考的知识点.试题的命制常以对数函数为载体考查函数的图像和性质、研究问题方法以及数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化的数学思想，同时也考查了考生分析与解决问题的能力，是高考考查的重点与难点，可以出现在各种题型中. 知识点精讲 一、对数概念(0)log (01)x a a N N n N a a =>⇔=>≠且，叫做以a 为底N 的对数.注：①0N >，负数和零没有对数；②log 10,log 1a a a ==； ③10lg log ,ln log e N N N N ==. 二、对数的运算性质(1)log ()log log (,);(2)log log log (,);(3)log log ();log (4)log (01,0,01)log a a a a a a n a a c a c MN M N M N R M M N M N R N M n M M R bb a a bc c a+++=+∈⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭=∈=>≠>>≠且且（换底公式）特殊地1log (,01,1)log a b b a b a b a=>≠≠且；log (5)log log (,0,0,1,)(6)(0,01)(6)log (,01).m a n a a NN a nb b a b m a n R ma N N a a a N N R a a =>≠≠∈=>>≠=∈>≠；且；且 化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.三、对数函数（1）一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数.（2）对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质，如表2-7所示.题型26 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 一、对数运算例2.56552log 10log 0.25+=（ ）.0A.1B.2C.4D分析log log log log log ().n m n m a a a a a n x m y x y x y +=+=解析225555552log 10log 0.25log 10log 0.25log (1000.25)log 52+=+=⨯== 故选C .评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提. 变式1 已知,x y 为正实数，则（ ）lg lg lg lg .222x y x y A +=+lg()lg lg .222x y x y B +=⋅ lg lg lg lg .222x y x y C ⋅=+lg()lg lg .222xy x y D =⋅解析 由y x y x xy lg lg lg lg )lg(2222==+故选D变式2 22(lg2)lg4lg5(lg5)+⋅+= ________..解析 22222)5(lg 5lg 2lg )2(lg )5(lg 5lg 4lg )2(lg +∙+=+∙+ 1)10(lg )5lg 2(lg )5(lg 5lg 2lg 2)2(lg 2222==+=+∙+=变式3 222lg 5lg8lg 5lg 20(lg 2)3++⋅+= ________.. 解析 2322)2(lg )4lg 5(lg 5lg 2lg 325lg 2)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg ++∙++=+∙++22)2(lg 4lg 5lg 2lg 25lg 2)5(lg +∙+++= )2lg 5(lg 2)2(lg 2lg 5lg 2)5(lg 22+++∙+= 32)2lg 5(lg 2=++=例2.57274log 81log 8+=________. .解析324327342324433log 81log 3log 3,log 8log 2log 2.3322====== 所以原式4317.326=+= 变式1= ________..解析 2222)22(246,)22()2(2222246-=-+=+∙+=+所以4)22()22()22()22(24624622=-++=-++=-++例2.58 lg30lg0.515()3⨯= ________.. 分析(,0)log log .c c a b a b a b =>⇒= 解析lg30lg 0.515(),3x ⨯= 则()lg0.5lg30lg0.5lg30111lg lg 5()lg 5lg lg30lg5lg0.5lg 333x ⎡⎤⎛⎫=⨯=+=⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭(lg30lg3)lg5(lg5lg10)(lg1lg3)lg5lg3lg5lg3lg5lg3=+⋅+--=+⋅-⋅+ lg15=所以15x = 二、对数方程例2.59解下列方程：22111(1)(lg lg3)lg5lg(10);22(2)log (231) 1.x x x x x --=---+= 分析利用对数的运算性质化简后求解.解析（1）11(lg lg 3)lg 5lg(10)22x x -=--，首先方程中的x 应满足10x >，原方程可变形为lg lg32lg5lg(10)x x -=--，即25lg lg 310x x =-，得25310x x =-，从而15x =或5x =-（舍），经检验，15x =是原方程的解.（2）221log (231)1x x x --+=，222210112311x x x x x ⎧->-≠⎪⇔⎨-+=-⎪⎩且，解得2x =. 经检验2x =是方程的解.评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据.变式1 函数2()l o g (41).x f x a x=+- （1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值； （2）若4a =，求函数()f x 的零点.解析 （1）若)(x f 是偶函数，则)1()1(f f =-，得a ++-)41(log 12 a -+=)41(log 2，得24log 45log 5log 2222==-=a ，故1=a 。
2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：2.4 对数与对数函数 Word版含解析
2.4对数与对数函数挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点对数与对数函数1.对数求值或比较大小2.对数函数图象和性质的运用2018江苏,5 对数函数的性质函数定义域★★☆分析解读对数与对数函数是基本函数之一,是高考的一个热点,主要考查对数的运算、对数函数的图象与性质,也常与其他知识(如二次函数、导数等)综合命题,常常出现于填空题中,有时也会出现于解答题中.破考点【考点集训】考点一对数的计算1.(log29)·(log34)=.答案 42.lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2=.答案 2考点二对数函数的图象与性质1.函数f(x)=log a(x+2)-2(a>0,且a≠1)的图象必过定点.答案(-1,-2)2.(2019届江苏羊尖高级中学检测)函数f(x)=log2(-x2+2√2)的值域为.答案(-∞,32]3.若log a34<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是.答案(0,34)∪(1,+∞)炼技法【方法集训】方法一 对数运算问题的求解策略1.(2018江苏苏州期末)已知4a=2,log a x=2a,则正实数x= .答案 12 2.计算:(1)lg 22+lg 50·lg 4+lg 25+lg 25;(2)log 23·log 34.解析 (1)原式=lg 22+(1+lg 5)·2lg 2+lg 25+2lg 5 =(lg 2+lg 5)2+2(lg 2+lg 5)=1+2=3.(2)原式=lg3lg2·lg4lg3=2lg2lg2=2. 方法二 比较对数式大小的策略1.若a=log 23,b=log 32,c=log 46,则三者大小关系为 .答案 b<c<a2.(2018江苏启东检测)设e<x<10,记a=ln(ln x),b=lg(lg x),c=ln(lg x),d=lg(ln x),则a,b,c,d 的大小关系是 .答案 c<b<d<a方法三 与对数有关的单调性问题的解题策略1.(2019届江苏徐州高级中学检测)函数y=(lo g 14x)2-lo g 12√x +5在区间[2,4]上的最小值是 . 答案 2342.(2019届江苏板浦高级中学检测)函数f(x)=log a (6-ax)在[0,2]上为减函数,则a 的取值范围是 .答案 (1,3)过专题【五年高考】A 组 自主命题·江苏卷题组(2018江苏,5,5分)函数f(x)=√log 2x -1的定义域为 .答案 [2,+∞)B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点 对数与对数函数。
2020届高考数学一轮复习第二章函数2.5对数与对数函数教师用书(PDF,含解析)
１
( ) ( ) １ ３
１０
７
ｂ＝ ４
< ４
＝ １ꎬａ ＝ ｌｏｇ３ ２ >ｌｏｇ３３ ＝ １ꎬ
１
７
ｃ ＝ ｌｏｇ １ ３
２ ０ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版( 教师用书)
当 ０<ｆ( ｘ) <１ 时ꎬｌｏｇａ ｆ( ｘ) >ｌｏｇｂ ｆ( ｘ) . ( ｉｉｉ) 若 ａ>１>ｂ>０ꎬ如图 ３. 则当 ｆ( ｘ) >１ 时ꎬｌｏｇａ ｆ( ｘ) >０>ｌｏｇｂ ｆ( ｘ) ꎻ 当 ０<ｆ( ｘ) <１ 时ꎬｌｏｇａ ｆ( ｘ) <０<ｌｏｇｂ ｆ( ｘ) .
考 点 对数与对数函数
１.对数的概念
一般地ꎬ如果 ａｘ ＝ Ｎ( ａ>０ 且 ａ≠１) ꎬ那么数 ｘ 叫做以 ａ 为底
Ｎ 的对数ꎬ记作 ｘ ＝ ｌｏｇａ Ｎꎬ其中 ａ 叫做对数的底数ꎬＮ 叫做真数.
２.积、商、幂的对数( Ｍ、Ｎ 都是正数ꎬａ>０ 且 ａ≠１)
(１) ｌｏｇａ( Ｍ������Ｎ) ＝ ｌｏｇａ Ｍ＋ｌｏｇａ Ｎꎻ
数记作 ｌｇ Ｎ. (２) 自然对数:以无理数 ｅ ＝ ２.７１８ ２８������为底的对数叫做自然
对数ꎬＮ 的自然对数记作 ｌｎ Ｎ. ６.对数函数与指数函数的性质比较
指数函数
对数函数
一般形式 定义域
ｙ ＝ ａｘ( ａ>０ 且 ａ≠１) (－∞ ꎬ＋∞ )
ｙ ＝ ｌｏｇａ ｘ( ａ>０ 且 ａ≠１) (０ꎬ＋∞ )
性
值域:Ｒ
质
过点(１ꎬ０) ꎬ即 ｘ ＝ １ 时ꎬｙ ＝ ０
在(０ꎬ＋∞ )上是增函数
在(０ꎬ＋∞ )上是减函数
2020年新高考数学一轮专题复习分项汇编：专题12 对数与对数函数(含解析)
2020年新高考数学一轮专题复习分项汇编：专题12 对数与对数函数（含解析）1．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )A．log2x B．12xC．log 12x D．2x－2【答案】A[由题意知f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)，∵f(2)＝1，∴log a2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x.]2．(2019·山东烟台月考)函数f(x)＝x a满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a(x＋1)|的图象大致为( )A． B．C． D．【答案】C[方法一函数g(x)＝|log a(x＋1)|的定义域为：{x|x＞－1}，从而排除D；由g(x)＝|log a(x＋1)| ≥0，排除B；x＝0时，g(x)＝0，排除A．方法二由f(2)＝4，即2a＝4，得a＝2.先作出y＝log2x的图象，再将此函数图象向左平移1个单位，得函数y＝log2(x＋1)的图象，最后将此函数图象x轴上方部分不变，下方部分关于x轴对称进行翻折，即得g(x)＝|loga(x＋1)|的图象．]3．(2019·山西晋中月考)已知a＝2-13，b＝log213，c＝log13，则( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】D [∵0＜2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＝log 23＞log 22＝1，∴c ＞a＞B ．]4．(2019·福建龙岩月考)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A ．x 2＜x 3＜x 1 B ．x 1＜x 3＜x 2 C ．x 1＜x 2＜x 3D ．x 3＜x 2＜x 1【答案】A [分别作出三个函数的大致图象，如图所示，由图可知，x 2＜x 3＜x 1.]5．(2019·山东济南月考)已知log 23＝a ，log 35＝b ，则lg 6＝( ) A ．11＋abB ．a 1＋abC ．b1＋abD ．a ＋11＋ab【答案】D [∵log 23＝a ，log 35＝b ，∴lg 3lg 2＝a ，lg 5lg 3＝1－lg 2lg 3＝b ，解得lg 2＝11＋ab，lg 3＝a1＋ab.∴lg 6＝lg 2＋lg 3＝11＋ab ＋a 1＋ab ＝1＋a 1＋ab.] 6．若函数f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1，2) B ．[1，2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)【答案】A [令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧g，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．]7．(2019·山东青岛月考)已知函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，则f (log 23)＝________.【答案】－1 [由题意得A (2，0)，因此f (2)＝4＋b ＝0，b ＝－4，从而f (log 23)＝3－4＝－。
2020高考数学(文)总复习训练(9)对数与对数函数含解析
课时跟踪练(九)A 组 基础巩固1．若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3（2x ＋5），x >0，12x ，x ≤0，则f (f (－1))＝()A ．2B.12C.14D ．log 37解析：因为f (－1)＝12－1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝log 39＝2. 答案：A2．(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝(14)13，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：因为c ＝log 1315＝log 35，a ＝log 372，又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以log 35>log 372>log 33＝1，所以c >a >1.因为y ＝(14)x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以(14)13<(14)0＝1，即b <1.所以c >a >b .故选D.答案：D3．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，所以a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称． 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B. 答案：B4．(2019·衡阳四中月考)若函数y ＝a －a x (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]，所以a >1， y ＝a －a x 在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)＝a －1＝1，f (1)＝0，所以a ＝2，所以log a 56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3.答案：C5．(2019·肇庆二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( ) A ．f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B ．f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C ．f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数 D ．f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数解析：由⎩⎪⎨⎪⎧10＋x >0，10－x >0，得x ∈(－10，10)，且f (x )＝lg(100－x 2)．所以f (x )是偶函数．又t ＝100－x 2在(0，10)上递减，y ＝lg t 在(0，＋∞)上递增，故函数f (x )在(0，10)上递减．答案：D6．(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________．解析：设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b ＝b a ，所以b 2b ＝bb 2， 即2b ＝b 2，解得b ＝2，a ＝4. 答案：4 27．(2019·河南普通高中毕业班高考适应性考试)已知函数f (x )＝log 0.5(sin x ＋cos 2 x －1)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：设g (x )＝sin x ＋cos 2 x －1，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以g (x )＝sin x －sin 2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋14.又1>sin x >0，所以当sin x ＝12时，g (x )取到最大值14.所以0<g (x )≤14，则f (x )＝log 0.5g (x )≥log 0.514＝2.答案：(2，＋∞)8．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a ＞0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )＞0，所以a ＞1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x ＞0，所以x ＞0或x ＜－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)9．(2019·菏泽一中阶段检测)已知x ，y ，z 均为正数，且2x ＝4y＝6z .(1)证明：1x ＋1y >1z；(2)若z ＝log 64，求x ，y 的值，并比较2x ，3y ，4z 的大小． (1)证明：令2x ＝4y ＝6z ＝k >1，则x ＝log 2k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ， 所以1x ＋1y ＝log k 2＋log k 4＝log k 8，1z ＝log k 6.因为k >1，所以log k 8>log k 6，所以1x ＋1y >1z .(2)解：因为z ＝log 64，所以6z ＝4， 所以x ＝2，y ＝1， 所以4z ＝log 644＝log 6256. 又63<256<64，则3<log 6256<4. 故3y <4z <2x .10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12（－x ），x ＜0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2转化为f (|x 2－1|)＞f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．B 组 素养提升11．(2019·衡阳八中月考)f (x )＝x α满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log α(x ＋1)|的图象大致为()解析：由f (2)＝2α＝4，得α＝2.所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|，则g (x )的图象由y ＝|log 2x |的图象向左平移一个单位得到，C 满足．答案：C12．(2019·临汾三模)已知函数f (x )＝|ln x |，若f (m )＝f (n )(m >n >0)，则2m ＋1＋2n ＋1＝( ) A.12B ．1C ．2D ．4解析：函数f (x )＝|ln x |的图象如图所示：由f (m )＝f (n )，m >n >0，可知m >1>n >0， 所以ln m ＝－ln n ，则mn ＝1.所以2m ＋1＋2n ＋1＝2（m ＋n ）＋4mn ＋m ＋n ＋1＝2（m ＋n ＋2）m ＋n ＋2＝2.答案：C13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2（3－x ），x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________．解析：若2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2(1＋a )＝1.解得a ＝－12，不合题意．当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝2－a －1＝1，即2－a ＝2⇒a ＝－1，所以f (a )＝f (－1)＝－log 24＝－2.答案：－214．已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1.(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln x＋1x－1＞lnm（x－1）（7－x）恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由x＋1x－1＞0，解得x＜－1或x＞1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln －x＋1－x－1＝lnx－1x＋1＝ln⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x－1－1＝－lnx＋1x－1＝－f(x)，所以f(x)＝ln x＋1x－1是奇函数．(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln x＋1x－1＞lnm（x－1）（7－x）恒成立，所以x＋1x－1＞m（x－1）（7－x）＞0，因为x∈[2，6]，所以0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立．令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，所以0＜m＜7.。
2020年高考课标版高考文科数学 §2.5 对数与对数函数
所有正数.∵x+ a ≥2 a ,∴只需2 a -4≤0,即2 a ≤4,解得a≤4.
x
故实数a的取值范围是(0,1)∪(1,4].
答案 (0,1)∪(1,4]
考向二 与对数函数有关的复合函数的单调性
例5 函数f(x)=log2(x2-2x-3)的单调增区间是
.
解析 由题意可知x2-2x-3>0,∴x>3或x<-1.
例1
(2018广东广州执信中学月考,5)设a,c为正数,且3a=lo g1 a,
1 3
b
=9,
1 3
c
=log3c,则
(
)
A.b<a<c B.c<b<a
C.c<a<b D.a<b<c
解题导引
解析 方程的根可以转化为两图象交点的横坐标,a为y=3x与y=lo g1 x两
答案 C
方法技巧
方法1 对数函数的图象及其应用
1.底数与1的大小关系决定了图象的升降,a>1时,图象上升;0<a<1时,图 象下降. 2.设y1=logax,y2=logbx,其中a>1,b>1(或0<a<1,0<b<1).当x>1时,“底大图 低”,即若 a>b,则y1<y2;当0<x<1时,“底大图高”,即若a>b,则y1>y2. 3.对一些可通过平移、对称作出其图象的对数函数型问题,在求解其单 调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法求解.
∴- 23 <1-log23,∴a<b.
又c=cos 5 =- 3 <- 2 =a,∴c<a<b.故选C. 6 23
江苏专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.5指数与对数教案含解析
§2.5指数与对数考情考向分析幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础，对数的概念和运算性质，换底公式等是研究指数函数、对数函数的前提，在高考中涉及面比较广．1．根式(1)根式的概念(2)两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数)；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，n>1)；②正数的负分数指数幂是mna-＝1mna＝1na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t ＝as ＋t(a >0，t ，s ∈Q )；②(a s )t＝a st(a >0，t ，s ∈Q )； ③(ab )t＝a t b t(a >0，b >0，t ∈Q )． 3．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数． ②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质①log a N a ＝N (a >0且a ≠1，N >0)； ②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M .概念方法微思考 根据对数的换底公式， (1)思考log a b ，log b a 的关系； (2)化简log m na b .提示 (1)log a b ·log b a ＝1； (2)log m na b ＝n mlog a b .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)na n＝(na )n ＝a (n ∈N *)．( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为m n个a 相乘．( × ) (3)2a ·2b ＝2ab.( × )(4)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (5)若lg x 2＝1，则x ＝10.( × ) 题组二 教材改编2．[P61例2]计算：1222309273(9.6)482-骣骣骣鼢?珑?+--?鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫＝. 答案 323．[P80习题T6]计算：(lg5)2＋lg2×lg50＝. 答案 14．[P80习题T12]已知lg6＝a ，lg12＝b ，那么用a ，b 表示lg24＝. 答案 2b －a题组三 易错自纠5．要使4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是． 答案 [2,4)∪(4，＋∞)解析 要使原式有意义，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －4≠0，解得2≤a <4或a >4. 6．有下列结论： ①lg(lg10)＝0； ②lg(lne)＝0； ③若lg x ＝1，则x ＝10； ④若log 22＝x ，则x ＝1； ⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9. 其中正确结论的序号是． 答案 ①②③④⑤解析 ①lg10＝1，则lg(lg10)＝lg1＝0； ②lg(lne)＝lg1＝0； ③底的对数等于1，则x ＝10； ④底的对数等于1；⑤log m n ＝lg n lg m ，log 3m ＝lg m lg3，则lg nlg3＝2，即log 3n ＝2，故n ＝9.题型一 指数幂的运算1.a 3a ·5a 4(a >0)的值是．答案 1710a解析a 3a ·5a 4＝14173325104152.a aa a a--==×2．化简：412333223384a a b a a b a-骣-ç??çç÷ç桫+(a >0)＝.答案 a 2解析 原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ 511162333111336(2).2a aa ab a a bb ⨯⨯-＝－＝ 3．已知x ＋x －1＝3，则3322x x -+的值为．答案 2 5 解析 11222()x x-+＝x ＋2＋x －1＝5，1122x x-\+=331112222()(1)x xx x x x ---\+=+-+＝5(3－1)＝2 5.4．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝. 答案55解析 由已知得，a ＝3＋5，b ＝3－5， 所以a ＋b ＝6，ab ＝4， 所以⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15. 因为a >b >0，所以a >b ，所以a －b a ＋b ＝55. 思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 题型二 对数的运算1．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝.答案 10解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.2．计算：121lg lg 251004-骣÷ç-?÷ç÷ç桫＝. 答案 －20解析 原式＝(lg2－2－lg52)×12100＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20. 3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案 1 解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 题型三 指数与对数的综合运算例(1)已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．解 令a x ＝b y ＝c z＝k . 由已知k >0且k ≠1，于是x lg a ＝y lg b ＝z lg c ＝lg k ，故1x ＝lg a lg k ，1y ＝lg b lg k ，1z ＝lg c lg k . 因为1x ＋1y ＋1z＝0，所以lg a ＋lg b ＋lg c lg k ＝0，即lg (abc )lg k＝0. 故lg(abc )＝0，得abc ＝1.(2)设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ·log b C ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1log Ca ＋1log Cb ＝3，1log Ca ·log Cb ＝1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ·log C b ＝1，(log C a －log C b )2＝(log C a ＋log C b )2－4log C a ·log C b ＝32－4＝5， 故log C a －log C b ＝± 5.于是log a bC ＝⎝⎛⎭⎪⎫log C a b －1＝1log C a －log C b ＝±55.思维升华指数、对数的综合运算，要充分利用对数的定义、指数、对数的运算性质，建立已知条件和所求式子间的联系．跟踪训练(1)若a log 23＝1，b log 35＝1，则9a ＋5b＝. 答案 7解析 a ＝log 32，b ＝log 53，于是3533log 2log 32log 2log 495953333437.a b＋＝＋＝＋＝＋＝＋＝(2)方程33x －56＝3x －1的实数解为．答案 x ＝log 32解析 原方程可化为2(3x )2＋5·3x－18＝0， 即(3x －2)(2·3x ＋9)＝0,3x ＝2(2·3x＝－9舍去)， 得x ＝log 32.(3)若log 2log 3x ＝log 3log 2y ＝log 2log 2z ＝1，则x 2，y 3，z 4从小到大的排列为． 答案 x 2<z 4<y 3解析 由题设得log 3x ＝2，log 2y ＝3，log 2z ＝2， 即x ＝32，y ＝23，z ＝22，故x 2＝34，y 3＝29，z 4＝28， 所以x 2<z 4<y 3.1．化简21123333243a b a b --骣÷ç÷赘-ç÷ç÷桫的结果为． 答案 －6a b解析 原式＝2112()3333243a b ----骣÷ç?÷ç÷ç桫 ＝－6ab －1＝－6a b.2．设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为．答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y＝3x －9＝32y，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.3．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为．答案 11＋13解析 由a －1a＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝9，即a 2＋1a2－2＝9，故a 2＋a －2＝11.又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13， 且a >0，所以a ＋a －1＝13. 于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13. 4．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b＝.答案107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a＝10,3b＝7，∴3a －b＝3a3b ＝107.5．lg 22·lg250＋lg 25·lg40＝. 答案 1解析 lg 22·lg250＋lg 25·lg40＝lg 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg10004＋(1－lg2)2·(2lg2＋1) ＝lg 22·(3－2lg2)＋(lg 22－2lg2＋1)·(2lg2＋1)＝1. 6．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为． 答案 a －2解析 log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 7．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝.答案 1解析 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得x log 63＝y log 64＝2，∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y＝log 62，故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1.8．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x <0，则f (f (－2))＝.答案 12解析 因为f (－2)＝2－2＝14，所以f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12. 9．若a >0，且a x＝3，a y＝5，则22yx a +＝.答案 9 5解析 11222222()()35y x x y aa a +=??10．(2018·徐州、连云港、宿迁检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，4x，x ≤0，则f (f (－1))的值为．答案 －2解析 因为f (－1)＝4－1＝14，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2. 11．化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋2310227-骣÷ç÷ç÷ç桫－3π0＋3748；解 (1)原式＝12259骣÷ç÷ç÷ç桫＋10.12＋236427-骣÷ç÷ç÷ç桫－3＋3748 ＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)＝3a 2÷3a －2＝43a .12．若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． 解 由已知得lg[(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy )， 则(x －y )(x ＋2y )＝2xy ，即x 2－xy －2y 2＝0， 也即(x －2y )(x ＋y )＝0.因为x >0，y >0，所以x ＋y >0，于是有x ＝2y ，即x y＝2.13．若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b＝. 答案 －2解析 ∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b>1. 又(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b＋2＝8，∴a 2b＋a－2b＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b＋a －2b－2＝4，∴a b－a －b＝－2.11 14．已知log a 18＝p ，log a 24＝q ，用p ，q 表示log a 1.5.解 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ log a 18＝p ，log a 24＝q ，即⎩⎪⎨⎪⎧log a (2×32)＝p ，log a (23×3)＝q . 变形为⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＋2log a 3＝p ，3log a 2＋log a 3＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧log a 2＝2q －p 5，log a 3＝3p －q 5.所以log a 1.5＝log a 32＝log a 3－log a 2＝3p －q 5－2q －p 5＝4p －3q 5，即log a 1.5＝4p －3q 5.15．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则ab ＝.答案 8解析 ∵a >b >1，∴log b a >1，又由log a b ＋log b a ＝52，得1log b a ＋log b a ＝52，可得log b a ＝2，∴a ＝b 2，又a b ＝b a ，∴b 2b ＝2b b ，∴b ＝2(b ＝0舍去)，∴a ＝4，故ab ＝8.16．已知m ，n 为正整数，a >0，a ≠1，且log a (m ＋n )＝log a m ＋log a n ，求m ，n 的值． 解 log a (m ＋n )＝log a m ＋log a n ＝log a (mn )． 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1. ∵m ，n 为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.。
(浙江专用)2020届高考数学一轮复习第二章函数2.5对数与对数函数教师用书(PDF,含解析)
综上，ｃ＜ｂ＜ａ，故选 Ｄ．
（２０１８ 浙江镇海中学阶段性测试，１５） 已知函数 ｆ（ ｘ） ＝
｜ ｌｏｇ２ ｘ ｜ ，正实数 ｍ，ｎ 满足 ｍ＜ｎ，且 ｆ（ ｍ） ＝ ｆ（ ｎ） ，若 ｆ（ ｘ） 在区间 ［ ｍ２ ，ｎ］ 上的最大值为 ２，则 ｍ＋ｎ 的值是 ．
解析 ∵ ｆ（ ｘ） ＝ ｜ ｌｏｇ２ ｘ ｜ 且 ｆ（ ｍ） ＝ ｆ（ ｎ） ，∴ ｍｎ ＝ １．又 ０＜ｍ＜
（２）
１ ２
；１
１－１ （２０１８ 浙江“ 七彩阳光” 联盟期初联考，５） 若 ｍ＋ ２ｎ ＝
２０（ ｍ，ｎ＞０） ，则 ｌｇ ｍ·（ ｌｇ ｎ＋ｌｇ ２） 的最大值是
（ ）
Ａ．１
Ｂ． ２
Ｃ． ３
Ｄ．２
１－１ 答案 Ａ
解 析 ｌｇ ｍ · （ ｌｇ ｎ ＋ ｌｇ ２ ） ＝ ｌｇ ｍ · ｌｇ （ ２ｎ ） ≤
值域
（０，＋∞ ）
（ －∞ ，＋∞ ）
单调性
当 ａ＞１ 时为增函数，当 ０＜ａ＜１ 时为减函数
函 数 值 的 情 况
对称性
当 ａ＞１ 时： 若 ｘ＞０，则 ｙ＞１； 若 ｘ ＝ ０，则 ｙ ＝ １； 若 ｘ＜０，则 ０＜ｙ＜１
当 ａ＞１ 时： 若 ｘ＞１，则 ｙ＞０； 若 ｘ ＝ １，则 ｙ ＝ ０； 若 ０＜ｘ＜１，则 ｙ＜０
ｂ＞０
且
ｂ≠１）
；
（４）
ｌｏｇａ
ｂ
＝
１ （
ｌｏｇｂ ａ
ｂ＞０
且
ｂ≠１）
；
（５） ｌｏｇａ Ｎ ＝ ｌｏｇａｎ Ｎｎ（ ｎ∈Ｒ，ｎ≠０） ．
４．对数函数的定义、图象及性质
定 义
一般地，我们把函数 ｙ ＝ ｌｏｇａ ｘ（ ａ＞０ 且 ａ≠１） 叫做对数函数
2020版高考数学(文)新精准大一轮课标通用版检测：第二章 第9讲 对数函数 含解析
[基础题组练]1．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是( )A ．[1，2]B ．[1，2) C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D.要使该函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，log 23（2x －1）≥0，解得12<x ≤1，故定义域为⎝⎛⎦⎤12，1. 2．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )解析：选B.因为lg a ＋lg b ＝0， 所以lg ab ＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a ，故g (x )＝－logb x ＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 正确．故选B.3．(2019·河南新乡模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B.因为a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0，1)，c ＝log 80.4<0，所以a >b >c .故选B. 4．(2019·河南平顶山模拟)函数f (x )＝log a |x ＋1|(a >0，a ≠1)，当x ∈(－1，0)时，恒有f (x )>0，则( )A ．f (x )在(－∞，0)上是减函数B ．f (x )在(－∞，－1)上是减函数C ．f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．f (x )在(－∞，－1)上是增函数解析：选D.由题意，函数f (x )＝log a |x ＋1|(a >0且a ≠1)，则说明函数f (x )关于直线x ＝－1对称，当x ∈(－1，0)时，恒有f (x )>0，即|x ＋1|∈(0，1)，f (x )>0，则0<a <1.又u ＝|x ＋1|在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f (x )在(－∞，－1)上是增函数，选D.5．已知函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，则f (log 23)＝________．解析：由题意得A (2，0)，因此f (2)＝4＋b ＝0，b ＝－4，从而f (log 23)＝3－4＝－1. 答案：－16．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为____________．解析：因为0<a <1，所以函数f (x )是定义域上的减函数，所以f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a 2a ，所以1＝3log a 2a ⇒a ＝(2a )3⇒8a 2＝1⇒a ＝24. 答案：247．已知函数f (x －3)＝log a x6－x (a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x3－x (a >0，a ≠1，－3<x <3)．(2)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，又定义域(－3，3)关于原点对称． 所以f (x )是奇函数．8．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求出a 的值．解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数的定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)． (2)因f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.[综合题组练]1．(2019·广东汕头金山中学期中)已知当0<x ≤12时，不等式log a x <－2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(1，2) C.⎝⎛⎭⎫22，1D ．(0，2)解析：选B.当0<x ≤12时，不等式log a x <－2恒成立，所以log a x <0.又0<x ≤12，所以a >1，因此y ＝log a x 是增函数，故x <a－2恒成立，所以12<a －2，得1<a <2，故选B.2．已知函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，1) C.⎝⎛⎭⎫0，13 D ．(3，＋∞)解析：选D.由于a >0，且a ≠1， 所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 所以a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， 所以a －3>0，即a >3.3．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫0，12上恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间是____________．解析：函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫0，12上恒有f (x )>0， 由x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，得2x 2＋x ∈(0，1)， 故有a ∈(0，1)．又f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞)， 根据复合函数的单调性的判断规则知， 函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 4．函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.答案：－145．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)由a x －1>0，得a x >1，当a >1时，x >0； 当0<a <1时，x <0.所以当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2， 故0<a x 1－1<a x 2－1，所以log a (a x 1－1)<log a (a x 2－1)．所以f (x 1)<f (x 2)． 故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 综上知，函数f (x )在定义域上单调递增．6．(应用型)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．。
2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习：2-5对数函数含解析
课时规范练A 组 基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( D ) A ．y ＝x B.y ＝lg x C ．y ＝2xD.y ＝1x2．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( D ) A ．a ＞c ＞b B.b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞aD.c ＞a ＞b3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( D )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜14．函数y ＝⎩⎨⎧3x，x ∈(－∞，1)，log 2x ，x ∈[1，＋∞)的值域为( D )A ．(0,3) B.[0,3] C ．(－∞，3]D.[0，＋∞)5．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( B )解析：由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0<a <1,0<b <1，则g (x )＝a x ＋b 的图象由y ＝a x 的图象沿y 轴向上平移b 个单位而得到，故选B.6．(2016·高考全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( C ) A ．a c <b c B.ab c <ba c C ．a log b c <b log a cD.log a c <log b c解析：对于选项A ，考虑幂函数y ＝x c ，因为c >0，所以y ＝x c 为增函数，又a >b >1，所以a c >b c ，A 错．对于选项B ，ab c<ba c⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫b a c <b a ，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C.7．如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( D ) A ．y ＜x ＜1 B.x ＜y ＜1 C ．1＜x ＜yD.1＜y ＜x8．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( B ) A ．a ＞b ＞c B.c ＞b ＞a C ．c ＞a ＞bD.a ＞c ＞b9．已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( B ) A ．d ＝ac B.a ＝cd C ．c ＝adD.d ＝a ＋c解析：∵log 5b ＝a ，lg b ＝c ∴5a ＝b,10c ＝b .∴5a ＝b ＝10c ＝(5d )c ＝5cd ， ∴a ＝cd .故选B.10．设a ＝0.36，b ＝log 36，c ＝log 510，则( C ) A ．c ＞b ＞a B.a ＞c ＞b C ．b ＞c ＞aD.a ＞b ＞c 11．(2018·梅州模拟)函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为 23 . 解析：函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]， ∵x ＝1时，f (x )＝0，∵x ＝3或13时，f (x )＝1，故1∈[a ，b ]，3和13至少有一个在区间[a ，b ]上， ∴b －a 的最小值为1－13＝23. 12．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝ 10 .13.＋log 354＋log 345＝ 278 .14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝ 32 .B 组 能力提升练1．已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则( B ) A ．a ＞b ＞c B.b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD.c ＞b ＞a解析：a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x ＜4，则f (1＋log 25)的值为( D )解析：∵2＜log 25＜3，∴3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝＝14×15＝120，故选D.3．(2018·岳阳模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( C ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(¬q )是真命题 D ．命题p ∨(¬q )是假命题解析：当x ＝10时，x －2＝10－2＝8，lg 10＝1，则不等式x －2>lg x 成立，即命题p 是真命题；当x ＝0时，x 2>0不成立，即命题q 是假命题，¬q 是真命题，所以命题p ∧(¬q )是真命题，故选C.4．若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则1a＋1b的值为(C)A．36 B.72C．108 D.172解析：设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝t，则a＝2t－2，b＝3t－3，a＋b＝6t，所以ab＝2t－2·3t－3＝2t·3t22·33＝6t108＝a＋b108，所以1a＋1b＝a＋bab＝108.故选C.5．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(C)A．f(x)在(0,2)单调递增B．f(x)在(0,2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称解析：由题意知，f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D错误；又f(x)＝ln[x(2－x)](0<x<2)，由复合函数的单调性可知f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A，B错误，故选C.6．若x log52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为(A)A．－4 B.－3C．－1 D.0解析：∵x log52≥－1，∴2x≥15，则f(x)＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3＝(2x－1)2－4.当2x＝1时，f(x)取得最小值－4.故选A.7．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(B) A．y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)解析：函数y＝ln x过定点(1,0)，(1,0)关于x＝1对称的点还是(1,0)，只有y＝ln(2－x)过此点．故选项B正确．8．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(A)A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0,1)上为增函数．故f (x )在(0,1)上为增函数．又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故选A.9．设函数f (x )＝－|x |，g (x )＝lg(ax 2－4x ＋1)，对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为( A ) A ．(－∞，4] B.(0,4] C ．(－4,0]D.[4，＋∞)解析：设函数f (x )的值域为A ，设函数g (x )的值域为B ，对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使f (x 1)＝g (x 2)等价于A ⊆B .又因为A ＝{y |y ＝f (x )}＝(－∞，0]，即(－∞，0]⊆B ，所以h (x )＝ax 2－4x ＋1的值必能取遍区间(0,1]的所有实数，当a <0时，函数h (x )的图象开口向下，且h (0)＝1，符合题意；当a ＝0时，函数h (x )＝－4x ＋1符合题意；当a >0时，函数h (x )的值要想取遍(0,1]的所有实数，当且仅当Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4.综上所述，a 的取值范围为(－∞，4]．故选A.10．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( C ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D.(0,1)∪(100，＋∞)解析：不等式可化为⎩⎨⎧ lg x ≥0，lg x ＜2或⎩⎨⎧lg x ＜0，－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1. ∴1100＜x ＜100.故选C.11．设方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0与log 14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( A )A ．0＜x 1x 2＜1 B.x 1x 2＝1 C ．1＜x 1x 2＜2D.x 1x 2≥2解析：方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0与log 14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，所以log 2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1，log 14x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2，可得x 2＝12.令f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (2)f (1)＜0，所以1＜x 1＜2，所以12＜x 1x 2＜1，即0＜x 1x 2＜1.故选A.12．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 .解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝232，结合对数函数图象(图略)，知f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32，故答案为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 13．函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为 －14 .解析：f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.14．若函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ＞2，－x 2＋2x －2，x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 . 解析：x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1， f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1.又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1.15．(2018·日照三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，x ∈[0，π)，log 2 017xπ，x ∈[π，＋∞)，若存在三个不同的实数a ，b ，c ，使得f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为__(2π，2_018π)__． 解析：当x ∈[0，π)时，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x ，∴f (x )在[0，π]上关于x ＝π2对称，且f (x )max ＝1.又当x ∈[π，＋∞)时，f (x )＝log 2 017xπ是增函数，作出y ＝f (x )的函数图象如图所示：令log2 017xπ＝1得x＝2 017π，∵f(a)＝f(b)＝f(c)，∴a＋b＝π，c∈(π，2 017π)，∴a＋b＋c＝π＋c∈(2π，2 018π)．。
2020年高考数学一轮复习考点09对数与对数函数必刷题(含解析)
考点09 对数与对数函数1、函数y＝log2（x－x2)的定义域是____，值域是____，单调增区间是___．【答案】（0，1) （－∞,－2］错误!【解析】由题意得,x－x2〉0，解得0〈x〈1，故函数y＝log2（x－x2)的定义域为(0,1)；因为y＝log2(x－x2）＝log2错误!≤log2错误!＝－2，所以函数的值域为（－∞，－2］;因为y＝log2t是单调增函数，所以函数g（x)＝x－x2的增区间即为原函数的增区间．因为g(x）＝x－x2在错误!上单调递增，故原函数的单调增区间为错误!.2、设f(x）为定义在R上的奇函数,当x〉0时,f(x)＝log3(1＋x），则f(－2)＝________.【答案】－1【解析】由题意得,f(－2)＝－f(2）＝－log3（1＋2）＝－1.3、函数f(x）＝错误!的定义域为___．【答案】(0,错误!］【解析】由题意得错误!解得0〈x≤错误!，故函数f(x)的定义域为(0，，6］．4、设a＝log32，b＝ln 2，则a，b，c的大小关系为________．【答案】c<a〈b【解析】a＝log32＝错误!<ln 2＝b,又错误!＝错误!<错误!，a＝log32>log3错误!＝错误!，因此c〈a〈b.5、设a＝log3π,b＝log2错误!，c＝log3错误!，则a，b，c的大小关系为__ __．【答案】a>b〉c【解析】a＝log3π>1，b＝12log23,则错误!〈b〈1，c＝错误!log32<错误!,所以a>b>c.6、若－1〈log a错误!<1，则实数a的取值范围为____．【答案】错误!∪错误!【解析】由－1〈log a错误!<1得log a错误!<log a错误!<log a a.若0〈a〈1，则函数y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减,所以错误!〉错误!>a,解得0〈a<错误!；若a〉1，则函数y＝log a x在(0，＋∞)上单调递增，所以错误!< 34<a，解得a〉错误!。
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§2.5对数与对数函数挖命题【考情探究】分析解读 1.对数函数在高考中的重点是图象、性质及其简单应用,同时考查数形结合的思想方法,以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主.2.以选择题、填空题的形式考查对数函数的图象、性质,也有可能与其他知识结合,在知识的交汇点处命题,以解答题的形式出现.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.破考点【考点集训】考点一对数的概念及运算1.(2018广东深圳高级中学月考,6)设a=log54-log52,b=ln+ln3,c=,则a,b,c的大小关系为()A.b<c<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b答案B2.(2017山西重点协作体一模,8)已知log7[log3(log2x)]=0,那么-等于()A. B. C. D.答案D3.(2018湖北荆州中学月考,13)化简:=.答案4.计算:-+log2(log216)=.答案考点二对数函数的图象与性质1.(2018湖南张家界三模,6)在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=log a(x+2)(a>0,且a≠1)的图象大致为()答案A2.(2018安徽安庆二模,7)函数f(x)=log a|x|(0<a<1)的图象的大致形状是()答案C考点三对数函数的综合应用1.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟(三),5)已知a=-,b=log2,c=lo,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b答案D2.(2018河南新乡一模,7)若log2(log3a)=log3(log4b)=log4(log2c)=1,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a答案D3.(2018广东模拟,12)已知函数h(x)的图象与函数g(x)=e x的图象关于直线y=x对称,点A在函数f(x)=ax-x2为自然对数的底数的图象上,A关于x轴对称的点A'在函数h(x)的图象上,则实数a的取值范围是()A. B.-C.-D.-答案A4.(2017辽宁沈阳二中期中,12)若函数f(x)=log2x在[1,4]上满足f(x)≤m2-3am+2恒成立,则当a∈[-1,1]时,实数m的取值范围是()A.-B.--∪∪{0}C.[-3,3]D.(-∞,-3]∪[3,+∞)∪{0}答案D炼技法【方法集训】方法1对数函数的图象及其应用1.(2017山东烟台期中,6)函数y=log a(|x|+1)(a>1)的图象大致是()答案B2.(2017北京海淀期中,5)已知函数y=x a,y=log b x的图象如图所示,则()A.b>1>aB.b>a>1C.a>1>bD.a>b>1答案A3.(2017湖南邵阳一模,7)若函数f(x)=a x-k·a-x(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=log a(x+k)的大致图象是()答案B方法2对数函数的性质及其应用1.(2017安徽蚌埠二中等四校联考,7)已知lo a<lo b,则下列不等式一定成立的是()A.ln(a-b)>0B.>C.<D.3a-b<1答案C2.(2018湖南张家界三模,9)若函数f(x)=log m(m>0且m≠1)在[2,3]上单调递增,则实数m的取值范围为()A.(1,36]B.[36,+∞)C.(1,16]∪[36,+∞)D.(1,16]答案D3.(2018福建龙岩期中,19)已知对数函数f(x)的图象过点(4,1).(1)求f(x)的解析式;(2)若实数m满足f(2m-1)<f(5-m),求实数m的取值范围.解析(1)依题可设函数f(x)=logx(a>0且a≠1),a∵f(x)的图象过点(4,1),∴f(4)=1⇒log a4=1⇒a=4,∴f(x)=log4x.(2)∵函数f(x)=log4x在定义域内单调递增,-∴不等式f(2m-1)<f(5-m)即--∴⇒<m<2,∴m的取值范围是.过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2018课标全国Ⅲ,7,5分)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)答案B2.(2016课标全国Ⅰ,8,5分)若a>b>0,0<c<1,则()A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c<b cD.c a>c b答案B3.(2018课标全国Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=.答案-7B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一对数的概念及运算1.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据:lg3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093答案D2.(2014四川,7,5分)已知b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c答案B考点二对数函数的图象与性质1.(2018天津,5,5分)已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案D2.(2016浙江,5,5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1.若log a b>1,则()A.(a-1)(b-1)<0B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0D.(b-1)(b-a)>0答案D3.(2015四川,4,5分)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A4.(2015陕西,10,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案C5.(2014山东,6,5分)已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1答案D考点三对数函数的综合应用(2014福建,8,5分)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()答案BC组教师专用题组考点一对数的概念及运算1.(2013陕西,3,5分)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是()A.log a b·log c b=log c aB.log a b·log c a=log c bC.log a(bc)=log a b·log a cD.log a(b+c)=log a b+log a c答案B2.(2015浙江,9,6分)计算:log2=,=.答案-;33.(2015四川,12,5分)lg0.01+log216的值是.答案24.(2015安徽,11,5分)lg+2lg2--=.答案-15.(2014陕西,12,5分)已知4a=2,lg x=a,则x=. 答案6.(2013四川,11,5分)lg+lg的值是.答案1考点二对数函数的图象与性质1.(2014安徽,5,5分)设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b答案B2.(2014辽宁,3,5分)已知a=-,b=log2,c=lo,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b答案D3.(2013湖南,6,5分)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为()A.0B.1C.2D.3答案C4.(2013课标Ⅱ,8,5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则()A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案D5.(2014天津,4,5分)设a=log2π,b=loπ,c=π-2,则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a答案C考点三对数函数的综合应用(2013天津,7,5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.(0,2]答案C【三年模拟】时间:45分钟分值:55分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届广东佛山第三中学模拟,8)设a=sin,b=lo,c=,则()A.a<c<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a答案C2.(2019届湖南顶级名校第一次联考,9)设f(x)=--则不等式f(x)>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(,+∞)C.(1,2)∪(,+∞)D.(1,2)答案C3.(2018山东师大附中模拟,4)若a>b>0,c>1,则()A.log a c>log b cB.a c<b cC.c a<c bD.log c a>log c b答案D4.(2017安徽蚌埠二中等四校联考,10)已知函数f(x)=log2(ax2+2x+3),若对于任意实数k,总存在实数x0,使得f(x0)=k成立,则实数a的取值范围是()A.-B.C.[3,+∞)D.(-1,+∞)答案B5.(2017山西临汾三模,10)已知函数f(x)=|ln x|,若f(m)=f(n)(m>n>0),则+=()A. B.1 C.2 D.4答案C,若f+f+…+f=503(a+b),则a2+b2的最小值为()6.(2017江西红色七校二模,11)已知函数f(x)=ln-A.6B.8C.9D.12答案B二、填空题(共5分)7.(2017辽宁沈阳一模,16)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则=. 答案9三、解答题(共20分)8.(2019届辽宁顶级名校联考,17)已知函数f(x)=log a(1-x)+log a(x+3)(0<a<1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的最小值为-4,求实数a的值.解析(1)由题意得解得-3<x<1,∴f(x)的定义域为{x|-3<x<1}.(2)将函数f(x)化为f(x)=log a[(1-x)(x+3)]=log a(-x2-2x+3)=log a[-(x+1)2+4].∵-3<x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4.∵0<a<1,∴log a[-(x+1)2+4]≥log a4,即f(x)min=log a4.由log4=-4,得a-4=4,a∴a=-=.故实数a的值为.9.(2019届辽宁顶级名校联考,21)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)设g(x)=log4·-,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.解析(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(-x),∴log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx.log4=-2kx,即x=-2kx对一切x∈R恒成立,∴k=-.-(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程log(4x+1)-x=log4·-有且只有一个实根,4即方程2x+=a·2x-a有且只有一个实根.令t=2x,t>0,则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根.①a=1⇒t=-,不合题意.②Δ=0⇒a=或-3.若a=⇒t=-,不合题意;若a=-3⇒t=.<0⇒a>1.③一个正根与一个负根,即--以上结果经过验证均满足a·2x-a>0.综上,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).。