高中数学模块测试卷新人教A版

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高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册

模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)，则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11．圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4，所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |，得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2，即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)，所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3．所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ．又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)．设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量，则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1，又因为a 2－b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下：设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2．直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数．所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0，所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0，整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0．从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意．综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。

高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第三册

模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{5},B ＝{1,2},C ＝{1,3,4},若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )A ．36B ．35C ．34D ．33【答案】D 【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为C 12C 13A 33＝36,但集合B ,C 中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为36－3＝33.2．在4次独立重复试验中,事件A 出现的概率相同,若事件A 至少发生一次的概率是6581,则事件A 在一次试验中出现的概率是( )A ．13B ．25C ．56D ．23【答案】A 【解析】设事件A 在一次试验中出现的概率是p .由事件A 至少发生1次的概率为6581,可知事件A 一次都不发生的概率为1－6581＝1681,所以(1－p )4＝1681,则p ＝13.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ,k ＝1,2,…,则P (2＜X ≤4)等于( )A ．516B ．316C ．116D ．14【答案】B 【解析】P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.4．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”,则P (AB )＝14,P (A )＝12,∴P (B |A )＝P AB P A ＝12.5．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 2n 的展开式的二项式系数之和为64,则展开式中含x 3项的系数是( )A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】D 【解析】由2n＝64得n ＝6,T r ＋1＝C r 6x 6－r·⎝⎛⎭⎪⎫12x 2r ＝12rC r 6x 6－3r ,令6－3r ＝3,得r＝1,故含x 3项的系数为121C 16＝3.6．为了考察某种中成药预防流感的效果,抽样调查40人,得到如下数据：项目患流感未患流感服用药 2 18 未服用药812下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：α 0.1 0.05 0.01 0.005 x α2.7063.8416.6357.579根据表中数据,计算χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d,若由此认为“该药物有效”,则该结论出错的概率不超过( )A ．0.05B ．0.1C ．0.01D ．0.005【答案】A 【解析】完成2×2列联表项目患流感未患流感合计服用药 2 18 20 未服用药 8 12 20 合计103040χ2＝40×2×12－8×18210×30×20×20＝4.8＞3.841＝x 0.05.7．某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析,得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y3568由表中数据,求得经验回归方程为y ＝0.8x ＋a ,若某儿童记忆能力为12,则预测他的识图能力为( )A ．9.5B ．9.8C ．9.2D ．10【答案】A 【解析】∵x ＝14×(4＋6＋8＋10)＝7,y ＝14×(3＋5＋6＋8)＝5.5,∴样本点的中心为(7,5.5),代入回归方程得5.5＝0.8×7＋a ^,∴a ^＝－0.1,∴y ＝0.8x －0.1,当x ＝12时,y ＝0.8×12－0.1＝9.5.8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有( )A ．40种B ．30种C ．20种D ．60种【答案】C 【解析】分类解决．甲排周一,乙,丙只能是周二至周五4天中选两天进行安排,有A 24＝12(种)方法；甲排周二,乙,丙只能是周三至周五选两天安排,有A 23＝6(种)方法；甲排周三,乙,丙只能安排在周四和周五,有A 22＝2(种)方法．由分类加法计数原理可知,共有12＋6＋2＝20(种)方法．二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0,则( ) A ．a 0＝1B ．a 1＋a 2＋…＋a 7＝129C ．a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256D ．a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝8 128【答案】BC 【解析】令x ＝0,则a 0＝－1,A 错误；令x ＝1,得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128①,所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129,B 正确；令x ＝－1,得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7②,①－②,得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7,∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256,C 正确；①＋②,得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7,∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128,D 错误．10．设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y )A ．E (X )＝2B ．D (X )＝1.4C ．E (Y )＝5D ．D (Y )＝7.2【答案】ACD 【解析】由离散型随机变量X 的分布列的性质得q ＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1,E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2,D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8,∵离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1,∴E (Y )＝2E (X )＋1＝5,D (Y )＝4D (X )＝7.2.故选ACD ．11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是( )A ．若任意选择三门课程,选法总数为A 37 B ．若物理和化学至少选一门,选法总数为C 12C 26 C ．若物理和历史不能同时选,选法总数为C 37－C 15D ．若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为C 12C 25－C 15【答案】ABD 【解析】对于A,若任意选择三门课程,选法总数为C 37,错误；对于B,若物理和化学选一门,有C 12种方法,其余两门从剩余的5门中选,有C 25种选法,选法为C 12C 25；若物理和化学选两门,有C 22种选法,剩下一门从剩余的5门中选,有C 15种选法,有C 22C 15种,由分类加法计数原理知,总数为C 12C 25＋C 22C 15,错误；对于C,若物理和历史不能同时选,选法总数为C 37－C 22C 15＝(C 37－C 15)种,正确；对于D,有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选,有C 11C 24种选法；②选化学,不选物理,有C 11C 25种选法；③物理与化学都选,有C 22C 14种选法,故总数为C 11C 24＋C 11C 25＋C 22C 14＝6＋10＋4＝20(种),错误．故选ABD ．12．为研究需要,统计了两个变量x ,y 的数据情况如下表：其中数据x 1,x 2,x 3,…,x n 和数据y 1,y 2,y 3,…,y n 的平均数分别为x 和y ,并且计算相关系数r ＝－0.8,经验回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则下列结论正确的为( )A ．点(x ,y )必在回归直线上,即y ＝b ^ x ＋a ^B ．变量x ,y 的相关性强C ．当x ＝x 1,则必有y ＝y 1D ．b ^＜0【答案】ABD 【解析】A ．回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过样本点中心(x ,y ),即y ＝b ^ x ＋a ^,所以A 正确；B ．相关系数r ＝－0.8,|r |＞0.75,变量x ,y 的相关性强,所以B 正确；C ．当x ＝x 1时,不一定有y ＝y 1,因此C 错误；D ．因为r ＝－0.8＜0,是负相关,所以b ^＜0,D 正确；故选ABD ．三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．一射击测试中,每人射击3次,每击中目标一次记10分,没有击中目标记0分,某人每次击中目标的概率为23,则此人得分的均值是________,得分的方差是________．【答案】202003 【解析】记此人3次射击击中目标η次,得分为ξ分,则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23,ξ＝10η,所以E (ξ)＝10E (η)＝10×3×23＝20,D (ξ)＝100D (η)＝100×3×23×13＝2003. 14．在二项式(2＋x )9的展开式中,常数项是________．【答案】16 2 【解析】由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r·x r,令r ＝0,得常数项为C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2.15．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不能影响正常的照明,可以熄灭其中的3盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,则熄灯的方法有________种(填数字)．【答案】56 【解析】由题意可知,最终剩余的亮着的灯共有9盏,且两端的必须亮着,所以可用插空的方法,共有8个空可选,所以应为C 38＝56(种)．四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．某校高三年级有6个班,现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛,且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．解：除每班1个名额以外,其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：(1)4个名额全部分给某一个班,有C 16种分法； (2)4个名额分给两个班,每班2个,有C 26种分法；(3)4个名额分给两个班,其中一个班1个,一个班3个,共有A 26种分法；(4)4个名额分给三个班,其中一个班2个,其余两个班每班1个,共有C 16·C 25种分法； (5)4个名额分给四个班,每班1个,共有C 46种分法．故共有C 16＋C 26＋A 26＋C 16·C 25＋C 46＝126(种)分配方法．17．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项,而(a 2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a 的值．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r C r 5x 20－5r 2,令20－5r ＝0,得r ＝4,故常数项T 5＝165×C 45＝16.又(a 2＋1)4展开式的各项系数之和等于2n, 由题意知2n＝16,得n ＝4,由二项式系数的性质知,(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3, 故有C 24a 4＝54,解得a ＝± 3.18．某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A 饮料,另外4杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对,则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元,否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数,假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列； (2)求此员工月工资的均值．解：(1)依题意知X 所有可能取值为0,1,2,3,4, P (X ＝0)＝C 04C 44C 48＝170,P (X ＝1)＝C 14C 34C 48＝835,P (X ＝2)＝C 24C 24C 48＝1835,P (X ＝3)＝C 34C 14C 48＝835,P (X ＝4)＝C 44C 04C 48＝170.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1708351835835170(2)令Y 表示此员工的月工资,则Y 的所有可能取值为2 100,2 800,3 500, 则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170, P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835,P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝1835＋835＋170＝5370.所以E (Y )＝170×3 500＋835×2 800＋5370×2 100＝2 280(元)．所以此员工月工资的均值为2 280元．19．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表：态度性别合计男性女性反感 10不反感 8总计30已知在这30人中随机抽取1人,抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析是否有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X ,求X 的分布列和均值．附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d. α 0.10 0.05 0.010 0.005 x α2.7063.8416.6357.879解：(1)态度性别合计男性女性反感 10 6 16 不反感6814合计1614 30由已知数据得χ2＝30×10×8－6×6216×14×16×14≈1.158＜2.706＝x 0.1.所以,没有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X 的可能取值为0,1,2,P (X ＝0)＝C 28C 214＝413,P (X ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891,P (X ＝2)＝C 26C 214＝1591.所以X 的分布列为X 0 1 2 P41348911591X 的均值为E (X )＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.20．近年来,随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加,某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势,如图是根据该市环保部门提供的2016年至2020年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图(为便于计算,把2016年编号为1,2017年编号为2,…,2020年编号为5)．(1)以PM2.5年均浓度值为因变量,年份的编号为自变量,利用散点图提供的数据,用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期－1的标准,空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米,该市若不采取措施,试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．解：(1)由散点图可得,变量x i ,y i 组成的几组数据为(1,13),(2,15),(3,20),(4,22),(5,25),则x ＝3,y ＝19,所以b ^＝－2×－6＋－1×－4＋0×1＋1×3＋2×6－22＋－12＋02＋12＋22＝3.1.a ^＝y －b ^x ＝19－3.1×3＝9.7.所以所求经验回归方程为y ^＝3.1x ＋9.7.(2)由3.1x ＋9.7＞35,得x ＞8.16,因为x ∈N ,所以x ＝9.故可预测到2024年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．21．某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动．根据市场调查,该店决定从2种不同型号的洗衣机、2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中(不同种商品的型号不同),选出4种不同型号的商品进行促销,该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买任何一种型号的商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得m (m ＞0)元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是12.(1)求选出的4种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号的概率； (2)设顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ,请写出X 的分布列,并求X 的均值；(3)该店若想采用此促销方案获利,则每次中奖奖金要低于多少元？解：(1)设“选出的4种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号”为事件A ,则P (A )＝2C 12C 13＋C 12C 12C 23C 47＝2435. (2)X 的所有可能的取值为0,m,2m,3m .P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18, P (X ＝m )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38, P (X ＝2m )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝38,P (X ＝3m )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18,所以顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额X 的分布列为于是顾客在3E (X )＝0×18＋m ×38＋2m ×38＋3m ×18＝1.5m .(3)要使促销方案对商场有利,应使顾客获得的奖金总额的均值低于商场的提价数额,因此应有1.5m ＜150,所以m ＜100.故每次中奖奖金要低于100元,才能使促销方案对商场有利．。

新教材2024年秋高中数学模块综合测评新人教A版必修第一册

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1 或x>3}，则A∩B＝( )A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}2．(2024·河北辛集中学月考)若幂函数f(x)]＝xα的图象经过点，则α的值为( )A．2 B．－2C．D．－3．(2024·湖北武汉期末)已知函数f(x)]＝x－e－x的部分函数值如表所示：x 10.50.750.6250.562 5f(x)0.632 1－0.106 50.277 60.089 7－0.007那么函数f(x)]的一个零点的近似值(精确度为0.01)为( )A．0.55 B．0.57C．0.65 D．0.74．(2024·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2024·福建厦门双十中学月考)将y＝图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)] 的图象，再将y＝g(x)]图象向左平移，得到y＝φ(x)]的图象，则y＝φ(x)]的解析式为( )A．y＝sin x B．y＝cos xC．y＝sin 9x D．y＝sin6．(2024·山东青岛期末)在直角坐标系中，已知圆C的圆心在原点，半径等于1 ，点P从初始位置(0，1)起先，在圆C上按逆时针方向，以角速度rad/s均速旋转3 s后到达P′点，则P′的坐标为( )A．B．C．D．7．(2024·浙江杭州四中期末)已知实数x，y，z满意x＝40.5，y＝log53，z＝sin ，则( )A．z<x<y B．y<z<xC．z<y<x D．x<z<y8．(2024·北京高考)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．(2024·山东新泰一中期末)下列结论中正确的是( )A．若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2B．若a，b，m为正实数，且a<b，则<C.若>，则a>bD．当x>0时，x＋的最小值为210．(2024·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝( )A．sin B．sinC．cos D．cos11．(2024·浙江省杭州七中期末)已知函数f(x)]＝sin ，则fA．是奇函数B．是偶函数C．关于点(π，0)成中心对称D．关于点成中心对称12．(2024·山东泰安期末)已知f(x)]是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则下列结论正确的是( )A．f(x)]在(0，＋∞)上单调递减B．f(x)]最多有两个零点C．f(log0.53)>f(log25)D．若实数a满意f(2a)>f，则a<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2a＝3b＝，则＋的值为________．14．的值为________．15．(2024·山东青岛期末)已知函数f(x)]＝ax2＋bx＋c，满意不等式f(x)]<0的解集为(－∞，－2)∪(t，＋∞)，且f(x－1)为偶函数，则实数t＝________．16．某化工厂产生的废气必需经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P＝P0·e t ln k(其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量)．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则k＝________；要能够按规定排放废气，还须要过滤n小时，则正整数n的最小值为________(参考数据：log52≈0.43)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2024·浙江高校附属中学期末)(1)计算：＋log23·log34＋lg 2＋lg 50；(2)已知tan α＝2，求cos ·cos(π－α)的值．18．(本小题满分12分)(2024·山东临沂期末)已知集合A＝{x|log2(x－1)<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)求实数a的取值范围，使________成立．从①A⊆∁R B，②B⊆∁R A，③(∁R A)∩B＝∅中选择一个填入横线处求解．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin2x＋cos x－2.(1)求函数f(x)的零点；(2)当x∈时，函数f(x)的最小值为－1，求α的取值范围．20．(本小题满分12分)(2024·湖北华中师大一附中期末)函数f(x)]＝－sin2x＋sin x cos x.(1)若f＝－＋，α∈(0，π)，求sin α；(2)若函数y＝f(ω)(0<ω<3)的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求ω的取值范围(不须要证明唯一性)．21．(本小题满分12分)(2024·湖北沙市中学期末)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位：分钟)满意5≤t≤20，t∈N.经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满意：p(t)＝其中t∈N.(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义；(2)若该路公交车每分钟的净收益y＝－10(元)，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．22．(本小题满分12分)(2024·山东烟台期末)已知函数f(x)＝4log2x＋，g(x)＝m·4x ＋2x+1－m，m<0.(1)求函数f(x)在区间(1，＋∞)上的最小值；(2)求函数g(x)在区间[1，2]上的最大值；(3)若对∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)＋g(x2)>7成立，求实数m的取值范围．模块综合测评1．A [在数轴上表示出集合A，B，如图所示．由图知A∩B＝{x|－2x－1}．]2．C [由已知可得f (3)＝3α＝，解得α＝．故选C．]3．B [函数f (x)＝x－在R上单调递增，由数表知：f (0.5) f (0.562 5)0 f (0.625) f (0.75) f (1)，由函数零点存在定理知，函数f (x)的零点在区间(0.562 5，0.625)内，所以函数f (x)的一个零点的近似值为0.57．故选B．]4．A [sin x＝1，x＝＋2kπ，k∈Z，cos x＝0，x＝＋kπ，k∈Z；sin x＝1可推出cos x＝0，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故为充分不必要条件，故选A．]5．A [将y＝sin 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝sin 的图象，再将y＝g(x)图象向左平移，得到φ(x)＝sin＝sin x的图象，故选A．]6．D [点P(0，1)为角α＝的终边上一点，3 s后点P按逆时针方向旋转到达P′点，点P′落在角β＝＋3×的终边上，cos β＝cos ＝－cos ＝－，sin β＝sin ＝－sin ＝－，故P′的坐标为．故选D．]7．C [x＝40.5＝>1，0＝log51y＝log53log55＝1，z＝sin 0，综上所述，故z y x．故选C．]8．C [f (x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x．选项A中：2x∈，此时f (x)单调递增，A错误；选项B中：2x∈，此时f (x)先递增后递减，B错误；选项C中：2x∈，此时f (x)单调递减，C正确；选项D中：2x∈，此时f (x)先递减后递增，D错误．故选C．]9．AC[对于A，若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3－＝(A＋B)－ab(A＋B)＝(A＋B)(a－b)2>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，且a<b，则－＝>0，所以>，故B错误；对于C，因为>，又c2>0，故a>b，故C正确；对于D，当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，故D错误．故选AC．] 10．BC[由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2．当ω＝2时，y＝sin (2x＋φ)，将点代入得，sin ＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin ．由于y＝sin ＝sin ＝sin ，故选项B正确；y＝sin ＝cos＝cos ，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin ＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos ＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin (－2x＋φ)，将代入，得sin ＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin ，但当x＝0时，y＝sin ＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC．]11．BD[因为f ＝sin ＝sin ＝cos x，故函数f 为偶函数，因为函数f 的对称中心坐标为，所以函数f 的图象关于点成中心对称．故选BD．]12．ACD[因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减，故A正确；函数零点个数无法确定，故B错误；f ＝f (log23)，因为log23<log25，所以f (log23)>f (log25)，故C正确；若实数a满意f (2a)>f ，即f (2a)>f ，则2a<＝，解得a<，故D正确．故选ACD．]13．2 [因为2a＝3b＝，所以a＝log2，b＝log3，所以＋＝＋＝＋＝＝2．]14．1 [原式＝＝＝＝1．]15．0 [依据解集易知：a<0 ，由f (x－1)为偶函数，可得f (x)关于直线x＝－1对称，即b－2a＝0．易知ax2＋bx＋c＝0的两根为t，－2，则依据根与系数的关系可得t－2＝－＝－2，解得t ＝0．]16． 4 [明显，当t＝0时，P＝P0，当t＝4时，P＝4%P0，则有P0＝P0·e4ln k，于是得k4＝，而k>0，解得k＝，设经过m小时后能够按规定排放废气，则有P0·e m ln k≤0.25%P0⇔k m≤，即≤⇔≥400⇔m≥log5400⇔m≥4＋8log52≈4＋8×0.43＝7.44，于是得还须要过滤时间n＝m－4≥3.44，则正整数n的最小值为4．所以k＝，正整数n的最小值为4．]17．解：(1)＋log23·log34＋lg 2＋lg 50＝＋log23×2log32＋lg 100＝＋2＋2＝．(2)cos ·cos (π－α)＝sin α·(－cos α)＝＝＝－．18．解：(1) A＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|0<x－1<4}＝{x|1<x<5}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}＝{x|[x－(a－1)][x－(a＋1)]<0}＝{x|a－1<x<a＋1}，当a＝1时，B＝{x|0<x<2}，所以A∪B＝{x|0<x<5}．(2)由(1)知，A＝{x|1<x<5}，B＝{x|a－1<x<a＋1}，所以∁R A＝{x|x≤1或x≥5},∁R B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}．若选①，A⊆∁R B，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选②，B⊆∁R A，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选③，(∁R A)∩B＝∅，则解得2≤a≤4，所以a的取值范围为2≤a≤4．19．解：(1)由sin2x＋cos2x＝1得：f (x)＝－2cos2x＋cos x，令f (x)＝0，解得cos x＝0或cos x＝，当cos x＝0时，x＝＋kπ，k∈Z；当cos x＝时，x＝2kπ±，k∈Z．所以函数f (x)的零点为＋kπ，2kπ±，k∈Z．(2)因为f (x)＝－2cos2x＋cos x，令cos x＝t，则f (x)＝g(t)＝－2t2＋t，因为f (x)的最小值为－1，所以－2t2＋t≥－1(等号可取)，解得－≤t≤1(等号可取)，即－≤cos x≤1(等号可取)，因为x∈，且cos ＝－，由－≤cos x≤1(等号可取)，x∈可得－≤α<．所以α的取值范围为．20．解： f (x)＝－sin2x＋sin x cos x＝－＋＝sin －．(1)由f ＝－＋，∴sin ＝，∵α∈(0，π)，∴<α＋<π．又sin ＝<＝sin ，∴<α＋<π，∴cos ＝－．故sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝．(2) y＝f (ωx)＝sin －，设t＝2ωx＋，由x∈，则t∈，由0<ω<3，则<＋<，<ωπ＋<，由题意y＝sin t－，在t∈时，有且仅有一条经过最高点的对称轴，即y＝sin t－的对称轴x＝或x＝仅有一条在定义域内．所以或解得<ω<或<ω<．又0<ω<3，故ω的取值范围为∪．21．解：(1)p(5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．(2)∵y＝－10，∴当5≤t<10时，y＝－10＝110－，任取5≤t1<t2≤6，则y1－y2＝－＝6(t2－t1)＋－＝6(t2－t1)＋＝，∵5≤t1<t2≤6，∴t2－t1>0，25<t1t2<36，∴y1－y2<0，∴函数y＝110－在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6，10)上单调递减，∴当t＝6时，y取得最大值38；当10≤t≤20时，y＝－10＝－10，该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t＝10时，y取得最大值28.4．综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．22．解：(1)当x∈(1，＋∞)时，log2x>0，所以4log2x ＋≥ 2＝4，当且仅当4log2x ＝，即x ＝时，等号成立，所以，函数f (x)在区间(1，＋∞)上的最小值为4．(2)g(x)＝m·4x＋2x+1－m＝m(2x)2＋2·2x－m，x∈[1，2]，令2x＝t，则上述函数化为y(t)＝mt2＋2t－m，t∈[2，4]．因为m<0，所以对称轴t ＝－>0，当－≤2，即m ≤－时，函数y(t)在[2，4]上单调递减，所以当t＝2时，y max＝3m＋4；当2<－<4，即－<m<－时，函数g(t)在上单调递增，在上单调递减，所以y max＝y＝－m －；当－≥4，即－≤m<0时，函数g(t)在[2，4]上单调递增，所以y max＝y(4)＝15m＋8．综上，当－≤m<0时，g(x)的最大值为15m＋8；当－<m<－时，g(x)的最大值为－m －；当m ≤－时，g(x)的最大值为3m＋4．(3)对∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f (x1)＋g(x2)>7成立，等价于g(x2)>7－f (x1)成立，即g(x)max>[7－f (x)]max，由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时，[7－f (x)]max＝7－f (x)min，因此，只须要g(x)max>3．所以当－≤m<0时，15m＋8>3，解得m>－，所以－≤m<0；当－<m<－时，－m －>3，解得m <或<m<0，所以，<m<－；当m ≤－时，3m＋4>3，解得m>－，此时解集为空集．综上，实数m 的取值范围为<m<0．。

高中数学模块综合检测新人教A版必修第二册

模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足i z ＋2＝i,则在复平面内,z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A2．在△ABC 中,a ＝3,b ＝2,A ＝30°,则sin B ＝( ) A ．13 B ．23 C ．23D ．223【答案】A3．某校高一年级有男生450人,女生550人,若在各层中按比例抽取样本,总样本量为40,则在男生、女生中抽取的人数分别为( )A ．17,23B ．18,22C ．19,21D ．22,18【答案】B4．已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |＝2,|b |＝1,则a －2b 与b 的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】C5．在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组,绘制如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．25B ．20C ．18D ．15【答案】D6．2021年是中国共产党成立100周年,电影频道推出“经典频传：看电影,学党史”系列短视频,首批21支短视频全网发布,传扬中国共产党伟大精神,为广大青年群体带来精神感召．小李同学打算从《青春之歌》《闪闪的红星》《英雄儿女》《焦裕禄》等四支短视频中随机选择两支观看,则选择观看《青春之歌》的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．25【答案】A7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为( )A ．15平方千米B ．18平方千米C ．21平方千米D ．24平方千米【答案】C【解析】设在△ABC 中,a ＝13里,b ＝14里,c ＝15里,∴由余弦定理得cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513,∴sin C ＝1213.故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．故选C ．8．在三棱锥ABCD 中,△ABC 与△BCD 都是正三角形,平面ABC ⊥平面BCD ,若该三棱锥的外接球的体积为2015π,则△ABC 的边长为( )A ．332 B ．634 C ．633 D ．6【答案】D【解析】如图,取BC 中点M ,连接AM ,DM .设等边△ABC 与等边△BCD 的外心分别为N ,G ,三棱锥外接球的球心为O ,连接OA ,OD ,ON ,OG .由V ＝4π3R 3＝2015π,得外接球半径R ＝15.设△ABC 的边长为a ,则ON ＝GM ＝13DM ＝36a ,AN ＝23AM ＝33a .在Rt △ANO 中,由ON 2＋AN 2＝R 2,得a 212＋a 23＝15,解得a ＝6.故选D ．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列说法中错误的是( )A ．若事件A 与事件B 互斥,则P (A )＋P (B )＝1B ．若事件A 与事件B 满足P (A )＋P (B )＝1,则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】ABD【解析】若事件A 与事件B 互斥,则有可能P (A )＋P (B )<1,故A 不正确；若事件A 与事件B 为同一事件,且P (A )＝0.5,则满足P (A )＋P (B )＝1,但事件A 与事件B 不是对立事件,B 不正确；互斥不一定对立,对立一定互斥,故C 正确；某人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立,D 错误．故选ABD ．10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】ABC【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%,故变化幅度最小,北京对应的条形图最高,则北京的平均价格最高,A 正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下,故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降,B 正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州,C 正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京,D 错误．故选ABC ．11．△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．a ⊥bC ．b ∥BC →D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】ACD【解析】由AB →＝2a ,得a ＝12AB →,又AB ＝2,所以|a |＝1,即a 是单位向量,A 正确；a ,b 的夹角为120°,B 错误；因为AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ,所以BC →＝b ,C 正确；(4a ＋b )·BC →＝4a ·b ＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0,D 正确．故选ACD ．12．如图,点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,则( )A ．三棱锥A －D 1PC 的体积不变B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．DP ⊥BC 1D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1【答案】ABD【解析】连接BD 交AC 于点O ,连接DC 1交D 1C 于点O 1,连接OO 1,则OO 1∥BC 1,所以BC 1∥平面AD 1C ,动点P 到平面AD 1C 的距离不变,所以三棱锥PAD 1C 的体积不变,又因为V 三棱锥PAD 1C ＝V 三棱锥AD 1PC ,所以A 正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ,A 1P ⊂平面A 1C 1B ,所以A 1P ∥平面ACD 1,B 正确；由于当点P 在B 点时,DB 不垂直于BC 1,即DP 不垂直BC 1,故C 不正确；由于DB 1⊥D 1C ,DB 1⊥AD 1,D 1C ∩AD 1＝D 1,所以DB 1⊥平面ACD 1,又因为DB 1⊂平面PDB 1,所以平面PDB 1⊥平面ACD 1,D 正确．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知复数z ＝1＋3i 1－i ,z －为z 的共轭复数,则z 的虚部为________．【答案】－2【解析】由z ＝1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋4i2＝－1＋2i,得z －＝－1－2i,∴复数z 的虚部为－2.14．一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,已知该组数据的中位数为众数的2倍,则：(1)该组数据的上四分位数是________； (2)该组数据的方差为________．【答案】(1)9 (2)11.25【解析】(1)一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,∵该组数据的中位数为众数的2倍,∴x ＋72＝2×3,解得x ＝5.∵8×0.75＝6,∴该组数据的上四分位数是8＋102＝9.(2)该组数据的平均数为：18(1＋3＋3＋5＋7＋8＋10＋11)＝6,∴该组数据的方差为18[(1－6)2＋(3－6)2＋(3－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＋(11－6)2]＝11.25.15．a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边．已知ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,A ＝45°,a ＝2,则c ＝________.【答案】4105【解析】由ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,得cos(A －B )＝2·a 2＋b 2－c 22ab＝2cos C ＝－2cos(A＋B ),整理,得3cos A cos B ＝sin A sin B ,所以tan A tan B ＝3.又A ＝45°,所以tan A ＝1,tan B ＝3.由sin B cos B ＝3,sin 2B ＋cos 2B ＝1,得sin B ＝31010,cosB ＝1010.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫31010＋1010＝255.由正弦定理,得c ＝a sin C sin A ＝4105. 16．如图,AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,BE 与CD 交于P 点,若AP →＝mAB →＋nAC →,则m ＝________,n ＝________．【答案】311 211【解析】因为AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,且E 、P 、B 三点共线,D 、P 、C 三点共线,所以存在x ,y 使得AP →＝xAE →＋(1－x )AB →＝14xAC →＋(1－x )AB →.因为AP →＝yAC →＋(1－y )AD →＝yAC →＋13(1－y )AB →,所以⎩⎪⎨⎪⎧14x ＝y ，1－x ＝13（1－y ），解得x ＝811,y ＝211,所以AP →＝14×811AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－811AB →＝211AC →＋311AB →＝311AB →＋211AC →.又因为AP →＝mAB →＋nAC →,所以m ＝311,n ＝211.四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z ＝m 2－m i(m ∈R),若|z |＝2,且z 在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i,求实数a ,b 的值．解：(1)∵z ＝m 2－m i,|z |＝2,∴m 4＋m 2＝2,得m 2＝1.又∵z 在复平面内对应的点位于第四象限,∴m ＝1,即z ＝1－i.(2)由(1)得z ＝1－i,∴z 2＋az ＋b ＝1＋i ⇒(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.∴(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得a ＝－3,b ＝4.18．在①b ＋b cos C ＝2c sin B ,②S △ABC ＝2CA →·CB →,③(3b －a )cos C ＝c cos A ,三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决问题．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足________． (1)求cos C 的值；(2)若点E 在AB 上,且AE →＝2EB →,EC ＝413,BC ＝3,求sin B ．解：(1)若选①：因为b ＋b cos C ＝2c sin B ,由正弦定理可得sin B ＋sin B cos C ＝2sin C sin B ．因为sin B ≠0,所以1＋cos C ＝2sin C ．联立⎩⎨⎧1＋cos C ＝2sin C ，sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝13,sin C ＝223,故cos C ＝13. 若选②：因为S △ABC ＝2CA →·CB →,所以12ab sin C ＝2ba cos C ,即sin C ＝22cos C ＞0,联立sin 2C ＋cos 2C ＝1,可得cos C ＝13.若选③：因为(3b －a )cos C ＝c cos A ,由正弦定理可得(3sin B －sin A )cos C ＝sin C cosA ,所以3sinB cosC ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．因为sin B ≠0,所以cos C ＝13.(2)由余弦定理可得cos ∠AEC ＝AE 2＋EC 2－AC 22AE ·EC ＝49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ,cos ∠BEC ＝BE 2＋EC 2－BC 22BE ·EC＝19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ,因为cos ∠AEC ＋cos ∠BEC ＝0,所以49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ＋19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ＝0,即2c 2＋9EC 2－3b 2－6a 2＝0,则2c 2－3b 2＝6a 2－9EC 2＝6×9－9×419＝13,①同时cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝13,即b 2－c 2＝2b －9,②联立①②可得b 2＋4b －5＝0,解得b ＝1,则c ＝22,故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝223,则sin B＝13. 19．如图所示,在四棱锥MABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,BC ∥AD ,∠CDA ＝90°,AD ＝4,BC ＝CD ＝2,△MBD 为等边三角形．(1)求证：BD ⊥MC ；(2)若平面MBD ⊥平面ABCD ,求三棱锥CMAB 的体积． (1)证明：取BD 中点O ,连接CO 、MO ,如图所示： ∵△MBD 为等边三角形,且O 为BD 中点,∴MO ⊥BD ．又BC ＝CD ,O 为BD 中点,∴CO ⊥BD ．又MO ∩CO ＝O ,∴BD ⊥平面MCO . ∵MC ⊂平面MCO ,∴BD ⊥MC ．(2)解：∵平面MBD ⊥平面ABCD ,且平面MBD ∩平面ABCD ＝BD ,MO ⊥BD , ∴MO ⊥平面ABCD ．由(1)知MB ＝MD ＝BD ＝22,MO ＝MB 2－BO 2＝6,S △ABC ＝12BC ·CD ＝2,∴V CMAB ＝V MABC ＝13×S △ABC ×MO ＝263.20．某冰糖橙为甜橙的一种,云南著名特产,以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽取100箱,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级珍品特级优级一级箱数 40 30 10 20 售价/(元·kg －1)36302418(2)按照分层抽样的方法,从这100箱橙子中抽取10箱,试计算各等级抽到的箱数； (3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起,再从中抽取2箱,求抽取的2箱中两种等级均有的概率．解：(1)依题意可知,样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×410＋30×310＋24×110＋18×210＝29.4(元/kg)． (2)依题意,珍品抽到110×40＝4(箱),特级抽到110×30＝3(箱),优级抽到110×10＝1(箱),一级抽到110×20＝2(箱)．(3)抽到的特级有3箱,编号为A 1,A 2,A 3,抽到的一级有2箱,编号为B 1,B 2. 从中抽取2箱,有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2)共10种可能,两种等级均有的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2)共6种可能,∴所求概率p ＝610＝35.21．已知向量a ＝(3cos ωx ,sin ωx ),b ＝(cos ωx ,cos ωx ),其中ω＞0,记函数f (x )＝a ·b .(1)若函数f (x )的最小正周期为π,求ω的值；(2)在(1)的条件下,已知△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,且a＝4,b ＋c ＝5,求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a ·b ＝3cos 2ωx ＋sin ωx ·cos ωx ＝3（cos 2ωx ＋1）2＋sin 2ωx2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32. ∵f (x )的最小正周期为π,且ω＞0,∴2π2ω＝π,解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32. 由0＜A ＜π,得π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,解得A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得16＝b 2＋c 2－bc .联立b ＋c ＝5,得bc ＝3. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成5组,第一组：[20,25),第二组：[25,30),第三组：[30,35),第四组：[35,40),第五组：[40,45),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户,五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1～5组,从5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05,∴6x＝0.05,解得x ＝120.(2)设中位数为a ,则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5,∴a ＝953≈32,则中位数为32.(3)①5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94,方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94,方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.②从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更稳定．。

2023版新教材高中数学模块素养测评卷二新人教A版必修第一册

模块素养测评卷(二)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合U＝{x∈N|0<x<8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则下列结论错误的是( )A．A∩B＝{3} B．A∪B＝{1，2，3，4，5，6}C．∁U A＝{4，5，6，7，8} D．∁U B＝{1，2，7}2．函数f(x)＝＋的定义域为( )A．[－2，1] B．(－2，1] C．(0，1] D．(1，＋∞)3.毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约1 050 km，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转 rad，昆仑站运动的路程约为( )A．2 200 kmB．1 650 kmC．1 100 kmD．550 km4．设a＝20.6，b＝20.5，c＝0.50.6，则( )A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a5．已知点P(3，－4)是角α的终边上一点，则sin α－cos α＝( )A．－ B．－ C． D．6．“log2x>log2y”是“<”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．若函数f(x)＝2x＋3x＋a在区间(0，1)内存在零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－5) B．(－5，－1)C．(0，5) D．(1，＋∞)8．已知函数f(x)满足f(sin x)＝cos2x＋cos2x，则f(sin x－cos x)＝( )A．3sin 2x－1 B．1－3sin 2xC．3cos 2x－1 D．1－3cos 2x二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列函数为偶函数的是( )A．y＝x3 B．y＝cos 2xC．y＝ln D．y＝ln (1＋x)＋ln (1－x)10．关于函数f(x)＝tan (－)，下列说法正确的是( )A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的定义域为C．f(x)的图象的对称中心为(kπ＋，0)，k∈Z D．f(x)在区间(0，π)上单调递增11．下列说法正确的是( )A．若x，y>0，满足x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4B．若x<，则函数y＝2x＋的最小值为3C．若x，y>0，满足x＋y＋xy＝3，则x＋y的最小值为2D．函数y＝＋的最小值为912．已知函数f(x)＝|lg x|，若a＞b＞c，且f(c)>f(a)>f(b)，则( )A．a＞1 B．b＞1C．0＜c＜1 D．0＜ac＜1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(8)＝________．14．已知函数f(x)＝则f(f(13))＝________．15．Sigmoid函数是一个在生物学、计算机神经网络等领域常用的函数模型，其解析式为S(x)＝，则此函数在R上________(填“单调递增”“单调递减”或“不单调”)，值域为____ ____．16．已知f(x)是定义在R上的奇函数且以6为周期，若f(2)＝0，则f(x)在区间(0，10)内至少有________个零点．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2，9)，(1)求实数a的值；(2)若f(2x－1)<3，求实数x的取值范围．18．(本小题满分12分)已知α是第三象限角，且sin α＝－，(1)求的值；(2)求sin (2α＋)的值．19．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2πxA sin (ωx＋φ)020－20(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)当x∈R时，求使f(x)≤1成立的x的取值集合．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2，(1)设函数h(x)＝f(x)＋g(x)，判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由；(2)∀x∈(－1，1)，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，求函数M(x)的解析式．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)图象上所有点的横坐标缩小到原来的，再向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的单调区间．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，(1)当x＜0时，f(x)＝x(x－1)，求当x＞0时，f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，0]上单调递增，①判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的判断；②若f(－2x2＋x)＋f(－2x2－k)<0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围．模块素养测评卷(二)1．答案：C解析：因为集合U＝{x∈N|0<x<8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，U B＝U A＝{4，5，6，7}，∁所以A∩B＝{3}，A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，∁{1，2，7}．2．答案：B解析：要使函数f(x)＝＋有意义，则，解得－2<x≤1，则函数f(x)的定义域为(－2，1].3．答案：C解析：因为昆仑站距离地球南极点约1 050 km，地球每自转 rad，所以由弧长公式得：l＝1 050×≈1 100.4．答案：D解析：由题， c＝0.50.6＝()0.6＝2－0.6，对于指数函数y＝2x可知在R上单调递增，因为－0.6<0.5<0.6，所以2－0.6<20.5<20.6，即c<b<a.5．答案：A解析：由三角函数的定义可得sin α－cos α＝－＝－.6．答案：C解析：log2x>log2y⇔x>y>0，<⇔>>0⇔x>y>0，因此“log2x>log2y”是“<”的充分必要条件．7．答案：B解析：函数f(x)＝2x＋3x＋a在区间(0，1)内存在零点，且函数在定义域内单调递增，由零点存在性定理知f(0)·f(1)<0，即(1＋a)(5＋a)<0，解得－5<a<－1，所以实数a的取值范围是(－5，－1).8．答案：A解析：∵f(sin x)＝cos2x＋cos2x＝1－sin2x＋1－2sin2x＝2－3sin2x，∴f(x)＝2－3x2，∴f(sin x－cos x)＝2－3×(sin x－cos x)2＝2－3×(1－2sin x cos x)＝－1＋6sin x cos x＝－1＋3sin 2x.9．答案：BD解析：A选项定义域为R，又f(－x)＋f(x)＝(－x)3＋x3＝0，故A选项为奇函数；C 选项定义域为(－1，1)，又f(－x)＋f(x)＝ln ＋ln ＝ln 1＝0，故C选项为奇函数；故AC 选项不对；B选项定义域为R，f(－x)＝cos (－x)＝cos x＝f(x)，故B为偶函数；D选项定义域为(－1，1)，f(x)＝ln (1＋x)＋ln (1－x)，f(－x)＝ln (1－x)＋ln (1＋x)，于是f(x)＝f(－x)，D选项为偶函数．10．答案：ACD解析：函数f(x)的最小正周期为T＝＝2π，A对；由－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠2kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋，k∈Z}，B错；由－＝(k∈Z)，解得x＝kπ＋(k∈Z)，所以，函数f(x)图象的对称中心为(kπ＋，0)(k∈Z)，C对；当0<x<π时，－<－<，故函数f(x)在区间(0，π)上单调递增，D对．11．答案：CD解析：若x，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y≥2＝2×2＝4，当且仅当x＝y＝1时等号成立，没有最大值，故A错误；若x<，即2x－1<0，则函数y＝2x－1＋＋1≤－2 ＋1＝－1，当且仅当x＝0等号成立，故B错误；若x，y>0，xy＝3－(x＋y)≤，所以(x＋y)2＋4(x＋y)－12≥0，所以(x＋y＋6)(x＋y－2)≥0，所以x＋y≥2，(当且仅当x＝y＝1时取等)，所以x＋y的最小值为2.故C正确；y＝＋＝(sin 2x＋cos 2x)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当2sin 2x＝cos 2x时等号成立，故D正确．12．答案：ACD解析：f(x)＝，定义域为(0，＋∞)，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为a＞b＞c，且f(c)>f(a)>f(b)，结合函数图象可知，0<c<1，且a>1，b则可能大于1，也可能大于0小于1，故AC正确，B错误；其中－lg c>lg a，则lg c＋lg a＝lg ac<0，故0<ac<1，D正确．13．答案：2解析：由f(x)为幂函数，则可设f(x)＝xα，又函数f(x)的图象过点(3，)，则3α＝，则α＝，即f(x)＝x，则f(8)＝8＝2.14．答案：解析：因为函数f(x)＝所以f(f(13))＝f()＝sin ()＝sin (2π＋)＝sin ＝.15．答案：单调递增　(0，1)解析：∵S(x)＝＝＝＝1－，定义域为R，∀x1，x2∈R，且x1<x2，则S(x1)－S(x2)＝1－－(1－)＝，∵x1<x2，∴0<e x1<e x2，e x1＋1>0，e x2＋1>0，e x1－e x2<0，∴S(x1)－S(x2)<0，即S(x1)<S(x2)，所以函数S(x)＝在R上单调递增；又e x>0，所以e x＋1>1，0<<1，－1<－<0，0<1－<1，即S(x)∈(0，1).16．答案：6解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数且以6为周期，所以f(x)＝－f(－x)，f(x)＝f(x＋6)，即f(－x)＋f(x＋6)＝0，所以f(x)的图象关于(3，0)对称，且f(3)＝0，则f(9)＝0，又f(0)＝0，f(6)＝0，又f(2)＝0，所以f(8)＝0，f(－2)＝0，f(4)＝0，所以f(x)在区间(0，10)内至少有6个零点．17．解析：(1)依题意a>0且a≠1，f(2)＝a2＝9⇒a＝3.(2)∵f(x)＝3x在R上是增函数，且f(2x－1)<3＝f(1)，∴2x－1<1，∴x<1，∴所求x的取值范围是(－∞，1).18．解析：(1)由α是第三象限角，且sin α＝－，得cos α＝－.原式＝＝－cos α＝.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝1－2sin 2α＝，所以sin (2α＋)＝sin 2αcos ＋cos 2αsin＝sin 2α＋cos 2α＝.19．解析：(1)表中数据补充完整为：ωx＋φ0π2πxA sin (ωx＋φ)020－20f(x)＝2sin (3x－).(2)由2sin (3x－)≤1，可得sin (3x－)≤，所以2kπ－≤3x－≤2kπ＋，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以使f(x)≤1成立的x的取值集合为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.20．解析：(1)h(x)＝log2(1＋x)＋log2＝log2(1＋x)－log2(1－x)，h(x)的定义域为(－1，1)，h(－x)＝log2(1－x)－log2(1＋x)＝－h(x)，所以h(x)是奇函数．(2)f(x)－g(x)＝log2(1＋x)－log2＝log2[(1＋x)(1－x)]＝log2(1－x2)≤log21＝0，所以当x∈(－1，1)时，f(x)≤g(x)，所以M(x)＝max{f(x)，g(x)}＝g(x)＝log2，x∈(－1，1).21．解析：(1)由图可知A＋b＝3，－A＋b＝－1，所以A＝2，b＝1.又＝＋＝，所以T＝π，因为ω>0，所以ω＝＝2.因为f()＝2sin (＋φ)＋1＝3，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<π，得φ＝－，所以f(x)＝2sin (2x－)＋1.(2)由题意得g(x)＝2sin (4x＋)＝2cos 4x，由2kπ≤4x≤π＋2kπ(k∈Z)，得≤x≤＋(k∈Z)，故g(x)的单调递减区间为[，＋](k∈Z)，由π＋2kπ≤4x≤2π＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z)，故g(x)的单调递增区间为[＋，＋](k∈Z).22．解析：(1)当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x(－x－1)，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故－f(x)＝－x(－x－1)，所以当x>0时，f(x)＝－x(x＋1).(2)①f(x)在(0，＋∞)上单调递增，理由如下：因为f(x)在(－∞，0]上单调递增，所以对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则－x1，－x2∈(0，＋∞)，且－x1>－x2，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x1)＝－f(－x1)，f(x2)＝－f(－x2)，故－f(－x1)<－f(－x2)，即f(－x1)>f(－x2)，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(－∞，0]上单调递增，可得函数f(x)在R上单调递增，又f(－2x2＋x)<－f(－2x2－k)，则f(－2x2＋x)<f(2x2＋k)，因为f(x)在R上单调递增，故－2x2＋x<2x2＋k恒成立，即k>－4x2＋x＝－4(x－)2＋，所以实数k的取值范围为(，＋∞).。

高中数学模块综合测评新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点A(3,a)在直线2x+y-7=0上,则a=()A.1B.-1C.2D.-2解析:∵2×3+a-7=0,∴a=1.答案:A2.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,异面直线AD与CB1所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1,而△BCB1为等腰直角三角形,所以∠BCB1=45°.答案:B3.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A.8B.7C.6D.5解析:由正视图和侧视图可知,该几何体由两层小正方体拼接成;由俯视图可知,最下层有5个小正方体;由侧视图可知,上层仅有一个小正方体,则共有6个小正方体.答案:C4.若球的半径扩大到原来的2倍,则体积扩大到原来的()A.64倍B.16倍C.8倍D.4倍解析:设球原来的半径为r,体积为V,则V=πr3,当球的半径扩大到原来的2倍后,其体积变为原来的23=8倍.答案:C5.已知m是平面α的一条斜线,点A∉α,l为过点A的一条动直线,则下列情形中可能出现的是()A.l∥m,l⊥αB.l⊥m,l⊥αC.l⊥m,l∥αD.l∥m,l∥α答案:C6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为7,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为()A.7B.4C.9D.3解析:设圆台较小底面的半径为r,则S圆台侧=π(r+3r)l=84π.∵l=7,∴r=3.答案:D7.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是()A.相切B.直线过圆心C.直线不过圆心,但与圆相交D.相离解析:圆(x+1)2+y2=1的圆心为(-1,0),圆心到直线x-y+1=0的距离d==0.∴直线x-y+1=0过圆心.答案:B8.圆x2+y2-8x+6y+16=0与圆x2+y2=16的位置关系是()A.相交B.相离C.内切D.外切解析:设圆x2+y2=16的圆心为O,则O(0,0),r1=4.设圆x2+y2-8x+6y+16=0的圆心为C,半径为r2,则C(4,-3),r2=3.∴|OC|==5,∴|r1-r2|<|OC|<r1+r2,∴两圆相交.答案:A9.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为2的正三角形,俯视图是正方形,则该几何体的侧视图的面积是()A.2B.C.4D.2解析:由题意可知侧视图与正视图形状完全一样是正三角形,面积S=×22=.答案:B10.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是()A.EF与BB1垂直B.EF与BD垂直C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面解析:连接A1B,∵E是AB1的中点,∴E∈A1B,∴EF是△A1BC1的中位线,∴EF∥A1C1,故D不成立.答案:D11.已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x-y-1=0的交点,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为()A.x2+(y+1)2=18B.x2+(y-1)2=3C.(x-1)2+y2=18D.(x-1)2+y2=3解析:直线x+y+1=0与直线x-y-1=0的交点为(0,-1),所以圆C的圆心为(0,-1),设半径为r,由题意可得+32=r2,解得r2=18,所以圆C的方程为x2+(y+1)2=18.答案:A12.(2016某某某某天全中学月考)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y),则即代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+11=0平行,则实数m的值是.解析:由条件可知,,解得m=8.答案:814.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为.解析:设球的直径为d,则V圆柱=π·d=,V圆锥=·d=,V球=.∴V圆柱∶V圆锥∶V球=3∶1∶2.答案:3∶1∶215.圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为.解析:∵圆心在直线x-2y=0上,∴可设圆心为(2a,a).∵圆C与y轴正半轴相切,∴a>0,半径r=2a.又圆C截x轴的弦长为2,∴a2+()2=(2a)2,解得a=1(a=-1舍去).∴圆C的圆心为(2,1),半径r=2.∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.答案:(x-2)2+(y-1)2=416P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出下列命题:①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;②若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC;④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心.请把正确命题的序号填在横线上:.解析:①因为PH⊥底面ABC,所以PH⊥BC,又PA⊥BC,所以BC⊥平面PAH,所以AH⊥BC.同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,正确.②若PA,PB,PC两两互相垂直,所以PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC,由此推出AH⊥BC,同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,正确.③若∠ABC=90°,H是AC的中点,可推出△PHA≌△PHB≌△PHC,则PA=PB=PC,正确.④若PA=PB=PC,由此推出AH=BH=CH,则H是△ABC的外心,正确.答案:①②③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)四面体的一条棱长为x,余下的棱长均为1.(1)把四面体的体积V表示为x的函数f(x),并求出定义域;(2)求体积V的最大值.解:如图,在四面体ABCD中,设AD=x,其余各棱为1.取AD的中点E,BC的中点F.在△ABC中,∵△ABC为正三角形,F点是BC的中点,∴AF⊥BC.同理FD⊥BC.∴⇒BC⊥平面AFD.(1)V=BC·S△AFD=·BC·AD·EF=BC·AD·EF=·1·x·=,即f(x)=,其中定义域为x∈(0,).(2)V=,当x=时,V max=.18.(本小题满分12分)已知圆M的半径为3,圆心在x轴正半轴上,直线3x-4y+9=0与圆M相切,(1)求圆M的标准方程;(2)过点N(0,-3)的直线l与圆M交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),而且满足x1x2,求直线l的方程.解:(1)设圆心为M(a,0)(a>0),=3,解得a=2或-8.因为a>0,所以a=2,所以圆M的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0,与圆M交于A(0,),B(0,-).此时x1=x2=0,满足x1x2,所以x=0符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx-3.由消去y,得(x-2)2+(kx-3)2=9,整理,得(1+k2)x2-(4+6k)x+4=0,①所以x1+x2=,x1x2=.由已知x1x2,得(x1+x2)2=x1x2,即,整理,得7k2-24k+17=0,解得k=1或.把k值代入到方程①中的判别式Δ=(4+6k)2-16(1+k2)=48k+20k2中,判别式的值都为正数,所以k=1或,所以直线l的方程为y=x-3或y=x-3,即x-y-3=0或17x-7y-21=0.综上,直线l的方程为x-y-3=0或17x-7y-21=0或x=0.19.(本小题满分12分)已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l经过点Q,且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.解:(1)设点P的坐标为(x,y),则=2.化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图,则直线l是此圆的切线,连接CQ,则|QM|=.当CQ⊥l1时,|CQ|取最小值,|CQ|==4,∴|QM|min=4.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点,且PA=AB=2.(1)证明:BC⊥平面AMN;(2)求三棱锥N-AMC的体积;(3)在线段PD上是否存在一点E,使得NM∥平面ACE?若存在,求出PE的长;若不存在,请说明理由.(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC.又∠ABC=60°,∴AB=BC=AC.又M为BC的中点,∴BC⊥AM,而PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC.又PA∩AM=A,∴BC⊥平面AMN.(2)解:∵S△AMC=AM·CM=×1=,又PA⊥底面ABCD,PA=2,∴AN=1,∴三棱锥N-AMC的体积V=S△AMC·AN=×1=.(3)解:存在点E.取PD的中点E,连接NE,EC,AE.∵N,E分别为PA,PD的中点,∴NE AD.又在菱形ABCD中,CM AD,∴NE MC,即四边形MCEN是平行四边形,∴NM∥EC.又EC⊂平面ACE,NM⊄平面ACE,∴MN∥平面ACE,即在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE,此时PE=PD=.21.(本小题满分12分)(2016某某襄阳枣阳白水中学月考)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-1)2+y2=25和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=16.(1)若直线l1经过点P(2,-1)和圆C1的圆心,求直线l1的方程;(2)若点P(2,-1)为圆C1的弦AB的中点,求直线AB的方程;(3)若直线l过点A(6,0),且被圆C2截得的弦长为4,求直线l的方程.解:(1)圆C1:(x-1)2+y2=25的圆心坐标(1,0),直线l1经过点P(2,-1)和圆C1的圆心,所以直线l1的方程为,即x+y-1=0.(2)因为点P(2,-1)和圆心C1的连线的斜率为k==-1,所以直线AB的斜率为1,所以直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.(3)因为直线l过点A(6,0),且被圆C2截得的弦长为4,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=16的圆心坐标(4,5),半径为4,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-6),则弦心距为.由于圆C2的半径、半弦长以及圆心到直线的距离满足勾股定理,故16=(2)2+,解得k=-,则直线l的方程为21x+20y-126=0.当直线l的斜率不存在时,方程为x=6,此时也满足题意.故直线l的方程为x=6或21x+20y-126=0.22.导学号96640141(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=.所以三棱锥E-ABC的体积V=S△ABC·AA1=×1×2=.。

2012-2013学年高中数学模块测试1 新人教A版必修1

必修1模块测试1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)一、选择题1．设集合A ＝{1,3}，集合B ＝{1,2,4,5}，则集合A ∪B ＝( )A ．{1,3,1,2,4,5}B ．{1}C ．{1,2,3,4,5}D ．{2,3,4,5}[答案] C[解析] A∪B＝{1,2,3,4,5}，故选C . 2．化简(27125)－13 的结果是( )A .35B .53C ．3D ．5[答案] B[解析] (27125)－13 ＝(35)3×(－13)＝(35)－1＝53，故选B . 3．若幂函数f(x)＝x a在(0，＋∞)上是增函数，则( )A ．a>0B ．a<0C ．a ＝0D ．不能确定[答案] A[解析] 当a>0时，f(x)＝x a在(0，＋∞)上递增，选A . 4．与y ＝|x|为同一函数的是( )A ．y ＝(x)2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x>0－x ，x<0 D ．y ＝a log a x[答案] B[解析] y ＝x 2＝|x|，故选B .5．设f(x)＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定[答案] B[解析] ∵f(1.25)f(1.5)<0，∴根在(1.25,1.5)内，故选B . 6．下列各式错误的是( )A ．30.8>30.7B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.4[答案] C[解析] y ＝0.75x为减函数，∴0.75－0.1>0.750.1，故选C .7．已知f(x)＝ax 7－bx 5＋cx 3＋2，且f(－5)＝m ，则f(5)＋f(－5)的值为( )A ．4B ．0C ．2mD ．－m ＋4[答案] A[解析] f(－5)＝a×(－5)7－b×(－5)5＋c×(－5)3＋2＝－a×57＋b×55－c×53＋2，f(5)＝a×57－b×55＋c×53＋2，∴f(5)＋f(－5)＝4，故选A .8．函数y ＝log 0.6(6＋x －x 2)的单调增区间是( )A ．(－∞，12] B ．[12，＋∞) C ．(－2，12]D ．[12，3)[答案] D[解析] 设y ＝log 0.6t ，t ＝6＋x －x 2，y ＝log 0.6(6＋x －x 2)增区间即为t ＝6＋x －x 2的减区间且t>0，故为(12，3)，故选D .9．函数y ＝－1x －1＋1的图象是下列图象中的( )[答案]A[解析]由于x≠1，否定C、D，当x＝0时，y＝2，否定B，故选A.10．定义集合A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素数字之和为( )A．9 B．14C．18 D．21[答案]B[解析]A*B＝{2,3,4,5},2＋3＋4＋5＝14，选B.11．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f(x)A．(－∞，1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)[答案] C[解析]f(2)f(3)<0，∴在(2,3)内有零点，故选C.12．某研究小组在一项实验中获得一组关于y、t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系( )A ．y ＝2tB ．y ＝2t 2C ．y ＝t 3D ．y ＝log 2t[答案] D[解析] 由点(2,1)，(4,2)，(8,4)，故选D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．函数y ＝log 3x 的定义域为______________．(用区间表示) [答案] [1，＋∞)[解析] log 3x ≥0，即x ≥1定义域为[1，＋∞)．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤22x ，x >2，则f (2)＝________；若f (x 0)＝8，则x 0＝________.[答案] 0 4[解析] f (2)＝22－4＝0，当x 0>2时，2x 0＝8，∴x 0＝4，当0≤x 0≤2时，x 20－4＝8，∴x 0＝±23(舍)，∴x 0＝4.15．函数y ＝f (x )与y ＝a x(a >0且a ≠1)互为反函数，且f (2)＝1，则a ＝________. [答案] 2[解析] f (2)＝log a 2，log a 2＝1，.∴a ＝2. 16.已知f (x )是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x >0时，f (x )的图象如右图所示，那么f (x )的值域是________．[答案] [－3，－2)∪(2,3][解析] 当x >0时，f (x )∈(2,3]，当x <0时，f (x )∈[－3，－2)，故值域为[－3，－2)∪(2,3]．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算： (1)2－12 ＋－122＋12－1－1－50；(2)log 225·log 3116·log 519.[解析] (1)原式＝2－12 ＋12＋12－1－ 1＝2－12 ＋2－12 ＋2＋1－1 ＝2·2－12 ＋ 2 ＝2＋2＝2 2(2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg5lg2·－4lg2lg3·－2lg3lg5＝16.18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}． (1)若a ＝－2，求A ∩∁R B ； (2)若A ⊆B ，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝－2时，集合A ＝{x |x ≤1}，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}∴A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}(2)∵A ＝{x |x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}A ⊆B∴a ＋3<－1 ∴a <－4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调减函数． [解析] (1)a ＝－1，f (x )＝x 2－2x ＋2.对称轴x ＝1，f (x )min ＝f (1)＝1，f (x )max ＝f (－5)＝37 ∴f (x )max ＝37，f (x )min ＝1(2)对称轴x ＝－a ，当－a ≥5时，f (x )在[－5,5]上单调减函数， ∴a ≤－5.20．(本小题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？[解析] (1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 1x 所以f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2即f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20－x )万元．依题意得：y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)令t ＝20－x (0≤t ≤25)．则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3所以当t ＝2，即x ＝16万元时，收益最大，y max ＝3万元． 21．(本小题满分12分)已知f (x )＝1x－2.(1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )＝1x－2在(0，＋∞)上是减函数．[解析] (1)解：f (x )的定义域是{x ∈R |x ≠0}；(2)证明：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的两个任意实数，且 x 1<x 2，则Δx ＝x 1－x 2<0， Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－2－(1x 2－2)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2.因为x 2－x 1＝－Δx >0，x 1x 2>0，所以Δy >0. 因此f (x )＝1x－2是(0，＋∞)上的减函数．22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝|x 2－4x －5|，g (x )＝k . (1)在区间[－2,6]上画出函数f (x )的图象； (2)若函数f (x )与g (x )有3个交点，求k 的值； (3)试分析函数φ(x )＝|x 2－4x －5|－k 的零点个数． [解析] (1)f (x )＝|x 2－4x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4－5 －2≤x ≤－1或5≤x ≤6－x 2－4x －5 －1≤x ≤5如下图．(2)∵函数f (x )与g (x )有3个交点∴由(1)的图可知此时g (x )的图象经过y ＝－(x 2－4x －5)的最高点即g (x )＝k ＝4·－1·5－424·－1＝9，∴k ＝9.(3)∵函数φ(x )＝|x 2－4x －5|－k 的零点个数等于函数f (x )与g (x )的交点个数又∵g (x )的图象是一条与x 轴平行的直线∴由(1)的图可知k ＝0或k >9时，函数φ(x )＝|x 2－4x －5|－k 的零点个数为2个 0<k <9时，函数φ(x )＝|x 2－4x －5|－k 的零点个数为4个；k ＝9时，函数φ(x )＝|x 2－4x －5|－k 的零点个数为3个； k <0时，函数φ(x )＝|x 2－4x －5|－k 的零点个数为0个．。

高中数学模块综合测试(一)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题

选修1-1模块综合测试（一）(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若命题p ：∀x∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( ) A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0 B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0 C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0 D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0 解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0. 答案：D2．不等式x －1x>0成立的一个充分不必要条件是( )A. －1<x <0或x >1B. x <－1或0<x <1C. x >－1D. x >1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －1x>0⇔－1<x <0或x >1 (*)，显然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.答案：D3．[2014·某某模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C4．[2014·某某省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( ) A. ∀x ∈R ，x 2－x －1>0B. ∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin βC. 函数y ＝2sin(x ＋π5)的图象的一条对称轴是x ＝45πD. 若“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值X 围为(－2,2)解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝4π5时，y ＝0，故C 错误；因为“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值X 围为(－2,2)．故选D.答案：D5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知 |BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23，所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 答案：C6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D. y 22－x 24＝1解析：与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.答案：D7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值X 围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <2解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c2>a ，∴c a>2.答案：C8．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A. 1∶πB. 2∶πC. 1∶2D. 2∶1解析：设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π(6－x 2π)2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4， (6－x )∶x ＝4∶2＝2∶1. 答案：D9．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x2＋1±bax ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4， ∴c 2a2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．[2014·某某五校联考]设函数f (x )＝e x(sin x －cos x )(0≤x ≤2012π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )A. －e 2π1－e2012π1－e 2πB. －e 2π1－e1006π1－eπC. －e 2π1－e1006π1－e2πD. －e 2π1－e2010π1－e2π解析：f ′(x )＝(e x)′(sin x －cos x )＋e x(sin x －cos x )′＝2e xsin x ，若f ′(x )<0，则x ∈(π＋2k π，2π＋2k π)，k ∈Z ；若f ′(x )>0，则x ∈(2π＋2k π，3π＋2k π)，k ∈Z .所以当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得极小值，其极小值为f (2π＋2k π)＝e2k π＋2π[sin(2π＋2k π)－cos(2π＋2k π)]＝e2k π＋2π×(0－1)＝－e2k π＋2π，k ∈Z .因为0≤x ≤2012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k ∈[0,1004]，所以函数f (x )的各极小值构成以－e 2π为首项，以e 2π为公比的等比数列，共有1005项，故函数f (x )的各极小值之和为S 1005＝－e 2π－e 4π－…－e2010π＝e2π1－e2010π1－e2π.答案：D11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如下图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：B12．[2013·某某高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C. 32D.62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0) ①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意a 2＋b 2＝3＝c 2②，|OA |＝|OF 1|＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y ＝13ax 3－12ax 2(a ≠0)在区间(0,1)上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：y ′＝ax 2－ax ＝ax (x －1)，∵x ∈(0,1)，y ′>0，∴a <0. 答案：a <014．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值X 围是__________．解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.答案：(0,1)15．[2014·某某质检]已知a ∈R ，若实数x ，y 满足y ＝－x 2＋3ln x ，则(a －x )2＋(a ＋2－y )2的最小值是________．解析：(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥x －a ＋a ＋2－y22＝x ＋x 2－3ln x ＋222.设g (x )＝x＋x 2－3ln x (x >0)，则g ′(x )＝1＋2x －3x＝2x ＋3x －1x，易知g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故g (x )≥g (1)＝2，(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥2＋222＝8.答案：816．[2013·某某省某某一中月考]F 1、F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×|PF 2|×r ＝12×|PF 1|×r －12λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，p 是q 的什么条件？(2)若q 是p 的必要条件，某某数a 的取值X 围．解：(1)A ＝{x |x －2x －3<0}＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝{x |12<x <94}，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2.18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值X 围．解：由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2，若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤12，所以0<c ≤12.若p 假q 真，则c ≥1且c >12，所以c ≥1.综上：c ∈(0，12]∪[1，＋∞)．19．(12分)[2014·海淀期末]已知函数f (x )＝(x ＋a )e x，其中a 为常数． (1)若函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，某某数a 的取值X 围； (2)若f (x )≥e 2在x ∈[0,2]时恒成立，某某数a 的取值X 围．解：(1)f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x，x ∈R .因为函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，所以f ′(x )≥0，即x ＋a ＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立．因为y ＝x ＋a ＋1是增函数，所以满足题意只需－3＋a ＋1≥0，即a ≥2. (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－a －1，f (x )，f ′(x )的变化情况如下：f (0)≥e 2，解得a ≥e 2，所以此时a ≥e 2；②当0<－a －1<2，即－3<a <－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (－a －1)，若满足题意只需f (－a －1)≥e 2，求解可得此不等式无解，所以a 不存在；③当－a －1≥2，即a ≤－3时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (2)，若满足题意只需f (2)≥e 2，解得a ≥－1，所以此时a 不存在．综上讨论，所某某数a 的取值X 围为[e 2，＋∞)．20．(12分)已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点．求|PA |＋|PF 1|的最大值．解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝6－|PF 2|，这样|PA |＋|PF 1|＝6＋|PA |－|PF 2|.求|PA |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|PA |－|PF 2|的最大值问题，即求|PA |－|PF 2|的最大值问题，如图在△PAF 2中，两边之差小于第三边，即|PA |－|PF 2|<|AF 2|，连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时，此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值，易求|AF 2|＝2，这样|PA |－|PF 2|的最大值为2，故|PA |＋|PF 1|的最大值为6＋ 2.21．(12分)已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是椭圆M 的一个焦点，又点A (1，2)在椭圆M 上．(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线l 的方向向量为(1，2)，若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1.将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)．故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线BC 的方程为y ＝2x ＋m ，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，代入椭圆方程并化简得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0，可得m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，故|BC |＝3|x 1－x 2|＝3×16－2m22.又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3，故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m216－2m24≤142×2m 2＋16－2m22＝ 2.因此△ABC 面积的最大值为 2.22．(12分)[2014·某某质检]已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值．解：(1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex ，又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解之得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．(3)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x .令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1ex ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．当k >1时，g (0)＝1>0，g (1k －1)＝－1＋1e 1k －1<0，又函数g (x )的图象在定义域R 上连续，由零点存在定理，可知g (x )＝0至少有一实数解，与“方程g (x )＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1.当k ＝1时，g (x )＝1e x >0，知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1.。

2022新教材高中数学模块检测含解析新人教A版必修第一册

模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{－1，1，2}，集合N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则M ∩N ＝( ) A ．{1，2，4}B ．{1}C ．{1，2}D ．{4}解析：选B ∵M ＝{－1，1，2}，x ∈M ，∴x ＝－1或1或2.由y ＝x 2得y ＝1或4，∴N ＝{1，4}．∴M ∩N ＝{1}．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x＋1（x ≤0），x a ＋2（x ＞0），如果f (f (－1))＝18，那么实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x＋1（x ≤0），x a ＋2（x ＞0），∴f (－1)＝3＋1＝4，f (f (－1))＝f (4)＝4a＋2＝18，解得a ＝2.3．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (厘米)和时间t (秒)的函数关系为s ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2t ＋π3，那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和完成一次完整的摆动所需的时间(秒)分别为( )A ．3，4B ．－3，4C ．3，2D ．－3，2解析：选A 振幅是3，T ＝2πω＝2ππ2＝4. 4．若“p ：x >a ”是“q ：x >1或x <－3”的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a >1 C ．a ≥－3D ．a ≤－3解析：选A p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ．设A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x >1或x <－3}，则A ⊆B ，但B ⃘A .如数轴，易知a ≥1.故选A.5．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64D ．64解析：选B 因为不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集是{x |1<x <3}，所以x ＝1和x ＝3是关于x 的一元二次方程x 2－ax －b ＝0的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3.所以b a ＝(－3)4＝81.故选B.6．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sinα＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.7．若1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝( )A ．－717B.717 C.512 D ．－512解析：选A 因为1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，所以sin 2α＋sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2，即sin αcos α－sin α＝tan α1－tan α＝2，所以tan α＝23，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×231－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝125，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝tan π4－tan 2α1＋tan π4tan 2α＝1－1251＋125＝－717，故选A.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0且方程f (x )－k ＋1＝0有三个不相等的实根，则k 的取值范围为( )A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．[－1，0]D ．[0，1]解析：选B f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ＜0，－x 2，x ≥0的图象如下：方程f (x )－k ＋1＝0有三个不相等的实根等价于函数y ＝f (x )的图象与y ＝k －1的图象有三个交点，所以－1＜k －1＜0，即0＜k ＜1.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知全集U ＝R ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为M ，集合N ＝{x |x 2－x ＜0}，则下列结论正确的是( )A ．M ∩N ＝NB ．M ∩(∁U N )≠∅C ．M ∪N ＝UD ．M ⊆(∁U N )解析：选AB 由题意知M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |0＜x ＜1}，∴M ∩N ＝N .又∁U N ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∴M ∩(∁U N )＝{x |x ≤0}≠∅，M ∪N ＝{x |x ＜1}＝M ，M ⃘(∁U N )，故选A 、B.10．下列命题是真命题的是( )A ．若幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，则α＝－12B ．∃x ∈(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞log 12xC ．∀x ∈(0，＋∞)，log 12x ＞log 13xD ．命题“∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＜1”的否定是“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≥1”解析：选BD 选项A 中，4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α⇒2－α＝22⇒α＝－2，A 错误；选项B 中，在同一平面直角坐标系中作出y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝log 12x 的图象，设两图象交点的横坐标为x 0，则当x 0＜x ＜1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞log 12x ，B 正确；选项C 中，取x ＝2，log 122＝－1，log 132＝－log 32＞－1，C 错误；选项D 显然正确．故选B 、D.11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2(x ∈R)，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0中心对称D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析：选ABC 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝cos 2x ，所以函数f (x )是偶函数，且最小正周期T ＝2πω＝π，故A 、B 正确；由2x ＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，x ＝π4，所以函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0中心对称，故C 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ∈[0，π]，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，故D 不正确．故选A 、B 、C.12．若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： ①∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； ②∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.则以下四个函数中不是“优美函数”的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－2x 3C ．f (x )＝1－xD ．f (x )＝ln(x 2＋1＋x )解析：选ACD 由条件①，得f (x )是奇函数，由条件②，得f (x )是R 上的减函数．对于A ，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于B ，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于C ，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于D ，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选A 、C 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．一批救灾物资由51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速送达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于v 2800km ，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________ h.解析：当最后一辆汽车出发时，第一辆汽车走了50·v 2800v ＝v16 h ，最后一辆汽车走完全程共需要400vh ，所以一共需要⎝⎛⎭⎪⎫400v ＋v 16h ，结合基本不等式计算最值，可得400v ＋v 16≥2400v ·v 16＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当400v ＝v 16，即v ＝80时，等号成立，故最小值为10 h.答案：1014．已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数，当x >0时，函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，则g (－1)＋g (－2)＝________．解析：∵当x >0时，f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称， ∴当x >0时，f (x )＝2x，∴当x >0时，g (x )＝2x＋x 2，又g (x )是奇函数，∴g (－1)＋g (－2)＝－[g (1)＋g (2)]＝－(2＋1＋4＋4)＝－11. 答案：－1115.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由图象可知，点A (x A ，2)在函数y ＝log 22x 的图象上，所以2＝log 22x A ，x A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12. 点B (x B ，2)在函数y ＝x 12的图象上，所以2＝(x B )12，x B ＝4.所以点C (4，y C )在函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象上，所以y C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫224＝14.又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1416．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω＞0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝________．函数f (x )的单调递增区间为________．解析：函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω＞0，x ∈R ，由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4，得T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12.则f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝sin π3＋12＝3＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z. 答案：3＋12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知p ：1x＜1，q ：x 2－3ax ＋2a 2＜0(其中a 为常数，且a ＞0)，(1)若p 为真，求x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：(1)由1x＜1，得x ＞1或x ＜0，即命题p 是真命题时x 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)． (2)由x 2－3ax ＋2a 2＜0得(x －a )(x －2a )＜0，因为a ＞0，则a ＜x ＜2a ，若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应的集合是p 对应集合的真子集，因为a ＞0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ≥1，得a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－55.(1)求sin 2α的值； (2)求cos β的值．解：(1)已知α为锐角，cos α＝35，所以sin α＝45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425.(2)由于α，β为锐角，则0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－55⇒sin(α＋β)＝255，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－55×35＋255×45＝55. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋x －|x |4.(1)用分段函数的形式表示函数f (x )；(2)在平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)在同一平面直角坐标系中，再画出函数g (x )＝1x(x ＞0)的图象，观察图象，写出当x＞0时，不等式f (x )＞1x的解集．解：(1)当x ≥0时，f (x )＝1＋x －x4＝1；当x ＜0时，f (x )＝1＋x ＋x 4＝12x ＋1. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，12x ＋1，x ＜0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)函数g (x )＝1x (x ＞0)的图象如图所示，当f (x )＞1x时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方，所以由图象可知f (x )＞1x的解集是{x |x ＞1}．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1x2－x 是定义在(0，＋∞)上的函数．(1)用定义法证明函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(2)若关于x 的不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x ＋m x ＜0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)证明：任取0＜x 1＜x 2，∴f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22－x 2＝x 22－x 21x 21x 22＋(x 2－x 1) ＝（x 2－x 1）（x 2＋x 1）x 21x 22＋(x 2－x 1) ＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 1x 21x 22＋1. ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 2＋x 1x 21x 22＋1＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (2)∵函数f (x )在其定义域内是减函数，且f (1)＝0，∴当x ∈(0，＋∞)时，原不等式恒成立等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x ＋m x ＜f (1)恒成立，即x 2＋2x ＋m x ＞1恒成立，即m ＞－x 2－x .∵当x ∈(0，＋∞)时，－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14＜0，∴m ≥0，即实数m 的取值范围是[0，＋∞)．21．(本小题满分12分)从①函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3为奇函数；②当x ＝π3时，f (x )＝3；③2π3是函数f (x )的一个零点，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2，f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π，________．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[0，2π]上的单调递增区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：∵函数f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π， ∴T ＝2πω＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)．选条件①：(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3为奇函数，∴φ－π3＝k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋k π，k ∈Z.∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)令－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π6＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6.∴函数f (x )在[0，2π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，2π.选条件②：(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32，∴π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π或φ＝π3＋2k π，k ∈Z.∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)同条件①. 选条件③：(1)∵2π3是函数f (x )的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝k π－2π3，k ∈Z.∴0＜φ＜π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)同条件①.22．(本小题满分12分)某人开网店创业专卖某种文具，他将这种文具以每件2元的价格售出，开始第一个月就达到1万件，此后每个月都比前一个月多售出1.5万件，持续至第10个月，在第11个月出现下降，第11个月出售了13万件，第12个月出售了9万件，第13个月出售了7万件，另据观察，第18个月销量仍比上个月低，而他前十个月每月投入的成本与月份的平方成正比，第4个月成本为8 000元，但第11个月起每月成本固定为3万元，现打算用函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)或f (x )＝km x＋n (k ≠0，m ＞0，m ≠1)来模拟销量下降期间的月销量．(1)请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理，并写出前20个月销量与月份x 之间的函数关系式；(2)前20个月内，该网店取得的月利润最高是多少，出现在哪个月？解：(1)假设从第11个月开始，月销量符合f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的变化趋势，则(11，13)，(12，9)，(13，7)均在f (x )上，即⎩⎪⎨⎪⎧121a ＋11b ＋c ＝13，144a ＋12b ＋c ＝9，169a ＋13b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－27，c ＝189.所以f (x )＝x 2－27x ＋189，对称轴为x ＝272，当x ≥14时，不符合题意，故此模型舍去；假设从第11个月开始，月销量符合f (x )＝km x ＋n 的变化趋势，则(11，13)，(12，9)，(13，7)均在f (x )上，即⎩⎪⎨⎪⎧km 11＋n ＝13，km 12＋n ＝9，km 13＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝214，m ＝12，n ＝5.所以f (x )＝214－x ＋5，当x ＝17时，f (17)＝214－17＋5＝418， f (18)＝214－18＋5＝8116，f (18)＜f (17)，故f (x )＝km x ＋n 更合理，此时f (x )＝214－x ＋5，x ≥11；由题知前10个月符合一次函数模型，设f (x )＝1.5x ＋b ，将(1，1)代入，解得b ＝－0.5，则f (x )＝1.5x －0.5，1≤x ≤10，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1.5x －0.5，1≤x ≤10，214－x ＋5，x ≥11.x ∈N ＋. (2)设前10个月成本(万元)与月份的关系为h (x )＝nx 2，将(4，0.8)代入解得n ＝120，则h (x )＝x 220，前10个月利润可表示为w (x )＝f (x )－h (x )＝2(1.5x －0.5)－x 220＝－120(x －30)2＋44，当x ＝10时取到最大值， w (x )max ＝24；当x ≥11时，f (x )＝214－x ＋5单调递减，第11个月利润有最大值，w(x)max＝13×2－3＝23；故月利润最高记录为24万元，出现在第10个月．。

高中数学模块素养测评卷一新人教A版必修第一册

模块素养测评卷(一)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x ∈N *|0<x <4}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <3} B ．{x |－1<x <4} C ．{1，2} D ．{0，1，2}2．“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定形式为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20 ≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20 <0 3．已知a ，b ∈R ，那么“3a<3b”是“log 13a >log 13b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)5．将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·sin x 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22sin 2x D ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 6．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )7．核酸检测在新冠疫情防控中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR 法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增过程中的靶标DNA 进行实时检测．已知被标靶的DNA 在PCR 扩增期间，每扩增一次，DNA 的数量就增加p %.若被测标本DNA 扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p 的值约为(参考数据：100.2≈1.585，10－0.2≈0.631)( )A ．36.9B ．41.5C ．58.5D ．63.18．已知函数f (x )＝m sin ωx ＋2cos ωx (m ≠0，ω>0)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π6，且f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝6，则函数f (x )在下列区间上单调递减的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，－2π3二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝cos x10．若a >b >0，则下列不等式成立的是( ) A ．b a >b ＋1a ＋1 B ．1a <1b C ．a ＋1b >b ＋1a D ．a ＋1a >b ＋1b11．如图是函数y ＝sin (ωx ＋φ)的部分图象，则sin (ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x C ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x12．已知函数f (x )＝x |x －a |，其中a ∈R ，下列结论正确的是( ) A ．存在实数a ，使得函数f (x )为奇函数 B ．存在实数a ，使得函数f (x )为偶函数C ．当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，a2)，(a ，＋∞)D ．当a <0时，若方程f (x )＋1＝0有三个不等实根，则a <－2 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23 ，则f (－8)的值是________． 14．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝________．15．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值为________．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x ，x <0(a ∈R )，且f (f (－1))＝1，则a ＝________；若f (f (m ))＝4，则m ＝________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求值： (1)()6423×⎝⎛⎭⎫34－32－0.125－13；(2)()log 37＋log 732－log 949log 73－(log 73)2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ， (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )在[1，3]上具有单调性，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos x sin (x ＋π6)－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．20．(本小题满分12分) 已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求sin α（sin 2α－cos 2α）2cos α－sin α的值；(2)求sin (α－β)的值．21．(本小题满分12分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形，面积为162平方米的三级污水处理池，平面图如图所示，池的深度一定，已知池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计，设水池的宽为x 米，总造价为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )在[10，20]上单调递增；(3)当污水处理池的宽为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝kx ＋log 3(3x＋1)(k ∈R )为偶函数． (1)求实数k 的值；(2)若方程f (x )＝12x ＋log 3(a ·3x－a )(a ∈R )有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围．模块素养测评卷(一)1．答案：C解析：B ＝{x ∈N *|0<x <4}＝{1，2，3}，A ＝{x |－1<x <3}，所以A ∩B ＝{1，2}． 2．答案：D解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，则“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定形式为：存在x 0∈R ，使得x 20 <0. 3．答案：B解析：由3a<3b⇒a log 13b 成立；由log 13a >log 13b ⇒a log 13b ”的必要不充分条件．4．答案：C解析：因为f (2)＝3－1>0，f (4)＝32－2<0，所以由根的存在性定理可知选C.5．答案：B解析：∵将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位得y ＝cos 2(x －π4)＝cos (2x －π2)＝sin 2x ＝2sin x cos x ＝f (x )·sin x ，∴f (x )＝2cos x ． 6．答案：B解析：由函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象可知，a ＝3，则对于选项A ，y ＝3－x是减函数，所以A 错误；对于选项B ，y ＝x 3的图象是正确的；对于选项C ，y ＝(－x )a ＝－x 3是减函数，故C 错；对于选项D ，函数y ＝log 3(－x )是减函数，故D 错误．7．答案：C解析：设DNA 数量没有扩增前为a ，由题意可得a (1＋p %)5＝10a ，所以(1＋p %)5＝10，所以1＋p %＝100.2，可得p %＝100.2－1＝0.585，p ＝58.5. 8．答案：B解析：因为函数f (x )＝m sin ωx ＋2cos ωx (m ≠0，ω>0)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离是π6，所以14×2πω＝π6，解得ω＝3.又f (0)＋f (π9)＝6，所以2＋32m ＋2×12＝6，解得m ＝23，所以f (x )＝23sin 3x ＋2cos 3x ＝4sin (3x ＋π6).令π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间是[π9＋2k π3，4π9＋2k π3]，k ∈Z .当k ＝－1时，(－π2，－π4)⊆[－5π9，－2π9]，所以函数f (x )在区间(－π2，－π4)上单调递减．9．答案：ABD解析：因为x ∈R ，f (－x )＝x 4＝f (x )，所以f (x )＝x 4为偶函数；因为x ≠0，函数f (－x )＝1x 2＝f (x )，所以f (x )＝1x2为偶函数；因为x ∈R ，f (－x )＝cos x ＝f (x )，所以f (x )＝cos x 为偶函数；因为x ≠0，函数f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋1x为奇函数．10．答案：BC解析：因为a >b >0，所以b －a <0，ab >0，所以b a －b ＋1a ＋1＝b （a ＋1）－a （b ＋1）a （a ＋1）＝b －a a （a ＋1）<0，所以b a 0，故C 正确；当a ＝12，b ＝13时，满足a >b >0，但是a ＋1a ＝12＋2＝52<b ＋1b ＝13＋3＝103，故D 不正确．11．答案：ABC解析：由函数图象可知T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π，则|ω|＝2πT ＝2ππ＝2，不妨令ω＝2，当x ＝23π＋π62＝5π12时，y ＝－1，∴2×5π12＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，即函数的解析式为y ＝sin (2x ＋2π3＋2k π)＝sin (2x ＋2π3)，故A 正确；又sin (2x ＋2π3)＝sin (π＋2x －π3)＝－sin (2x －π3)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，故B 正确；又sin (2x ＋2π3)＝sin (2x ＋π6＋π2)＝cos (2x ＋π6)，故C 正确；而cos (2x ＋π6)＝cos (π＋2x －5π6)＝－cos (2x －5π6)＝－cos (5π6－2x )，故D 错误．12．答案：ACD解析：由f (－x )＝－x |－x －a |＝－x |x ＋a |，显然当a ＝0时有f (－x )＝－f (x )，但不存在实数a 使f (－x )＝f (x )，A 正确，B 错误；f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －x 2，x <a x 2－ax ，x ≥a且f (x )在x ＝a 处连续，当a >0时，易知f (x )在(－∞，a2)上递增，在(a2，a )上递减，在(a ，＋∞)上递增，C 正确；由f (x )解析式，当a <0时f (x )在(－∞，a )上递增，在(a ，a 2)上递减，在(a2，＋∞)上递增，又f (a )＝0，f (a 2)＝－a 24，要使f (x )＋1＝0有三个不等实根，即f (x )与y ＝－1有三个交点，所以－a 24<－1，又a <0，可得a <－2，D 正确．13．答案：－4解析：f (8)＝823＝4，因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－4. 14．答案：－79解析：sin α－cos α＝43，两边平方得1－sin 2α＝169，则sin 2α＝－79.15．答案：7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得ab ＝3a ＋4b ，即b ＝3aa －4>0，所以a >4，a ＋b ＝a ＋3a a －4＝a －4＋12a －4＋7≥7＋212＝7＋43，当且仅当a ＝4＋2 3 时取等号，所以a ＋b 的最小值为7＋4 3.16．答案：14 －2或4解析：由题意得f (－1)＝2－(－1)＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，解得a ＝14.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥02－x ，x <0，又f (f (m ))＝4，当m <0时，f (f (m ))＝f (2－m )＝22－m－2＝4，解得m ＝－2；当m ≥0时，f (f (m ))＝f (2m －2)＝22m －2－2＝4，解得m ＝4.所以m ＝－2或4.17．解析：(1)原式＝(432)23×(413)－32－(18)－13＝4×4－12－2＝4×14－2＝0.(2)原式＝(log 37)2＋(log 73)2＋2log 37×log 73－log 37log 73－(log 73)2＝(log 37)2＋2－(log 37)2＝2.18．解析：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，故不等式f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞). (2)因为函数f (x )在[1，3]上具有单调性，所以a －12≤1或a －12≥3，解得a ≤3或a ≥7.19．解析：(1)因为f (x )＝4cos x sin (x ＋π6)－1＝4cos x ·(32sin x ＋12cos x )－1 ＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6)，故f (x )最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.20．解析：(1)因为α，β为锐角，tan α＝43，则sin αcos α＝43sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝35，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.所以sin α（sin 2α－cos 2α）2cos α－sin α＝tan α（sin 2α－cos 2α）2－tan α＝43×（2425－925）2－43＝65.(2)因为α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255， sin (α－β)＝sin [2α－(α＋β)]＝sin 2αcos (α＋β)－cos 2α·sin (α＋β) ＝2425×(－55)－(－725)×255＝－2525. 21．解析：(1)由已知得水池的长为162x米，所以y ＝400×2×(x ＋162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296×(x ＋100x)＋12 960，所以y 关于x 的函数解析式y ＝1 296(x ＋100x)＋12 960.(2)任取x 1，x 2∈[10，20]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1 296(x 1＋100x 1)＋12 960－[1 296×(x 2＋100x 2)＋12 960]＝1 296(x 1＋100x 1－x 2－100x 2)＝1 296[x 1－x 2＋100（x 2－x 1）x 1x 2]＝1 296(x 1－x 2)(1－100x 1x 2)∵10≤x 1<x 2≤20，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>100， ∴1－100x 1x 2>0，∴(x 1－x 2)(1－100x 1x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数y ＝f (x )在[10，20]上单调递增． (3)由(1)知y ＝1 296(x ＋100x)＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38 880，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时等号成立，函数取得最小值，即当污水处理池的宽为10米时，总造价最低，最低总造价为38 880元．22．解析：(1)由题设，f (－x )＝f (x )，即－kx ＋log 3(3－x＋1)＝kx ＋log 3(3x＋1)， ∴2kx ＝log 33－x＝－x ，可得2k ＝－1，则k ＝－12.11 (2)由题设，－x 2＋log 3(3x ＋1)＝x 2＋log 3(a ·3x －a )，则log 3(3x ＋1)＝x ＋log 3a (3x －1)， ∴a (3x －1)>0，且3x ＋1＝3x ·a (3x －1)＝a (32x －3x )，整理得a ·32x －(a ＋1)3x －1＝0，令t ＝3x (t ＞0)，则g (t )＝at 2－(a ＋1)t －1有且仅有一个零点，g (0)＝－1<0，g (1)＝－2<0，当a ＝0时，g (t )＝－t －1, 此时g (t )＝0，得t ＝－1，不合题意；当a >0时，x >0, 此时，t ∈(1，＋∞)且g (t )开口向上，∴g (t )在(1，＋∞)上有且仅有一个零点；当a <0时，x <0，此时，t ∈(0，1)且g (t )开口向下且对称轴是x ＝12(1＋1a)， ∴0<1＋1a<2，即a <－1时，仅当Δ＝(a ＋1)2＋4a ＝a 2＋6a ＋1＝0，可得a ＝－3－22符合条件；1＋1a<0，即－1<a <0时，g (t )在(0，1)上无零点．综上，a ∈{－3－22}∪(0，＋∞).。

【高中数学】新人教A版高二模块素养测评卷（一）(练习题)

新人教A版高二模块素养测评卷（一）(1212)1.已知函数f(x)=x2+3x+1，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=（）A.5B.52C.−5 D.−522.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（）A.214B.213C.2313D.24133.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1>0且a6a5=1113，则当S n取得最大值时，n的值为（）A.9B.10C.11D.124.设函数f(x)在(−∞,+∞)上的导函数为f′(x)，若f(lnx)=x+1x ，则f(0)f′(0)=（）A.2B.−2C.1D.e+15.已知S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若a1+a5+a9=15，S7=28，则S20202021=（）A.1009B.1010C.2020D.20216.已知x>1，y>1，且lnx，1，lny成等比数列，则xy有（）A.最小值√eB.最大值2eC.最小值e2D.最大值e7. 随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为（）A.3000×1.06×7元B.3000×1.067元C.3000×1.06×8元D.3000×1.068元8.定义：设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x)，若在(a,b)上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=e x−xlnx−m2x2在(1,4)上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（）A.(−∞，2e−1] B.[e−1，+∞)C.[e4−14,+∞) D.(e,+∞)9.已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1=1，公比q=2，则（）A.数列｛a2n｝是等比数列B.数列1a n是递增数列C.数列｛log2a n｝是等差数列D.S10，S20，S30仍成等比数列10.若函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y= f(x)的说法中正确的是（）A.在区间(2,4)上单调递减B.在区间(2,3)上单调递增C.x=−3是极小值点D.x=4是极大值点11.已知S n是等差数列｛a n｝(n∈N∗)的前n项和，且S8>S9>S7，则下列四个命题中，真命题是（）A.公差d<0B.在所有的S n<0中，S17最大C.a8>a9D.满足S n>0的n的个数为1512.若函数f(x)=ae x−x−2a有两个零点，则实数a的值可能是（）A.−2B.0C.2D.413.已知e是自然对数的底数，n是自然数，函数f0(x)=xe x，设f n+1(x)为f n(x)的导函数，即f1(x)=f0′(x)=1−xe x ，f2(x)=f1′(x)=x−2e x，f3(x)=f2′(x)=3−xe x，……根据以上规律，推断f2019(x)=.14.已知首项为正数的等比数列｛a n｝的公比q=lgx，且a100<a99<a101，则实数x的取值范围是.15.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a2=3，S5=25，则a n+1Sn +a n5的最小值为.16.如图，直线PT和AB分别是函数f(x)=x3−3x的图像过点P(2,2)的切线(切点为T)和割线，直线PT//x轴，则切线PT的方程为；若A(a，f(a))，B(b，f(b))，b< a<2，则a+b=.17.已知数列｛a n｝为等差数列，a2=3，a4=7.数列｛b n｝是公比为q(q>0)的等比数列，b1=1，b3=4.(1)求数列｛a n｝，｛b n｝的通项公式；(2)求数列｛a n+b n｝的前n项和S n.18.在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=−25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，｛b n｝是等比数列，，b1=a5，b2=3，b5=−81，是否存在k，使得S k>S k+1且S k+1<S k+2？19.如图，煤场的煤堆形状如圆锥，设圆锥母线与底面所成的角为α(α为常数). (参考数据：π取3.14，1.72=2.89，1.73≈4.91，为计算方便可取3.14×2.89≈9，3.14×4.91≈15)(1)高ℎ与底面半径r有什么关系？(2)若传送带以0.3m3/min的速度往煤场送煤形成新的煤堆，求当半径r=1.7m时，r对于时间t的变化率.20.设函数f(x)=x2−alnx.(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)当a=2时.①求函数f(x)在[1e,e]上的最大值和最小值；②若存在x1，x2，…，x n∈[1e,e]，使得f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n−1)⩽f(x n)成立，求n的最大值.21.已知数列｛a n｝是无穷数列，a1=a，a2=b，a，b是正整数，且当n⩾2，n∈N∗时，a n+1={a na n−1(a na n−1>1),a n−1 a n (a na n−1⩽1).(1)若a1=2，a2=1，写出a4，a5的值；(2)已知数列｛a n｝中有a k=1(k∈N∗)，求证：数列｛a n｝中有无穷项为1.22.已知函数f(x)=e x−ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a=3，f(x)的图像与y轴交于点A，求f(x)的图像在点A处的切线方程；(3)在(2)的条件下，证明：当x>0时，f(x)>x2−3x+1恒成立.参考答案2.【答案】:B【解析】:根据题意，设这个等比数列为｛a n ｝，其公比为q ，则由a 1=1，a 13=2，得q 12=a 13a 1=2，所以插入的第四个数应为a 5=a 1q 4=q 4=213，故选 B.3.【答案】:C【解析】:∵a 1>0且a 6a 5=1113，∴a 1+5da 1+4d =1113，整理得a 1=−212d ，∴d <0，则S n =na 1+n(n−1)2d =−212nd +n(n−1)2d =d 2(n −11)2−1212d ，∴当S n 取得最大值时，n 的值为11.故选 C.4.【答案】:B【解析】:令lnx =t ，则x =e t ，代入f(lnx)=x+1x得，f(t)=e t +1e t=1+1e t，∴f ′(t)=−1e t，∴f(0)f ′(0)=1+1−1=−2.故选 B.5.【答案】:B【解析】:由已知可得a 1+a 5+a 9=3a 5=15，∴a 5=5，设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则{a 5=a 1+4d =5,S 7=7a 1+7×62d =28，解得{a 1=1，d =1，∴a n =n ，∴S 20202021=2020×(2020+1)2×2021=1010.故选B.6.【答案】:C【解析】:∵x >1，y >1，且lnx ，1，lny 成等比数列，∴lnxlny =1⩽(ln⁡ x+ln⁡ y 2)2=(ln⁡ xy)24，即(lnxy)2⩾4，即lnxy ⩾2，即xy ⩾e 2，当且仅当x =y =e 时，等号成立，则xy 有最小值e 2，故选 C.7.【答案】:B【解析】:解：随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，依题意有y =3000×1.06x ，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x =7代入，即可求得y =3000×1.067．2021年年底该地区的农民人均年收入为3 000×1.067元．故选：B．根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，本题考查2021年年底该地区的农民人均年收入的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】:C【解析】:由题意得f′(x)=e x−ln x−mx−1，∵f(x)=e x−xlnx−m2x2在(1,4)上为“凸函数”，∴f″(x)=e x−1x −m<0在(1,4)上恒成立. ∵f″(x)=e x−1x−m在(1,4)上单调递增，∴e4−m−14⩽0，∴m⩾e4−14.故选 C.9.【答案】:A；C【解析】:由题意得a n=2n−1，∴a2n=22n−1，∴数列｛a2n｝是等比数列，故A正确；∵1a n =12n−1=21−n,∴数列1a n是递减数列，故B不正确；∵log2a n=n−1，∴数列｛log2a n｝是等差数列，故C正确；∵S10=1−2101−2=210−1，S20=220−1，S30=230−1，∴S10,S20,S30不成等比数列，故D不正确. 故选AC.10.【答案】:B；D【解析】:由图可知，在区间(2,4)上f′(x)>0，∴函数f(x)单调递增，故A不正确；在区间(2,3)上f′(x)>0，∴函数f(x)单调递增，故B正确；当x=−3时，函数f′(x)取得极小值，但此时函数f(x)没有取得极小值，故C不正确；当x=4时，f′(x)=0，且当2<x<4时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x>4时，f′(x)<0，f(x)为减函数，∴x=4是函数f(x)的极大值点，故D正确. 故选BD.11.【答案】:A；B；C【解析】:∵S8>S9，且S9=S8+a9，∴S8>S8+a9，即a9<0，又S8>S7，且S8=S7+a8，∴S7+a8>S7，即a8>0，∴d=a9−a8<0，故A，C为真命题. ∵S9>S7，S9=S7+a8+a9，∴S7+a8+a9>S7，即a8+a9>0，又a1+a15=2a8，∴S15=15(a1+a15)2=15a8>0. ∵a1+a16=a8+a9，∴S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)>0，又a1+a17=2a9，∴S17=17(a1+a17)2=17a9<0，故B为真命题，D为假命题. 故选ABC.12.【答案】:C；D【解析】:f′(x)=ae x−1. 当a⩽0时，f′(x)<0恒成立，函数f(x)单调递减，不可能有两个零点. 当a>0时，若x∈(−∞,−lna)，则f′(x)<0，函数f(x)单调递减，若x∈(−lna,+∞)，则f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故f(x)的最小值为f(−lna)=1+lna−2a.令g(a)=1+lna−2a，a>0，则g′(a)=1a −2，a>0，当a∈(0,12)时，g′(a)>0，g(a)单调递增，当a∈(12,+∞)，g′(a)<0，g(a)单调递减，故g(a)max=g(12)=−ln2<0，所以f(x)min=f(−lna)<0，所以函数f(x)有两个零点. 综上可得，a的取值范围是(0,+∞)，故选CD.13.【答案】:2019−xe x【解析】:f1(x)=f0′(x)=1−xe x ，f2(x)=f1′(x)=x−2e x，f3(x)=f2′(x)=3−xe x，f4(x)=f3′(x)=x−4e x，依此类推，可得f n(x)=(−1)n·x−ne x ，∴f2019(x)=2019−xe x.14.【答案】:(0,110)【解析】:由题意知a99>0，∵a100<a99<a101，∴a100−a99=a99(q−1)<0，a101−a99=a99(q2−1)>0，∴q<−1，即lgx<−1，∴0<x<110，即实数x的取值范围是(0,110).15.【答案】:85【解析】:∵a2=3=a1+d，S5=25=5a1+5×42d，∴a1=1，d=2，∴a n=a1+(n−1)d=2n−1，则a n+1S n +a n5=2nn+n(n−1)+2n−15=2n+2n5−15⩾2√2n·2n5−15，当且仅当2n=2n5时取等号，由于n∈N，故当n=2时，a n+1S n +a n5=2n+2n5−15取得最小值85.16.【答案】:y=2；−2【解析】:由直线PT//x轴，可得直线PT的方程为y=2. 由P(2,2)，A(a,a3−3a)，B(b,b3−3b)三点共线，可得k PA=k PB，易知k PA=a3−3a−2a−2=(a+1)2(a−2)a−2=(a+1)2，同样可得k PB=(b+1)2，则有(a+1)2=(b+1)2，因为a≠b，所以a+1+b+1=0，可得a+b=−2.17(1)【答案】设等差数列｛a n｝的公差为d，则{a2=a1+d=3,a4=a1+3d=7，解得{a1=1，d=2，∴a n=1+(n−1)×2=2n−1.对于等比数列｛b n｝, ∵b1=1，b3=4，b3=b1q2，∴q2=4，又q>0，∴q=2，∴b n= 2n−1.(2)【答案】S n=(a1+a2+⋯+a n)+(b1+b2+⋯+b n)=n(1+2n−1)2+2n−12−1=n2+2n−1.18.【答案】:∵｛b n｝是等比数列，b2=3，b5=−81，∴{b1q=3，b1q4=−81，解得{b1=−1，q=−3，∴b n=−(−3)n−1，∴a5=b1=−1.若S k>S k+1，即S k>S k+a k+1，则只需a k+1<0，同理，若S k+1<S k+2，则只需a k+2>0. 若选①b1+b3=a2，则a2=−1+(−9)=−10，又a5=−1，∴a n=3n−16，∴当k=4时，a5<0，a6>0，符合题意；若选②a4=b4，则a4=b4=27，又a5=−1，∴d=−28，∴等差数列｛a n｝为递减数列，故不存在k，使得a k+1<0，a k+2>0；若选③S5=−25，则S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=−25，∴a3=−5，又a5=−1，∴a n=2n−11，∴当k=4时，a5<0，a6>0，符合题意. 综上可知，若选①，则问题中的k存在，且k的值为4；若选②，则问题中的k不存在；若选③，则问题中的k存在，且k的值为4.19(1)【答案】由题意知，tanα=ℎr，∴ℎ=rtanα.(2)【答案】记t min时煤堆的体积为V，则V=13πr2ℎ=13πr3tanα=0.3t①，∴r=√0.9πtanα3t13②，②式两边对t求导，得r′(t)=13√0.9πtanα3t−23③，(注：①式两边对t求导，同样可得)设r=1.7m时对应的时刻为t0，由①得t0=πtanα0.9×1.73，∴t−23=(πtanα0.9)−23×1.7−2，代入③式得，r′(t0)=13√0.9πtanα3t−23=13√0.9πtan⁡α3·(πtan⁡α0.9)−23×1.7−2=0.3πtanα×1.7−2≈0.39tan⁡α=130tan⁡α(m/min).20(1)【答案】由函数f(x)=x2−alnx，可得f(x)的定义域为(0,+∞)， f ′(x)=2x −ax =2x 2−a x.当a ⩽0时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x)>0，得x >√2a 2，所以函数f(x)在(√2a2,+∞)上单调递增，令f ′(x)<0，得x <√2a 2，所以函数f(x)在(0,√2a2)上单调递减. 综上，当a ⩽0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >0时，函数f(x)在(√2a2,+∞)上单调递增，在(0,√2a2)上单调递减. (2)①【答案】当a =2时，由(1)知，函数f(x)在[1e ,1)上单调递减，在(1，e]上单调递增，故f(x)min =f(1)=1，又f (1e )=1e 2+2<3，5.29=2.72−2<f(e)= e 2−2<2.82−2=5.84，所以f(x)max =f(e)=e 2−2.②【答案】因为e 2−2=f(e)⩾f(x n )⩾f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x n−1)⩾(n −1)f(1)=n −1，所以n ⩽e 2−1<7，故n 的最大值为6. 21(1)【答案】∵a 1=2，a 2=1， ∴a 2a 1=12<1，∴a 3=a 1a 2=2. 同理可得，a 4=a 3a 2=2，a 5=a 3a 4=1.(2)【答案】a k =1(k ∈N ∗)，假设a k+1=m . ①当m =1时，依题意有a k+2=a k+3=⋯=1； ②当m >1时，依题意有a k+2=m ，a k+3=1；③当m <1时，依题意有a k+2=1m ，a k+3=1m 2，a k+4=1m ，a k+5=1m ，a k+6=1.综上可知，若a k =1(k ∈N ∗)，则在无穷数列｛a n ｝中，第k 项后总存在数值为1的项，由递推关系式可得，数列｛a n ｝中有无穷项为1. 22(1)【答案】f ′(x)=e x −a ，当a ⩽0时，f ′(x)>0恒成立，所以f(x)在R 上单调递增. a >0′x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增.(2)【答案】当a=3时，f(x)=e x−3x，令x=0，得f(0)=1，则A(0,1)，因为f′(x)=e x−3，所以f′(0)=1−3=−2，所以f(x)的图像在点A处的切线方程为y−1=−2(x−0)，即y=−2x+1.(3)【答案】令g(x)=f(x)−(x2−3x+1)=e x−x2−1，则g′(x)=e x−2x.令ℎ(x)=e x−2x，则ℎ′(x)=e x−2，所以当0<x<ln2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x>ln2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增, 所以ℎ(x)⩾ℎ(ln2)=e ln⁡2−2ln2=2−2ln2> 0，即g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=1−0−1= 0，故当x>0时，f(x)>x2−3x+1恒成立.。

高中数学模块综合测评(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2． ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件．] 2．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1 B [命题p 为全称命题，所以p 为∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．故选B ．]3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54B [由题意，1－b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52．]4．已知空间向量a ＝(t,1，t )，b ＝(t －2，t,1)，则|a －b |的最小值为( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4C [|a －b |＝2(t －1)2＋4≥2，故选C ．] 5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有()A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对D [对于x 2a 2＋y 29＝1，有a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D ．]6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1-AB -C 为( ) A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．π4D [以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1-AB -C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D ．]7．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5C [∵∀x ∈[1,2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C ．]8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8xB [由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0．又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．] 9．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫43，43，43B ．⎝⎛⎭⎫83，43，83 C ．⎝⎛⎭⎫43，43，83D ．⎝⎛⎭⎫83，83，43C [点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )，则DA →＝(1－a,2－a,3－2a )，DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →取最小值，此时OD →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83．] 10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13B ．13C ．±13D ．±12C [由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C ．]11．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A ．55B ．155C ．2155D ．1520B [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B ．]12．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是( ) A ． 3 B ．32 C ．33D ．34C [如图．设|AF |＝r 1，|BF |＝r 2，则|MN |＝r 1＋r 22．在△AFB 中，因为|AF |＝r 1，|BF |＝r 2且∠AFB ＝2π3，所以由余弦定理，得|AB |＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 2π3＝r 21＋r 22＋r 1r 2，所以|MN ||AB |＝r 1＋r 22r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×(r 1＋r 2)2r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×1＋r 1r 2r 21＋r 22＋r 1r 2≤12×1＋r 1r 23r 1r 2＝33，当且仅当r 1＝r 2时取等号．故选C ．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →．其中正确的是________．(填序号)①②③[∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，②正确；由①②可得AP →是平面ABCD 的法向量，③正确；由③可得AP →⊥BD →，④错误．]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．x 25－y 220＝1[由已知得ba ＝2，所以b ＝2a ．在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1．] 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为________．x 23＋y 2＝1[由e ＝c a＝23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2，设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，所以x 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2．|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2＋6．由a 2＋6＝3，可得a 2＝3，所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．]16．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．31717[如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心G ⎝⎛⎭⎫23，23，0，因此DP →＝(0,0,1)，GP →＝⎝⎛⎭⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．[解]∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A ．当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12．综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12．18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0．[解](1)由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，又双曲线过点(4，－10)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x 2－y 2＝6．(2)证明：由双曲线的方程为x 2－y 2＝6，可得a ＝b ＝6，c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．由点M (3，m )，得MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，又点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，解得m 2＝3，所以MF 1→·MF 2→＝m 2－3＝0．19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图①．①∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k ．在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ．又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1．(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，②∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1． 20．(本小题满分12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．[解](1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ．(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2． ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x ．21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED ．(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．[解](1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2，∴P A 2＋AD 2＝PD 2，即P A ⊥AD ．又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ．(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，13．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)，使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0．又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．[解](1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝⎛⎭⎫43，13， ∴169a 2＋19b2＝1， ∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． (2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c,0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c＝b 33a 2c ＋c 3，又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55．。

高中数学模块综合测评(一)(含解析)新人教A版选修1_2

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为( )A．i B．－iC．1 D．－1【解析】因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】 A2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为( )A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值( )【导学号：19220070】A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解析】由K2的意义可知，K2越大，说明X与Y有关系的可能性越大．【答案】 A4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．(2015·安徽高考)设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】2i1－i＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝2i －12＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】 B7．(2016·深圳高二检测)在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( ) A ．直接求出回归直线方程 B ．直接求出回归方程C ．根据经验选定回归方程的类型D ．估计回归方程的参数【解析】散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型．【答案】 C8．给出下面类比推理：①“若2a <2b ，则a 0，则a >b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b >0，则a >b (C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图1的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )图1A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01；运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01；运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01；运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01；运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01；运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C. 【答案】 C10．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( ) A ．3 B ．－3 C ．6D ．－6【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…观察可知{a n }是周期为6的周期数列，故a 33＝a 3＝3. 【答案】 A11．(2016·青岛高二检测)下列推理合理的是( ) A ．f (x )是增函数，则f ′(x )＞0B ．因为a ＞b (a ，b ∈R )，则a ＋2i ＞b ＋2i(i 是虚数单位)C ．α，β是锐角△ABC 的两个内角，则sin α＞cos βD ．A 是三角形ABC 的内角，若cos A ＞0，则此三角形为锐角三角形【解析】 A 不正确，若f (x )是增函数，则f ′(x )≥0；B 不正确，复数不能比较大小；C 正确，∵α＋β＞π2，∴α＞π2－β，∴sin α＞cos β；D 不正确，只有cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元【解析】 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)．因为b ^＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ^＝15.4，所以线性回归方程为y ^＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．) 13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________.【导学号：19220071】【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：“否”)．【解析】因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba ＋b ＝1858，dc ＋d ＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．【答案】是15．(2016·天津一中检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】已知等式可改写为：13＋23＝(1＋2)2；13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可得第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21216．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论________．【解析】由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.【答案】 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)(2016·哈三中模拟)设z ＝1－4i1＋i ＋2＋4i3＋4i，求|z |.【解】 z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i ，∴|z |＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2.18．(本小题满分12分)我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部．请画出学生会的组织结构图．【解】学生会的组织结构图如图．19．(本小题满分12分)给出如下列联表：患心脏病患其他病总计高血压 20 10 30 不高血压 30 50 80 总计5060110(参考数据：P (K 2≥6.635)＝0.010，P (K 2≥7.879)＝0.005) 【解】由列联表中数据可得 k ＝110×20×50－10×30230×80×50×60≈7.486.又P (K 2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 20．(本小题满分12分)已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a，1b ，1c不能构成等差数列.【导学号：19220072】【证明】假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则2b ＝1a ＋1c，因此b (a ＋c )＝2ac .而由于a ，b ，c 构成等差数列，且公差d ≠0，可得2b ＝a ＋c ， ∴(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，即1a ，1b ，1c不能构成等差数列．21．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】综合法：∵2ax ≤a 2＋x 2,2by ≤b 2＋y 2， ∴2(ax ＋by )≤(a 2＋b 2)＋(x 2＋y 2)．又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2(ax ＋by )≤2，∴ax ＋by ≤1. 分析法：要证ax ＋by ≤1成立，只要证1－(ax ＋by )≥0，只要证2－2ax －2by ≥0，又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，∴只要证a 2＋b 2＋x 2＋y 2－2ax －2by ≥0，即证(a －x )2＋(b －y )2≥0，显然成立．22．(本小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x －.【解】 (1)散点图如图，(2)x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑i ＝15x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.∑i ＝15x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625.a ^＝y －b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05.(3)x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82分．。

新教材高中数学模块综合测评含解析新人教A版选择性必修第一册

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线3x －y －2 021＝0的倾斜角等于( ) A ．π6 B ．π3 C ．π4D ．不存在B 〖直线3x －y －2 021＝0化为y ＝3x －2 021，则直线的斜率为3，所以直线的倾斜角等于π3.故选B ．〗2．已知向量a ＝(0,1,1)，b ＝(1，－2,1)．若向量a ＋b 与向量c ＝(－2，m ，－4)平行，则实数m 的值是( )A ．2B ．－2C ．10D ．－10A 〖a ＋b ＝(1，－1,2)，由(a ＋b )∥c 得－21＝m －1＝－42，解得m ＝2，故选A ．〗3．直线l ：3x －y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦AB 的长是( ) A ．10 B ．5 C ．10D ．102 C 〖将圆的方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y －2)2＝5.圆心坐标(1,2)，半径r ＝5，∴圆心到直线的距离d ＝|3－2－6|(－1)2＋32＝102，弦AB 的长|AB |＝25－52＝10.故选C 项．〗 4．已知点A (2，－1,2)在平面α内，n ＝(3,1,2)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝⎛⎭⎫1，3，32 C ．⎝⎛⎭⎫1，－3，32 D ．⎝⎛⎭⎫－1，3，－32B 〖设平面α内的一点为P (x ，y ，z )(不与点A 重合)，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)，∵n 是平面α的一个法向量，∴AP →⊥n ，∴3(x －2)＋(y ＋1)＋2(z －2)＝0，即3x ＋y ＋2z ＝9.将选项代入检验知B 正确，故选B ．〗5．已知直线l 过定点A (2,3,1)，且n ＝(0,1,1)为直线l 的一个方向向量，则点P (4,3,2)到直线l 的距离为( )A ．322B ．22C ．102D ．2A 〖P A →＝(－2,0，－1)，|P A →|＝5，P A →·n|n |＝－22，则点P 到直线l 的距离为|P A →|2－⎪⎪⎪⎪P A →·n |n |2＝5－12＝322.〗6．以F ⎝⎛⎭⎫0，p2(p ＞0)为焦点的抛物线C 的准线与双曲线x 2－y 2＝2相交于M ，N 两点，若△MNF 为正三角形，则抛物线C 的标准方程为( )A ．y 2＝26xB ．y 2＝46xC ．x 2＝46yD ．x 2＝26yC 〖由题意，以F ⎝⎛⎭⎫0，p 2(p ＞0)为焦点的抛物线C 的准线y ＝－p2，代入双曲线x 2－y 2＝2，可得x ＝±2＋p 24，∵△MNF 为正三角形，∴p ＝32×22＋p 24，∵p ＞0，∴p ＝26，∴抛物线C 的方程为x 2＝46y .〗7.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A ．63B ．255C ．155D ．105D 〖以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0，2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC 1→＝(－2,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝45·8＝105，∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105.〗 8．已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1B 〖设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝|BF 1|＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ，∴点A 是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝⎛⎭⎫32，b 2.由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B ．〗二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列说法中，正确的有( )A ．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点(3,2)B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为2C ．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为30°D ．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离为7ACD 〖对于A ，化简得直线y ＝a (x －3)＋2，故直线必过定点(3,2)，故A 正确；对于B ，直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2，故B 错误；对于C ，直线x －3y ＋1＝0的斜率为33，故倾斜角θ满足tan θ＝33，0°≤θ<180°，则θ＝30°，故C 正确；对于D ，因为直线x ＝－2垂直于x 轴，故点(5，－3)到直线x ＝－2的距离为5－(－2)＝7，故D 正确．故选ACD ．〗10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，C 1D 1的中点，则下列结论正确的是( )A ．A 1C 1∥平面CEFB ．B 1D ⊥平面CEFC ．CE →＝12DA →＋DD 1→－DC →D ．点D 与点B 1到平面CEF 的距离相等AC 〖建立空间直角坐标系，如图所示，设AB ＝2，平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∵E ，F 分别是A 1D 1，C 1D 1的中点，∴EF ∥A 1C 1，又EF ⊂平面CEF ，A 1C 1⊄平面CEF ，∴A 1C 1∥平面CEF ，故选项A 正确； C (0,2,0)，E (1,0,2)，F (0,1,2)，B 1(2,2,2)，D (0,0,0)． DB 1→＝(2,2,2)，EF →＝(－1,1,0)，CF →＝(0，－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·CF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－y ＋2z ＝0，令x ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝1，∴n ＝(2,2,1)，∵DB 1→＝(2,2,2)，∴DB 1与n 不平行， ∴B 1D 不垂直平面CEF ，故选项B 错误； CE →＝CD →＋DD 1→＋D 1E →＝CD →＋DD 1→＋12D 1A 1→＝12DA →＋DD 1→－DC →，故选项C 正确； DC →＝(0,2,0)，设点D 到平面CEF 的距离为d 1，则d 1＝|DC →·n ||n |＝44＋4＋1＝43， B 1C →＝(－2,0，－2)，设B 1到平面CEF 的距离为d 2，则d 2＝|B 1C →·n ||n |＝|－4＋0－2|3＝2≠43，故选项D 错误．故选AC ．〗11．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是( )A ．点P 的纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)CD 〖由x 28＋y 24＝1得，a 2＝8，b 2＝4，∴c 2＝4.设P (x ，y )，则S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×|y |＝3，解得|y |＝32，选项A 错误；设椭圆的上顶点为B ，∵b ＝c ＝2，∴∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2＝π2，选项B 错误；△F 1PF 2的周长为2a ＋2c ＝42＋4，选项C 正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，则S △F 1PF 2＝12|F 1P |·r ＋12|F 2P |·r ＋12·|F 1F 2|·r ＝12(|F 1P |＋|F 2P |＋|F 1F 2|)·r ＝12×4(2＋1)×r ＝3，解得r ＝32(2－1)，选项D 正确．故选CD ．〗12．已知双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1，则( ) A ．双曲线C 的离心率等于半焦距 B ．双曲线y 2－x 24＝1与双曲线C 有相同的渐近线 C ．双曲线C 的一条渐近线被圆(x －1)2＋y 2＝1截得的弦长为455D ．直线y ＝kx ＋b 与双曲线C 的公共点个数只可能为0,1,2 AD 〖由双曲线C 方程可知，a ＝1，b ＝2，c ＝5，所以离心率e ＝ca＝c .A 符合题意；双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，而双曲线y 2－x 24＝1的焦点在y 轴上，渐近线方程为y ＝±12x ，二者渐近线方程不同，所以B 不符合题意；圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到双曲线C 的渐近线y ＝2x 的距离为222＋(－1)2＝255.渐近线y＝2x 被圆(x －1)2＋y 2＝1截得弦长为21－⎝⎛⎭⎫2552＝255.C 不符合题意；由直线与双曲线的位置关系可知直线y ＝kx ＋b 与双曲线的公共点个数只可能为0,1,2，D 符合题意．〗三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a ·b ＝－9的向量b ＝________.(－2,1，－2) 〖依题意设b ＝λa ＝(2λ，－λ，2λ)(λ∈R )，所以a·b ＝4λ＋λ＋4λ＝－9，解得λ＝－1.故b ＝(－2,1，－2)．〗14．已知点P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，点Q ⎝⎛⎭⎫14，0，则|PQ |的最小值为________．354 〖设P (x ，y )，则|PQ |2＝⎝⎛⎭⎫x －142＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －142＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14(x －1)2＋4516. 所以当x ＝1时，|PQ |的最小值为4516＝354.〗 15．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________，|AB |＝________.(本题第一空2分，第二空3分)2 23 〖如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°，∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2.|AB |＝2r 2－OD 2＝2 3.〗16．已知点E ，F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________．23〖如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，13，F ⎝⎛⎭⎫0，1，23，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，13，EF →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，13，易知平面ABC 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)．设平面AEF 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AE →＝0，n 2·EF →＝0，即⎩⎨⎧y ＋13z ＝0，－x ＋13z ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3，故n 2＝(1，－1,3)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝31111.所以平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角α满足cos α＝31111，则sin α＝2211，所以tan α＝23.〗四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程. 〖解〗线段AB 的中点为(1,3)， k AB ＝2－43－(－1)＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为 (0＋1)2＋(1－4)2＝10， ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18.(本小题满分12分)如图所示，点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PMMC＝3，N 为PD 的中点．(1)求满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值； (2)若P A ＝AB ＝1，AD ＝2，求MN 的长．〖解〗 (1)取PC 的中点E ，连接NE (图略)，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM →－PE →)＝12CD→－⎝⎛⎭⎫34PC →－12PC →＝12CD →－14PC →＝－12AB →－14(－AP →＋AB →＋AD →)＝－34AB →－14AD →＋14AP →，所以x ＝－34，y ＝－14，z ＝14.(2)因为P A ＝AB ＝1，AD ＝2，且P A ⊥AB ，AB ⊥AD ，P A ⊥AD ，而|MN →|2＝⎪⎪⎪⎪－34AB →－14AD →＋14AP →2＝⎝⎛⎭⎫－34AB →2＋⎝⎛⎭⎫－14AD →2＋⎝⎛⎭⎫14AP →2＝916＋416＋116＝78，所以|MN →|＝144.故MN 的长为144. 19．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．〖解〗 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为焦距为2，所以c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 3＋4k2，x 1x 2＝－83＋4k 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k2，－2x 22＝－83＋4k 2，消去x 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12. 所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.20．(本小题满分12分)如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，A 1C 的中点，AD ＝AA 1＝2，AB ＝ 2.(1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1；(2)求平面EFD 与平面DEC 的夹角的余弦值；(3)在线段A 1D 1上是否存在点M ，使得BM ⊥平面EFD ？若存在，求出A 1MA 1D 1的值；若不存在，请说明理由．〖解〗 (1)证明：连接AD 1，A 1D ，交于点O ，所以点O 是A 1D 的中点，连接FO . 因为F 是A 1C 的中点，所以OF ∥CD ，OF ＝12CD ．因为AE ∥CD ，AE ＝12CD ，所以OF ∥AE ，OF ＝AE .所以四边形AEFO 是平行四边形．所以EF ∥AO .因为EF ⊄平面ADD 1A 1，AO ⊂平面ADD 1A 1，所以EF ∥平面ADD 1A 1.(2)以点A 为坐标原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为点E ，F 分别是AB ，A 1C 的中点，AD ＝AA 1＝2，AB ＝2，所以B (2，0,0)，D (0,2,0)，E ⎝⎛⎭⎫22，0，0，F ⎝⎛⎭⎫22，1，1. 所以DE →＝⎝⎛⎭⎫22，－2，0，EF →＝(0,1,1)．设平面EFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22x －2y ＝0，y ＋z ＝0.令y ＝1，则z ＝－1，x ＝2 2. 所以n ＝(22，1，－1)．由题知，平面DEC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，所以cos 〈n ，m 〉＝－110×1＝－1010. 所以平面EFD 与平面DEC 的夹角的余弦值是1010. (3)假设在线段A 1D 1上存在一点M ，使得BM ⊥平面EFD ．设点M 的坐标为(0，t ,2)(0≤t ≤2)，则BM →＝(－2，t ,2)．因为平面EFD 的一个法向量为n ＝(22，1，－1)，而BM →与n 不平行，所以在线段A 1D 1上不存在点M ，使得BM ⊥平面EFD ．21.(本小题满分12分)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE -BCF 和一个正四棱锥P -ABCD 组合而成的，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面P AD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P -ABCD 的高h ，使得二面角C -AF -P 的余弦值是223.〖解〗 (1)证明：在直三棱柱ADE -BCF 中，AB ⊥平面ADE ， AD ⊂平面ADE ，所以AB ⊥AD ．又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，AB ⊂平面ABFE ，AF ⊂平面ABFE ，所以AD ⊥平面ABFE . 因为AD ⊂平面P AD ，所以平面P AD ⊥平面ABFE .(2)由(1)知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，F (2,2,0)，C (2,0,2)，P (1，－h ,1)，AF →＝(2,2,0)，AC →＝(2,0,2)，AP →＝(1，－h ,1)．设平面AFC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AF →＝2x 1＋2y 1＝0，m ·AC →＝2x 1＋2z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝z 1＝－1，所以m ＝(1，－1，－1)．设平面AFP 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AF →＝2x 2＋2y 2＝0，n ·AP →＝x 2－hy 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝－1－h ，所以n ＝(1，－1，－1－h )．因为二面角C -AF -P 的余弦值为223，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m ||n |＝|1＋1＋1＋h |3×2＋(h ＋1)2＝223，解得h ＝1或h ＝－35(舍)，所以正四棱锥P -ABCD 的高h ＝1.22．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率e ＝32，O 为坐标原点，圆O ：x 2＋y 2＝45与直线AB 相切． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥DC ．记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2，试问k 1·k 2是不是定值？证明你的结论．〖解〗 (1)直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，由圆O 与直线AB 相切，得aba 2＋b 2＝45，即a 2b 2a 2＋b 2＝45，①设椭圆的半焦距为c ，则e ＝c a ＝32，∴b 2a 2＝1－e 2＝14，②由①②得a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)k 1·k 2＝14，为定值，证明过程如下：由(1)得直线AB 的方程为y ＝－12x ＋1，故可设直线DC 的方程为y ＝－12x ＋m ，显然m ≠±1.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ＋m ，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝8－4m 2>0，解得－2<m <2，且m ≠±1， ∴x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝2m 2－2. 由k 1＝y 1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2，得k 1k 2＝y 1x 1－2·y 2－1x 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋m x 1－2·⎝⎛⎭⎫－12x 2＋m －1x 2＝14x1x2－m2(x1＋x2)＋m2＋12x1－mx1x2－2x2＝14·(2m2－2)－m2·2m＋m2＋2m－x22－m(2m2－2)－2x2＝m22－12－x222m2－2－2x2＝14.。

新教材2023年秋高中数学模块综合测评2新人教A版选择性

模块综合测评(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x)＝ln x＋x3，则＝( )A．1 B．2C．4 D．82．在等比数列{a n}中，a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，则a7＝( )A．3 B．－3C．±3D．无法确定3．已知函数f (x)＝(x＋a)e x的图象在x＝1和x＝－1处的切线相互垂直，则a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．24．在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列．已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有( )A．300个B．320个C．340个D．360个5．在数列{a n}中，a1＝2，对任意的m，n∈N*，a m＋n＝a m·a n，若a1＋a2＋…＋a n＝62，则n ＝( )A．3 B．4C．5 D．66．已知函数f (x)＝e x－3x－1(e为自然对数的底数)，则以下结论正确的为( )A．函数y＝f (x)仅有一个零点，且在区间(－∞，＋∞)上单调递增B．函数y＝f (x)仅有一个零点，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增C．函数y＝f (x)有两个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数D．函数y＝f (x)有两个零点，且当x＝ln 3时，y＝f (x)取得最小值为2－3ln 37．已知数列{a n}是等比数列，a2＝2，a5＝，令T n＝a1·a2＋a2·a3＋…＋a n·a n＋1，则T n＝( ) A．16×B．16×C．×D．×8．若函数f (x)＝x2－4x＋a ln x有唯一的极值点，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪{2}C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪{2}二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．数列{a n}是首项为1的正项数列，a n＋1＝2a n＋3，S n是数列{a n}的前n项和，则下列结论正确的是( )A．a3＝13B．数列{a n＋3}是等比数列C．a n＝4n－3D．S n＝2n+1－n－210．已知函数f (x)＝ln (e x＋e－x)，则下列说法正确的有( )A．f (ln 2)＝lnB．f (x)是奇函数C．f (x)在(0，＋∞)上单调递增D．f (x)的最小值为ln 211．如果函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，则下述结论正确的是( )A．函数y＝f (x)在区间(3，5)内单调递增B．当x＝－时，函数y＝f (x)有极大值C．函数y＝f (x)在区间(1，2)内单调递增D．当x＝2时，函数y＝f (x)有极大值12．已知数列{a n}是等比数列，则下列结论中正确的是( )A．数列}是等比数列B．若a4＝3，a12＝27，则a8＝±9C．若a1＜a2＜a3，则数列{a n}是递增数列D．若数列{a n}的前n项和S n＝3n1＋r，则r＝－1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)13．函数f (x)＝(x－1)e x2的单调递增区间为________．14．某市利用省运会的契机，鼓励全民健身，从7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材．已知7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为________．15．已知a n＝|11－2n|，数列{a n}的前n项和为S n，若S k＝650，则k＝________．16．已知函数f (x)＝x－ln (x＋a)，若a＝2，则f ′(0)＝________；又若f (x)的最小值为0，其中a＞0，则a的值为________．四、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n}满足a5＝9，a3＋a9＝22．(1)求{a n}的通项公式；(2)等比数列{b n}的前n项和为S n，且b1＝a1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足S n<2 020的n的最大值．条件①：b3＝a1＋a2；条件②：S3＝7；条件③：b n＋1>b n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝x3－9x．(1)求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x)的单调区间与极值．19．(本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，满足a＝(S n＋1－2S n，S n)，b＝(2，n)，a∥b．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列{S n}的前n项和T n．20．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝(x2＋ax＋b)·e x(e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)，曲线y＝f (x)在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋1．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f (x)在区间[－2，3]上的最大值．21．(本小题满分12分)已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，a8＝4，________．(1)判断2 022是否是数列{a n}中的项，并说明理由；(2)求S n的最小值．从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝＋1＋a ln x(a∈R)．(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)若f (x)≥1，求a的取值范围．模块综合测评(二)1．D[由题意f ′(x)＝＋3x2，所以f ′(1)＝1＋3＝4，所以＝2＝2f ′(1)＝8．故选D．]2．C[∵a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，∴a4a10＝9，由等比数列的性质可知a4a10＝＝9，∴a7＝±3．故选C．]3．A[因为f ′(x)＝(x＋a＋1)e x，所以f ′(1)＝(a＋2)e，f ′(－1)＝a e1＝，由题意有f ′(1)·f ′(－1)＝－1，所以a＝－1，故选A．]4．B[由题意，此商家参展的苹果构成等差数列{a n}，其中n＝16，a8＋a9＝40，所以S16＝＝＝＝320．故选B．]5．C[因为对任意的m，n∈N*，都有a m＋n＝a m·a n，所以令m＝1，则a n＋1＝a1·a n＝2a n，因为a1≠0，所以a n≠0，即＝2，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以＝62，解得n＝5，故选C．]6．D[f ′(x)＝e x－3是增函数，∴x＜ln 3时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，x＞ln 3时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，显然f (0)＝0，∴f (ln 3)＝2－3ln 3＜0，又x→＋∞时，f (x)→＋∞，∴f (x)在(ln 3，＋∞)上也有一个零点，因此共有两个零点．故选D．]7．C[设数列{a n}的公比为q，由题意可知，当n≥2时，＝q2，即数列{a n·a n＋1}是以q2为公比的等比数列，由a2＝2，a5＝得q＝，所以a1＝4，a1·a2＝8，所以T n＝＝×．]8．C[由f (x)＝x2－4x＋a ln x可知，f ′(x)＝2x－4＋＝(x>0)，令g(x)＝2x2－4x＋a＝2(x－1)2＋a－2，由f (x)有唯一的极值点，可得g(0)≤0，即a≤0，则实数a的取值范围为(－∞，0]．]9．AB[a n＋1＝2a n＋3，所以a n＋1＋3＝2(a n＋3)，所以数列{a n＋3}是等比数列，又因为a1＝1，所以a n＋3＝(a1＋3)2n1＝2n+1，所以a n＝2n+1－3，所以a3＝13，所以S n＝－3n＝2n+2－3n－4．]10．ACD[f (ln 2)＝ln (e ln 2＋e－ln 2)＝ln ，A正确；f (x)＝ln (e x＋e－x)的定义域为R，其中f (－x)＝ln (e－x＋e x)＝f (x)，故f (x)是偶函数，B错误；f ′(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＝>0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；根据f (x)在(0，＋∞)上单调递增且f (x)是偶函数，则f (x)在(－∞，0)上单调递减，故f (x)的最小值为f (0)＝ln 2，故D正确．] 11．CD[结合函数y＝f (x)的导函数的图象可知：当x<－2时，导函数值小于0，函数f (x)是减函数；当x＝－2时，导函数值等于0，函数f (x)取极小值；当－2<x<2时，导函数值大于0，函数f (x)是增函数；当x＝2时，导函数值等于0，函数f (x)取极大值；当2<x<4时，导函数值小于0，函数f (x)是减函数；当x＝4时，导函数值等于0，函数f (x)取极小值；当x>4时，导函数值大于0，函数f (x)是增函数，结合选项易知，A、B错误，C、D正确，故选CD．]12．AC[设等比数列{a n}公比为q(q≠0)，则＝＝q2，即数列}是等比数列，即A正确；因为等比数列{a n}中a4，a8，a12同号，而a4＞0，所以a8>0，即B错误；若a1＜a2＜a3，则a1＜a1q＜a1q2，∴或，即数列{a n}是递增数列，C正确；若数列{a n}的前n项和S n＝3n1＋r，则a1＝S1＝311＋r＝1＋r，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6，所以q＝＝3＝，∴2＝3(1＋r)，r＝－，即D错误．故选AC．] 13．(0，＋∞) [∵f (x)＝(x－1)e x2，∴f ′(x)＝e x2＋(x－1)e x2＝x e x2，由f ′(x)＝x e x2＞0得x＞0，所以f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]14．74 [设B型健身器材这6个月投放量为{b n}，则{b n}是以b1＝64为首项，q＝的等比数列，∴其前6项和为S6＝＝1 330，∴5a＋300＋1 330≥2 000，解得a≥74，故a的最小值为74．故答案为74．]15．30 [当n≤5时，a n＝11－2n，∴S n＝＝10n－n2，令S k＝650＝10k－k2，无解．当n≥6时，a n＝2n－11，S n＝S5＋(a6＋a7＋…＋a n)＝＋＝n2－10n＋50．令S k＝650＝k2－10k＋50，解得k＝30或－20(舍)，故k＝30．]16． 1 [f (x)的定义域为(－a，＋∞)，f ′(x)＝1－＝．当a＝2时，f ′(x)＝1－，∴f ′(0)＝1－＝．又由f ′(x)＝0，解得x＝1－a＞－a．当－a＜x＜1－a时，f ′(x)＜0，f (x)在(－a，1－a)上单调递减；当x＞1－a时，f ′(x)＞0，f (x)在(1－a，＋∞)上单调递增．因此，f (x)在x＝1－a处取得最小值，由题意知f (1－a)＝1－a＝0，故a＝1．]17．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，因为a5＝9，a3＋a9＝22，所以解得：所以a n＝2n－1．(2)(Ⅰ)选择①②设等比数列{b n}的公比为q，因为b1＝a1，b3＝a1＋a2，所以b1＝1，b3＝4，因为S3＝7，所以b2＝S3－b1－b3＝2，所以q＝＝2，所以S n＝＝2n－1，因为S n＜2 020，所以2n－1＜2 020，所以n≤10，即n的最大值为10．(Ⅱ)选择①③设等比数列{b n}的公比为q，因为b1＝a1，b3＝a1＋a2，所以b1＝1，b3＝4，所以q2＝＝4，q＝±2，因为b n＋1＞b n，所以q＝2，所以S n＝＝2n－1，因为S n＜2 020，所以2n－1＜2 020，所以n≤10．即n的最大值为10．(Ⅲ)选择②③设等比数列{b n}的公比为q，因为S3＝7，b1＝1，所以1＋q＋q2＝7．所以q＝2，或q＝－3．因为b n＋1＞b n，所以q＝2．所以S n＝＝2n－1．因为S n＜2 020，所以2n－1＜2 020，所以n≤10．即n的最大值为10．18．解：(1)因为f (x)＝x3－9x，所以f ′(x)＝3x2－9，当x＝1时，f (1)＝－8，f ′(1)＝－6，所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线过点(1，－8)，斜率为k＝－6，所以切线方程为y＋8＝－6(x－1)，即6x＋y＋2＝0．(2)函数f (x)的定义域为R，令f ′(x)＝3x2－9＝0，得x＝±，x (－∞，－)－(－，)(，＋∞)f ′＋0－0＋(x)f (x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f (x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；减区间为(－)，当x＝－时，函数f (x)有极大值，f (－)＝6，当x＝时，函数f (x)有极小值，f ()＝－6．19．解：(1)证明：因为a∥b，可得n(S n＋1－2S n)＝2S n，整理得＝2·，又由a1＝1，可得＝1，所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知＝2n1，所以S n＝n·2n1，所以T n＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n－1)·2n2＋n·2n1，2T n＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n1＋n·2n，两式相减，可得－T n＝1＋21＋22＋…＋2n1－n·2n＝－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以T n＝(n－1)2n＋1．20．解：(1)因为f (x)＝(x2＋ax＋b)·e x在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋1，所以f (x)过(0，1)点，所以b e0＝1，b＝1，所以f (x)＝(x2＋ax＋1)·e x．又f ′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋1]·e x，所以f ′(0)＝－2，即a＋1＝－2，a＝－3．(2)由(1)知f (x)＝(x2－3x＋1)·e x，f ′(x)＝(x2－x－2)·e x＝(x－2)(x＋1)·e x，由f ′(x)＝0，得x＝2或x＝－1，又x∈[－2，3]，所以由f ′(x)>0得2<x<3或－2<x<－1，由f ′(x)<0得－1<x<2，所以f (x)在(－2，－1)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增，所以f (x)极大值＝f (－1)＝．又f (3)＝e3，所以f (x)max＝f (3)＝e3．21．解：若选①，(1)设公差为d，则解得所以a n＝a1＋(n－1)d＝3n－20．令3n－20＝2 022，得n＝∉N*，所以2 022不是数列{a n}中的项．(2)令a n＝3n－20>0，解得n>．所以当n≤6时，a n<0．故当n＝6时，S n取到最小值，为S6＝6a1＋15d＝－57．若选②，(1)设公差为d，则解得所以a n＝2n－12．令2n－12＝2 022，解得n＝1 017，所以2 022是数列{a n}的第1 017项．(2)令2n－12>0，得n>6．所以当n≤6时，a n≤0．故当n＝6或n＝5时，S n取得最小值，为S5＝S6＝－30．22．解：(1)函数f (x)＝＋1＋a ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－＝，当a≤0时，f ′(x)＝≤0，f (x)在定义域上单调递减；当a>0时，f ′(x)＝，当x∈时f ′(x)<0，f (x)单调递减，当x∈时，f ′(x)>0，f (x)单调递增．综上所述，当a≤0时，f (x)在定义域(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增．(2)当a＝0时，函数f (x)＝＋1＋0×ln x＝＋1，x∈(0，＋∞)，f (x)>1符合题意，由(1)可知，当a<0时，f (x)在定义域(0，＋∞)上单调递减，所以＝<1，故不满足f (x)≥1．当a>0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增，要想满足f (x)≥1，须满足f (x)min＝f ≥1即可．因为f ＝a＋1－a·ln a，所以f ≥1即a－a ln a≥0，化简得ln a≤1，即0<a≤e，综上a的取值范围是[0，e]．。

高中数学模块综合检测卷新人教A版必修

模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是(C ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，(a －b )·b ＝0，所以a －b 与b 垂直．故选C.2．点P 从()1，0出发，沿单位圆逆时针方向运动4π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：由三角函数的定义知，Q 点的坐标为⎝⎛cos 4π3，⎭⎪⎫sin 4π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.故选C.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω＞0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (0)＝(D )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2，把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，∴f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝sin π3＝32.故选D. 4．将函数y ＝sin( 2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(B )A.3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4解析：利用平移规律求得解析式，验证得出答案．y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位Y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.5．已知sin(π＋α)＝45且α是第三象限的角，则cos(2π－α)的值是(B )A ．－45B ．－35C ．±45 D.35解析：sin(π＋α)＝45⇒sin α＝－45，又∵α是第三象限的角，∴cos(2π－α)＝cosα＝－35.故选B.6．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2sin 3x 的图象(D ) A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析：y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，故只需将y ＝2sin 3x 向左平移π12个单位．7．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于(C ) A ．30° B ．60°C ．120°D ．90°解析：c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cosa ，b ＝a ·b ||a ||b ＝－12⇒a ，b ＝120°.故选C. 8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0，2π)的定义域是(B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3 解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.故选B.9．(2015·新课标全国高考Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点BC →＝3CD →，则(A ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：由题知AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A.10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于(B )A ．7 B.17 C ．－17D ．－7解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，所以sin α<0，即sin α＝－35，tan α＝34. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17，故选B.11．函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是(D )A ．0 B.π2 C ．π D.3π212．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最大值是(D )A ．2 2B ．2 3C ．2D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．解析：因为a 2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝9＋1－2×3×1×13＝8，a ·b ＝9＋2－9×1×1×13＝8，所以cos β＝83×22＝223.考点：向量数量积及夹角答案：223.14．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤f (x )≤2， ∴f (x )的最小值为1. 答案：115．若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．解析：由题意f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图象向右平移φ个单位，得2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －2φ＋π4，要使图象关于y 轴对称，则π4－2φ＝π2＋kπ，解得φ＝－π8－k π2，当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.答案：3π816．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题： ①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝si n 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确．②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，∴当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点．(1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标．解析：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，∵P 在AB 上，∴BA →与PA →共线． BA →＝(4，2)，PA →＝(1－m ，－2－n )，∴4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.① 又∵OP →⊥AB →，∴(m ，n )·(－4，－2)＝0. ∴2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，∴OP →＝(1，－2)． 18．(本小题满分12分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13. (1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：(1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x .(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)若f (x )＝65，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解析：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ＝2sin x cos π6＋2cos x sin π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π ，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调增区间为[－π3＋2k π，23π＋2k π](k ∈Z)．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝725.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (a )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解析：(1)由0＜α＜π2，且sin α＝22，求出角α的余弦值，再根据函数f (x )＝cosx (sin x ＋cos x )－12，即可求得结论．(2)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12，由正弦与余弦的二倍角公式，以及三角函数的化一公式，将函数f (x )化简，根据三角函数周期的公式即可得结论，根据函数的单调递增区间，通过解不等式即可得到所求的结论．(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22，所以f (a )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0.(1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝[f (x )]2－2，求函数g (x )的最小正周期与单调递增区间．解析：(1)∵函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0.即－32＋a2＝0.解得a ＝ 3. (2)g (x )＝4sin 2(x ＋π3)－2＝2(1－cos(2x ＋2π3)－2＝－2cos(2x ＋2π3)∴g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.令－ π＋2k π≤2x ＋2π3≤2k π，k ∈Z－5π6＋k π≤x ≤k π－π3，k ∈Z ∴g (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6＋k π，－π3＋k π，k ∈Z.22．(本小题满分10分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取最小值．(1)求θ的值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A .解析：(1)∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝sin(x ＋θ)，又∵函数f (x )在x ＝π处取最小值，∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1.又0<θ<π，∴θ＝π2.(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .∵f (C )＝12，∴cos C ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A ，代入sin B ＝2sin A 中，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝2sin A ，∴tan A ＝33， ∵0<A <π，∴A ＝π6.。

高中数学模块综合测评新人教A版必修1

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},M={1,3,5,6},N={1,2,4,7,9},则M∪(∁U N)等于()A.{3,5,8}B.{1,3,5,6,8}C.{1,3,5,8}D.{1,5,6,8}解析:∵∁U N={3,5,6,8},∴M∪(∁U N)={1,3,5,6,8},故选B.答案:B3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是()A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2-2D.y=lo x解析:因为y=x-1是奇函数,y=lo x不具有奇偶性,故排除B,D,又函数y=x2-2在区间(0,+∞)上是增函数,故排除C,只有选项A符合题意.答案:A4.若a=22.5,b=lo2.5,c=,则a,b,c之间的大小关系是()A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c解析:a=22.5>22=4,b=lo2.5<lo1=0,c==1,又c=>0,所以a>c>b,故选C.答案:C5.与函数y=10lg(x-1)相等的函数是()A.y=x-1B.y=|x-1|C.y=D.y=解析:y=10lg(x-1)=x-1(x>1),故选C.答案:C6.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(x)=()A.log2xB.lo xC. D.x2解析:因为函数y=f(x)的图象经过点(,a),所以函数y=a x(a>0,且a≠1)的图象经过点(a,).所以=a a,即a=,故f(x)=lo x.答案:B7.若定义运算a*b为:a*b=如1*2=1,则函数f(x)=2x*2-x的值域为()A.RB.(0,1]C.(0,+∞)D.[1,+∞)解析:f(x)=2x*2-x=∴f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间(0,+∞)上是减函数,∴0<f(x)≤1.答案:B8.已知函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)解析:当a>0时,-a<0,若f(a)>f(-a),则log2a>lo[-(-a)],即log2a>lo a,此时a>1;当a<0时,-a>0,若f(a)>f(-a),则lo(-a)>log2(-a),此时0<-a<1,-1<a<0.答案:C9.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是()解析:由f(x)=lg(|x|-1),知x>1或x<-1.排除C,D.当x>1时,f(x)=lg(x-1)在区间(1,+∞)上为增函数.故选B.答案:B10.(2016·吉林延边州高一期末)若函数f(x)=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则f(x)的定义域为()A.(-1,1)∪[2,4]B.(0,1)∪[2,4]C.[2,4]D.(-∞,0]∪[1,2]解析:设t=2x,则t>0,且y=t2-3t+3=.∵函数f(x)=4x-3·2x+3的值域为[1,7],∴函数y=t2-3t+3在(0,+∞)上的值域为[1,7].由y=1,得t=1或t=2;由y=7,得t=4或t=-1(舍去),则0<t≤1或2≤t≤4,即0<2x≤1或2≤2x≤4,解得x≤0或1≤x≤2,∴f(x)的定义域是(-∞,0]∪[1,2],故选D.答案:D11.导学号29900145(2016·甘肃兰州高一期末)已知f(x)的定义域为x∈R,且x≠1,已知f(x+1)为奇函数,当x<1时,f(x)=2x2-x+1,则当x>1时,f(x)的递减区间是()A. B.C. D.解析:由题意知f(x+1)为奇函数,则f(-x+1)=-f(x+1).令t=-x+1,则x=1-t,f(t)=-f(2-t),即f(x)=-f(2-x).设x>1,则2-x<1.∵当x<1时,f(x)=2x2-x+1,∴f(2-x)=2(2-x)2-(2-x)+1=2x2-7x+7.∴f(x)=-f(2-x)=-2x2+7x-7.∴函数图象的对称轴为x=.故所求的递减区间是.故选C.答案:C12lg≥(x-1)lg 3对任意的x∈(-∞,1]恒成立,则a的取值范围是()A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[0,+∞)D.[1,+∞)解析:由lg≥lg 3(x-1),得≥3(x-1),1+2x+(1-a)3x≥3x,1+2x≥a·3x,即≥a对任意的x∈(-∞,1]恒成立.设f(x)=(x∈(-∞,1]),则f(x)min=f(1)==1,∴a≤1.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2016·山东淄博高一期末)函数f(x)=的定义域为.(用区间表示)解析:要使函数有意义,须所以函数的定义域为[-2,1)∪(1,2].答案:[-2,1)∪(1,2]14.函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调递增区间为.解析:函数f(x)的定义域为{x|x>3或x<-1}.令t=x2-2x-3,则y=lo t.因为y=lo t在区间(0,+∞)上单调递减,t=x2-2x-3在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为(-∞,-1).答案:(-∞,-1)15.若关于x的方程|x2-1|=a有2个不相等的实数解,则实数a的取值集合是. 解析:构造函数y1=|x2-1|,y2=a,画出函数的图形,如图所示.由图可得关于x的方程|x2-1|=a有2个不相等的实数解时,a=0或a>1.答案:{0}∪(1,+∞)16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+4)=f(x),且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=.解析:由log224<log220<log225,即4<log220<5,则4-log220∈(-1,0).所以f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)=-=-=-2.答案:-2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知全集U={x|x>0},集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,(∁U A)∩B;(2)若C⊆(A∪B),求a的取值范围.解:(1)A∪B={x|2<x<10},∁U A={x|0<x<3,或x≥7},(∁U A)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}.(2)①若C为空集,则5-a≥a,解得a≤.②若C不是空集,则2≤5-a<a≤10,解得<a≤3.综上所述,a≤3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-9x+3x+1+4.(1)求函数f(x)的零点;(2)当x∈[0,1]时,求函数f(x)的值域.解:f(x)=-9x+3x+1+4=-(3x)2+3·3x+4.令t=3x(t>0),则y=-t2+3t+4.(1)由-t2+3t+4=0,得t=4或t=-1(舍).所以3x=4,x=log34.所以函数的零点是log34.(2)当x∈[0,1]时,t∈[1,3],因为函数y=-t2+3t+4图象的对称轴是t=,所以y∈,故函数f(x)的值域为.19.(本小题满分12分)设函数f(x)=log2(a∈R),若f=-1.(1)求f(x)的解析式;(2)g(x)=lo,当x∈时,f(x)≤g(x)有解,求实数k的取值集合.解:(1)f=log2=-1,∴,即=1+,解得a=1.∴f(x)=log2.(2)∵log2≤lo=2log2=log2,∴.易知f(x)的定义域为(-1,1),∴1+x>0,1-x>0,∴k2≤1-x2.令h(x)=1-x2,则h(x)在区间上单调递减,∴h(x)max=h.∴只需k2≤.又由题意知k>0,∴0<k≤.20.导学号29900147(本小题满分12分)(2016·湖南永顺一中高一期中)某上市股票在30天内每股的交易价格P(单位:元)与时间t(单位:天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在30天内的日交易量Q(单位:万股)与时间t(单位:天)的部分数据如表所示:第t天411622Q/万股3632418(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P与时间t所满足的函数关系式;(2)根据表中数据求出日交易量Q与时间t的一次函数关系式;(3)在(2)的结论下,用y表示该股票日交易额(单位:万元),写出y关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大?最大值是多少?解:(1)P=(t∈N*).(2)设Q=at+b(a≠0,a,b为常数),把(4,36),(10,30)代入,得解得a=-1,b=40.所以日交易量Q与时间t的一次函数关系式为Q=-t+40,0<t≤30,t∈N*.(3)由(1)(2)可得y=(t∈N*),即y=(t∈N*).当0<t≤20时,y有最大值y max=125万元,此时t=15;当20<t≤30时,y随t的增大而减小,y max<(20-60)2-40=120(万元).所以在30天中的第15天日交易额最大,且最大值125万元.21本小题满分12分)已知指数函数y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)确定y=f(x)和y=g(x)的解析式;(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;(3)若对于任意x∈[-5,-1],都有f(1-x)+f(1-2x)>0成立,求x的取值范围.解:(1)设g(x)=a x(a>0,且a≠1),则a3=8,∴a=2.∴g(x)=2x.∵f(x)=.又f(-1)=-f(1),∴=-⇒m=2;经检验,满足题意.∴f(x)=.(2)由(1)知f(x)==-.f(x)在定义域R上是减函数.证明如下:任取x1,x2∈R,设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=.∵函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,∴<0,又(+1)(+1)>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.(3)∵f(x)是奇函数,且f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,从而由不等式f(1-x)+f(1-2x)>0,得f(1-x)>-f(1-2x),即f(1-x)>f(2x-1),∴解得2≤x≤3.故x的取值范围是[2,3].22.导学号29900149(本小题满分12分)已知函数f(x)=(1)写出该函数的单调区间;(2)若函数g(x)=f(x)-m恰有3个不同零点,求实数m的取值范围;(3)若f(x)≤n2-2bn+1对所有x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求实数n的取值范围.解:(1)函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(-∞,0)及(1,+∞).(2)作出直线y=m,函数g(x)=f(x)-m恰有3个不同零点等价于直线y=m与函数f(x)的图象恰有三个不同交点.根据函数f(x)=的图象,且f(0)=1,f(1)=,∴m∈.故实数m的取值范围为.(3)∵f(x)≤n2-2bn+1对所有x∈[-1,1]恒成立,∴[f(x)]max≤n2-2bn+1,又[f(x)]max=f(0)=1,∴n2-2bn+1≥1,即n2-2bn≥0在b∈[-1,1]上恒成立.令h(b)=-2nb+n2,∴h(b)=-2nb+n2在b∈[-1,1]上恒大于等于0.∴即由①得解得n≥0或n≤-2.同理由②得n≤0或n≥2.∴n∈(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).故n的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).。

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模块测试卷一、选择题1．在曲线23151x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，(t 为参数)上的点是( )． A ．(1，－1) B ．(4,21) C ．(7,89) D ．815⎛⎫⎪⎝⎭，2．将余弦曲线y ＝cos x 作如下变换1=,2=4,x'x y'y ⎧⎪⎨⎪⎩‘得到的曲线方程为( )．A ．14cos 2y'x'= B ．y ′＝4sin 2x ′C ．1sin24y'x'= D ．y ′＝4cos 2x ′3．设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是( )．A．-． C ．－3 D ．72-4．将曲线y ＝tan x 作如下变换：1,21,3x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得到的曲线方程为( )．A ．13tan 2y'x'=B ．1tan23y'x'=C ．1tan23y'x'= D ．y ′＝3tan 2x ′5．设点M 的柱坐标为π1,,32⎛⎫⎪⎝⎭，则M 的直角坐标为( )．A．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B．⎛ ⎝⎭C ．(0,1,3)D ．(1,3,3)6．如图所示，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5)，1π6,,52C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此长方体外接球的体积为( )．ABCD7．已知曲线C 与曲线5sin ρθθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )．A ．π10cos 6ρθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B ．π=10cos 6ρθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．π=10cos 6ρθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．π=10cos 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.8．点P 的柱坐标为π8,,1012⎛⎫⎪⎝⎭，则其直角坐标为( )．A．B．C．D ．9．曲线的参数方程为211,1x t y t⎧=-⎪⎨⎪=-⎩(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是( )．A ．(x －1)2(y －1)＝1 B ．221x x y x (-)=(-)C ．2111y x =-(-) D ．2+11x y x =- 10．将参数方程14cos ,4sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为( )．A ．(x －2)2＋y 2＝16B ．(x －1)2＋y 2＝16C ．x 2＋(y －2)2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝1611．双曲线4tan ,2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)的渐近线方程为( )．A ．1±2y x = B ．y ＝±xC ．y ＝±2xD ．y ＝±3x 12．已知过曲线3cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的直线PO ，倾斜角为π4，则点P 的极坐标为( )． A ．π3,4⎛⎫⎪⎝⎭ B ．π4⎫⎪⎪⎝⎭C ．12π,54⎛⎫-⎪⎝⎭ D．π4⎫⎪⎪⎝⎭二、填空题13．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为__________．14．在极坐标系中，点π2,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线π:sin =16l ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离是________． 15．O 为坐标原点，P 为椭圆3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)上一点，对应的参数π=6ϕ，那么直线OP 的倾斜角的正切值是________．16．在极坐标系中，若过点A (3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A ，B 两点，则|AB |＝________.三、解答题17．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换2,2x'x y'y=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1．求曲线C 的方程并判断其形状．18．已知直线的参数方程为13,24x t y t=-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，它与曲线(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求|AB |的长；(2)求点P (－1,2)到线段AB 中点C 的距离． .19．已知椭圆12cos ,:x m C y ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(φ为参数)及抛物线223:=62C y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当C 1∩C 2≠时，求m 的取值范围．20．在曲线11c os ,:s i n x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上求一点，使它到直线21,2:112x t C y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．21．已知P 为半圆cos sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧 AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．22．已知某圆的极坐标方程为2π cos +6=04ρθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求： (1)圆的普通方程和参数方程；(2)圆上所有点(x ，y )中xy 的最大值和最小值．参考答案1. 答案：A2. 答案：D3. 答案：C解析：不妨设,a b αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，则a ＋bαα＝3sin(α＋φ)，其中tan ϕ=∴a ＋b 的最小值为－3. 4. 答案：B 5. 答案：C 6. 答案：B解析：∵A 1(4,0,5)，1π6,,52C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴|A 1A |＝5，|AO |＝4，|OC |＝6.∴2R =∴R =.∴3344ππ3326V R ⎛=== ⎝⎭. 7. 答案：B解析：曲线ρ的直角坐标方程为225x y y +-，它关于极轴对称的直角坐标方程为225x y y ++所以极坐标方程为2cos 5sin ρθρθ+，5sin =10cos 6πρθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭8. 答案：C解析：由两角差的正、余弦公式，得πππcos=cos 1234⎛⎫-=⎪⎝⎭πππsin=sin 1234⎛⎫-=⎪⎝⎭. 根据柱坐标互化公式即可求解． 9. 答案：B 解析：∵11x t=-， ∴11t x =-，222121=111x x y t x x (-)=--=(-)(-).10. 答案：B解析：∵14cos ,4sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩∴1cos =4x θ-，sin 4y θ=.∴221=144x y -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(x －1)2＋y 2＝16. 11. 答案：A解析：把参数方程化为普通方程，得22=1416y x -，故渐近线方程为1±2y x =. 12. 答案：D解析：将曲线化成普通方程为22=1916x y +(y ≥0)，与直线PO ：y ＝x 联立可得P 点坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.利用直角坐标与极坐标互化公式即可得到P 点的极坐标． 13.答案：3π4⎫⎪⎭解析：由ρ＝2sin θ，ρcos θ＝－1，得2sin θcos θ＝－1，即sin 2θ＝－1,3π22θ=，3π4θ=，ρ所以交点的极坐标为3π4⎫⎪⎭. 14.解析：点π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标为1)-，将直线π:sin =16l ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标方程为ππsin coscos sin =1662x y ρθρθ-=-，即2=0x +.∴d ==．15.解析：当π=6ϕ时，P点坐标为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以tanθ=θ为直线OP 的倾斜角． 16. 答案：解析：∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2＝4x ，∴(x －2)2＋y 2＝4为ρ＝4cos θ的直角坐标方程．当x ＝3时，y =∴直线x ＝3与曲线ρ＝4cos θ的交点的坐标为(3，(3，， ∴|AB |＝17. 解：将2,2x'x y'y=⎧⎨=⎩代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1，化简得2251+(3)24x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.故曲线C 是以5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，半径为12的圆．18. 解：(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线的方程并化简，得7t 2＋6t －2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则1267t t +=-，1227t t ⋅=-.所以，线段AB 的长度|AB 12|t t -=(2)根据中点坐标的性质，可得AB 的中点C 对应的参数为12327t t +=-，所以，由t 的几何意义可得点P (－1,2)到线段AB 中点C 31577-= 19. 解：将椭圆C 1的参数方程代入C 2：23=62y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得233sin =62cos 2m ϕϕ⎛⎫+-⎪⎝⎭， ∴1－cos 2φ＝2m ＋4cos φ－3，即(cos φ＋2)2＝8－2m .∵1≤(cos φ＋2)2≤9， ∴1≤8－2m ≤9.解之，得1722m -≤≤. ∴当C 1∩C 2≠∅时，17,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.20. 解：直线C 2化成普通方程为x ＋y ＋1＝0.设所求的点为P (1＋cos θ，sin θ)，则P 到直线C 2的距离为d =πsin 24θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.当π3π++2π42k θ=，k ∈Z ，即5π+2π4k θ=，k ∈Z 时，d 取最小值1．此时，点P 的坐标是122⎛-- ⎝⎭. 21. 解：(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为ππ33⎛⎫⎪⎝⎭，.(2)点M 的直角坐标为π66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为π116.6x ty t⎧⎛⎫=+-⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，(t为参数)22.解：(1)原方程可化为2ππcos cos sin sin+6=044ρθθ⎛⎫+⎪⎝⎭，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.①因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，即为所求圆的普通方程．设cos2sin2yθθ⎧=⎪⎪⎨-)⎪=⎪⎩，所以参数方程为.xyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ为参数)(2)由(1)可知xy＝(2θθ)＝4＋θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ＝3＋θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②设t＝cos θ＋sin θ，则π+4tθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[t∈．所以xy＝3＋＋t2＝(t2＋1．当=t xy有最小值为1；当t xy有最大值为9.。