2021一轮复习课件 第5章 第4节 数列求和
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高考数学一轮总复习 第5章 数列 第4节 数列求和课件 理 新人教版
2．若等比数列{an}满足 a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前 n 项和 Sn＝________.
解析：由题意 a2＋a5＝q(a1＋a4)，得 20＝q×10，故 q＝2， 代入 a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得 9a1＝10，即 a1＝190. 故 Sn＝19011－－22n＝190(2n－1)． 答案：190(2n－1)
(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等 比数列{bn}的公比为 q.已知 b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)当 d＞1 时，记 cn＝abnn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
解析
[由题悟法]
bn＝3
an＋1 2
，求数列an＋2 1·bn的前
n
项和
Sn.
an＋1
解：由(1)可得 bn＝3 2 ＝3n，
所以an＋2 1·bn＝n·3n，
[即时应用]
已知等比数列{an}中，首项 a1＝3，公比 q＞1，且 3(an＋2 ＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＋13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 {bn}的通项公式和前 n 项和 Sn.
解析
考点三 错位相减法求和 重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和 一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列 的前 n 项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列 的前 n 项和即可用倒序相加法求解．
一轮复习配套讲义：第5篇第4讲数列求和.docx
［最新考纲］1.熟练掌握等差、等比数列的前〃项和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的儿种常见方法.诊断•基础知识__________ 戏入深夯基固本_知识梳理1.公式法⑴等差数列的前A7项和公式：77(/7—1)I2 tia i I 2 d•(2)等比数列的前n项和公式：f nci\、g = 1,s n=y a\—a n q“(1—g") …~；= -；，gHl.I l_g \~q巳2.数列求和的几种常用方法(1)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.⑵裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前77项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.⑷倒序相加法如果一个数列佃｝的前"项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前"项和可用倒序相加法，如等差数列的前〃项和公式即是用此法推导的.(5)并项求和法在一个数列的前,7项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和. 形如^,=(-1)»类型，可采用两项合并求解.例如，S,/=1002-992+982-972+-+22-l2 = (1002-992)+(982-972)+- + (22-12) = (100+99) + (98 + 97) +…+ (2+1) = 5 050.3.常见的拆项公式⑴一^丄丄•I 加+1) n «+r_____ 1 ______ 『1 1 )°)(2〃一1)(2/?+1)=久2/?—1 _2”+ 1丿；(3)后治=阿_丽辨析感悟数列求和的常用方法⑴当心2时，^7=七一士•(><)n — 1 n~ 1 /?+ 1⑵求5=0+2/+3/ +・・・+賦时只要把上式等号两边同时乘以Q即可根据错位相减法求得.(X)⑶推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 l° + sin2 2。
高三理科数学一轮复习 第五章 数列 第四节 数列的求和与综合应用课件
(2)bn=a
n
3 an
+1
=
(6n
3 -5)(6n
+1)=12
1 6n -5
-
1 6n +1
,
∴Tn=12
1-
1 7
+
1 7
-
1 13
+
…
+
1 6n -5
-
1 6n +1
=12
1-
1 6n +1
=12 − 12n1+2.
17
裂项相消法求和步骤 (1)拆项:将数列中的每一项拆分成两项或多项,使这些拆分的项能有规律地相互抵消; (2)求和:将抵消后的剩余项进行求和计算即可. 注意:相邻项抵消后剩余 2 项求和,隔一项抵消后剩余 4 项求和.
A.13
B.152
()
C.12
D.172
3.B
【解析】bn=a1n
=
1 (n+1)(n+2)
=
1 n+1
−
1 n+2
,
S10=
b1+b2+b3+…+b10=
1 2
−1
3
+1
3
−
1 4
+1
4
−
1 5
+
⋯+
1 11
−
1 12
=
1 2
−
1 12
=
152.
7
4.(2016·闽粤联合体联考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+an+1=21������(n=2,3,4,…),则
2021版新高考数学(山东专用)一轮课件：第5章+第4讲+数列求和
数列第四讲 数列求和1 知识梳理 • 双基自测2 考点突破 • 互动探究3 名师讲坛 • 素养提升知识梳理•双基自测知识点二 分组求和法一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列．则可用分组求和法求其前n项和．知识点三 倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．知识点四 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．知识点五 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．知识点六 并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和．如{a n}是等差数列，求数列{(－1)n a n}的前n项和，可用并项求和法求解．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可考虑采用两项合并求解．BCDBB题组三 考题再现5．(2017·天津)已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*)．考点突破•互动探究(1)若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －2(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( )A ．13 B ．76C ．46D ．－76考点一 分组求和法——师生共研例 1D CC 2n＋2－4－2n考点二 裂项相消法——多维探究CCAA考点三 错位相减法——师生共研用错位相减法求和应注意的问题(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法．(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式．(3)“S n－qS n”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是n －1项，一般是n－1项．(4)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论求解．用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{a n·b n}是由等差数列{a n}与等比数列{b n}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和．第二步：(乘公比)设{a n·b n}的前n项和为T n，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有q k(k∈N*)的项对齐，然后两边同时作差．第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出T n.考点四 倒序相加法——师生共研倒序相加法应用的条件与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解．。
高考数学一轮复习第五章数列4数列求和课件
12/11/2021
第三十三页，共四十五页。
已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项 为 2 的等比数列，且公比大于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11 ＝11b4.
12/11/2021
第三十二页，共四十五页。
方法技巧 用错位相减法求和的三个注意事项：1要善于识别题目类 型，特别是等比数列公比为负数的情形； 2在写出“Sn”与 “qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步 准确写出“Sn－qSn”的表达式；3在应用错位相减法求和时，若 等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求 解.
12/11/2021
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方法技巧 一个数列求和可奇偶项相消，一般把数列奇偶项结合进行求 和.
12/11/2021
第二十五页，共四十五页。
已知数列{an}的通项公式是 an＝n2sin2n＋ 2 1π，则 a1＋a2
＋a3＋…＋a2 018 等于( B )
A．2
017×2 2
018
【解】 (1)设数列{an}的公差为 d， 则 2d＝a4－a2＝8， ∴d＝4， ∴an＝a2＋(n－2)d＝9＋4(n－2)＝4n＋1.
12/11/2021
第十八页，共四十五页。
(2)Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(3＋32＋…＋3n) ＝n5＋24n＋1＋311－－33n＝2n2＋3n＋3n2＋1－32.
＋…＋1＝9.
(5)S10＝5×9＋12×5×4×(－2)＋5×1＋12×5×4×2＝50.
12/11/2021
第十六页，共四十五页。
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列求和课件文
已知数列{an}的通项公式是 an＝2·3n－1＋ (－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn. [解] Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2 －ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3， 所以当 n 为偶数时， Sn＝2×11－－33n＋n2ln 3＝3n＋n2ln 3－1； 当 n 为奇数时，
分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分 组转化法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求{an}的前 n 项 和．
3．等比数列{an}的首项为 a，公比为 q，Sn 为其前 n 项的和， 求 S1＋S2＋…＋Sn. [解] 当 q＝1 时，an＝a，Sn＝na， 所以 S1＋S2＋…＋Sn＝(1＋2＋…＋n)a＝n（n2＋1）a. 当 q≠1 时， 因为 Sn＝a（11－－qqn），所以 S1＋S2＋…＋Sn
Tn＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1＝
n n＋1.
利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一 项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就 是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开 的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 两 式 作 差 ， 得 － Tn ＝ 3×[2×22 ＋ 23 ＋ 24 ＋ … ＋ 2n ＋ 1 － (n ＋
1)×2n＋2]＝3×4＋4（11－－22n）－（n＋1）×2n＋2
高考数学一轮复习第五章数列5.4数列求和理
答 2 案(1 : 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 1 0 1 1 1 ) 1 2 1 0 .
20
11
考向一 裂项相消法求和
【典例1】(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和. 已知an>0,an2+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式. (2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和.
Sn,若an=
,则S5等于 ( )
1
n n 1
A .1 B .5 C .1 D .1 6 6 3 0
【解析】选B. annn11n nn1 1nn 1n1 1，
所以S5=a1+a2+a3+a4+a5
1 1 1 1 1 1 223 56
5. 6
2.(必修5P61习题2.5A组T4(3)改编)1+2x+3x2+…+nxn-1
A.n(n1) C. n(n1)
2
B.n(n1) D.n(n1)
2
【解析】选A.因为d=2,a2,a4,a8成等比数列,所以 a42=a2a8,即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,所以 a1=2. 所以利用等差数列的求和公式可求得Sn=n(n+1).
4.(2016·唐山模拟)(2-3×5-1)+(4-3×5-2)+…+(2n-
2 (2)1+3+5+7+…+2n-1=__.
n2 (3)2+4+6+8+…+2n=____.
(4)12+22+…+n2= n2+n
.
2021新高考数学新课程一轮复习课件-第五章-第4讲-数列求和
1
PART ONE
基础知识过关
1．基本数列求和公式法 (1)等差数列求和公式： Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d. (2)等比数列求和公式：
na1，q＝1， Sn＝a11－－aqnq＝a111－－qqn，q≠1.
2．非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂 项相消法． 常见的裂项公式： ①nn1＋k＝1k1n－n＋1 k； ②2n－112n＋1＝212n1－1－2n1＋1；
③nn＋11n＋2＝12nn1＋1－n＋11n＋2；
④
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
3．常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn2＋1； (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2； (3)12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋162n＋1； (4)13＋23＋33＋…＋n3＝nn2＋12.
答案 B
解析
∵an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－
1 3
＋…－16＝56.
(2)数列 121，314，518，7116，…，(2n－1)＋21n，…的前 n 项和 Sn 的值等于
() A．n2＋1－21n
B．2n2－n＋1－21n
C．n2＋1－2n1－1 D．n2－n＋1－21n
() A．－1010 B．2018
ห้องสมุดไป่ตู้
C．505
D．1010
答案 D
解析 易知 a1＝cosπ2＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….所以数列 {an}的所有奇数项为 0，前 2020 项中所有偶数项(共 1010 项)依次为－2,4， －6,8，…，－2018，2020.故 S2020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2018＋ 2020)＝1010.a2021＝0，∴S2021＝1010.故选 D.
高考数学人教版理科一轮复习课件：第五章 数列 4 数列求和
[知识重温] 一、必记 6●个知识点 1．公式法求和 使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差 等比数列的求和方法。 2．裂项相消法求和 把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消 的项的求和方法。
Байду номын сангаас
3．错位相减法求和 (1)适用的数列： {anbn}， 其中数列{an}是公差为 d 的等差数列， {bn} 是公比为 q≠1 的等比数列。 (2)方法：设 Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)， 则 qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)， (*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化 为根据公式可求的和。
解析：(1)正确。根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知。 (2)正确。根据等比数列的求和公式可知。 1 1 1 1 (3)错误。直接验证可知 2 ＝ n－1－n＋1。 n －1 2 (4)错误。 含有字母的数列求和常需要分类讨论， 此题需要分 a＝0， a＝1，以及 a≠0 且 a≠1 三种情况求和，只有当 a≠0 且 a≠1 时才能 用错位相减法求和。 (5)正确。根据周期性可得。
4．数列{an}的通项公式为 an＝n＋2n(n＝1,2,3，…)，则{an}的前 n 项和 Sn＝________。
解析：由题意得数列{an}的前 n 项和等于(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋ n＋1 nn＋1 2－2 nn＋1 n＋1 2 3 n 2 ＋2 ＋…＋2 )＝ ＋ ＝ ＋2 －2。 2 2 1－2 nn＋1 n＋1 答案： ＋2 －2 2
考纲要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能 用相关知识解决相应的问题
最新-2021版高考数学文一轮复习课件：第五章 第四节 数列求和 精品
方法(二) 分组转化法求和
2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么 S100
的值为
()
A．2 500
B．2 600
C．2 700
D．2 800
解析：当 n 为奇数时，an＋2－an＝0，所以 an＝1，
当 n 为偶数时，an＋2－an＝2，所以 an＝n，
故 an＝1n，，nn为为奇偶数数，，
则项数 n 为
()
A．2 014
B．2 015
C．2 016
D．2 017
解析：因为 an＝nn1＋1＝n1－n＋1 1，
所以
Sn
＝
1－
1 2
＋
1 2
－
1 3
＋
…
＋
1 n
－
1 n＋1
＝
1
－
1 n＋1
＝
n n＋1
＝
2 2
001178，所以
n＝2
017.答案：D3．数列1＋2n－1}的前 n 项和为
答案：n2＋n1
角度(二)
形如 an＝
1 n＋k＋
型 n
2．(2018·江南十校联考)已知函数 f(x)＝xα 的图象过点(4,2)，令
an＝fn＋11＋fn，n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则
S2 018＝ A. 2 017－1
B. 2 018－1
()
C. 2 019－1
D. 2 019＋1
＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5. (1)求{an}的通项公式； (2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1. 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d. 因为aa12＝＋1a，4＝10， 所以 2a1＋4d＝10， 解得 d＝2，所以 an＝2n－1.
最新-2021高考数学文全国大一轮复习课件：第五篇 数列 第4节 数列求和及综合应用 精品
2 设 cn= 1 (n-8)(n+1),
2 则当 n=3 或 4 时,cn 取得最小值-10, 所以 k≤-10. 即 k 的取值范围为(-∞,-10].
解析:S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)=4×[(1-2)+ (3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200.故选B.
3.(2015·江苏卷)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列
前10项的和为
.
1 an
第4节 数列求和及综合应用
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
把散落的知识连起来
【教材导读】 数列求和有哪些方法? 提示:公式法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法.
知识梳理
1.数列求和的基本方法 (1)公式法 直接用等差、等比数列的求和公式求解. (2)倒序相加法 如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同 一常数),那么求这个数列的前n项和,可用倒序相加法. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而 求得其和. (4)分组求和法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组 成,求和时可用分组求和法,分别求和而后相加.
化简可得
an=
4 (2n 1)2
(n≥2),
当 n=1 时,a1=4 也符合,
所以
an=
4 (2n 1)2
(n∈N*).
(2)记 bn= anan1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解:(2)因为 bn=
anan1
2 则当 n=3 或 4 时,cn 取得最小值-10, 所以 k≤-10. 即 k 的取值范围为(-∞,-10].
解析:S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)=4×[(1-2)+ (3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200.故选B.
3.(2015·江苏卷)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列
前10项的和为
.
1 an
第4节 数列求和及综合应用
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
把散落的知识连起来
【教材导读】 数列求和有哪些方法? 提示:公式法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法.
知识梳理
1.数列求和的基本方法 (1)公式法 直接用等差、等比数列的求和公式求解. (2)倒序相加法 如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同 一常数),那么求这个数列的前n项和,可用倒序相加法. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而 求得其和. (4)分组求和法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组 成,求和时可用分组求和法,分别求和而后相加.
化简可得
an=
4 (2n 1)2
(n≥2),
当 n=1 时,a1=4 也符合,
所以
an=
4 (2n 1)2
(n∈N*).
(2)记 bn= anan1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解:(2)因为 bn=
anan1
第5章第4讲数列求和-2021版高三数学一轮复习课件
3 名师讲坛 • 素养提升
C．46
D．－76
考点二 裂项相消法——多维探究
(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*)．
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第五章 数列
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知识梳理 • 双基自测
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知识点一 公式法求和
(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的 前 n 项和公式．
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考点突破 • 互动探究
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考点一 分组求和法——师生共研
例 1 (1)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为
( C)
A．2n＋n2－1
B．2n＋1＋n2－1
(2)等差数列的前 n 项和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝___n_a_1＋__n__n_2－__1__d__＝___d2_n_2＋__(_a_1_－__d2_)n________.
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(3)等比数列的前 n 项和公式： na1，q＝1，
Sn＝a11－－aqnq＝_______________，q≠1. 注意等比数列公比 q 的取值情况，要分 q＝1，q≠1.
题组二 走进教材
2．(必修 5P61T4 改编)Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于( B )
A．2n－2nn－1
B．2n＋1－2nn－2
C．2n－2nn＋1
D．2n＋1－2nn＋2
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4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些项可以相互抵 消，从而求得其和．
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？ 提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用 裂项相消法的前提．一般地，形如{ana1n＋1} ({an}是等差数列)的 数列可选用此法来求．
5．分组求和法 把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其 转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式 求解． 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求 和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98 ＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
【典例剖析】
(1)Sn＝1－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2 等于
A．－nn＋ 2 1
B．nn＋ 2 1
C．(－1)n－1·nn＋2 1
D．(－1)n·nn＋2 1
(2) 求 和 ： Sn ＝ 1 ＋ 1＋12 ＋ 1＋12＋14 ＋ … ＋
1＋12＋14＋…＋2n1－1.
(1)将数列的每两项看作一组，观察其特点，根据n的奇偶性 求和．
学校公开课 教育教学样板
讲课人：教育者
年
班
考纲要求
1.熟练掌握等差、等 比数列的前n项和公 式． 2.掌握非等差、等比 数列求和的几种常见 方法.
考情分析
1.以考查内容看，数列求和是考查 的重点，特别是错位相减求和、裂 项相消求和更是考查的热点． 2.从考查形式看，多在解答题中出 现，且常与函数、方程、不等式结 合在一起考查，属中高档题.
n C.n－1
D．n＋n 1
解析：由题意知 f′(x)＝mxm－1＋a，故 m＝2，a＝1， ∴f(x)＝x2＋x. ∴f1n＝n2＋1 n＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， ∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝1－n＋1 1＝n＋n 1.
答案：A
4．数列 1,412，714，1018，…的前 n 项的和为________． 解析：Sn＝1＋4＋7＋10＋…＋(3n－2)＋12＋14＋18＋…＋2n－1
(2)解：∵an＝1＋12＋14＋…＋2n1－1＝11－－1212n＝21－21n， ∴Sn＝21－12＋1－212＋…＋1－21n ＝2n－12＋212＋…＋21n ＝2n－1211－－1221n ＝2n－1－21n＝2n＋2n1－1－2.
1．等差数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1，其前 n 项的和
为 Sn，则数列Snn的前 10 项的和为(
)
A．120
B．70
C．75
D．100
解析：Sn＝n3＋22n＋1＝n(n＋2)，∴Snn＝n＋2.
∴Snn的前 10 项和为103＋ 2 12＝75. 答案：C
2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，则a4＋a5＋a6＋ …
＝n3n2－1＋121－1－1212n－1 ＝n3n2－1－12n－1＋1. 答案：n3n2－1－12n－1＋1
5 ． ( 理 ) 已 知 数 列 {an} ， an ＝ － 2[n － ( － 1)n] ， 则 S10 ＝ ________，S99＝____________.
解析：an＝－2n＋(－1)n·2， ∴当n为偶数时，
Sn＝－2(1＋2＋…＋n)＋0＝－n(n＋1)； 当n为奇数时，
Sn＝Sn－1－2n－2＝－(n－1)·n－2n－2 ＝－n(n＋1)－2.
∴S10＝－10×11＝－110，S99＝－99×100－2＝－9 902. 答案：－110 －9 902
5．(文)若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＋S33＋ S50＝________.
数列求和的常用方法
1．公式法 (1)直接利用公式求和 ①等差数列的前 n 项和公式： Sn＝na12＋an＝ a1n＋nn＋ 2 1d .
②等比数列的前 n 项和公式：
na1， Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq，
q＝1 q≠1 .
(2)一些常见数列的前 n 项和公式： ①1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 12n(n＋1) ； ②1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝ n2 ； ③2＋4＋6＋8＋…＋2n＝ n(n＋1) ； ④12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋162n＋1； ⑤13＋23＋33＋…＋n3＝[nn＋ 2 1]2＝n2n4＋12.
(2)求出数列的通项，根据其特点采用分组求和法求和．
(1)解析：当 n 为偶数时 Sn＝(1－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2] ＝－[1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n]＝－nn＋ 2 1； 当 n 为奇数时， Sn＝Sn－1＋an＝－n－21n＋n2＝nn＋ 2 1. 综上，Sn＝(－1)n－1nn＋ 2 1. 答案：C
＋a10等于( )
A．171
B．21
C．10
D．161
解析：S10－S3＝2×102－3×10＋1－(2×32－3×3＋1) ＝171－10＝161.
答案：D
3．设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f′(x)＝2x＋1，则数列f1n
(n∈N*)的前 n 项和是( )
n A.n＋1
B．nn＋ ＋21
解析：S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝－8＋17＝ 9.
S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝－16＋33＝17. S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25， ∴S17＋S33＋S50＝9＋17－25＝1. 答案：1
分组求和法
【考向探寻】 1．利用分组求和法求和． 2．利用并项求和法求和．
等比数列求和时，若不知公比的具体值时，一定要分q＝1 和q≠1两种情况进行讨论．
2．倒序相加法 如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或 等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法， 如等差数列的前n项和即是用此法推导的． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求， 如等比数列的前n项和就是用此法推导的．