数值分析复习
数值分析复习资料
数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
数值分析复习
Chap 1 数值计算中的误差
误差 误差限 有效数字 用微分计算函数值误差 计算方法的数值稳定性
误差 误差限 有效数字
设 x是准确值，x是 x的近似值
1) 定义 1.1： 称 e(x) x x 为 x的绝对误差(简称误差)。
2) 定义 1.2：若 | x x | ，则称 是 x 的误差限。
y
er ( y)
e(xy) ye(x) xe( y)
e
x y
1 y
e(x)
x y2
e( y)
er (xy) er (x) er ( y)
er
x y
er
(x)
er
(
y)
例1.10 , 例1.11, 题1.5
计算方法的数值稳定性
1) 求根公式的数值稳定性 2) 递推法的数值稳定性
敛的.
定理 4.4：若(x)在 x (x)的根 x*邻近有连续的 1阶导数，
且 | (x*) | 1, 则当(x*) 0 时迭代公式(4.5)为线性收敛 . 若 (x)在 x*邻近有连续的 2 阶导数，则当(x*) 0,(x*) 0 时迭代公式(4.5)为平方收敛 .
例4.4, 例4.5, 例4.6, 题4.2, 题4.3, 题4.5
3次Hermite插值基函数 (插值基函数的性质)
0 t t 12 1 2t , 1 t t2 3 2t , 0 t t t 12 , 1 t t2 t 1
插值余项
R3 (x) f (x) P3(x)
f
(4) (
4!
)
(x
x0
)2
(
x
x1 ) 2
,
x [x0 ,x1]
混合型Hermite插值
数值分析复习提纲(修改完)
第一章 绪论【考点1】绝对误差概念。
近似数的绝对误差（误差）：()a =x a E -，如果()δa E ≤则称δ为a 的绝对误差限（误差限）。
【考点2】相对误差限的概念。
近似数a 的相对误差：()()/x a x =a E r -，实际运算()()/a a x a E r -=，a r /δδ=。
【考点3】有效数字定义。
设*x 的近似值a 可表示为n m a a .a a= 21010⨯±，m 为整数，其中1a 是1到9中的一个整数，n a a 2为0到9中的任意整数，若使()n m a||=|x a |E -*⨯≤-1021成立，则a 称近似*x 有位有效数字。
例：设256010002560,00256702.×=.a .=x -*=，则4-10×21=0.00005a -x ≤*。
因为，2-m=所以2n=，a 有2位有效数字。
若257.01000257.02⨯==-a ，则5102100000500000030-≤×=..=x-a ，因为2-=m ，所以3=n ，a 有3位有效数字。
例：设000018.x=，则00008.a=具有五位有效数字。
41021000010-≤×.=x-a ，因为1=m ，所以5=n ，即a 具有五位有效数字。
例：若3587.64=x *是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限。
410×0.358764=x *，即4=m ，6=n ，0.005=1021x -x 6-4⨯≤*【考点4】四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到末位，有几位就称该近似数有几位有效数字。
【考点5】有效数字与相对误差的关系。
设x 的近似数为n m a a .a ×a= 21010±，)(a 01≠如果a 具有n 位有效数字，则的相对误差限为()111021--≤n r ×a δ，反之，若a 的相对误差限为()()1110121--+≤n r ×a δ，则a 至少具有n 位有效数字。
数值分析期末复习要点总结
故一般取相对误差为
er x*
e x* x*
x x* x*
如果存在正数 r 使得
er x*
ex*
x*
r
则称 r为 x*的相对误差限.
(1-4)
4
绝对误差、相对误差和有效数字
有效数字
如果近似值 x* 的误差限是 1 10n 则称x*
2
准确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到 这一位的所有数字均称为有效数字.
若
e(x* ) x x*
(1-2)
通常称 为近似值 x* 的绝对误差限，简称误差限.
定义2 设 x* 为准确值 x 的近似值，称绝对误差与
准确值之比为近似值 x* 的相对误差，记为 er (x* )
即
er
x*
ex*
x
x
x* x
(1-3) 3 3
绝对误差、相对误差和有效数字
由于在计算过程中准确值 x 总是未知的，
设 z0(x), z1(x), ... , zn(x) 构成 Zn(x) 的一组基，则插值多项式 P(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + ···+ anzn(x)
通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法
基函数法基本步骤
① 寻找合适的基函数
② 确定插值多项式在这组基下的表示系数
数值分析
期末复习要点总结
1
第一章 误差
一. 误差的来源: 1.模型误差 2.观测误差 3.截断误差 4.舍入误差
二. 绝对误差、相对误差和有效数字
2
第一章 误差
2
绝对误差、相对误差和有效数字
定义1 设 x* 为准确值x的一个近似值，称
数值分析-复习及习题选讲
5、线性方程组的数值解法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零. 主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零. 2.掌握矩阵的直接三角分解法。
会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、Crout分解及Cholesky分解。
熟练掌握用三角分解法求方程组的解。 了解平方根法和追赶法的思想。 3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐 次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数； 了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。 4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数。
k n
f
( n 1)
(2)记(t)=(t-x)k,则yj=(xj)=(xj-x)k, j=0,1,…,n.于是
n ( t ) k (t x) k f (t ) y j l j (t ) n 1 (t ) ( x j x) l j (t ) j 0 j 0 (n 1)! 取t=x,则有 n ( x j x) k l j ( x) 0
收敛于(x)在I上的唯一不动点x*.
都收敛于方程的唯一根x*.
推论 若(x)在x*附近具有一阶连续导数,且|(x*)|<1, 则对充分接近 x*的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛. 3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.了解Aitken加速 技巧.
xk 1 C (1) xkp阶收敛于x*是指: lim k x p k
7.设(x)=x4+2x3+5, 在区间[-3,2]上, 对节点x0= -3, x1=-1,求出(x)的
三次Hermite插值多项式在区间[x0,x1]上的表达式及误差公式.
数值分析期末复习题答案
数值分析期末复习题答案一、选择题1. 以下哪个算法是用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 共轭梯度法D. 辛普森积分法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的主要区别是什么？A. 插值点的选取不同B. 插值多项式的构造方式不同C. 计算复杂度不同D. 适用的函数类型不同答案：B3. 在数值积分中，梯形法则和辛普森法则的主要区别是什么？A. 精度不同B. 适用的积分区间不同C. 计算方法不同D. 稳定性不同答案：A二、简答题1. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性指的是数值方法在计算过程中对于舍入误差的敏感程度。
例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵的条件数很大，则该方程组的数值解对舍入误差非常敏感，即数值稳定性差。
2. 说明数值微分与数值积分的区别。
答案：数值微分是估计函数在某一点的导数，而数值积分是估计函数在某个区间上的积分。
数值微分通常用于求解函数的局部变化率，而数值积分用于求解函数在一定区间内的累积效果。
三、计算题1. 给定一组数据点：(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式。
答案：首先写出拉格朗日插值基函数，然后根据数据点构造插值多项式。
具体计算过程略。
2. 给定函数 f(x) = x^2，使用牛顿-科特斯公式中的辛普森积分法在区间 [0, 1] 上估计积分值。
答案：首先确定区间划分，然后应用辛普森积分公式进行计算。
具体计算过程略。
四、论述题1. 论述数值分析中误差的来源及其控制方法。
答案：误差主要来源于舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时的精度限制造成的，而截断误差是由于数值方法的近似性质导致的。
控制误差的方法包括使用高精度的数据类型、选择合适的数值方法、增加计算步骤等。
五、综合应用题1. 给定一个线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个 3x3 的矩阵，b 是一个列向量。
数值分析复习
Xi = x1 + x2 + … + |xn | =
2 2 2 x1 + x2 + ⋯ + xn
n 2 1/2 i=1 xi )
3）3 范数：| x |∞ = max1 ≪ i ≪n |xi | 各范数在收敛性意义上（因素降维）来说是完全一致的。 可将向量范数的概念推广到矩阵上，类似于向量范数，矩阵范数的一般定义如下： 在Rm ∗ n 上定义了||.||，∀A，B ∈ Rm ∗ n ，如果满足 1）正定性：||A|| ≥ 0，当且仅当 A = 0 时||A|| = 0 2）齐次性：∀a ∈ R有||aA|| = |a| ||A|| 3）三角不等式：||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| 则称||.||为Rm ∗ n 中的一个范数（或模） （长度） 。 在解方程的过程中，矩阵和向量是同时出现的，有必要把矩阵范数与向量范数联系起来。 4.2 线性方程组的误差分析 研究线性方程组解的误差问题时，不考虑运算过程中的舍入误差，而是只考虑原始数据的误差对解的 影响。把系数矩阵和常向量的误差称为初始摄动，表示微小误差。 设线性方程组系数矩阵 A 为非奇异矩阵，cond（A）= ||A|| ||A−1 ||称为 A 的条件数（方程组的条件数） 。 条件数仅与 A 有关，而与解题方法无关。条件数不是唯一的，这是由于诱导范数不唯一而造成的，但从数 量级来说，条件数之间差异不大。 如果 cond（A）>> 1，则称 A 为坏条件的，或称 A 为病态的。反之，如果 cond（A）相对小，则称 A 为好条件的。若 A 病态，称 Ax = b 为病态方程组。 （对于线性方程 Ax = b，系数矩阵 A 与右端向量 b 的微 小变动而引起解严重失真，该方程为病态方程组，A 为病态矩阵，反之为良态）病态性质是系数矩阵 A 本 身的性质，与解 Ax = b 的方法无关，但若方法不好， “病态”现象会更严重。 （希尔伯特矩阵时严重的病态 矩阵） 病态是解方程组中最严重的问题，至今没有找到好的办法来解决，因此，在解决实际问题时，应尽量 避免产生病态方程组。要判别一个方程组是否病态，用条件数计算往往比较麻烦，在以下一些情况下，病 态的可能性很大。 1） 最小二乘法得出的七阶及七阶以上的不会有严重的误差积累，所以此方法是比较稳定的。追赶法的乘除法 次数是 6n – 6 次。
数值分析总复习
yn+1=yn+h/2 (yn+yn+1)
解出yn+1得
y n 1
1 1 h 2 yn 1 1 2 h
类似前面分析,可知绝对稳定区域为
1 1 h 2 1 1 1 2 h
由于Re()<0,所以此不等式对任意步长h恒成立,这是隐式
公式的优点.一些常用方法的绝对稳定区间为
会构造简单的三次样条插值函数. 4. 了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。 5. 掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方 误差.
七、数值积分
掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。 2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法 确定求积公式。 3. 会用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分并
点.了解Newton迭代法的变形.
x k 1
局部平方收敛.
f ( xk ) xk f ( x k )
六、插值与逼近
1.了解差商的概念和性质. 2.会建立插值多项式并导出插值余项. Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法 及待定系数法。
3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。
祝大家考试好运！
字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近似x*时具有n位有效数字。 2.了解数值计算中应注意的一些问题.
二、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.
主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
方 法 Euler方法 梯形方法 改进Euler方法 二阶R-K方法 三阶R-K方法 四阶R-K方法 方法的阶数 1 2 2 2 3 4 稳定区间 (-2 , 0) (- , 0) (-2 , 0) (-2 , 0) (-2.51 , 0) (-2.78 , 0)
(完整版)数值分析考试复习总结汇总,推荐文档
10
100
误差估计：
f
max | f (x) fh (x) |
(x ih) (x (i 1)h) . 2! ixx(i1)h
□
第三章
最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近
主要分两种情形：
1. 连续意义下
在空间 L2[a,b]中讨论
2. 离散意义下
在 n 维欧氏空间 Rn 中讨论，只要求提供 f 的样本值
n (x)
(x
xi
)
n
(xi
)
ji
n
n
其中: n (x) (x x j ), n xi (xi x j ) .
j0
j0
ji
例 1 n=1 时，线性插值公式
P1 ( x)
y0
(x x1) (x0 x1)
y1
(x x0 ) (x1 x0 )
，
例 2 n=2 时，抛物插值公式
P2 (x)
可得： L3 (x) x 2 (x 1 2)
方法二. 令
L3 (x) x(x 1 2) ( Ax B)
由
L3
(1)
3 2
，
L3 (1)
1， 2
定 A，B
（称之为待定系数法）
□
15.设 f (x) x2 ，求 f (x) 在区间[0,1] 上的分段线性插值函数 fh (x) ，并估计误差， 取等距节点，且 h 1/10 .
(2)
2x ( x 1 x
x 1 x) .
(3) 1 cos x sin 2 x sin x .
□
x
x(1 cos x) 1 cos x
第二章
拉格朗日插值公式（即公式（1））
数值分析复习要点
1.设矩阵A
2
1
,
用Schmidt正交化方法,
1 2
对A作正交分解A QR.
2.设矩阵A
2 0
1 3
7 10
,
用Householder变换法,
0 4 5
对A作正交分解A QR.
3.已知一组线性无关的向量
u1 (1,1,1)T , u2 (1, 0, 1)T , u1 (0,1,1)T , 由此向量组，按Schmidt正交化方法，求一组对应的
Gauss变换阵
1
Lj
1
l j1, j 1
ln, j
1
对x x1,..., x j ,..., xn T 0, x j 0 构造Gauss变换阵G，使Gx x1,..., x j ,0,...,0 T
奇异值与奇异值矩阵
i
i ( AT A) 0,
i 1,..., r,
r
0
0 0
条件数 cond(A) p || A1 ||p|| A ||p , p F,1,2,
谱条件数 cond ( A)2 || A1 ||2|| A ||2
max ( AT A) min ( AT A)
y0
1 yn n 5 yn1
n 1, 2，...
计算yn，试分析算法的稳定性
习题：p15 10
数值计算中应注意的问题
(1) 防止相近的两数相减 (2) 防止大数吃小数 (3) 防止接近零的数做除数 (4) 注意计算步骤的简化,减小运算次数
数值分析总复习
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
解: l11 a11 16 4,
l21 a21 l11 4 4 1,
l31 a31 l11 2,
4
b
3
.
10
l11 a11 , l21 a21 l11 , l22 a22 l221 ,
l31 a31 l11 , l32 a32 l21l31 l22 , l33 a33 l321 l322 . 19 第20页/共36页
l11 a11 , l21 a21 l11 , l22 a22 l221 ,
l31 a31 l11 , l32 a32 l21l31 l22 , l33 a33 l321 l322 . 18 第19页/共36页
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中
16 4 8
x1
26
第27页/共36页
六. 确定求解初值问题
y' f ( x, y), a x b,
y(a)
y0 .
的二步隐式Adams方法
yn1
yn
h 12
(5
fn1
fn
fn1 )
中的参数, 使该方法成为三阶方法, 并写出其局部截断误差主项.
可用数值积分方法或Taylor展开方法
8,
Rn1
1 24
h4
解 (1) 由已知, 当 f (x)分别为1, x, x2时, 求积公式等号成立. 即
11x3dx 1
0 1dx 14
11 2
((1x13
1)x23
)
2
故该公式具有3次代数精确度.
1 xdx 1
0
数值分析总复习
样条插值；整体连续光滑，且不需知导数值。
插值问题提法：已知
x y f(x)
x0 y
x1 y
xn y
0
1
n
求一个三次分段函数 S(x) 使
1,
S(
xi
)
y i
x x 2, 在 [ , ] 上是三次多项式
i
i 1
C 3, S(x) 2 ( a,b )
i 0, 1, , n
计算三次样条算法
由边界条件 i , i , , i 0 ,1,, n
插值基函数方法
插值问题解的一般形式 ：
n (x) a0 a1 x an xn
(1 )
实质上是在求多项式的 自然基底 Bn Span{1, x , ,xn}
张成的线性空间中的一 个点 —一个多项式 (1) ,由(2 18)
式知,解存在唯一 ,只要解方程组求出线 性组合系数 {ai}
就可以了 , 但计算量太大 .
定理2.5(余项) .
(2 - 35)
设H (x)是过 x0 , x1 的 Hermite 插值多项式 , C f f(x) 3 , ( 4 )(x)在 (a,b) 内存在, (a,b)是
(a,b)
含点 x0 , x1 的任一区间, 则对任意给定的
x (a,b) 总存在一点ξ (x)使
R(x)
f(x) H(x)
f
( 4 )(ξ
4!
)
(x
x0
)2(x
x1
)2
分段三次 Hermite 插值多项式及余项
∑ y h m H n
H (x) [ (x)
( x)]
i0
ii
ii
定理2.7(余项) :
数值分析知识点
第一章绪论（1-4）一、误差来源及分类二、误差的基本概念1.绝对误差及绝对误差限2.相对误差及相对误差限3.有效数字三、数值计算的误差估计1.函数值的误差估计2.四则运算的误差估计四、数值计算的误差分析原则第二章插值（1.2.4-8）一、插值问题的提法（定义）、插值条件、插值多项式的存在唯一性二、拉格朗日插值1.拉格朗日插值基函数的定义、性质2.用拉格朗日基函数求拉格朗日多项式3.拉格朗日插值余项（误差估计）三、牛顿插值1.插商的定义、性质2.插商表的计算3.学会用插商求牛顿插值多项式四、等距节点的牛顿插值1.差分定义、性质及计算（向前、向后和中心）2.学会用差分求等距节点下的牛顿插值公式五、学会求低次的hermite插值多项式六、分段插值1.分段线性插值2.分段三次hermite插值3.样条插值第三章函数逼近与计算（1-6）一、函数逼近与计算的提法（定义）、常用两种度量标准（一范数、二范数\平方逼近）二、基本概念连续函数空间、最佳一次逼近、最佳平方逼近、内积、内积空间、偏差与最小偏差、偏差点、交错点值、平方误差三、学会用chebyshev定理求一次最佳一致逼近多项式，并估计误差（最大偏差）四、学会在给定子空间上通过解方程组求最佳平方逼近，并估计误差（平方误差）五、正交多项式（两种）定义、性质，并学会用chebyshev多项式性质求特殊函数的（降阶）最佳一次逼近多项式六、函数按正交多项式展开求最佳平方逼近多项式，并估计误差七、一般最小二乘法（多项式拟合）求线性拟合问题第四章数值分析（1-4）一、数值求积的基本思想及其机械求积公式二、代数精度的定义并学会判别求积公式的代数精度三、插值型求积公式、定义及其性质四、newton-cotes公式定义、余项及其代数精度五、学会用几种低阶newton-cotes公式及其逼近公式方程求积分近似值六、学会用龙贝格算法求积分近似值七、高斯公式定义及其代数精度，并学会用guass-chebyshev公式求积分近似值第五章常微分方程数值解法一、掌握显式的欧拉法，隐式欧拉法，梯形方法，中点欧拉法和改进欧拉法，包括这些方法，公式的推导，解题和局部截断误差（是几阶的方程）二、掌握runge-kutta方法的基本思想，以及二阶、三阶、四阶、五阶R-K方法的格式和局部截断误差第六章方程求跟（1-5）一、学会用二分法求解问题二、一般迭代法的基本思想三、局部收敛性定义、定理并学会用该定理判别迭代法的局部收敛性四、牛顿迭代法公式的推导，局部收敛性与收敛速度，牛顿法的应用与解题五、牛顿法的变形第七章解线性方程组的直接截法（1-6）一、学会用顺序高斯消去法，列主元素或完全主元素法，求解线性方程二、学会用矩阵三角分解法，平方根法（改进平方根法），追赶法求解问题三、掌握向量和矩阵的定义，性质，计算，应用四、矩阵的谱半径，条件数，定义，计算，应用五、线性方程组的误差分析第八章线性方程组的迭代法（1-4）一、一般方程组的一般迭代法思想，迭代格式，收敛性，一般误差分析二、学会用雅各比迭代法解题，学会判别其收敛性三、学会guass-seidel迭代法解题，学会判别其收敛性四、学会SOR迭代法解题，学会判别其收敛性。
数值分析期末复习要点总结
数值分析期末复习要点总结数值分析是一门研究用数值方法来解决数学问题和科学工程问题的学科。
它包括数值计算、数值逼近、数值求解以及数值模拟等内容。
本文将从数值计算的基础知识、数值逼近方法、数值求解方法以及数值模拟方法等方面进行复习要点总结。
一、数值计算的基础知识1. 计算误差：绝对误差、相对误差、有效数字、舍入误差等等。
2. 机器精度：机器数、舍入误差、截断误差等等。
3. 数值稳定性：条件数、病态问题等等。
4. 误差分析：前向误差分析、后向误差分析等等。
二、数值逼近方法1. 插值方法：拉格朗日插值、Newton插值、Hermite插值等等。
2. 曲线拟合：最小二乘法、Chebyshev逼近等等。
3. 数值微分：前向差分、后向差分、中心差分等等。
4. 数值积分：梯形法则、Simpson法则等等。
三、数值求解方法1. 非线性方程求解：二分法、牛顿迭代法、弦截法等等。
2. 线性方程组求解：直接法（Gauss消元法、LU分解法）和迭代法（Jacobi法、Gauss-Seidel法）。
3. 特征值和特征向量：幂法、反幂法、QR分解法等等。
4. 非线性最优化问题：牛顿法、拟牛顿法、梯度下降法等等。
四、数值模拟方法1. 常微分方程数值解法：Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta法等等。
2. 偏微分方程数值解法：差分法、有限元法、有限差分法等等。
3. 数值优化方法：线性规划、非线性规划、整数规划等等。
五、数值计算软件1. MATLAB基础：向量、矩阵、符号计算等等。
2. MATLAB数值计算工具箱：插值与拟合工具箱、符号计算工具箱等等。
3. 其他数值计算软件：Python、R、Octave等等。
总结数值分析是一门重要的数学学科，它为解决实际问题提供了有效的数值方法。
在数值计算的基础知识中，我们需要了解计算误差、机器精度和数值稳定性等概念，同时也需要掌握误差分析的方法。
数值逼近方法包括插值、曲线拟合、数值微分和数值积分等内容，其中插值和拟合是常见的逼近方法。
数值分析计算方法复习
Gauss列主元素消元法
基本思想：在系数矩阵A的第一列中选绝对值最大的 元素作主元，设该元素所在行为第i1行，交换第一 行与第i1行，进行第一次消元；再在第2－n行的第 二列中选绝对值最大的元素作主元，设该元素所在 行为第i2行，交换第二行与第i2行，进行第二次消 元，……直到消元过程完成为止。
则对任意x0 [a, b]，由xn+1=(xn )得到的迭代序列{xn } 收敛到(x)的不动点x *，并有误差估计：
|
xn
x*
|
1
1
L
|
xn1
xn
|
Ln xn x * 1 L x1 x0
局部收敛性定理 设x*为(x)的不动点， `(x)在x*的 某邻域连续，且|`(x*)|<1，则不动点迭代法xk+1=(xk )
若对任意 x0[a, b]，由上述迭代得序列{xk}，有极限
lim
k
xk
x*
则称迭代过程收敛，且x*=(x*)为(x)的不动点。
（二）不动点的存在性和迭代法的收敛性
▪ 不动点的存在性定理 设(x)C[a, b]且满足以下两
个条件：
（1）对于任意x [a, b]，有a≤(x)≤b； （2）若(x)在[a, b]一阶连续，且存在常数0<L<1，
第二章 非线性方程的求根方法
▪ *引言 ▪ 方程求根的二分法 ▪ 迭代法及其收敛性
不动点迭代法 不动点的存在性与迭代法的收敛性 迭代收敛的加速方法
▪ Newton迭代法：
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不动点迭代法
1) f ( x) 0 x ( x) 求 f ( x) 0的根等价于求 x ( x)的不动点
2) 不动点迭代格式 xk 1 ( xk ), k 0,1, 2, (4.5)
3) 迭代收敛条件
定理 4.1：设 ( x)是闭区间 [a, b] 上的压缩函数，则 ( x)在 ，且对任意 x0 [a, b], 迭 [a, b] 中有唯一不动点 x* 代公式(4.5)都收敛 . (全局收敛) 推论 ：设 ( x) C1[a, b]，且 1) x [a, b] 总有 ( x) [a, b]; 2) 存在 L (0,1)，使 ( x) L, x, y [a, b] 则定理4.1结论成立 . (全局收敛)
(b a)5 (4) f ( ), Simpson公式余项 I S1 2880
a, b
复合求积公式
1) 复合梯形公式
b
(复合求积的思想)
题3.5, 题3.6
a
2 h 复合梯形求积公式的余项为 I Tn f (b) f (a ) 12
n 1 h f ( x)dx f (a) 2 f ( xk ) f (b) Tn 2 k 1
2) 复合Simpson公式
b
a
n 1 n 1 h f ( x)dx f (a) 2 f ( xk ) 4 f ( xk 1 ) f (b) Sn 2 6 k 1 k 0
复合Simpson求积公式的余项为
1 h I Sn 180 2
j 0 j 0 n2 n 1
Pn 1 ( x) f [ x0 , x1 , , xn ] ( x x j )
j 0
n 1
例2.7, 例2.8
题2.6, 题2.7
误差 f ( x) Pn ( x) f [ x0 , x1 ,, xn , x] ( x x j )
例1.9
2) 已知自变量误差 e( x), er ( x), e( y)和 er ( y). 求二元函数值u = f (x,y)
的误差e(u) 和 er (u).
u u e(u ) du e( x ) e( y ) x y
e(u ) u x u y er (u ) er ( x) er ( y ) 例1.10 ,例1.11 u x u y u
1 当n 2时, R2 ( x) f ( )(x x0 )(x x1 )(x x2 ), [ x0 ,x2 ] 6
例2.4, 题2.5
Newton插值公式
1) 差商、差商的计算 2) Newton插值公式 例2.5
Pn ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , , xn 1 ] ( x x j ) f [ x0 , x1 , , xn ] ( x x j )
f ( n1) ( ) Rn ( x) w( x) (n 1)!
n k 0
x [a, b]
其中 w( x) ( x xk ), [a, b] 与 x 有关 。
1 当n 1时, R1 ( x) f ( )(x x0 )(x x1 ), [ x0 ,x1 ] 2
例3.1, 题3.1, 题3.2
题3.11
●
利用代数精度定义构造求积公式
插值型求积公式
b
a
f ( x)dx f ( xk ) lk ( x)dx
b k 0 a
b aΒιβλιοθήκη n1) 求积系数 Ak lk ( x)dx. 2) 求积系数具有 n+1个求积节点的插值型求积公式至少具 有 n 次代数精度. 3) 中矩形公式、梯形公式、Simpson公式是插值型求积公式 (各自的代数精度). 4) Newton-Cotes公式: 一类节点等距分布的插值型求积公式.
4) 定义 1.4： 若| er ( x) | r , 则称 r 是 x 的相对误差限。
5) 定义 1.5：如果近似值 x 的误差限是它的某一位的半个单 位，就称它准确到这一位。若该位到 x 左边第一位非零
数字共有n 位，则称它有n 位有效数字。
例1.5 题1.1
用微分计算函数值误差
2) 抛物插值 已知函数 f ( x)在点 x0 , x1 , x2上的函数值 y0 , y1 , y2，求作 一个2次多项式 P2 ( x)，使得
P2 ( x0 ) y0 , P2 ( x1 ) y1, P2 ( x2 ) y2
x x0 x x2 x x0 x x1 x x1 x x2 P2 ( x) y0 y1 y2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
例1.10 , 例1.11, 题1.5
计算方法的数值稳定性
1) 求根公式的数值稳定性 2) 递推法的数值稳定性 题1.9, 题1.10
数值计算中应注意的几个原则
避免相近数相减 ; 避免小除数, 大乘数 ; 避免大数吃小数 ; 采用数值稳定的算法 ;
减少运算次数.
题1.7
Chap 2
插值法与最小二乘法
插值节点 求作一个次数不超过 n 的多项式 Pn ( x)，使之满足 f (x)的满足插值条件 (2.1)的n次插值多项式
P n ( xi ) yi (i 0,1,, n)
插值条件
(2.1)
Lagrange插值公式
1) 线性插值
插值余项
求作一个1次 已知函数 f ( x)在点 x0 , x1上的函数值 y0 , y1，
3) n 次Lagrange插值
Pn ( x) yk lk ( x)
k 0
n
lk ( x)
j 0, j k
n
x xj xk x j
题2.2
满足 P n ( xk ) yk , k 0,1, 2,, n n 次Lagrange插值基函数 lk ( x)的性质:
0 t t 1 1 2t , 1 t t 2 3 2t ,
2
0 t t t 1 , 1 t t 2 t 1
2
插值余项 R3 ( x) f ( x) P3 ( x)
f (4) ( ) ( x x0 )2 ( x x1 ) 2 , x [ x0 ,x1 ] 4!
多项式P 1 ( x) a0 a1 x，使得
P 1 ( x0 ) y0 , P 1 ( x1 ) y1
x x1 x x0 P y1 y0l0 ( x) y1l1 ( x) 1 ( x) y0 x0 x1 x1 x0
混合型Hermite插值
例2.9, 题2.8, 题2.10
分段插值
( 如何确定其解析式, 光滑性, 误差估计? )
1) 分段线性插值 2) 分段3次Hermite插值
题2.11, 题2.12
3次样条函数
1) 什么是3次样条函数, 3次样条插值 2) 比较3次多项式插值(不含导数条件), 分段3次Hermite插值, 3次样条插值
j 0
n
f ( n ) ( ) 差商与微商的关系 f [ x0 , x1 , , xn ] n!
Hermite插值
3次Hermite插值
P 3 ( x) 0 ( x) y0 1 ( x) y1 0 ( x) y0 1 ( x) y1
3次Hermite插值基函数 (插值基函数的性质)
Chap 3 数值积分与数值微分
机械求积公式 插值型求积公式
复合求积公式 Gauss求积公式 数值微分
机械求积公式
●
b
a
求积系数 f ( x)dx Ak f ( xk )
n k 0
求积节点
代数精度: 若一个机械求积公式对 f ( x) x j ,( j 0,1,, m)
准确成立,但对 f ( x) xm1 不准确成立, 就说它具 有m次代数精度.
Review
Chap 1
数值计算中的误差
误差 误差限 有效数字 用微分计算函数值误差 计算方法的数值稳定性
误差 误差限 有效数字
设 x 是准确值， x 是 x的近似值 1) 定义 1.1： 称 e( x) x x 为 x 的绝对误差(简称误差)。
定义 1.2 ： | x x | ，则称 是 x 的误差限。 若 2) x x 为 x 的相对误差。 3) 定义 1.3：称单位量上的误差 er ( x) x
4
(3) (3) f ( b ) f (a)
Gauss求积公式
1) 什么是Gauss求积公式? 2) Gauss点的性质? 定理3.4： xi 1 是Gauss点的充分必要条件是以 xi 1为零点
n
n
的多项式 Ln ( x) ( x xi ) 与所有次数不超过 n-1的多项式
1) 已知 x的近似值 x ，一元函数值 y f ( x )的近似值为 y f ( x)
误差 e( y) f ( x ) f ( x) f ( x)e( x)
相对误差
f ( (x x) ) e( y ) xe ( x) er ( y ) e (x r) (x x) ) y f(
f (a h) f (a ) h
f (a ) f (a h) h