具时滞的二维神经网络模型的分支(精)
具時滞的单种群模型和SIS模型的稳定性和分支分析
第2章 预备知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1 几何准则. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Hopf 分支存在条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
神经网络的发展历程与应用
神经网络的发展历程与应用神经网络是一种仿生的人工智能技术，它模拟了人类大脑中神经元之间的连接和信息传递方式，具有自学习和适应性强的特点。
神经网络的发展历程可以追溯到上世纪50年代，经过了长期的理论研究和应用实践，如今已经成为了人工智能领域中的重要技术之一。
本文将从神经网络的发展历程、基本模型、优化算法以及应用领域等方面进行介绍。
一、神经网络的发展历程神经网络的发展历程可以分为三个阶段，分别是感知机、多层前馈神经网络和深度学习。
1. 感知机感知机是神经网络的起源，由美国心理学家罗森布拉特于1957年提出。
感知机是一种单层神经网络，由若干感知器（Perceptron）组成。
每个感知器接收输入信号并进行加权和，然后经过一个阈值函数得到输出。
该模型的最大缺点是只能处理线性可分问题，无法解决非线性问题。
2. 多层前馈神经网络为了克服感知机的局限性，科学家们开始尝试使用多层前馈神经网络来处理非线性问题。
多层前馈神经网络由输入层、隐藏层和输出层组成。
每个神经元都有一个激活函数，用于将输入信号转换为输出。
这种结构可以处理非线性问题，并且可以通过反向传播算法来训练网络参数。
多层前馈神经网络在图像识别、语音识别、自然语言处理等领域得到了广泛应用。
3. 深度学习深度学习是指使用多层神经网络来学习高层次特征表示的一种机器学习方法。
深度学习在计算机视觉、自然语言处理等领域有着广泛的应用。
其中最著名的就是卷积神经网络（CNN）和循环神经网络（RNN）。
卷积神经网络主要用于图像识别和分类问题，循环神经网络主要用于序列预测和语言建模。
二、神经网络的基本模型神经网络的基本模型可以分为三类，分别是前馈神经网络、反馈神经网络和自组织神经网络。
1. 前馈神经网络前馈神经网络是指信息只能从输入层到输出层流动的神经网络。
其中最常用的是多层前馈神经网络，它由多个隐藏层和一个输出层组成。
前馈神经网络的训练主要使用反向传播算法。
2. 反馈神经网络反馈神经网络是指信息可以从输出层到输入层循环反馈的神经网络。
含时滞和脉冲的双向联想记忆神经网络模型的全局鲁棒一致渐近稳定性分析
≤６ ， ≤６ ； 和 ： 表示第 ｉ 个神经元对第 个神经元
在时间 ｔ 和ｔ 一７ （ ｔ ） 的关联强度 ， 且存在 常数 、 、
、
［ ２ １ ］ 的结 果 ． 文献 ［ ２ ３ ］ 将 其 推 广 到 可 变 时 滞 的情 形． 然而， 据我 们所 知 ， 关 于含 时 滞 和脉 冲的 双 向联
式技 巧和构造 恰 当的 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函数 ， 获得 了含 常 时 滞的双 向联 想 记 忆 神经 网络 模 型鲁 棒 指 数 稳 定 的
（ ￡ ） ） ）＋ ， ｔ＞Ｏ ， ｔ ≠ｔ √ ＝１ ， ２ ， …， ｎ ， △ （ ）＝． （ ｖ ｊ （ ｔ ） ） √＝１ ， ２ ， …， ｎ ， ｋ Ｅ Ｚ ，
阵不 等 式 技 巧 和 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ—Ｋ ｒ ａ ｓ ｏ ｖ ｓ ｋ ｉ ｉ 稳 定 性 理
吨 （ ￡ ）＝ 一 ａ ｉ ｕ （ ） ＋∑ （ （ ￡ ） ） ＋∑嘶 ｒ － （ （ 一
，＝ １ ， ＝１
ｒ （ ｔ ） ） ）＋Ｃ ｉ ， ｔ＞Ｏ ， ｔ ≠ｔ ， ＝１ ， ２ ， …， ｍ，
含 时滞 和脉 冲的 双 向联 想 记 忆神 经 网络 模 型
网络模 型
由于在 模型 识 别 、 人工智能、 自动 控 制 等 领 域 的广 泛应 用 而倍受 关 注 ， 文献［ １—１ ８ ］ 报 道 了关 于其 解 的渐近 行为 的诸多研 究成 果 ． 由于测 量 等原 因会 导 致 模型 参数 的偏差 ， 因而 关 于该 模 型鲁 棒稳 定 性 的 分析 － ２ ３ ］ 也 为学者 所 关 注 ． 文献 ［ １ ９ ］ 利 用 线 性 矩
Ａ ｕ （ ｔ ）＝ （ （ ￡ ） ） ， ：１ ， ２ ， …， ｍ， ｋ∈ｚ ， （ １ ）
具有时滞的Cohen—Grossberg神经网络的Hopf分支全局存在性研究
多科 技 工作 者的 关注 ． 由 于神 经 网络 的应 用要 依 赖
于 其动 力学行 为 ， 因此 神经 网络 的动 力学 分 析 成 为
设计 神 经 网络 的重要前 提 ．
Ｈ
函数 ｎ （・） 有界， 即存在 正 常数 口 和口 ，
Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｏ ｎ Ｇｌ ｏ ｂ ａ ｌ Ｅｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ Ｈｏ ｐ ｆ Ｂｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ
ａ Ｃｏ ｈｅ ｎ － Ｇｒ ｏ ｓ ｓ ｂ ｅ ｒ ｇ Ｎｅ ｕ ｒ ａ ｌ Ｎｅ ｔ ｗｏ ｒ ｋｓ ｗｉ ｔ ｈ Ｔｉ ｍｅ Ｄｅ ｌ ａ ｙ ｓ
第２ ５卷 第 １ 期 ２ ０ １ ３年 ２月
军
械
工
程
学
院
学
报
Ｖｏ１ ．２ ５ Ｎｏ． １ Ｆｅ ｂ ．２ ０１ ３
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｏｒ ｄ ｎ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ
具 有 时 滞 的 Ｃ ｏ ｈ ｅ ｎ — Ｇｒ ｏ ｓ ｓ ｂ ｅ ｒ ｇ神 经 网络的 Ｈｏ ｐ ｆ 分支全 局存在性研究
使得 Ｏ ＜ａ ＜ｎ （・ ） ≤口 。 ， ｉ 一１ ， ２ ， …， ；
Ｈ２ ｂ １ （ ０ ） ：ｂ ２ （ ０ ） 一 ０， ｆ１ （ Ｏ ） 一ｆ ２ （ Ｏ ） 一０；
文献 ［ ２ ］ 研 究 了 具 有 分 布 时 滞 的连 续 Ｃ ｏ ｈ ｅ ｎ — Ｇｒ ｏ ｓ ｓ ｂ ｅ ｒ ｇ神经 网络 的 Ｈｏ ｐ ｆ 分 支 问题 ， 笔者 考 虑具 有 离散 时滞 的连续 Ｃ ｏ ｈ ｅ ｎ — Ｇｒ ｏ ｓ ｓ ｂ ｅ ｒ ｇ神 经 网络模 型
曲阜师范大学学报(自然科学版)2007年(第33卷) 总目次
类具 连续 时滞 二维神经 网络模 型 的 Ｈｏ ｆ ｐ 分支 …… …… …… …… ……… …… …… …… … 唐长 兵（ ４ ） ５ —１
抗 生素 脉冲作 用 的微生物 竞争模 型 分析 … …… …… ……… … ……… …… ……… … 鞠培 军 ， 张 卫（ ９ ） ５ —１ ＧｌｎＴ ｏ ｓ ｎ棱镜 高性 能宽带 减反 射膜 的研 制及性 能测 试 …… … 郝殿 中， ａ － ｈ ｍｐ ｏ 吴福全 ， 闫 斌 ， ６ —１ 等（ ３ ） 不 同 的氧氩 比对 Ｚ Ｏ 薄膜性 能 的影 响 … …… …… ……… …… …… … 潘 志峰 ， 一 方 ， 清 山， ６ —１ ｎ 袁 李 等（ ５ ） 测 量晶 体相位延 迟量 的 Ａ ４波片 法研究 … …… …… ……… …… …… …… ……… … 孔 ／ 超 ， 国华（ ９ ） 李 ６ —１
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曲阜 师 范 大学 学报 （ 自然 科 学 版 ） ０ ７年 （ ３ ２０ 第 ３卷 ）
总 目 次
黎曼 流形 上布 朗运动关 于测 地球 击 中时 的矩 …… …… …… ……… …… …… ……… …… 欧 阳顺 湘 （ —１ １ ） ｗ 概 率空 间上 的车 贝晓夫不 等式 及大数 定 理 …… ……… … ……… …… 孟 庆 ， 一 刁宗鑫 ， 慧玲 （ — １ 何 ５ ）
青 岛市 城市竞 争力评 估及 提升 对策 …… …… …… …… …… ……… …… …… …… 于
伟 ， 小刚（ ９ ） 杜 ９ —１
山东省 区域发 展与 空间结 构研 究 …… …… ……… …… …… …… ……… …… …… … 周 长春 ， 王西伟 （ ０ —１ １４ ） 全 国城 市汉族 儿童青 少 年身高 、 体重 发育 的研 究 …… …… …… ……… …… …… … 陈 亮 ， 翟连林 （ ０ —１ １９ ）
变时滞的双向联想记忆神经网络的全局指数稳定性
第 ３ 卷 ７
Ａ＝ｄａ （ｌ…ａ ，１ ， ∈Ｒ ，Ｊ ＝（１…Ｓ，ｌ ， ） ｉｇ ａ， ｂ… ｂ ） ” ｏ Ｓ， ｈ… ∈Ｒ ， ”
（ 一 （）＝（ （ｌ －＂／） （ （一 （）ｇ（ （－ １）， （ 一 （）ｒ ，） ｆ Ｙ（ Ｚ ）， ） ｔ ｌ ）…， ， ，） ｌ ８ ｔ） （ ）， ｘ ｔ （）…， ，） ． ））
ｄ ｉ Ｏ３ ６ ￣ｉ ｎ１ ０ —４ ３２ １．７ ７ ｏ ：１ ．９９ ．ｓ ． ３２ ８ ． １ ． ｓ ０ ０ Ｏ０
文献［ 讨论 了双层双 向联想记忆神经 网络模型（Ａ ） １ ］ Ｂ ＭＮ 的稳定性， 在此基础上， 文献［ ５得到了稳定性 的 １］ ． 不少判定方法， 文献【 １］ ６ Ｏ分析了时滞为常数的双向联想记忆神经 网络模型指数的吸引性， — 得到了很好的结果． 但在时滞是 时间变量的情况下， 其全局吸引性和全局指数稳定性 的应用更加广泛， 但这方面的研究和文献却很 少．
＝
（ １ ｗ
， ＝ｉ（，Ｌ， ， ∈ ， （ ，， Ｌ ｄｇ ． ）Ｒ Ｍ ＝ ａ Ｌ… … １ ， … ＋
定理 ２ 【 如果系统（ 满足下列条件 ： ．９ １】 Ｉ ３ ）
１Ｉ（） ＵＩＬ“ Ｕ， ）ｇ ） ｌ一： ， ） ｊ￣ （） ｊ 一２ 一 ： “ ｌ ｆｕ～ ２＜ ｌ Ｉ ｌ ｇ Ｉ
｛ ， ， Ｊ２， Ｉ） ∈０ ＝ 辜 ＝… ｙ ）Ｓ 】 １ｍ ｊ （ ｓ ［， ， － ，
其中 ， ： ，］ Ｒ是连续函数． 卜ｒ０
令 ｆ ：（ ｆ ，ｆ， “ ．（ ） （ ） （ ， （ …， ｆ ＝（， ）Ｘ （ ， ， ｆ Ｙ （ ， ，ｆ …， ∈Ｒ ， ） ） ） （ ， ，ｆ … ｘ （ ， ｆ Ｙ （ ， Ｙ （ ） ｆ ） ） ） ） ）
几类时滞微分方程的分支分析
几类时滞微分方程的分支分析时滞微分方程作为描述系统动态行为的重要工具，广泛应用于各种领域，如生态系统、神经网络、工程系统等。
对于具有给定初值的时滞微分方程，其稳定性和分支性质是近年来研究的热点问题。
本文将介绍几类时滞微分方程的分支分析，通过理论分析和数值模拟，探讨时滞微分方程的分支机制和复杂性。
时滞微分方程是由微分方程和时滞项组成的数学模型，描述了系统在给定时刻的行为及其过去的历史。
对于时滞微分方程，需要先定义时滞项和微分方程，再通过适当的数学分析，求解方程的解及其性质。
在分支理论中，分支是指系统在某些参数变化时，其动态行为发生本质变化的现象。
分支分析是通过分析方程的解来研究分支现象的性质、类型和产生条件的过程。
对于时滞微分方程，其分支现象通常包括周期解的稳定性和分岔、混沌等非线性现象。
单变量时滞微分方程是一类最基本的时滞微分方程，其形式为：dy(t)dt=f(y(t),y(t-τ))对于这类方程，可以通过适当的变换将其化为常微分方程，再利用经典的分支理论进行分析。
例如，通过线性化方法和中心流形定理，可以研究方程在临界点附近的动态行为和分支现象。
dy1(t)dt=f1(y1(t),y2(t-τ)) dy2(t)dt=f2(y1(t),y2(t-τ))对于这类方程，可以利用相平面分析和奇异性理论来研究其分支现象。
通过分析系统在相平面上的轨迹和奇异点，可以得出方程的动态行为和分支性质。
时滞微分方程组是由多个时滞微分方程组成的系统，形式为：dy1(t)dt=f1(y1(t),y2(t-τ1),…,yn(t-τn))dy2(t)dt=f2(y1(t),y2(t-τ1),…,yn(t-τn)) …dyn(t)dt=fn(y1(t),y2(t-τ1),…,yn(t-τn))对于这类方程组，可以运用多变量分支理论进行分析。
通过研究系统在不同参数下的动态行为和奇异点，可以得出方程组的分支性质和复杂性。
随机时滞微分方程是在时滞微分方程中引入随机因素，形式为：dy(t)=f(y(t),y(t-τ))dt+g(y(t),y(t-τ))dW(t)其中W(t)是布朗运动。
含时滞的双向联想记忆神经网络的全局吸引性和全局指数稳定性
Ｉ Ｉ
０
●ｆ
拓扑 的有关知识 ，易证定理 ２ ［１ ． ． １ 定理 ２１ 如果系统（ 满足下列条件 ： ． ３ ）
１ ｊ ）ｆ ｌ ／ 一 ， ）ｇ Ｉ Ｉ一 ， ， １，，ｆ１… ） ） （ －ｊ ） Ｊ Ｊｇ 一， ） Ｉ ∈ ， ， ＝， ｌ （ ≤ ｆ Ｉ（ （ ＝２ ； ２ … ，
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第 ４期
董彪等： 含时滞的双向联想记忆神经网络的全局吸引性和全局指数稳定性
７１ ５
＝
ｄａ （ ． ， 一 ，∈Ｒ ， ｉｇ ｒ － ， ， ）
Ｆ一＝（一， （ 。， 一， （一） ＝ ｏ （ （ … ｇ … ［ Ｉ ） １， 卜）（ ）， ） ， 是 ） ） ） ） ） ） ，
一
（＋） （ ＋） ｍ ｎ × ｍ ｎ矩阵 ，其 中 ：（ ） ，Ｖ：（ … Ｖ）
ａ （ ｕ ｔ ）
— —
则（） １ 可改写为 ：
母
，Ｌ ，
、，
＿
一
：
一
（） Ｅ（ ｆ ）＋Ｊ ， ｆ ｆ＋Ｗ （— ） ｏ ≥０．
＋
（） ３
ａｔ
∑
，
２ 预备知识
含 时 滞 的双 向联 想 记 忆神 经 网络 的全 局 吸 引性和 全局 指 数稳 定 性
董彪，蒋 自国，吴文权
（阿坝师范高等专科 学校数 学系，四川汶川 ６ ３ ０ ２ ０ ０） 摘 要 ：本文研 究 了具有时滞的双向联 想记忆神经 网络模型 ，在 非线性神 经元激励 函数是 Ｌｐｃ ｉ ｉｓｈ ｚ连 续的条件 下 ，通过 ｔ
●ｌ
Ｉ Ｉ
２
２Ｃ ＝Ａ—Ｗ ）
是 Ｍ一 矩阵，
神经网络模型及训练流程深入解析
神经网络模型及训练流程深入解析神经网络模型是深度学习中最基本的组成部分之一。
它是一种由人工神经元组成的计算模型，可以模拟和处理复杂的非线性关系。
神经网络模型通常包含输入层、隐藏层和输出层，通过层与层之间的连接，实现信息的传递和处理。
一、神经网络模型结构神经网络模型的结构通常是层级的，其中包含多个神经元组成的层。
输入层接收外部的输入数据，隐藏层负责处理输入数据并提取特征，输出层产生最终的预测结果。
隐藏层可以有多个，层数越多越能提取更高级别的特征。
在神经网络模型中，每个神经元与上一层的所有神经元相连接。
每个连接都有一个权重值，表示该连接的重要性。
神经元根据输入数据和连接权重进行加权求和，并通过激活函数将求和结果转换为输出。
常用的激活函数有sigmoid函数、ReLU函数等。
二、神经网络模型的训练流程神经网络模型的训练是通过调整连接权重和偏置值，使得模型的预测结果与真实值尽可能接近的过程。
训练流程通常包括前向传播和反向传播两个阶段。
1. 前向传播首先，将训练数据输入到神经网络模型的输入层。
然后，通过每个神经元将数据传递到隐藏层和输出层，直至得到最终的预测结果。
在传递的过程中，每个神经元根据输入数据和连接权重计算加权求和，并通过激活函数产生输出结果。
2. 反向传播在前向传播的基础上，需要计算损失函数，用于衡量模型预测结果与真实值之间的差异。
常用的损失函数有均方误差、交叉熵等。
通过计算损失函数，可以得到模型对于输入数据的预测误差。
接下来，需要利用误差进行反向传播。
反向传播从输出层向输入层反向计算，通过链式法则更新连接权重和偏置值，使得误差逐渐减小。
通常使用梯度下降算法来更新权重和偏置值，根据梯度的负方向调整参数值。
重复进行前向传播和反向传播多个轮次，直到模型的训练误差达到一个满意的水平为止。
三、常用的神经网络模型1. 前馈神经网络（Feedforward Neural Network）前馈神经网络是最简单的神经网络模型，其中信息只能在一个方向上流动，即从输入层到输出层。
几类反应扩散系统的稳定性和分支
几类反应扩散系统的稳定性和分支反应扩散系统是一类复杂的动态系统，其中反应和扩散过程相互影响，形成了许多有趣的数学和物理现象。
反应扩散系统的稳定性与分支是该领域研究的两个重要方面，它们描述了系统的长期行为和复杂性的产生。
我们来讨论反应扩散系统的稳定性。
稳定性是反应扩散系统的重要特性之一，它描述了系统在初始条件下的变化情况。
通常情况下，反应扩散系统是混沌的，这意味着对于相同的初始条件，系统可能会表现出不同的行为。
然而，在某些情况下，反应扩散系统可以具有稳定性。
这意味着如果我们将系统置于某个状态，它将会保持这个状态不变，或者随着时间的推移，它会收敛到某个固定的状态。
反应扩散系统的稳定性通常取决于它的参数和初始条件。
例如，如果反应扩散系统的反应项具有负数或零的特征根，则该系统通常是稳定的。
这是因为这些反应项的特性决定了系统在空间中的扩散和传播速度，当这些速度较慢时，系统更容易达到稳定状态。
然而，有时候反应扩散系统可能会出现分支现象。
分支是反应扩散系统中的一种复杂行为，它描述了系统在某些条件下从一个状态转移到另一个状态的行为。
分支通常发生在系统的反应项具有正数特征根的情况下，因为这些反应项可以促进系统的自组织行为和复杂性的产生。
分支可以表现为多种形式，例如空间混沌、时间周期性、时间混沌等。
这些分支现象通常需要在特定的参数和初始条件下才会出现。
例如，当反应扩散系统的反应项具有正数特征根时，如果我们将系统的初始条件设置得非常特殊，则可能会观察到空间混沌行为。
反应扩散系统的稳定性和分支是两个非常重要的研究方面。
稳定性描述了系统的长期行为，而分支则描述了系统的复杂性的产生。
这些研究可以帮助我们更好地理解和预测自然现象中的复杂行为。
反应扩散方程是一类描述化学反应和扩散现象相互作用的偏微分方程，其在化学反应动力学、生物学、物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍几类反应扩散方程的分支理论及其在实践中的应用。
反应扩散方程的分支理论主要涉及到线性反应扩散方程、非线性反应扩散方程和幂律反应扩散方程。
一类具有时滞的二阶神经网络模型周期解的存在性和稳定性
Ｏ 引 言
由于 Ｈ ｐ ｅ 神经网络模型 在联想记忆、 ｏｆｌ ｉｄ 优化组合 Ｉ 等领域的广泛应用 ， ３ 近年来 已吸引了众多 学者的广泛关注， 特别是对 非 自知时滞神经 网络模 型周期解 和概 周期解 的研究获 得 了许多好 的成 果 引， 中文献［ ］ 其 ９ 考虑Ｔ￣Ｔｎ滞神经网络模型 ｎ ￣
［ 作者简介 ］ 武军（９９ ）男 ， 蒲 １７ 一 ， 甘肃平 凉人 ， 陇南师范高等专科学校讲师 ， 硕士。研究方向 ： 应用微分方程及拓扑
动力 系统。
３ｌ
设 ， ｙ为 二 实 Ｂｎｃ 间 ， Ｄ ｍＬｃ —ｙ是 Ｆｅｈｌ 指标 映射 。 — ， ｙ＋， ａａｈ空 ：ｏ ｒｄｏ ｍ零 Ｐ： Ｑ：＿ ｌ为二 连续 的投影算 子 ， ＩＰ ＝ 以，ｅＱ ＝ＩＬ， ＝ 儿 ０ ｅＰ， 且 ｍ ｇｒ ｍ Ｘ Ｋ ｒ Ｙ＝ＩＬ０ ｍ Ｉ Ⅳ： ｙ，记 Ｌ Ｌ＆ （ 一 ｍＱ， — ， ：， Ｐ Ｘ－ ＩＬ （ ） － ｍ ， ，一Ｑ Ｎ： － ＊ ） 一 为 的逆算 子 ， Ｉ －Ｋ ｒ Ｊ： － ｅ ｍＱ － Ｌ为一 同构 。 ＊ 引理 １加 设 ，， 】为二 Ｂ ｎｃ 间 ， ： ｏ Ｌｃ — ｙ是 Ｆｅｈｌ ａａｈ空 ＬＤ ｔ ａ ｒｄｏｍ零指标 映射 ， ｃ Ｘ为有 界开
件 。 文作 如下假 设 ： 全
１ 函数 （ ） ） “ 满足 Ｌ ｓ ｉ 条件 ， ｉｃ ｔ ｐ ｈｚ 即存在常数 ， ＞０， 使得
Ｉ （ １ （ ２ ≤ Ｉ ｌ— ， １／ Ｈ）一 Ｍ）Ｉ “ ２ Ｖｕ ，２∈Ｒ，１≠ （ ） ＝０， １２ … ，； ｆ ． Ｚ ｕ ２ ０ Ｊ＝ ，， ｎ ２ｒ ） ∈ Ｃ （ Ｒ）０≤ （）≤ ， ∈ Ｃ Ｒ， ， （） ＜１ｔ∈Ｒ，ｉ＞０， （）∈ Ｃ Ｒ， ， Ｒ， ， ｔ （ Ｒ） ｔ ， ｄ ｌｔ ｉ （ Ｒ）
带有时滞的HR和Hopfield神经元网络模型的Hopf分岔分析
带有时滞的HR和Hopfield神经元网络模型的Hopf分岔分析带有时滞的HR和Hopfield神经元网络模型的Hopf分岔分析神经元网络模型是研究神经科学和认知科学的重要工具之一。
其中，带有时滞的神经元网络模型更能够模拟实际生物系统中的动态行为。
本文将介绍带有时滞的HR（Hodgkin-Huxley）模型和Hopfield神经元网络模型，并通过Hopf分岔分析探讨这两种模型的动态特性。
首先介绍HR神经元模型。
HR模型是由Hodgkin和Huxley 在1952年提出的，用于描述神经细胞的电生理特性。
该模型由四个非线性微分方程组成，分别描述细胞膜电压、钠离子电流、钾离子电流和漏电流之间的关系。
HR模型的一个重要特征是其具有时滞项，即模拟信息传递过程中信号传导的时间延迟。
这种时滞项的引入更能够模拟真实生物细胞中神经冲动传导的过程。
接下来介绍Hopfield神经元网络模型。
Hopfield模型是由美国物理学家约翰·霍普菲尔德于1982年提出的，用于解决优化问题。
该模型的基本单元是一个二值神经元，通过相互连接的权重矩阵来模拟神经网络中神经元之间的相互作用。
Hopfield模型的一个显著特点是其在离散时间步骤下的动力学行为，即模拟网络中神经元状态的演化过程。
此外，Hopfield模型可实现存储和提取模式的功能，并在信息处理中具有一定的应用潜力。
在对带有时滞的HR和Hopfield神经元网络模型进行Hopf分岔分析前，我们先简要介绍一下Hopf分岔理论。
Hopf分岔是非线性动力学中一种常见的分岔现象，描述了系统参数变化时平衡态向周期解变化的过程。
Hopf分岔点是系统从平衡状态突然产生与时间周期相关的周期运动的临界点。
对于连续时间系统，Hopf分岔可以通过线性稳定性分析和中心流形定理进行判定。
在考虑时滞的情况下，我们用变量 u 表示HR模型中的膜电压，用变量 x 表示Hopfield模型中的神经元状态。
一类具连续时滞二维神经网络模型的Hopf分支
葛中
打 （ ）一 ２ 口＋ １ ， ｌ口 （ ） 打 （ ）一 （ ２口 口＋ １ ＋ ２ ） ａ— ａ ａ ， ｌ ２ 打 （ ）＝ ２ （ ３口 ａ ａ＋ １ ）一 ２ １ ２ ａ ａ 口，
另外容 易计 算
１ｌ。 面 ］ 一 一
于是通过上面分析可得
＿ ｌ
・
．
（ ５ ）
定理 １ 若满足 Ｄ（） ， ａａ＜ｌ则系统（ ） ａ＞ｏ 且 ｌ ， １ 的平衡点（ ，） ｏｏ 是局部渐近稳定的． 如果存在 ａ∈Ｒ ， 。 ＋
满足 Ｄ（。 一ｏ 且 ａ） ， Ｉ ４０ 则 当 ａ通 过 临界值 ａ 时 ， 。 ：， 。 在平 衡点 （ ，） Ｈｏ ｆ ｏｏ有 ｐ 分支 ．
￣ ａ
一
三
Ｈ （ ）一 Ｘ
３（ 警 Ｆ ￡ ｄ ． ｘ ３ 。 （ ．
一 ｚ （ ｛￡
Ｊ
线性 化 系统 的特征 方 程为
（ ＋１。 ｌ ［ 一ｂＩ Ｆ － ） ｄ 一０ ）一ａ口 １ ｌ ２ （ ｓ ］ ．
如果 Ｆ（） ｓ是强核 ， Ｆ（）＝ 口ｓ～ ， 即 ｓ 。ｅ 口＞ ０ 则 （ ） ， ３ 式变 为
记 （） ￡为神经 兀激 活水平 ， 经元 能通 过动态 阀植 来 调 节 自激 活 并依 赖 于 其 以前 的激 活． 论如 下 神 神 讨 经 网络模 型Ⅲ
１ ＝ ￣ ］ Ｆ ｔ ， ｆ 一 ｔ ， （ａ ａ ～ ｎ ａ ｎ ｈ ｉ ＾ ㈤
… ｍ ｎ
其 中 口 ， ｎ ｂ ， 均为 非负 数 ， 函数 Ｆ（） 权 是定 义在 ［ ，。 上 的非 负有 界 函数 ， Ｏ。 ） 它反 映 了 以往 细 胞 的状 态 对 当
神经网络的基本知识点总结
神经网络的基本知识点总结一、神经元神经元是组成神经网络的最基本单元，它模拟了生物神经元的功能。
神经元接收来自其他神经元的输入信号，并进行加权求和，然后通过激活函数处理得到输出。
神经元的输入可以来自其他神经元或外部输入，它通过一个权重与输入信号相乘并求和，在加上偏置项后，经过激活函数处理得到输出。
二、神经网络结构神经网络可以分为多层，一般包括输入层、隐藏层和输出层。
输入层负责接收外部输入的信息，隐藏层负责提取特征，输出层负责输出最终的结果。
每一层都由多个神经元组成，神经元之间的连接由权重表示，每个神经元都有一个对应的偏置项。
通过调整权重和偏置项，神经网络可以学习并适应不同的模式和规律。
三、神经网络训练神经网络的训练通常是指通过反向传播算法来调整网络中每个神经元的权重和偏置项，使得网络的输出尽可能接近真实值。
神经网络的训练过程可以分为前向传播和反向传播两个阶段。
在前向传播过程中，输入数据通过神经网络的每一层，并得到最终的输出。
在反向传播过程中，通过计算损失函数的梯度，然后根据梯度下降算法调整网络中的权重和偏置项，最小化损失函数。
四、常见的激活函数激活函数负责对神经元的输出进行非线性变换，常见的激活函数有Sigmoid函数、Tanh函数、ReLU函数和Leaky ReLU函数等。
Sigmoid函数将输入限制在[0,1]之间，Tanh函数将输入限制在[-1,1]之间，ReLU函数在输入大于0时输出等于输入，小于0时输出为0，Leaky ReLU函数在输入小于0时有一个小的斜率。
选择合适的激活函数可以使神经网络更快地收敛，并且提高网络的非线性拟合能力。
五、常见的优化器优化器负责更新神经网络中每个神经元的权重和偏置项，常见的优化器有梯度下降法、随机梯度下降法、Mini-batch梯度下降法、动量法、Adam优化器等。
这些优化器通过不同的方式更新参数，以最小化损失函数并提高神经网络的性能。
六、常见的神经网络模型1、全连接神经网络（Fully Connected Neural Network）：每个神经元与下一层的每个神经元都有连接，是最基础的神经网络结构。
神经网络算法介绍
神经网络算法介绍神经网络（Neural Network）是一种通过模拟人脑神经元之间的相互作用，来解决复杂问题的数学模型。
它由输入层、隐藏层和输出层组成，通过训练数据来调整网络中连接的权重和偏置，从而实现输入数据到输出数据的非线性映射。
前馈神经网络是最常见的形式，它的信息传递是单向的，从输入层流向输出层。
其中最简单的形式是单层感知机（Single Layer Perceptron），它只有一个输出节点，用于二分类问题。
多层感知机（Multilayer Perceptron）是前馈神经网络的扩展形式，可以处理更复杂的问题。
通过使用多个隐藏层，多层感知机可以学习到更加复杂的特征。
循环神经网络是具有反馈连接（Feedback Connection）的神经网络，它在处理序列数据时具有很好的表现。
循环神经网络的隐藏层之间形成了循环的连接，使得神经网络在处理上一个时间步的信息时能够记住之前的状态。
这种记忆能力使得循环神经网络在自然语言处理、语音识别等任务中表现出色。
神经网络算法的训练通常使用反向传播算法（Backpropagation），它通过最小化损失函数来调整神经网络中的权重和偏置。
在反向传播算法中，首先利用前向传播计算出网络的输出，然后通过计算损失函数对权重和偏置的导数，从输出层开始逐层反向传播误差。
最后，利用导数来更新权重和偏置，使得损失函数逐渐减小。
然而，神经网络算法也存在一些问题。
首先，神经网络的训练过程通常需要大量的样本和计算资源，需要较长的训练时间。
其次，神经网络算法的结构和参数选择需要一定的经验和技巧，否则容易出现过拟合或欠拟合的问题。
此外，神经网络算法在解决一些问题时可能会失效，需要结合其他算法或技术来完成。
然而，神经网络算法在许多领域已经取得了重大的突破。
例如，在计算机视觉领域，卷积神经网络（Convolutional Neural Network）在图像分类、目标检测等任务中取得了巨大成功。
时滞的具有两个神经元的分数阶神经网络系统的混沌与同步
第 ４期
龙伟 ， ： 等 时滞 的具有两个神 经元 的分数阶神经 网络 系统 的混沌 与同步
。 ３‘ ３
龙伟 胡华 虞继敏 ， ，
（ ． 庆 邮 电大 学 自动化 学 院 ， １重 重庆 ４ ０６ ；． 西师 范 学 院 数 学科 学 学院 ， 西 南宁 ５ ０２ ） ０ ０ ５２ 广 广 ３ ０ ３
摘 要 ： 了研究具有 时滞的神经 网络系统 中复杂 的动力 学 的特性 ， 为 该文 对一个 明确 的时 滞的具 有两 个神 经
Ｄ ｃ２ １ ｅ ．０ １
Ｖｏ． ８ Ｎｏ． １２ ４
第 ２ ８卷 第 ４期
文章 编 号 ：０ ２ ７ ３ ２ １ ）４ ０ ２ ５ １ ０ —８ ４ （ ０ １ ０ —０ ３ —０
时 滞 的 具 有 两 个 神 经 元 的 分 数 阶 神 经 网 络 系 统 的 混 沌 与 同 步
２１ ０ １年 １ ２月
广西师范 学院学报 ： 自然 科 学 版
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＧｕ ｎ ｘ ｅ ｃ ｅｓＥ ｕ ａ ｉｎ Ｕｎｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ａ ｇ ｉ ａ ｈ ｒ ｄ ｃ ｔ ｉｅｓｔ ｏ Ｔ ｏ ｙ： ｔｒ ｌ ｉｎ ｅＥｄｔ Ｓ ｏ
其 中 ａ ａ （ ＜ａ ， ＜ １是 阶次 ， （ ） ， ０ ： ） ￡ ＞Ｏ是关 于 的 函数 ， 示 延迟 时间 ，（ ） 激励 函数 ， ｂ ， 表 ￡ ・是 ａ ， ａ ｂ 为 常数 ． 文第 一 部 分 ， 据 Ｇｒｎ ｌ—ｅｎｋｖ分 数 阶定 义 ， 出 了一 个 求解 具 有 两 个 神 经 ， 均 本 根 ｔｗａ Ｌ ｔｉｏ ｉ ｄ 给 元 的时滞 分数 阶神经 网络系 统数 值解 的数 值 算法 ， 且 讨 论 了该 系 统 的混 沌 现 象 ； 二 部 分 ， 用 拉 普 并 第 利 拉 斯 变换 理论 证 明两 个 神经元 分 数 阶系统 的可 同步性 ， 用数 值 仿真 检验 同步 的有效 性 ． 并
具有时滞的细胞神经网络模型的周期解的存在性
ｌ （ Ｉ ，且 ≥（＋ ）， ｌｆ Ｉ ， ，） ＿ ａｂ ｔ则方程（ ） ｌ ２存在 ‘周期解 。 １ ）
证明 考虑算子方程 ：ｘｈＶ， ０１， Ｌ＝ ］ 入∈［， 即 － ｘ 】
Ｐ Ｄ ｍ － ｅＬ ＱＸ＂ ／ Ｌ 则有 ： ｏ Ｌ＂Ｋ ｒ， ：－Ｘ Ｉ ， ｍ 引理Ｐ 假设 Ｘ为 Ｂ ｎ ｃ ｌ ： ａ ａｈ空间 ， Ｌ是零指标 的 Ｆｅ ｈｌ ｒ ｏ ｄ ｍ
即 ： ｌｌ≤ ｌ （ ｆＩ 』ｘｆ 卜 有 』 ｌ 』 ｆ ） Ｉ （ ｌ ） ）＋Ｉ ） （ （ ￣
其 中 ＾ｆ， （ ， ｆ， ） （ 吩 ｆ （ Ｕｔ为周 期为 ‘ 的连续 函数 √： 一 ） ） ） １ ） ； 的非线性 的连续 函数 ，≤ ≤ ０为常数 （ ： 一，） ０ ， ＞ ｉ １ ＇ ２ ｎ。Ｆ ｊ （） （ （：，－（ ｒ １的 向量 输 出函数 ， ＝ ） 一 ｘ） 为（ ） ） Ｌ １ 满足（ ） Ｈ１
乙 ， ，
或（２： Ｈ ）
． ． ，
当 ｈ ｌ时 ， ＝ 上式便是方程（ ） ２ 。我们有 以下结论 ： 定理 １ 假设条件 （ ） （ ２ 成 立 ， ｌ （ ｌ ， Ｈ１或 Ｈ ） ， ｌ ｆ 她 ）ｌ
且 ｍｉ （）Ｉ ｌ０ ， ｌ （ ｌ Ⅱ， ｌ （ ｌ：， ｎｌ ｆＩ ＞ ， ｌ 她 ｌ ｔ ＝， ）ｌ Ａ 她 ｌ ￡ ＝ 懈 ）ｌ ６ Ｂ
） ） Ｉ （Ｉ＜ Ｉｌ Ｉ ） Ｉ ｔｄ 』 ｌ Ｉ ｄ Ｉ ）ｔ 。 ＋ ｔ ￣ ｍ＋ ６
算 子 ， ： — 是 上 Ｌ Ｎ 紧算子 ， 中 Ｉ 为 ｘ中的有界开 其 ｌ
集， 进一步假设 ：
一类具时滞的BAM神经网络模型的Pitchfork分支
第３ ５卷 第 ２期
２０ ０ ７年 ２月
东
北
林
பைடு நூலகம்
业
大
学
学
报
Ｖ０． ５ Ｎ ． １３ ｏ ２
Ｆｂ （ ７ ｅ ．２） ０
Ｊ ＯＵＲＮ ＡＬ ＯＦ ＮＯＲ ＨＥＡ Ｔ Ｆ Ｔ Ｓ ＯＲＥＳ Ｒ ＵＮＩ Ｒ Ｔ Ｔ Ｙ ＶＥ ＳＩＹ
一
与 ， 中的神经元通 过激活 函数 ｇ 发生作用后的 状态 ； 是 层 ｕ 个常数 ， ≥０ 它 的意义是每层 内部神经元的稳定性系数 ； ｕ ， ｇ ， ＝１ ２都 是 ｓ ｍ ｉ（ 滑单 调激活 函数 ） ｉｆ ， ｉｏ 光 ｇ ｄ 型非 线性 函 数 ；。 ７ 表示 ． 中神经元信号传到 ， － ， 层 层神经元信号的时滞 ； 。 表示 ， 层神经元信号传 到 Ｊ 层神经 元信号的时滞 ；。 都 是 ７， － 。 参数。 文献 ［ ］ ２ 以时滞 ７＝ ＋ 。 参数 ， － 为 研究 了（ ） １ 的局 部 Ｈ ｐ 分支的存在性及分支周期解的性质 Ｊ ｏｆ ２。文献 ［ ］ ３ 中研究
究和应用 ， 它在神经生理学、 计算机科学 、 认知科学及其它科学的 共同影响下 ， 已经提出了联想记忆模型及其理论分析 。 】 Ｂ ｋｓｏ Ｈ ｐｅ 的单 层单 向联 想记忆模 型推广 到 了 ．ｏ 将 ｏｆｌ ｋ ｉｄ 种双层双向结构 ， 即双 向联想记忆模型 （ Ａ 。Ｂ Ｍ 模型 Ｂ Ｍ） Ａ
一
类 具 时滞 的 Ｂ Ｍ 神 经 网络 模 型 的 Ｐｔｈｏｋ分 支 Ａ ｉ ｆ ｃ ｒ
张 明明 吕海波 张春蕊
（ 东北林、 大学 ， 哈尔演 ， ０ ４ ） １ ０ ０ ５
摘 要 研 究了一个 Ｂ Ｍ神 经网络模型 的分支 问题 ， 明 了直线 ｆ。 ０ ｇ。 ０ ， （ ） （ ）＝ 为一 备 Ａ 证 （ ） （ ）＋ ０ ｇ ０ ｕ Ｐｔ ｆ ｋ分支曲线 ； ｉ ｈｏ ｃ ｒ 并给 出了分 支曲线 图， 讨论 了在 由分支曲线划分的不同区域里平衡点的稳定性。
几类时滞神经网络模型的动力学分析的开题报告
几类时滞神经网络模型的动力学分析的开题报告时滞神经网络模型是一类非线性动力学系统，具有广泛的应用领域，如控制、优化、图像处理等。
本文将从时滞神经网络模型的动力学分析角度出发，介绍几类时滞神经网络模型及其动力学分析方法。
一、Hopfield神经网络模型Hopfield神经网络模型是一种全连通的对称神经网络模型，能够实现模式识别和模式恢复等功能。
在实际应用中，由于噪声、失真等影响因素的存在，网络往往存在不稳定的状态。
因此，需要对Hopfield神经网络模型进行动力学分析和稳定性分析。
目前已有很多关于Hopfield神经网络模型的动力学分析研究，如基于Lyapunov稳定性理论的方法、基于LMI（线性矩阵不等式）的方法等。
二、Cohen-Grossberg神经网络模型Cohen-Grossberg神经网络模型是一种具有多个负反馈回路的神经网络模型，能够实现分类、优化等功能。
与Hopfield神经网络模型不同的是，Cohen-Grossberg神经网络模型的权重矩阵是不对称的，因此对网络的动力学分析与Hopfield神经网络模型不同。
目前已有很多关于Cohen-Grossberg神经网络模型的动力学分析研究，如基于Lyapunov稳定性理论的方法、基于李亚普诺夫函数的方法等。
三、竞争型神经网络模型竞争型神经网络模型是一种基于竞争机制的神经网络模型，能够实现分类、聚类等功能。
竞争型神经网络模型具有复杂的非线性动力学行为，因此需要对其进行动力学分析。
目前已有很多关于竞争型神经网络模型的动力学分析研究，如基于Lyapunov稳定性理论的方法、基于LMI的方法等。
本文将通过对Hopfield神经网络模型、Cohen-Grossberg神经网络模型、竞争型神经网络模型等几类时滞神经网络模型的动力学分析方法进行介绍，以期能够探索出更为高效的时滞神经网络模型的动力学分析方法。
具有两个时滞的细胞神经网络系统分支分析
具有两个时滞的细胞神经网络系统分支分析郭灿;袁少良【摘要】本文研究了具有时滞的三细胞神经网络系统,通过分析特征方程,给出了平衡点的稳定性和Hopf分支存在的充分条件,最后给出数值模拟的结果.【期刊名称】《宜春学院学报》【年(卷),期】2016(038)012【总页数】4页(P9-11,60)【关键词】分支;神经网络;时滞;稳定性【作者】郭灿;袁少良【作者单位】广东培正学院计算机科学与工程系,广州510830;宜春学院数学与计算机科学学院,江西宜春336000【正文语种】中文【中图分类】O175.15人的大脑是由许多神经元细胞相互连接起来的。
人工神经网络涉及数学、心理学、生物学等多种领域的交叉学科，它是具有生物神经网络特征的信号传递系统，它的发展开始于20世纪，美国的数学家Walter Pitts和生物学家Warren Mcculloch 融合数学和生物学的有关结果提出了最基本的原始的MP模型，1982年John Hopfield提出Hopfield神经网络模型，［1］他利用能量函数来分析动态网络，从而掀起了研究人工神经网络的热潮。
目前，许多神经网络运用时滞微分方程来描述，［2－6］而且广泛应用于许多领域，比如认知科学、自动控制、地震学、水文工程学等。
Lin et al研究了具有一个时滞的三细胞神经网络系统:［7］其中aii=0，i=1，2，3，他给出了确定Hopf分支方向的公式，但是他没有研究平凡解的线性稳定性。
Wei and Li进一步深入研究了Hopf分支周期解的全局存在性。
［8］邹少芬、黄立宏等研究了系统:并以a作为参数研究分支方向和稳定性及Hopf分支周期解等动力学性质。
Poulami Das Gupta*，N.C.Majee and A.B.Roy研究了具有时滞的双向三细胞神经网络系统:［9］其中yi(t)是各个神经元t时刻的激活状态，k ＞0表示内部的衰减速率，ωij表示连接权值假设φi:［－τ，0］→R连续，其研究了非线性时滞自反馈的一个神经元与另外的神经元的联系。
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( 6)
( 7)
( 8)
已知( 0, 0) 是( 2) 的平衡解, 故 h ( 0) = 0# 从而由( 8) 知只有 x = 0 使 h( 0) = 0# 故在不 ( 9)
lim h( x ) = x lim xy+ ]
0 0
b a F L G(x) L 1 2
0
=+ ] ,
从而知存在 x 1 > 0 使 h( x 1 ) = 0, 而 x I ( 0, x 1) 时 h( x ) < 0# 于是有 hc( x 0 # 1) \ 0
中图分类号 :
文献标识码 :
引
言
人们为了更好地理解人工神经网络的动力学性质 , 研究了最简单的具时滞的无自连接( 自
反馈 ) 的二维神经网络模型 ( 1) Û2 ( t ) = - L2 u 2 ( t ) + bG( u 1 ( t - S1 ) ) u 的稳定性与分支问题# 例如, 文献[ 1] 利用离散的 Liapunov 函数的方法研究了 ( 1) 的缓慢振动 周期解的大范围存在性问题 ; 文献 [ 2] 以时滞 S = S1 + S2 为参数, 在 F = G 的假设下, 研究了 ( 1) 的局部 Hopf 分支的存在性及分支周期解的性质; 文献[ 3] 在 L1 = L 2 及 F = G 的假设下也 研究了( 1) 的 Hopf 分支的性质# 最近 , 文献[ 4] 经过对特征方程的仔细分析 , 得到了 ( 1) 的分支 图, 并且利用文献[ 5] 的关于泛函微分方程的全局 Hopf 分支理论, 以 abFc( 0) Gc( 0) 为参数研 究了 ( 1) 的全局 Hopf 分支# 文献[ 4] 得到的分支图如图 1 所示# 在( 0, 0) 是( 1) 的平衡解的假设下, 当 ( L1 L2, abFc( 0) Gc( 0) ) I D 1 时 , 对所有的 S \ 0, ( 1 ) 的零解是渐近稳定的; 当 ( L 1L 2 , abFc( 0) Gc( 0) ) I D 2 时, 对所有的 S \ 0, ( 1) 的零解是不稳定 的; 当 ( L 1L 2 , abFc( 0 ) Gc( 0) ) I D 3 时 , 存在 ^ S0 < ^S1 < ^ S2 < , 使 S I [ 0, ^S0 ) 时, ( 1) 的零解 渐近稳定 , 而 S > ^S0 时, ( 1) 的零解不稳定 , 且 ^S j ( j = 0, 1, ,) 是( 1) 的 Hopf 分支值 # 当( L1 L2 , abFc( 0) Gc( 0) ) I D 2 时, 除了( 1 ) 的零解不稳定这一性质外 , 其还有哪些动力学性质, 据我们
*
*
Hale Waihona Puke *112
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魏
俊
杰
张
春
蕊
李
秀
玲
ab 2 F c( x 2 2 ) Gc( x 1 ) < 1# L1 L2 证明 由定理 2. 1 的证明过程知 hc( x 1 1 ) \ 0#
( 14)
1 假设 hc(x 1 1 ) = 0, 由于 x I ( 0, x 1) 时 h( x ) < 0, 故一定存在 x 0 I ( 0, x 1) 使 hc( x 0 ) > 0#
应用数学 和力学 , 第 26 卷 第 2 期 ( 2005 年 2 月 )
Applied Mathemat ics and Mechanics
文章编号 : 1000_0887( 2005) 02_0193_08
应用数学和力学编委会编 重 庆 出 版 社 出 版
具时滞的二维神经网络模型的分支
魏俊杰 , 张春蕊 , 李秀玲
194
魏
俊
杰
张
春
蕊
李
秀
玲
所知 , 目前尚无人研究 # 本文将 证明直线 L1 L2 = abFc( 0) Gc( 0) 是一条 pitchfork 分支曲线 , 即当 参数 ( L 1L 2 , abFc( 0) Gc( 0) ) 穿过该曲线 , ( 1) 的平 衡解的个数发生了变化# 更精确地说, 当 ( L 1L 2, abFc( 0) Gc( 0) ) 从 D 1 穿过直线 abFc( 0) Gc( 0) = L1 L2 而进入 D 2 时 , ( 1) 的平衡点由 1 个变成 3 个, 并且新产生的平衡解是渐近稳定的# 另外, 我们 还用中心流形理论和规 范型方法给出 了以 v = abFc( 0) Gc( 0) 为参数的 Hopf 分支性质的计算公 式, 关于 ( 1) 的 相关研究 工作可参 考 J. Wu 的专 著 #
由 G ( x ) 的递增性, Fc( x ) 和 Gc( x ) 的递减性我们有当 x > x 0 时 hc( x ) \ 1 从而有 hc( x 1 1 ) > 0, 即 b ab 1 1 ab 1 1 F c L G( x 1) Gc( x 1 ) = 1 Fc( x 2 ) Gc( x 1 ) > 0# L1 L2 2 L 1L 2 从而 ( 13) 成立# ( 14) 的证明类似 , 略# 11 2 2 定理 2. 3 在条件 ( H 1 ) 和 ( H 2 ) 下, 平衡解 ( x 1 # 1 , x 2 ) 和( x 1 , x 2) 都是渐近稳定的
* * 解( x 1 , x2 )# 1 1 1 1 同理可证明存在 x 1 1 < 0 使 ( x 1 , x 2 ) 是( 2 ) 的平衡解, 其中 x 2 = ( b/ L 2 ) G( x 1 ) # 而且也无 0 0 0 0 *
另外的满足 x 1 < 0 的平衡解( x 1 , x 2 ) # 用( x 1, x 2 ) 和 ( x 1 , x 2 ) 表示 ( 2) 的两个非零常值解# 定理证毕# 推论 2. 2 在假设 ( H 1 ) 和 ( H 2 ) 下, 有 ab 1 F c( x 1 2 ) Gc( x 1 ) < 1 L1 L2 和 ( 13)
[ 6]
图 1 文献 [ 4] 得到的分支图 ( D1 是绝对稳定 D2 是不稳定 区域 , D3 是条件稳定区域 )
2
Pitchfork 分支
对方程( 1) , 引入如下变换:
x 1 ( t ) = u 1 ( t - S1 ) , x 2( t ) = u 2 ( t ) , 则( 1) 化为等价系统 x Û 1( t ) = - L 1 x 1 ( t ) + aF ( x 2 ( t - S) ) , 其中 x Û 2( t ) = - L 2 x 2 ( t ) + bG( x 1 ( t ) ) , S = S1 + S2# 关于 ( 2) , 我们作如下的假设 : ( H 1 ) a , b 和 L1 > 0, L 2 > 0 都是常数, F( x ) 和 G ( x ) 是二次连续可微递增函数 , 且当 x X 0 时 , xF( x ) > 0, xG ( x ) > 0# ( H 2) 当 x X 0 时 , xF d( x ) < 0, xG d( x ) < 0, 且存在 L > 0, 使对 x I R 有 | F( x ) | [ L , | G ( x ) | [ L#
1 2 3
X
( 1. 哈尔滨工业大学 数学 系 , 哈尔滨 150001; 2. 东北 林业大学 森林植物生态学教育部重点实验室 , 哈尔滨 150040; 3. 长春税务学院 基础部 , 长春 130022)
( 我刊原编委林宗池推荐 )
摘要 : 研究了一类具时滞的二维神经网络模型# 通过对该 模型的特 征方程根的 分布分 析 , 在 适
0 Fc( ( b/ L 1 ) G ( x ) ) 也是递减的 , 所以当 x > x 1 时
( 11)
由( H 2 ) 知 x > 0 时 Gc( x ) 和 Fc( x ) 都 是 递 减 的, 故 当 b \ 0 时 由 G( x ) 递 增 知 b ab Fc L G( x ) Gc( x ) > hc( x 0 ( 12) 1 ) \ 0# L1 L2 1 当 b < 0 时 , 由( H2 ) 知 x < 0 时 Fc( x ) 递增, 从而由 G( x ) 的递增性知 Fc( ( b/ L1) G( x ) ) 关 hc( x ) = 1 于 x > 0 是递减的 # 即当 b < 0 时 ( 12) 仍成立 # ( 12) 式表明再没有 x > x 0 1 使 h( x ) = 0# 令 x2 = ( b/ L 2 ) G( x 1) , 从而 ( x 1 , x 2 ) 是 ( 2) 的平衡点 # 并且再无另外满足 x 1 > 0 的平衡
X
u 1 ( t ) = - L1 u 1 ( t ) + aF ( u 2 ( t - S2 ) ) , Û
收稿日期 : 基金项目 : 作者简介 :
2003_05_20; 修订日期 : 2004_09_24 国家 自然科学基金资助项目 ( 19831030) 魏俊 杰( 1954 ) ) , 男 , 吉林人 , 教授 , 博士 , 主要研究方向为泛 函微分方 程的理论及 应用 ( 联 系人 .Tel: + 86_451_86417440; E_mail: Weijj@ hit. edu. cn) # 193
具时 滞的二维神经网络模型的分支
195
首先考虑 abFc( 0) Gc( 0) < L 1L 2 的情形# 由 h ( x ) 的定义有 b ab Fc L G( x ) Gc( x ) , L1 L2 2 从而由( 6) 知 hc( 0) = 1 - ( ab / ( L 1L 2 ) ) Fc( 0) Gc( 0) > 0# hc( x ) = 1 当 ab [ 0 时 , 知 hc( x ) \ 1, 当 ab > 0 时 , 由( 3) 及( 7) 有 ab hc( x ) \ 1 - L L Fc( 0) Gc( 0) > 0# 1 2 总之得 hc( x ) > 0# 等式 ( 6) 下, ( 2) 有唯一的平衡解( 0, 0) # 下面考虑 abFc( 0) Gc( 0) > L 1L 2 的情形, 此时 ab Fc( 0) Gc( 0) < 0# ( 10) L 1L 2 于是存在 x = 0 的一个邻域 N ( 0) 使当 x I N( 0) 时 hc( x ) < 0 # 由于 h( 0) = 0, 故 x I N( 0 ) hc( 0) = 1 且 x > 0 时 h( x ) < 0# 另一方面, 由 | F ( x ) | < L 有