2018年全国高考新课标3卷理科数学试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标3卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，则A ∩B=( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 解析：选C2．(1+i)(2-i)=( ) A ．-3-i B ．-3+i C ．3-i D ．3+i 解析：选D3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析：选A4．若sin α=13，则cos2α= ( )A ．89B ．79C ．- 79D ．- 89解析：选B cos2α=1-2sin 2α=1-19=895．(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80解析：选C 展开式通项为T r+1=C 5r x 10-2r (2x)r = C 5r 2r x 10-3r ，r=2, T 3= C 5222x 4，故选C6．直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A,B 两点，点P 在圆(x-2)2+y 2=2上，则ΔABP 面积的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[4,8] C ．[2,32] D ．[22,32]解析：选A ，线心距d=22,P 到直线的最大距离为32，最小距离为2，|AB|=22,S min =2, S max =67．函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为( )解析：选D 原函数为偶函数，设t=x 2，t ≥0，f(t)=-t 2+t+2,故选D8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(X=4)<P(X=6)，则p=( ) A ．0．7 B ．0．6 C ．0．4 D ．0．3解析：选B X ～B(10,p),DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6，p=0.4时，p(X=4)=C 104(0.4)4(0.6)6>P(X=6)= C 106(0.4)6(0.6)4，不合。

9．ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ΔABC 的面积为a 2+b 2-c24，则C=( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C a 2+b 2-c 2=2abcosC,S=12absinC=a 2+b 2-c 24=12abcosC tanC=110．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ΔABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( ) A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3解析：选B ，ΔABC 的边长为a=6, ΔABC 的高为33，球心O 到ΔABC 的距离=42-(23)2=2,当D 到ΔABC 的距离为R+2=6时，D-ABC 体积的最大，最大值=13×93×6=18 311．设F 1，F 2是双曲线C: x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( ) A ． 5 B ．2 C ． 3 D ． 2解析：选C 设P(t,- b a t),∵PF 2与y=- b a x 垂直，∴-bt a(t-c)=a b 解得t=a 2c 即P(a 2c ,- abc)∴|OP|=(a 2c )2+(-ab c)2=a ，|PF 1|=(a 2c +c)2+(-ab c )2，依题有(a 2c +c)2+(- ab c)2=6a 2， 化简得c 2=3a 2，故选C12．设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则( ) A ．a+b<ab<0 B ．ab<a+b<0C ．a+b<0<abD ．ab<0<a+b解析：选B 0<a<1，b<-1,a+b<0，ab<0，0<a+b ab =1a +1b =1+log 20.2log 20.3=log 22+log 20.2log 20.3=log 20.4log 20.3<1,a+b>ab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ)．若c//(2a+b)，则λ=________． 解析：2a+b=(4,2), c//(2a+b)则4λ=2，λ=1214．曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2，则a=________．解析：f′(x)=(ax+a+1) e x，f′(0)=a+1=-2,a=-3 15．函数f(x)=cos(3x+π6)在[0,π]的零点个数为________．解析：由3x+π6=kπ+π2得x=kπ3+π9,k∈Z，π9，4π9，7π9为[0,π]的零点16．已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点．若∠AMB=900，则k=________．解析：k=2三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．解：（1）设{a n}的公比为q，由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），q=-2或q=2．故a n=(-2)n-1或a n=2n-1．（2）若a n=(-2)n-1，则S m=1-(-2)m3．由S m=63得(-2)m=-188，此方程没有正整数解．若a n=2n-1，则S m=2n-1．由S m=63得2m=64，解得m=6．综上，m=6．18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的（3附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)，临界值表：解：（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．※以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知m=79+812=80．列联表如下：（3）由于K 2=40(15×15-5×5)20×20×20×20=10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD ⌢ 所在平面垂直，M 是CD ⌢上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M-ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．19．解：（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为CD ⌢上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以 DM ⊥CM ． 又 BC ∩CM=C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．（2）以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ． 当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD ⌢的中点．由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1), AM →=(-2,1,1)，AB →=(0,2,0)，DA →=(2,0,0)设n=(x,y,z)是平面MAB 的法向量，则⎩⎨⎧-2x+y+z=0 2y=0可取n=(1,0,2)．DA →是平面MCD 的法向量，因此cos<n, DA →>=55 ，sin<n, DA →>=255所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是255．20．（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C: x 24＋y23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M(1,m)(m>0)．（1）证明：k<- 12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0．证明：|FA →|,|FP →|,|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解：（1）设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减，并由k=y 1-y 2x 1-x 2得x 1+x 24+y 1+y 23k=0由题设知x 1+x 22=1，y 1+y 22=m ，于是k= - 34m ．① 由题设得0<m<32，故k<- 12．（2）由题意得F(1,0)，设P(x 3,y 3)，则(x 3-1,y 3)+( x 1-1,y 1)+( x 2-1,y 2)=(0,0)由（1）及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1，y 3=-(y 1+y 2)=-2m<0． 又点P 在C 上，所以m=34，从而P(1,- 32)，|FP →|=32． 于是|FA →|=(x 1-1)2+y 12=(x 1-1)2+3(1-x 124)=2-x 12 同理|FB→|=2-x 22． 所以|FA→|+|FB →|=3． 故2|FP→|=|FA →|+|FB →|，即|FA →|,|FP →|,|FB →|成等差数列． 设该数列的公差为d ，则2|d|=12|x 1-x 2|=12(x 1+x 2)2-4x 1x 2② 将m=34代入①得k=-1．所以l 的方程为y=-x+74，代入C 的方程，并整理得7x 2-14x+14=0．故x 1+x 2=2, x 1x 2=128，代入②解得|d|=32128． 所以该数列的公差为32128或-32128．21．（12分）已知函数f(x)=(2+x+ax 2)ln(1+x)-2x ．（1）若a=0，证明：当-1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0； （2）若x=0是f(x)的极大值点，求a ． 解：（1）当a=0时，f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x ，f′(x)=ln(1+x)- x1+x． 设函数g(x)= f′(x)=ln(1+x)-x 1+x ，则g ′(x)= x(1+x)2． 当-1<x<0时，g ′(x)<0；当x>0时，g ′(x)>0．故当x>-1时，g(x)≥g(0)=0，且仅当x=0时，g(x)=0，从而f′(x)≥0，且仅当x=0时，f′(x)=0．所以f(x)在(-1,+∞)单调递增．又f(0)=0，故当-1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0．（2）（i ）若a ≥0，由(1)知，当x>0时，f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0)，与x=0是f(x)的极大值点矛盾． （ii ）若a<0，设函数h(x)= f(x)2+x+ax 2=ln(1+x)- 2x 2+x+ax 2由于当|x|<min{1,1|a|}时，2+x+ax 2>0，故h(x)与f(x)符号相同． 又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点． h ′(x)= 11+x - 2(2+x+ax 2)-2x(1+2ax)(2+x+ax 2)2=x 2(a 2x 2+4ax+6a+1)(x+1)(2+x+ax 2)2如果6a+1>0，则当0<x<-6a+14a ，且|x|<min{1, 1|a|}时，h ′(x)>0，故x=0不是h(x)的极大值点． 如果6a+1<0，则a 2x 2+4ax+6a+1=0存在根x 1<0，故当x ∈(x 1,0)，且|x|<min{1, 1|a|}时，h ′(x)<0，所以x=0不是h(x)的极大值点．如果6a+1=0，则h ′(x)= x 3(x-24)(x+1)(-12-6x+x 2)2．则当x ∈(-1,0)时，h ′(x)>0；当x ∈(0,1)时，h ′(x)<0．所以x=0是h(x)的极大值点，从而x=0是f(x)的极大值点综上，a= -16．（二）选考题：共10分。