7公式法
2022-2023学年七年级数学下册课件之公式法 第一课时(冀教版)
D．美我宜昌
1. 分解因式：(a＋b)2－4a 2. 解：(a＋b)2－4a 2＝(a＋b)2－(2a)2＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)
＝(3a＋b)(b－a)．
易错点：忽视系数变平方的形式导致出错.
2. 分解因式：a 4－1.
解：a 4 －1＝(a 2＋1)(a 2－1)＝(a 2＋1)(a＋1)(a－1)．
(1)4x 2－y 2＝(4x＋y )(4x－y )； (2)ab 2－9a 3 ＝(b＋3a)(b－3a).
解：(1)不正确，4x 2＝(2x )2，正确结果应为4x 2－y 2 ＝(2x )2－y 2＝(2x＋y )(2x－y )．
(2)不正确，应先提出公因式a，再利用平方差公式 因式分解，正确的应为ab 2－9a 3＝a (b 2－9a 2) ＝a (b＋3a)(b－3a)．
2 运用公式法分解因式： 1
(1)25a 2－16b 2； (2)a 2b 2－ 9 c 2；
(3)(a＋2b)2－4； (4)x 4－25x 2．
解：(1)25a 2－16b 2＝(5a)2－(4b)2＝(5a＋4b)(5a－4b)．
(2)a 2b 2－
1 9
c
2＝(ab)2－
1 3
c
ab
1 4
x
mn
1 4
x
mn
.
4 下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解； 如果不可以，请说明理由.
(1)x 2＋y 2；(2)－x 2＋y 2；(3)－x 2－y 2；(4) x 2－81.
解：(1)不可以，不符合平方差公式的结构特点．
(2)可以，－x 2＋y 2＝y 2－x 2＝(y＋x )(y－x )． (3)不可以，因为－x 2－y 2＝－(x 2＋y 2)，不符合平方差公
因式分解的7种方法
一、提公因式法.：)(c b a m mc mb ma ++=++二、运用公式法.由乘法公式，将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．补充公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是：A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
因式分解的7种方法和4种思路
1.提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
2.运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因
式分解中常用的公式，例如：
22
22
(1)(a+b)(a-b) = a -b ——a -b =(a+b)(a-b)；
2
2
2
2
2
2
(2) (a±b) = a ±2ab+b —— a ±2ab+b =(a±b) ；
4.十字相乘法
(1)二次项系数为 1 的二次三项式
直接利用公式—— x 2 ( p q)x pq (x p)(x q) 进行分解。
特点：a.二次项系数是 1； b.常数项是两个数的乘积； c.一次项系数是常数项的两因数的和。
例 已知 0＜ a ≤5，且 a 为整数，若 2x2 3x a 能用十字相乘法分解因 式，求符合条件的 a .
则 x 2 y 2 mx 5 y 6 = x 2 y 2 (a b)x (b a) y ab
7
a b m
a 2 a 2
比较对应的系数可得： b a 5 ，解得： b 3 或 b 3
ab 6
m 1 m 1
∴当 m 1时，原多项式可以分解；
当 m 1时，原式= (x y 2)(x y 3) ；
解：原式= (am an) (bm bn) = a(m n) b(m n) = (m n)(a b)
每组之间还有公因式！
例 2 分解因式： 2ax 10ay 5by bx
解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。
解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。
第6讲 一元二次方程及其求解(配方法公式法因式分解法)
第6讲一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）目标导航课程标准1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．知识精讲知识点01 一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念通过化简后，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3．一元二次方程的解使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4．一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.知识点02 一元二次方程的解法（一）直接开方法解一元二次方程1．直接开方法解一元二次方程：利用直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2．直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.注意：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.（二）配方法解一元二次方程：1．配方法解一元二次方程将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 4．配方法的应用（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． （三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当 时，2．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： ． ①当时，原方程有两个不等的实数根 ； ②当时，原方程有两个相等的实数根 ； ③当时，原方程 实数根.3．用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.注意：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 ；（2）将方程左边分解为两个一次式的 ；（3）令这两个一次式分别为 ，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考法01 关于一元二次方程的判定【典例1】下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练】若()2230aa x x --+= 是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．2±考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定能力拓展【典例2】将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－1【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（ ） A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -=考法03 一元二次方程的解（根）【典例3】若2x =是关于x 的一元二次方程20ax x b --=的一个根，则282a b +-的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6【即学即练】若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x =，则k 为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．0考法04 用直接开平方法解一元二次方程【典例4】方程()219x +=的解为（ ） A ．2x =，4x =-B ．2,4x x =-=C ．4,2x x ==D ．2,4x x =-=-【即学即练】一元二次方程()2116x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是14x +=，则另一个一元一次方程是（ ） A ．14x -=-B ．14x -=C ．14x +=D ．14x +=-考法05 用配方法解一元二次方程【典例5】用配方法解一元二次方程 x 2-10x ＋11＝0，此方程可化为（ ） A ．（x －5）2＝14B ．（x ＋5）2＝14C ．（x －5）2 ＝36D ．（x ＋5）2 ＝36【即学即练】慧慧将方程2x 2+4x ﹣7＝0通过配方转化为（x +n ）2＝p 的形式，则p 的值为（ ） A ．7B ．8C ．3.5D ．4.5考法06 配方法在代数中的应用【典例6】已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ） A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【即学即练】已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A ．6B ．9C ．2D ．2-考法07 公式法解一元二次方程【典例7】已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（ ）①若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；②若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立； ④若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2． A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【即学即练】x = ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=考法08 因式分解法解一元二次方程【典例8】一元二次方程2560x x -+=的根是（ ） A ．12x =，23x =B ．12x =-，23x =C ．12x =，23x =-D ．12x =-，23x =-【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程216550x x -+=的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ） A ．11B ．27C ．5或11D ．21或27题组A 基础过关练1．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（ ） A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=2．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ≠-D ．2m ≠±3．用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ） A ．()225x -= B ．()223x -= C ．()225x +=D ．()223x +=4．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠05．方程22240x x --=的根是（ ） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-6．已知关于x 的一元二次方程(x +1)2+m ＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________． 7．若一元二次方程240x x k -+=无实数根，则k 的取值范围是_______．分层提分8．关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x 1＝x 2＝__________________．题组B 能力提升练1．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-2．用配方法解方程2210x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)1x -=D ．2(1)2x +=3．有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（ ） A ．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C ．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连结CF ，并延长交AB 于点N ．若35AB =，3EF =，则FN 的长为（ ）A ．2B 5C ．22D ．35．已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．6．如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________． 7．已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ． (1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 8．先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=．∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0，∴()210m +=且()230n -=，∴1m =-，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ．题组C 培优拔尖练1．若方程22432mx x x +-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．0m >B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m ≠-2．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a bc d＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．3D ．3±3．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；②若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（ ） A ．只有①②④B ．只有①②③C ．①②③④D ．只有①②4．如图，在矩形ABCD 中，AB =14，BC =7，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，P 、Q 均为CD 边上的动点（点Q 在点P 左侧），点G 为MN 上一点，且PQ =NG =5，则当MP +GQ =13时，满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）． 6．若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________． 7．已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0 (1)求证：无论k 取何值，方程都有实根； (2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．8．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x 2﹣5x ﹣6＝0； ②x 25＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。
公式法50道计算题
公式法50道计算题一、一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)公式法相关计算（1 - 10题）1. 解方程x^2-2x - 3=0- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0，这里a = 1，b=-2，c = - 3。
- 判别式Δ=b^2-4ac=<=ft(-2)^2-4×1×<=ft(-3)=4 + 12=16。
- 根据求根公式x=(-b±√(Δ))/(2a)，则x=(2±√(16))/(2×1)=(2±4)/(2)。
- 解得x_1=(2 + 4)/(2)=3，x_2=(2-4)/(2)=-1。
2. 解方程2x^2+3x - 2 = 0- 这里a = 2，b = 3，c=-2。
- Δ=b^2-4ac=3^2-4×2×<=ft(-2)=9 + 16 = 25。
- x=(-3±√(25))/(2×2)=(-3±5)/(4)。
- x_1=(-3 + 5)/(4)=(1)/(2)，x_2=(-3-5)/(4)=-2。
3. 解方程x^2+4x+4 = 0- a = 1，b = 4，c = 4。
- Δ=b^2-4ac=4^2-4×1×4=16 - 16 = 0。
- x=(-4±√(0))/(2×1)=-2（此时两个根相等）。
4. 解方程-x^2+2x+3 = 0- 先化为标准形式x^2-2x - 3 = 0（此时a = 1，b=-2，c=-3）。
- Δ=<=ft(-2)^2-4×1×<=ft(-3)=4 + 12 = 16。
- x=(2±√(16))/(2×1)=(2±4)/(2)，解得x_1=3，x_2=-1。
5. 解方程3x^2-6x+1 = 0- a = 3，b=-6，c = 1。
数列通项公式的十种求法(非常经典)
数列通项公式的十种求法（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
7个数据逐差法公式
7个数据逐差法公式摘要：一、引言二、逐差法的概念与原理三、7 个数据逐差法公式1.公式一2.公式二3.公式三4.公式四5.公式五6.公式六7.公式七四、应用场景与实际案例五、总结正文：一、引言在数据分析领域，逐差法是一种常用的数据处理方法，通过计算数据之间的差值，可以挖掘出数据中的规律和特点。
本文将介绍7 个数据逐差法公式，帮助大家更好地理解和应用逐差法。
二、逐差法的概念与原理逐差法，又称差分法，是一种通过计算相邻数据之间的差值来研究数据变化趋势的方法。
它可以有效地消除数据中的随机波动，揭示数据的内在规律。
逐差法的原理是将原始数据序列{X_1, X_2, ..., X_n}中的每个相邻数据进行相减，得到一个新的序列{Y_1, Y_2, ..., Y_n-1}，其中Y_i = X_i - X_(i-1)}。
三、7 个数据逐差法公式1.公式一：简单平均差简单平均差（Mean Difference）是计算所有相邻数据差值的平均值，即：D_1 = (X_2 - X_1 + X_3 - X_2 + ...+ X_n - X_{n-1}) / (n-1)2.公式二：移动平均差移动平均差（Moving Average Difference）是计算一定期数内相邻数据差值的平均值，即：D_2 = (X_i - X_(i-k)) / k其中，k 为移动平均的期数。
3.公式三：指数平滑差指数平滑差（Exponential Smoothing Difference）是一种利用指数平滑法计算的逐差法，即：D_3 = α * (X_i - X_(i-1)) + (1 - α) * D_(i-1)其中，α为平滑系数，取值范围为0 < α < 1。
4.公式四：线性平滑差线性平滑差（Linear Smoothing Difference）是一种利用线性平滑法计算的逐差法，即：D_4 = β * (X_i - X_(i-1)) + (1 - β) * D_(i-1)其中，β为平滑系数，取值范围为0 < β < 1。
下册第二章第7课用公式法解决y=ax2+bx+c的相关问题-北师大版九年级数学全一册课件
=-1.
把A，B两点坐标代入，得b=3，3k+b=0，解得b=3， 用公式法求抛物线y=3x2+5x-7的对称轴及顶点坐标.
（例3）下列是抛物线y=-2x2-3x+1的大致图象是 用公式法求抛物线y=x2+x+1的顶点坐标.
把x=-1和m=4代入y=x2+（m-2）x，得y=-1.
已知二次函数y=2x2-8x+9.
解：y＝x2-6x+5=（x-3）2-4，由抛物线y＝x2先 向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位 长度得到.
二级能力提升练
13. 当m= -2 时，抛物线y=（m-1）
+9的开
口向下，对称轴是 y轴（或直线x=0） .在对
称轴左侧，y随x的增大而 增大 ；在对称轴
右侧，y随x的增大而 减小 .
重难易错
9. 已知二次函数y= x2-3x+c经过点（2，y1），（-1，
y2），（
，y3），则对应的函数值y1，y2，y3的
大小关系是（ D ）
A. y1>y2>y3 C. y2>y3>y1
B. y3>y2>y1 D. y2>y1>y3
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示， 给出下列结论：①abc>0；②2a+b<0；③4a2b+c<0；④a+b+2c>0，其中正确结论的个数是
（例4）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
1 2 （3）对于二次函数y=a（x-h）2+k，当x取哪些值时，y的值随x的值增大而减小？
公式法 第三课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
(2)原式＝(xy 2－2xy )＋(2y－4) ＝xy (y－2)＋2(y－2) ＝(y－2)(xy＋2)．
(3)原式＝(a 2＋2a＋1)－b 2 ＝(a＋1)2－b 2 ＝(a＋1＋b)(a＋1－b) ＝(a＋b＋1)(a－b＋1)．
总结
分解步骤： (1)分组； (2)在各组内提公因式； (3)在各组之间进行因式分解； (4)直至完全分解.
1 把多项式2x 2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x 2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2)
D．2x
x
4 x
2 把代数式3x 3－12x 2＋12x 分解因式，结果正确
式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
6 请用配方法来解下列问题：
(1)已知：x 2＋y 2－8x＋12y＋52＝0，求(x＋y )－2的值； (2)求x 2＋8x＋7的最小值．
解：(1)由x 2＋y 2－8x＋12y＋52＝0，得(x 2－8x＋16)＋(y 2 ＋12y＋36)＝0，(x－4)2＋(y＋6)2＝0.所以x－4＝0且y ＋6＝0.解得x＝4，y＝－6.所以(x＋y )－2＝[4＋(－6)]－2
5 分解因式：
(1)am＋an＋bm＋bn＝_(a__＋__b_)_(_m__＋__n_)_； (2)x 2－xy＋xz－yz＝_(_x_－__y__)_(_x_＋__z__)． (3)a 2－4ab＋4b 2－1＝ (a－2b＋1)(a－2b－1)．
6 把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x 2＋x； (2)xy 解：(1)原式＝(1＋x )＋(x 2＋x )
高中数学解题方法系列：数列中求和问题的7种方法
∴ 原等式成立
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的
和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.
[例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 解：设 Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
2(n 1) n 1 n(n 1) 2n
1 n 2n1
1 (n 1)2n
, 则S n
1
(n
1 1)2n
[例 9] 求数列 1 , 1 , ,
1
, 的前 n 项和.
1 2 2 3 n n1
[例 10]
在数列{an}中， an
1 n 1
2 n 1
n
n
1
，又
bn
an
2 an1
4 22
6 23
2n 2n
…………………………………①
1 2
S
n
2 22
4 23
6 24
2n 2 n1
………………………………②
（设制错位）
①－②得 (1
1 2
)S
n
2 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n 2 n1
相减）
（错位
2
1 2 n1
2n 2 n1
∴
Sn
4
n2 2 n1
三、倒序相加法
1
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），
魔方 7步5公式 直记法（极简 易记 图解）
第一层1，T字白色面黄芯白色十字花。
纯白色十字，白色角块复位。
第二层2，棱块复位（三长两短法）上层前中位置，顶棱块错色放置。
公式：顶棱去右中：右下x3，左上x2顶棱去左中：左下x3，右上x2（对称转动。
即上下是转左边的，左右还是转顶层。
）第三层3，顶层十字：让黄色直角朝左上角，转一次公式变为横一字，转两次公式变为十字。
公式：顺时针90度，上左下右，逆时针90度。
4，小黄鱼：不管顶面有多少黄色，只要整体转动魔方让顶面左上角角块不是黄色，同时图中1、2、3的面只能有一个是黄色，则转一次即是小黄鱼。
（连续转六次公式可恢复原状）公式：下右上右，下右右上。
5，顶面同色：先让“小黄鱼嘴对着左上角”，然后转动公式。
如转一次还是小黄鱼，则继续让“小黄鱼嘴对着左上角”，再转一次公式即可。
（图中画的黄色线是让大家知道小黄鱼嘴对着左上角时，黄色色块所在的位置，只有两种情况。
让大家留意黄色块会从哪里去到哪里。
）公式：下右上右，下右右上。
6，四角归位：“黄色朝前”！有两同色角块的面朝下，如没有则随便一面朝下。
（右下角三角块会逆时针交换一格）公式：上右上，下层右右，下左上，下层右右，下下，顺时针90度。
7，棱块归位：已经好的一面朝前（如没有随便一面朝前）。
（上面3个棱块都会“顺时针”转一格。
如不行，再转一次即可。
熟悉之后，用对称公式可以一次搞定。
）公式：下左下右下右下左，上左上上。
再三强调：如无特别说明黄色或白色的朝向，则都默认“黄色在上白色在下”进阶小技巧：按公式完成6面只是机械的记忆，想要更灵活的运用，就要知道每条公式会让魔方每一块最终发生了哪些变化。
此技巧就是：6面完成后，转动其中一条公式，看看魔方每一块发生了哪些变化。
如上图是用一次小黄鱼公式后的变化最后，要用一个顺滑的魔方，尽量学习高手用单手指转动某一层的手法，这样能更顺畅的实现公式，就能更快的记住公式。
这是我初学六面时就总结出的经验。
当时我用此法每天吃完晚饭边看电视边练习约30分钟，一周就能做到3分钟内完成。
人教部编版七年级数学下册公式法(平方差)
考点1.平方差公式因式分解
1.下列多项式可以用平方差公式去分解因式吗？ 为什么？将(2)(4)进行分解因式
(1) x2+y2
不不可以
(4) 4x2- 9y2
可以
(5) - x2+y2
可以
（6）(x+p)2－(x+q)2可 以
（a+b)（a-b)
整因式乘分法解
平方差
（a+b)（a-b) =_____________
——公式法（平方差）
主讲人：陈 宇
因式分解--平方差公式
（a+b)（a-b)
观问察：等有式__两_左__边项，，分别是_a__2_，___-_b_2, 它们是_二____次项，它们的符号相___反____.
还能分解
x 4 y 4 =( x2)2–( y2)2 = ( x2+ y2)( x2– y2)
=（x2+y2（）x+y）（x-y） 5. 用平方差公式分解因式 （1）m4 - 81 （2）- a4 + 16
平方差因式分解： 1.找( 底数)2- (底数)2
2.构造（ 底数 + 底数 ）（底数 – 底数）
(6) 9a2－900
(6) a2(b-1)－(b-1)
考点4.先计算，再因式分解
例3.能直接提公式(x - 4)( x + 1)+3x吗？ 能直接用平方差公式分解因式吗？ 那我们如何分解因式？
因式分解步骤：1.先提公因式（不能提计算） 2.再用公式法 3.分解到不能分解为止
7.分解因式
(1)a 4 1 a 3a (2)x 12 2x 2 (3)2x 16 2x 1 30x
六年级下册数学 第7招 用“公式法”解典型应用问题
1．六名评委给一名歌手打分，其平均成绩为9.6分，如 果去掉一个最高分，这名歌手的平均成绩是9.4分， 如果去掉一个最低分，这名歌手的平均成绩是9.8 分，那么去掉一个最高分和一个最低分，这名歌手
的平均成绩是多少分？
平均分×人数＝总分
最高分＝总分－(9.4×5) 最低分＝总分－(9.8×5)
总分÷人数＝平均分
类 型 2 公式法解植树问题
2．在一条公路的一侧栽有若干棵树，每两棵树之间的距 离相等，哥哥和弟弟同时出发，从第一棵树向最后一棵 树的方向走去，哥哥每分走84米，弟弟每分走36米，哥 哥走到第22棵树的时候，弟弟走到第几棵树？
时间一定，路程和速度成正比例 哥哥和弟弟的路程比7∶3
(盈数＋亏数)÷两次分配之差＝份数
40
(8－5)
1.5分 客车、货车的相对速度:(1000－750)米 客车相对货车运动了250×1.5＝客车长＋货车长 ＝135＋客车长×2
类 型 5 公式法解鸡兔同笼问题
5．六(2)班有学生52人，到公园去划船，共租了11条船， 每条大船坐6人，每条小船坐4人，大、小船各租了多少 条？ 假设全部租用大船 11条船坐66人 比实际多坐14人
棵数－1＝间隔数
哥哥走了(22－1)个间隔
弟弟走了(21÷73)个间隔
类 型 3 公式法解追及问题
3．甲、乙、丙兄弟三人骑自行车旅行，出发时约好到某 地集合，甲、乙二人早上6时一起从家中出发，甲每时 行15千米，乙每时行12千米，丙因有事，到早上8时才 从家中出发，下午6时，甲、丙同时到达该地，问丙何 时追上乙？
每条小船多坐了2人 小船的条数：(14÷2)条
类 型 6 公式法解盈亏问题
7.3公式法
B
即 −8x = 0. x
2
解 个 程得 这 方 ,
x1 = 8, x2 = 0(不合题意 舍去 , ).
A C
∴x − 2 = 6, x + 2 =10.
答: 三 形 三 边 分 为 ,8,10. 角 的 条 长 别 6
我最棒
解下列方程:
,解题大师——规范正确!
(1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8；
7 ± 121 7 ±11 ∴x = = , 2 ×1 2
即：x1=9, x2= -2.
动脑筋
例 2 解方程：
2
x +3 = 2 3x 3
− b ± b 2 − 4ac x= 2a
解：化简为一般式：x2 化简为一般式：
− 2 3x + 3 = 0
这里 a=1, b= − 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=(− 2 3)2 - 4×1×3=0,
助手:
那么x= 平方根的意义: 如果 2=a,那么 ± a . 平方根的意义: 如果x 那么
完全平方式:式子a 叫完全平方式, 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 =(a± a2±2ab+b2 =(a±b)2.
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 把二次项系数化为1( 系数); 系数); 2.移 把常数项移到方程的右边; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方 方程两边都加上一次项系数绝对值 配方: 绝对值一半的 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 4.变 方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开 根据平方根意义,方程两边开平方; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求 解一元一次方程; 6.求解:解一元一次方程; 7.定 写出原方程的解. 7.定解:写出原方程的解.
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21.2.2公式法
【使用准备与要求】
一、请准备红、蓝双色笔和九年级上册课本.
二、科代表负责本组“目标流程”的收发和对完成情况进行监督和督促.
【目标一】理解一元二次方程求根公式的推导过程，会运用公式法解一元二次方程（用10分钟精读一遍教材P11-P12页，用蓝色笔进行勾画；再针对“目标一”二次阅读教材，
请完成本环节流程；用红色笔标注自己的疑惑，准备课上讨论质疑.）
1.求根公式 当Δ≥0时，方程)0(02≠=++a c bx ax 的实数根可写为x=______________的形式，这个式子叫做一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的求根公式.
2.公式法 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入 ，可以避免 而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程的根不可能多于 个.
3.用公式法解方程25132
+-=+-x x x
思路分析：先把方程整理成一般形式，再确定c b a ,,的值，最后代入公式求解. 规范解答：将方程化为一般形式，得 ， ∴=a ，=b ，=c .
().81142422=-⨯⨯-=-=∆ac b
∴=1x ，=2x .
用公式法解一元二次方程可分三步：
第一步：化为一般形式，确定c b a ,,的值； 第二步：求出ac b 42
-的值；
第三步：若,042
≥-ac b 则把c b a ,,及ac b 42
-的值代入一元二次方程的求根公式
a
ac
b b x 242-±-=
，求出21,x x ，若,042<-ac b 则方程没有实数根. 【跟踪练习】（C ）解下列方程.
（1）(2013浙江温州)x 2－2x －1=0． （2）（2013广东佛山）0222
=--x x
（3）(2013山东滨州)2x 2－3x+1=0 （4）（2013浙江义乌）x 2－2x －1＝0
【目标二】根据自己本节课的学习情况，完成下面各题.
1.（C ）（2013宁夏）一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是（ ） A. －1 B. 0 C. 1和2 D. －1和2
2.（C ）（2013天津）一元二次方程x (x -6)=0的两个实数根中较大的根是 .
3.(B)(2014广东汕尾）已知关于x 的方程x 2
+ax +a ﹣2=0 （1）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
4.（A ）（2013浙江杭州）当x 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧-<--<+)4(31
)4(2
1331x x x x 时，求方程0422
=--x x 的根
5.（A ）(2013山东菏泽)（1）已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个实数根，求代数式(m 2
－m )(m －2
m ＋1)的值.。