2013年全国数学竞赛试题详细参考答案[1]

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全国大学生数学竞赛初赛2013年第五届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版

所求极限为
lim
r
I
a
(r
)
0,a ,a1, 2,a
1, 1.
1
1
1
第七题：(14 分)判断级数
2
n 的敛散性，若收敛，求其和。
(n 1)(n 2)
n 1
1
1
【参考解答】：(1) 记a 1 , u
a n
, n 1, 2, 。
n
2
n n (n 1)(n 2)
因为n 充分大时
x x 2y
【参考解答】：方程两边对x 求导，得 3x2 6xy 3x2y 6y2y 0 y 2y2 x2
令y(x) 0 x 0, x 2y 。将x 0, x 2y 代入所给方程，得 x 0, y 1; x 2 , y 1.
2y2 x2 2x 2xy 2y x2 2xy 4yy 2x
n
原式
lim
n
1
sin
1
4n 2
2n
exp
lim n
n
ln
1
sin
1
4n 2
2n
exp lim n sin n
n
exp lim
e4.
n 1 4n 2 2n
1 4n 2 2n
sin x
2．证明广义积分 0
d x 不是绝对收敛的。 x
(n1) | sin x |
【参考证明】：an n
d x . 只要证明
x
an 发散.
n 0
1
(n 1)
1
2
因为an (n 1) n
| sin x | d x
sin xdx
.
(n 1) 0

数学竞赛全国奥林匹克数学大赛初中数学竞赛试题解答含答案解析

中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～5 6～10 11 12 13 14 得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，，都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（﹣1，0）（D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1D E FS S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为（第14题）（第4题）()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-，又因为2BD AC =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32（第8题）解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+．由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A FC B A C=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b a b a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，（第10题）解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者815a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.（第12题）（第13题）于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ，故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC =3a ，BD =3b ，所以 AC =32a -，AD =23b -.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即3223a a b b -=-，所以3a b ab +=．由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以33322ab a b =+=，，于是可求得2 3.a b == 将32b =代入223y x =，得到点Q 的坐标（32，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =- 所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 222(1)Q Q Q x x y =++.将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3. 又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=. 若32Q x =，代入上式得 3P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =，可得32P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673s i n 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．（第14题）。

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(93)

加试模拟训练题（93）1．设∆ABC 的内切圆分别切三边BC 、CA 、AB 于D 、E 、F ，X 是∆ABC 内的一点，∆XBC 的内切圆也在点D 处与BC 相切，并与CX 、XB 分别切于点Y 、Z ，证明，EFZY 是圆内接四边形．分析：圆幂定理的逆定理与Menelaus 定理．证明：延长FE 、BC 交于Q ．AF FB ·BD DC ·CE EA =1，XZ ZB ·BD DC ·CY YA =1，⇒AF FB ·CE EA =XZ ZB ·CY YA．由Menelaus 定理，有AF FB · BQ QC · CE EA=1．于是得XZ ZB ·BQ QC ·CY YA=1．即Z 、Y 、Q 三点共线．但由切割线定理知，QE ·QF =QD 2=QY ·QZ ．故由圆幂定理的逆定理知E 、F 、Z 、Y 四点共圆．即EFZY 是圆内接四边形．2. 若实数a 、b 、x 、y 满足ax+by=3，ax 2+by 2=7，ax 3+by 3=16，ax 4+by 4=42，求ax 5+by5的值．【题说】第八届（1990年）美国数学邀请赛题15．【解】由ax 3+by 3=（ax 2+by 2）（x+y ）－（ax+by ）xy得 16=7（x+y ）－xy （1）由 ax 4+by 4=（ax 3+by 3）（x+y ）－（ax 2+by 2）xy得42=16（x+y ）－7xy （2）由（1）、（2）解得x+y=－14，xy=－38．因此，ax 5+by 5=（ax 4+by 4）（x+y ）－（ax 3+by 3）xy=42×（－14）－16×（－38）=203. 用任意的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色．求【题说】首届(1986年)全国冬令营赛题6．【证】先证引理：平面上若有两个异色点的距离为2．那么必定可以找出符合要求的三角形． Q P I Z Y X F E A B C D如图a，若平面上AB＝2，A为白点，B为黑点．AB中点O不妨设为白色，以AO为边作正三角形，顶点E或F中若有一个为白色，则符合条件的三角形已经找出；若E和F都为黑色，则正三角形BEF边长在平面上任取一点O，不妨设O为白点，以O为圆心，4为半径作圆(如图b)．若圆内的点均为白点，则圆内边长为1的正三角形顶点都为白色；若圆内有一点P为黑点，则OP＜4，以OP为底边作腰长为2的等腰三角形OPR，则R至少与O、P中的一点异色．根据引理，也有符合要求的三角形．4.证明：方程（x+y+z）2+2（x+y十z）=5（xy+yz+zx）的正整数解有无穷多个．【题说】1992年友谊杯国际数学竞赛十、十一年级题1．【证】显然，（1，1，1）是所给方程的一组解．设原方程有一组正整数解（a，b，c），不妨设其中c最小．将原方程改写为z的一元二次方程z2－（3x+3y－2）z+x2+y2－3xy+2x+2y=0 （1）在x=a，y=b时，由韦达定理，（1）有解z=c及z=3a+3b－2－c显然3a+3b－2－c＞c，因此原方程又有一组新的正整数解（a，b，3a+3b －2－c）．用这个方法，从解（1，1，1）出发，可以不断产生新的解（x，y，z），x+y+z的值严格增加．所以原方程有无穷多组正整数解．。

初中数学竞赛试题及答案解析

初中数学竞赛试题二、填空题1、 41-的负倒数与4-的倒数之和等于 . 2、甲、乙、丙、丁四个数之和等于90-.甲数减4-,乙数加4-,丙数乘4-,丁数除以4-彼此相等.则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大 .3、已知a 1999=,则=-+---+-200133314232323a a a a a a .4、填数计算:〇中填入的最小的自然数.△中填入最小的非负数.□中填入不小于5-且小于3的整数的个数.将下式的计算结果写在等号右边的横线上.(〇+□)⨯△= .5、从集合}5,4,1,2,3{---中取出三个不同的数,可能得到的最大乘积填在□中,可能得到的最小乘积填在〇中,并将下式计算的结果写在等号右边的横线上.-(-□)÷〇= .6、计算:=------------)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1 . 7、 x 是有理数,则22195221100++-x x 的最小值是 . 8、如图,C 是线段AB 的中点,D 是线段AC 的中点.已知图中所有线段的长度之和为23,则线段AC 的长度为.9、在1000到5000之间同时被24,36,30整除的最小整数是_________,最大整数是__________.10、一个有理数的倒数的相反数的3倍是31,那么这个有理数是 . 11、一个有理数的二次幂大于这个有理数,那么这样的有理数的取值范围是 .12、若8919+=+=+c b a ,则=-+-+-222)()()(a c c b b a .13、 a 1的倒数是51-,那么=a _____. 14、小丽写出三个有理数,其中每两个有理数的平均值分别是326,217,7,那么这三个有理数的平均值是 .15、计算:=--+-)36173)(72.0()722(125.11.16、 m ，y 互为相反数,n 和y 互为倒数,则5)(y my n -的值是_____.17、已知1171=x ,则3)114(3)711)(1(2++--x x x 的值是 . 18、已知52,32<-<-b a a b .则化简98272-+++-----b a a b a b 所得的结果是 .19、 m ,n 是正整数,mn =120,则m +n 可能取到的最小值是_____.20、若a=1997,则7122----+a a a a 的值是 .21、若x = -0.239,则199********-------++-+-x x x x x x 的值等于_____.参考答案二、填空题1、 417- 解：41-的负倒数为411--,4-的倒数为41-, 二者之和为:411--+41-417414-=--=.2、 204解：设等数为a ,则 90)4()4()]4([)]4([-=-⨯+-+--+-+a a a a 即90412-=-a ,∴ a =40, 因此,甲数为36,乙数为44,丙数为-10,丁数为-160,其中,最大数-最小数=44-(-160)=204.3、 4000000 解：当a 1999=时,142314232323-+-=-+-a a a a a a=-+-200133323a a a 200133323-+-a a a ,所以,原式=142323-+-a a a )2001333(23-+--a a a2000200019992000)1(20002+⨯=++=++=a a a a400000020002000=⨯=.4、 0解：〇中填1,△中0,□填8. []⎣⎦⎡⎤00)81(=⨯+.5、 ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷-- 解：由-3,-2,-1,4,5中任取三个相乘可得10种不同的乘积,它们是:124)1)(3(,205)2)(3(,244)2)(3(,6)1)(2)(3(=⋅--=⋅--=⋅--=---,105)1)(2(,84)1)(2(,6054)3(,155)1)(3(=⋅--=⋅---=⋅⋅-=⋅--,2054)1(,4054)2(-=⋅⋅--=⋅⋅-,最大乘积是30,最小的乘积是-60.∴ ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷--.6、 137 解：)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1------------ )4151()3141()2131(1)]4151([)]3141([)]2131([1---------------= )4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1-------+-+-+= 41513141213114151314121311+-+-+--+-+-+= 13710131075121151211==-++-=.7、 1715 解：一般解法是分三种情况讨论:（1）当22195-<x 时 ,,（2）当22110022195≤≤-x 时 ,,（3）当221100>x 时 ,.综合（1）,（2）,（3）可得,最小值是1715.最简单的解法是:根据绝对值的几何意义,22195221100++-x x 表示数轴上x 对应的点P 到22195-对应的点A 和221100对应的点B 的距离之和,易知当P 在线段AB 上时,P A +PB 最小值为2211001715)22195(=--.8、 1373 解：设线段AC 的长度为x ,则AD =2x ,则AB =2x ,DC =2x ,DB =x 23,CB =x ,所以 232321221=+++++x x x x x x ,即23213=x .∴13731346==x .即AB 长度为1373.9、 4680解：24,30,36三个数的最小公倍数是360,10803360=⨯,∴大于10000且能被24,30,36整除的最小整数是1080,又36010805000⋅+>n ,其中n 为自然数,解得9810<n .∴取10=n ,得4680360101080=⋅+.∴具有这种性质的最大整数是4680.10、 -9解：利用还原算法:某数a 的3倍是31,显然91=a ,而91应是一个有理数倒数的相反数,所以这个有理数的倒数为91-,故这个有理数是-9.11、大于1的有理数和负有理数解：画出数轴如图.大于1的有理数的二次幂大于它自身；1的二次幂等于1;大于0且小于1的有理数的二次幂小于它本身;0的二次幂是0；负有理数的二次幂是正数,大于它自身.综上可知,二次幂大于其自身的有理数的范围,是大于1的有理数和负有理数.12、 222解：由8919+=+=+c b a 得:11,1,10=--=--=-a c c b b a .∴+-+-22)()(c b b a =-2)(a c 222121110011)1()10(222=++=+-+-.13、 51- 解：a 1的倒数是51-,那么a 1=-5,51-=a .14、 1817 解：设小丽写出的三个有理数为x ,y ,z ,则3262,2172,72=+=+=+z y z x y x , 所以15,340,14=+=+=+x z z y y x ,三式相加,3127)(2=++z y x , 则1817181273==++z y x .15、 -14 解：因为2179167212518511.125(2)(0.72)(3)73687100367214-+--=-+=-+=-. 所以原分式的值为-14.16、 0解：由m 和y 互为相反数,知m = -y ,由n 和y 互为倒数,知道0,0≠≠y n 且yn 1= ∴0=-=-y y y y y m y n ,故5)(ym y n -=0. ∴17、 38 解：由1171=x ，可知2114,1171=+=-x x ，所以原式= 37772(1117)322113838111111-+=+=.18、 -6解：由32<-a b ,得03272<--<--a b a b .由52<-b a ,得052>+-a b ,得 05282>+->+-a b a b .而853)2()2(=+<-+-=+b a a b a b . 089<-+<-+∴a b b a98272-+++-----b a a b a b9)()82()72(-+-+----=b a a b a b987+--=6-=.19、 22解：由222)(1204)(4)(n m n m mn n m -+⋅=-+=+当2)(n m -愈小时,2)(n m +越小,从而m +n 也愈小,m 、n 为120的约数,且n m -要最小,由53222120⋅⋅⋅⋅==mn所以,当m =12,n =10时,m +n =22为最小值.20、 4000解：当a =1997时,0719971997,011997199722>-->-+7122----+a a a a)7()1(22----+=a a a a7122++--+=a a a a62+=a4000619972=+⋅=.21、 999解：由b a x <≤,可得a b a x b x -=---,则原式)19961997()23()1(---++---+--=x x x x x x)19961997()23()01(-++-+-=个99921998111=÷+++= 999=.。

2013第十八届华罗庚数学竞赛(答案)

2013年明德招生试题一、选择题（60分）1、2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（C ）A 、5B 、6C 、7D 、82、2013年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：“这是我有以来第一次将要渡过一没有重复数字的年份”，已知小明哥哥出生的年份是19的倍数，那么2013年小明哥哥的年龄是（B ）岁。

A 、16B 、18C 、20D 、223、一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因为井壁打滑，就会下滑1米，下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一，8点17分时，青蛙第二次爬至离井口3米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ A ）分钟。

A 、22B 、20C 、17D 、1622下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一，也就是上爬和下滑的速度是一样的，如果一上一下为一个周期，那么一个周期的时间基本能被4除（不一定是整数）。

上3米，滑1米，则一上一下实际上升了2米，离井口3米处距离井底为9米。

第四个周期后距离井底为8米，这时已经爬过一次9米，而第二次爬至9米就是第五个周期，则时间为4个周期的时间+1/4个周期的时间，为17/4个周期的时间，而此时共用时间为17分钟，及每个周期为4分钟，每爬1米为1分钟。

5个周期后到达距离井底10米的地方，再用2分钟到达井口，因此，总用时为4*5+2=22分钟。

3-1=2(米) 2+3-1=4（米）4+3－1＝6（米）6+3－1＝8（米）第一次距井口3米时8+1米＝9（米）第二次距井口3米时，17÷（4+311+）＝4分／每个周期 4分÷4米=1分／每米 4*5+2=22分钟4、一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为9：7，若放回黑子再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为7：5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（ C ）个。

2013年北京市初二数学竞赛试题及解答

（2）同样道理，一个月有 31 天，就不可能仅有星期一的天数比星期二的天数多．
（3）一个月 28 天，则星期一的天数和星期二的天数同样多. 也不会发生“仅有星
期一的天数比星期二的天数多”的情况．
（4）一个月 29 天，1 日是星期一，29 日也是星期一，共有 5 个星期一，4 个星期
二；所以“仅有星期一的天数比星期二的天数多”的情况只能在 29 日的月份里发生．
A
D
B
于是，∠BDE=∠CED−∠DBE=∠A−∠B=∠B=∠DBE，
所以△BDE 是等腰三角形，BE=DE．
因此，BC=BE+CE=AD+AC=8+16=24．
2013 年北京市中学生数学竞赛初二年3 级竞赛试题及解答共 5页第 3页
4．已知质数 p 和 q，使得 p3−q5=(p+q)2，则 8( p2013 − p q 2010 5) =
．2013 年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题及解答
2013 年 5 月 12 日 13:00～15:00
一、选择题（满分 25 分，每小题只有一个正确答案，答对得 5 分，将答案写在下面相应的空格中）
题号
1
2
3
4
5
答案
A
C
D
D
B
1．2013+2012−2011−2010+2009+2008−2007−2006+…+5+4−3−2+1 等于
4
4
5．如图，在直角△ABC 的两直角边 AC、BC 上分别
G
作正方形 ACDE 和 CBFG，连接 DG，线段 AB、BF、FG、
I

2013年浙江省高等数学竞赛(数学类)参考答案

2013 浙江省高等数学（微积分）竞赛试题数学类参考答案
一、计算题（每小题 14 分，满分 70 分）
k - sin 2 k é 1．求极限 lim å ln ( n + k - sin 2 k ) - ln n ù 2 ë û。 n ®+¥ n k =1
n
k - 1 1 解：记 f ( x ) = x ln(1 + x ) ， xk = , Dx k = n n
1 ( n ) 1 f n ( ) n n !
ln x + x n -1
( n -1)
( f n ( x ))( ) = ( nx n -1 ln x + x n -1 )
= n( f n -1 ( x ))(
n -1 )
+ ( n - 1) !
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h ( t1 ) < h ( t2 )
所以 f ( x ) 严格单调增。
五、（满分 20 分）
设 x1 = 1 ， sin xn = xn cos xn +1
+¥ຫໍສະໝຸດ xn +1 Î ( 0, p / 2 ) ，证明：
n 收敛
1） lim xn = 0 。2）级数
0
1
1 1 1 x 2 1 ln 2 - ò dx = 2 2 0 x + 1 4
2．求异面面直线 L1 : 的方程。
x - 5 y - 1 z + 1 x + 2 y - 2 z - 4 = = 与 L2 : = = 的公垂线 L 4 -3 1 -2 9 2
解： l1 ´ l2 = -5{3, 2, -6} ，公垂线 L 法矢量为 l = {3, 2, -6}

人教版初一数学上册竞赛专题：方程的解与解方程(含答案)

人教版初一数学上册竞赛专题：方程的解与解方程（含答案）[例1]　已知关于x 的方程3[x －2(x －)]＝4x 和－＝1有相同的解，那3a 312x a +158x -么这个解是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)[例2]　已知a 是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1(3)方程ax ＝1的解是x ＝(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±11a结论正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3(江苏省竞赛试题)[例3]　a 为何值时，方程＋a ＝－(x －12)有无数多个解？无解？3x 2x 16[例4]　如果a ，b 为定值时，关于x 的方程＝2＋，无论k 为何值时，它的23kx a +6x bk -根总是1，求a ，b 的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)[例5]　已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)[例6]　(1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．2003200419971999200020012002…… (36)37383940414219962930313233343522232425262728151617181920218910111213141234567图②(湖北省黄冈市中考试题)能力训练A 级1．若关于x 的方程(k －2)x |k －1|＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．2．方程x －[x －(x －)]＝(x －)的解是______．34143731637(广西赛区选拔赛试题)3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是( )．A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解7．方程＋＋…＋＝1995的解是( )．12x ⨯23x ⨯19951996x ⨯A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．19988．若关于x 的方程＝0的解是非负数，则b 的取值范围是()．21x b x --A ．b ＞0B ．b ≥0C ．b ≠2D ．b ≥0且b ≠2(黑龙江省竞赛试题)9．关于x 的方程a (x －a )＋b (x ＋b )＝0有无穷多个解，则( )．A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D ．＝0a b10．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b )x ＋7＝0无解，则ab 是( )．A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x 的方程kx －12＝3x ＋3k 有整数解，且k 为整数，求符合条件的k 值．(北京市“迎春杯”训练题)12．已知关于x 的方程＋a ＝x －(x －6)，当a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程有3x ||2a 16无穷多解？(重庆市竞赛试题)B 级1．已知方程2(x ＋1)＝3(x －1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)－3(x －a )]＝3a 的解为______．2．已知关于x 的方程＝的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0，则代数式－的2a x -33bx -b a a b 值是______．3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x ＝2001－2000x 的解也是整数的k 值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果＋＋＋…＋＝，那么n ＝______．12161121(1)n n +20032004(江苏省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A ※B ＝＋，如果2※1＝，那么1A B +(1)(1)x A B ++533※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．第6题图(河北省中考试题)7．有四个关于x 的方程①x －2＝－1②(x －2)＋(x －1)＝－1＋(x －1)③x ＝0④x －2＋＝－1＋11x -11x -其中同解的两个方程是( )．A ．①与②B ．①与③C ．①与④D ．②与④8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3－3a 2－5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )．A ．1个B ．3个C ．6个D ．9个(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a 取符合na ＋3≠0的任意数时，式子的值都是一个定值，其中m －n ＝6，23ma na -+求m ，n 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x 取什么值，式子必为同一定值，求的值．35ax bx ++a b b+(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k (k 是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(上海市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：第11题图 (142144146148150152154)30323436384042161820222426282468101214用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？(2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？参考答案例1 提示：两方程的解分别为x ＝a 和x ＝，由题意知a ＝，27282727221a -2727221a -得a ＝.从而可以得到x ＝a ＝×＝.27827272782728例2 A 提示：当a ＝0时，各题结论都不正确.例3 提示：原方程化为0x ＝6a －12（1）当6a －12＝0，即a ＝2时，原方程有无数个解.（2）当6a －12≠0，即a≠2时，原方程无解．例4 原方程整理可得：(4x ＋b)k ＝12＋x －a ． ∵ 无论k 为何值时，它的根总是1． ∴ x ＝1且k 的系数为0．∴ 4＋b ＝0，13－2a ＝0．∴ ，．132a =4b =例5 提示：把x ＝1代入方程px ＋5q ＝97，得p ＋5q ＝97，故p 与5q 之中必有一个数是偶数（1）若p ＝2，则5q ＝95，q ＝19，；215p q -=-（2）若5q 是偶数，则q ＝2，p ＝87，而87不是质数，与题设矛盾，舍去；因此．215p q -=-例5 （1）a －7，a ，a ＋7；（2）①44×8＝352；②设框出的16个数中最小的一个数为a ，则这16个数组成的正方形方框如右图所示，因为框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于2a ＋24，所以这16个数之和为8×（2a ＋24）＝16a ＋192．当16a ＋192＝2000时，a ＝113；当16a ＋192＝2004时，a ＝113.25．∵a 为自然数，∴ a ＝113.25不合题意，则框出的16个数之和不可能等于2004，由长方形阵列的排列可知，a 只能在1，2，3，4列，则a 被7整除的余数只能是1，2，3，4．因为113＝16×7＋1，所以，这16个数之和等于2000是可能的．这时，方框涨最小的数是113，最大的数是113＋24＝137．A 级1．0；2．x ＝0 3．8 4．6；54565．10；26；8；－8 提示：，能被17整除，则，或179x k=-9k -91k -=±917k -=±6．D 7．B 提示：原方程化为111111199522319951996x ⎛⎫-+-++-= ⎪⎝⎭8．D 9．A10．B11．原方程的解为，31221333k x k k +==+-- 显然 k －3＝±1，±3，±7，±21，a a ＋1a ＋2a ＋3a ＋7a ＋8a ＋9a ＋10a ＋14a ＋15a ＋16a ＋17a ＋21a ＋22a ＋23a ＋24即 k ＝4，2，6，0，－4，10，24，－18．12．提示：原方程化为()()121a x a -=-（1）当a ＝－1时，方程无解；（2）当a ＝1时，方程有无穷多解．B 级1．10.5 2．提示：当x ＝2时，代入得． 712-34b a =3．16提示：为整数，2001＝1×3×23×29，故k 可取±1，±3，±23，±29，20011x k =+±3×23，±3×29，±23×29，±22001共16个值．4．2003 提示：()()11111111126121122334451n n n n ++++=++++++⨯⨯⨯⨯+ ＝，得．1111111120031122334112004n n n -+-+-++-=-=++ 1112004n =+5．提示：，解得 x ＝8．1935()()152********x =+=+++※6．207．A8．C9．（1）取a ＝0，则；取a ＝1，则，2233ma na -=-+2233m n -=-+ 得，又，解得，．()()32230m n -++=6m n -=125m =185n =- （2）令x ＝0，则；令x ＝1，则，3355ma na +=+3355m n +=+ 得，即，故．()()5335a b +=+35a b =381155a b a b b +=+=+=10．设乙队原有x 人，则80＝k(x ＋16)＋6，解得．7416kx k-=∵x 必须为正整数且k≠1，∴ ，，得出k ＝2或37，7416x N k=-∈＋74k 只有当k ＝2时，x ＝21人．11．（1）能，这四个数分别是100，102，116，118．（2）不能．。

全国初中数学联合竞赛试题参考答案第1试

全国初中数学结合比赛试题参照答案第一试一、选择题：（此题满分 42 分，每题7 分）1. 若 a,b,c 均为整数且知足 ( a b)10 (a c)10 1，则 | a b | | b c | | c a |（ B ）A ．1.B ． 2.C ． 3.D ．4.2．若实数 a, b, c 知足等式 2 a 3 |b | 6 ， 4 a 9 | b | 6c ，则 c 可能取的最大值为（ C ）A ．0.B ． 1.C ． 2.D ．3.a 1b 11 0, 则（ C ）3．若 a, b 是两个正数，且abA ． 0 a b1 1 a b 1.C ． 1 a b4 4a b 2 ..B ．. D ．33334．若方程 x 2 3x 1 0 的两根也是方程 x 4 ax 2bx c 0 的根，则 a b 2c 的值为（ A）A ．－ 13.B ．－ 9.C ． 6.D ． 0.5．在△ ABC 中，已知CAB 60 ，D ，E 分别是边 AB ，AC 上的点，且 AED 60 ， ED DB CE ，CDB 2CDE ,则 DCB (B ) A ．15° .B ．20°.C ． 25°.D ． 30° .6．对于自然数 n ，将其各位数字之和记为 a n ，如 a 2009 2 0 0 9 11， a 20102 0 1 03 ，则a 1 a 2 a 3a2009a2010（ D）A ．28062.B ． 28065.C ． 28067.D ． 28068.二、填空题：（此题满分 28 分，每题 7 分）1．已知实数 x, y 知足方程组x 3 y 3 19,则 x 2 y 213.x y 1,2．二次函数 yx 2 bx c 的图象与 x 轴正方向交于A ，B 两点，与 y 轴正方向交于点C ．已知 AB3AC ，CAO 30 ，则 c1．93．在等腰直角△ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 5， P 是△ ABC 内一点，且 PA ＝5 ，PC ＝ 5，则 PB ＝ ___ 10 ___．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且随意中间夹有 5 个或 10 个球的两个球必为同一种颜色的球.按这类要求摆放，最多能够摆放 ____ 15___ 个球 .第二试（A ）一．（此题满分 20 分）设整数 a, b,c （ a b c ）为三角形的三边长，知足 a 2 b 2 c 2 abac bc 13 ，求切合条件且周长不超出30 的三角形的个数 .解由已知等式可得(a b)2 (b c)2 (a c)226①令 a b m,b c n ，则a c m n ，此中 m, n 均为自然数.于是，等式①变成 m 2n 2(m n)226 ，即m 2 n 2mn 13②因为 m, n 均为自然数，判断易知，使得等式②建立的m, n 只有两组： m 3, m 1,n 1和3.n（ 1）当 m 3,n 1时，b c 1 ， a b 3 c 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长，所以b c a ，即(c 1) c c 4，解得 c 3 .又因为三角形的周长不超出30，即 ab c ( c4)(c 1) c 30，解得c 25 所以3 c 25 ，所以 c 能够取值 4，，，，，对应可获得5 个切合条件的三角形..35 6 7 83（ 2）当 m1,n3时， b c 3 ， a b 1 c 4 . 又 a, b,c 为三角形的三边长，所以b c a ，即(c 3) c c 4，解得 c1 .又因为三角形的周长不超出30，即 ab c ( c 4) (c 3) c 30，解得23 所以 23，所以 c 能够取值，，，， 6 ，，对应可获得6 个切合条件的三角形 .c.1 c32345 7330 的三角形的个数为 5＋ 6＝ 11. 综合可知：切合条件且周长不超出二．（此题满分 25 分）已知等腰三角形△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ C 的均分线与 AB 边交于点 P ，M 为△ ABC的内切圆⊙ I 与 BC 边的切点，作 MD//AC ，交⊙ I 于点 D. 证明：PD 是⊙I 的切线 .证明过点 P 作⊙ I 的切线 PQ （切点为 Q ）并延伸，交 BC 于点 N.因为 CP 为∠ ACB 的均分线，所以∠ACP ＝∠ BCP.又因为 PA 、 PQ 均为⊙ I 的切线，所以∠ APC ＝∠ NPC. 又 CP 公共，所以△ ACP ≌△ NCP ，所以∠ PAC ＝∠ PNC. 由 NM ＝ QN ，BA ＝ BC ，所以△ QNM ∽△ BAC ，故∠ NMQ＝∠ ACB ，所以 MQ//AC.又因为 MD//AC ，所以 MD 和 MQ 为同一条直线 .又点 Q 、 D 均在⊙ I 上，所以点Q 和点 D 重合，故 PD 是⊙ I APIQCBNM的切线 .三．（此题满分 25 分）已知二次函数 y x 2bx c 的图象经过两点 P (1,a) ， Q (2,10 a) .（ 1）假如 a, b, c 都是整数，且 c b 8a ，求 a, b, c 的值 .（ 2）设二次函数 yx 2bx c 的图象与 x 轴的交点为 A 、 B ，与 y 轴的交点为 C.假如对于 x 的方程x 2 bx c 0 的两个根都是整数，求△ABC 的面积 .解点 P (1,a) 、 Q (2,10 a) 在二次函数 y x 2bx c 的图象上，故1 b c a ， 4 2a c 10a ，解得 b 9a 3 ， c 8a2 .（ 1）由 cb 8a 知8a2 9a 3,9a3 8a, 解得 1 a 3 .又 a 为整数，所以 a2 ， b 9a3 15 ， c 8a 214 .(2) 设 m,n 是方程的两个整数根，且 m n .由根与系数的关系可得m n b 3 9a ， mn c 2 8a ，消去 a ，得 9mn 8( m n)6 ，两边同时乘以 9，得 81mn 72(m n) 54 ，分解因式，得 (9m 8)(9 n 8) 10 .所以9m 81,9m 8 2,或9m 8 10,9m 8 5,9n 8或8 5, 9n 81,或8 2,10,9n9nm1,或 m10 ,m2 , m 1 , 解得9 或9 或93n 2,n 13 , 7 n29n, ,93又 m,n 是整数，所此后边三组解舍去，故 m 1,n 2 .所以， b(m n)3 ， c mn2 ，二次函数的分析式为 y x 2 3x 2 .易求得点 A 、 B 的坐标为（ 1,0）和（ 2,0），点 C 的坐标为（ 0,2），所以△ ABC的面积为1(2 1) 2 1 .2第二试（B ）一．（此题满分 20 分）设整数 a, b, c 为三角形的三边长，知足a 2b 2c 2 ab ac bc 13 ，求切合条件且周长不超出30 的三角形的个数（全等的三角形只计算1次） .解不如设 a b c ，由已知等式可得(a b)2(b c)2 (a c)226①令 a bm,b c n ，则 a c m n ，此中 m, n 均为自然数 .于是，等式①变成 m2n 2 (m n)226 ，即m 2 n 2mn 13②因为 m, n 均为自然数，判断易知，使得等式②建立的m, n 只有两组：m 3, m 1,n 1和3.n（ 1）当 m3,n 1时， b c 1 ， a b 3 c 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长，所以b c a ，即(c 1) c c 4 ，解得 c 3 .又因为三角形的周长不超出30，即 ab c ( c 4) (c 1) c 30 ，解得c253c25 4， 5，6， 7， 8，对应可获得 5 个切合条件的三角形 ..所以 3 ，所以 c 能够取值3（ 2）当 m1,n 3时， b c 3 ， a b 1 c 4 . 又 a, b,c 为三角形的三边长，所以b c a ，即(c 3)c c 4，解得 c 1 .又因为三角形的周长不超出30，即 ab c ( c 4) (c3) c 30，解得23 所以 1 c23，所以 c 能够取值，，，， 6，，对应可获得 6 个切合条件的三角形.c.3234573综合可知：切合条件且周长不超出30 的三角形的个数为5＋ 6＝ 11.二．（此题满分 25 分）题目和解答与（ A ）卷第二题同样 . 三．（此题满分 25 分）题目和解答与（ A ）卷第三题同样 .第二试（C ）一．（此题满分 20 分）题目和解答与（ B ）卷第一题同样 . 二．（此题满分 25 分）题目和解答与（ A ）卷第二题同样 .三．（此题满分 25 分）设 p 是大于 2 的质数， k 为正整数．若函数 yx 2 px(k 1) p 4 的图象与 x轴的两个交点的横坐标起码有一个为整数，求k 的值．解由题意知，方程 x 2 px (k1) p 4 0 的两根 x 1 , x 2 中起码有一个为整数．由根与系数的关系可得x 1 x 2 p, x 1 x 2 ( k 1) p4，进而有( x 1 2)( x 2 2) x 1 x 2 2( x 1x 2 ) 4 ( k 1) p①（ 1）若 k 1 ，则方程为 x 2 px 2( p 2) 0 ，它有两个整数根2 和 2 p ．（ 2）若 k 1，则 k 1 0 .因为 x 1 x 2p 为整数，假如 x 1 , x 2 中起码有一个为整数，则 x 1 , x 2 都是整数 .又因为 p 为质数，由①式知 p | x 1 2 或 p | x 2 2 ．不如设 p | x 12 ，则可设 x 1 2 mp （此中 m 为非零整数），则由①式可得 x 2k 1 2，故 ( x 1 2) (x 2 2) mpk 1，即 x 14 mpk 1．mx 2m k 1m又 x 1x 2p ，所以 p 4 mp ，即k 1m(m 1) p②4m6，k 1k 1假如 m 为正整数，则 (m1) p (1 1) 3 0，进而 (m1)p 6 ，与②式矛盾 .0 ，k1mk 1 m假如 m 为负整数，则 (m1) p 0 ，进而 ( m 1)p0 ，与②式矛盾 .mm所以， k1 时，方程 x2px (k 1) p 4不行能有整数根．综上所述， k 1 ．。

江苏省2013年全国高中数学联赛初赛题与答

设 a 有 m 个数字，b 有 n 个数字，由已知得 m＋n＝4．
如果 m＜2，那么 n≥3，但在 31 年后，a 是 2 位数，这与题意不符．
由对称性，知 n 也不小于 2，从而 m＝n＝2．设按照题中要求顺序排列的平方数依次为 x2 和 y2，0＜x＜y，则 y2＝x2＋3l3l，即(y－x)(y＋x)＝31×101．
由于 f ′(x)＝2－πsinπx ，f ′′(x)＝－π2cosπx．
当 x∈(0，12)时，f ′′(x)＝－π2cosπx＜0，当 x∈(12，1)时，f ′′(x)＝－π2cosπx＞0，所以 f ′(x)在区间[0，12]上单调减，在区间[12，1]上单调增．因为 f ′(0)＝f ′(1)＝2 和 f ′(12)＝2－π＜0，所以存在 α 和 β， 0＜α＜12＜β＜1，使得 f ′(α)＝f ′(β)＝0，f ′(x)＜0 当且仅当 x∈(α，β)． …………………… 10 分
2013 年全国高中数学联赛初赛参考答案第 1 页共 5 页
2013 年江苏省高中数学竞赛初赛试题与解答
冯惠愚 2013.05.
又解：由已知，2a＝b＋c2sinA＝sinB＋sinC4sinA2cosA2＝2sinB＋2 CcosB－2 C2cosB＋2 C＝cosB－2 C．
所以，tanB2tanC2＝13tanB＋2 C＝1t－anBt2a＋nB2ttaannC2C2≥21－ttaannB2B2ttaannC2C2＝ 3B＋C≥230＜A≤3．
y
椭圆 E2：x92＋y2＝1 交于点 A 和 C，E1 的左顶点为 B，
A
B
D
O
x
E2 的右顶点为 D (如图)．若四边形 ABCD 是正方形，

2013年全国中小学生数学能力竞赛青岛赛区获奖通1

2013年全国中小学生数学能力竞赛青岛赛区获奖通知（二）日期：2014年1月5日 18:582013年全国中学生数学能力竞赛决赛、2013年全国小学生数学学习能力测评终评在青岛大学附属中学顺利举行，决赛选手均为从2013年全国中学生数学能力竞赛初赛、2013年全国小学生数学学习能力测评初评中脱颖而出的佼佼者。

决赛结束后，经过专业教师认真阅卷和组委会复核，青岛组委会评选出全国一、二、三等奖和青岛赛区一、二等奖选手。

全国奖和青岛奖获奖名单现公布如下，3月上旬青岛组委会将组织颁奖表彰典礼，现场颁发全国奖证书和奖品（具体时间、地点请关注网站或电话通知），获奖名单、喜报也将陆续送至学校，由学校统一组织表彰和颁发获奖证书。

荣获全国一、二、三等奖的优秀选手将有资格参加2014WMO世界奥林匹克数学竞赛的中国区总决赛，青岛赛区组委会将推荐优秀选手组成山东青岛代表队，与来自全国各地的选手们同场比拼，在全国赛场上展示自己的数学实力。

总决赛报名截止日期1月12日，名额有限，报满为止。

第十届WMO世奥赛（中国区）总决赛将于2014年2月3日-7日在中国•上海举办。

全国各地的精英选手将在春节期间齐聚上海，在浓浓的节日气氛中一同为了实现梦想而努力。

届时，中国区组委会将为选手们呈现一场别具特色的总决赛，让选手们度过一个集“学•赛•玩”的难忘春节。

请获奖学生和家长务必认真核对学校、年级、姓名和指导老师，如有错误请于1月12日前予以修改确认，逾期不再变更和补发证书。

组委会电话：83611875竞赛组委会只公布获奖学生的奖项名单，不再查询和公布竞赛和测评分数。

全国中小学生数学能力竞赛山东组委会地址：青岛市威海路203号盛锡福大厦901室电话：0532 - 83621835邮箱：trjs@网站：全国中小学生数学能力竞赛青岛组委会权威发布（供各级教育行政部门、教研部门、各高级学校和参赛学校参考）2013年全国中学生数学能力竞赛、2013年全国小学生数学学习能力测评暨“青大附中杯”数学大赛优秀组织单位名单2013年全国中学生数学能力竞赛、2013年全国小学生数学学习能力测评青岛赛区一等奖获奖名单姓名学校班级指导老师丰收青岛文登路小学 4.2 闫宁于文峰青岛太平路小学 4.2闫嘉旖青岛平安路第二小学 4.5 于文静王鹏城青岛市实验小学 4.6 薛冬梅岳秋实青岛平安路第二小学 4.1 易俭张元天睿青岛太平路小学 4.1 汪文茜孙宇玲青岛金门路小学 5.4 孙丽曹智宁青岛富源路小学 5.2 王莉陈博瀚青岛天山小学 5.3 王茜李昊霖青岛市实验小学 5.1 王茜张庆邦青岛平安路第二小学 5.3 孙秀芹蒲谦青岛四方实验小学 5.3 王伟李向阳青岛福林小学 5.1 刘菁冯一凡青岛天山小学 5.3 王茜李星洲青岛文登路小学 5.1 李梦琪李格菲青岛山东路小学 5.2 郑心一李欧钰青岛平安路第二小学 5.6 孟琦李家谊青岛嘉峪关学校 5.1 程峰孙坦然青岛陵县路小学 5.2 王翠红吴子轩青岛北山二路小学 5.3 闫青韩松宇青岛太平路小学 6.3 臧晓文陈乃鹏青岛四方实验小学 6.1 孟芸张恺青岛郑州路小学 6.1 李方隆陈修凡青岛春雨小学 6.4 宋健张镇宇青岛太平路小学 6.3 臧晓文朱泽杨青岛文登路小学 6.4 白文艳朱翔嵘青岛市实验小学 6.5 林伟郭浩田青岛嘉峪关学校 6.3 王倩刘俊哲青岛市实验小学 6.3 王甜于永弘青岛同安路小学 6.3 周佳陈文骢青岛同安路小学 6.1 周佳李逸然青岛同安路小学 6.3 周佳秦展鹏青岛四方实验二小 6.3 马月红纪潇晗青岛重庆路第二小学 6.3 王娟李仲勋青岛莱芜一路小学 6.3 吕顺张腾青岛四方实验小学 6.1 孟芸张凤仪青岛福林小学 6.1 孙舒霞张文昭青岛同安路小学 6.1 周佳程泽一青岛同安路小学 6.1 周佳张津睿青岛市实验小学 6.4 王甜朱润佳青岛市实验小学 6.5 林伟马平一青岛大学路小学 6.4 徐利梁子洁青岛大学附属中学 7.10 彭念东崔晓焜青岛第65中学 7.7 蔡占玉刘秦琬娴青岛第7中学 7.7 宫新娟郑裕锡青岛超银中学（广饶路） 7.3 周娜张博雅青岛实验初级中学 7.11 崔霞于卓浩青岛大学附属中学 7.9 彭念东刘湉青岛第7中学 7.1 张全傅子勤青岛大学附属中学 7.3 王占荣胡凯宇青岛实验初级中学 7.8 朱琳杨逢诜青岛大学附属中学 7.8盛婧妍青岛大学附属中学 7.8 董坤李润柯青岛大学附属中学 7.11 张小倩漆一骏青岛第26中学 7.6 原梅赵文昌青岛大学附属中学 7.3 王占荣曹顺知青岛第21中学 7.3 胡耀东徐缙尧青岛第26中学 7.10 金星孙毅青岛大学附属中学 7.1 郭殿雪李元敏青岛超银中学（广饶路） 7.5 苑克文陈金诚青岛大学附属中学 7.3 王占荣姜华正青岛大学附属中学 7.2 郭殿雪季文轩青岛大学附属中学 7.12 张小青王雨洁青岛大学附属中学 7.4 王占荣张菘青岛大学附属中学 7.2 郭殿雪周子于青岛实验初级中学 7.4 安璐璐李沂珊青岛大学附属中学 7.9 彭念东刘一晨青岛大学附属中学 7.11 张小青潘昱辰青岛大学附属中学 7.12 张小青赵峻艺青岛第37中学 7.5 王伟娜刘洵青岛大学附属中学 7.6 张进侯一青岛第39中学 7.10 隋东红李明辰青岛第65中学 7.8佟明灏青岛大学附属中学 7.8 张清民夏誉青岛第37中学 7.10 马爱红刘畅青岛大学附属中学 7.3 王占荣赵景煜青岛大学附属中学 7.9 彭念东张晴媛青岛第43中学 7.5 栾吉晖周若涵青岛大学附属中学 7.5 张进孙杰青岛第43中学 7.6 栾吉晖彭悦青岛超银中学（广饶路） 7.10 赵玉辉王子恺青岛第二实验初级中学 7.1 赵静程浩然青岛大学附属中学 7.2 郭殿雪云洋青岛大学附属中学 7.6 张进王浩东青岛超银中学（鞍山路） 7.5 朱宁曲思全青岛大学附属中学 7.7姜雨莹青岛第39中学 7.5 张丰郭洪浩青岛第39中学 7.9 隋东红苗津荣青岛第44中学 7.2 杜成珉陈明哲青岛大学附属中学 7.14 苏红刚穆靖华青岛第37中学 7.10 马爱红杨明洋青岛大学附属中学 7.10 彭念东孟怡杉青岛第26中学 7.1 张典波宋晨怡青岛第二实验初级中学 7.2 赵静雷子祺青岛大学附属中学 7.8 周茂杰姚立嵘青岛大学附属中学 7.10 彭念东姜威青岛第37中学 7.3 李丽尉曦文青岛实验初级中学 7.6 王幼敏张艺楠青岛第37中学 7.8郭小溪青岛大学附属中学 7.4 王占荣杨钰薇青岛第39中学 7.9 隋东红孟哲萱青岛超银中学（鞍山路） 7.1 楚微微倪孟霏青岛大学附属中学 7.2 郭殿雪王若宁青岛第37中学 7.10 马爱红韩佳彤青岛第37中学 7.9戴琦宸青岛第39中学 7.5 张丰杨彬妍青岛大学附属中学 7.12 张小青杨瀚秋青岛大学附属中学 7.10 彭念东刘洋青岛第37中学 7.4 李丽刘清洋青岛大学附属中学 7.3 王占荣李禹昂青岛第37中学 7.1 李宗津刘畅宇青岛第39中学 7.11 王哲梁笑晗青岛第37中学 7.4 李丽孙珧家青岛第37中学 7.5 王伟娜张双龙青岛第37中学 7.5 王伟娜陈凯誉青岛第65中学 7.2 王波孙朔青岛第37中学 7.5 王伟娜吴琦龙青岛实验初级中学 7.2 纪成栋张杰勋青岛第37中学 7.1 李宗津王有蓉青岛大学附属中学 7.8 吕梅王璟琨青岛第37中学 7.8戴天元青岛大学附属中学 7.2 郭殿雪张浩青岛超银中学（鞍山路） 7.9 高风兰许瀚升青岛第65中学 7.8 蔡占玉李明轩青岛第37中学 7.6 王伟娜李可青岛大学附属中学 7.6 张进于以撒青岛第26中学 7.6 原老师房子正青岛崂山区育才学校 7.3 由笋笋逄雯然青岛第61中学 7.1 王子玉于珊青岛第26中学 8.8 赵美玲鲍虹雪青岛第42中学 8.3 任燕王子侬青岛大学附属中学 8.10 余雷陈欣萌青岛第39中学 8.8 黄雪梅黄宇辰青岛大学附属中学 8.5 杜平张宁青岛实验初级中学 8.5 刘涛杜小龙青岛第37中学 8.5梁爽青岛第26中学 8.3 李宁洪子骁青岛第7中学 8.7 杨翠苏孙天琦青岛第7中学 8.5 尹霞胡云涛青岛第37中学 8.5 孔祥民宋元博青岛大学附属中学 8.12 梁玉春于志成青岛大学附属中学 8.13 栾秋英孙艺毓青岛第二实验初级中学 8.2 渠海霞黄麟斐青岛第59中学 8.8 张正晏崔嵘青岛大学附属中学 8.2 梁玉春程凯青岛第43中学 8.5 姜蕾来平涛青岛大学附属中学 8.16 李宜健李姝瑶青岛大学附属中学 8.7 刘海英刘兆萌青岛大学附属中学 8.13 栾秋英徐越青岛第二实验初级中学 8.4 刘蓬蓬李昕洁青岛大学附属中学 8.3 董坤孙玉卓青岛第43中学 8.5 姜蕾鄂天祎青岛第二实验初级中学 8.9 冷俊宁赵阳青岛第39中学 8.10王俊青岛实验初级中学 8.5 刘涛李雨萱青岛第39中学 8.8 黄雪梅宋玥青岛第26中学 8.3 李宁刘雨辰青岛第37中学 8.9 吴香玲陈淑媛青岛超银中学（广饶路） 8.9 李冬梅袁一夫青岛大学附属中学 8.13 栾秋英闫志远青岛第37中学 8.11 吴香玲张瑞嘉青岛第47中学 8.5 窦建伟姜依辰青岛大学附属中学 8.14王宇哲青岛大学附属中学 8.3范淑婷青岛第39中学 8.10 吴蕴玲刘奕鸣青岛大学附属中学 8.13 栾秋英李想青岛第43中学 8.3 纪帅韩汶辰青岛第39中学 8.6 雕红均姜子恒青岛第二实验初级中学 8.12 王洋徐瑞霖青岛大学附属中学 8.8付雨青岛大学附属中学 8.7 刘海英李心源青岛大学附属中学 8.7 刘海英崔瀚文青岛实验初级中学 8.6 刘涛张汉翘青岛大学附属中学 8.4 董坤刘潇青岛第26中学 8.3 李宁纪昕怡青岛第26中学 8.4 李宁韩悦文青岛第39中学 8.10 吴蕴玲林知豪青岛大学附属中学 8.5 杜平于越青岛第39中学 8.5张蕙鑫青岛大学附属中学 8.16 李宜健徐衣沙青岛第二实验初级中学 8.5 于晓华丁羽宽青岛第39中学 8.8 黄雪梅陈瀚池青岛第二实验初级中学 8.10 冷俊宁徐腾青岛第39中学 8.4 贾烨文刘媛青岛第50中学 8.5 李晓东邵煜琦青岛第39中学 8.9 吴蕴玲朴美景青岛第39中学 8.9 吴蕴玲唐正歌青岛第37中学 8.3 岳友胜郭俊汝青岛第26中学 8.4 李宁孙睿杰青岛大学附属中学 8.3赵治铉青岛大学附属中学 8.2 梁玉春张煊青岛大学附属中学 8.2 梁玉春翁逸杰青岛大学附属中学 8.13 栾秋英庄砚冰青岛大学附属中学 8.10 余雷苏洋青岛第7中学 8.2 孙斐刘宇轩青岛第37中学 8.8 魏裕佩单不争青岛第39中学 8.12 陈健房煜森青岛第7中学 8.7 杨翠苏薛湉青岛大学附属中学 8.13 栾秋英纪翔青岛超银中学（鞍山路） 8.1 车香莲刘沛元青岛大学附属中学 8.14 栾秋英邹高林青岛第37中学 8.2 鲍丽赵云淏青岛超银中学（广饶路） 8.9 李冬梅王子涵青岛第二实验初级中学 8.14 王瑞娟陈俐旭青岛大学附属中学 8.13 栾秋英刘斐玥青岛第43中学 8.3 纪帅徐斯祺青岛第37中学 8.9 吴香玲陈君睿青岛第二实验初级中学 8.14 王瑞娟涂一飞青岛大学附属中学 8.9 余雷于淼青岛第26中学 8.3 李宁王瑾然青岛第二实验初级中学 8.2 渠海霞石佳青岛大学附属中学 8.4 董坤李广博青岛大学附属中学 8.10 余雷刘洋青岛大学附属中学 8.13 栾秋英杜云起青岛大学附属中学 8.10 余雷高新元青岛第37中学 8.11 吴香玲王若凡青岛第37中学 8.2 鲍丽臧金宇青岛大学附属中学 8.14 王晓博王奕宁青岛大学附属中学 8.16姜天扬青岛大学附属中学 8.14 栾秋英郭晓萌青岛第37中学 8.10 闫新华张雪莱青岛第26中学 8 赵美玲李文歆青岛超银中学（广饶路） 9.1 赵璇栾绍凯青岛第63中学 9.1 许琛孙瑞雪青岛超银中学（鞍山路） 9.2 王永玲刘澄青岛第37中学 9.4 赵秀燕孙如杉青岛大学附属中学 9.6 单向丽李洁莹中国教育学会青岛实验学校 9.7 韩艳丽于明雅青岛第二实验初级中学 9.6尹清扬青岛大学附属中学 9.6 单向丽张甘霖青岛大学附属中学 9.2 晁储银李祖良青岛大学附属中学 9.3 牛英新庄祺媛青岛实验初级中学 9.11 王伟李浥萌青岛大学附属中学 9.5 单向丽陈东阳青岛第44中学 9.9 姜蓉潘文煜青岛超银中学（鞍山路） 9.5 刘冰曾旭辰青岛第37中学 9.6 刘洋王可晗青岛大学附属中学 9.11 吴书艳邹嘉鸣青岛第65中学 9.2 刁明传文娜英青岛第42中学 9.3 齐玲华王涵青岛超银中学（鞍山路） 9.2 王永玲沈煜青青岛大学附属中学 9.10 魏翔徐隽墨青岛第42中学 9.8 王红胡颉青岛第31中学 9.7 姜爱兰叶景恺青岛大学附属中学 9.11 吴书艳姜育烨青岛第39中学 9.1 王连峰叶文龙青岛第37中学 9.2 郭华刘春蕾青岛超银中学（鞍山路） 9.1 王永玲郭佳承青岛第26中学 9.6 张志敏郭心怡青岛超银中学（鞍山路） 9.5 刘冰徐名川青岛第63中学 9.7 高星华王子毓青岛大学附属中学 9.10 魏翔杨淑涵青岛大学附属中学 9.6 单向丽王瑞莹青岛大学附属中学 9.12 吴书艳李昊青岛大学附属中学 9.11 吴书艳裴家珍青岛第42中学 9.10刘怡玘青岛第42中学 9.3 齐玲华曹雯琳青岛第39中学 9.8 李炜郭晶毅青岛第二实验初级中学 9.5 刘小伟戴梦琦青岛超银中学（鞍山路） 9.5 刘冰曲宇轩青岛第42中学 9.3 齐玲华孙启睿青岛大学附属中学 9.1 晁储银张锐青岛超银中学（鞍山路） 9.6 曲鹏刘骁飞青岛第42中学 9.6王春晓青岛超银中学（鞍山路） 9.4 戈伟桐姜澜青岛大学附属中学 9.11 吴书艳刘方玉青岛大学附属中学 9.4 牛英新于劲松青岛超银中学（广饶路） 9.2 冯强2013年全国中学生数学能力竞赛、2013年全国小学生数学学习能力测评青岛赛区二等奖获奖名单姓名学校班级指导老师王凯霖青岛太平路小学 4.2 汪文茜于皓麟青岛平安路第二小学 4.2 易俭刘子睿青岛太平路小学 4.2 崔莉王家乐青岛顺兴路小学 4.1 李文贤孙杨青岛重庆路第二小学 4.1 李美娜纪鑫鹏青岛宜阳路小学 5.1王伟臣青岛福林小学 5.3 徐砚霞徐田昊青岛基隆路小学 5.2 金相琴丁孟骐青岛崂山区实验小学 5.1 朱晓芬于浩然青岛大学路小学 5.1 刘红燕兰竺霖青岛人民路第一小学 5.4 周克俭孙铭赫青岛郑州路小学 5.1 王倩万称懿青岛大学路小学 5.1 刘红燕徐婧驰青岛榉园学校 6.9 余倩臧姝萍青岛大学路小学 6.1 曲耀莉丛培科青岛莱芜一路小学 6张梦玥青岛重庆路第二小学 6.3 孙红于新雨中国教育学会青岛实验学校 6.2 魏莉莉朱昊楠青岛平安路第二小学 6.7 纪蕾于子锐青岛同安路小学 6.3 周佳李格非青岛四方实验小学 6.1 孟芸李一萌青岛大学路小学 6.1 曲耀莉李易轩青岛榉园学校 6.11 张蓉蓉米乐青岛北山二路小学 6.1 倪红琴王重逍青岛洛阳路第二小学 6.3 宋爱华董浩宇青岛太平路小学 6.4 单蓓蓓韩译航青岛台东六路小学 6.4 纪蕾宋卓彧青岛平安路第二小学 6、3 孟蕾孙宪德青岛人民路第一小学 6.4 邹宏宇谢中良青岛大学路小学 6.1 曲耀莉况宗鑫青岛第65中学 7.6宁晓涵青岛大学附属中学 7.10陈梓瑜青岛智荣中学（南校） 7.2 高秀丽王一鸣青岛第43中学 7.2 周付伟关啸雨青岛大学附属中学 7.5 张进陈嘉伟青岛实验初级中学 7.9 李青赵宇航青岛大学附属中学 7.14 苏红刚李笑语青岛第37中学 7.5 王伟娜李卓洋青岛大学附属中学 7.10 彭念东杨浩峰青岛大学附属中学 7.9 彭念东李东霖青岛第37中学 7.1 李宗津王俏青岛大学附属中学 7.5 张进孙松雨青岛大学附属中学 7.1 郭殿雪刘世元青岛大学附属中学 7.7 李东蔚臧妤姣青岛第39中学 7.7 吴娟娟张瀚文青岛大学附属中学 7.7 李东蔚李宜菲青岛第56中学 7.3 陈国颖费祥青岛第43中学 7.5 栾吉晖左雨馨青岛大学附属中学 7.6 张进郭浩然青岛大学附属中学 7 张秋菊曲柯宇青岛第37中学 7.6 王伟娜姜晓涵青岛第37中学 7.6 王伟娜于禾青岛大学附属中学 7.10 彭念东盛晓迎青岛第二实验初级中学 7.1 赵静于袁正浩青岛第65中学 7.1 邓少华鲁钒瑀青岛第二实验初级中学 7.4 赵卫国王颖捷青岛大学附属中学 7.6 张进胡向卿青岛大学附属中学 7.13 苏红刚赵欣青岛超银中学（广饶路） 7.2 刘美玉丁睿青岛第43中学 7.4 李涛王宇轩青岛实验初级中学 7、1 纪成栋刘晟良青岛大学附属中学 7.9 彭念东王冠煜青岛第39中学 7.5 张丰焦铭慧青岛大学附属中学 7.4 王占荣刘芷均青岛第39中学 7.10王中一青岛大学附属中学 7.6 张进于凯泽青岛智荣中学（南校） 7.2骆美达青岛大学附属中学 7.12 张小青张梓渊青岛第65中学 7.7 蔡占玉苏畅青岛大学附属中学 7.6 张进刘坤润青岛大学附属中学 7.3 王占荣李厚泽青岛第37中学 7.9 马爱红安奕霏青岛第37中学 7.3 李丽刘同泰青岛第43中学 7.6韩冰青岛第61中学 7.11 刘安科杨安然青岛第37中学 7.5 王伟娜王安琦青岛第37中学 7.10 马爱红张育嘉青岛第65中学 7.2 逄金玲曲煜青岛第37中学 7.8 刘淑华汤晓旻青岛第37中学 7.6 王伟娜高镜涛青岛大学附属中学 7.14 苏红刚杨菾青岛第65中学 7.3郗子龙青岛第65中学 7.5 原梅张佳皓青岛第37中学 7.2 李宗津杨新洲青岛第37中学 7.9 马爱红王玉琛青岛第37中学 7.9陈晓涵青岛大学附属中学 7.12 张小青胡瑾钰青岛第51中学 7.1 杨瀚书徐浩辰青岛大学附属中学 7.13 苏红刚赵若茜青岛第37中学 7.5 王伟娜李梓桐青岛第39中学 7.11 王哲丁瑞龙青岛第43中学 7.2 周付伟丁亚楠青岛第42中学 7.5 仇世芬曾嘉青岛第37中学 7.6向坤青岛第21中学 7.6 闫桂红管昱东青岛第43中学 7.5 栾吉晖房子琪青岛第37中学 7.8 刘福化崔樱琦青岛大学附属中学 7.11 张小青黄彦发青岛超银中学（鞍山路） 7.1 楚微微刘昱君青岛超银中学（鞍山路） 7.3 梁之合杨汇予青岛大学附属中学 7 彭念东田云汉青岛大学附属中学 7.13 苏红刚谢嵚青岛大学附属中学 7.3 王占荣王云青岛大学附属中学 7.10 彭念东张熙仑青岛第65中学 7.1 逄金玲吴锦润青岛第二实验初级中学 7.9 刘明红郭馨仪青岛第39中学 7.9 隋东红邱文皓青岛第37中学 7.7 刘福化辛雯雯青岛第37中学 7.6 郑丽雯刘彤彤青岛第21中学 7.6 闫桂红张冕峰青岛大学附属中学 7.3 王占荣贾笑蕾青岛第65中学 7.2 逄金玲宋雪琪青岛大学附属中学 7.5 张进王晓峰青岛大学附属中学 7.9 彭念东赵加浩青岛第7中学 7.9王怡然青岛第65中学 7.7 蔡占玉韩赛鸿青岛大学附属中学 7.9 彭念东王舜青岛第43中学 7.2 周付伟赵童青岛实验初级中学 8.6 刘涛孙祎源青岛第39中学 8.10 吴蕴玲盛宏朝青岛第二实验初级中学 8.1 渠海霞宋千慧青岛大学附属中学 8.15 李宜健王子元青岛超银中学（广饶路） 8.7 张合信闻震青岛第26中学 8.3 李宁金述昊青岛第37中学 8.3 岳友胜辛欣青岛大学附属中学 8.16 李宜健李逸飞青岛大学附属中学 8 张菊陈卓青岛第7中学 8 孙斐刘富淼青岛第37中学 8.9周怡青岛第26中学 8.6 刘玲杨瀚淼青岛第37中学 8.1 鲍丽黄元嘉青岛大学附属中学 8.11 张菊张志强青岛第37中学 8.4 岳友胜王禹涵青岛第39中学 8.12 陈健陈秋悦青岛大学附属中学 8.15 李宜健曲子凡青岛第37中学 8.9魏小砚青岛大学附属中学 8.11 张菊李国基青岛第59中学 8.8 张正晏孙丹蕾青岛大学附属中学 8.6 杜平王震亨青岛超银中学（广饶路） 8.6 张合信吴辰青岛第42中学 8.7 戴君宿朗阁青岛第26中学 8.6 刘玲陈金迪青岛大学附属中学 8.15 李宜健徐东辉青岛第37中学 8.9 吴香玲温子源青岛第26中学 8.9史祖俊中国教育学会青岛实验学校 8.4 臧伟强许顺青岛第43中学 8.5 姜蕾刘洁琳青岛第二实验初级中学 8.2 聚海霞房睿青岛第51中学 8.9 赵旻崔琬婧青岛大学附属中学 8.2 梁玉春范振哲青岛第37中学 8.4 岳友胜王钰坤青岛大学附属中学 8.6 杜平刘丽娜青岛第44中学 8.3 李瑞德冯润涵青岛大学附属中学 8.7 刘海英步雨龙青岛第26中学 8.4 李宁张清澄青岛第39中学 8.2 李娟李奕萱青岛第39中学 8.6 刁红军张耀中青岛第43中学 8.1 徐志芬马业诚青岛大学附属中学 8.11 张菊李嘉葳青岛大学附属中学 8.9 余雷汪啸宇青岛第51中学 8.4 赵之樱蔡承杰青岛超银中学（鞍山路） 8.2张文静青岛第37中学 8.7 魏裕佩王紫琪青岛第42中学 8.8 朱贵珍刘家昊青岛大学附属中学 8.4 董坤褚天承青岛第51中学 8.8 官晶陈泽华青岛大学附属中学 8.6 杜平倪嘉辉青岛第24中学 8.6 刘艳珊王世超青岛第二实验初级中学 8.11 王洋孙炜昊青岛第26中学 8.4 李宁隋雨珊青岛第39中学 8.2 李娟贺文青岛第26中学 8.3 李宁贾笑书中国教育学会青岛实验学校 8.2 裴玮刘筱璐青岛第37中学 8.8 魏裕佩姜舜青岛第26中学 8.2 王曙光王焕宇青岛第39中学 8.10 吴蕴玲刘涵予青岛第39中学 8.3 贾烨文杨怡婧青岛第37中学 8.3 岳友胜曹睿青岛第37中学 8.11 吴香玲蓝添青岛第7中学 8.5 尹霞李明骏青岛第二实验初级中学 8.11 王洋袁召龙青岛第37中学 8.7 魏裕佩王馨怡青岛第二实验初级中学 8.1 渠海霞蓝素怡青岛第37中学 8.2 鲍丽李彦昕青岛大学附属中学 8.6王嘉旋青岛第37中学 8.5 孔祥民李文琪青岛第37中学 8.7 魏裕佩孙溥青岛第二实验初级中学 8.2 渠海霞刘展赫青岛第37中学 8.9 吴香玲纪祥青岛第39中学 8.9 吴蕴玲周元青岛第44中学 8.9 鲁璐李畅青岛第37中学 8.7 魏裕佩徐雪儿青岛第37中学 8.8 魏裕佩方斓锦青岛第59中学 8.7 张正晏董一婷青岛第二实验初级中学 8.8 赵美华杜佳佳青岛第43中学 8.1王田青岛超银中学（鞍山路） 8.6 王鹏徐成仪青岛第37中学 8.7 魏裕佩胡凯轩青岛第39中学 8.9 吴蕴玲王嘉童青岛大学附属中学 8.16 李宜健张晨歌青岛大学附属中学 9.11 吴书艳张俊怡青岛超银中学（鞍山路） 9.2 王永玲黄海涵青岛第37中学 9.9 江永波王一诺中国教育学会青岛实验学校 9.6 杨伦卿董世超青岛超银中学（鞍山路） 9.5 刘冰李婧怡青岛第42中学 9.8 王红刘鑫健中国教育学会青岛实验学校 9.9 刘淑芬李进展青岛大学附属中学 9.4 牛英新杨金峣青岛第39中学 9.6 徐永文李若璇青岛超银中学（鞍山路） 9.4 戈伟桐邵同青岛第37中学 9.4 赵秀燕陈怡霖青岛第63中学 9.1 许琛刘恺青岛大学附属中学 9.12 吴书艳宋永健青岛智荣学校（北校） 9.4 矫健张海文青岛第39中学 9.11 荣秀梅张煜涵青岛第42中学 9.10 王培花赵晨君青岛超银中学（鞍山路） 9.4 戈伟桐徐信平青岛第44中学 9.9 姜蓉于晗青岛第63中学 9.1 许琛张立超青岛超银中学（鞍山路） 9.8高原青岛第42中学 9.8 王红李想青岛超银中学（鞍山路） 9.4 戈伟桐高宏斌青岛大学附属中学 9.1 晁储银王晨皓青岛大学附属中学 9.6 单向丽孙苑芃青岛第63中学 9.3 矫永宏李家祺青岛第42中学 9.6 孙红栾晓坤青岛第42中学 9.3 齐玲华边金成青岛第63中学 9.8 高星华曹榕峰青岛第42中学 9.3 齐玲华李妍琳青岛第63中学 9.6 安丰秀赵子霄青岛第42中学 9.10 王培花王秉祺青岛超银中学（鞍山路） 9.3 刘冰赵琪青岛超银中学（鞍山路） 9.2 王永玲王萃民青岛超银中学（鞍山路） 9.5 刘冰管祥青岛实验初级中学 9.1 王阿玲封宇轩青岛大学附属中学 9.11 马连军李雨洲青岛第63中学 9.9孙小轩青岛实验初级中学 9.11 王伟葛永超青岛第7中学 9.6 魏彩燕董雅睿青岛超银中学（鞍山路） 9.2 王永玲王文昭青岛第63中学 9.3 矫永宏李怡萱青岛第59中学 9.9 兰洁李依冉青岛第39中学 9.11 荣秀梅刘坤朋青岛第42中学 9.8 王红蒋佳琳青岛第44中学 9.1 陈庆祥巩雪宁中国教育学会青岛实验学校 9.1 杨勇董贞珍青岛第42中学 9.3 齐玲华刘恬仪青岛超银中学（鞍山路） 9.8 曲鹏马克晴青岛大学附属中学 9.12 吴书艳栾锟青岛第62中学 9.1 李珍宋佳韵青岛第二实验初级中学 9.5 刘小伟邱翊青岛第42中学 9.8 王红邱韵凝青岛实验初级中学 9 沈冰俏薛翔文青岛第42中学 9.3 齐玲华李欣青岛第42中学 9.10 王培花郑嘉澍青岛第二实验初级中学 9.1 赵连江姜钰琦青岛第42中学 9.8 王红孟东泽青岛第51中学 9.1 张秀清曹非凡青岛第42中学 9.3。

2020年第十一届小学数学“梦想杯”全国数学邀请赛试卷(六年级第1试)

2013年第十一届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第1试）一、每题6分，共120分1．（6分）计算：30%÷1×（）＝．2．（6分）计算：101+1001+10001＝．3．（6分）建筑公司建一条隧道，按原速度建成时，使用新设备，使修建速度提高了20%，并且每天的工作时间缩短为原来的80%，结果共用185天建完隧道，若没有新设备，按原速度建完，则需要天．4．（6分）如图是根据鸡蛋的三个组成部分的质量绘制的扇形统计图，由图可知，蛋壳重量占鸡蛋重量的%，一枚重60克的鸡蛋中，最接近32克的组成部分是．5．（6分）如图，边长为12cm的正方形与直径为16cm的圆部分重叠（圆心是正方形的一个顶点），用S1，S2分别表示两块空白部分的面积，则S1﹣S2＝cm2（圆周率π取3）．6．（6分）定义新运算“*”：a*b＝例如3.5*2＝3.5，1*1.2＝1.2，7*7＝1，则＝．7．（6分）有一口无水的井，用一根绳子测井的深度，将绳对折后垂到井底，绳子的一端高出井口9m；将绳子三折后垂到井底，绳子的一端高出井口2m，则绳长米，井深米．8．（6分）张阿姨和李阿姨每月的工资相同，张阿姨每月把工资的30%存入银行，其余的钱用于日常开支，李阿姨每月的日常开支比张阿姨多10%，余下的钱也存入银行，这样过了一年，李阿姨发现，她12个月存入银行的总额比张阿姨少了5880元，则李阿姨的月工资是元．9．（6分）用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm．10．（6分）在一个两位数的中间加上小数点，得到一个小数，若这个小数与原来的两位数的和是86.9，则原来两位数是．11．（6分）A，B两校的男、女生人数的比分别为8：7和30：31，两校合并后男、女生人数的比是27：26，则A，B两校合并前人数比是．12．（6分）有2013名学生参加数学竞赛，共有20道竞赛题，每个学生有基础分25分，此外，答对一题得3分，不答题得1分，答错一题扣1分，则所有参赛学生得分的总和是数（填“奇”或“偶”）．13．（6分）从12点开始，经过分钟，时针与分针第一次成90°角；12点之后，时针与分针第二次成90°角的时刻是．14．（6分）有一个温泉游泳池，池底有泉水不断涌出，要想抽干满池的水，10台抽水机需工作8小时，9台抽水机需工作9小时，为了保证游泳池水位不变（池水既不减少，也不增多），则向外抽水的抽水机需台．15．（6分）分子与分母的和是2013的最简真分数有个．16．（6分）若一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的2倍，所有棱长之和是56，则此长方体的体积是．17．（6分）图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点A和点C，AE＝4m，点B是AE的中点，那么阴影部分的周长是m，面积是m2（圆周率π取3）．18．（6分）某次数学竞赛，甲、乙、丙3人中只有一人获奖，甲说：“我获奖了．”乙说：“我没获奖．”丙说：“甲没有获奖．”他们的话中只有一句是真话，则获奖的是．19．（6分）某小学的六年级有学生152人，从中选男生人数的和5名女生去参加演出，该年级剩下的男、女生人数恰好相等，则该小学的六年级共有男生名．20．（6分）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲乙两人的速度比是4：5，相遇后，如果甲的速度降低25%，乙的速度提高20%，然后继续沿原方向行驶，当乙到达A地时，甲距离B地30km，那么A、B两地相距km．二、附加题（每题10分，共20分）21．（10分）小红整理零钱包时发现，包中有面值为1分，2分，5分的硬币共有25枚，总值为0.60元，则5分的硬币最多有枚．22．（10分）A、B、C、D四个箱子中分别装有一些小球，现将A箱中的部分小球按如下要求转移到其他三个箱子中：该箱中原有几个小球，就再放入几个小球，此后，按照同样的方法依次把B、C、D箱中的小球转移到其他箱子中，此时，四个箱子都各有16个小球，那么开始时装有小球最多的是箱，其中装有小球个．2013年第十一届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第1试）参考答案与试题解析一、每题6分，共120分1．（6分）计算：30%÷1×（）＝．【解答】解：30%÷1×（），＝30%÷1×，＝×，＝．故答案为：．2．（6分）计算：101+1001+10001＝．【解答】解：101+1001+10001，＝101++1001++10001+，＝（101+1001+10001）+（++），＝11103+，＝11105．3．（6分）建筑公司建一条隧道，按原速度建成时，使用新设备，使修建速度提高了20%，并且每天的工作时间缩短为原来的80%，结果共用185天建完隧道，若没有新设备，按原速度建完，则需要180天．【解答】解：（1﹣）÷[（1+20%）×80%]＝÷[120%×80%]，＝，＝；185÷（+）＝185÷，＝180（天）．答：按原速度建完，则需要180天．故答案为：180．4．（6分）如图是根据鸡蛋的三个组成部分的质量绘制的扇形统计图，由图可知，蛋壳重量占鸡蛋重量的15%，一枚重60克的鸡蛋中，最接近32克的组成部分是蛋白．【解答】解：（1）1﹣32%﹣53%，＝1﹣85%，＝15%；答：蛋壳重量占鸡蛋重量的15%．（2）蛋黄重量：60×32%＝19.2（克），蛋白重量：60×53%＝31.8（克），蛋壳重量：60×15%＝9（克），所以最接近32克的组成部分是蛋白．答：最接近32克的组成部分是蛋白．故答案为：15，蛋白．5．（6分）如图，边长为12cm的正方形与直径为16cm的圆部分重叠（圆心是正方形的一个顶点），用S1，S2分别表示两块空白部分的面积，则S1﹣S2＝48cm2（圆周率π取3）．【解答】解：3×（16÷2）2﹣122＝192﹣144，＝48（平方厘米）；答：S1﹣S2＝48cm2．故答案为：48．6．（6分）定义新运算“*”：a*b＝例如3.5*2＝3.5，1*1.2＝1.2，7*7＝1，则＝2．【解答】解：根据分析可得，，＝，＝2；故答案为：2．7．（6分）有一口无水的井，用一根绳子测井的深度，将绳对折后垂到井底，绳子的一端高出井口9m；将绳子三折后垂到井底，绳子的一端高出井口2m，则绳长42米，井深12米．【解答】解：（9×2﹣2×3）÷（3﹣2），＝（18﹣6）÷1，＝12÷1，＝12（米），（12+9）×2，＝21×2，＝42（米）．故答案为：42，12．8．（6分）张阿姨和李阿姨每月的工资相同，张阿姨每月把工资的30%存入银行，其余的钱用于日常开支，李阿姨每月的日常开支比张阿姨多10%，余下的钱也存入银行，这样过了一年，李阿姨发现，她12个月存入银行的总额比张阿姨少了5880元，则李阿姨的月工资是7000元．【解答】解：（1﹣30%）×（1+10%）＝70%×110%，＝77%；5880÷12÷[30%﹣（1﹣77%）]＝490÷[30%﹣23%]，＝490÷7%，＝7000（元）．即李阿姨的月工资是7000元．故答案为：7000．9．（6分）用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm．【解答】解：据分析可知，沙子的高度为：5+20÷3＝11（厘米）；答：沙子的高度为11厘米．故答案为：11．10．（6分）在一个两位数的中间加上小数点，得到一个小数，若这个小数与原来的两位数的和是86.9，则原来两位数是79．【解答】解：根据题意可得：86.9÷（10+1）＝7.9；7.9×10＝79．答：原来两位数是79．故答案为：79．11．（6分）A，B两校的男、女生人数的比分别为8：7和30：31，两校合并后男、女生人数的比是27：26，则A，B两校合并前人数比是45：61．【解答】解：设A、B两校的男生、女生人数分别为8a、7a、30b、31b，由题意得：（8a+30b）：（7a+31b）＝27：26，27×（7a+31b）＝26×（8a+30b），189a+837b＝208a+780b，837b﹣780b＝208a﹣189a，57b＝19a，所以a＝3b，所以A、B两校合并前人数的比是：（8a+7a）：（30b+31b），＝15a：61b，＝45b：61b，＝（45b÷b）：（61b÷b）＝45：61；答：A，B两校合并前人数比是45：61．故答案为：45：61．12．（6分）有2013名学生参加数学竞赛，共有20道竞赛题，每个学生有基础分25分，此外，答对一题得3分，不答题得1分，答错一题扣1分，则所有参赛学生得分的总和是奇数（填“奇”或“偶”）．【解答】解：每人答对x道，不答y道，答错z道题目，则显然x+y+z＝20，z＝20﹣x﹣y；所以一个学生得分是：25+3x+y﹣z，＝25+3x+y﹣（20﹣x﹣y），＝5+4x+2y；4x+2y显然是个偶数，而5+4x+2y的和一定是个奇数；2013个奇数相加的和仍是奇数．所以所有参赛学生得分的总和是奇数．故答案为：奇．13．（6分）从12点开始，经过分钟，时针与分针第一次成90°角；12点之后，时针与分针第二次成90°角的时刻是12时分．【解答】解：分针每分钟走的度数是：360÷60＝6（度），时针每分钟走的度数是：6×5÷60＝0.5（度），第一成直角用的时间是：90÷（6﹣0.5），＝90÷5.5，＝16（分钟），第二次成直角用的时间是：270÷（6﹣0.5），＝270÷5.5，＝49（分钟）．这时的时刻是：12时+49分＝12时49分．故答案为：16，12时49分．14．（6分）有一个温泉游泳池，池底有泉水不断涌出，要想抽干满池的水，10台抽水机需工作8小时，9台抽水机需工作9小时，为了保证游泳池水位不变（池水既不减少，也不增多），则向外抽水的抽水机需1台．【解答】解：设1台抽水机1小时抽1份水，每小时新增水：9×9﹣10×8＝1；答：向外抽水的抽水机需1台．15．（6分）分子与分母的和是2013的最简真分数有600个．【解答】解：分子与分母的和是2013的真分数有，，…，共1006个，2013＝3×11×61，只要分子是2013质因数的倍数时，这个分数就不是最简分数，因数分子与分母相加为2013，若分子是3，11，61的倍数，则分母一定也是3，11或61的倍数．[1006÷3]＝335，[1006÷11]＝91，[1006÷61]＝16，[1006÷3÷11]＝30，[1006÷3÷61]＝5，[1006÷11÷61]＝1，1006﹣335﹣91﹣16+30+5+1＝600．故答案为：600．16．（6分）若一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的2倍，所有棱长之和是56，则此长方体的体积是64．【解答】解：长方体的高是：56÷4÷（1+2+4），＝14÷7，＝2，宽是：2×2＝4，长是：4×2＝8，体积是：8×4×2＝64，答：这个长方体的体积是64．故答案为：64．17．（6分）图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点A和点C，AE＝4m，点B是AE的中点，那么阴影部分的周长是13m，面积是7m2（圆周率π取3）．【解答】解：阴影部分的周长：4+3×4×2÷4+3×2×2÷4，＝4+6+3，＝13（米）；阴影部分的面积：3×42÷4+3×22÷4﹣2×4，＝12+3﹣8，＝7（平方米）；答：阴影部分的周长是13米，面积是7平方米．故答案为：13、7．科技新闻网:##科技新闻网每天更新最新科技新闻,这里有最权威的科技新闻资料,我们是国内外最新的科技新闻网。

全国高中数学竞赛集合真题汇编与典型例题

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题全国联赛真题：1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为.2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n 个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.8．【2014年全国联赛】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.9．【2013年全国联赛】一次考试共有道试题，名学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值.10．【2012年全国联赛】试证明：集合满足（1）对每个，若，则一定不是的倍数；（2）对每个表示中的补集），且，必存在，使的倍数.各省预赛典型题1．【2018年江苏】在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个。

2013年全国数学竞赛试题详细参考答案

（第3题）一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（）．（A ）7 （B ）12+ （C ）72+ （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==2y ==，所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7．另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）E12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A（B ）1 （C （D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要（第4题）（第8题）接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．（第8题答案）（第9题答案）另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF 交 AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形，即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△，所以a r ah a b c=++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=，所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c+=++，故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp ∆===（这里2a b cp ++=）所以12r ==2ABC a S h a ===△ 由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===，即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯，其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。

2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷解答

1 4
a3
a2
n
1
1
an
an1
an n
2
（2 分）
= 1 1 1 1 1 1 1 an 1 1 an （2 分）
2 32 43
n1 n n 2 n n 2
因为
0
an
1
n 1
1 x
dx
1
ln
n
，所以 0
an n2
1 ln n n2
，从而
lim 1 ln n n n 2
0
，
a
（3 分）
令
Ja
2 0
2 3
d cos2 2 sin2
a
，则由于
2 3
2 3
cos2
2sin2
2
，从而
0
Ja
。因此当 a
1时 lim r
Ia
r
0或a
1时
lim
r
Ia
r
（2
分）
而 a
1, J1
2 0
d 2 cos2 2sin2
/2
4
0
d 2 cos2 2sin2
x sin x arctan ex 1 cos2 x
dx
0
x sin x arctan ex 1 cos2 x
dx
（4
分）
x sin x
arctan ex arctan ex dx
x sin x
dx （2 分）
0 1 cos2 x
2 0 1 cos2 x
2
2
0
sin x 1 cos2
的敛散性，若收敛，求其和。
解

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中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里.1 ）．（A ）7 【答】（解：因为21x =，所以另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12（第3题）E【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCDD 6当这64．已知AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O O 于点E ，则AE 的长为（）．（A OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则 EAC α︒-=∠．()16018022α=︒+︒-120α=︒-，ABO ，于是1AE OA ==． EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（第4题）（第8题）（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2二、填空题（共56．对于实数u ，v 1()4x a x **=-【答】0a >，或解：由(x a **依题意有解得，a 7．小王沿街匀速行走，发现每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．（第9题答案）8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长AE 于点N.则E ∠=∠所以AE AC ==即CF EN ==9．△ABC I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点【答】163．解： BC 边上的高为1ah S = a a h r DEh BC-=，所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c+=++，故 879168793DE ⨯+==++（）．另解： ABC S rp ∆===（这里2a b cp ++=）所以12r ==2ABC a S h a ===△由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===，即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯，其中s 都是偶数．所以22213)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是(t +13-＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。

当22,a b 的个位数是6和6时，则,a b 的个位数字可以为4或6。

由105147b ≤≤，取b ＝106，114，116，124，126，134，136，144，146代入2221632a b +=得，只有当b ＝136时，a =56，即|104|56x -=⎧⎨ 解得48160,32x x ==⎧⎧⎨⎨三、解答题（共411．在直角坐标系轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B （1）用b 表示k （2）求△OAB 解：（1）令0=x 0．所以A ，B3++-b kb，，2b >．……………… 5分（2）由（1）知 2(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-1027+，当且仅当1022b b -=-时，有S =，即当102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成立．所以，△ABC 面积的最小值为1027+． ……………… 15分12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令2224q p n ∆=-=，其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p -+=． ……………… 5分由于1≤q n -≤q +n ，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩，，24q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，，24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩，消去n ，解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+，，，，．……………… 10分对于第1，3种情形，2p =，从而q ＝5；对于第2，5种情形，2p =，从而q ＝4（不合题意，舍去）又当2p =，q ＝52=，它们都是有理数．★12、已知,a b 12x x ，，关于y 的方程2y 11222008x y x y -= . 求b 的最小值.另解12,a y y b = 即12122(y y a y y b x +=-⎧⎨==-⎩ 解得：11122221y x y x y x y x =-=-⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩或把12,y y 的值分别代入11222008x y x y -= 得1122()()2008x x x x ---= 或1221()()2008x x x x ---=（不成立）即22212008x x -=，2121()()2008x x x x +-=因为121220,0xx a x x b +=>=> 所以120,0xx >>　于是有 22008a = 即50215022251a ==⨯=⨯因为a,b 都是正整数，所以2222221505225150212514a a a a ab a b a b a b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=-=⎩⎩⎩⎩或或或分别解得：2222150222511502502122512514a a a a b b b b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-⎩⎩⎩⎩或或或经检验只有：2250225150212514a ab b ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，　符合题意. 所以b 的最小值为：2251462997b =-最小值＝13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ABC 5分如图，当B A ∠=∠2，则△ACD 为等腰三角形．因为BAC ∠为△2BAC B ∠=∠，所以D B ∠=∠．所以△又D ∠为△ACD所以而264(45)=⨯+说明：若B A ∠=∠2（i ）当b c a >>时，设1+=n a ，n c =，1-=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()()()21121n n n +=--，解得5=n ，有6=a ，4=b ，5=c ；（ⅱ）当b a c >>时，设1+=n c ，n a =，1-=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()n n n 212⋅-=，解得 2=n ，有2=a ，1=b ，3=c ，此时不能构成三角形；（ⅲ）当c b a >>时，设1+=n a ，n b =，1-=n c （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()()1212-=+n n n ，即 0132=--n n ，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．★13、如图，△ABC 的三边长,,,,,BC a AC b AB c a b c === 都是整数，且,a b（第13（A ）题答案）C的最大公约数是2。